Bir yamuğun köşeleri. "Yamuk ve özellikleri" konulu geometri materyali. İkizkenar yamuğun özellikleri

GI kovaleva

TRAPEZİA ÖZELLİKLERİNİ İNCELEME YÖNTEMİ

Çeşitli testlerin ve sınavların materyallerinde, çözümü öğrencilerin yamuğun "program dışı" özelliklerini bilmesini gerektiren yamuk görevlerine çok sık rastlanır. (Özellikler şu şekilde kabul edilir: orta hat yamuk, bir ikizkenar yamuğun köşegenlerinin ve açılarının özellikleri.) Bir yamuğun hangi dikkate değer özellikleri vardır? Onları bir okul geometri dersinde nerede ve ne zaman çalışmalı?

Bir yamuğun özelliklerini inceleme yöntemi

Artık birkaç tür gördüğümüze göre, paralelkenar özelliklerine sahip olmayan şekilleri öğrenelim. Paralelkenarların, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenler olduğunu hatırlayın. Bu bölümde karşılıklı kenarları bir noktada kesişebilen dörtgenleri ele alacağız. Yamukların bazı özelliklerini inceleyerek keşifimize başlayalım. Tanım. Yamuk, tam olarak bir çift paralel kenara sahip bir dörtgendir.

Bir yamuğun orta hattının özelliklerini inceledikten sonra formüle edebilir ve kanıtlayabiliriz. yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının özelliği. Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası, tabanların yarı farkına eşittir.

Yamuk üzerindeki problemleri çözmek için ana tekniği uygulayan “iki yükseklik çiz”, öğrencilerin şu görevi sunmaları gerekir: “Bırak BT- yükseklik ikizkenar yamuk ABCD gerekçesiyle M.Ö Ve AD.

,

. Segmentlerin uzunluklarını bulun AT Ve TD».

"Planimetrik problemlerin çözümünde trigonometri kullanımı"

Bir yamuğun tam olarak bir çift paralel kenarı olması gerektiğinden, bir çift karşılıklı kenarın paralel olduğunu ve diğerinin bizimkinde olmadığını kanıtlamamız gerekecek. Karşılıklı kenarların bir çiftinin paralel olmadığını kanıtlamayı unutursak, dörtgenin bir paralelkenar olma olasılığını göz ardı etmiş olmayız. Bu nedenle, yamuk içeren çeşitli egzersizler üzerinde çalışırken bu adım kesinlikle gerekli olacaktır.

Yamuk çalışmamıza dalmadan önce, kenarları ve açıları hakkında net olmak için bu dörtgenlerin farklı bölümlerinin adlarını bilmek gerekli olacaktır. Tüm yamuklar iki ana bölümden oluşur: taban ve bacaklar. Bir yamuğun birbirine paralel olan karşılıklı kenarlarına taban denir. Yamuğun uzatıldıklarında bir noktada kesişen diğer kenarlarına yamuğun bacakları denir.

"Şekillerin Benzerliği" konusu, bir yamuğun özelliklerini incelemek için çok faydalıdır. Örneğin, bir yamuğun köşegenleri onu dört üçgene ayırır ve tabanlara bitişik üçgenler benzer, kenarlara bitişik üçgenler eşittir. Bu ifadeyi arayalım İlebir yamuğun köşegenleriyle bölündüğü üçgenlerin özelliği. Ayrıca, iddianın ilk kısmı, iki açıdaki üçgenlerin benzerliğinin işareti ile çok kolay bir şekilde kanıtlanmıştır. İkinci kısım öğrencilere görev şeklinde sunulabilir.

Oluşan yamuk üçgenlerin benzerliği

Yamuğun üst ve alt kenarları birbirine paralel uzanır, dolayısıyla yamuğun tabanlarıdır. Yamuğun diğer kenarları uzatılırsa kesişir, dolayısıyla yamuğun ayaklarıdır. Yamuğun ayaklarının orta noktalarını birleştiren parçaya orta parça denir. Bu parçanın uzunluğu her zaman yamuk tabanlarının toplamının yarısına eşittir veya.

Segmentlerin ve tabanların uzunluklarının oranı

Orta segmentin ölçümü sadece trapez tabanların uzunluğuna bağlıdır. Ancak, var önemli özellik bazı trapezlerin yalnızca bacaklarına bağlı olduğunu. Şimdi bu yamuklara bakalım. Bir ikizkenar yamuk, bacakları uyumlu olan bir yamuktur. Tanım olarak, bir dörtgenin tam olarak bir çift paralel çizgisi varsa, o zaman dörtgen bir yamuktur. Bir ikizkenar yamuk tanımı başka bir özellik ekler: yamuğun bacakları uyumlu olmalıdır.

Aynı şekilde üçgenler BOC Ve AOB bölümleri taban olarak alırsak ortak bir yüksekliğe sahip oluruz CO Ve OA. Daha sonra

Ve

.

Bu iki önermeden şu sonuç çıkıyor:

.

Bir yamuğun ikizkenar olduğunu kanıtlamamıza yardımcı olması için kullanabileceğimiz birkaç teorem vardır. Bu özellikler aşağıda listelenmiştir. Bir yamuk, ancak ve ancak taban açıları eşitse ikizkenardır. Bir yamuk, ancak ve ancak köşegenler eşitse ikizkenardır.

Bir yamuk ikizkenar ise, zıt açıları tamamlayıcıdır. Uçurtma, birbiriyle uyumlu iki farklı bitişik kenarı olan bir dörtgendir. Paralelkenarların da eş kenar çiftleri olduğunu hatırlayın. Ancak, eş tarafları her zaman zıt olmuştur. Uçurtmalar, iki farklı noktada buluşan iki çift uyumlu kenara sahiptir. Uçurtmanın neye benzediğini anlamamıza yardımcı olması için aşağıdaki resme bakalım.

Formüle edilmiş ifade üzerinde durmak değil, bulmak harika olurdu bir yamuğun köşegenleriyle bölündüğü üçgenlerin alanları arasındaki ilişki , öğrencileri sorunu çözmeye davet ederek: “Yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası O olsun ABCD gerekçesiyle M.Ö Ve AD. Bilindiği üzere üçgenlerin alanları BOC Ve AOD sırasıyla eşit Ve . Yamuğun alanını bulun.

Uçurtmalar, onları diğer dörtlülerden ayırmamıza yardımcı olacak çeşitli özelliklere sahiptir. Uçurtmanın köşegenleri dik açılarda buluşuyor. Uçurtmalar, tam olarak uyumlu olan bir çift zıt açıya sahiptir. Bu iki özellik aşağıdaki şemada gösterilmektedir.

Bu bizim tek uyumlu açı çiftimiz, çünkü? Yeni öğrendiğimiz yamuk ve uçurtmanın özelliklerini kullanmayı gerektiren bazı problemleri uygulama yapalım. Yamuğun taban uzunlukları verildiğine göre, orta parçanın uzunluğunun ne olması gerektiğini bulabiliriz. Bunu bulmak için orta segment için verdiğimiz formülü kullanalım.

Çünkü . Dolayısıyla, üçgenlerin benzerliğinden BHAKKINDAC Ve AOD bunu takip eder

.Buradan,

. Daha sonra

Benzerliği kullanarak, biri de kanıtlayabilir tabanlara paralel bir yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasından geçen doğru parçasının özelliği. Öğrencileri şu sorunu çözmeye davet ediyoruz: “Yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası O olsun. ABCD gerekçesiyle M.Ö Ve AD. , . Segmentin uzunluğunu bulun PK yamuğun köşegenlerinin tabanlara paralel kesişme noktasından geçerek. Hangi segmentlere ayrılmıştır? PK nokta HAKKINDA».

Şekilde, bize yalnızca bir açının ölçüsü verildi, bu yüzden o tek öğeye dayanarak daha fazla bilgi çıkarabilmemiz gerekir. Dörtgen bir ikizkenar yamuk olduğundan, taban açılarının eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi ne kadar olduğunu öğrenelim mi?

Birlikte toplam 128°'ye sahiptirler. Bir dörtgenin iç açılarının 360° olması gerektiğini söyleyen çokgenin iç açı teoremini hatırlayın. Öyleyse bunu bir ölçü tanımlamamıza yardımcı olacak şekilde kullanmaya çalışalım. Önce tüm açıları toplayalım ve 360° olarak ayarlayalım.


Buradan

.

Benzer şekilde, üçgenlerin benzerliğinden DOK Ve DBC, bunu takip eder

. Buradan

Ve

.

Bir yamuk etrafında çevrelenmiş

Peki önlemleri tanımlarsak? Bu değer ölçü anlamına mı geliyor? Son olarak, 116'yı, gösterilen ifadeye eşitleyecek şekilde ayarlayabilir miyiz? Yukarıdaki yöntem alıştırmayı çözmenin derin bir yolu olsa da, ikizkenar yamukların tümleyen açılarının tamamlayıcı olduğu özelliğini kullanabilirdik. Bu şekilde çözmek çok daha hızlı, çünkü sadece 64° tümleyeninin ne olduğunu bulmamız gerekiyor.

Problemimizde bu noktaya geldiğimizde, basitçe 116'yı 4'e ayarlayıp eskisi gibi çözeceğiz. Bize de bu verildi? Geçmişte, eş olan başka bir taraf veya açı bulabilirsek bu durumda uygulanabilecek birkaç üçgen eş teoremi öğrendik.

Öğrencilere kanıtlanmış özelliği fark ettiriyoruz: yamuğun tabanlarına paralel, köşegenlerin kesişme noktasından geçen ve yanlardaki iki noktayı birleştiren bir parça, köşegenlerin kesişme noktasıyla ikiye bölünür. Uzunluğu, yamuğun tabanlarının harmonik ortalamasıdır.

sonraki dört noktanın özelliği: bir yamukta köşegenlerin kesişme noktası, kenarların devamının kesişme noktası, yamuğun tabanlarının orta noktaları aynı doğru üzerinde bulunur.

Yeni çizimimiz aşağıda gösterilmiştir. Aşağıda bu alıştırmanın iki sütunlu bir geometrik kanıtı bulunmaktadır. Gibi geometrilere erişmek için. Savaşmayı bırakın ve binlerce ücretsiz kaynakla bugün öğrenmeye başlayın! Özellikler, ilgili derslere bağlantılar ile temsil edilir. Dersler mantıklı bir sırada listelenir, bu da her dersin bir öncekiyle ilgili olduğu anlamına gelir. ve ona atıfta bulunmaz. Liste, üzerinde bulunan ilgili dersleri birleştirir. farklı sayfalar bu site.

Bir yamuğun köşegenleri ve yüksekliği

Bir yamuk, ancak ve ancak taban açıları eşitse ikizkenardır. Bir yamuk, ancak ve ancak iki köşegeni eşitse ikizkenardır. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir. Bir yamuğun orta hattının uzunluğu, tabanlarının uzunluklarının toplamının yarısıdır. Bir yamukta, bir yan kenarın ortasından tabanlara paralel çizilen doğrunun bir bölümü, diğer kenarı orta noktasında keser.

Öğrencilere şekillerin benzerliğini (üçgenlerin değil) tanıtarak, yamuk parçasını iki benzer parçaya bölen parçanın uzunluğunu bulmayı önerebiliriz.

Böylece, bir yamuğu iki benzer yamuğa bölen doğru parçasının uzunluğu, taban uzunluklarının geometrik ortalamasına eşittir.

Bir yamuğun alanı için formül türettikten sonra, ispatlamakta fayda var yamuğu iki eşit alana bölen doğru parçasının özelliği.

Bir yamuğun orta çizgisi, yamuğun tabanlarını içeren iki düz çizgiden eşit uzaklıkta olan noktaların yeridir. Bir yamukta, yan kenarın uçlarındaki iç açıların toplamı 180°'dir. Bir yamukta, orta hat, daha kısa bir tabandaki bir noktayı daha büyük bir tabandaki bir noktaya bağlayan herhangi bir çizgi parçasını ikiye böler. Bir yamukta, köşegenlerinin orta noktaları arasındaki mesafe, daha büyük ve daha kısa tabanların uzunlukları arasındaki farkın yarısı kadardır.

Bir yamukta karşılıklı iki iç açının toplamı 180° ise, yamuk ikizkenardır. Bir ikizkenar yamukta, tabanlara paralel bir köşegen kesişiminden geçen bir çizgi, köşegenler arasındaki açıyı ikiye böler. Bir ikizkenar yamukta, yan taraf iki zıt köşeden herhangi birinden bir açıda görülür.

bir sistem yapalım



Sistem çözümü

.

Böylece, yamuğu iki eşit parçaya bölen parçanın uzunluğu eşittir

(kök, tabanların ortalama kare uzunlukları). ).

Ders listesi artık kısa özetlerle aynı. Bir ikizkenar yamukta taban açıları birbirine eşittir. Teorem 2. Bir yamukta taban açıları eşitse, yamuk ikizkenardır. Çözülen Problemler Bir ikizkenar yamukta taban açısı 73°'dir. Yamuğun diğer tüm açılarını bulun. Bir ikizkenar yamukta taban açısı, daha kısa olan tabanın ucundaki iç açının üç katıdır. Yamuğun tüm açılarını bulun.

Yamukta, tabanlara paralel bir kenarın ortasından çizilen doğru parçası diğer kenarı orta noktasında keser. Orta hattaki yamuğun uzunluğunu bulun. Bir yamukta geniş taban 27 cm uzunluğundadır ve tabandan 10 cm daha uzundur.

Öğrencilerden belirtilen parçalar arasındaki bağlantıyı fark etmeleri için, verilen bir yamuk için bunları oluşturmaları istenmelidir. Öğrenciler zorlanmadan bir yamuğun orta hattını ve yamuğun köşegenlerinin tabanlara paralel kesişme noktasından geçen bir parçayı oluşturacaklar. Üçüncü ve dördüncü segmentler nerede olacak? Bu sorunun cevabı, öğrencileri ortalamalar arasındaki ilişkiyi keşfetmeye yönlendirmelidir.

Trapezoidal tabanların uzunluklarını bulun. Bir ikizkenar yamukta, iki köşegen eşittir. Problem 2. Bir yamukta iki köşegen eşitse, yamuk ikizkenardır. Problem 3. Bir yamuğun orta hattı üzerindeki herhangi bir nokta, yamuğun tabanlarını içeren iki paralel çizgiden eşit uzaklıktadır. Düzlemdeki bir nokta, bir yamuğun tabanlarını içeren iki paralel çizgiden eşit uzaklıktaysa, bu nokta, yamuğun tabanlarını içeren çizgiye aittir. orta hatta yamuk. Çözülmüş sorun Bir yamukta, daha kısa bir tabandaki bir noktayı daha büyük bir tabandaki bir noktaya bağlayan düz bir çizginin herhangi bir parçası yamuğun orta hattında ikiye ayrılır.

Yazılı ve çevrelenmiş bir dörtgenin niteliği ve özelliği, yamuk da dahil olmak üzere öğrenciler tarafından bilinen tüm dörtgenler için belirtilmelidir.

Tarif edilen yamuğun özellikleri. Bir yamuk ancak ve ancak taban uzunluklarının toplamının kenar uzunluklarının toplamına eşit olması koşuluyla bir daire etrafında tanımlanabilir.

İlki açıktır. İkinci sonucu kanıtlamak için, açının tespit edilmesi gerekir. MORİNA doğrudan, ki bu da önemli değil. Ancak bu sonucun bilgisi, problemleri çözerken dik açılı bir üçgen kullanmamıza izin verir.

Bir yamukta, yan kenarın uçlarındaki iç açıların açıortayları dik açılarda kesişir. Bir yamukta, yan kenarın uçlarındaki iç açıların açıortayları yamuğun orta hattı üzerinde uzanan bir noktada kesişir. Problem 4. Bir ikizkenar yamukta taban açısı 60°'dir. Daha kısa taban uzunluğunun, daha uzun olan taban uzunluğu ile yan kenarın uzunluğu arasındaki farka eşit olduğunu kanıtlayın.

Bir ikizkenar yamukta köşegen 10 cm'dir ve tabanla 60°'dir. Orta uzunlukta bir yamuğun uzunluğunu bulun. Yamuğun tabanları 3 ve 5 birim uzunluğunda olup, bir köşegen kenara dik, diğer köşegen açıyı ortalamaktadır. daha büyük bir tabanda. Yamuğun yüksekliğini bulun. Bir cetvel ve pusula kullanarak, verilen iki parçayla eşleşen tabanlara sahip bir yamuk oluşturun ve taraflar, uyumlu. diğer iki verilen segment.

için sonuçları belirtelim. ikizkenar sınırlı yamuk :

bir ikizkenar yamuğun çevrelediği ikizkenar yamuğun yüksekliği, yamuğun tabanlarının geometrik ortalamasıdır.

.

Bir yamuğun köşegenleri ve açıları

Bir cetvel ve bir pusula kullanarak, verilen iki parçayla eşleşen tabanları ve uyumlu kenarları olan bir yamuk oluşturun. diğer iki verilen segmente. Geometri, şekiller, nesneler ve bunlarla ilgili problemlerle ilgilenen özel bir matematik konusudur. Var olmak farklı şekiller geometrik şekiller. Birkaç önemli 2B şekil kare, dikdörtgen, üçgen, çokgen, daire, paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen vb.dir. dört kenarla sınırlanan bir forma dörtgen denir.

Bir yamuğun özelliklerini incelemek için metodolojinin temel ilkelerini göz önünde bulundurun.

Birincisi, kullanım görev yaklaşımı . Yamuğun yeni özelliklerini geometrinin teorik dersine dahil etmeye gerek yoktur. Bu özellikler öğrenciler tarafından problem çözme yoluyla keşfedilir ve formüle edilir (problemli sistemlerden daha iyi). Öğretmenin hangi görevlerin verilmesi gerektiğini ve öğrenme sürecinin hangi noktasında olması gerektiğini bilmesi önemlidir. Ayrıca, her özellik, görev sisteminde anahtar bir görev olabilir.

ikincisi, Bir yamuğun özelliklerini incelemenin "sarmal" organizasyonu . Bireysel mülklere birkaç kez dönebilirsiniz, o zaman öğrencilerin onları hatırlaması muhtemeldir. Örneğin, dört noktanın özelliği, benzerlik üzerinde çalışılarak ve ardından vektörler kullanılarak kanıtlanabilir. Bir yamuğun kenarlarına bitişik üçgenlerin eşit alanı, sahip olan üçgenlerin bir özelliği olarak kullanılarak kanıtlanabilir. eşit yükseklikler, bir düz çizgi üzerinde uzanan taraflara çizilir ve formül

. Çevrelenmiş yamukta bir dik üçgenin özelliklerini, yazılı yamukta sinüs teoremini vb. hesaplayabilirsiniz.

Yamuğun "program dışı" özelliklerinin okul geometri dersinin içeriğine dahil edilmesi, bunları incelemek için görev teknolojisi, diğer konuları incelerken yamuğun özelliklerine tekrar tekrar atıfta bulunulması, öğrencilerin yamuğu daha derinlemesine anlamalarını sağlayacaktır. ve özelliklerinin uygulanmasıyla ilgili problem çözme başarısını sağlar.

Bu nedenle, onlardan birini arayacağız büyük , ikinci - küçük taban yamuk. Yükseklik bir yamuk, köşelerden karşılık gelen karşı tarafa çizilen herhangi bir dikme parçası olarak adlandırılabilir (her köşe için iki zıt taraf vardır), alınan tepe noktası ile karşı taraf arasına alınır. Ama biri ayrılabilir özel çeşit"yükseklikler.
tanım 8. Bir yamuğun tabanının yüksekliği, tabanlar arasında çevrelenmiş, tabanlara dik düz bir çizginin parçasıdır.
teorem 7 . Yamuğun medyan çizgisi tabanlara paraleldir ve toplamlarının yarısına eşittir.
Kanıt. ABCD yamuk ve KM medyan doğrusu verilsin. B ve M noktalarından geçen bir çizgi çizin. AD tarafını BM ile kesişene kadar D noktasından devam ettiriyoruz. BCm ve MPD üçgenleri yan taraflara ve iki açıya eşittir (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - örtüşen, ∠ BMC=∠ DMP - dikey), dolayısıyla VM=MP veya M noktası BP'nin orta noktasıdır. KM, ABP üçgeninin orta çizgisidir. Üçgenin orta çizgisinin özelliğine göre KM, AP'ye ve özellikle AD'ye paraleldir ve AP'nin yarısına eşittir:

teorem 8 . Köşegenler yamuğu, ikisi yanlara bitişik eşit olan dört parçaya ayırır.
Aynı alana sahiplerse rakamların eşit olarak adlandırıldığını hatırlatmama izin verin. ABD ve ACD üçgenleri eşittir: eşit yüksekliklere (sarı ile gösterilmiştir) ve ortak bir tabana sahiptirler. Bu üçgenlerin ortak bir AOD kısmı vardır. Alanları aşağıdaki gibi genişletilebilir:

Yamuk türleri:
tanım 9. (Şekil 1) Dar açılı yamuk, daha büyük tabana bitişik açıların dar olduğu bir yamuktur.
tanım 10. (Şekil 2) Geniş bir yamuk, daha büyük tabana bitişik açılardan birinin geniş olduğu bir yamuktur.
tanım 11. (Şekil 4) Bir kenarı tabanlara dik olan yamuğa dikdörtgen denir.
tanım 12. (Şekil 3) İkizkenar (ikizkenar, ikizkenar), kenarları eşit olan bir yamuktur.

Bir ikizkenar yamuğun özellikleri:
Teorem 10 . Bir ikizkenar yamuğun tabanlarının her birine bitişik açılar eşittir.
Kanıt. Örneğin, bir ABCD ikizkenar yamuğun daha büyük bir AD tabanına sahip A ve D açılarının eşitliğini kanıtlayalım. Bunun için C noktasından AB yan kenarına paralel bir doğru çiziyoruz. Büyük tabanı M noktasında kesecektir. ABCM dörtgeni bir paralelkenardır, çünkü Yapı gereği iki çift paralel kenarı vardır. Bu nedenle, yamuğun içine alınmış sekant çizgisinin CM segmenti yan kenarına eşittir: CM=AB. Buradan CM=CD olduğu açıktır, CMD üçgeni ikizkenardır, ∠CMD=∠CDM ve dolayısıyla ∠A=∠D. Daha küçük tabana bitişik açılar da eşittir, çünkü iç tek taraflı bulunanlar ve toplamı iki çizgi olanlar içindir.
Teorem 11 . Bir ikizkenar yamuğun köşegenleri eşittir.
Kanıt. ABD ve ACD üçgenlerini ele alalım. İki kenarı ve aralarındaki açı eşittir (AB=CD, AD ortaktır, A ve D açıları Teorem 10'a göre eşittir). Bu nedenle AC=BD.

Teorem 13 . Bir ikizkenar yamuğun köşegenleri, kesişme noktası tarafından karşılık gelen eşit parçalara bölünür. ABD ve ACD üçgenlerini ele alalım. İki kenarı ve aralarındaki açı eşittir (AB=CD, AD ortaktır, A ve D açıları Teorem 10'a göre eşittir). Bu nedenle, ∠ ОАD=∠ ОDA, dolayısıyla ОВС ve OSV açıları, karşılık gelen ODA ve ОАD açıları olarak eşittir. Teoremi hatırlayın: bir üçgendeki iki açı eşitse, o zaman bu ikizkenardır, bu nedenle ОВС ve ОAD üçgenleri ikizkenardır, yani OS=OB ve ОА=OD, vb.
Bir ikizkenar yamuk simetrik bir şekildir.
tanım 13. Bir ikizkenar yamuğun simetri eksenine, tabanlarının orta noktalarından geçen doğru denir.
Teorem 14 . Bir ikizkenar yamuğun simetri ekseni tabanlarına diktir.
Teorem 9'da yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştiren doğrunun köşegenlerin kesişme noktasından geçtiğini kanıtladık. Sonra (Teorem 13) AOD ve BOC üçgenlerinin ikizkenar olduğunu kanıtladık. OM ve OK, tanım gereği sırasıyla bu üçgenlerin medyanlarıdır. Bir ikizkenar üçgenin özelliğini hatırlayın: bir ikizkenar üçgenin tabana indirilmiş medyanı da üçgenin yüksekliğidir. KM doğrusunun parçalarının tabanlarının dik olması nedeniyle simetri ekseni tabanlara diktir.
Bir ikizkenar yamuğu tüm yamuklar arasında ayıran işaretler:
Teorem 15 . Bir yamuğun tabanlarından birine bitişik açılar eşitse, yamuk ikizkenardır.
Teorem 16 . Bir yamuğun köşegenleri eşitse, yamuk ikizkenardır.
Teorem 17 . Yamuğun kesişme noktasına kadar uzanan yan kenarları, geniş tabanıyla birlikte bir ikizkenar üçgen oluşturuyorsa, yamuk ikizkenardır.
Teorem 18 . Bir yamuk bir daireye çizilebiliyorsa, o zaman ikizkenardır.
Dikdörtgen bir yamuğun işareti:
Teorem 19 . Bitişik köşelerde yalnızca iki dik açısı olan herhangi bir dörtgen, dik açılı bir yamuktur (iki kenarın paralel olduğu açıktır, çünkü bir kenar eşittir. Üç dik açının bir dikdörtgen olması durumunda)
Teorem 20 . Bir yamuğun içine çizilmiş bir dairenin yarıçapı, taban yüksekliğinin yarısına eşittir.
Bu teoremin ispatı, tabanlara çizilen yarıçapların yamuğun yüksekliğinde olduğunu açıklamaktır. O noktasından - bu yamuğun içine çizilen ABCD dairesinin merkezi, yarıçapları yamuğun tabanları ile temas noktalarına çiziyoruz. Bildiğiniz gibi, temas noktasına çizilen yarıçap teğete diktir, bu nedenle OK ^ BC ve OM ^ AD. Teoremi hatırlayın: eğer bir doğru paralel doğrulardan birine dikse, ikinciye de diktir. Bu nedenle, OK doğrusu da AD'ye diktir. Böylece, AD hattına dik iki çizgi O noktasından geçemez, bu nedenle bu çizgiler çakışır ve iki yarıçapın toplamına eşit olan ve yazılı dairenin çapı olan ortak dikey KM'yi oluşturur, bu nedenle r=KM/2 veya r=h/ 2.
Teorem 21 . Bir yamuğun alanı, tabanların toplamının yarısı ile tabanların yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Kanıt: ABCD verilen bir yamuk ve AB ve CD onun tabanları olsun. A noktasından CD doğrusuna bırakılan yükseklik de AH olsun. O zaman S ABCD = S ACD + S ABC .
Ancak S ACD = 1/2AH CD ve S ABC = 1/2AH AB.
Bu nedenle, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

İkinci formül dörtgenden taşındı.

 

Şunları okumak faydalı olabilir: