Paralelkenarın köşegeni nedir? Bir paralelkenarın köşegenlerinin özellikleri. Eksiksiz Dersler - Bilgi Hipermarketi

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. Bu tanım zaten yeterlidir, çünkü bir paralelkenarın geri kalan özellikleri ondan çıkar ve teoremler şeklinde ispatlanır.

Bir paralelkenarın ana özellikleri şunlardır:

• paralelkenar dışbükey bir dörtgendir;
• bir paralelkenar, çiftler halinde eşit zıt taraflara sahiptir;
• bir paralelkenar, çiftler halinde eşit olan zıt açılara sahiptir;
• bir paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünür.

Paralelkenar - dışbükey bir dörtgen

Önce şu teoremi kanıtlayalım: paralelkenar dışbükey bir dörtgendir. Bir çokgen, herhangi bir kenarı düz bir çizgiye uzatıldığında dışbükeydir, çokgenin diğer tüm kenarları bu düz çizginin aynı tarafında olacaktır.

AB'nin CD'nin karşı kenarı ve BC'nin AD'nin karşı kenarı olduğu bir ABCD paralelkenarı verilsin. Ardından, bir paralelkenarın tanımından AB || CD, M.Ö. || AD.

Paralel doğru parçalarının ortak noktaları yoktur, kesişmezler. Bu, CD'nin AB'nin bir tarafında olduğu anlamına gelir. BC doğru parçası, AB doğru parçasının B noktasını CD parçasının C noktasına bağladığından ve AD parçası diğer AB ve CD noktalarını birleştirdiğinden, BC ve AD doğru parçaları da CD'nin bulunduğu AB doğrusunun aynı tarafında bulunur. Böylece, üç kenar da - CD, BC, AD - AB'nin aynı tarafında yer alır.

Aynı şekilde paralelkenarın diğer kenarlarına göre diğer üç kenarının da aynı kenar üzerinde olduğu kanıtlanmıştır.

Karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir

Paralelkenarın özelliklerinden biri de şudur: paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir. Örneğin, bir ABCD paralelkenarı verilirse, AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D olur. Bu teorem aşağıdaki gibi ispatlanmıştır.

Paralelkenar bir dörtgendir. Yani iki köşegeni var. Bir paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, bunlardan herhangi biri onu iki üçgene böler. AC köşegenini çizerek elde edilen ABCD paralelkenarında ABC ve ADC üçgenlerini ele alalım.

Bu üçgenlerin ortak bir tarafı vardır - AC. BCA açısı, paralel BC ve AD dikeyleri gibi CAD açısına eşittir. BAC ve ACD açıları, AB ve CD paralel olduğunda dikey açılar da eşittir. Bu nedenle iki açı ve aralarındaki kenar üzerinden ∆ABC = ∆ADC olur.

Bu üçgenlerde AB kenarı CD kenarına, BC kenarı AD kenarına karşılık gelir. Bu nedenle, AB = CD ve BC = AD.

B açısı, D açısına karşılık gelir, yani ∠B = ∠D. Bir paralelkenarın A açısı iki açının toplamıdır - ∠BAC ve ∠CAD. C eşittir açısı ∠BCA ve ∠ACD'den oluşur. Açı çiftleri birbirine eşit olduğundan ∠A = ∠C olur.

Böylece bir paralelkenarda karşılıklı kenarların ve açıların birbirine eşit olduğu kanıtlanmış olur.

Köşegenler ikiye bölündü

Bir paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, iki iki köşegeni vardır ve kesişirler. AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişen bir ABCD paralelkenar verilsin. Bunların oluşturduğu ABE ve CDE üçgenlerini ele alalım.

Bu üçgenlerin AB ve CD kenarları paralelkenarın karşılıklı kenarlarına eşittir. ABE açısı, AB ve CD paralel doğruları boyunca uzandıkları için CDE açısına eşittir. Aynı nedenle ∠BAE = ∠DCE. Dolayısıyla, iki açı ve aralarındaki kenar üzerinde ∆ABE = ∆CDE.

Ayrıca AEB ve CED açılarının dikey olduğunu ve bu nedenle de birbirine eşit olduğunu fark edebilirsiniz.

ABE ve CDE üçgenleri birbirine eşit olduğundan, karşılık gelen tüm elemanları da eşittir. Birinci üçgenin AE kenarı, ikincinin CE kenarına karşılık gelir, yani AE = CE. Benzer şekilde, BE = DE. Her bir eşit parça çifti paralelkenarın köşegenini oluşturur. Böylece kanıtlanmıştır ki bir paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünür.

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Köşegenler, zıt köşeleri birleştiren düz çizgilerdir. Kesiştikleri nokta simetri merkezidir. Genel olarak, bir paralelkenarın iki köşegeni vardır, D uzun ve d kısadır.

Kosinüs yasasını kullanarak bir paralelkenarın köşegenini bulun

• Paralelkenar α ve β açılarının kosinüslerinin değeri.

D = √a^2 + b^2 - 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 - 2ab cosα

Bilinen bir köşegen ve kenarlar cinsinden bir paralelkenarın köşegenini bulun

Bu yöntemi kullanmak için bilmeniz gerekenler:

• Paralelkenarın a ve b kenarlarının uzunlukları.

D = √2a^2 + 2b^2 - d^2

Bu yöntemi kullanmak için bilmeniz gerekenler:

• Bir paralelkenarın alanı.
• D veya d köşegenlerinden birinin uzunluğu.
• γ veya δ köşegenleri arasındaki açı.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ

Bir paralelkenarın köşegen uzunluğunu belirlemenin özel bir durumu bir karedir.

Kare, tüm kenarları eşit ve açıları 90° olan bir paralelkenardır. Bu durumda köşegenlerin uzunlukları D=d'ye eşit olacaktır ve Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir.
D=d=a*√2

Bir paralelkenarın köşegen uzunluğunu belirlemenin özel bir durumu bir dikdörtgendir.

Dikdörtgen, açıları eşit ve 90°'ye eşit olan bir paralelkenardır. Bu durumda köşegenlerin uzunlukları D=d'ye eşit olacaktır ve Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir.
D=d=√(a^2+b^2)

Paralelkenar özellikleri.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir. Bir paralelkenar zıt açılara sahiptir.

Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür (Şek. 96).

AB = CD, BC = AD, ?KÖTÜ = ?BCD, ?ABS = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Bir paralelkenarın özellikleri.

Bir dörtgenin paralel ve eşit iki kenarı varsa, o zaman bir paralelkenardır (Şek. 97).

BC||AD, BC = AD ? ABCD bir paralelkenardır.

Bir dörtgenin köşegenleri kesişirse ve kesişme noktası ikiye bölünürse, bu dörtgen bir paralelkenardır (Şekil 98).

AO = OS, VO = OD? ABCD bir paralelkenardır.

Dikdörtgen özellikleri.

Dikdörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerine sahiptir (dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir; dikdörtgenin karşılıklı açıları eşittir (90°); dikdörtgenin köşegenleri kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür).

Dikdörtgenin köşegenleri eşittir (Şek. 99):

Dikdörtgen işareti.

Bir paralelkenarın tüm açıları eşitse, bu bir dikdörtgendir.

Eşkenar dörtgen özellikleri.

Bir eşkenar dörtgen için, bir paralelkenarın tüm özellikleri karakteristiktir (bir eşkenar dörtgen için, karşılıklı taraflar eşittir - genel olarak, tüm kenarlar tanım gereği eşittir; bir eşkenar dörtgen için, zıt açılar eşittir; bir eşkenar dörtgenin köşegenleri kesişir ve kesişme noktası) nokta ikiye bölünür).

Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesişir.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri, köşelerinin açıortaylarıdır (Şek. 100).

AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.

Eşkenar dörtgen işareti.

Bir paralelkenarın köşegenleri dik ise, bu bir eşkenar dörtgendir.

Kare özellikleri.

Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir.

Kare işareti.

Dikdörtgenin köşegenleri dik açıyla kesişiyorsa karedir.

Mülk orta hat yamuk.

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir (Şek. 101).

Yazılı ve çevrelenmiş dörtgenler için kriterler.

Bir dörtgenin yanında bir daire çizilebilirse, karşıt açılarının toplamı 180 ° 'ye eşittir (Şekil 102).

A + ?C = ?B + ?D = 180°.

Bir dörtgene bir daire çizilebiliyorsa, karşıt kenarlarının toplamı eşittir (Şekil 103).

AB + CD = AD + BC.

ders konusu

• Bir paralelkenarın köşegenlerinin özellikleri.

Dersin Hedefleri

• Yeni tanımlarla tanışın ve önceden incelenmiş bazılarını hatırlayın.
• Bir paralelkenarın köşegenlerinin özelliklerini formüle edin ve kanıtlayın.
• Problem çözmede şekillerin özelliklerini uygulamayı öğrenin.
• Gelişmekte olan - öğrencilerin dikkatini, sebatını, sebatını geliştirmek, mantıksal düşünme, matematiksel konuşma.
• Eğitim - bir ders yoluyla, birbirlerine karşı özenli bir tutum geliştirmek, yoldaşları dinleme, karşılıklı yardımlaşma, bağımsızlık yeteneği aşılamak.

Dersin Hedefleri

• Öğrencilerin problem çözme becerilerini kontrol edin.

Ders planı

1. Giriiş.
2. Önceden öğrenilen materyalin tekrarı.
3. Paralelkenar, özellikleri ve işaretleri.
4. Görev örnekleri.
5. Kendini kontrol et.

giriiş

"Büyük bir bilimsel keşif, büyük bir soruna çözüm sağlar, ancak herhangi bir sorunun çözümünde bir parça keşif vardır."

Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının özellikleri

Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

Kanıt.

ABCD verilen bir paralelkenar olsun. Ve ona izin ver köşegenler O noktasında kesişir.
Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre Δ AOB = Δ COD olduğuna göre (∠ AOB = ∠ COD, dikey olanlar olarak, AO=OC, DO=OB, paralelkenar köşegenlerin özelliğine göre), AB=CD. Benzer şekilde, BOC ve DOA üçgenlerinin eşitliğinden BC=DA sonucu çıkar. Teorem kanıtlanmıştır.

Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin özelliği

Bir paralelkenar zıt açılara sahiptir.

Kanıt.

ABCD bir verili olsun paralelkenar. Ve köşegenleri O noktasında kesişsin.
Üç kenarda Δ ABC = Δ CDA teoreminde kanıtlanmış bir paralelkenarın karşılıklı kenarlarının özelliklerinden (AB=CD, BC=DA kanıtlanmıştan, AC geneldir). Üçgenlerin eşitliğinden ∠ABC = ∠CDA olduğu sonucu çıkar.
∠ ABD = ∠ CDB'den sonra gelen ∠ DAB = ∠ BCD olduğu da kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlanmıştır.

Bir paralelkenarın köşegenlerinin özelliği

Bir paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür.

Kanıt.

ABCD verilen bir paralelkenar olsun. AC köşegenini çizelim. Üzerinde ortadaki O'yu işaretliyoruz.DO segmentinin devamında DO'ya eşit olan OB 1 segmentini bir kenara ayırıyoruz.
Bir önceki teoreme göre, AB 1 CD bir paralelkenardır. Bu nedenle, AB 1 doğrusu DC'ye paraleldir. Ancak A noktasından DC'ye paralel yalnızca bir doğru çizilebilir. Dolayısıyla, AB 1 doğrusu AB doğrusu ile çakışıyor.
BC 1'in BC ile çakıştığı da kanıtlanmıştır. Yani C noktası C1 ile çakışıyor. paralelkenar ABCD, AB 1 CD paralelkenarı ile çakışıyor. Bu nedenle, paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası ikiye bölünür. Teorem kanıtlanmıştır.

Sıradan okullar için ders kitaplarında (örneğin, Pogorelov'da), şu şekilde kanıtlanmıştır: köşegenler paralelkenarı 4 üçgene böler. Bir çifti düşünün ve eşit olduklarını bulun: tabanları zıt taraflardır, ona bitişik karşılık gelen açılar paralel çizgilerle dikey olarak eşittir. Yani, köşegenlerin parçaları ikili olarak eşittir. Tüm.

Hepsi bu?
Eğer varsa, kesişme noktasının köşegenleri ikiye böldüğü yukarıda kanıtlanmıştır. Yukarıdaki akıl yürütme, varlığını hiçbir şekilde kanıtlamaz. Yani, teoremin "paralelkenar köşegenler kesişir" kısmı kanıtlanmamıştır.

Bu kısmın kanıtlanmasının çok daha zor olması komik. Bu arada, bu daha genel bir sonuçtan çıkar: herhangi bir dışbükey dörtgen için köşegenler kesişecek, dışbükey olmayan herhangi bir dörtgen için kesişmeyecekler.

Kenar boyunca üçgenlerin eşitliği ve ona bitişik iki açı (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti) ve diğerleri.

Bir kenar boyunca iki üçgenin ve ona bitişik iki açının eşitliğine ilişkin teorem, Thales önemli bir pratik uygulama buldu. Milet limanına denizde gemiye olan mesafeyi belirleyen telemetre yapıldı. Üç tahrikli mandal A, B ve C'den (AB = BC) ve CA'ya dik, işaretli bir düz çizgi SK'den oluşuyordu. Gemi SC düz çizgisi üzerinde göründüğünde, D, .B ve E noktaları aynı düz çizgi üzerinde olacak şekilde bir D noktası bulundu. Çizimden de anlaşılacağı üzere yerdeki CD mesafesi gemiye olan istenilen mesafedir.

Sorular

1. Bir karenin köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünür mü?
   
2. Paralelkenarın köşegenleri eşit midir?
3. Paralelkenarın karşılıklı açıları eşit midir?
4. Paralelkenarın tanımı nedir?
5. Bir paralelkenarın kaç özelliği vardır?
   
6. Bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olabilir mi?
   

Kullanılan kaynakların listesi

1. Kuznetsov A. V., matematik öğretmeni (5-9. Sınıflar), Kiev
2. “Birleşik devlet sınavı 2006. Matematik. Öğrencilerin hazırlanması için eğitim ve öğretim materyalleri / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematiğindeki temel rekabet problemlerini çözme"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: eğitim kurumları için bir ders kitabı"

ders çalışmak

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

hakkında soru sor modern eğitim, bir fikri ifade edebilir veya acil bir sorunu çözebilirsiniz. Eğitim Forumu taze düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyinin uluslararası düzeyde toplandığı yer. yarattıktan sonra Blog, Sadece yetkin bir öğretmen olarak statünüzü iyileştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli bir katkı sağlayacaksınız. Eğitim Liderleri Loncasıüst düzey uzmanlara kapı açıyor ve sizi dünyanın en iyi okullarını yaratma yönünde işbirliği yapmaya davet ediyor.

Öğeler > Matematik > Matematik 8. Sınıf

 

Şunları okumak faydalı olabilir:

• Fotoğraflar, adlar ve açıklamalar içeren orman yenilebilir mantarların listesi;
• malzeme olarak maun;
• Physalis: evde büyüyen fideler Physalis tohumlarının çimlenmesi;
• Petrovsky armut çeşidi. Armut “Petrovskaya. Geç kış çeşitleri;
• Damla sulama: uygun kurulum ve uzun süreli çalışma;
• 17 haftalık hamilelikte nasıl bir duygu?;
• Spasmalgon kullanımı hamilelik sırasında haklı mı İkinci trimesterde Spasmalgon;
• Hamileliğin dördüncü haftası: belirtiler, semptomlar, fotoğraf, ultrason;