Bir ikizkenar yamuğun yüksekliği nedir? Şeklin köşegenleri ve kesiştikleri açılar. Bir ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulun

Çok kenarlı bir yamuk... İsteğe bağlı, ikizkenar veya dikdörtgen olabilir. Ve her durumda, bir yamuğun alanını nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir. Elbette temel formülleri hatırlamanın en kolay yolu. Ancak bazen belirli bir geometrik şeklin tüm özelliklerini dikkate alarak türetilmiş olanı kullanmak daha kolaydır.

Yamuk ve elemanları hakkında birkaç söz

İki paralel kenarı olan herhangi bir dörtgen yamuk olarak adlandırılabilir. Genelde eşit değildirler ve baz olarak adlandırılırlar. Bunlardan daha büyük olanı daha düşük, diğeri daha yüksektir.

Diğer iki taraf yanaldır. Keyfi bir yamukta, farklı uzunluklara sahiptirler. Eşitlerse, şekil ikizkenar olur.

Aniden herhangi bir kenar ile taban arasındaki açı 90 dereceye eşit olursa, yamuk dikdörtgendir.

Tüm bu özellikler, bir yamuk alanının nasıl bulunacağı sorununu çözmeye yardımcı olabilir.

Problem çözmede vazgeçilmez olabilecek şeklin unsurları arasında aşağıdakileri ayırt edebiliriz:

  • yükseklik, yani her iki tabana dik bir segment;
  • uçlarında kenarların ortası olan orta çizgi.

Tabanlar ve yükseklik biliniyorsa, alanı hesaplamanın formülü nedir?

Bu ifade ana ifade olarak verilmiştir, çünkü açıkça verilmeseler bile bu nicelikleri bilmek çoğu zaman mümkündür. Yani, bir yamuğun alanını nasıl bulacağınızı anlamak için, her iki tabanı da toplamanız ve ikiye bölmeniz gerekir. Ortaya çıkan değer daha sonra yükseklik değeri ile çarpılır.

Tabanları a 1 ve a 2 harfleriyle gösterirsek, yükseklik n'dir, o zaman alan formülü şöyle görünecektir:

S \u003d ((bir 1 + bir 2) / 2) * n.

Yüksekliği ve orta çizgisi verilen alanı hesaplama formülü

Önceki formüle yakından bakarsanız, değeri açıkça içerdiğini görmek kolaydır. orta hat. Yani, tabanların toplamının ikiye bölünmesi. Orta çizginin l harfi ile gösterilmesine izin verin, ardından alan formülü şöyle olacaktır:

S \u003d l * n.

Köşegenlere göre alan bulma yeteneği

Bu yöntem, oluşturdukları açı biliniyorsa yardımcı olacaktır. Köşegenlerin d 1 ve d 2 harfleriyle ve aralarındaki açıların - &alfa- ve &beta- ile gösterildiğini varsayalım. Daha sonra yamuk alanının nasıl bulunacağına dair formül aşağıdaki gibi yazılacaktır:

S = ((d 1 * d 2) / 2) * günah &alfa-.

Bu ifadede &alpha- yerine &beta- yazabilirsiniz. Sonuç değişmeyecek.

Şeklin her tarafı biliniyorsa alanı nasıl bulunur?

Bu şekilde tarafların tam olarak bilindiği durumlar da vardır. Bu formül hantal ve hatırlaması zor. Ama muhtemelen. İzin vermek taraflar atamaya sahip: 1 ve 2'de, a 1 tabanı 2'den büyüktür. Daha sonra alan formülü aşağıdaki formu alır:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2 ).

Bir ikizkenar yamuğun alanını hesaplama yöntemleri

Birincisi, içine bir dairenin kazınabileceği gerçeğiyle ilgilidir. Ve yarıçapını (r harfi ile gösterilir) ve tabandaki açıyı - &gamma- bilerek, aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

S \u003d (4 * r 2) / sin &gamma-.

Şeklin tüm kenarlarının bilinmesine dayanan son genel formül, kenarların aynı değere sahip olması nedeniyle büyük ölçüde basitleştirilmiştir:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplama yöntemleri

Açıktır ki herhangi biri yapacak keyfi bir rakam için listelenenlerden. Ancak bazen böyle bir yamuğun bir özelliğini bilmek yararlıdır. Köşegenlerin uzunluklarının kareleri farkının, tabanların kareleri farkına eşit olması gerçeğinde yatmaktadır.

Genellikle bir yamuk için formüller unutulurken, bir dikdörtgenin ve bir üçgenin alanları için ifadeler hatırlanır. Daha sonra basit bir yöntem uygulayabilirsiniz. Yamuk dikdörtgen ise ikiye, üçe bölün. Biri kesinlikle bir dikdörtgen olacak ve ikincisi veya kalan ikisi üçgen olacak. Bu şekillerin alanlarını hesapladıktan sonra geriye sadece bunları toplamak kalıyor.

Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını bulmanın oldukça basit bir yoludur.

Ya yamuk köşelerinin koordinatları biliniyorsa?

Bu durumda noktalar arasındaki mesafeyi belirlemenizi sağlayan bir ifade kullanmanız gerekecektir. Hem tabanları hem de bir yüksekliği bilmek için üç kez uygulanabilir. Ve sonra biraz daha yukarıda açıklanan ilk formülü uygulayın.

Bu yöntemi açıklamak için bir örnek verilebilir. A(5-7), B(8-7), C(10-1), D(1-1) koordinatlarına sahip köşeler verilmiştir. Şeklin alanını bilmemiz gerekiyor.

Bir yamuğun alanını bulmadan önce, koordinatlardan tabanların uzunluklarını hesaplamanız gerekir. Bu formüle ihtiyacınız olacak:

parça uzunluğu = &radic-((noktaların birinci koordinatlarının farkı) 2 + (noktaların ikinci koordinatlarının farkı) 2 ).

Üst taban AB olarak adlandırılır, yani uzunluğu &radic-((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = &radic-9 = 3'e eşit olacaktır. Alttaki SD = &radic- (( 10-1) 2 + ( 1-1) 2 ) = &radik-81 = 9.

Şimdi yukarıdan aşağıya bir yükseklik çizmeniz gerekiyor. Başlangıcı A noktasında olsun. Segmentin sonu alt tabanda (5-1) koordinatlı noktada olsun, H noktası olsun. AH segmentinin uzunluğu &radic-(( 5-5) 2 + (7-1) 2 ) = &radik-36 = 6.

Sadece bir yamuğun alanı için formülde elde edilen değerleri değiştirmek için kalır:

B = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Koordinat ızgarasının ölçeği belirtilmediğinden, sorun ölçü birimleri olmadan çözülür. Milimetre veya metre olabilir.

Görev örnekleri

1 numara. Durum. Rastgele bir yamuğun köşegenleri arasındaki açı bilinir, 30 dereceye eşittir. Küçük köşegenin değeri 3 dm'dir ve ikincisi ondan 2 kat daha büyüktür. Yamuğun alanını hesaplamanız gerekiyor.

Çözüm.Öncelikle ikinci köşegenin uzunluğunu bulmanız gerekir, çünkü bu olmadan cevabı hesaplamak mümkün olmayacaktır. Hesaplaması kolaydır, 3 * 2 = 6 (dm).

Şimdi alan için uygun formülü kullanmanız gerekiyor:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30 º- \u003d 18/2 * & frac12- \u003d 4,5 (dm 2). Sorun çözüldü.

Cevap: yamuğun alanı 4,5 dm2'dir.

2 numara. Durum. ABCD yamuğunda, tabanlar AD ve BC doğru parçalarıdır. E noktası, SD tarafının orta noktasıdır. Ondan AB düz çizgisine dik çizilir, bu parçanın sonu H harfi ile gösterilir. AB ve EH uzunluklarının sırasıyla 5 ve 4 cm olduğu bilinmektedir, alanını hesaplamak gerekir. yamuk.

Çözüm.İlk önce bir çizim yapmalısın. Dikmenin değeri çizildiği kenardan küçük olduğu için yamuk yukarı doğru hafifçe uzar. Yani EH şeklin içinde olacak.

Sorunu çözmedeki ilerlemeyi net bir şekilde görmek için ek bir inşaat yapmanız gerekecektir. Yani AB kenarına paralel olacak bir çizgi çizin. Bu çizginin AD - P ile ve BC - X'in devamı ile kesiştiği noktalar. Ortaya çıkan VKhRA figürü bir paralelkenardır. Ayrıca, alanı gerekli olana eşittir. Bunun nedeni, ek inşaat sırasında elde edilen üçgenlerin eşit olmasıdır. Bu, kenarın ve ona bitişik iki açının eşitliğinden kaynaklanır, biri dikey, diğeri çapraz uzanır.

Paralelkenarın alanını, kenarın çarpımı ve üzerine indirilen yüksekliği içeren bir formül kullanarak bulabilirsiniz.

Böylece, bir yamuğun alanı 5 * 4 = 20 cm2'dir.

Cevap: S \u003d 20 cm2.

3 numara. Durum. Elementler ikizkenar yamuk aşağıdaki anlamlara sahiptir: alt taban - 14 cm, üst - 4 cm, dar açı - 45 º-. alanını hesaplamamız gerekiyor.

Çözüm. Küçük taban BC ile gösterilsin. B noktasından çizilen yüksekliğe BH denir. Açı 45 º- olduğundan, ABH üçgeni dikdörtgen ve ikizkenar olacaktır. Yani AH=BH. Ve AN'yi bulmak çok kolaydır. Bazların farkının yarısına eşittir. Yani (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Tabanlar bilinir, yükseklikler sayılır. Burada keyfi bir yamuk için düşünülen ilk formülü kullanabilirsiniz.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm2).

Cevap:İstenilen alan 45 cm2 dir.

4 numara. Durum. Keyfi bir yamuk ABCD vardır. O ve E noktaları, OE AD'nin tabanına paralel olacak şekilde yanlarında alınır. AOED'nin yamuk alanı, CFE'ninkinden beş kat daha büyüktür. Taban uzunlukları biliniyorsa OE değerini hesaplayın.

Çözüm. AB'ye paralel iki düz çizgi çizmek gerekli olacaktır: birincisi C noktasından, OE ile kesişme noktası - T noktası; ikincisi E'den ve AD ile kesişme noktası M olacaktır.

Bilinmeyen OE=x olsun. Daha küçük olan yamuk OVSE-n1'in yüksekliği, daha büyük olan AOED-n2'dir.

Bu iki yamuğun alanları 1'e 5 olarak ilişkili olduğu için aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Üçgenlerin yükseklikleri ve kenarları yapımda orantılıdır. Bu nedenle, başka bir eşitlik yazabiliriz:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

İkiye son girişler eşit değerler sol taraftadır, yani (x + a 1) / (5 (x + a 2)) eşittir (x - a 2) / (a ​​1) yazabiliriz - X).

Burada bir takım dönüşümler gereklidir. Önce çapraz çarpın. Karşınıza karelerin farkını gösteren parantezler çıkacak, bu formülü uyguladıktan sonra kısa bir denklem elde edeceksiniz.

İçindeki parantezleri açmanız ve bilinmeyen "x" ile tüm terimleri sol tarafa taşımanız ve ardından çıkartmanız gerekir.

Cevap: x \u003d &radic- ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

DİĞER

Geometri derslerinde kendine güvenmek ve problemleri başarılı bir şekilde çözmek için formülleri öğrenmek yeterli değildir. Onların…

Matematik, sınıfın profili ne olursa olsun herkesin çalıştığı bir okul konusudur. Ancak, herkes tarafından sevilmez. Bazen...

Matematik inanılmaz bir bilimdir. Ancak, böyle bir düşünce ancak onu anladığınızda gelir. Bunu başarmak için,…

Okul müfredatı, çocuklara erken yaşlardan itibaren geometri öğretmeyi sağlar. Bu konudaki en temel bilgilerden biri…

Herhangi bir üçgenin çevresi, şekli sınırlayan çizginin uzunluğudur. Hesaplamak için hepsinin toplamını bilmeniz gerekir ...

Küp inanılmaz bir figür. Her yönden aynıdır. Yüzlerinden herhangi biri anında taban veya taraf olabilir. Ve ...

Dik üçgenler konusunu çalıştıktan sonra, öğrenciler genellikle onlar hakkındaki tüm bilgileri kafalarından atarlar. İçinde…

Çoğu zaman öğrenciler öfkeyle sorarlar: "Bu benim için hayatta nasıl faydalı olacak?" Her konunun herhangi bir konuda. Olumsuzluk…

Okulda incelenen en basit çokgen bir üçgendir. Öğrenciler için daha anlaşılır ve ...

Basit bir soruya "Bir yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?" birkaç cevap var ve hepsi olabileceği için ...

Alan bul eşkenar üçgen keyfi bir rakam için herhangi bir formülle mümkündür bu türden veya…

Genellikle internette matematik bilgisinin - integraller, diferansiyeller, ...

Geometri, pratikte bir kişinin neredeyse her gün karşılaştığı bilimlerden biridir. Çeşitlilik arasında geometrik şekiller Yamuk ayrıca özel bir ilgiyi hak ediyor. İkisi birbirine paralel dört kenarı olan dışbükey bir figürdür. İkincisine tabanlar, kalan ikisine de kenarlar denir. Tabanlara dik olan ve aralarındaki boşluğun boyutunu belirleyen segment yamuğun yüksekliği olacaktır. Uzunluğunu nasıl hesaplayabilirsiniz?

Rastgele bir yamuğun yüksekliğini bulun

İlk verilere dayanarak, bir figürün yüksekliğini belirlemek birkaç şekilde mümkündür.

Bilinen alan

Paralel kenarların uzunluğu biliniyorsa ve şeklin alanı da belirtilmişse, gerekli dikmeyi belirlemek için aşağıdaki ilişki kullanılabilir:

S=h*(a+b)/2,
h istenen değerdir (yükseklik),
S, şeklin alanıdır,
a ve b birbirine paralel kenarlardır.
Yukarıdaki formülden h=2S/(a+b) çıkar.

Orta hattın değeri biliniyor

İlk veriler arasında yamuk alanına (S) ek olarak orta hattının (l) uzunluğu da biliniyorsa, hesaplamalar için başka bir formül yararlıdır. İlk olarak, bu tür bir dörtgen için orta çizginin ne olduğunu açıklamaya değer. Terim, şeklin kenarlarının orta noktalarını birleştiren düz çizginin parçasını tanımlar.

Yamuk l=(a+b)/2 özelliklerine göre,
l - orta hat,
a, b dörtgenin kenar-tabanlarıdır.
Bu nedenle h=2S/(a+b)=S/l.


Şeklin 4 tarafı biliniyor

İÇİNDE bu durum Pisagor teoremi yardımcı olacaktır. Dikeyleri büyük yan tabana indirdikten sonra, ortaya çıkan iki dik açılı üçgen için kullanın. Son ifade şöyle görünecektir:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,


c ve d diğer 2 kenardır.


Tabandaki köşeler

Taban açısı verileriniz varsa, trigonometrik fonksiyonları kullanın.

h = c*sinα = d*sinβ,

α ve β, dörtgenin tabanındaki köşelerdir,
c ve d kenarlarıdır.


Bir şeklin köşegenleri ve kesiştikleri açılar

Köşegenin uzunluğu, şeklin zıt köşelerini birleştiren parçanın uzunluğudur. Bu miktarları d1 ve d2 sembolleri ve aralarındaki açılar γ ve φ ile gösterelim. Daha sonra:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a ve b şeklin taban kenarlarıdır,
d1 ve d2 yamuğun köşegenleridir,
γ ve φ köşegenler arasındaki açılardır.


Şeklin yüksekliği ve içine yazılan dairenin yarıçapı

Bu tür bir dairenin tanımından da anlaşılacağı gibi, bir düz çizginin parçası olan her tabana 1 noktada dokunur. Bu nedenle, aralarındaki mesafe - çap - şeklin istenen yüksekliği. Ve çap, yarıçapın iki katı olduğu için, o zaman:

h = 2 * r,
r, verilen yamuğun içine çizilen dairenin yarıçapıdır.


Bir ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulun

  • İfadeden de anlaşılacağı gibi, bir ikizkenar yamuğun ayırt edici bir özelliği, kenarlarının eşitliğidir. Bu nedenle, şeklin yüksekliğini bulmak için, yamuğun kenarlarının bilinmesi durumunda bu değeri belirlemek için formülü kullanın.

Öyleyse, c \u003d d ise, o zaman h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - dörtgenin yan tabanları,
c = d kenarlarıdır.

  • İki tarafın (taban ve yan) oluşturduğu açıların büyüklüğünün varlığında, yamuğun yüksekliği aşağıdaki oranla belirlenir:

h = c*sinα,
h = c * tgα *cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α, şeklin tabanındaki açıdır,
bir, b (bir< b) – основания фигуры,
c = d kenarlarıdır.

  • Şeklin köşegenlerinin değerleri verilirse, şeklin yüksekliğini bulma ifadesi değişecektir, çünkü d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.


Hayatımızda, geometrinin pratikte, örneğin inşaatta uygulanmasıyla çok sık uğraşmak zorunda kalırız. En yaygın geometrik şekiller arasında bir yamuk vardır. Ve projenin başarılı ve güzel olabilmesi için böyle bir rakam için unsurların doğru ve doğru bir şekilde hesaplanması gerekmektedir.

Bir yamuğun tabanları olarak adlandırılan bir çift paralel kenarı olan dışbükey bir dörtgen nedir? Ancak bu zeminleri birbirine bağlayan iki taraf daha var. Yanal olarak adlandırılırlar. Bu şekil ile ilgili sorulardan biri şudur: "Yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?" Yüksekliğin bir tabandan diğerine olan mesafeyi belirleyen bir segment olduğuna hemen dikkat etmek gerekir. Bilinen değerlere bağlı olarak bu mesafeyi belirlemenin birkaç yolu vardır.

1. Her iki bazın da değerleri biliniyor, bunları b ve k ile bu yamuğun alanı olarak gösteriyoruz. Bilinen değerleri kullanarak bu durumda yamuğun yüksekliğini bulmak çok kolaydır. Geometriden bilindiği üzere tabanlar ile yüksekliğin toplamının yarısının çarpımı olarak hesaplanır. Bu formülden istediğiniz değeri kolayca elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için, alanı tabanların toplamının yarısına bölmeniz gerekir. Formül biçiminde, şöyle görünür:

S=((b+k)/2)*h, dolayısıyla h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Orta hattın uzunluğu biliniyor, onu d ve alanı gösterelim. Bilmeyenler için kenarların orta noktaları arasındaki mesafeye orta çizgi diyorum. Bu durumda yamuğun yüksekliği nasıl bulunur? Yamuğun özelliğine göre ortadaki çizgi tabanlar toplamının yarısına, yani d=(b+k)/2'ye karşılık gelir. Yine alan formülünü kullanıyoruz. Tabanların toplamının yarısını orta çizginin değeriyle değiştirerek aşağıdakileri elde ederiz:

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan formülden yüksekliği çıkarmak çok kolay. Alanı orta çizginin değerine bölerek istenen değeri buluyoruz. Bu formülü yazalım:

3. Bir kenarın (b) uzunluğu ve bu kenar ile en büyük taban arasında oluşan açı bilinmektedir. Yamuğun yüksekliği nasıl bulunur sorusunun cevabı da bu durumda. AB ve CD'nin kenar olduğu ve AB=b olduğu bir yamuk ABCD düşünün. En büyük taban AD'dir. AB ve AD tarafından oluşturulan açı α ile gösterilecektir. B noktasından h yüksekliğini AD tabanına indiriyoruz. Şimdi bir dik üçgen olan ABF üçgenini ele alalım. AB tarafı hipotenüs ve BF bacaktır. mülkten sağ üçgen bacak değerinin hipotenüs değerine oranı, bacağın karşısındaki açının sinüsüne (BF) karşılık gelir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, yamuğun yüksekliğini hesaplamak için bilinen kenar değeri ile α açısının sinüsünü çarparız. Formül biçiminde, şöyle görünür:

4. Benzer şekilde, kenarın boyutu ve açısı biliniyorsa, bu kenar ile daha küçük taban arasında oluşan β ile gösterelim. Böyle bir problemi çözerken bilinen yan kenar ile çizilen yükseklik arasındaki açı 90° - β olacaktır. Üçgenlerin özelliklerinden - bacağın uzunluğunun ve hipotenüsün oranı, aralarında bulunan açının kosinüsüne karşılık gelir. Bu formülden yükseklik değerini elde etmek kolaydır:

h = b *cos(β-90°)

5. Yalnızca çevrelenmiş dairenin yarıçapı biliniyorsa yamuğun yüksekliği nasıl bulunur? Bir dairenin tanımından, her tabanda bir noktaya dokunur. Ayrıca bu noktalar çemberin merkezi ile aynı doğru üzerindedir. Bundan, aralarındaki mesafenin yamuk çapı ve aynı zamanda yüksekliği olduğu sonucu çıkar. Öyle görünüyor:

6. Genellikle bir ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulmanın gerekli olduğu problemler vardır. Eşit kenarlara sahip bir yamuğun ikizkenar olarak adlandırıldığını hatırlayın. Bir ikizkenar yamuğun yüksekliği nasıl bulunur? Dik köşegenlerde yükseklik tabanların toplamının yarısıdır.

Peki ya köşegenler dik değilse? Bir ikizkenar yamuk ABCD düşünün. Özelliklerine göre tabanlar paraleldir. Bundan, tabanlardaki açıların da eşit olacağı sonucu çıkar. BF ve CM olmak üzere iki yükseklik çizelim. Yukarıdakilere dayanarak, ABF ve DCM üçgenlerinin eşit olduğu, yani AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2 olduğu söylenebilir. Şimdi, problemin durumuna göre, biz bilinen değerleri belirleyin ve ancak o zaman bir ikizkenar yamuğun tüm özelliklerini dikkate alarak yüksekliği buluruz.

 

Şunları okumak faydalı olabilir: