Події з матрицями. Матриці

Рядки матриці Aутворюють простір рядків R(A T).

Стовпці матриці Aутворюють простір стовпцівматриці та позначаються через R(A).

Ядро або нуль простір матриці

Багато рішень рівняння Ax=0, де A-m x n-матриця, x- Вектор довжини n- утворює нуль простірабо ядроматриці Aі позначається через Ker(A)або N(A).

Протилежна матриця

Для будь-якої матриці Aіснує протилежна матриця -Aтака, що A+(-A)=0.Очевидно, що як матриця -Aслід взяти матрицю (-1)A, елементи якої відрізняються від елементів Aзнаком.

Кососиметрична (Кососиметрична) матриця

Кососиметричною називається квадратна матриця, яка відрізняється від своєї транспонованої матриці множником −1:

У кососиметричній матриці будь-які два елементи, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, відрізняються один від одного множником −1, а діагональні елементи дорівнюють нулю.

Приклад кососиметричної матриці:

Різниця матриць

Різниця Cдвох матриць Aі Bоднакового розміру визначається рівністю

Для позначення різниці двох матриць використовується запис:

Ступінь матриці

Нехай квадратна матриця розміру n×n.Тоді ступінь матриці визначається так:

де E-поодинока матриця.

З поєднаного властивості множення випливає:

де p,q- довільні цілі невід'ємні числа.

Симетрична (Симетрична) матриця

Матриця, яка задовольняє умову A=ATназивається симетричною матрицею.

Для симетричних матриць має місце рівність:

a ij = a ji; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Лінійна алгебра

Матриці

Матрицярозміру m х n – це прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків та n стовпців. Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці.

Матриці прийнято позначати великими латинськими літерами, а елементи - тими ж, але малими літерами з подвійною індексацією.

Наприклад, розглянемо матрицю А розмірності 2 х 3:

У цій матриці два рядки (m = 2) та три стовпці (n = 3), тобто. вона складається з шести елементів a ij де i - номер рядка, j - номер стовпця. При цьому набуває значення від 1 до 2, а від одного до трьох (записується). Зокрема, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Матриці А та В одного розміру (m х n) називають рівними, якщо вони поэлементно збігаються, тобто. a ij = b ij для , тобто. для будь-яких i та j (можна записати "i, j).

Матриця-рядок- це матриця, що складається з одного рядка, а матриця-стовпець- Це матриця, що складається з одного стовпця.

Наприклад, - матриця-рядок, а .

Квадратна матриця n-го порядку - це матриця, до рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.

Наприклад, квадратна матриця другого порядку.

Діагональніелементи матриці – це елементи, у яких номер рядка дорівнює номеру стовпця (a ij, i = j). Ці елементи утворюють головну діагональматриці. У попередньому прикладі головну діагональ утворюють елементи a 11 = 3 та a 22 = 5.

Діагональна матриця- Це квадратна матриця, в якій всі недіагональні елементи дорівнюють нулю. Наприклад, - Діагональна матриця третього порядку. Якщо при цьому всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною(Зазвичай позначаються буквою Е). Наприклад, - Поодинока матриця третього порядку.

Матриця називається нульовийякщо всі її елементи дорівнюють нулю.

Квадратна матриця називається трикутноїякщо всі її елементи нижче (або вище) головної діагоналі дорівнюють нулю. Наприклад, - Трикутна матриця третього порядку.

Операції над матрицями

Над матрицями можна виконувати такі операції:

1. Розмноження матриці на число. Добутком матриці на число l називається матриця В = lА, елементи якої b ij = la ij для будь-яких i і j.

Наприклад, якщо , то .

2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А і однакового розміру m х n називається матриця С = А + В, елементи якої з ij = a ij + b ij для "i, j.

Наприклад, якщо то

.

Зазначимо, що через попередні операції можна визначити віднімання матрицьоднакового розміру: різницю А-В = А + (-1)*В.

3. Розмноження матриць. Добутком матриці А розміру m x n на матрицю розміру n x p називається така матриця С, кожен елемент якої з ij дорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці, тобто. .

Наприклад, якщо

, то розмір матриці-твору буде 2 x 3, і вона матиме вигляд:

В цьому випадку матриця А називається узгодженою з матрицею.

На основі операції множення для квадратних матриць визначено операцію зведення у ступінь. Цілим позитивним ступенем А m (m > 1) квадратної матриці А називаються добуток m матриць, рівних А, тобто.

Підкреслимо, що додавання (віднімання) і множення матриць визначені не для будь-яких двох матриць, а тільки для певних вимог, що задовольняють, до своєї розмірності. Для знаходження суми чи різниці матриць їх розмір обов'язково має бути однаковим. Для знаходження твору матриць число стовпців першої з них має збігатися з числом рядків другої (такі матриці називають узгодженими).

Розглянемо деякі властивості розглянутих операцій, аналогічні властивостям операцій над числами.

1) Комутативний (переміщувальний) закон складання:

А + В = В + А

2) Асоціативний (сполучний) закон складання:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивний (розподільчий) закон множення щодо складання:

l(А + В) = lА + lВ

А(В+С) = АВ+АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Асоціативний (сполучний) закон множення:

l(АВ) = (lА)В = А(lВ)

A(BС) = (АВ)С

Підкреслимо, що переміщувальний закон множення для матриць у випадку НЕ виконується, тобто. AB ¹ BA. Більше того, із існування AB не обов'язково випливає існування ВА (матриці можуть бути не узгодженими, і тоді їх добуток взагалі не визначено, як у наведеному прикладі множення матриць). Але навіть якщо обидва твори існують, вони зазвичай різні.

В окремому випадку комутативним законом має добуток будь-якої квадратної матриці А на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює А (множення на одиничну матрицю тут аналогічно множенню на одиницю при множенні чисел):

АЕ = ЕА = А

Справді,

Підкреслимо ще одну відмінність множення матриць від множення чисел. Добуток чисел може дорівнювати нулю тоді і лише тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Про матриці цього сказати не можна, тобто. добуток ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці. Наприклад,

Продовжимо розгляд операцій над матрицями.

4. Транспонування матриціє операцією переходу від матриці А розміру m x n до матриці А Т розміру n x m, в якій рядки і стовпці помінялися місцями:

%.

Властивості операції транспонування:

1) З визначення слід, якщо матрицю транспонувати двічі, ми повернемося до вихідної матриці: (AT) T = A.

2) Постійний множник можна винести за знак транспонування: (lА) T = lА T .

3) Транспонування дистрибутивно щодо множення та додавання матриць: (AB) T = B T A T і (A + B) T = B T + A T .

Визначники матриць

Для кожної квадратної матриці А вводиться число |А|, яке її називають визначником. Іноді його позначають буквою D.

Це є важливим на вирішення низки практичних завдань. Визначимо його через спосіб обчислення.

Для матриці першого порядку її визначником називають її єдиний елемент |А| = D1 = а11.

Для матриці другого порядку її визначником називають число, яке обчислюють за формулою |А| = D 2 = а 11 * а 22 - а 21 * а 12

Для матриці А третього порядку її визначником називають число, яке обчислюють за формулою

Воно представляє суму алгебри, що складається з 6 доданків, в кожне з яких входить рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця матриці. Для запам'ятовування формули визначника прийнято скористатися так званим правилом трикутників або правилом Сарруса (рис. 6.1).

На малюнку 6.1 схема зліва показує, як вибирати елементи для доданків зі знаком «плюс», - вони перебувають у головній діагоналі й у вершинах рівнобедрених трикутників, підстави яких їй паралельні. Схема зліва використовується для доданків зі знаком «мінус»; на ній замість головної діагоналі береться так звана побічна.

Визначники вищих порядків обчислюють рекурентним способом, тобто. визначник четвертого порядку через визначник третього порядку, визначник п'ятого ладу через визначник четвертого порядку і т.д. Для опису цього способу необхідно ввести поняття мінору та алгебраїчного доповнення елемента матриці (відразу зазначимо, що сам спосіб, який буде розглянуто далі, підходить і для визначників третього та другого порядку).

МіноромМ ij елемента а ij матриці n-го порядку називають визначник матриці (n-1)-го порядку, отриманої з матриці А викреслюванням i рядка і j-го стовпця.

Кожна матриця n-го порядку має n2 мінорів (n-1)-го порядку.

Алгебраїчним доповненням A ij елемента ij матриці n-го порядку називають його мінор, взятий зі знаком (-1) (i+ j) :

A ij = (-1) (i+ j) * М ij

З визначення випливає, що A ij = М ij якщо сума номерів рядка і стовпця парна, і A ij = -М ij якщо вона непарна.

Наприклад, якщо , то ; і т.д.

Спосіб обчислення визначникаполягає в наступному: визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх додатки алгебри:

(Розкладання по елементах i-го рядка; );

(Розкладання за елементами j-го стовпця; ).

Наприклад,

Зазначимо, що й у випадку визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

Сформулюємо основні властивості визначників.

1. Якщо якийсь рядок або стовпець матриці складається з одних нулів, то визначник дорівнює 0 (випливає зі способу розрахунку).

2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на те саме число, то і її визначник помножиться на це число (також випливає зі способу розрахунку - на розрахунок алгебраїчних доповнень загальний множник не впливає, а всі інші доданки помножені саме на це число).

Примітка: за знак визначника можна виносити загальний множник саме рядка або стовпця (на відміну від матриці, за знак якої можна виносити загальний множник усіх елементів). Наприклад, , .

3. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: | А Т | = | А | (Доказ проводити не будемо).

4. При перестановці місцями двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак протилежний.

Для підтвердження цієї якості спочатку припустимо, що переставлені два сусідні рядки матриці: i-я та (i+1)-я. Для розрахунку визначника вихідної матриці здійснимо розкладання по i-му рядку, а для визначника нової матриці (з переставленими рядками) – по (i+1)–й (яка в ній така ж, тобто поелементно збігається). Тоді при розрахунку другого визначника кожне доповнення алгебри матиме протилежний знак, так як (-1) буде зводитися не в ступінь (i + j), а в ступінь (i + 1+ j), а в іншому формули відрізнятися не будуть. Таким чином знак визначника зміниться на протилежний.

Тепер припустимо, що переставлені не сусідні, а два довільні рядки, наприклад, i-я та (i+t)-я. Таку перестановку можна як послідовне зміщення i-го рядка на t рядків вниз, а (i+t)-го рядка - на (t-1) рядків вгору. У цьому знак визначника зміниться (t + t – 1) = 2t – 1 число разів, тобто. непарне число разів. Отже, зрештою він зміниться протилежний.

Аналогічні міркування можна міняти для стовпців.

5. Якщо матриця містить два однакові рядки (стовпця), її визначник дорівнює 0.

Справді, якщо однакові рядки (стовпці) переставити місцями, то буде отримана та сама матриця з тим самим визначників. З іншого боку, за попередньою якістю він має змінити символ, тобто. D = -D D = 0.

6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то визначник дорівнює 0.

Ця властивість заснована на попередній властивості та виносі за дужку загального множника (після виносу за дужку коефіцієнта пропорційності в матриці будуть однакові рядки або стовпці, і в результаті цей коефіцієнт множитиметься на нуль).

7. Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) тієї ж матриці завжди дорівнює 0: при i ¹ j.

Щоб довести цю властивість, достатньо замінити в матриці А j-й рядок на i-ю. В отриманій матриці буде два однакові рядки, тому її визначник дорівнює 0. З іншого боку, його можна обчислити розкладанням по елементах j-го рядка: .

8. Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів рядка або стовпця матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на те саме число.

Справді, нехай до елементів i-го рядка додають елементи j-го рядка, помножені на l. Тоді елементи нового i-го рядка набудуть вигляду
(a ik + la jk , "k). Обчислимо визначник нової матриці розкладанням за елементами i-го рядка (зазначимо, що алгебраїчні доповнення її елементів при цьому не зміняться):

Ми отримали, що цей визначник не відрізняється від визначника вихідної матриці.

9. Визначник добутку матриць дорівнює добутку їх визначників: | АВ | = | А | * |У| (Доказ проводити не будемо).

Розглянуті вище властивості визначників використовують для спрощення їх обчислення. Зазвичай намагаються перетворити матрицю до такого виду, щоб будь-який стовпець або рядок містили якнайбільше нулів. Після цього визначник легко знайти розкладанням цього рядка або стовпця.

зворотна матриця

Матрицю А-1 називають зворотнійпо відношенню до квадратної матриці А, якщо при множенні цієї матриці на матрицю А як праворуч, так і зліва виходить одинична матриця: А -1 * А = А * А -1 = Е.

З визначення слідує, що зворотна матриця є квадратною матрицею того ж порядку, що і матриця А.

Можна відзначити, що поняття зворотної матриці аналогічне поняттю зворотного числа (це число, яке при множенні на дане число дає одиницю: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Усі числа, крім нуля, мають обернені числа.

Щоб вирішити питання, чи має квадратна матриця зворотну, необхідно знайти її визначник. Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то така матриця називається виродженою, або особливою.

Необхідна та достатня умова існування зворотної матриці: зворотна матриця існує і єдина тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця невироджена.

Доведемо потребу. Нехай матриця має зворотну матрицю А -1 , тобто. А -1 * А = Е. Тоді | А -1 * А | = | А -1 | * |А| = | Е | = 1. Отже,
|А| ¹ 0.

Доведемо достатність. Щоб його довести, необхідно просто описати спосіб обчислення зворотної матриці, який завжди зможемо застосувати для невиродженої матриці.

Отже, нехай | А | ¹ 0. Транспонуємо матрицю А. Для кожного елемента А Т знайдемо додаток алгебри і складемо з них матрицю , яку називають приєднаної(Взаємної, союзної): .

Знайдемо твір приєднаної матриці та вихідної. Отримаємо . Таким чином матриця – діагональна. На її головній діагоналі стоять визначники вихідної матриці, а решта елементів – нулі:

Аналогічно можна показати, що .

Якщо розділити всі елементи матриці на |А|, буде отримана одинична матриця Е.

Таким чином , тобто. .

Доведемо єдиність зворотної матриці. Припустимо, існує інша зворотна матриця для А, відмінна від А -1 . Позначимо її X. Тоді А * Х = Е. Помножимо зліва обидві частини рівності на А -1.

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Єдиність доведена.

Отже, алгоритм обчислення зворотної матриці складається з наступних кроків:

1. Знайти визначник матриці | А | . Якщо |А| = 0, то матриця А – вироджена, і зворотну матрицю знайти не можна. Якщо |А| ¹ 0, то переходять до наступного кроку.

2. Побудувати транспоновану матрицю АТ.

3. Знайти алгебраїчні доповнення елементів транспонованої матриці та побудувати приєднану матрицю.

4. Обчислити обернену матрицю, розділивши приєднану матрицю на |А|.

5. Можна перевірити правильність обчислення зворотної матриці відповідно до визначення: А -1 * А = А * А -1 = Е.

1. Знайдемо визначник цієї матриці за правилом трикутників:

Перевірку опустимо.

Можна довести такі властивості обігу матриць:

1) | А-1 | = 1 / | А |

2) (А -1) -1 = А

3) (А m) -1 = (А -1) m

4) (АB) -1 = B -1 * А -1

5) (А -1) T = (АТ) -1

Ранг матриці

Мінором k-го порядкуматриці розміру m х n називають визначник квадратної матриці k-го порядку, яка отримана з матриці А викреслюванням будь-яких рядків і стовпців.

З визначення випливає, що порядок мінору не перевищує меншого її розмірів, тобто. k £ min (m; n). Наприклад, з матриці А 5х3 можна отримати квадратні підматриці першого, другого та третього порядків (відповідно розрахувати мінори цих порядків).

Рангомматриці називають найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці (позначають rang А, або r(А)).

З визначення випливає, що

1) ранг матриці вбирається у меншого з її розмірів, тобто.
r(А) £ min (m; n);

2) r(А) = 0 і тоді, коли матриця нульова (всі елементи матриці дорівнюють нулю), тобто. r(А) = 0 А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку r(А) = n і тоді, коли ця матриця А невироджена, тобто. r(А) = n | | ¹ 0.

Насправді, для цього достатньо обчислити лише один такий мінор (той, який отримано викресленням третього стовпця (тому що в інших буде присутній нульовий третій стовпець, і тому вони дорівнюють нулю).

За правилом трикутника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Оскільки всі мінори третього порядку нульові, r(А) £ 2. Оскільки існує ненульовий мінор другого порядку, наприклад,

Очевидно, що використані нами прийоми (розгляд різноманітних мінорів) не підходять для визначення рангу у складніших випадках через велику трудомісткість. Зазвичай знаходження рангу матриці використовують деякі перетворення, які називають елементарними:

1). Відкидання нульових рядків (стовпців).

2). Розмноження всіх елементів рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля.

3). Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4). Додаток до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5). Транспонування.

Якщо матриця А отримана з матриці B елементарними перетвореннями, ці матриці називають еквівалентнимиі позначають А~В.

Теорема. Елементарні перетворення матриці не змінюють її ранг.

Доказ теореми випливає із властивостей визначника матриці. Насправді, при цих перетвореннях визначники квадратних матриць або зберігаються, або множаться на число, що не дорівнює нулю. Через війну найвищий порядок відмінних від нуля мінорів вихідної матриці залишається тим самим, тобто. її ранг не змінюються.

За допомогою елементарних перетворень матрицю призводять до так званого ступінчастого вигляду (перетворюють на ступінчасту матрицю), тобто. домагаються, щоб у еквівалентній матриці під головною діагоналлю стояли лише нульові елементи, а на головній діагоналі – ненульові:

Ранг ступінчастої матриці дорівнює r, оскільки викреслюванням з неї стовпців, починаючи з (r + 1)-го і далі можна отримати трикутну матрицю r-го порядку, визначник якої буде відмінний від нуля, оскільки буде твір ненульових елементів (отже , є мінор r-го порядку, не рівний нулю):

приклад. Знайти ранг матриці

1). Якщо а 11 = 0 (як у нашому випадку), то перестановкою рядків або стовпців досягнемо того, щоб а 11 ¹ 0. Тут поміняємо місцями 1-й і 2-й рядки матриці:

2). Тепер а 11 ¹ 0. Елементарними перетвореннями досягнемо того, щоб всі інші елементи в першому стовпці дорівнювали нулю. У другому рядку a 21 = 0. У третьому рядку a 31 = -4. Щоб замість (-4) стояв 0, додамо до третього рядка перший рядок, помножений на 2 (тобто на (-а 31/а 11) = -(-4)/2 =
= 2). Аналогічно до четвертого рядка додамо перший рядок (помножений на одиницю, тобто на (-а 41/а 11) = -(-2)/2 = 1).

3). В отриманій матриці а 22 ? 0 (якби було а 22 = 0, то можна було б знову переставити рядки). Доб'ємося, щоб нижче діагоналі у другому стовпці теж стояли нулі. Для цього до 3-го та 4-го рядків додамо другий рядок, помножений на -3 ((-а 32 /а 22) = (-а 42 /а 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). В отриманій матриці два останні рядки – нульові, і їх можна відкинути:

Отримано ступінчасту матрицю, що складається з двох рядків. Отже, r(A) = 2.

Можливо, буде корисно почитати:

• Аналіз демографічної ситуації та оцінка використання трудових ресурсів Росії Чим пояснювалося зростання народжуваності в останні роки;
• Демографічні проблеми сучасності;
• Соціально-демографічні проблеми;
• Природне зростання та відтворення населення Механічні рух населення;
• Відкрити ліве меню сибір Скільки міст мільйонників у східному сибірі;
• Боргова яма для губернаторів Рейтинг боргового навантаження регіонів;
• Мінбуд дав нові роз'яснення про КУ на ОДН Зміна плати за одн;
• Планування та забудова територій садівницьких (дачних) об'єднань громадян, будівлі та споруди;