Які сили діють на маятник, зробіть креслення. Таємниці маятника

Математичним маятникомназивають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, прикріпленої до підвісу і сили тяжіння (або іншої сили), що знаходиться в полі.

Досліджуємо коливання математичного маятника в інерційній системі відліку, щодо якої точка його підвісу перебуває у спокої чи рухається рівномірно прямолінійно. Силою опору повітря нехтуватимемо (ідеальний математичний маятник). Спочатку маятник спочиває в положенні рівноваги С. При цьому сила тяжіння \(\vec F\) і сила пружності \(\vec F_(ynp)\), що діють на нього, взаємно компенсуються.

Виведемо маятник із положення рівноваги (відхиливши його, наприклад, у положення А) і відпустимо без початкової швидкості (рис. 13.11). І тут сили \(\vec F\) і \(\vec F_(ynp)\) не врівноважують одна одну. Тангенціальна складова сили тяжіння (vec F_tau), діючи на маятник, повідомляє йому тангенціальне прискорення (vec a_tau) (складова повного прискорення, спрямована вздовж дотичної до траєкторії руху математичного маятника), і маятник починає рухатися до положення рівноваги зі швидкістю, що зростає по модулю. Тангенціальна складова сили тяжіння \(\vec F_\tau\) є, таким чином, силою, що повертає. Нормальна складова \(\vec F_n\) сили тяжіння спрямована вздовж нитки проти сили пружності \(\vec F_(ynp)\). Равнодіюча сил \(\vec F_n\) і \(\vec F_(ynp)\) повідомляє маятнику нормальне прискорення \(~a_n\), яке змінює при цьому напрям вектора швидкості, і маятник рухається по дузі ABCD.

Чим ближче підходить маятник до положення рівноваги, тим менше стає значення тангенціальної складової \(~F_\tau = F \sin \alpha\). У положенні рівноваги вона дорівнює нулю, а швидкість досягає максимального значення, і маятник рухається інерцією далі, піднімаючись по дузі вгору. При цьому складова (vec F_tau) спрямована проти швидкості. Зі збільшенням кута відхилення а модуль сили \(\vec F_\tau\) збільшується, а модуль швидкості зменшується, і в точці D швидкість маятника стає рівною нулю. Маятник на мить зупиняється, а потім починає рухатись у зворотному напрямку до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, маятник, сповільнюючи рух, сягне точки А (тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух маятника повторюватиметься вже описаної послідовності.

Отримаємо рівняння, що описує вільні коливання математичного маятника.

Нехай маятник у час перебуває у точці У. Його зміщення S від положення рівноваги у цей час дорівнює довжині дуги СВ (тобто. S = |СВ|). Позначимо довжину нитки підвісу l, а масу маятника - m.

З малюнка 13.11 видно, що \(~F_\tau = F \sin \alpha\), де \(\alpha =\frac(S)(l).\) При малих кутах \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Знак мінус у цій формулі ставлять тому, що тангенціальна складова сили тяжіння спрямована до положення рівноваги, а зсув відраховують від рівноваги.

Відповідно до другого закону Ньютона (m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Спроектуємо векторні величини цього рівняння на напрям дотичної до траєкторії руху математичного маятника

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

З цих рівнянь отримаємо

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - динамічне рівняння руху математичного маятника. Тангенціальне прискорення математичного маятника пропорційне його зміщенню та спрямоване до положення рівноваги. Це рівняння можна записати у вигляді. Порівнюючи його з рівнянням гармонійних коливань \(~a_x + \omega^2x = 0\) (див. § 13.3), можна дійти невтішного висновку, що математичний маятник здійснює гармонійні коливання. Оскільки розглянуті коливання маятника відбувалися під впливом лише внутрішніх сил, це були вільні коливання маятника. Отже, вільні коливання математичного маятника за малих відхилень є гармонійними.

Позначимо \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Звідки \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) - циклічна частота коливань маятника.

Період коливань маятника \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Отже,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Цей вираз називають формулою ГюйгенсаВоно визначає період вільних коливань математичного маятника. З формули випливає, що при малих кутах відхилення від положення рівноваги період коливань математичного маятника: 1) не залежить від його маси та амплітуди коливань; 2) пропорційний кореню квадратному із довжини маятника і обернено пропорційний кореню квадратному із прискорення вільного падіння. Це узгоджується з експериментальними законами малих коливань математичного маятника, відкриті Г. Галілеєм.

Підкреслимо, що цю формулу можна використовувати для розрахунку періоду за одночасного виконання двох умов: 1) коливання маятника повинні бути малими; 2) точка підвісу маятника повинна лежати або рухатися рівномірно прямолінійно щодо інерційної системи відліку, в якій він знаходиться.

Якщо точка підвісу математичного маятника рухається з прискоренням (vec a) то при цьому змінюється сила натягу нитки, що призводить до зміни і повертає сили, а отже, частоти і періоду коливань. Як показують розрахунки, період коливань маятника у разі можна розрахувати за формулою

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

де \(~g"\) - "ефективне" прискорення маятника в неінерційній системі відліку. Воно дорівнює геометричній сумі прискорення вільного падіння \(\vec g\) і вектора, протилежного вектору \(\vec a\), тобто. його можна розрахувати за формулою

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 374-376.

хоч не вірте ваше справа.Уважно читайте усі ці статті. Тоді це стане так ясно, як Сонце, що світить.

Як рука та мозок не у всіх людей має таємничу силу, маятник теж у руках не у всіх людей може ставати таємничим. Ця сила не набувається, а народжується з людиною разом. В одній сім'ї один народжується багатим, а інший жебраком. Ніхто не в змозі, природного багатого робити жебракам чи навпаки. Тепер ви зрозуміли з цим, що я хотів вам сказати. Якщо не зрозуміли, нарікайте на себе, ви таким народилися.

Що таке маятник? Із чого робиться? Маятник будь-яке тіло, що вільно рухається, прикріплене до нитки. У руках майстра та простий очерет співає, як соловей. Так само в руках талановитого біомайстра маятник робить неймовірні дії у сфері буття та існування людини.

Не завжди ж буває, що носиш із собою маятник. Так в однієї сім'ї мені довелося знайти кільце, що втратилося, але маятника зі мною не було. Я довкола подивився і в мої очі потрапила пробка від вина. Приблизно з середини пробки я робив трохи надріз ножем і прикріпив нитку. Маятник готовий.
Я в нього спитав: «Будеш зі мною працювати чесно?» Він ствердно крутився за годинниковою стрілкою, ніби весело відгукнувшись. Подумки дав йому знати: «Давай тоді знайдемо кільце, що зникло». Маятник знову ворушився на знак згоди. Я почав ходити двором.

Тому що невістка сказала, що ще не встигла зайти до будинку, як помітила, що у неї на пальці не було кільця. Ще вона сказала, що давно хотіла піти до ювеліра, тому що пальці у неї схудли, і кільце почало спадати. Раптом на моїх руках маятник трохи ворушився, повернув трохи назад, маятник притих. Я йшов уперед, але маятник знову ворушився. Пішов далі, знову притих, я здивувався. Ліворуч маятник мовчить, уперед мовчить. Праворуч йти нікуди. Там невеликий арик тече. Раптом я зрозумів і маятник тримав над водою. Маятник почав за годинниковою стрілкою інтенсивно крутитися. Я покликав невістку і показав місце знаходження обручки.
Вона з радістю в очах почала ритися по арику і швидко знайшла колечко. Виявляється, вона мила руки в арик, і в цей час впало кільце, а вона не помітила. Усі присутні захоплювалися роботою винної пробки.

Не всі люди народжуються ворожками чи ворожками. Не всі ворожки чи ворожі успішно працюють. Меншими похибками працюють поодинокі провісники, а багато хто мухлює як цигани. Так і маятник. Він у невмілої людини ні до чого не придатна річ, хоч вона із золота, не має жодного значення. У руках справжнього майстра шматок звичайного каменю чи гайки робить чудеса.
Пам'ятаю, як учора. На одному збіговиську я зняв з себе піджак і вийшов на якийсь час. Коли повернувся, серцем почув щось недобре. Машинально почав ритися у кишені. Виявилося, мого срібного маятника хтось забрав. Я замовк і нікому не розповів про те, що сталося.
Минуло багато днів, і одного дня до мене додому прийшов один із тих людей, які сиділи з нами на тому збіговищі, де загубився мій маятник. Він глибоко вибачився і подав мені маятник. Виявляється, він думав, вся сила на моєму маятнику і думав, що в нього теж працюватиме цей маятник, як і в мене.
Коли він зрозумів свою помилку, довго мучила його совість і нарешті вирішив повернути маятник господареві. Я прийняв його вибачення і почастував чаєм і навіть продіагностував. Знайшов у нього маятником багато хвороб та приготував йому належні ліки.
Деякі люди мають природний дар цілительства та пророцтва. Цей талант у них роками не виходить назовні. Іноді вони стикаються знавцем, і він йому вказує його призначений життєвий шлях.
Нещодавно прийшла жінка середнього віку на діагностику. На її вигляд ніяк не скажеш, що вона хвора. Вона скаржилася на високу теплоту у своїх кінцівках, як з долонь так і з підошв постійно виходив жар, і частенько відчувала в голові дикі болі, що розпирали в області темряви. Спочатку діагностувавши її по пульсу, помітивши підвищення тонусу судин, я взявся вимірювати кров'яний тиск напівавтоматичним апаратом. Значення в результаті зашкалювали як систолічному, і діастолічному. Вказували 135 на 241, а частота серцевих скорочень виявилася нижчою за норму, для такої гіпертензії: 62 удари на хвилину. Переді мною сиділа спокійно жінка з таким підвищеним тиском. Як би не відчуваючи дискомфорту, від свого стану судин. Есенційна (незрозуміла) гіпертензія її не пригнічувала.

На її пульсі я не помітив і під час пульсової діагностики теж нічого поганого. Я їй ставив діагноз - есенціальна (незрозуміла причина) гіпертонія, що рідше зустрічається. Якби звичайний лікар вимірював її тиск крові, відразу покликав швидку допомогу і поклав її на носилки. Не дозволив їй навіть ворушитися з місця. Справа в тому, що у людини з таким підвищенням тиску вважається гіпертонічний криз. Може за ним наслідувати мозковий інсульт або серцевий інфаркт.
За її словами, від звичайних протигіпертонічних ліків вона почувається настільки гірше, що після них її навіть нудить. За наполяганням сина вона навчилася користуватися маятником, коли голова сильно болить, вона питає у маятника, пити чи не пити аспірин чи пентальгін. Рідше вона ще за згодою маятника приймає відвар листя верби або відвар листя айви, яке рекомендував їй лікар Мухіддін чотири роки тому. Якщо голова у неї сильно ломить, тоді п'є аспірин, у вкрай важких випадках приймає пентальгін. Лікарі та сусіди гіпертоніки над її самолікуванням сміються.
Я перевірив своїм маятником усі ліки, які вона приймає при головних болях та від підвищення тиску крові. Усі вони виявилися дієвими.Ще спитав у маятника. «У неї покращиться здоров'я, якщо вона стане лікувати людей своїм теплом?», Маятник негайно сильно розхитався за годинниковою стрілкою, ствердно. Ось і я їй призначив лікування від неї самої, щоб позбавитися есенціальної гіпертензії, вона повинна займатися лікуванням хвороб інших людей, накладенням на них рук чи ніг. Тепер і сам частенько спрямовую хворих до неї, і вона успішно їх лікує екстрасенсорними пасами. На хвороби до пояса спрямовує тепло руки, на хвороби нижче за пояс, у положенні над хворою тримає праву або ліву ногу відповідно в проблемному місці.
І вона, і хворі задоволені результатами. Ось як два роки не приймає ні аспірин, не пентальгін і маятник іноді дозволяє їй пити відвар листя верби чи айви, при незначних головних болях.
Кому потрібна її допомога, напишіть мені, вона допоможе вам за мізерну плату. Я її навчив навіть безконтактним способом лікувати людей, які перебували на більших відстанях.
Істинно працюючий з маятником людина під час роботи маятника, повинен перебувати з ним у синхронному зв'язку і повинен знати, і заздалегідь відчувати до якого русла спрямовується дія маятника в даний момент. Енергетичною потенцією свого мозку людина, що тримає нитку маятника, повинна допомогти їй підсвідомо, а не умоглядно, у подальших діях над даним об'єктом, а байдуже не дивитися на дію маятника як глядач.
Маятником користувалися і досі використовують майже всі знамениті люди в Месопотамії, Ассирії, Урарту, Індії, Китаї, Японії, у стародавньому Римі, Єгипті, Греції, в Азії, Африці, Америці, Європі, на Сході та у всьому світі багатьох країн.
Через те, що багато відомих міжнародних інститутів, відомих діячів різних сфер наук ще недостатньо оцінили дію і призначення маятника на користь співіснування людства з навколишньою природою симбіозно і гармонійно. Ще людству в повному обсязі залишали псевдонаукові погляди світобудові Вселенської нормалі лише на рівні сучасної природознавстві. Йде етап стирання грані знання між релігією, езотерикою та природознавством. Природно, що природознавство має стати основою всіх фундаментальних наук без будь-яких побічних поглядів.
Є надія, що наука про маятник теж займе в житті людей поряд із інформаційною наукою гідне місце. Адже був час, коли керівники нашої багатонаціональної країни оголосили кібернетику лженаукою і не дозволяли не лише вивчати, а й займатися у навчальних закладах.
Так і зараз на рівні найвищого ешелону сучасної науки, стежать за ідеєю маятника як би на відсталу галузь. Потрібно систематизувати маятник, лозаходство, рамку під єдиний розділ інформатики і створити комп'ютерний програмний модуль.
За допомогою цього модуля будь-яка людина зможе знайти зниклі речі, визначити місцезнаходження предметів, і нарешті діагностувати людей, тварин, птахів, комах взагалі всю природу.
Для цього потрібно вивчати ідеї Л. Г. Пучка про багатовимірну медицину та роботу екстрасенсу Геллера, а також ідеї болгарського цілителя Каналієва та роботи багатьох інших людей, які за допомогою маятника досягли разючих результатів.

Математичним маятникомназивають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, прикріпленої до підвісу і сили тяжіння (або іншої сили), що знаходиться в полі.

Досліджуємо коливання математичного маятника в інерційній системі відліку, щодо якої точка його підвісу перебуває у спокої чи рухається рівномірно прямолінійно. Силою опору повітря нехтуватимемо (ідеальний математичний маятник). Спочатку маятник спочиває в положенні рівноваги С. При цьому сила тяжіння і сила пружності F?ynp, що діють на нього, взаємно компенсуються.

Виведемо маятник із положення рівноваги (відхиливши його, наприклад, у положення А) і відпустимо без початкової швидкості (рис. 1). У цьому випадку сили не врівноважують одна одну. Тангенційна складова сили тяжіння, діючи на маятник, повідомляє йому тангенційне прискорення a? (яка складає повного прискорення, спрямована вздовж дотичної до траєкторії руху математичного маятника), і маятник починає рухатися до положення рівноваги зі швидкістю, що зростає по модулю. Тангенційна складова сили тяжіння є, таким чином, силою, що повертає. Нормальна складова сили тяжіння спрямована вздовж нитки проти сили пружності. Равнодіюча сил і повідомляє маятнику нормальне прискорення , яке змінює у своїй напрям вектора швидкості, і маятник рухається дугою ABCD.

Чим ближче підходить маятник до положення рівноваги, тим менше стає значення тангенціальної складової . У положенні рівноваги вона дорівнює нулю, а швидкість досягає максимального значення, і маятник рухається інерцією далі, піднімаючись по дузі вгору. При цьому складова спрямована проти швидкості. Зі збільшенням кута відхилення модуль сили збільшується, а модуль швидкості зменшується, і в точці D швидкість маятника стає рівною нулю. Маятник на мить зупиняється, а потім починає рухатись у зворотному напрямку до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, маятник, сповільнюючи рух, сягне точки А (тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух маятника повторюватиметься вже описаної послідовності.

Отримаємо рівняння, що описує вільні коливання математичного маятника.

З малюнка 1 видно, що , де . При малих кутах () відхилення маятника

Згідно з другим законом Ньютона. p align="justify"> Спроектуємо векторні величини цього рівняння на напрям дотичної до траєкторії руху математичного маятника

З цих рівнянь отримаємо

Динамічне рівняння руху математичного маятника. Тангенціальне прискорення математичного маятника пропорційне його зміщенню та спрямоване до положення рівноваги. Це рівняння можна записати у вигляді

Порівнюючи його з рівнянням гармонійних коливань , можна дійти невтішного висновку, що математичний маятник здійснює гармонійні коливання. Оскільки розглянуті коливання маятника відбувалися під впливом лише внутрішніх сил, це були вільні коливання маятника. Отже, вільні коливання математичного маятника за малих відхилень є гармонійними.

Позначимо

Циклічна частота коливань маятника.

Період коливань маятника. Отже,

Цей вираз називають формулою Гюйгенса. Воно визначає період вільних коливань математичного маятника. З формули слід, що з малих кутах відхилення від положення рівноваги період коливань математичного маятника:

не залежить від його маси та амплітуди коливань;
пропорційний кореню квадратному із довжини маятника і обернено пропорційний кореню квадратному із прискорення вільного падіння.

Це узгоджується з експериментальними законами малих коливань математичного маятника, відкриті Г. Галілеєм.

Підкреслимо, що цю формулу можна використовувати для розрахунку періоду за одночасного виконання двох умов:

коливання маятника мають бути малими;
точка підвісу маятника повинна лежати або рухатися рівномірно прямолінійно щодо інерційної системи відліку, в якій він знаходиться.

Якщо точка підвісу математичного маятника рухається з прискоренням, то при цьому змінюється сила натягу нитки, що призводить до зміни і сили, що повертає, а отже, частоти і періоду коливань. Як показують розрахунки, період коливань маятника у разі можна розрахувати за формулою

де - "ефективне" прискорення маятника у неінерційній системі відліку. Воно дорівнює геометричній сумі прискорення вільного падіння вектора, протилежного вектору , тобто. його можна розрахувати за формулою

Механічна система, яка складається з матеріальної точки (тіла), що висить на нерозтяжній невагомій нитці (її маса мізерно мала в порівнянні з вагою тіла) в однорідному полі тяжкості, називається математичним маятником (інша назва – осцилятор). Бувають інші види цього пристрою. Замість нитки можна використовувати невагомий стрижень. Математичний маятник може наочно розкрити суть багатьох цікавих явищ. При малій амплітуді коливання його рух називається гармонійним.

Загальні відомості про механічну систему

Формула періоду коливання цього маятника було виведено голландським ученим Гюйгенсом (1629-1695 рр.). Цей сучасник І. Ньютона дуже захоплювався цією механічною системою. У 1656 р. він створив перший годинник з маятниковим механізмом. Вони вимірювали час із винятковою для тих часів точністю. Цей винахід став найважливішим етапом у розвитку фізичних експериментів та практичної діяльності.

Якщо маятник знаходиться в положенні рівноваги (висить прямовисно), то врівноважуватиметься силою натягу нитки. Плоский маятник на нерозтяжній нитці є системою із двома ступенями свободи зі зв'язком. При зміні лише одного компонента змінюються показники її частин. Так, якщо нитку замінити на стрижень, то дана механічна система матиме всього 1 ступінь свободи. Які ж властивості має математичний маятник? У цій простій системі під впливом періодичного обурення виникає хаос. У разі, коли точка підвісу не рухається, а робить коливання, у маятника з'являється нове положення рівноваги. При швидких коливаннях вгору-вниз ця механічна система набуває стійкого положення «вгору гальмами». Вона має і свою назву. Її називають маятником Капіци.

Властивості маятника

Математичний маятник має дуже цікаві властивості. Усі вони підтверджуються відомими фізичними законами. Період коливань будь-якого іншого маятника залежить від різних обставин, таких як розмір та форма тіла, відстань між точкою підвісу та центром тяжіння, розподіл маси щодо цієї точки. Саме тому визначення періоду тіла, що висить, є досить складним завданням. Набагато легше обчислюється період математичного маятника, формула якого буде наведена нижче. Внаслідок спостережень над подібними механічними системами можна встановити такі закономірності:

Якщо, зберігаючи однакову довжину маятника, підвішувати різні вантажі, то період їх коливань вийде однаковим, хоча їх маси сильно відрізнятимуться. Отже період такого маятника не залежить від маси вантажу.

Якщо при запуску системи відхиляти маятник на невеликі, але різні кути, то він коливатиметься з однаковим періодом, але за різними амплітудами. Поки відхилення від центру рівноваги не надто великі, коливання за своєю формою будуть досить близькі гармонійним. Період такого маятника не залежить від коливальної амплітуди. Ця властивість цієї механічної системи називається ізохронізмом (у перекладі з грецької «хронос» - час, «ізос» - рівний).

Період математичного маятника

Цей показник є періодом Незважаючи на складне формулювання, сам процес дуже простий. Якщо довжина нитки математичного маятника L, а прискорення вільного падіння g, то ця величина дорівнює:

Період малих власних коливань в жодному разі залежить від маси маятника і амплітуди коливань. У цьому випадку маятник рухається як математичний із наведеною довжиною.

Коливання математичного маятника

Математичний маятник здійснює коливання, які можна описати простим диференціальним рівнянням:

x + ω2 sin x = 0,

де х(t) – невідома функція (це кут відхилення від нижнього положення рівноваги в момент t, виражений у радіанах); ω – позитивна константа, яка визначається з параметрів маятника (ω = √g/L, де g – це прискорення вільного падіння, а L – довжина математичного маятника (підвіс).

Рівняння малих коливань поблизу положення рівноваги (гармонічне рівняння) виглядає так:

x + ω2 sin x = 0

Коливальні рухи маятника

Математичний маятник, який робить малі коливання, рухається синусоїдою. Диференціальне рівняння другого порядку відповідає всім вимогам та параметрам такого руху. Для визначення траєкторії необхідно задати швидкість та координату, з яких потім визначаються незалежні константи:

x = A sin (θ 0 + ωt),

де θ 0 - Початкова фаза, A - амплітуда коливання, ω - циклічна частота, що визначається з рівняння руху.

Математичний маятник (формули для великих амплітуд)

Ця механічна система, що робить свої коливання зі значною амплітудою, підпорядковується складнішим законам руху. Для такого маятника вони розраховуються за такою формулою:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

де sn - синус Якобі, який для u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

де ε = E/mL2 (mL2 – енергія маятника).

Визначення періоду коливання нелінійного маятника здійснюється за такою формулою:

де Ω = π/2 * ω/2K(u), K - еліптичний інтеграл, π - 3,14.

Рух маятника по сепаратрисі

Сепаратрисою називають траєкторію динамічної системи, яка має двовимірний фазовий простір. Математичний маятник рухається неперіодично. У нескінченно дальньому моменті часу він падає з крайнього верхнього положення у бік із нульовою швидкістю, потім поступово набирає її. Зрештою він зупиняється, повернувшись у вихідне становище.

Якщо амплітуда коливань маятника наближається до π Це говорить про те, що рух на фазовій площині наближається до сепаратриси. І тут під впливом малої змушує періодичної сили механічна система проявляє хаотичне поведінка.

При відхиленні математичного маятника від положення рівноваги з деяким кутом φ виникає дотична сила тяжкості Fτ = -mg sin φ. Знак «мінус» означає, що ця дотична складова прямує у протилежну від відхилення маятника сторону. При позначенні через зміщення маятника по дузі кола з радіусом L його кутове зміщення дорівнює φ = x/L. Другий закон призначений для проекцій та сили, дасть потрібне значення:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Виходячи з цього співвідношення, видно, що цей маятник є нелінійною системою, оскільки сила, яка прагне повернути його в положення рівноваги, завжди пропорційна не зсуву x, а sin x/L.

Тільки тоді, коли математичний маятник здійснює малі коливання, він є гармонійним осцилятором. Іншими словами, він стає механічною системою, здатною виконувати гармонійні коливання. Таке наближення практично справедливе для кутів 15-20 °. Коливання маятника з великими амплітудами перестав бути гармонійним.

Закон Ньютона для малих коливань маятника

Якщо дана механічна система виконує малі коливання, 2-й закон Ньютона виглядатиме таким чином:

mg τ = Fτ = -m * g/L * x.

Виходячи з цього, можна зробити висновок, що математичного маятника пропорційно його зсуву зі знаком «мінус». Це і є умовою, завдяки якій система стає гармонійним осцилятором. Модуль коефіцієнта пропорційності між зміщенням та прискоренням дорівнює квадрату кругової частоти:

ω02 = g/L; ω0 = √g/L.

Ця формула відбиває власну частоту малих коливань цього виду маятника. Виходячи з цього,

T = 2π/ω0 = 2π√g/L.

Обчислення на основі закону збереження енергії

Властивості маятника можна описати за допомогою закону збереження енергії. При цьому слід враховувати, що маятника у полі тяжкості дорівнює:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Повна дорівнює кінетичній або максимальній потенційній: Epmax = Ekmsx = E

Після того як буде записано закон збереження енергії, беруть похідну від правої та лівої частин рівняння:

Оскільки похідна від постійних величин дорівнює 0, то (Ep + Ek)" = 0. Похідна суми дорівнює сумі похідних:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/2* 2v*v" = mv* α,

отже:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

З останньої формули знаходимо: α = - g/L*x.

Практичне застосування математичного маятника

Прискорення змінюється з географічною широтою, оскільки щільність земної кори по всій планеті однакова. Там, де залягають породи з більшою щільністю, воно буде дещо вищим. Прискорення математичного маятника часто застосовують для геологорозвідки. Його допомогою шукають різні корисні копалини. Просто підрахувавши кількість коливань маятника, можна знайти у надрах Землі кам'яне вугілля чи руду. Це пов'язано з тим, що такі копалини мають щільність і масу більше, ніж пухкі гірські породи, що лежать під ними.

Математичним маятником користувалися такі визначні вчені, як Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архімед. Багато хто з них вірив у те, що ця механічна система може впливати на долю і життя людини. Архімед використовував математичний маятник за свої обчислення. У наш час багато окультистів та екстрасенсів користуються цією механічною системою для здійснення своїх пророцтв або пошуку зниклих людей.

Відомий французький астроном і дослідник природи К. Фламмаріон для своїх досліджень також використовував математичний маятник. Він стверджував, що з його допомогою йому вдалося передбачити відкриття нової планети, появу Тунгуського метеориту та інші події. Під час Другої світової війни у Німеччині (м. Берлін) працював спеціалізований Інститут маятника. У наші дні подібними дослідженнями зайнятий Мюнхенський інститут парапсихології. Свою роботу з маятником співробітники цього закладу називають «радіестезією».

Маятники, зображені на рис. 2, являють собою протяжні тіла різної форми та розмірів, що здійснюють коливання біля точки підвісу або опори. Такі системи називаються фізичними маятниками. У стані рівноваги, коли центр ваги знаходиться на вертикалі під точкою підвісу (або опори), сила тяжіння врівноважується (через пружні сили деформованого маятника) реакцією опори. При відхиленні з положення рівноваги сила тяжкості та пружні сили визначають у кожний момент часу кутове прискорення маятника, тобто визначають характер руху (коливання). Ми розглянемо тепер динаміку коливань докладніше на найпростішому прикладі так званого математичного маятника, який є грузиком малого розміру, підвішений на довгій тонкій нитці.

У математичному маятнику ми можемо знехтувати масою нитки і деформацією грузика, т. е. можемо вважати, що маса маятника зосереджена грузику, а пружні сили зосереджені нитки, яку вважають нерастяжимой. Подивимося тепер, під дією яких сил відбувається коливання нашого маятника після того, як він у будь-який спосіб (поштовхом, відхиленням) виведений із положення рівноваги.

Коли маятник лежить у положенні рівноваги, то сила тяжіння, що діє на його грузик і спрямована вертикально вниз, врівноважується силою натягу нитки. У відхиленому положенні (рис. 15) сила тяжіння діє під кутом до сили натягу, спрямованої вздовж нитки. Розкладемо силу тяжіння на дві складові: у напрямку нитки () і перпендикулярно до нього (). При коливаннях маятника сила натягу нитки дещо перевищує складову - на величину доцентрової сили, яка змушує вантаж рухатися дугою. Складова завжди спрямована у бік положення рівноваги; вона хіба що прагне відновити це становище. Тому її часто називають силою, що повертає. По модулю тим більше, що більше відхилений маятник.

Мал. 15. Повертаюча сила у разі відхилення маятника від положення рівноваги

Отже, як тільки маятник при своїх коливаннях починає відхилятися від положення рівноваги, скажімо, праворуч, з'являється сила, що уповільнює його рух тим сильнішим, чим далі він відхилений. Зрештою ця сила його зупинить і спричинить положення рівноваги. Однак у міру наближення до цього положення сила ставатиме дедалі менше і в самому положенні рівноваги обернеться в нуль. Таким чином, через положення рівноваги маятник проходить за інерцією. Як тільки він почне відхилятися вліво, знову з'явиться сила, що зростає зі збільшенням відхилення, але тепер уже спрямована вправо. Рух вліво знову сповільнюватиметься, потім маятник на мить зупиниться, після чого почнеться прискорений рух праворуч і т.д.

Що відбувається з енергією маятника за його коливань?

Двічі протягом періоду - при найбільших відхиленнях вліво і вправо- маятник зупиняється, тобто в ці моменти швидкість дорівнює нулю, а отже, дорівнює нулю та кінетична енергія. Зате саме в ці моменти центр ваги маятника піднято на найбільшу висоту і, отже, найбільша потенційна енергія. Навпаки, у моменти проходження через положення рівноваги потенційна енергія найменша, а швидкість та кінетична енергія досягають найбільшого значення.

Ми припустимо, що силами тертя маятника повітря і тертям у точці підвісу можна знехтувати. Тоді за законом збереження енергії ця найбільша кінетична енергія якраз дорівнює надлишку потенційної енергії в положенні найбільшого відхилення над потенційною енергією в положенні рівноваги.

Отже, при коливаннях маятника відбувається періодичний перехід кінетичної енергії в потенційну і назад, причому період цього процесу вдвічі коротший за період коливань самого маятника. Однак повна енергія маятника (сума потенційної та кінетичної енергій) постійно постійна. Вона дорівнює тій енергії, яка була повідомлена маятнику при пуску, байдуже - у вигляді потенційної енергії (початкове відхилення) або у вигляді кінетичної (початковий поштовх).

Така справа при будь-яких коливаннях без тертя або будь-яких інших процесів, що забирають енергію у коливальної системи або повідомляють їй енергію. Саме тому амплітуда зберігається незмінною і визначається початковим відхиленням чи силою поштовху.

Ті самі зміни сили, що повертає, і такий же перехід енергії ми отримаємо, якщо замість підвішування кульки на нитці змусимо його кататися у вертикальній площині у сферичній чашці або в зігнутому по колу жолобі. У цьому випадку роль натягу нитки візьме на себе тиск стінок чашки або жолоба (тертям кульки об стінки і повітря ми знову нехтуємо).

Можливо, буде корисно почитати: