Odz örneklerini bulun. Bilime başlayın

Formun denklemlerinde ve eşitsizliklerinde, fonksiyonların tanım alanlarının kesişimi ve sırasıyla denklemin veya eşitsizliğin ARV'sinin yanı sıra değişkenin izin verilen değerlerinin alanı (ADV) olarak adlandırılır. .

Tek değişkenli denklemleri (eşitsizlikleri) çözerken, ODZ'yi bulup bulmayacağınız sorusu ortaya çıktığında, genellikle kategorik bir "evet" ve aynı derecede kategorik bir "hayır" duyabilirsiniz. Bazıları, "Önce ODZ'yi bulmanız ve ardından denklemi (eşitsizliği) çözmeye başlamanız gerekiyor" diyor. “ODZ üzerinde zaman kaybetmeye gerek yok; çözüm ilerledikçe eşdeğer bir denkleme (eşitsizlik) veya eşdeğer denklemler ve eşitsizlikler sistemine veya sadece eşitsizliklere geçeceğiz. Sonuçta eğer bu bir denklemse o zaman bir test yapılabilir” diyor diğerleri.

Peki ODZ'yi bulmak mümkün mü?

Elbette bu sorunun net bir cevabı yok. Bir denklemin veya eşitsizliğin OD'sini bulmak, çözümün zorunlu bir unsuru değildir. Her spesifik örnekte bu sorun ayrı ayrı çözülmüştür.

Bazı durumlarda ODZ'yi bulmak bir denklemin veya eşitsizliğin çözümünü basitleştirir (örnek 1-5) ve hatta bazı durumlarda çözümde gerekli bir adımdır (örnek 1, 2, 4).

Diğer durumlarda (örnek 6, 7), çözümü daha külfetli hale getireceği için ODZ'nin ön bulgusundan vazgeçmeye değer.

Örnek 1. Denklemi çözün.

Denklemin her iki tarafının karesini almak onu basitleştirmeyecek, ancak karmaşıklaştıracak ve radikallerden kurtulmamıza izin vermeyecektir. Başka bir çözüm aramamız gerekiyor.

ODZ denklemini bulalım:

Dolayısıyla ODZ yalnızca bir değer içerir ve bu nedenle yalnızca 4 sayısı orijinal denklemin kökü olarak görev yapabilir.Doğrudan ikameyle bunun denklemin tek kökü olduğuna ikna olduk.

Örnek 2. Denklemi çözün.

Denklemde çeşitli derecelerde radikallerin varlığı (ikinci, üçüncü ve altıncı) çözümü zorlaştırır. Bu nedenle öncelikle ODZ denklemini bulalım:

Doğrudan ikameyle orijinal denklemin kökünün ne olduğunu doğrularız.

Örnek 3. Eşitsizliği çözün.

Elbette bu eşitsizliği aşağıdaki durumları dikkate alarak çözmek mümkündür, ancak ODZ'yi bulmak bu çözümü hemen kolaylaştırır.

ODZ:

Bu tek değeri orijinal eşitsizliğin yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik elde ederiz. Bu nedenle orijinal eşitsizliğin çözümü yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

Örnek 4. Denklemi çözün.

Denklemi formda yazalım.

Formun bir denklemi karma bir sisteme eşdeğerdir onlar.

Elbette burada ODZ'yi bulmak gereksiz.

Bizim durumumuzda eşdeğer bir sistem elde ediyoruz onlar.

Denklem toplama eşdeğerdir Denklemin rasyonel kökleri yoktur ancak irrasyonel kökleri olabilir ve bu durum öğrenciler için zorluk yaratacaktır. Bu nedenle başka bir çözüm arayacağız.

Orijinal denkleme dönelim ve onu forma yazalım.

ODZ'yi bulalım: .

Denklemin sağ tarafı ve sol tarafı olduğunda . Sonuç olarak, değişkenin izin verilen değerleri aralığındaki orijinal denklem X denklem sistemine eşdeğerdir çözümü yalnızca bir değerdir.

Dolayısıyla bu örnekte orijinal denklemin çözülmesini mümkün kılan ODZ'nin bulunmasıydı.

Örnek 5. Denklemi çözün.

, ve olduğundan, orijinal denklemi çözerken modüllerden kurtulmak (onları açmak) gerekecektir.

Bu nedenle öncelikle ODZ denklemini bulmak mantıklıdır:

Yani ODZ:

Logaritmanın özelliklerini kullanarak orijinal denklemi basitleştirelim.

Değişkenin izin verilen değerleri aralığında olduğundan X ve daha sonra , a , o zaman eşdeğer bir denklem elde ederiz:

ODZ'de bunu göz önünde bulundurarak eşdeğer denkleme geçelim ve her iki tarafı da 3'e bölerek çözelim.

Cevap: − 4,75.

Yorum.

ODZ bulunamazsa, denklemi çözerken dört durumu dikkate almak gerekir: , , , . Modül işareti altındaki ifadelerin sabit işaretli bu aralıklarının her birinde, modülleri genişletmek ve ortaya çıkan denklemi çözmek gerekli olacaktır. Ayrıca bir kontrol de yapın. Orijinal denklemin ODZ'sini bulmanın çözümünü büyük ölçüde kolaylaştırdığını görüyoruz.

Örnek 7. Eşitsizliği çözün .

Değişken olduğundan X logaritmanın tabanına da dahil edilirse, bu eşitsizliği çözerken iki durumu dikkate almak gerekecektir: ve . Bu nedenle ODZ'yi ayrı ayrı bulmak pratik değildir.

O halde orijinal eşitsizliği formda temsil edelim. ve iki sistemin birleşimine eşdeğer olacaktır:

Cevap: .

Bilim danışmanı:

1. Giriş 3

2. Tarihsel taslak 4

3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken ODZ'nin “Yeri” 5-6

4. ODZ 7'nin özellikleri ve tehlikeleri

5. ODZ – bir çözüm var 8-9

6. ODZ'yi bulmak ekstra bir iştir. Geçişlerin denkliği 10-14

7. Birleşik Devlet Sınavında ODZ 15-16

8. Sonuç 17

9. Edebiyat 18

1. Giriş

Sorun: ODZ'yi bulmanın gerekli olduğu denklemler ve eşitsizlikler cebir dersinde sistematik sunum için yer bulamadı, bu yüzden muhtemelen akranlarım ve ben bu tür örnekleri çözerken sık sık hata yapıyoruz, bunları çözmek için çok zaman harcıyoruz ve unutuyoruz ODZ hakkında.

Hedef: DL'yi dikkate almanın gerekli olduğu örneklerde durumu analiz edebilme ve mantıksal olarak doğru sonuçlar çıkarabilme.

Görevler:

1. Teorik materyali inceleyin;

2. Birçok denklemi, eşitsizliği çözün: a) kesirli-rasyonel; b) irrasyonel; c) logaritmik; d) ters trigonometrik fonksiyonları içeren;

3. Çalışılan materyalleri standarttan farklı bir durumda uygulayın;

4. “Kabul edilebilir değerler alanı: teori ve pratik” konulu bir çalışma oluşturun

Proje çalışması: Bildiğim fonksiyonları tekrarlayarak proje üzerinde çalışmaya başladım. Birçoğunun kapsamı sınırlıdır.

ODZ oluşur:

1. Kesirli rasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken

2. İrrasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken

3. Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken

4. Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken

Birçok örneği çözdükten sonra çeşitli kaynaklar(birleşik devlet sınav kılavuzları, ders kitapları, referans kitapları), örneklerin çözümünü aşağıdakilere göre sistemleştirdim: aşağıdaki ilkeler:

· örneği çözebilir ve ODZ'yi (en yaygın yöntem) dikkate alabilirsiniz.

· ODZ'yi dikkate almadan örneği çözmek mümkündür

· Doğru karara varmak ancak ODZ'yi dikkate almakla mümkündür.

Çalışmada kullanılan yöntemler: 1) analiz; 2) istatistiksel analiz; 3) kesinti; 4) sınıflandırma; 5) tahmin.

Analizi inceledim Birleşik Devlet Sınavı sonuçları geçtiğimiz yıllarda. DL'nin dikkate alınması gereken örneklerde birçok hata yapılmıştır. Bunu bir kez daha vurguluyor alaka benim konum.

2. Tarihsel taslak

Matematiğin diğer kavramları gibi fonksiyon kavramı da hemen gelişmedi, uzun mesafe gelişim. P. Fermat'ın "Düzlem ve katı yerlerin tanıtımı ve incelenmesi" (1636, 1679'da yayınlandı) adlı eserinde şöyle denir: "Son denklemde iki bilinmeyen miktar varsa, bir yer vardır." Aslında burada bahsettiğimiz şey fonksiyonel bağımlılık ve grafik gösterimi (Fermat dilinde “yer” çizgi anlamına gelir). Çizgilerin R. Descartes'ın "Geometri" (1637) eserindeki denklemlerine göre incelenmesi aynı zamanda iki değişkenin karşılıklı bağımlılığının net bir şekilde anlaşıldığını gösterir. I. Barrow (Geometri Dersleri, 1670), farklılaşma ve entegrasyon eylemlerinin karşılıklı ters doğasını geometrik biçimde kurar (tabii ki, bu terimleri kendileri kullanmadan). Bu zaten fonksiyon kavramına tamamen hakim olunduğunu gösteriyor. Bu kavramı geometrik ve mekanik biçimde I. Newton'da da buluyoruz. Ancak "işlev" terimi ilk kez ancak 1692'de G. Leibniz'de ortaya çıktı ve üstelik modern anlayışıyla da pek örtüşmüyor. G. Leibniz, bir eğriyle ilişkili çeşitli bölümleri (örneğin noktalarının apsisi) bir fonksiyon olarak adlandırır. L'Hopital (1696) tarafından yazılan ilk basılı ders olan “Eğri çizgilerin bilgisi için sonsuz küçüklerin analizi”nde “fonksiyon” terimi kullanılmamıştır.

Bir fonksiyonun modern tanımına yakın ilk tanımı I. Bernoulli'de (1718) bulunur: “Fonksiyon, bir değişken ve bir sabitten oluşan bir niceliktir.” Tamamen net olmayan bu tanım, bir fonksiyonun analitik bir formülle belirtilmesi fikrine dayanmaktadır. Aynı fikir, L. Euler'in “Sonsuzların Analizine Giriş” (1748) adlı eserinde verdiği tanımında da görülmektedir: “Değişken bir miktarın fonksiyonu, bu değişken miktar ve sayılardan bir şekilde oluşan analitik bir ifadedir veya sabit miktarlar.” Ancak L. Euler, fonksiyon kavramını onun analitik ifadelerinden hiçbirine bağlamayan modern fonksiyon anlayışına artık yabancı değildir. Onun "Diferansiyel Hesabı" (1755) şunu söylüyor: "Belirli nicelikler diğerlerine, ikincisi değiştiğinde kendileri de değişime tabi olacak şekilde bağlı olduğunda, o zaman ilkine ikincisinin işlevleri denir."

İLE XIX'in başı yüzyıllar boyunca, bir fonksiyon kavramını, onun analitik temsilinden bahsetmeden giderek daha sık tanımlamışlardır. “Diferansiyel ve İntegral Hesap Üzerine İnceleme”de (1797-1802) S. Lacroix şöyle diyor: “Değeri bir veya daha fazla başka niceliğe bağlı olan her niceliğe, bunların bir fonksiyonu denir.” J. Fourier'in (1822) “Analitik Isı Teorisi” nde bir ifade vardır: “Fonksiyon f(x) tamamen keyfi bir işlevi, yani genel bir yasaya tabi olsun ya da olmasın ve tüm değerlere karşılık gelen belirli değerler dizisi anlamına gelir X 0 ile bir değer arasında yer alır X" N. I. Lobachevsky'nin tanımı modern olana yakındır: “... Genel kavram işlev şunu gerektirir: X her biri için verilen numarayı adlandırın X ve birlikte X yavaş yavaş değişir. Fonksiyonun değeri analitik bir ifadeyle ya da tüm sayıların test edilmesi ve bunlardan birinin seçilmesi için bir araç sağlayan bir koşulla verilebilir ya da son olarak bağımlılık var olabilir ve bilinmiyor olabilir. Orada da biraz aşağıda deniyor ki: “Teorinin geniş bakış açısı, yalnızca sayıların birbiriyle bağlantılı olarak bir arada verilmiş gibi anlaşılması anlamında bağımlılığın varlığına izin verir.” Böylece, modern çözünürlüklü Genellikle P. Dirichlet'e (1837) atfedilen, analitik göreve atıfta bulunulmayan fonksiyon, ondan önce defalarca önerildi.

Bir y fonksiyonunun tanım alanı (kabul edilebilir değerler), bu fonksiyonun tanımlandığı bağımsız değişken x'in değerler kümesidir, yani bağımsız değişkenin (argüman) değişim alanıdır.

3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken kabul edilebilir değerler aralığının “Yeri”

1. Kesirli rasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken payda sıfır olmamalıdır.

2. İrrasyonel denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

2.1..gif" genişlik = "212" yükseklik = "51"> .

İÇİNDE bu durumda ODZ'yi bulmaya gerek yoktur: ilk denklemden elde edilen x değerlerinin aşağıdaki eşitsizliği karşıladığı sonucu çıkar: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height = "27 src = " > sistem:

Denkleme eşit olarak girdikleri için eşitsizlik yerine eşitsizliği dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

3.1. Logaritmik bir denklemi çözme şeması

Ancak ODZ'nin yalnızca bir durumunu kontrol etmek yeterlidir.

3.2..gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">.gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">

4. Trigonometrik denklemler tür sisteme eşdeğerdir (eşitsizlik yerine eşitsizliği sisteme dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> eşdeğerdir denklem

4. İzin verilen değer aralığının özellikleri ve tehlikeleri

Matematik derslerinde her örnekte DL'yi bulmamız gerekmektedir. Aynı zamanda, konunun matematiksel özüne göre, ODZ'yi bulmak hiç de zorunlu değildir, çoğu zaman gerekli değildir ve bazen imkansızdır - ve tüm bunlar, örneğin çözümüne herhangi bir zarar vermeden. Öte yandan, çoğu zaman okul çocukları bir örneği çözdükten sonra DL'yi hesaba katmayı, onu son cevap olarak yazmayı ve yalnızca bazı koşulları dikkate almayı unuturlar. Bu durum iyi biliniyor ama “savaş” her yıl devam ediyor ve uzun süre de devam edecek gibi görünüyor.

Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün:

Burada ODZ aranır ve eşitsizlik çözülür. Ancak, bu eşitsizliği çözerken okul çocukları bazen ODZ'yi aramadan yapmanın oldukça mümkün olduğuna veya daha doğrusu koşul olmadan yapmanın mümkün olduğuna inanırlar.

Aslında doğru cevaba ulaşmak için hem eşitsizliği hem de eşitsizliği hesaba katmak gerekir.

Ancak örneğin denklemin çözümü: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

bu ODZ ile çalışmaya eşdeğerdir. Ancak bu örnekte böyle bir çalışma gereksizdir; bu eşitsizliklerden yalnızca ikisinin veya herhangi ikisinin yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek yeterlidir.

Herhangi bir denklemin (eşitsizliğin) forma indirgenebileceğini hatırlatmama izin verin. ODZ basitçe sol taraftaki fonksiyonun tanım alanıdır. Bu alanın izlenmesi gerektiği gerçeği, kökün belirli bir fonksiyonun tanım alanından, dolayısıyla ODZ'den bir sayı olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır. İşte bu konuyla ilgili komik bir örnek..gif" width="20" height="21 src="> bir dizi pozitif sayının tanım alanına sahiptir (bu, elbette, bir fonksiyonun dikkate alınmasına yönelik bir anlaşmadır) , ancak makul) ve bu durumda -1 kök değildir.

5. Kabul edilebilir değer aralığı – bir çözüm var

Ve son olarak, birçok örnekte ODZ'yi bulmak cevaba ulaşmanızı sağlar hantal düzenler olmadan, hatta sözlü olarak.

1. OD3 boş bir kümedir, yani orijinal örneğin hiçbir çözümü yoktur.

1) 2) 3)

2.B ODZ bir veya daha fazla sayı bulunur ve basit bir değişiklik, kökleri hızlı bir şekilde belirler.

1) , x=3

2)Burada ODZ'de yalnızca 1 sayısı var ve değiştirildikten sonra bunun bir kök olmadığı anlaşılıyor.

3) ODZ'de iki sayı vardır: 2 ve 3 ve her ikisi de uygundur.

4) > ODZ'de 0 ve 1 olmak üzere iki sayı vardır ve yalnızca 1 uygundur.

ODZ, ifadenin kendisinin analiziyle birlikte etkili bir şekilde kullanılabilir.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) ODZ'den şu sonuç çıkıyor: ..gif" width="143" height="24"> ODZ'den elimizde: . Ama sonra ve . Çünkü hiçbir çözüm yok.

ODZ'den elimizde: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, yani . Son eşitsizliği çözerek x elde ederiz<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . O zamandan beri

Öte yandan, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. [-1; 0).

Aşağıdaki eşitsizlikleri yerine getirir https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src = "> ve hiçbir çözüm yok. İşlev ve https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" ile height ="45 src="> ODZ'yi bulalım:

Tamsayı çözümü yalnızca x=3 ve x=5 için mümkündür. Kontrol ederek x=3 kökünün uymadığını buluyoruz, bu da cevabın x=5 olduğu anlamına geliyor.

6. Kabul edilebilir değer aralığını bulmak ekstra iştir. Geçişlerin denkliği.

DZ'yi bulmadan da durumun net olduğu örnekler verebilirsiniz.

1.

Eşitlik imkansızdır çünkü daha büyük bir ifadeyi daha küçük bir ifadeden çıkarırken sonuç negatif bir sayı olmalıdır.

2. .

Negatif olmayan iki fonksiyonun toplamı negatif olamaz.

Ayrıca ODZ'yi bulmanın zor, bazen de imkansız olduğu örnekler vereceğim.

Ve son olarak, ODZ aramaları çoğu zaman basittir ekstra iş, onsuz da yapabilirsiniz, böylece neler olduğuna dair anlayışınızı kanıtlarsınız. Burada verilebilecek çok sayıda örnek var, bu yüzden yalnızca en tipik olanları seçeceğim. Bu durumda ana çözüm yöntemi, bir denklemden (eşitsizlik, sistem) diğerine geçerken eşdeğer dönüşümlerdir.

1.. ODZ gerekli değildir, çünkü x2 = 1 olan x değerlerini bulduktan sonra x = 0 elde edemeyiz.

2. . ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü radikal ifadenin pozitif bir sayıya eşit olduğunu buluruz.

3. . Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı ODZ'ye ihtiyaç yoktur.

4.

ODZ'ye gerek yoktur çünkü radikal ifade bazı fonksiyonların karesine eşittir ve bu nedenle negatif olamaz.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Çözmek için köklü ifade için yalnızca bir kısıtlama yeterlidir. Aslında yazılı karma sistemden diğer köklü ifadenin negatif olmadığı sonucu çıkar.

8. Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı DZ'ye ihtiyaç yoktur.

9. ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü logaritma işaretleri altındaki üç ifadeden ikisinin pozitif olması üçüncünün pozitifliğini sağlamak için yeterlidir.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ, önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı gerekli değildir.

Bununla birlikte, eşdeğer dönüşümler yöntemini kullanarak çözerken ODZ (ve fonksiyonların özellikleri) bilgisinin yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var.

İşte bazı örnekler.

1. . Sağ taraftaki ifadenin pozitif olduğunu ima eden OD3 ve buna eşdeğer bir denklemi şu şekilde yazmak mümkün https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: Ama o zaman ve bu eşitsizliği çözerken sağ tarafın 0'dan küçük olduğu durumu dikkate almaya gerek yok.

3. . ODZ'den şunu takip eder ve bu nedenle https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Git Genel görünümöyle görünüyor:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" genişlik = "303" yükseklik = "24">

İki olası durum vardır: 0 >1.

Bu, orijinal eşitsizliğin aşağıdaki eşitsizlik sistemleri kümesine eşdeğer olduğu anlamına gelir:

İlk sistemin çözümü yok ama ikincisinden şunu elde ediyoruz: x<-1 – решение неравенства.

Denklik koşullarını anlamak bazı inceliklerin bilinmesini gerektirir. Örneğin, aşağıdaki denklemler neden eşdeğerdir:

Veya

Ve son olarak belki de en önemlisi. Gerçek şu ki eşdeğerlik, denklemin kendisinde bazı dönüşümler yapılırsa cevabın doğruluğunu garanti eder, ancak parçalardan yalnızca birindeki dönüşümler için kullanılmaz. Kısaltmalar ve parçalardan birinde farklı formüllerin kullanılması eşdeğerlik teoremlerinin kapsamına girmez. Bu türden bazı örnekleri daha önce vermiştim. Birkaç örneğe daha bakalım.

1. Bu karar doğaldır. Sol tarafta logaritmik fonksiyonun özelliğine göre ..gif" width=111" height=48"> ifadesine geçiyoruz.

Bu sistemi çözdükten sonra sonucu (-2 ve 2) alıyoruz, ancak bu bir cevap değil çünkü -2 sayısı ODZ'ye dahil değil. Peki ODS kurmamız gerekiyor mu? Tabii ki değil. Ancak çözümde logaritmik fonksiyonun belirli bir özelliğini kullandığımız için, bunun sağlandığı koşulları sağlamak zorundayız. Böyle bir durum logaritma işareti..gif" width=65" height=48"> altındaki ifadelerin pozitifliğidir.

2. ..gif" width = "143" height = "27 src = "> sayılar bu şekilde değiştirilmeye tabidir . Kim bu kadar sıkıcı hesaplamalar yapmak ister?.gif" width="12" height="23 src="> bir koşul ekleyin ve yalnızca https://pandia.ru/text/78/083 sayısının olduğunu hemen görebilirsiniz. / bu koşulu karşılıyor Images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) teste katılanların %52'si tarafından kanıtlandı. Oranların bu kadar düşük olmasının nedenlerinden biri de pek çok mezunun denklemin karesi alındıktan sonra elde edilen kökleri seçmemesidir.

3) Örneğin, C1 sorunlarından birinin çözümünü düşünün: “Fonksiyonun grafiğinin noktalarının olduğu tüm x değerlerini bulun. " fonksiyonunun grafiğinin karşılık gelen noktalarının üzerinde yer alır. Görev, logaritmik bir ifade içeren kesirli bir eşitsizliği çözmekle ilgilidir. Bu tür eşitsizlikleri çözme yöntemlerini biliyoruz. Bunlardan en yaygın olanı aralık yöntemidir. Ancak, ne zaman Bunu kullanarak sınava girenler çeşitli hatalar yaparlar. Eşitsizlik örneğini kullanarak en yaygın hataları ele alalım:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.

8. Sonuç

Özetlemek gerekirse denklem ve eşitsizliklerin çözümü için evrensel bir yöntem olmadığını söyleyebiliriz. Her seferinde, ne yaptığınızı anlamak ve mekanik olarak hareket etmek istemiyorsanız, bir ikilem ortaya çıkıyor: özellikle hangi çözümü seçmelisiniz, ODZ'yi aramalı mı aramamalı mı? Kazandığım deneyimin bu ikilemi çözmeme yardımcı olacağını düşünüyorum. ODZ'yi doğru kullanmayı öğrenerek hata yapmayı bırakacağım. Bunu yapıp yapamayacağımı zaman, daha doğrusu Birleşik Devlet Sınavı gösterecek.

9. Edebiyat

Ve diğerleri “Cebir ve analizin başlangıcı 10-11” problem kitabı ve ders kitabı, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “El kitabı ilköğretim matematik.” M.: “Nauka”, 1966. “Matematik” Gazetesi No: 46, Gazete “Matematik” No. Gazete “Matematik” No. “Okul VII-VIII. Sınıflarda Matematik Tarihi”. M.: “Prosveshchenie”, 1982. vb. “Gerçek Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin versiyonlarının en eksiksiz baskısı: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009. vb. “Birleşik Devlet Sınavı. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için evrensel materyaller/FIPI" - M.: "İstihbarat Merkezi", 2009. vb. "Cebir ve analizin başlangıcı 10-11." M .: “Prosveshchenie”, 2007. “Okul matematiğindeki problemlerin çözümü üzerine çalıştay (cebir çalıştayı).” M.: Eğitim, 1976. “25.000 matematik dersi.” M.: “Aydınlanma”, 1993. “Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık.” M.: “Sınav”, 2006. “Çocuklar için Ansiklopedi “MATEMATİK” cilt 11, M.: Avanta +; 2002. www.sitelerden materyaller. *****, www. *****.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler hakkında sizinle iletişim kurmamıza ve Yaklaşan Etkinlikler.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

  • Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Nasıl ?
Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu. Aktif tartışma bu kavram Kümelerle ilgili makalede başladı ve ilk derste devam etti. fonksiyon grafikleri, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun aşağıdaki fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs. Bunlar üzerinde tanımlanır (tüm gerçek sayılar kümesi). Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) - daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Açık bu ders Bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın problemleri ele alacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler yüksek matematiğin diğer problemlerinde de çözüm becerileri gerekli olacaktır. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, hangisi için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak tanım alanında yarım aralık ve “tse” noktası yer almamaktadır ve orada grafik bulunmamaktadır.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Pek çok kişi çocuk tekerlemesini hatırlar: "taş, kağıt, makas" ve bu durumda güvenle başka kelimelerle ifade edilebilir: "kök, kesir ve logaritma." Böylece, eğer hayat yolu Bir kesir, kök veya logaritmayla karşılaştığınızda hemen çok ama çok dikkatli olmalısınız! Teğet, kotanjant, ark sinüs, ark kosinüs çok daha az yaygındır ve bunlardan da bahsedeceğiz. Ama önce karıncaların hayatından kesitler:

Kesir içeren bir fonksiyonun tanım kümesi

Diyelim ki bize bir miktar kesir içeren bir fonksiyon verildi. Bildiğiniz gibi sıfıra bölünemezsiniz: Paydayı sıfıra çeviren “X” değerleri bu fonksiyonun kapsamına dahil değildir..

gibi en basit işlevler üzerinde durmayacağım. vb., çünkü herkes kendi tanım alanına dahil olmayan noktaları mükemmel bir şekilde görür. Daha anlamlı kesirlere bakalım:

örnek 1

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Payda özel bir şey yoktur ancak paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bunu sıfıra eşitleyelim ve “kötü” noktaları bulmaya çalışalım:

Ortaya çıkan denklemin iki kökü vardır: . Veri değerleri fonksiyonun kapsamında değil. Aslında, veya fonksiyonunu yerine koyarsanız paydanın sıfıra gittiğini göreceksiniz.

Cevap: ihtisas:

Giriş şu şekildedir: “Tanım alanı, değerlerden oluşan küme dışındaki tüm gerçek sayılardır. " Matematikte ters eğik çizgi sembolünün mantıksal çıkarmayı, süslü parantezlerin ise kümeyi ifade ettiğini hatırlatayım. Cevap eşdeğer olarak üç aralığın birleşimi olarak yazılabilir:

Kimin hoşuna giderse.

noktalarda fonksiyon tolere eder sonsuz molalar ve denklemlerin verdiği düz çizgiler öyle dikey asimtotlar Bu fonksiyonun grafiği için. Ancak bu biraz farklı bir konu ve ayrıca buna fazla dikkat etmeyeceğim.

Örnek 2

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Görev esasen sözlüdür ve çoğunuz neredeyse anında tanım alanını bulacaksınız. Cevap dersin sonundadır.

Bir kesir her zaman “kötü” mü olacak? HAYIR. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. “x”in hangi değerini alırsak alalım, payda sıfıra gitmeyecek, üstelik her zaman pozitif olacaktır: . Dolayısıyla bu fonksiyonun kapsamı: .

Gibi tüm işlevler tanımlanmış ve sürekli Açık .

Payda ikinci dereceden bir trinomial tarafından işgal edildiğinde durum biraz daha karmaşıktır:

Örnek 3

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Paydanın sıfıra gittiği noktaları bulmaya çalışalım. Bunun için karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Diskriminantın negatif olduğu ortaya çıktı, bu da gerçek köklerin olmadığı ve fonksiyonumuzun tüm sayı ekseninde tanımlandığı anlamına gelir.

Cevap: ihtisas:

Örnek 4

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Tembel olmamanı tavsiye ederim basit problemlerÇünkü yeni örneklerle yanlış anlaşılmalar birikecektir.

Köklü bir fonksiyonun etki alanı

Karekök işlevi yalnızca "x" değerleri için tanımlanır: radikal ifade negatif değildir: . Kök paydada bulunuyorsa, koşul açıkça sıkılaştırılır: . Benzer hesaplamalar pozitif çift dereceli herhangi bir kök için geçerlidir: ancak kök zaten 4. dereceden fonksiyon çalışmaları Hatırlamıyorum.

Örnek 5

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: radikal ifade negatif olmamalıdır:

Çözüme devam etmeden önce, eşitsizliklerle çalışmanın okuldan bilinen temel kurallarını size hatırlatmama izin verin.

itiraz ediyorum Özel dikkat! Şimdi eşitsizlikleri ele alıyoruz tek değişkenli- yani bizim için sadece eksen boyunca bir boyut. Lütfen karıştırmayın iki değişkenin eşitsizlikleri, koordinat düzleminin tamamının geometrik olarak dahil olduğu yer. Ancak hoş tesadüfler de var! Dolayısıyla eşitsizlik için aşağıdaki dönüşümler eşdeğerdir:

1) Şartlar, (şartlar) değiştirilerek bir kısımdan diğerine aktarılabilir. işaretler.

2) Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayı ile çarpılabilir.

3) Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpılırsa olumsuz numara, o zaman değiştirmeniz gerekir bizzat eşitsizliğin işareti. Örneğin “fazla” varsa o zaman “daha ​​az” olur; "küçük veya eşit" ise, o zaman "büyük veya eşit" olur.

Eşitsizlikte “üç”ü hareket ettiriyoruz Sağ Taraf işaret değişikliği ile (kural No. 1):

Eşitsizliğin her iki tarafını –1 ile çarpalım (kural 3):

Eşitsizliğin her iki tarafını da (kural 2) ile çarpalım:

Cevap: ihtisas:

Cevap aynı zamanda eşdeğer bir ifadeyle de yazılabilir: "işlev şurada tanımlıdır."
Geometrik olarak tanım alanı apsis ekseninde karşılık gelen aralıkların gölgelenmesiyle gösterilir. Bu durumda:

Bir kez daha size tanım alanının - fonksiyonun grafiğinin - geometrik anlamını hatırlatıyorum. yalnızca gölgeli alanda bulunur ve 'de yoktur.

Çoğu durumda, tanım alanının tamamen analitik olarak belirlenmesi uygundur, ancak fonksiyon çok karmaşık olduğunda bir eksen çizmeli ve notlar almalısınız.

Örnek 6

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Karekökün altında kare binom veya trinomial olduğunda durum biraz daha karmaşık hale geliyor, şimdi çözüm tekniğini detaylı olarak inceleyeceğiz:

Örnek 7

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Radikal ifade kesinlikle pozitif olmalı, yani eşitsizliği çözmemiz gerekiyor. İlk adımda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmaya çalışıyoruz:

Diskriminant pozitif, kökleri arıyoruz:

Yani parabol apsis eksenini iki noktada keser; bu, parabolün bir kısmının eksenin altında (eşitsizlik) ve parabolün bir kısmının eksenin üzerinde (ihtiyacımız olan eşitsizlik) bulunduğu anlamına gelir.

Katsayı olduğu için parabolün dalları yukarı doğru bakar. Yukarıdakilerden, eşitsizliğin aralıklarda karşılandığı (parabolün dalları sonsuza kadar yukarı doğru uzanır) ve parabolün tepe noktasının, eşitsizliğe karşılık gelen x ekseninin altındaki aralıkta yer aldığı sonucu çıkar:

! Not: Açıklamaları tam olarak anlamadıysanız lütfen ikinci ekseni ve parabolün tamamını çiziniz! Makaleye ve kılavuza geri dönmeniz tavsiye edilir Okul matematik dersi için sıcak formüller.

Eşitsizliğimiz katı olduğundan, noktaların kaldırıldığını (çözüme dahil edilmediğini) lütfen unutmayın.

Cevap: ihtisas:

Genel olarak, pek çok eşitsizlik (dikkate alınanlar dahil) evrensel çözümle çözülür. aralık yöntemi, yine biliniyor Okul müfredatı. Ancak kare binom ve üç terimli durumlarda, bence parabolün eksene göre konumunu analiz etmek çok daha uygun ve daha hızlıdır. Ve makalede ana yöntemi - aralık yöntemini - ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Fonksiyon sıfırları. Sabitlik aralıkları.

Örnek 8

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek, akıl yürütmenin mantığı + ikinci çözüm yöntemi ve eşitsizliğin bir başka önemli dönüşümü hakkında ayrıntılı olarak yorum yapıyor, öğrencinin haberi olmadan tek ayak üzerinde topallayacağı..., ...hmm... belki de heyecanlandım bacak hakkında, daha çok tek ayak parmağında. Baş parmak.

Sayı doğrusunda karekök fonksiyonu tanımlanabilir mi? Kesinlikle. Tüm tanıdık yüzler: . Veya üslü benzer bir toplam: . Aslında, herhangi bir "x" ve "ka" değeri için: , dolayısıyla da ve .

İşte daha az belirgin bir örnek: . Burada diskriminant negatiftir (parabol x eksenini kesmez), parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir, dolayısıyla tanım alanı: .

Tersi soru: Bir fonksiyonun tanım alanı olabilir mi? boş? Evet ve ilkel bir örnek hemen kendini gösteriyor , burada radikal ifade herhangi bir "x" değeri için negatiftir ve tanım alanı: (boş küme simgesi). Böyle bir fonksiyon hiç tanımlanmamıştır (elbette grafik de yanıltıcıdır).

Garip köklerle vesaire. her şey çok daha iyi - burada radikal ifade negatif olabilir. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. Bununla birlikte, payda sıfıra ayarlandığından fonksiyonun hala tanım alanına dahil olmayan tek bir noktası vardır. İşlev için aynı nedenden dolayı puanlar hariçtir.

Logaritmik bir fonksiyonun tanım kümesi

Üçüncü ortak fonksiyon logaritmadır. Örnek olarak, yaklaşık 100 örnekten 99'unda görülen doğal logaritmayı çizeceğim. Belirli bir fonksiyon bir logaritma içeriyorsa, o zaman tanım alanı yalnızca eşitsizliği sağlayan "x" değerlerini içermelidir. Logaritma paydada ise: , o zaman bunlara ek olarak bir koşul empoze edilmiştir ('den beri).

Örnek 9

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Yukarıdakilere uygun olarak sistemi oluşturup çözeceğiz:

Aptallar için grafik çözümü:

Cevap: ihtisas:

Bir teknik nokta daha üzerinde duracağım - ölçeği belirtmiyorum ve eksen boyunca bölümler işaretlenmemiş. Şu soru ortaya çıkıyor: Kareli kağıt üzerine bir defterde bu tür çizimler nasıl yapılır? Noktalar arasındaki mesafe hücreler tarafından kesinlikle ölçeğe göre mi ölçülmeli? Elbette ölçeklendirmek daha kanonik ve daha katıdır, ancak durumu temel olarak yansıtan şematik bir çizim de oldukça kabul edilebilir.

Örnek 10

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Sorunu çözmek için önceki paragrafın yöntemini kullanabilirsiniz - parabolün x eksenine göre nasıl yerleştirildiğini analiz edin. Cevap dersin sonundadır.

Gördüğünüz gibi logaritma alanında her şey kareköklerle ilgili duruma çok benzer: fonksiyon (Örnek No. 7'deki kare trinomial) aralıklarda tanımlanır ve fonksiyon (Örnek No. 6'dan kare binom) aralıkta . Tip fonksiyonlarının sayı doğrusunda tanımlandığını söylemek bile gariptir.

Yardımcı bilgi : tipik fonksiyon ilginçtir, nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlanır. Logaritmanın özelliğine göre “iki” logaritmanın dışında çarpılabilir ancak fonksiyonun değişmemesi için “x”in modül işaretinin altına alınması gerekir: . İşte modülün başka bir “pratik uygulaması” =). Yıkarken çoğu durumda yapmanız gereken şey budur. eşit derece, örneğin: . Örneğin derecenin tabanı açıkça pozitifse, modül işaretine gerek yoktur ve parantezlerin kullanılması yeterlidir: .

Tekrarı önlemek için görevi karmaşıklaştıralım:

Örnek 11

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu fonksiyonda hem kök hem de logaritmaya sahibiz.

Radikal ifade negatif olmamalıdır: ve logaritma işaretinin altındaki ifade kesinlikle pozitif olmalıdır: . Bu nedenle sistemi çözmek gerekir:

Birçoğunuz sistem çözümünün tatmin edici olması gerektiğini çok iyi biliyor veya sezgisel olarak tahmin ediyorsunuz. her birine durum.

Parabolün eksene göre konumunu inceleyerek eşitsizliğin aralık (mavi gölgelendirme) tarafından karşılandığı sonucuna varıyoruz:

Eşitsizlik açıkça “kırmızı” yarı aralığa karşılık gelir.

Her iki koşulun da sağlanması gerektiğinden eşzamanlı ise sistemin çözümü bu aralıkların kesişimidir. " Ortak çıkarlar» yarı aralıkta karşılanır.

Cevap: ihtisas:

Örnek 8'de gösterildiği gibi tipik eşitsizliğin analitik olarak çözülmesi zor değildir.

Bulunan etki alanı "benzer işlevler" için değişmeyecektir, ör. veya . Ayrıca bazı sürekli işlevler de ekleyebilirsiniz, örneğin: veya bunun gibi: , hatta şöyle: . Dedikleri gibi kök ve logaritma inatçı şeylerdir. Tek şey, eğer işlevlerden biri paydaya "sıfırlanırsa", o zaman tanım alanı değişecektir (her ne kadar genel durumda bu her zaman doğru olmasa da). Matan teorisinde bu sözel konu hakkında... ah... teoremler var.

Örnek 12

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İşlev en basit olmadığından çizim kullanmak oldukça uygundur.

Malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha:

Örnek 13

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Sistemi oluşturup çözelim:

Tüm eylemler makale boyunca zaten tartışılmıştır. Eşitsizliğe karşılık gelen aralığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve ikinci koşula göre iki noktayı ortadan kaldıralım:

Anlamın tamamen alakasız olduğu ortaya çıktı.

Cevap: ihtisas

13. örneğin bir varyasyonu üzerine küçük bir matematik oyunu:

Örnek 14

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kaçıranlar şanssız ;-)

Dersin son bölümü daha nadir fakat aynı zamanda “çalışan” işlevlere ayrılmıştır:

Fonksiyon Tanım Alanları
teğetler, kotanjantlar, arksinüsler, arkkosinüsler ile

Eğer bir işlev içeriyorsa, o zaman onun tanım alanından hariç tutuldu puan , Nerede Z– bir tamsayılar kümesi. Özellikle makalede belirtildiği gibi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri işlevi aşağıdaki değerlere sahiptir:

Yani teğetin tanım alanı: .

Çok fazla öldürmeyelim:

Örnek 15

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu durumda aşağıdaki hususlar tanım alanına dahil edilmeyecektir:

Sol tarafın "ikisini" sağ tarafın paydasına atalım:

Sonuç olarak :

Cevap: ihtisas: .

Prensipte cevap sonsuz sayıda aralığın birleşimi olarak yazılabilir, ancak yapımı çok hantal olacaktır:

Analitik çözüm tamamen tutarlıdır. grafiğin geometrik dönüşümü: Bir fonksiyonun argümanı 2 ile çarpılırsa grafiği eksene iki kez küçülür. Fonksiyonun periyodunun nasıl yarıya indirildiğine dikkat edin ve kırılma noktaları sıklığı iki katına çıktı. Taşikardi.

Kotanjant ile benzer bir hikaye. Eğer bir fonksiyon şunu içeriyorsa, o zaman noktalar onun tanım alanının dışında bırakılır. Özellikle otomatik seri çekim işlevi için aşağıdaki değerleri çekiyoruz:

Başka bir deyişle:

Değişken içeren herhangi bir ifadenin, mevcut olduğu yerde kendi geçerli değer aralığı vardır. Karar verirken ODZ her zaman dikkate alınmalıdır. Eksik olması durumunda hatalı sonuç alabilirsiniz.

Bu makale ODZ'nin nasıl doğru şekilde bulunacağını ve örneklerin nasıl kullanılacağını gösterecektir. Karar verirken DZ'yi belirtmenin önemi de tartışılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geçerli ve geçersiz değişken değerleri

Bu tanım değişkenin izin verilen değerleri ile ilgilidir. Tanımı tanıttığımızda bakalım nasıl bir sonuca varacak.

7. sınıftan itibaren sayılarla çalışmaya başlıyoruz ve sayısal ifadeler. Değişkenlerle yapılan ilk tanımlar, seçilen değişkenlerle ifadelerin anlamlarına geçer.

Seçilen değişkenlere sahip ifadeler olduğunda bazıları tatmin edici olmayabilir. Örneğin, 1: a formunun ifadesi, eğer a = 0 ise, o zaman sıfıra bölmek imkansız olduğu için mantıklı değildir. Yani ifadenin her durumda uygun ve cevap verecek değerlere sahip olması gerekir. Başka bir deyişle mevcut değişkenlerle anlam kazanırlar.

Tanım 1

Değişkenleri olan bir ifade varsa, o zaman yalnızca değerin yerine konulmasıyla hesaplanabiliyorsa anlamlıdır.

Tanım 2

Değişkenleri olan bir ifade varsa, bunları değiştirirken değerin hesaplanamamasının bir anlamı yoktur.

Yani bu tam bir tanım anlamına gelir

Tanım 3

Mevcut kabul edilebilir değişkenler, ifadenin anlamlı olduğu değerlerdir. Ve eğer mantıklı değilse, o zaman kabul edilemez sayılırlar.

Yukarıdakileri açıklığa kavuşturmak gerekirse: birden fazla değişken varsa, o zaman bir çift uygun değer olabilir.

örnek 1

Örneğin, üç değişkenin olduğu 1 x - y + z formundaki bir ifadeyi düşünün. Aksi taktirde x = 0, y = 1, z = 2 şeklinde yazabilirsiniz, diğer bir girdi ise (0, 1, 2) şeklindedir. Bu değerlere geçerli denir, yani ifadenin değeri bulunabilir. 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 sonucunu elde ederiz. Buradan (1, 1, 2)'nin kabul edilemez olduğunu görüyoruz. Değiştirme sıfıra bölünmeyle sonuçlanır, yani 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ nedir?

Kabul edilebilir değerlerin aralığı cebirsel ifadeleri değerlendirirken önemli bir unsurdur. Bu nedenle hesaplama yaparken buna dikkat etmekte fayda var.

Tanım 4

ODZ alanı belirli bir ifade için izin verilen değerler kümesidir.

Örnek bir ifadeye bakalım.

Örnek 2

5 z - 3 biçiminde bir ifademiz varsa, o zaman ODZ (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) biçimine sahiptir. Bu, belirli bir ifade için z değişkenini karşılayan geçerli değerler aralığıdır.

z x - y biçiminde ifadeler varsa, x ≠ y, z'nin herhangi bir değer alacağı açıktır. Buna ODZ ifadeleri denir. Değiştirme sırasında sıfıra bölünmeyi elde etmemek için dikkate alınmalıdır.

İzin verilen değer aralığı ve tanım aralığı aynı anlama sahiptir. Bunlardan sadece ikincisi ifadeler için, ilki denklemler veya eşitsizlikler için kullanılır. DL'nin yardımıyla ifade veya eşitsizlik anlamlı hale gelir. Fonksiyonun tanım alanı, f (x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığı ile çakışmaktadır.

ODZ'yi nasıl bulabilirim? Örnekler, çözümler

ODZ'yi bulmak, uygun tüm geçerli değerleri bulmak anlamına gelir verilen fonksiyon veya eşitsizlik. Bu koşulların sağlanmaması hatalı sonuçlara yol açabilir. ODZ'yi bulmak için genellikle belirli bir ifadede dönüşümlerden geçmek gerekir.

Hesaplanmasının imkansız olduğu ifadeler vardır:

  • sıfıra bölme varsa;
  • negatif bir sayının kökünü almak;
  • negatif tam sayı göstergesinin varlığı – yalnızca pozitif sayılar için;
  • negatif bir sayının logaritmasının hesaplanması;
  • tanjant π 2 + π · k, k ∈ Z ve kotanjant π · k, k ∈ Z'nin tanım alanı;
  • [-1'e ait olmayan bir değer için bir sayının arksinüs ve arkkosinüsünün değerini bulma; 1 ] .

Bütün bunlar ODZ'ye sahip olmanın ne kadar önemli olduğunu gösteriyor.

Örnek 3

ODZ ifadesini bulun x 3 + 2 x y − 4 .

Çözüm

Herhangi bir sayının küpü alınabilir. Bu ifadenin kesri yoktur, dolayısıyla x ve y'nin değerleri herhangi biri olabilir. Yani ODZ herhangi bir sayıdır.

Cevap: x ve y – herhangi bir değer.

Örnek 4

1 3 - x + 1 0 ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Paydanın sıfır olduğu bir kesirin olduğu görülebilir. Bu, herhangi bir x değeri için sıfıra bölünmeyi elde edeceğimiz anlamına gelir. Bu, bu ifadenin tanımsız kabul edildiği, yani herhangi bir ek yükümlülüğü olmadığı sonucuna varabileceğimiz anlamına gelir.

Cevap: ∅ .

Örnek 5

Verilen x + 2 · y + 3 - 5 · x ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Karekökün varlığı, bu ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir. Şu tarihte: olumsuz değer mantıklı değil. Bu, x + 2 · y + 3 ≥ 0 biçiminde bir eşitsizliği yazmanın gerekli olduğu anlamına gelir. Yani bu, kabul edilebilir değerlerin istenen aralığıdır.

Cevap: x + 2 y + 3 ≥ 0 olmak üzere x ve y kümesi.

Örnek 6

1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) formunun ODZ ifadesini belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak bir kesirimiz var, dolayısıyla paydası sıfıra eşit olmamalıdır. x + 1 - 1 ≠ 0 sonucunu elde ederiz. Radikal ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunda, yani x + 1 ≥ 0 olduğunda her zaman anlamlıdır. Logaritması olduğundan ifadesi kesinlikle pozitif olmalıdır, yani x 2 + 3 > 0 olmalıdır. Logaritmanın tabanı da olmalıdır pozitif değer ve 1'den farklıysa x + 8 > 0 ve x + 8 ≠ 1 koşullarını toplarız. İstenilen ODZ'nin şu şekli alacağı anlaşılmaktadır:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Başka bir deyişle tek değişkenli eşitsizlikler sistemi denir. Çözüm aşağıdaki ODZ gösterimine yol açacaktır [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Cevap: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Değişimi yönlendirirken DPD'yi dikkate almak neden önemlidir?

Kimlik dönüşümleri sırasında ODZ'yi bulmak önemlidir. ODZ'nin varlığının gerçekleşmediği durumlar vardır. Belirli bir ifadenin bir çözümü olup olmadığını anlamak için, orijinal ifadenin değişkenlerinin VA'sını ve sonuçta ortaya çıkan değişkenlerin VA'sını karşılaştırmanız gerekir.

Kimlik dönüşümleri:

  • DL'yi etkilemeyebilir;
  • DZ'nin genişlemesine veya eklenmesine yol açabilir;
  • DZ'yi daraltabilir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 7

Eğer x 2 + x + 3 · x şeklinde bir ifademiz varsa, o zaman bunun ODZ'si tüm tanım alanı boyunca tanımlanır. Benzer terimler getirildiğinde ve ifade basitleştirildiğinde bile ODZ değişmez.

Örnek 8

Eğer x + 3 x − 3 x ifadesini örnek alırsak işler farklıdır. Kesirli bir ifademiz var. Ve sıfıra bölmenin kabul edilemez olduğunu biliyoruz. O halde ODZ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) biçimine sahiptir. Sıfırın çözüm olmadığı görülüyor, bu yüzden parantez içinde ekliyoruz.

Radikal bir ifadenin varlığına sahip bir örneği ele alalım.

Örnek 9

Eğer x - 1 · x - 3 varsa, bu durumda (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 eşitsizliği olarak yazılması gerektiğinden ODZ'ye dikkat etmelisiniz. Aralık yöntemiyle çözmek mümkündür, o zaman ODZ'nin (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) formunu alacağını buluruz. x - 1 · x - 3'ü dönüştürdükten ve köklerin özelliğini uyguladıktan sonra, ODZ'nin tamamlanabileceğine ve her şeyin x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ biçiminde bir eşitsizlik sistemi biçiminde yazılabileceğine sahip oluruz. 0. Bunu çözerken şunu buluruz: [ 3 , + ∞) . Bu, ODZ'nin tamamen şu şekilde yazıldığı anlamına gelir: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZ'yi daraltan dönüşümlerden kaçınılmalıdır.

Örnek 10

x = - 1 olduğunda x - 1 · x - 3 ifadesinin bir örneğini ele alalım. Yerine koyarken şunu elde ederiz: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Bu ifadeyi dönüştürüp x - 1 · x - 3 biçimine getirirsek, hesaplama yaparken 2 - 1 · 2 - 3 ifadesini buluruz, çünkü kök ifadenin negatif olmaması gerekir.

ODZ'nin değişmeyeceği aynı dönüşümlere bağlı kalmak gerekir.

Üzerine genişleyen örnekler varsa o zaman DL'ye eklenmelidir.

Örnek 11

x x 3 + x formunun kesirli örneğine bakalım. Eğer x ile sadeleştirirsek, o zaman 1 x 2 + 1 elde ederiz. Daha sonra ODZ genişler ve (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) olur. Üstelik hesaplarken zaten ikinci basitleştirilmiş kesirle çalışıyoruz.

Logaritmaların varlığında durum biraz farklıdır.

Örnek 12

ln x + ln (x + 3) biçiminde bir ifade varsa, logaritmanın özelliğine bağlı olarak bunun yerine ln (x · (x + 3)) kullanılır. Buradan ODZ'nin (0 , + ∞)'dan (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)'a kadar olduğunu görebiliriz. Bu nedenle ODZ ln (x · (x + 3))'i belirlemek için ODZ, yani (0, + ∞) kümesi üzerinde hesaplamalar yapmak gerekir.

Çözerken her zaman koşulun verdiği ifadenin yapısına ve türüne dikkat etmek gerekir. Tanım alanı doğru bulunursa sonuç olumlu olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.



 

Okumak faydalı olabilir: