En az eylem ilkesi nasıl ortaya çıktı? En az eylem ilkesi

Ben okuldayken Bader isimli fizik öğretmenimiz bir dersten sonra beni evine çağırdı ve şöyle dedi: “Her şeyden çok yorulmuş gibisin; ilginç bir şeyler dinle." Ve bana gerçekten büyüleyici olduğunu düşündüğüm bir şey söyledi. Şimdi bile aradan çok zaman geçmesine rağmen beni büyülemeye devam ediyor. Ve ne söylendiğini her hatırladığımda işime geri dönüyorum. Ve bu sefer derse hazırlanırken kendimi yine aynı şeyleri analiz ederken buldum. Ve derse hazırlanmak yerine karar verdim. Yeni görev. Bahsettiğim konu en az eylem ilkesi

- O zaman Bader hocamın bana söylediği buydu: “Örneğin, yerçekimi alanında bir parçacığınız olsun; bir yerden ayrılan bu parçacık, bir yerden başka bir noktaya serbestçe hareket eder. Diyelim ki onu yukarı fırlattınız ve havalandı ve sonra düştü.

Başlangıç noktasından bitiş noktasına kadar biraz zaman aldı. Şimdi başka bir hareket deneyin. Diyelim ki "buradan buraya" gitmek için eskisi gibi değil, şöyle hareket etti:

Ama yine de kendimi eskisi gibi aynı anda doğru yerde buldum.

"Öyleyse," diye devam etti öğretmen, "parçacığın yolu üzerindeki her bir andaki kinetik enerjiyi hesaplar, ondan potansiyel enerjiyi çıkarır ve farkı hareketin gerçekleştiği tüm süre boyunca entegre ederseniz, Alacağınız sayının olacağını görün Daha, parçacığın gerçek hareketinden daha

Başka bir deyişle, Newton yasaları F = ma şeklinde değil, şu şekilde formüle edilebilir: ortalama kinetik enerji eksi ortalama potansiyel enerji kendi değerine ulaşır. en küçük değer bir nesnenin fiilen bir yerden başka bir yere hareket ettiği yörünge üzerinde.

Size biraz daha açık anlatmaya çalışacağım.
Yerçekimi alanını alırsak ve parçacığın yörüngesini belirlersek X(T), Nerede X yerden yüksekliktir (şimdilik bir ölçümle idare edeceğiz; yörüngenin yanlara değil sadece yukarı ve aşağı çalışmasına izin verin), o zaman kinetik enerji y 2 M(dx/ dt) 2 , bir herhangi bir zamanda potansiyel enerji şuna eşit olacaktır: mgx.

Şimdi, yörünge boyunca bir hareket anı için, kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkı alıyorum ve baştan sona tüm zaman boyunca bütünleştiriyorum. İlk anda izin ver tx Hareket belli bir yükseklikten başlayıp bir anda sona erdi. T 2 farklı bir yükseklikte.

O zaman integral ∫ t2 t1 dt'dir.

Gerçek hareket bir eğri boyunca yapılır (zamanın bir fonksiyonu olarak bir paraboldür) ve integralin belirli bir değerine yol açar. Ama sen yapabilirsin öncekoymak başka bir hareket: önce keskin bir yükseliş, sonra bazı tuhaf dalgalanmalar.

Bu yol boyunca potansiyel ve kinetik enerjiler arasındaki farkı hesaplayabilirsiniz... veya başka bir yol. Ve en çarpıcı şey, gerçek yolun bu integralin en küçük olduğu yol olmasıdır.
Hadi kontrol edelim. Başlangıç olarak şu durumu inceleyeceğiz: serbest bir parçacığın hiçbir potansiyel enerjisi yoktur. O zaman kural, belirli bir zamanda bir noktadan diğerine hareket ederken kinetik enerjinin integralinin en küçük olması gerektiğini söyler. Bu da parçacığın düzgün hareket etmesi gerektiği anlamına gelir. (Ve haklı olarak, sen ve ben böyle bir harekette hızın sabit olduğunu biliyoruz.) Ve neden eşit? Hadi çözelim. Aksi olsaydı, o zaman parçacığın hızı bazen ortalamanın üzerine çıkar, bazen de onun altında kalırdı ve ortalama hız aynı olurdu, çünkü parçacığın "buradan buraya" gitmesi gerekirdi. kararlaştırılan zaman. Örneğin, evden okula belirli bir süre içinde arabanızla gitmeniz gerekiyorsa, bunu farklı şekillerde yapabilirsiniz: önce deli gibi sürebilir ve sonunda yavaşlayabilir veya aynı hızda gidebilirsiniz. veya hatta geri gidebilir ve ancak o zaman okula dönebilirsiniz vb. Her durumda, ortalama hız, elbette aynı olmalıdır - evden okula olan mesafenin zamana bölümü bölümü. Ancak bu ortalama hızda bile bazen çok hızlı, bazen çok yavaş hareket ettiniz. Bir medyum kare ortalamadan sapan bir şeyin her zaman ortalamanın karesinden büyük olduğu bilinir; bu, hareket hızındaki dalgalanmalar sırasındaki kinetik enerjinin integralinin, sabit bir hızda hareket ederken olduğundan her zaman daha büyük olacağı anlamına gelir. Hız sabit olduğunda (kuvvetlerin yokluğunda) integralin minimuma ulaşacağını görüyorsunuz. Bu doğru yol.

Yerçekimi alanına fırlatılan bir nesne önce hızlı bir şekilde yükselir ve sonra giderek daha yavaş yükselir. Bunun nedeni onun da potansiyel enerjisinin olması ve en küçük değere ulaşması gerektiğidir. bir kereness kinetik ve potansiyel enerjiler arasında.. Potansiyel enerji yükseldikçe arttığından, o zaman daha küçük fark potansiyel enerjinin yüksek olduğu yüksekliklere olabildiğince çabuk ulaşırsanız ortaya çıkacaktır. Daha sonra bu yüksek potansiyeli kinetik enerjiden çıkararak ortalamada bir azalma elde ederiz. Bu nedenle, yukarı çıkıp potansiyel enerji pahasına iyi bir negatif parça sağlamak daha karlı.

Öğretmenimin bana söylediği tek şey buydu çünkü o çok iyi bir öğretmendi ve ne zaman duracağını biliyordu. Ne yazık ki ben öyle değilim. Zamanında durmak benim için zor. Ve bu yüzden, ilginizi hikayemle canlandırmak yerine, gözünüzü korkutmak istiyorum, hayatın karmaşıklığından bıkmanızı istiyorum - söylediklerimi kanıtlamaya çalışacağım. Çözeceğimiz matematik problemi çok zor ve tuhaf. biraz değer var S, isminde aksiyon. Kinetik enerji eksi zamanla entegre potansiyel enerjiye eşittir:

Ancak öte yandan, çok fazla kinetik enerji gerektireceğinden ne çok hızlı hareket edebilir ne de çok yükseğe tırmanabilirsiniz. Emrinizde olan zaman sınırı içinde yukarı ve aşağı gitmek için yeterince hızlı hareket etmelisiniz. Bu yüzden çok yükseğe uçmaya çalışmamalısınız, sadece makul bir seviyeye ulaşmanız gerekiyor. Sonuç olarak, çözümün mümkün olduğu kadar çok potansiyel enerji elde etme arzusu ile kinetik enerji miktarını mümkün olduğunca azaltma arzusu arasında bir tür denge olduğu ortaya çıktı - bu, maksimum azalmayı elde etme arzusudur. kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkta.

şunu unutma p.e. ve c.e.'nin her ikisi de zamanın işlevleridir. Akla gelebilecek herhangi bir yeni yol için, bu eylem kesin anlamını alır. Matematiksel problem, bu sayının hangi eğri için diğerlerinden daha az olduğunu belirlemektir.

“Ah, bu sadece tipik bir yüksek ve düşük örnek. Eylemi saymalı, ayırt etmeli ve minimumu bulmalıyız.

Fakat bekle. Genellikle bir değişkenin işlevine sahibiz ve değeri bulmamız gerekir. değişken, fonksiyonun en küçük veya en büyük olduğu yer. Diyelim ki ortasında ısıtılmış bir çubuk var. Isı boyunca yayılır ve çubuğun her noktasında bir sıcaklık ayarlanır. En yüksek olduğu noktayı bulmanız gerekiyor. Ama tamamen farklı bir şeyden bahsediyoruz - uzaydaki her yol numarasına cevap verir ve onu bulması gerekir yol, bunun için bu sayı minimumdur. Bu tamamen farklı bir matematik alanıdır. Bu sıradan bir hesap değil, ama değişken(ona böyle diyorlar).

Matematiğin bu alanında birçok problem var. Örneğin, bir daire genellikle belirli bir noktadan uzaklıkları aynı olan noktaların yeri olarak tanımlanır, ancak bir daire başka bir şekilde tanımlanabilir: eğrilerden biridir. verilen uzunluk, en büyük alan hangisidir. Aynı çevreye sahip başka herhangi bir eğri, daireden daha küçük bir alanı çevreler. Öyleyse, görevi belirlersek: en geniş alanı sınırlayan belirli bir çevre eğrisini bulmak için, o zaman alışık olduğunuz hesaptan değil, varyasyon hesabından bir görevimiz olacaktır.

Yani, cismin kat ettiği yol boyunca integral almak istiyoruz. Bu şekilde yapalım. Bütün mesele, doğru bir yol olduğunu ve çizdiğimiz diğer herhangi bir eğrinin gerçek bir yol olmadığını hayal etmektir, böylece onun eylemini hesaplarsak, buna karşılık gelen eylem için elde ettiğimizden daha büyük bir sayı elde ederiz. gerçek yol

Yani görev, doğru yolu bulmaktır. Nereye koşuyor? Elbette bir yol, milyonlarca ve milyonlarca yol için eylemi hesaplamak ve ardından hangi yolun en küçük eyleme sahip olduğunu görmek olacaktır. Bu, eylemin minimum olduğu ve gerçek olacağı yoldur.

Bu yol oldukça mümkündür. Ancak, daha kolay hale getirilebilir. Minimuma sahip bir nicelik varsa (örneğin sıcaklık gibi olağan işlevlerden), o zaman minimumun özelliklerinden biri, ondan belli bir mesafeden uzaklaşırken olmasıdır. Birinci küçüklük sırasına göre, fonksiyon minimum değerinden yalnızca miktar kadar sapar ikinci emir. Ve eğrinin başka herhangi bir yerinde, küçük bir mesafe kayması, fonksiyonun değerini küçüklüğün birinci mertebesinden bir değer kadar da değiştirir. Ancak en azından, ilk yaklaşımda yana doğru küçük sapmalar fonksiyonda bir değişikliğe yol açmaz.

Bu, gerçek yolu hesaplamak için kullanacağımız özelliktir.

Yol doğruysa, ondan biraz farklı bir eğri, ilk yaklaşım olarak, eylemin büyüklüğünde bir değişikliğe yol açmayacaktır. Tüm değişiklikler, eğer gerçekten bir minimum ise, yalnızca ikinci yaklaşımda gerçekleşecektir.

Bunu kanıtlamak kolaydır. Eğriden bir miktar sapma için birinci sırada değişiklikler varsa, o zaman bu değişiklikler eylemdedir. orantılı sapma. Eylemi artırmaları muhtemeldir; aksi takdirde minimum olmaz. Ama zaman değişir orantılı sapma, ardından sapmanın işaretini değiştirmek eylemi azaltacaktır. Bir tarafa sapma ile eylemin arttığı ve ters yönde sapma ile azaldığı ortaya çıktı. Bunun gerçekten minimum olması için tek olasılık, ilk yaklaşım olarak hiçbir değişikliğin olmaması ve değişikliğin gerçek yoldan sapmanın karesiyle orantılı olmasıdır.

Böylece, şu yolu izleyeceğiz: şununla göster: X(T) (aşağıda bir çizgi ile) gerçek yol, bulmak istediğimiz yoldur. Biraz deneme sürüşü yapalım X(T), İstenen olandan küçük bir miktar farklı, ki bunu belirtiyoruz η (T).

Fikir şu ki, eylemi sayarsak S yolda X(T), o zaman bunun arasındaki fark S ve yol için hesapladığımız işlem X(T) (basitlik için, belirtilecektir S), veya arasındaki fark S_ Ve S, ilk yaklaşımda olmalıdır η sıfır. İkinci mertebede farklılık gösterebilirler, ancak birinci mertebede farkın sıfır olması gerekir.

Ve bu, herhangi bir η . Ancak, herkes için pek değil. Yöntem, yalnızca tümü aynı nokta çiftinde başlayan ve biten yolların dikkate alınmasını gerektirir, yani her yol şu anda belirli bir noktada başlamalıdır. T 1 ve şu anda başka bir belirli noktada bitiyor T 2 . Bu noktalar ve anlar sabittir. Yani fonksiyonumuz d) (sapma) her iki uçta da sıfır olmalıdır: η (T 1 )= 0 Ve η (t2)=0. Bu koşul altında, matematiksel problemimiz tamamen tanımlanmış hale gelir.

Diferansiyel hesabı bilmiyorsanız, sıradan bir fonksiyonun minimumunu bulmak için aynı şeyi yapabilirsiniz. F(X). alsan ne olur düşünür müsün F(X) ve ekle X küçük miktar H, ve değişikliğin F(X) tarafından ilk sırada H en az sıfır olmalıdır. çerçeveler misin x+H yerine X ve j(x+h)'yi birinci kuvvete kadar genişletin H. . ., tek kelimeyle, yapmayı düşündüğümüz her şeyi tekrar ederdi η .

Şimdi buna yakından bakarsak burada yazılan ilk iki terimin o eyleme karşılık geldiğini görürüz. S, istenen doğru yol için yazacağım X. Dikkatinizi değişime odaklamak istiyorum S, yani, arasındaki fark üzerine S ve konular S_, doğru yol için elde edilecek olan. Bu farkı şöyle yazacağız. bS ve varyasyon diyoruz S. "İkinci ve daha yüksek siparişleri" atarak, şunu elde ederiz: σS

Şimdi görev şuna benziyor. İşte önümde bir integral var. Henüz nasıl bir şey olduğunu bilmiyorum, ama kesinlikle ne olduğunu biliyorum, ne η Almayacağım, bu integral sıfıra eşit olmalı. "Pekala," diye düşünebilirsiniz, tek olasılık Bunun için çarpan şu şekildedir: η sıfıra eşitti. Peki ya ilk dönem, nerede D η / dt? Diyorsun ki: "Eğer η hiçe dönüşürse türevi aynı hiçtir; yani katsayı dv\/ dt da sıfır olmalıdır. Bu tamamen doğru değil. Bu tamamen doğru değil çünkü sapma arasında η ve türevi arasında bir bağlantı vardır; tamamen bağımsız değiller çünkü η (T) sıfır olmalı ve t1 ve de T 2 .

Varyasyonlar hesabının tüm problemlerini çözerken, her zaman aynı genel ilke kullanılır. Değiştirmek istediğinizi biraz değiştirirsiniz (tıpkı ekleyerek yaptığımız gibi) η ), birinci sıranın şartlarına bir göz atın, Daha sonra her şeyi şu formda bir integral elde edecek şekilde düzenleyin: “kaydırma (η ), ortaya çıkan şeyle çarpılır, "ancak herhangi bir türevi yoktur. η (HAYIR D η / dt). Her şeyi öyle bir şekilde dönüştürmek kesinlikle gereklidir ki, geriye “bir şey” çarpılarak kalır. η . Şimdi bunun neden bu kadar önemli olduğunu anlayacaksınız. (Bazı durumlarda bunu herhangi bir hesaplama yapmadan nasıl yapabileceğinizi anlatan formüller vardır; ancak bunlar öğrenmeye değecek kadar genel değildir; hesaplamaları bizim yaptığımız gibi yapmak en iyisidir.)

Bir siki nasıl yeniden yapabilirim D η / dt, içinde görünmek η ? Bunu parçalara göre entegre ederek başarabilirim. Varyasyon hesabında tüm hilenin varyasyonu yazmak olduğu ortaya çıktı. S ve sonra türevleri olacak şekilde parçalara göre entegre edin η ortadan kayboldu. Türevlerin göründüğü tüm problemlerde aynı numara yapılır.

Hatırlamak Genel prensip Parçalara göre entegrasyon. f ile çarpılmış rastgele bir fonksiyonunuz varsa D η / dt ve üzerinde entegre T, sonra türevini yazarsın η /T

Entegrasyonun sınırları ilk terime yerleştirilmelidir. t1 Ve T 2 . Daha sonra integralin altına parçalı entegrasyondan bir terim ve dönüşüm sırasında değişmeden kalan son terime gireceğim.
Ve şimdi olan şey, her zaman olan şeydir - bütünleşik kısım kaybolur. (Ve eğer ortadan kaybolmazsa, o zaman ilke yeniden formüle edilmeli ve bu tür bir ortadan kaybolmayı sağlayan koşullar eklenmelidir!) Bunu daha önce söylemiştik. η yolun sonunda sıfıra eşit olmalıdır. Sonuçta, prensibimiz nedir? Değişken eğrinin seçilen noktalarda başlaması ve bitmesi koşuluyla eylem minimumdur. Bu demektir η (t 1)=0 ve η (t2)=0. Bu nedenle, entegre terim sıfıra eşit olur. Geri kalan üyeleri bir araya toplayıp yazıyoruz.

varyasyon S artık ona vermek istediğimiz şekli almıştır: bir şey parantez içindedir (gösterelim F), ve tüm bunlar ile çarpılır η (T) ve entegre t t önce T 2 .
Bazı ifadelerin integralinin η ile çarpıldığı ortaya çıktı. (T), her zaman sıfırdır:

Bazı işlevler değer T; ile çarp η (T) ve baştan sona entegre edin. Ve her ne ise η, sıfır alıyorum Bunun anlamı, işlevin F(T) sıfıra eşittir. Genel olarak, bu açıktır, ancak her ihtimale karşı size bunu kanıtlamanın yollarından birini göstereceğim.

η olarak olsun (T) Her yerde sıfır olan bir şey seçeceğim, herkes için T, önceden seçilmiş bir değer dışında T. Ben oraya gelene kadar sıfır kalır. T, H sonra bir an zıplar ve hemen geri çekilir. Bu m)'nin integralini bir fonksiyonla çarparak alırsanız F, sıfır olmayan bir şey elde edebileceğiniz tek yer η (T) atladı; ve değerini alacaksın F bu noktada atlama üzerinden integral üzerinde. Atlama integrali kendi başına sıfıra eşit değildir, ancak ile çarpıldıktan sonra F sıfır vermelidir. Bu, atlamanın olduğu yerdeki fonksiyonun sıfır olması gerektiği anlamına gelir. Ancak sıçrama herhangi bir yerde yapılabilirdi; Araç, F her yerde sıfır olmalı

İntegralimizin herhangi biri için sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. η , daha sonra katsayı η sıfıra gitmeli Eylem integrali, böyle karmaşık bir diferansiyel denklemi sağlayacak yolda minimuma ulaşır:

Aslında o kadar da zor değil; onunla daha önce tanışmıştın. Sadece F=ma. İlk terim kütle çarpı ivmedir; ikincisi, potansiyel enerjinin, yani kuvvetin türevidir.

Böylece, (en azından muhafazakar bir sistem için) en az eylem ilkesinin doğru cevaba götürdüğünü gösterdik; minimum eyleme sahip yolun Newton yasasını karşılayan yol olduğunu iddia ediyor.

Bir açıklama daha yapmak gerekiyor. bunu kanıtlamadım minimum. Belki de bu maksimumdur. Aslında, bu minimum olmak zorunda değildir. Burada her şey, optik okurken tartıştığımız "en kısa süre ilkesi" ile aynıdır. Orada da ilk önce "en kısa" zamandan bahsettik. Ancak, bu sürenin mutlaka "en kısa" olmadığı durumlar olduğu ortaya çıktı. Temel ilke, herhangi bir birinci dereceden sapmalar optik yoldan değişiklikler zamanda sıfıra eşit olacaktır; burada aynı hikaye. "Minimum" ile gerçekten, miktardaki değişikliğin küçüklüğünün ilk sırasını kastediyoruz. S yoldan sapmalar için sıfıra eşit olmalıdır. Ve "minimum" olmak zorunda değildir.

Şimdi bazı genellemelere geçmek istiyorum. Her şeyden önce, tüm bu hikaye üç boyutlu olarak yapılabilir. basit yerine X o zaman yapardım x, y Ve z işlev olarak T, ve eylem daha karmaşık görünecektir. 3B harekette toplam kinetik enerjiyi kullanmanız gerekir): (t/2), tüm hızın karesiyle çarpılır. Başka bir deyişle

Ayrıca, potansiyel enerji artık bir fonksiyondur. x, y Ve Z. Yol hakkında ne söylenebilir? Yol, uzayda belirli bir genel eğridir; çizmek o kadar kolay değil ama fikir aynı kalıyor. Peki ya η? η'nin de üç bileşeni var. Yol hem x hem de içinde kaydırılabilir y, ve tarafından z, veya aynı anda üç yönde de. Bu yüzden η şimdi bir vektör. Bundan güçlü komplikasyonlar elde edilmez. Sadece varyasyonlar sıfıra eşit olması gerektiğinden birinci derece, daha sonra üç vardiya ile ardışık olarak hesaplama yapmak mümkündür. İlk önce hareket edebilirsin C sadece yönde X ve katsayının sıfıra gitmesi gerektiğini söyleyin. Bir denklem elde edersiniz. sonra hareket edeceğiz C yöne de ve ikincisini al. Sonra yönde hareket ediyoruz z ve üçüncüyü al. İsterseniz her şeyi farklı bir sırayla yapabilirsiniz. Öyle olsa bile, üçlü bir denklem ortaya çıkıyor. Ancak Newton yasası aynı zamanda her bileşen için bir tane olmak üzere üç boyutlu üç denklemdir. Tüm bunların üç boyutta çalıştığını kendiniz görmeniz gerekiyor (burada fazla iş yok). Bu arada, kutupsal, istediğiniz herhangi bir koordinat sistemini alabilir ve bir kayma meydana geldiğinde ne olduğunu göz önünde bulundurarak bu sistemle ilgili Newton yasalarını hemen elde edebilirsiniz. η bir yarıçap boyunca veya bir açı boyunca vb.

Yöntem ayrıca keyfi sayıda parçacık için genelleştirilebilir. Diyelim ki, iki parçacığınız varsa ve aralarında bazı kuvvetler hareket ediyorsa ve karşılıklı bir potansiyel enerji varsa, o zaman basitçe kinetik enerjilerini toplar ve potansiyel etkileşim enerjisini toplamdan çıkarırsınız. Neyi değiştiriyorsun? yollar ikisi birden parçacıklar. Daha sonra üç boyutta hareket eden iki parçacık için altı denklem ortaya çıkar. Parçacık 1'in konumunu yönde değiştirebilirsiniz. X, yöne de ve yönde z, ve aynısını 2. parçacık için yapın, yani altı denklem var. Ve öyle olmalı. Üç denklem, 1. parçacığın üzerine etki eden kuvvet cinsinden ivmesini belirler ve diğer üç denklem, 2. parçacığın üzerine etki eden kuvvet nedeniyle ivmesini belirler. Her zaman oyunun aynı kurallarına uyun ve rastgele sayıda parçacık için Newton yasasını elde edeceksiniz.

Newton yasasını alacağız dedim. Bu tamamen doğru değildir, çünkü Newton yasası sürtünme gibi korunumlu olmayan kuvvetleri de içerir. Newton iddia etti O herhangi bir F'ye eşittir. En az etki ilkesi yalnızca aşağıdakiler için geçerlidir: tutucuöyle ki tüm kuvvetler potansiyel bir fonksiyondan türetilebilir. Ama bilirsiniz ki mikroskobik düzeyde, yani en derinde fiziksel seviye, korunumlu olmayan kuvvet yoktur. Korunumsuz kuvvetler (sürtünme gibi) yalnızca mikroskobik karmaşık etkileri ihmal etmemizden kaynaklanır: analiz edilecek çok fazla parçacık vardır. Esas aynı yasalar mayıs en az eylem ilkesi olarak ifade edilebilir.

Daha genellemelere geçeyim. Parçacık göreceli olarak hareket ettiğinde ne olacağıyla ilgilendiğimizi varsayalım. Doğru göreli hareket denklemini elde edene kadar; F=ma yalnızca göreli olmayan hareketlerde doğrudur. Şu soru ortaya çıkıyor: göreli durumda karşılık gelen bir en az eylem ilkesi var mı? Evet var. Göreceli durumdaki formül şöyledir:

Eylem integralinin ilk kısmı, kalan kütlenin ürünüdür. t 0 Açık 2'den beri ve hız fonksiyonunun integrali üzerinde √ (1-v2/c 2 ). Daha sonra, potansiyel enerjiyi çıkarmak yerine, skaler potansiyel φ ve vektör potansiyeli A çarpı v ile integral alırız. Elbette burada sadece elektromanyetik kuvvetler dikkate alınır. Tüm elektrik ve manyetik alanlar, φ ve A cinsinden ifade edilir. Böyle bir eylem fonksiyonu, bir elektromanyetik alanda tek bir parçacığın göreli hareketinin eksiksiz bir teorisini verir.

Elbette, hesaplama yapmadan önce v yazdığım her yerde, yerine koymanız gerektiğini anlamalısınız. dx/ dt yerine v x vb. Ek olarak, basitçe yazdığım yer x, y, z,şu anda noktaları hayal etmelisin T: X(T), y(T), z(T). Aslında, ancak v'nin bu tür ikamelerinden ve yer değiştirmelerinden sonra, göreli bir parçacığın eylemi için bir formül elde edeceksiniz. Aranızdaki en yetenekli olanlar, bu eylem formülünün gerçekten de görelilik için doğru hareket denklemlerini verdiğini kanıtlamaya çalışsın. Size A'yı bir kenara atmanızı, yani şimdilik manyetik alanlardan vazgeçmenizi tavsiye etmeme izin verin. O zaman hareket denkleminin bileşenlerini elde etmeniz gerekecek. dp/dt=—qVφ, burada, muhtemelen hatırladığınız gibi, p=mv√(1-v 2 /c 2).

A vektör potansiyelini hesaba katmak çok daha zordur. Varyasyonlar daha sonra kıyaslanamayacak kadar karmaşık hale gelir. Ama sonunda kuvvet şuna eşit olur: g(E+v × B). Ama kendinle eğlen.

Genel durumda (örneğin, göreli formülde) kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkın artık hareket halindeki integral altında olmadığını vurgulamak isterim. Bu yalnızca göreli olmayan yaklaşımda geçerliydi. Örneğin, bir üye m o k 2√(1-v2/c2) kinetik enerji denen şey değildir. Keyfi belirli bir durum için eylemin ne olması gerektiği sorusu, bazı deneme yanılma sonrasında kararlaştırılabilir. Bu, hareket denklemlerinin ne olması gerektiğini belirlemekle aynı türden bir problemdir. Bildiğiniz denklemlerle oynamanız ve bunların en az eylem ilkesi olarak yazılıp yazılamayacağını görmeniz yeterlidir.

Terminoloji hakkında bir not daha. Aksiyonu almak için zamanla entegre edilen işlev S, isminde LagrangeΛ. Bu, yalnızca parçacıkların hızlarına ve konumlarına bağlı olan bir fonksiyondur. Dolayısıyla en az eylem ilkesi şu şekilde de yazılabilir:

nerede altında X Ben Ve v ben koordinatların ve hızların tüm bileşenleri ima edilir. Birinin "Lagrangian" hakkında konuştuğunu duyarsanız, bilin ki, almak için kullanılan bir fonksiyondan bahsediyorlar. S. Bir elektromanyetik alanda göreli hareket için

Ayrıca şunu da belirtmeliyim ki en titiz ve bilgiç insanlar isim vermezler. S aksiyon. "Hamilton'ın ilk büyük işlevi" olarak anılmıştır. Ancak "Hamilton'ın En Az İlk Temel İşlev İlkesi" üzerine ders vermek benim yetkilerimin ötesindeydi. Ben buna "eylem" dedim. Ve ayrıca, gittikçe daha fazla Daha fazla insan buna "eylem" deyin. Görüyorsunuz, tarihsel olarak eyleme başka bir şey deniyordu, bilim için pek kullanışlı değil, ama bence tanımı değiştirmek daha mantıklı. Şimdi yeni işlevi eylem olarak adlandırmaya başlayacaksınız ve yakında herkes onu bu basit adla çağırmaya başlayacak.

Şimdi size konumuz hakkında, en kısa zaman ilkesi hakkında öne sürdüğüm akıl yürütmeye benzer bir şey söylemek istiyorum. Bir noktadan diğerine alınan bazı integrallerin bir minimuma sahip olduğunu söyleyen yasanın özünde bir fark vardır - bize tüm yol hakkında bir kerede bir şeyler söyleyen yasa ve hareket ettiğinizde, o zaman , Bu, ivmeye yol açan bir kuvvet olduğu anlamına gelir. İkinci yaklaşım size her adımınızı anlatır, yolunuzu santim santim izler ve birincisi, katedilen tüm yol hakkında hemen bir tür genel ifade verir. Işıktan bahsetmişken, bu iki yaklaşım arasındaki bağlantıdan bahsettik. Şimdi size, eğer böyle bir ilke varsa, en az eylem ilkesi varsa, neden diferansiyel yasaların olması gerektiğini açıklamak istiyorum. Bunun nedeni şudur: uzayda ve zamanda gerçekten gidilen yolu düşünün. Daha önce olduğu gibi, tek boyutla yöneteceğiz, böylece bir bağımlılık grafiği çizmek mümkün olacak. X itibaren T. Gerçek yol boyunca S minimuma ulaşır. Bu yola sahip olduğumuzu ve bir noktadan geçtiğini varsayalım. A uzay ve zaman ve başka bir komşu noktadan B.

Şimdi, eğer tüm integral t1 önce T 2 minimuma ulaşırsa, integralin a'dan a'ya kadar olan küçük bir alan boyunca olması gerekir. B da minimaldi. parçası olamaz Aönce B en azından minimumun biraz üzerinde. Aksi takdirde eğriyi bu kısımda ileri geri hareket ettirebilir ve tüm integralin değerini biraz azaltabilirsiniz.

Bu, yolun herhangi bir bölümünün de bir minimum vermesi gerektiği anlamına gelir. Ve bu, yolun tüm küçük bölümleri için geçerlidir. Bu nedenle, tüm yolun bir minimum vermesi gerektiği ilkesi, yolun sonsuz küçük bir parçasının da eylemin minimum olduğu böyle bir eğri olduğu söylenerek formüle edilebilir. Ve yolun yeterince kısa bir bölümünü alırsak - birbirine çok yakın noktalar arasında A Ve B,- potansiyelin bu yerden uzakta bir noktadan diğerine nasıl değiştiği önemli değil, çünkü tüm kısa segmentinizden geçerken, neredeyse hiç oradan ayrılmıyorsunuz. Göz önünde bulundurmanız gereken tek şey, potansiyeldeki küçüklüğün birinci mertebesindeki değişimdir. Cevap, yalnızca potansiyelin türevine bağlı olabilir ve başka bir yerdeki potansiyele bağlı olmayabilir. Böylece, tüm yolun özelliği hakkındaki bir ifade, yolun kısa bir bölümünde ne olduğu hakkında bir ifade, yani bir diferansiyel ifade haline gelir. Ve bu diferansiyel formülasyon, potansiyelin, yani belirli bir noktadaki kuvvetin türevlerini içerir. Bu, genel olarak hukuk ile diferansiyel hukuk arasındaki bağlantının niteliksel bir açıklamasıdır.

Işıktan bahsederken şu soruyu da tartışmıştık: Sonuçta bir parçacık doğru yolu nasıl buluyor? Diferansiyel bir bakış açısından, bunu anlamak kolaydır. Parçacık her an bir hızlanma yaşar ve yalnızca o anda ne yapması gerektiğini bilir. Ancak tüm neden ve sonuç içgüdüleriniz, parçacığın hangi yolu seçeceğine "karar verdiğini" ve minimum eyleme yöneldiğini duyduğunuzda devreye girer. Şimdiden komşu yolları "kokluyor" mu, nereye götüreceklerini merak ediyor - az ya da çok eyleme mi? Fotonların tüm yolları deneyememeleri için ışık yoluna bir ekran yerleştirdiğimizde hangi yolu seçeceklerine karar veremediklerini gördük ve kırınım olgusunu elde ettik.

Ama bu mekanik için de geçerli mi? Parçacığın yalnızca "doğru yola gitmekle" kalmayıp, akla gelebilecek diğer tüm yörüngeleri yeniden gözden geçirdiği doğru mu? Ya yoluna engeller koyarak ileriye bakmasına izin vermezsek, o zaman kırınım fenomeninin bir tür benzerini elde ederiz? Tüm bunlarla ilgili harika olan şey, gerçekten böyle olmasıdır. Kuantum mekaniğinin yasaları böyle söylüyor. Bu nedenle, en az eylem ilkemiz tam olarak formüle edilmemiştir. Parçacığın en az eylem yolunu seçmesinden değil, tüm komşu yolları "koklaması" ve eylemin minimum olduğu yolu seçmesinden oluşur ve bu seçim yöntemi şuna benzer: ışığın en kısa süreyi seçtiği şey. Hatırlarsınız ki ışığın en kısa sürdüğü yol şudur: Eğer ışık farklı bir süre gerektiren bir yola gidiyorsa, o zaman farklı bir evre ile gelecektir. Ve bir noktadaki toplam genlik, ışığın kendisine ulaşmak için izleyebileceği tüm yollar için genliklerin katkılarının toplamıdır. Aşamaların keskin bir şekilde farklılık gösterdiği tüm bu yollar, eklendikten sonra hiçbir şey vermez. Ancak, aşamaları neredeyse aynı olan tüm yol dizisini bulmayı başarırsanız, küçük katkılar eklenecek ve varış noktasında tam genlik gözle görülür bir değer alacaktır. En önemli yol, yakınında aynı fazı veren birçok yakın yolun olduğu yol olur.

Tam olarak aynı şey kuantum mekaniğinde olur. Eksiksiz kuantum mekaniği (göreceli olmayan ve bir elektronun dönüşünü ihmal eden) şu şekilde çalışır: bir parçacığın bir noktadan ayrılma olasılığı 1 şu anda t1, noktaya ulaşır 2 şu anda T 2 , olasılık genliğinin karesine eşittir. Toplam genlik, tümü için genliklerin toplamı olarak yazılabilir. olası yollar— herhangi bir varış yolu için. Herkes için X(T), Akla gelebilecek herhangi bir hayali yörünge için meydana gelebilecek olan, genliği hesaplamak gerekir. O zaman hepsinin katlanması gerekiyor. Belirli bir yolun olasılığının genliği olarak ne alacağız? Eylem integralimiz bize tek bir yolun genliğinin ne olması gerektiğini söyler. ile orantılı genlik e tS/h, Nerede S - yol boyunca eylem. Bu, genliğin fazını karmaşık bir sayı olarak temsil edersek, o zaman faz açısının şuna eşit olacağı anlamına gelir: S/ H. Aksiyon S zamanla enerji boyutuna sahiptir ve Planck sabiti aynı boyuta sahiptir. Kuantum mekaniğinin ne zaman gerekli olduğunu belirleyen bir sabittir.

Ve işte her şey böyle çalışıyor. Tüm yollar için eyleme izin ver S sayısına göre çok büyük olacaktır. H. Bazı yolların genliğin bazı büyüklüklerine yol açmasına izin verin. Bir sonraki döşenen yolun aşaması tamamen farklı olacak çünkü çok büyük S küçük değişiklikler bile S aniden faz değiştirmek H son derece az). Bu, bitişik yolların genellikle eklendiğinde katkılarını söndürdüğü anlamına gelir. Ve sadece bir alanda bu böyle değildir - hem yolun hem de komşusunun - ilk yaklaşımda her ikisinin de aynı aşamaya (veya daha kesin olarak, neredeyse aynı eyleme sahip olduğu, içinde değişen) H). Yalnızca bu tür yollar dikkate alınır. Ve sınırlayıcı durumda, Planck sabiti H sıfıra eğilimliyse, doğru kuantum mekaniği yasaları şu şekilde özetlenebilir: "Tüm bu olasılık genliklerini unutun. Parçacık gerçekten özel bir yol boyunca hareket eder - tam olarak üzerinde olduğu yol boyunca S ilk yaklaşımda değişmez. Bu, en az etki ilkesi ile kuantum mekaniği arasındaki bağlantıdır. Kuantum mekaniğinin bu şekilde formüle edilebileceği gerçeği, 1942'de, size bahsettiğim aynı öğretmenin öğrencisi Bay Bader tarafından keşfedildi. [Kuantum mekaniği başlangıçta genlik için bir diferansiyel denklem (Schrödinger) ve ayrıca bazı matris matematiği (Heisenberg) kullanılarak formüle edildi.]

Şimdi fizikteki minimumun diğer ilkelerinden bahsetmek istiyorum. Bu türden pek çok ilginç ilke var. Hepsini listelemeyeceğim, sadece bir tane daha isim vereceğim. Daha sonra birine vardığımızda fiziksel olgu, mükemmel bir minimum prensibi olan, size bundan bahsedeceğim. Ve şimdi elektrostatikleri alan için bir diferansiyel denklem aracılığıyla tanımlamanın gerekli olmadığını göstermek istiyorum; bunun yerine bazı integrallerin bir maksimum veya minimuma sahip olması istenebilir. Başlangıç olarak, yük yoğunluğunun her yerde bilindiği durumu ele alalım, ancak uzayda herhangi bir noktada potansiyel φ'yi bulmamız gerekiyor. Cevabın şu şekilde olması gerektiğini zaten biliyorsunuz:

Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da şudur: İntegrali hesaplamak gerekir. sen*

hacim integralidir. Alan boyunca alınır. Potansiyel φ'nin doğru dağılımı ile (Xy,z) bu ifade minimuma ulaşır.

Elektrostatik ile ilgili bu ifadelerin her ikisinin de eşdeğer olduğunu gösterebiliriz. Rastgele bir φ fonksiyonu seçtiğimizi varsayalım. φ için aldığımızda bunu göstermek istiyoruz. doğru değer potansiyel _φ artı küçük bir sapma f, ardından ilk küçüklük mertebesinde sen* sıfır olacak bu yüzden yazıyoruz

burada φ aradığımız şeydir; ancak varyasyon için ne olması gerektiğini görmek için φ'yi değiştireceğiz. sen* birinci dereceden küçük olduğu ortaya çıktı. ilk üyede sen* yazmamız gerek

Bunun üzerine entegre edilmesi gerekiyor x, y ve tarafından z. Ve burada aynı numara kendini gösteriyor: kurtulmak için df/ dx, üzerinden entegre edeceğiz X parçalar halinde. Bu, φ'nin şuna göre ek farklılaşmasına yol açacaktır: X. Bu, türevlere göre türevlerden kurtulduğumuz aynı temel fikirdir. T. Eşitlik kullanıyoruz

Entegre terim sıfırdır, çünkü f'yi sonsuzda sıfır olarak kabul ederiz. (Bu, ne zaman η'nin kaybolmasına karşılık gelir? T 1 Ve T 2 . Yani prensibimiz daha kesin olarak şöyle ifade edilir: sen* sağ için φ diğerlerinden daha az φ(x, y,z), sonsuzda aynı değerlere sahip olmak.) Sonra aynısını yapacağız de ve z ile İntegralimiz ΔU* olur

Herhangi bir keyfi f için bu varyasyonun sıfır olması için, f üzerindeki katsayı sıfır olmalıdır. Araç,

Eski denklemimize geri döndük. Yani "minimum" önermemiz doğrudur. Hesaplamaları biraz değiştirerek genelleştirilebilir. Her şeyi bileşen bileşen tanımlamadan geri dönüp parçalara göre entegre edelim. Aşağıdaki denklemi yazarak başlayalım:

Sol tarafın türevini alarak sağ tarafa tam olarak eşit olduğunu gösterebilirim. Bu denklem, kısmi entegrasyon için uygundur. Bizim integralimizde ΔU* değiştiririz Vφ*Vf n ve fV 2 φ+V*(fVφ) ve ardından bunu hacim üzerinden entegre edin. Hacim entegrasyonundan sonraki sapma terimi, yüzey integrali ile değiştirilir:

Ve tüm uzayda integral aldığımız için, bu integraldeki yüzey sonsuzdadır. Dolayısıyla, f=0 ve önceki sonucu elde ederiz.

İçinde bulunduğumuz sorunları nasıl çözeceğimizi ancak şimdi anlamaya başlıyoruz. bilmiyoruz tüm ücretlerin bulunduğu yer. Yüklerin bir şekilde dağıtıldığı iletkenlerimiz olduğunu varsayalım. Tüm iletkenlerdeki potansiyeller sabitse, minimum prensibimizin uygulanmasına izin verilir. Entegrasyon sen* sadece tüm iletkenlerin dışında kalan alanı çizeceğiz. Ancak iletkenlerde (φ) değiştiremeyeceğimiz için, yüzeylerinde f = 0 ve yüzey integrali

sadece iletkenler arasındaki boşluklarda yapılması gerekir. Ve elbette yine Poisson denklemini elde ederiz.

Bu nedenle, orijinal integralimizin olduğunu gösterdik. sen* her biri sabit bir potansiyelde olan iletkenler arasındaki boşlukta hesaplandığında bile bir minimuma ulaşır [bu, her test fonksiyonunun φ(x, y,z) iletkenin verilen potansiyeline eşit olmalıdır. (x, y,z) - iletken yüzeyinin noktaları]. Yüklerin yalnızca iletkenlerde bulunduğu ilginç bir özel durum vardır. Daha sonra

ve minimum ilkemiz bize, her bir iletkenin kendi önceden belirlenmiş potansiyeline sahip olduğu durumda, aralarındaki potansiyellerin uygun olduğunu söyler, böylece integral sen* olabildiğince küçük olduğu ortaya çıkıyor. Bu integral nedir? Vφ terimi elektrik alanıdır. Yani integral elektrostatik enerjidir. Doğru alan, potansiyel gradyan olarak elde edilen tüm alanlar arasında en küçük toplam enerjiye sahip olan tek alandır.

Bu sonucu belirli bir sorunu çözmek için kullanmak ve tüm bunların gerçekten pratik öneme sahip olduğunu size göstermek istiyorum. Silindirik kondansatör şeklinde iki iletken aldığımı varsayalım.

İç iletkenin potansiyeli, diyelim ki, V, ve dıştaki sıfırdır. İç iletkenin yarıçapı şuna eşit olsun: A, ve dış - B.Şimdi, potansiyellerin aralarındaki dağılımının şöyle olduğunu varsayabiliriz: herhangi. Ama eğer alırsak doğruφ değeri ve hesapla
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV o zaman sistemin enerjisi 1/2CV 2 olmalıdır.

Böylece prensibimizin yardımıyla kapasitansı da hesaplayabiliriz. İLE. Yanlış bir potansiyel dağılımı alırsak ve bir kapasitörün kapasitansını bu yöntemle tahmin etmeye çalışırsak, o zaman biz de geleceğiz. büyük önem kapasite sabit V. Gerçek değeriyle tam olarak eşleşmeyen varsayılan herhangi bir potansiyel φ, aynı zamanda gerekenden daha büyük olan yanlış bir C değerine yol açacaktır. Ancak yanlış seçilmiş potansiyel cp hala kabaca bir tahmin ise, kapasitans İLE zaten iyi bir doğrulukla ortaya çıkacaktır, çünkü C'deki hata, φ'deki hataya kıyasla ikinci dereceden bir değerdir.

Silindirik bir kapasitörün kapasitansını bilmediğimi varsayalım. O zaman onu tanımak için bu prensibi kullanabilirim. En düşük değere ulaşana kadar potansiyel olarak φ'nin farklı fonksiyonlarını deneyeceğim. İLE.Örneğin, sabit bir alana karşılık gelen bir potansiyeli seçtiğimi varsayalım. (Elbette, burada alanın gerçekten sabit olmadığını biliyorsunuz; 1/r gibi değişiyor) Alan sabitse, bu, potansiyelin doğrusal olarak mesafeye bağlı olduğu anlamına gelir. İletkenlerdeki voltajın gerekli olması için, φ fonksiyonunun şu şekilde olması gerekir:

Bu fonksiyon şuna eşittir: V de r=a, r için sıfır =b, ve aralarında -'ye eşit sabit bir eğim vardır. V/(B—A).İntegrali tanımlamak için sen*, sadece bu gradyanın karesini ε o /2 ile çarpmak ve tüm hacim üzerinden integral almak gerekir. Bu hesabı birim uzunluktaki bir silindir için yapalım. Yarıçaplı hacim öğesi R 2prdr'ye eşittir. Entegre ederek, ilk denememin aşağıdaki kapasiteyi sağladığını görüyorum:

Böylece, yanlış olmasına rağmen bir tür yaklaşım olan kapasitans formülünü alıyorum:

Tabii ki, doğru cevaptan farklıdır. C \u003d 2πε 0 / ln (b / a), ama genel olarak o kadar da kötü değil. Birkaç değer için doğru cevapla karşılaştırmaya çalışalım. b/a. Hesapladığım rakamlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

ne zaman bile s/a=2(ve bu zaten sabit ve doğrusal alanlar arasında oldukça büyük farklılıklara yol açıyor), hala oldukça kabul edilebilir bir yaklaşım elde ediyorum. Cevap, elbette, beklendiği gibi, biraz abartılı. Ancak büyük bir silindirin içine ince bir tel yerleştirilirse, her şey çok daha kötü görünür. O zaman alan çok güçlü bir şekilde değişir ve onu sabit bir alanla değiştirmek iyi bir şeye yol açmaz. b/a=100 ile cevabı neredeyse ikiye katlıyoruz. küçük için s/a pozisyon çok daha iyi görünüyor. Ters limitte, iletkenler arasındaki boşluk çok geniş olmadığında (diyelim ki b/a=1.1'de), sabit alan çok iyi bir yaklaşıklıktır, değeri verir. İLE yüzde onda birine kadar doğru.

Ve şimdi size bu hesaplamayı nasıl geliştireceğinizi anlatacağım. (Silindirin cevabı tabii ki, ünlü, ancak aynı yöntem bazılarında da işe yarar sıradışı şekiller doğru cevabı bilmiyor olabileceğiniz kapasitörler.) Bir sonraki adım, bilmediğimiz gerçek potansiyel φ için daha iyi bir yaklaşım bulmaktır. Diyelim ki bir sabit artı φ üssünü test edebilirsiniz, vb.Fakat gerçek φ'yi bilmiyorsanız en iyi yaklaşımı bulduğunuzu nasıl bileceksiniz? Cevap: Saymak İLE; ne kadar düşükse, gerçeğe o kadar yakındır. Bu fikri test edelim. Potansiyel doğrusal değil, örneğin r'de ikinci dereceden ve elektrik alanı sabit değil doğrusal olsun. en çok genel olduğunda φ=O olan ikinci dereceden biçim R= b ve φ=F de r=a, dır-dir:

burada α sabit bir sayıdır. Bu formül öncekinden biraz daha karmaşıktır. Hem ikinci dereceden bir terim hem de doğrusal bir terim içerir. Ondan bir alan almak çok kolaydır. basite eşittir

Şimdi bunun karesinin alınması ve hacim üzerinden entegre edilmesi gerekiyor. Ama bir dakika bekle. α için ne almalıyım? f için bir parabol alabilirim ama ne? İşte yapacağım şey: kapasitansı hesapla keyfi α. alacağım

Biraz kafa karıştırıcı görünüyor, ancak alanın karesini entegre ettikten sonra böyle çıkıyor. Artık kendim için seçim yapabilirim. Gerçeğin, çözmek üzere olduğum her şeyden daha aşağıda yattığını biliyorum. A yerine ne koyarsam koyayım, cevap yine de çok büyük. Ama eğer oyunuma α ile devam edersem ve mümkün olan en düşük değeri elde etmeye çalışırsam İLE, o zaman bu en düşük değer gerçeğe diğer tüm değerlerden daha yakın olacaktır. Bu nedenle, şimdi α'yı seçmem gerekiyor, böylece değer İLE minimumuna ulaştı. Olağan diferansiyel hesabına dönersek, minimumun İLEα =— olduğunda olacak 2 B/(b+A). Bu değeri formülde yerine koyarak, en küçük kapasiteyi elde ediyorum.

Bu formülün ne işe yaradığını anladım İLE farklı değerlerde b/a. aradığım bu numaralar İLE(ikinci dereceden). İşte karşılaştıran bir tablo İLE(ikinci dereceden) ile İLE(doğru).

Örneğin, yarıçap oranı 2:1 olduğunda 1,444 elde ederim. Bu, doğru yanıt olan 1.4423'e çok iyi bir yaklaşımdır. Hatta büyük evet yaklaşım oldukça iyi kalır - çok ilkinden daha iyi yaklaşımlar. b/a=10:1'de bile tolere edilebilir (yalnızca %10 fazla tahmin edilmiş). Büyük tutarsızlık yalnızca 100:1 oranında ortaya çıkıyor. İLE 0,267 yerine 0,346'ya eşittir. Öte yandan, 1,5 yarıçap oranı için uyum mükemmeldir, ancak b/a=1.1 cevap 10.492070 yerine 10.492065'tir. İyi bir cevap beklenmesi gereken yerde, çok çok iyi olduğu ortaya çıkıyor.

Tüm bu örnekleri, ilk olarak, minimum eylem ilkesinin teorik değerini ve genel olarak minimumun tüm ilkelerini göstermek için ve ikinci olarak, kapasiteyi hesaplamak için değil, size pratik faydalarını göstermek için verdim. ki zaten çok iyi biliyoruz. Diğer herhangi bir şekil için, birkaç bilinmeyen parametre (α gibi) içeren yaklaşık bir alanı deneyebilir ve bunları minimuma sığdırabilirsiniz. Başka türlü çözülemeyecek problemlerde mükemmel sayısal sonuçlar elde edeceksiniz.

İlk olarak Jacobi tarafından açıkça ifade edilen en az eylem ilkesi, Hamilton ilkesine benzer, ancak daha az geneldir ve kanıtlanması daha zordur. Bu ilke, yalnızca bağlantıların ve kuvvet fonksiyonunun zamana bağlı olmadığı ve dolayısıyla canlı kuvvetin bir integralinin olduğu duruma uygulanabilir.

Bu integral şuna benzer:

Yukarıda belirtilen Hamilton ilkesi, integralin varyasyonunun

Gerçek hareketin, sistemi aynı yerden aktaran herhangi bir sonsuz yakın harekete geçişinde sıfıra eşittir. ilk pozisyon aynı süre içinde aynı son konuma.

Jacobi ilkesi ise, aksine, zamana bağlı olmayan bir özelliği, hareketi ifade eder. Jacobi integrali düşünüyor

tanımlayan eylem. Kurduğu ilke, sistemin gerçek hareketini, sistemi aynı başlangıç konumundan aynı son konuma götüren herhangi bir sonsuz yakın hareketle karşılaştırdığımızda, bu integralin değişiminin sıfır olduğunu belirtir. Bu durumda, harcanan zaman aralığına dikkat etmeyiz, ancak (1) denklemini, yani gerçek hareketteki h sabitinin aynı değerine sahip insan gücü denklemini gözlemleriz.

Bu gerekli kondisyon ekstremum, genel olarak konuşursak, integralin (2) minimumuna götürür, buradan en az eylem ilkesinin adı gelir. Minimum koşul en doğal gibi görünüyor, çünkü T'nin değeri esasen pozitiftir ve bu nedenle integral (2) mutlaka bir minimuma sahip olmalıdır. Bir minimumun varlığı ancak zaman aralığı yeterince küçükse kesin olarak kanıtlanabilir. Bu önermenin kanıtı, Darboux'un yüzeyler kuramı üzerine iyi bilinen dersinde bulunabilir. Ancak, burada sunmayacağız ve kendimizi koşulun türetilmesiyle sınırlayacağız.

432. En az eylem ilkesinin kanıtı.

Gerçek hesaplamada, Hamilton teoreminin ispatında bulunmayan bir zorlukla karşılaşırız. t değişkeni artık varyasyondan bağımsız kalmaz; yani q i ve q'nun varyasyonları. Denklem (1)'den sonra gelen karmaşık bir ilişki ile t'nin değişimi ile ilişkilidir. Bu zorluğun üstesinden gelmenin en kolay yolu, bağımsız değişkeni, değerleri sabit zamandan bağımsız sınırlar arasında kalan bir değişkene değiştirmektir. k, limitlerinin t'den bağımsız olduğu varsayılan yeni bir bağımsız değişken olsun. Sistemi taşırken, parametreler ve t bu değişkenin fonksiyonları olacaktır.

Başlı q harfleri q parametrelerinin zamana göre türevlerini göstersin.

Bağlantıların zamandan bağımsız olduğu varsayıldığından x, y, z Kartezyen koordinatları q'nun zaman içermeyen fonksiyonlarıdır. Bu nedenle türevleri q'nun lineer homojen fonksiyonları olacak ve 7, katsayıları q'nun fonksiyonları olan q'nun homojen ikinci dereceden bir formu olacaktır. Sahibiz

q'nun zaman türevlerini ayırt etmek için, q'nun buna göre alınan ve buna göre konulan türevlerini parantezlerle (q) gösteririz.

o zaman sahip olacağız

ve yeni bağımsız değişken A ile ifade edilen integral (2) şu şekli alacaktır;

Türev, yaşayan kuvvet teoremi kullanılarak ortadan kaldırılabilir. Gerçekten de, yaşam gücünün integrali şu olacaktır:

Bu ifadeyi formülde yerine koyarak, (2) integralini forma getiriyoruz.

Eylemi tanımlayan integral böylece son halini aldı (3). İntegrand, niceliklerin ikinci dereceden biçiminin kareköküdür

(3) integralinin ekstremallerinin diferansiyel denklemlerinin tam olarak Lagrange denklemleri olduğunu gösterelim. Varyasyonlar hesabının genel formüllerine dayanan uç denklemler şöyle olacaktır:

Denklemleri 2 ile çarpıyoruz ve içermeyenleri hesaba katarak kısmi türevler alıyoruz, sonra indeksi yazmazsak,

Bunlar bağımsız değişken cinsinden ifade edilen uç denklemlerdir.Şimdi görev bağımsız değişkene geri dönmektir.

Г ikinci dereceden homojen bir fonksiyon olduğundan ve birinci dereceden homojen bir fonksiyon olduğundan,

Öte yandan, uç denklemlerdeki türevlerin çarpanlarına, yukarıda gördüğümüz gibi, ikameye götüren canlı kuvvet teoremi uygulanabilir.

Tüm ikamelerin bir sonucu olarak, ekstremal denklemler forma indirgenir.

Böylece Lagrange denklemlerine ulaştık.

433. İtici gücün olmadığı durum.

durumda ne zaman itici güçler hayır, insan gücü için bir denklem var ve elimizde

İntegralin minimum olması koşulu, bu durum buna karşılık gelen -10 değeri en küçük olmalıdır. Dolayısıyla itici güç olmadığında, canlı gücün aynı verili değeri koruduğu tüm hareketler arasında gerçek hareket, sistemi başlangıç konumundan nihai konumuna en kısa sürede getiren harekettir.

Sistem, sabit bir yüzey boyunca hareket eden tek bir noktaya indirgenirse, yüzey boyunca aynı hızda gerçekleştirilen tüm hareketler arasındaki gerçek hareket, noktanın başlangıç konumundan son konumuna geçtiği bir harekettir. en kısa

Zaman aralığı. Başka bir deyişle, bir nokta yüzeyde iki konumu arasındaki en kısa çizgiyi, yani bir jeodezik çizgiyi tanımlar.

434. Not.

En az eylem ilkesi, sistemin birkaç serbestlik derecesine sahip olduğunu varsayar, çünkü yalnızca bir serbestlik derecesi olsaydı, o zaman hareketi belirlemek için bir denklem yeterli olurdu. Bu durumda hareket tamamen canlı kuvvet denklemiyle belirlenebileceğinden, gerçek hareket bu denklemi sağlayan tek hareket olacaktır ve bu nedenle başka herhangi bir hareketle karşılaştırılamaz.

EN AZ EYLEM İLKESİ

Mekaniğin varyasyon ilkelerinden biri, Krom'a göre belirli bir mekanik sınıf için mekanik hareketlerin birbiriyle karşılaştırılmasıdır. sistem hangi fiziksel için geçerlidir. denilen değer eylem, en küçük (daha doğrusu durağan) değere sahiptir. Genellikle N. d. p. iki biçimden birinde uygulanır.

a) Hamilton - Ostrogradsky formundaki N.d.p., aynı zaman aralığında gerçekleştirilen sistemin bir konfigürasyondan diğerine (birincisine yakın) kinematik olarak olası tüm yer değiştirmeleri arasında gerçek olanın, Hamilton eyleminin S'nin yapacağı şey olduğunu tespit eder. en küçük olmak Mat. bu durumda, N.d.p.'nin ifadesi şu biçime sahiptir: dS = 0, burada d eksik (eşzamanlı) varyasyonun sembolüdür (yani, tam varyasyonun aksine, onda zaman değişmez).

b) Maupertuis - Lagrange biçimindeki NDP, bir sistemin bir konfigürasyondan kendisine yakın bir konfigürasyondan diğerine kinematik olarak mümkün olan tüm yer değiştirmeleri arasında, sistemin toplam enerjisinin aynı değerini korurken gerçekleştirilen k- için geçerli olduğunu tespit eder. En büyük Lagrange eylemi W, en küçük olacaktır. Mat. bu durumda N.d.p.'nin ifadesi DW=0 biçimindedir, burada D toplam varyasyonun simgesidir (Hamilton-Ostrogradsky ilkesinin aksine, burada yalnızca koordinatlar ve hızlar değil, aynı zamanda sistemin bir yapılandırmadan diğerine geçiş) . N.d.p. Bu durumda, yalnızca muhafazakar ve dahası holonomik sistemler için geçerlidir, oysa ilk durumda NDP daha geneldir ve özellikle muhafazakar olmayan sistemlere genişletilebilir. N. d. p., mekanik hareketin uyarılarını derlemek için kullanılır. sistemler ve bu hareketlerde ortak St. çalışması için. N. D. P. kavramlarının uygun bir genelleştirilmesiyle, sürekli bir ortamın mekaniğinde, elektrodinamikte ve kuantumda uygulamalar bulur. mekanik vb.

- aynı...
Fiziksel Ansiklopedi
- m-operatörü, minimizasyon operatörü, - aşağıdakilerden oluşan, diğer fonksiyonlardan yeni fonksiyonlar oluşturma yöntemi ...
Matematiksel Ansiklopedi
- mekaniğin değişken ilkelerinden biri, Krom'a göre belirli bir mekanik hareket sınıfı için birbiriyle karşılaştırıldı. sistem, eylemin minimum olduğu şey için gerçekleştirilir ...
Doğal bilim. ansiklopedik Sözlük
- Rus bilim adamı M.V. tarafından kurulan mekaniğin en önemli yasalarından biri. Ostrogradsky...
Rus ansiklopedisi
Yasal terimler sözlüğü
- birkaç devletin anayasa hukukunda, uluslararası hukukun genel olarak kabul görmüş ilke ve normlarının dayandığı ilke ayrılmaz parça yasal sistem ilgili ülke...
Hukuk Ansiklopedisi
- bazı devletlerin anayasa hukukunda, genel kabul görmüş uluslararası hukuk normlarının ulusal hukuk sisteminin ayrılmaz bir parçası olduğu ilkesi ...
Büyük Hukuk Sözlüğü
patlayıcı yükünün merkezinden en kısa mesafedir. Serbest yüzey- nai-malkoto direncindeki hat - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...
İnşaat sözlüğü
- deforme olabilen bir cismin uçlarını farklı yönlerde hareket ettirmek mümkün ise, bu cismin her noktası en az direnç yönünde hareket eder...
Ansiklopedik Metalurji Sözlüğü
- mevcut stokları en düşük maliyetle veya en düşük satış fiyatıyla değerlemenin geleneksel olduğu kural ...
İş terimleri sözlüğü
- bir dizi devletin anayasa hukukunda - uluslararası hukukun genel olarak kabul görmüş ilke ve normlarının, ilgili devletin hukuk sisteminin ayrılmaz bir parçası olduğu ilkesi ve kanun ...
Ansiklopedik Ekonomi ve Hukuk Sözlüğü
- mekanik bir sistemin belirli bir hareket sınıfı için birbiriyle karşılaştırıldığında, gerçek olanın fiziksel miktarın, ...
- Gauss prensibi ile aynı ...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- mekaniğin değişken ilkelerinden biri; en az eylem ilkesiyle aynı...
Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- mekanik bir sistemin belirli bir hareket sınıfı için, eylemin minimum olduğu hareketin birbiriyle karşılaştırılmasına göre, mekaniğin değişken ilkelerinden biri ...
Büyük ansiklopedik sözlük
- Kitap. en çok seç kolay yol eylemler, engellerden kaçma, zorluklardan kaçma...
Rus edebi dilinin deyimsel sözlüğü

Kitaplarda "EN AZ EYLEM İLKESİ"

2.5.1. Cihazın çalışma prensibi

Entertaining Electronics kitabından [Yararlı devrelerin şablon olmayan ansiklopedisi] yazar Kaşkarov Andrey Petrovich

2.5.1. Cihazın çalışma prensibi Cihazın çalışma prensibi basittir. HL1 LED'inin yaydığı ışık akısı nesneden yansıdığında ve fotodedektöre çarptığında, 2 mikro devre üzerinde uygulanan elektronik ünite - KR1401CA1 karşılaştırıcısı ve KR1006VI1 zamanlayıcısı üretir

Teraph'ın çalışma prensibi

Gizli Bilgi kitabından. Agni Yoga'nın teorisi ve pratiği yazar Roerich Elena Ivanovna

Teraph'ın çalışma prensibi 24.02.39 Biliyorsunuz ki, bir nesnenin her farkındalığı ve temsili bizi ona yaklaştırıyor. Bildiğiniz gibi, bir nesnenin psişik katmanları onun teraphimine aktarılabilir. Uzak dünyaların astral teraphimleri özellikle önemlidir ve

Çalışmak İçin En Az Çaba Yasasının Üç Koşulu

Deepak Chopra'nın Bilgeliği kitabından [Evrenin 7 yasasını takip ederek istediğinizi elde edin] yazar Goodman Tim

En Az Çaba Yasasının işlemesi için üç koşul Evrenin bu yaratıcı enerji akışını - sevginin enerjisini - yaşamınıza çekmek ve dolayısıyla En Az Çaba Yasasının hayatınızda işlemeye başlaması için hangi koşulların gerekli olduğunu görelim.

19.Bölüm EN AZ EYLEM İLKESİ

6. kitaptan. Elektrodinamik yazar Feynman Richard Phillips

19. BÖLÜM EN SON EYLEM İLKESİ Ders Sonrası Eki Ben okuldayken, Bader adlı fizik öğretmenimiz bir keresinde dersten sonra beni aradı ve şöyle dedi: “Her şeyden çok yorgun görünüyorsun; ilginç bir şey dinle

5. En az eylem ilkesi

Fizikte Devrim kitabından Broglie Louis'in yazarı

5. En az eylem ilkesi Genel görünüm Hamilton ilkesi veya durağan eylem ilkesi olarak adlandırılır. Bu ilkeye göre, tüm

çalışma prensibi

Çilingir Rehberi kitabından Philips Bill tarafından

Çalışma Prensibi Silindirin dönme yeteneği, sırasıyla yerçekimi, yayların hareketi ve anahtarın (veya kazma; kazmalarla ilgili bilgi için Bölüm 9'a bakın) kuvveti tarafından belirlenen pimlerin konumuna bağlıdır. . Anahtarsız, yerçekimi ve yaylar devreye girer

Sabit eylem prensibi

Kitaptan Büyük Sovyet Ansiklopedisi(ST) yazar TSB

En az eylem ilkesi

TSB

en az zorlama ilkesi

Yazarın Büyük Sovyet Ansiklopedisi (NA) kitabından TSB

2.5.1. çalışma prensibi

Elektrik dağıtım şebekelerinde röle koruması kitabından B90 yazar Bulychev Alexander Vitalievich

2.5.1. Çalışma prensibi İki yönlü beslemeli elektrik şebekelerinde ve halka şebekelerde, geleneksel aşırı akım korumaları seçici olarak hareket edemez. Örneğin, içinde elektrik şebekesi anahtarların ve korumaların her iki tarafa takıldığı iki güç kaynağıyla (Şekil 2.15)

çalışma prensibi

Turbo-Gopher kitabından. Beynini becermeyi bırakıp yaşamaya nasıl başlarsın? yazar Leushkin Dmitry

"İşle" eylem ilkesi aslında, bilinçaltında bir dizi süreci tek bir cümleyle başlatan ve amacı seçilen zihinsel materyali işlemek olan bir tür "makro" dur. Bu işleyicinin kendisi, bazıları

En Az Çaba Yasasına Uymaya Nasıl Başlanır: Atılması Gereken Üç Adım

Joseph Murphy, Dale Carnegie, Eckhart Tolle, Deepak Chopra, Barbara Sher, Neil Walsh tarafından yazılan Capital Growing Guide kitabından yazar Stern Valentin

En Az Çaba Yasasına Uymaya Nasıl Başlanır: Üç gerekli eylem En Az Çaba Yasasının işlemesi için, sadece yukarıdaki üç koşulu gözlemlememeli, aynı zamanda üç eylemi de gerçekleştirmelisiniz: İlk eylem: dünyayı olduğu gibi kabul etmeye başlayınKabul et

11. En küçük eylemin fiziği ve aikido

yazar Mindell Arnold

11. En küçük eylemin fiziği ve aikido Estiğinde, bu sadece rüzgardır. Ne zaman yağmur yağıyor, sadece yağmur var. Bulutlar hareket ettiğinde, güneş onların arasından parlar. Kendinizi içgörüye açarsanız, içgörü ile bir olursunuz. Ve bundan tam olarak yararlanabilirsiniz. eğer açarsan

Leibniz'in en az eylem ilkesi "Vis Viva"

Şamanizm, Fizik ve Taoizm'de Jeopsikoloji kitabından yazar Mindell Arnold

Leibniz'in en az eylem ilkesi "Vis Viva" En az eylem ilkesi için hepimiz Wilhelm Gottfried Leibniz'e (1646-1716) minnettar olmalıyız. İlk "modern" fizikçi ve matematikçilerden biri olan Leibniz, bilim adamlarının daha açık olduğu bir dönem olan Newton'un zamanında yaşadı.

Aikido, en az eylem ilkesinin vücut bulmuş halidir.

Şamanizm, Fizik ve Taoizm'de Jeopsikoloji kitabından yazar Mindell Arnold

Aikido, en az eylem ilkesinin vücut bulmuş halidir. Psikolojimiz ve teknolojimiz, büyük ölçüde en az eylem fikrine çok yakın bir kavram tarafından yönlendirilir. Sürekli olarak hayatı kendimiz için kolaylaştırmaya çalışıyoruz. Bugünün bilgisayarları yeterince hızlı değil; Onlar zorunda

P. Maupertuis) 1744'te, evrensel doğasına hemen işaret ederek ve optik ve mekanik için geçerli olduğunu düşünerek. Bu ilkeden, ışığın yansıma ve kırılma yasalarını çıkardı.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5
Fermat ilkesinin matematiksel araştırması ve geliştirilmesi Christian Huygens tarafından gerçekleştirildi ve ardından konu 17. yüzyılın en büyük bilim adamları tarafından aktif olarak tartışıldı. Leibniz, temel eylem kavramını 1669'da fiziğe tanıttı: "Formel hareket eylemleri ... madde miktarının, kat ettikleri mesafenin ve hızın çarpımı ile orantılıdır."
Mekaniğin temellerinin analizine paralel olarak, değişken problemlerin çözümü için yöntemler geliştirildi. Isaac Newton, “Matematical Principles of Natural Philosophy” (1687) adlı eserinde ilk varyasyon problemini belirledi ve çözdü: Dirençli bir ortamda kendi ekseni boyunca hareket eden böyle bir devrim gövdesi biçimi bulmak, bu durumda deneyimlenen direncin en az olacağı . Hemen hemen aynı anda, diğer varyasyonel problemler ortaya çıktı: brakistokron problemi (1696), bir katenerin şekli, vs.
Belirleyici olaylar 1744'te gerçekleşti. Leonhard-Euler varyasyon hesabı üzerine ilk genel çalışmayı ("Maksimum veya minimum özelliklere sahip eğrileri bulmak için bir yöntem") ve Pierre-Louis de Maupertuis "Çeşitli doğa yasalarının uzlaşması" adlı incelemesinde yayınladı. Şimdiye kadar uyumsuz görünüyordu", en az eylem ilkesinin ilk formülasyonunu verdi: "Işığın izlediği yol, eylem miktarının en az olacağı yoldur." Işığın hem yansıması hem de kırılması için bu yasanın yerine getirildiğini gösterdi. Euler, Maupertuis'in bir makalesine yanıt olarak (aynı yıl 1744'te) "Dirençsiz bir ortamda fırlatılan cisimlerin hareketinin maksimum ve minimum yöntemiyle belirlenmesi üzerine" adlı çalışmasını yayınladı ve bu çalışmada verdi. Maupertuis ilkesi genel bir mekanik karakterdir: "Bütün doğal fenomenler herhangi bir maksimum veya minimum yasasını takip ettiğinden, fırlatılan cisimleri tanımlayan eğri çizgiler için, üzerlerine herhangi bir kuvvet etki ettiğinde, bazı maksimum veya minimum özelliklerinin yer aldığına şüphe yoktur. . Euler bu yasayı daha da formüle etti: bir cismin yörüngesi minimum yapar ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Daha sonra, hareket yasalarını tekdüze bir yerçekimi alanında ve diğer birçok durumda türeterek uyguladı.
1746'da Maupertuis'de yeni iş Euler'in görüşüne katıldı ve ilkesinin en genel versiyonunu ilan etti: “Doğada bir değişiklik meydana geldiğinde, bu değişiklik için gerekli olan eylem miktarı mümkün olan en küçüktür. Etki miktarı, vücut kütlelerinin, hızlarının ve kat ettikleri mesafenin ürünüdür. Ardından gelen geniş tartışmada Euler, Maupertuis'in önceliğini destekledi ve yeni yasanın evrensel doğasını savundu: "Tüm dinamikler ve hidrodinamik, yalnızca maksimum ve minimum yöntemiyle şaşırtıcı bir kolaylıkla ortaya çıkarılabilir."
1760-1761'de Joseph Louis Lagrange bir fonksiyonun katı bir varyasyon kavramını tanıttığında, varyasyonlar hesabına modern bir görünüm verdiğinde ve en az eylem ilkesini gelişigüzel bir mekanik sisteme genişlettiğinde (yani yalnızca ücretsiz malzeme noktaları). Bu, analitik mekaniğin başlangıcı oldu. Carl Gustav Jakob Jacobi, 1837'de ilkenin daha da genelleştirilmesini gerçekleştirdi - Öklid dışı bir metriğe sahip bir konfigürasyon uzayında varyasyonel bir sorunun uç noktalarını bulmak olarak sorunu geometrik olarak değerlendirdi. Özellikle Jacobi, dış kuvvetlerin yokluğunda, sistemin yörüngesinin konfigürasyon uzayında jeodezik bir çizgi olduğuna dikkat çekti.
Hamilton'ın yaklaşımının evrensel olduğu ve fiziğin matematiksel modellerinde, özellikle kuantum mekaniği için oldukça etkili olduğu ortaya çıktı. Sezgisel gücü, Genel Görelilik Teorisi'nin oluşturulmasında, David Hilbert yerçekimi alanının son denklemlerini türetmek için Hamilton ilkesini uyguladığında (1915) doğrulandı.

Klasik mekanikte

En az etki ilkesi, mekaniğin Lagrangian ve Hamiltonian formülasyonları için temel ve standart temel olarak hizmet eder.
Önce yapıyı şöyle ele alalım Lagrange mekaniği. Bir serbestlik dereceli fiziksel sistem örneğini kullanarak, bir eylemin (genelleştirilmiş) koordinatlara (bir serbestlik derecesi durumunda - bir koordinat) göre bir işlevsel olduğunu, yani şu şekilde ifade edildiğini hatırlıyoruz: q (t) (\displaystyle q(t)) böylece işlevin akla gelebilecek her versiyonu q (t) (\displaystyle q(t)) belirli bir sayı karşılaştırılır - bir eylem (bu anlamda, işlevsel olarak bir eylemin herhangi bir şeye izin veren bir kural olduğunu söyleyebiliriz. verilen işlev q (t) (\displaystyle q(t)) iyi tanımlanmış bir sayı hesaplayın - eylem olarak da adlandırılır). Eylem şuna benzer:
S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\nokta ( q)(t),t)dt,)
Nerede L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) genelleştirilmiş koordinata bağlı olarak sistemin Lagrangian'ıdır q (\displaystyle q), ilk zaman türevi q ˙ (\displaystyle (\nokta (q)))) ve ayrıca, muhtemelen, açıkça zamandan beri t (\görüntü stili t). Sistem daha fazla serbestlik derecesine sahipse n (\displaystylen), o zaman Lagrangian şuna bağlıdır: Daha genelleştirilmiş koordinatlar q ben (t) , ben = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n) ve ilk zaman türevleri. Böylece eylem, cismin yörüngesine bağlı olarak skaler bir fonksiyoneldir.
Eylemin bir skaler olması, onu herhangi bir genelleştirilmiş koordinatta yazmayı kolaylaştırır, asıl mesele, sistemin konumunun (konfigürasyonunun) benzersiz bir şekilde karakterize edilmesidir (örneğin, Kartezyen koordinatlar yerine bunlar kutupsal olabilir) koordinatlar, sistemin noktaları arasındaki mesafeler, açılar veya işlevleri, vb. d.).
Eylem tamamen keyfi bir yörünge için hesaplanabilir q (t) (\displaystyle q(t)), ne kadar "vahşi" ve "doğal olmayan" olursa olsun. Bununla birlikte, klasik mekanikte, tüm olası yörüngeler arasında, cismin fiilen ilerleyeceği yalnızca bir yol vardır. Hareketin durağanlığı ilkesi, cismin gerçekte nasıl hareket edeceği sorusunun cevabını verir:

Bu, sistemin Lagrangian'ı verilirse, o zaman varyasyon hesabını kullanarak, önce hareket denklemlerini - Euler -Lagrange denklemlerini elde ederek ve sonra bunları çözerek vücudun tam olarak nasıl hareket edeceğini belirleyebileceğimiz anlamına gelir. Bu, yalnızca mekaniğin formülasyonunu ciddi şekilde genelleştirmeye değil, aynı zamanda en basit ve en kolay çözülen denklemleri elde etmek için çok yararlı olabilecek Kartezyen olanlarla sınırlı olmamak üzere her bir özel problem için en uygun koordinatları seçmeye de izin verir.
S [ p , q ] = ∫ (∑ ben p ben d q ben - H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ ben p ben q ˙ ben - H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\toplam _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\toplam _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)
Nerede H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots ,p_(N),t) ) verilen sistemin Hamilton fonksiyonudur; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (genelleştirilmiş) koordinatlar, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- eşlenik (genelleştirilmiş) dürtüler, verilen her bir anda sistemin dinamik durumunu birlikte karakterize eder ve her biri zamanın bir fonksiyonu olarak sistemin evrimini (hareketini) karakterize eder. Bu durumda, sistemin hareket denklemlerini kanonik Hamilton denklemleri şeklinde elde etmek için, bu şekilde yazılan eylemi tümden bağımsız olarak değiştirmek gerekir. q ben (\displaystyle q_(i)) Ve p ben (\displaystyle p_(i)).
Prensipte problemin koşullarından hareket yasasını bulmak mümkün ise, o zaman bu otomatik olarak not edilmelidir. Olumsuz gerçek hareket sırasında durağan bir değer alan bir fonksiyonel oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir. Bir örnek ortak harekettir elektrik ücretleri ve tek kutuplar - manyetik yükler - bir elektromanyetik alanda. Hareket denklemleri, eylemin durağanlığı ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu ilkeden çıkmayan hareket denklemlerine sahiptir.

örnekler

Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma prensibinin kullanımının değerlendirilmesine yardımcı olur. Serbest parçacık (kütle M ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemlerini kullanarak, bu aşağıdaki gibi kutupsal koordinatlarda gösterilebilir. Potansiyel yokluğunda, Lagrange fonksiyonu kinetik enerjiye eşittir.
1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\nokta (x))^(2)+(\nokta (y))^(2)\sağ)) ψ = ∫ [ D x ] e (ben S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar ))))\,.)
Burada ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) tüm x(t) yörüngeleri üzerinde sonsuz katlı işlevsel entegrasyonun koşullu gösterimidir ve ℏ (\displaystyle \hbar )- Planck sabiti. Prensip olarak, kuantum mekaniğinde evrim operatörünü incelerken üstel eylemin kendisinin göründüğünü (veya görünebileceğini), ancak tam bir klasik (kuantum olmayan) analoğa sahip sistemler için bunun tam olarak şuna eşit olduğunu vurguluyoruz: her zamanki klasik eylem.
Bu ifadenin klasik limitte matematiksel analizi - yeterince büyük için S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), yani hayali üssün çok hızlı salınımlarıyla - bu integraldeki tüm olası yörüngelerin büyük çoğunluğunun sınırda birbirini iptal ettiğini gösterir (resmi olarak, S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Hemen hemen her yol için, faz girişinin tam tersi olacağı ve sıfıra kadar katkı sağlayacakları bir yol vardır. Yalnızca eylemin uç değere (çoğu sistem için - minimum) yakın olduğu yörüngeler azaltılmaz. Bu tamamen matematiksel bir gerçektir.
3.1 Doğa bilimleri tarihindeki bilimsel devrimler
3.2. İlk bilimsel devrim. Dünyanın güneş merkezli sistemi. Dünyaların çoğulluğu doktrini
3.3. İkinci bilimsel devrim. Klasik mekaniğin ve deneysel doğa biliminin yaratılması. Dünyanın mekanik resmi
3.4. Mekanik bir dünyada kimya
3.5. Modern zamanların doğa bilimi ve felsefi yöntem sorunu
3.6. Üçüncü Bilimsel Devrim. Doğa biliminin diyalektikleşmesi
3.7. Temiz doğa bilimi
3.8. Elektromanyetik alan alanında araştırma ve dünyanın mekanik resminin çöküşünün başlangıcı
I XX yüzyılın doğa bilimi
4.1 Dördüncü bilimsel devrim. Maddenin derinliklerine nüfuz etme. Görelilik Teorisi ve Kuantum Mekaniği. Dünyanın mekanik resminin nihai çöküşü
4.2. Bilimsel ve teknolojik devrim, doğa bilimleri bileşeni ve tarihsel aşamaları
4.3. Modern doğa bilimi panoraması 4.3.1. XX yüzyılda bilimin gelişiminin özellikleri
4.3.2. Mikro kozmos ve mega dünyanın fiziği. atom fiziği
4.3.3. Modern kimyanın ana yönlerindeki başarılar
4.3.4. XX yüzyılın biyolojisi: yaşamın moleküler düzeyi bilgisi. Modern biyolojinin arka planı.
4.3.5. Sibernetik ve sinerji
Bölüm III
ben uzay ve zaman
1.1 Newton öncesi dönemde uzay ve zaman hakkında fikirlerin geliştirilmesi
1. 2. Uzay ve zaman
1.3. Uzun menzil ve yakın mesafe. "Alan" kavramının gelişimi
2.1 Galile görelilik ilkesi
2.2. En az eylem ilkesi
2.3. Özel Görelilik a. Einstein
1. Görelilik ilkesi: tüm eylemsiz referans çerçevelerinde tüm doğa yasaları aynıdır.
2.4. Genel Göreliliğin Unsurları
3. Makroskobik süreçlerde enerjinin korunumu yasası
3.1. "Yaşayan Güç"
3.2. Mekanikte çalışın. Mekanikte enerjinin korunumu ve dönüşümü yasası
3.3. İçsel enerji
3.4. Farklı enerji türlerinin birbirine dönüştürülmesi
4. Artan entropi ilkesi
4.1. İdeal Carnot döngüsü
4.2. entropi kavramı
4.3. Entropi ve Olasılık
4.4. Düzen ve kaos. zaman oku
4.5. "Maxwell'in Şeytanı"
4.6. Evrenin ısı ölümü sorunu. Boltzmann dalgalanma hipotezi
4.7. Sinerji. Kaostan düzenin doğuşu
I Kuantum fiziğinin unsurları
5.1. Işığın doğasına ilişkin görüşlerin geliştirilmesi. planck formülü
5.2. Bir fotonun enerjisi, kütlesi ve momentumu
5.3. De Broglie'nin hipotezi. Maddenin dalga özellikleri
5.4. Heisenberg belirsizlik ilkesi
5.5. Bohr tamamlayıcılık ilkesi
5.6. Kuantum fiziğinde bütünlük kavramı. Einstein-Podolsky-Rosen paradoksu
5.7. Olasılık dalgaları. Schrödinger denklemi. Kuantum mekaniğinde nedensellik ilkesi
5.8. Fiziksel sistemin durumları. Doğadaki dinamik ve istatistiksel modeller
5.9. Göreli kuantum fiziği. Antiparçacıkların dünyası. kuantum alan teorisi
I Birleşik alan teorisinin inşasına doğru 6.1. Noether teoremi ve korunum yasaları
6.2. simetri kavramı
6.3. gösterge simetrileri
6.4. Etkileşimler. Temel parçacıkların sınıflandırılması
6.5. Birleşik alan teorisine doğru. Kendiliğinden vakum simetrisinin kırılması fikri
6.6. Evrenin evriminin sinerjik vizyonu. Fiziksel nesnelerin tarihselciliği. Fizikte ilk soyutlama olarak fiziksel boşluk
6.7. Antropik ilke. Evrenin "ince ayarı"
Bölüm IV
1. "Toplum-doğa" sisteminde kimya
Kimyasal tanımlamalar
Bölüm V
I Hayatın kökeni teorileri
1.1. yaratılışçılık
1.2. Kendiliğinden (kendiliğinden) nesil
1.3. Kararlı Durum Teorisi
1.4. Panspermi teorisi
1.5. biyokimyasal evrim
2.1. Lamarck'ın evrim teorisi
2.2. Darwin, Wallace ve doğal seçilim yoluyla türlerin kökeni
2.3. Modern evrim kavramı
3.1. Paleontoloji
3.2. Coğrafi dağılım
3.3. sınıflandırma
3.4. Bitki ve hayvan ıslahı
3.5. Karşılaştırmalı anatomi
3.6. Uyarlanabilir radyasyon
3.7. Karşılaştırmalı Embriyoloji
3.8. Karşılaştırmalı Biyokimya
3.9. Evrim ve genetik
Bölüm VI. İnsan
I İnsanın ve uygarlığın kökeni
1.1. İnsanın ortaya çıkışı
1.2. Etnogenez sorunu
1.3. kültürel oluşum
1.4. Medeniyetin ortaya çıkışı
Ben Adam ve biyosfer
7.1 V.I. Vernadsky, biyosfer ve insan fenomeni hakkında
7.2. Uzay döngüleri
7.3. Evrim döngüsü. Kozmik bir varlık olarak insan
içindekiler tablosu
Bölüm I. Bilimsel Yöntem 7
Bölüm II. Doğa bilimleri tarihi 42
Bölüm III. Modern fiziğin unsurları 120
Bölüm IV. Kimyanın temel kavramları ve temsilleri246
Bölüm V.. Yaşamın kökeni ve evrimi 266
Bölüm VI. adam 307
344007, Rostov-on-Don,
344019, Rostov-on-Don, st. Sovetskaya, 57. Baskı kalitesi sağlanan slaytlarla aynı.

2.2. En az eylem ilkesi

18. yüzyılda, matematiksel analiz yöntemlerinin fiziksel olayların incelenmesine sistematik olarak uygulanması yoluyla, bireysel bilimsel başarıları dünyanın katı bir şekilde düzenlenmiş, tutarlı bir resminde birleştirme eğilimi ile işaretlenen bilimsel sonuçların daha fazla biriktirilmesi ve sistematikleştirilmesi gerçekleşti. Pek çok parlak zekanın bu yöndeki çalışması, belirli bir konjonktür sınıfını tanımlayan çeşitli temel teorilerin yaratıldığı hükümler temelinde, mekanik araştırma programının temel teorisinin - analitik mekanik yaratılmasına yol açtı.

fenomenler: hidrodinamik, esneklik teorisi, aerodinamik, vb. Analitik mekaniğin en önemli sonuçlarından biri, 20. yüzyılın sonunda fizikte meydana gelen süreçleri anlamak için önemli olan en az eylem ilkesidir (varyasyon ilkesi).

Bilimde varyasyon ilkelerinin ortaya çıkışının kökleri Antik Yunan'a kadar uzanır ve İskenderiyeli Heron adıyla ilişkilendirilir. Herhangi bir varyasyon prensibi fikri, belirli bir süreci karakterize eden bazı değerleri değiştirmek (değiştirmek) ve tüm olası süreçler arasından bu değerin aşırı (maksimum veya minimum) bir değer aldığı birini seçmektir. Heron, bir ışık demetinin bir aynadan yansıdığında bir kaynaktan bir gözlemciye geçtiği yolun uzunluğunu karakterize eden değeri değiştirerek ışık yansıması yasalarını açıklamaya çalıştı. Tüm olası yollar arasında, bir ışık ışınının en kısa olanı (geometrik olarak mümkün olan tüm yollar) seçtiği sonucuna vardı.

17. yüzyılda, iki bin yıl sonra, Fransız matematikçi Fermat, Heron ilkesine dikkat çekmiş, bunu farklı kırılma indislerine sahip ortamlara genişletmiş ve bu nedenle zaman açısından yeniden formüle etmiştir. Fermat ilkesi, özellikleri zamana bağlı olmayan bir kırılma ortamında, iki noktadan geçen bir ışık demetinin, birinci noktadan ikinciye gitmesi için gereken sürenin minimum olması için kendisine bir yol seçmesi olduğunu belirtir. Heron ilkesi, sabit bir kırılma indisine sahip ortamlar için Fermat ilkesinin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.

Fermat'ın prensibi çağdaşlarının yakın ilgisini çekti. Bir yandan doğadaki "ekonomi ilkesi"ne, dünyanın yapısında gerçekleşen akılcı ilahi plana en iyi şekilde tanıklık ederken, diğer yandan Newton'un ışığın tanecikler kuramıyla çelişiyordu. Newton'a göre, daha yoğun ortamlarda ışığın hızının daha büyük olması gerektiği ortaya çıktı, oysa Fermat'ın bu tür ortamlarda ışığın hızının küçüldüğü ilkesini takip etti.

1740 yılında, matematikçi Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Fermat'ın ilkesini eleştirel bir şekilde analiz ederek ve teolojik ilkeleri izleyerek

"Uyumsuz görünen çeşitli doğa yasaları üzerine" çalışmasında en az eylem ilkesini ilan eden Evrenin mükemmelliği ve en ekonomik düzeniyle ilgili mantıksal güdüler. Maupertuis, Fermat'ın en kısa zamanını terk etti ve yeni bir kavram olan eylem tanıttı. Eylem, cismin momentumunun (momentum Р = mV) ve cismin kat ettiği yolun ürününe eşittir. Zamanın uzaya karşı bir avantajı yoktur ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle ışık, seyahat etmek için en kısa yolu ve en kısa zamanı seçmez, ancak Maupertuis'e göre, "daha gerçek bir ekonomi sağlayan yolu seçer: izlediği yol, hareketin büyüklüğünün üzerinde olduğu yoldur." minimumdur." En az eylem ilkesi, Euler ve Lagrange'ın çalışmalarında daha da geliştirildi; o, Lagrange'ın yeni bir matematiksel analiz alanı - varyasyon hesabı - geliştirdiği temeldi. Bu ilke, Hamilton'un çalışmalarında daha da genelleştirildi ve tamamlandı. Genelleştirilmiş bir biçimde, en az eylem ilkesi, momentum cinsinden değil, Lagrange işlevi cinsinden ifade edilen eylem kavramını kullanır. Bir potansiyel alanda hareket eden bir parçacığın durumu için, Lagrange fonksiyonu kinetik alanın farkı olarak temsil edilebilir. ve potansiyel enerji:

("Enerji" kavramı bu bölümün 3. Bölümünde ayrıntılı olarak ele alınmaktadır.)

Ürüne temel eylem denir. Toplam eylem, dikkate alınan tüm zaman aralığı boyunca tüm değerlerin toplamıdır, başka bir deyişle, toplam eylem A:

Bir parçacığın hareket denklemleri, gerçek hareketin eylemin aşırı olduğu, yani varyasyonunun 0'a dönüşeceği şekilde gerçekleştiği en az eylem ilkesi kullanılarak elde edilebilir:

Lagrange-Hamilton varyasyon ilkesi, olmayanlardan oluşan sistemlere kolayca genişletilmesine izin verir.

kaç (çok) parçacık. Bu tür sistemlerin hareketi genellikle çok sayıda boyuttan oluşan soyut bir uzayda (uygun bir matematiksel teknik) ele alınır. Diyelim ki, N nokta için, N parçacığın 3N koordinatından oluşan bir soyut uzay tanıtılır ve konfigürasyon uzayı adı verilen bir sistem oluşturulur. Sistemin farklı durumlarının sırası, bu konfigürasyon uzayında bir eğri - bir yörünge - ile temsil edilir. Bu 3N-boyutlu uzayın iki verili noktasını birbirine bağlayan tüm olası yollar göz önüne alındığında, sistemin gerçek hareketinin en az eylem ilkesine göre gerçekleştiğinden emin olunabilir: tüm olası yörüngeler arasında, eylemin aşırı olduğu yol hareketin tüm zaman aralığı gerçekleştirilir.

Klasik mekanikteki eylemi en aza indirirken, Newton yasalarıyla bağlantısı iyi bilinen Euler-Lagrange denklemleri elde edilir. Klasik elektromanyetik alanın Lagrangian'ı için Euler-Lagrange denklemlerinin Maxwell denklemleri olduğu ortaya çıktı. Böylece, Lagrangian'ın ve en az etki ilkesinin kullanımının parçacık dinamiklerini belirlemeye izin verdiğini görüyoruz. Bununla birlikte, Lagrangian'ın, modern fiziğin neredeyse tüm problemlerini çözmede Lagrangian biçimciliğini ana yapan bir önemli özelliği daha vardır. Gerçek şu ki, fizikteki Newton mekaniği ile birlikte, zaten 19. yüzyılda, bazı fiziksel nicelikler için koruma yasaları formüle edildi: enerjinin korunumu yasası, momentumun korunumu yasası, açısal momentumun korunumu yasası, yasa elektrik yükünün korunumu. Yüzyılımızda kuantum fiziğinin ve temel parçacık fiziğinin gelişimiyle bağlantılı koruma yasalarının sayısı daha da arttı. Soru, hem hareket denklemlerini (örneğin, Newton yasaları veya Maxwell denklemleri) hem de zamanda korunan nicelikleri yazmak için ortak bir temelin nasıl bulunacağı konusunda ortaya çıkar. Böyle bir temelin Lagrange biçimciliğinin kullanımı olduğu ortaya çıktı, çünkü belirli bir teorinin Lagrangian'ı, bu teoride ele alınan belirli soyut alana karşılık gelen dönüşümlere göre değişmez (değişmemiş) çıkıyor ve bu da korumayla sonuçlanıyor. yasalar. Lagrangian'ın bu özellikleri

fiziksel teorileri Lagrangianların dilinde formüle etmenin uygunluğuna yol açmadı. Bu durumun gerçekleşmesi, Einstein'ın görelilik kuramının ortaya çıkmasıyla fiziğe geldi.

Şunları okumak faydalı olabilir: