Три правила знаходження первісних. Конспект уроку з математики: "Правила знаходження первісних" Сформулюйте 3 правила знаходження первісної

Для кожної математичної дії існує протилежна йому дія. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) також існує зворотна дія - інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію за заданою похідною або диференціалу. Знайдену функцію називають первісної.

Визначення.Диференційована функція F(x)називається первісною для функції f(x)на заданому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку справедлива рівність: F′(x)=f(x).

приклади. Знайти первісні для функцій: 1) f(x) = 2x; 2) f(x) = 3cos3x.

1) Оскільки (х²)′=2х, то, за визначенням, функція F(x)=x² буде першорядною для функції f(x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Якщо позначити f(x)=3cos3x і F(x)=sin3x, то, за визначенням первісної, маємо: F′(x)=f(x), і, отже, F(x)=sin3x є первісною для f( x) = 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x +5 )′= 3cos3xі (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... у загальному вигляді можна записати: (sin3x +С)′= 3cos3x, де З- Деяка постійна величина. Ці приклади говорять про неоднозначність дії інтегрування, на відміну від дії диференціювання, коли в будь-якій функції, що диференціюється, існує єдина похідна.

Визначення.Якщо функція F(x)є первісною для функції f(x)на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F(x)+Cде С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на проміжку, що розглядається, називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (Знак інтеграла). Записують: ∫f(x) dx=F(x)+C.

Вираз ∫f (x) dxчитають: «інтеграл еф від ікс до де ікс».

f(x) dx- Підінтегральний вираз,

f(x)- Підінтегральна функція,

х- Змінна інтегрування.

F(x)- Первісна для функції f(x),

З- Деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Що означає знак d?

d -знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральну функцію від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака, диференціюється за умовчанням і множиться на підінтегральну функцію.

приклади. Знайти інтеграли: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Після піктограми диференціалу dстоїть хх, а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Порівняйте з прикладом 1).

Зробимо перевірку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Після піктограми диференціалу dстоїть р. Отже, змінна інтеграція р, а множник хслід вважати деякою постійною величиною.

∫ 2хрdр=р²х+С. Порівняйте з прикладами 1) і 3).

Зробимо перевірку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Первинної функції f(x)на проміжку (a; b)називається така функція F(x)що виконується рівність для будь-якого хіз заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи Здорівнює нулю, то справедлива рівність. Таким чином, функція f(x)має безліч первісних F(x)+Cдля довільної константи З, причому ці первинні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтегралу.

Усі безліч первісних функцій f(x)називається невизначеним інтегралом цієї функції та позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Підінтегральний вираз є диференціал функції f(x).

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називається невизначенимінтегрування, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу. Графік первісної Д(х) називають інтегральною кривою. У системі координат х0у графіки всіх первісних від цієї функції представляють сімейство кривих, що залежать від величини постійної З і одержуються одна з іншої шляхом паралельного зсуву вздовж осі 0у. Наприклад, розглянутого вище, маємо:

J 2 х ^ х = х2 + C.

Сімейство первісних (х+С) геометрично інтерпретується сукупністю парабол.

Якщо з сімейства первісних потрібно знайти одну, то задають додаткові умови, що дозволяють визначити постійну С. Зазвичай з цією метою визначають початкові умови: при значенні аргументу х = х0 функція має значення Д(х0) = у0.

приклад. Потрібно знайти ту з первісних функцій у = 2 х, яка набуває значення 3 при х0 = 1.

Шукана первісна: Д(х) = х2 + 2.

Рішення. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; З = 2.

2. Основні властивості невизначеного інтегралу

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі самої цієї функції та довільної постійної:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо , то

8. Властивість:

Якщо , то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної, який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

3. Метод інтегрування,при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) та застосування властивостей невизначеного інтеграла наводиться до одного або кількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням. При зведенні даного інтеграла до табличного часто використовуються такі перетворення диференціала (операція « підведення під знак диференціалу»):

Взагалі, f'(u)du = d(f(u)).ця (формула часто використовується при обчисленні інтегралів.

Знайти інтеграл

Рішення.Скористаємося властивостями інтеграла і наведемо даний інтеграл до кількох табличних.

4. Інтегрування шляхом підстановки.

Суть методу полягає в тому, що ми вводимо нову змінну, виражаємо підінтегральну функцію через цю змінну, в результаті приходимо до табличного (або простішого) вигляду інтеграла.

Найчастіше метод підстановки рятує при інтегруванні тригонометричних функцій і з радикалами.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл .

Рішення.

Введемо нову змінну. Висловимо хчерез z:

Виконуємо підстановку отриманих виразів у вихідний інтеграл:

З таблиці первісних маємо .

Залишилося повернутися до вихідної змінної х:

Відповідь:

На цій сторінці ви знайдете:

1. Власне, таблицю первісних - її можна завантажити у форматі PDF та роздрукувати;

2. Відео, присвячене тому, як цією таблицею користуватися;

3. Купу прикладів обчислення первісної з різних підручників та контрольних робіт.

У самому відео ми розберемо безліч завдань, де потрібно порахувати першорядні функцій, часто досить складних, але головне — статечних. Усі функції, зведені в таблицю, запропоновану вище, необхідно знати напам'ять, подібно до похідних. Без них неможливе подальше вивчення інтегралів та їх застосування для вирішення практичних завдань.

Сьогодні ми продовжуємо займатися першорядними і переходимо до більш складної теми. Якщо минулого разу ми розглядали первісні лише від статечних функцій і трохи складніших конструкцій, то сьогодні ми розберемо тригонометрію та багато іншого.

Як я говорив на минулому занятті, первісні на відміну від похідних ніколи не вирішуються «напролом» за допомогою будь-яких стандартних правил. Понад те, погана новина у тому, що на відміну похідної, первообразная взагалі може вважатися. Якщо ми напишемо зовсім випадкову функцію і спробуємо знайти її похідну, то це з дуже великою ймовірністю у нас вийде, а ось первісна практично ніколи в цьому випадку не вважатиметься. Але є й хороша новина: існує досить великий клас функцій, які називають елементарними, первісні від яких дуже легко вважаються. А всі інші складніші конструкції, які дають на всіляких контрольних, самостійних та іспитах, насправді складаються з цих елементарних функцій шляхом складання, віднімання та інших нескладних дій. Першорядні такі функції давно пораховані і зведені в спеціальні таблиці. Саме з такими функціями та таблицями ми сьогодні працюватимемо.

Але почнемо ми, як завжди, з повторення: пригадаємо, що таке первообразна, чому їх нескінченно багато і як визначити їхній загальний вигляд. Для цього я підібрав два прості завдання.

Рішення легких прикладів

Приклад №1

Відразу зауважимо, що $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ і взагалі наявність $\text( )\!\!\pi\!\!\ text( )$ відразу натякає нам, що шукана первісна функції пов'язані з тригонометрією. І, дійсно, якщо ми подивимося в таблицю, то виявимо, що $ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ - не що інше як $ text (arctg) x $. Так і запишемо:

Для того, щоб знайти, необхідно записати наступне:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C]

Приклад №2

Тут також йдеться про тригонометричні функції. Якщо ми подивимося в таблицю, то дійсно так і вийде:

Нам потрібно серед усієї множини первісних знайти ту, яка проходить через вказану точку:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Давайте остаточно запишемо:

Отак усе просто. Єдина проблема полягає в тому, щоб вважати первісні простих функцій, потрібно вивчити таблицю первісних. Однак після вивчення похідних таблиці для вас, я думаю, це не буде проблемою.

Вирішення задач, що містять показову функцію

Для початку запишемо такі формули:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Погляньмо, як це все працює на практиці.

Приклад №1

Якщо ми подивимося на вміст дужок, то зауважимо, що в таблиці первісних немає такого виразу, щоб $((e)^(x))$ стояло у квадраті, тому цей квадрат необхідно розкрити. Для цього скористаємося формулами скороченого множення:

Давайте знайдемо першорядну для кожного з доданків:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

А тепер зберемо всі складові в єдиний вираз і отримаємо загальну первісну:

Приклад №2

Цього разу ступінь вже більший, тому формула скороченого множення буде досить складною. Отже розкриємо дужки:

Тепер від цієї конструкції спробуємо взяти первісну від нашої формули:

Як бачите, у первинних показових функціях немає нічого складного і надприродного. Всі один вважаються через таблиці, проте уважні учні напевно помітять, що первісна $((e)^(2x))$ набагато ближче просто до $((e)^(x))$ ніж до $((a)^(x )) $. Так, можливо, існує якесь більш спеціальне правило, що дозволяє, знаючи первісну $((e)^(x))$, знайти $((e)^(2x))$? Так, таке правило існує. І, більше, воно є невід'ємною частиною роботи з таблицею первісних. Його ми зараз розберемо на прикладі тих самих виразів, з якими ми щойно працювали.

Правила роботи з таблицею первісних

Ще раз випишемо нашу функцію:

У попередньому випадку ми використовували для вирішення таку формулу:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Але зараз зробимо трохи інакше: пригадаємо, на якому знов $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Як уже й казав, тому що похідна $((e)^(x))$ — це не що інше як $((e)^(x))$, тому її першорядна дорівнюватиме тому ж самому $((e) ^(x))$. Але проблема в тому, що у нас $((e)^(2x))$ і $((e)^(-2x))$. Зараз спробуємо знайти похідну $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Давайте ще раз перепишемо нашу конструкцію:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

А це означає, що при знаходженні первісної $((e)^(2x))$ ми отримаємо наступне:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Як бачите, ми отримали той самий результат, що й раніше, проте не скористалися формулою для знаходження $((a)^(x))$. Зараз це може здатися дурістю: навіщо ускладнювати обчислення, коли є стандартна формула? Однак у трохи складніших висловлюваннях ви переконаєтеся, що це прийом дуже ефективний, тобто. використання похідних для знаходження первісних.

Давайте як розминку аналогічним способом знайдемо первісну від $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime ))\]

При обчисленні наша конструкція запишеться так:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ми отримали той самий результат, але пішли при цьому іншим шляхом. Саме цей шлях, який зараз здається нам трохи складнішим, надалі виявиться більш ефективним для обчислення складніших первісних та використання таблиць.

Зверніть увагу! Це дуже важливий момент: первісні як і похідні можна вважати безліччю різних способів. Однак якщо всі обчислення та викладки будуть рівні, то відповідь вийде одним і тим же. Ми переконалися в цьому щойно на прикладі $((e)^(-2x))$ — з одного боку ми порахували цю первісну «напролом», скориставшись визначенням і порахувавши її за допомогою перетворень, з іншого боку, ми згадали, що $ ((e)^(-2x))$ може бути представлено як $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ і вже потім скористалися первісною для функції $( (a)^(x))$. Тим не менш, після всіх перетворень результат вийшов одним і тим самим, як і передбачалося.

А тепер, коли ми все це зрозуміли, настав час перейти до чогось більшого. Зараз ми розберемо дві простенькі конструкцій, проте прийом, який буде закладений при їх вирішенні, є більш потужним та корисним інструментом, ніж просте «бігання» між сусідніми з таблиці.

Розв'язання задач: знаходимо первісну функцію

Приклад №1

Давайте суму, яка коштує в чисельники, розклади на три окремі дроби:

Це досить природний та зрозумілий перехід — у більшості учнів проблем із ним не виникає. Перепишемо наш вираз так:

А тепер згадаємо таку формулу:

У нашому випадку ми отримаємо таке:

Щоб позбавитися всіх цих триповерхових дробів, пропоную вчинити таким чином:

Приклад №2

На відміну від попереднього дробу у знаменнику стоїть не твір, а сума. У цьому випадку ми вже не можемо розділити наш дріб на суму кількох простих дробів, а потрібно якимось чином постаратися зробити так, щоб у чисельнику стояло приблизно такий самий вираз як у знаменнику. У цьому випадку зробити це досить просто:

Такий запис, який мовою математики називається «додавання нуля», дозволить нам знову розділити дріб на два шматочки:

Тепер знайдемо те, що шукали:

Ось і всі обчислення. Незважаючи на велику складність, ніж у попередній задачі, обсяг обчислень вийшов навіть меншим.

Нюанси рішення

І ось у цьому криється основна складність роботи з табличними первісними, особливо це помітно на другому завданні. Справа в тому, що для того, щоб виділити якісь елементи, які легко вважаються через таблицю, нам потрібно знати, що конкретно ми шукаємо, і саме в пошуку цих елементів і полягає все обчислення первісних.

Інакше кажучи, недостатньо просто зазубрити таблицю первісних — треба вміти бачити щось, чого ще немає, але що мав на увазі автор і укладач цього завдання. Саме тому багато математиків, вчителів та професорів постійно сперечаються: «А що таке взяття першорядних чи інтегрування — це просто інструмент чи це справжнє мистецтво?». Насправді, особисто на мій погляд, інтегрування — це не мистецтво — в ньому немає нічого піднесеного, це просто практика і ще раз практика. І щоб попрактикуватися, давайте вирішимо ще три серйозніші приклади.

Тренуємося в інтегруванні на практиці

Завдання №1

Запишемо такі формули:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Давайте запишемо таке:

Завдання № 2

Перепишемо так:

Разом перша буде дорівнювати:

Завдання №3

Складність цього завдання у тому, що на відміну попередніх функцій зверху взагалі відсутня якась змінна $x$, тобто. нам незрозуміло, що додавати, віднімати, щоб отримати хоч щось схоже на те, що стоїть знизу. Однак, насправді, цей вираз вважається навіть простіше, ніж будь-який вираз із попередніх конструкцій, тому що цю функцію можна переписати так:

Можливо, ви зараз запитаєте: чому ці функції рівні? Давайте перевіримо:

Ще перепишемо:

Трохи перетворимо наш вираз:

І коли я все це пояснюю своїм учням, практично завжди виникає та сама проблема: з першою функцією все більш-менш зрозуміло, з другою теж при везенні чи практиці можна розібратися, але яку альтернативну свідомість треба мати, щоб вирішити третій приклад? Насправді не лякайтеся. Той прийом, який ми використовували при обчисленні останньої первісної, називається «розкладання функції на найпростіші», і це дуже серйозний прийом, і йому буде присвячено окремий відеоурок.

А поки що пропоную повернутися до того, що ми щойно вивчили, а саме, до показових функцій і дещо ускладнити завдання з їх змістом.

Більш складні завдання на вирішення первинних показових функцій

Завдання №1

Зауважимо таке:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Щоб знайти первісної цього виразу, досить просто скористатися стандартною формулою - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

У нашому випадку первісна буде така:

Зрозуміло, на тлі тієї конструкції, яку ми вирішували щойно, ця виглядає більш простою.

Завдання № 2

Знову ж таки, неважко помітити, що цю функцію нескладно розділити на два окремих доданків — два окремі дроби. Перепишемо:

Залишилося знайти первісну від кожного від цих доданків за формулою:

Незважаючи на велику складність показових функцій у порівнянні зі статечними, загальний обсяг обчислень і викладок вийшов набагато простіше.

Звичайно, для знаючих учнів те, що ми тільки-но розібрали (особливо на тлі того, що ми розібрали до цього), може здатися елементарними виразами. Однак вибираючи саме ці дві задачі для сьогоднішнього відеоуроку, я не ставив собі за мету розповісти вам ще один складний і наворочений прийом — все, що я хотів вам показати, так це те, що не варто боятися використовувати стандартні прийоми алгебри для перетворення вихідних функцій.

Використання «секретного» прийому

На закінчення хотілося б розібрати ще один цікавий прийом, який, з одного боку виходить за межі того, що ми сьогодні переважно розбирали, але, з іншого боку, він, по-перше, зовсім не складний, тобто. його можуть освоїти навіть учні-початківці, а, по-друге, він часто зустрічається на всіляких контрольних і самостійних роботах, тобто. знання його буде дуже корисно на додаток до знання таблиці первісних.

Завдання №1

Очевидно, що перед нами щось дуже схоже на статечну функцію. Як нам вчинити у цьому випадку? Давайте замислимося: $x-5$ відрізняється від $x$ не так вже й сильно - просто додали $-5$. Запишемо так:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Давайте спробуємо знайти похідну від $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Звідси випливає:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ right))^(\prime ))\]

У таблиці немає такого значення, тому ми зараз самі вивели цю формулу, використовуючи стандартну формулу первісної для статечної функції. Давайте так і запишемо відповідь:

Завдання № 2

Багатьом учням, які подивляться на перше рішення, може здатися, що все дуже просто: достатньо замінити в статечній функції $x$ лінійним виразом, і все стане на свої місця. На жаль, все не так просто, і зараз ми переконаємося в цьому.

За аналогією з першим виразом запишемо наступне:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Повертаючись до нашої похідної, ми можемо записати:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10))))--30) \right))^(\prime ))\]

Звідси відразу випливає:

Нюанси рішення

Зверніть увагу: якщо минулого разу насправді нічого не змінилося, то в другому випадку замість $-10$ з'явилося $-30$. На що відрізняється $-10$ та $-30$? Вочевидь, що у множник $-3$. Запитання: звідки він узявся? Придивившись, можна побачити, що вона взялася в результаті обчислень похідної складної функції - той коефіцієнт, який стояв при $x$, з'являється в першорядній внизу. Це дуже важливе правило, яке я спочатку взагалі не планував розбирати в сьогоднішньому відеоуроці, але без нього виклад табличних первісних було б неповним.

Тож давайте ще раз. Нехай є наша основна статечна функція:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

А тепер замість $x$ давайте підставимо вираз $kx+b$. Що тоді станеться? Нам потрібно знайти таке:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+) 1 \right)\cdot k)\]

На якій підставі це ми стверджуємо? Дуже просто. Давайте знайдемо похідну написаної вище конструкції:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Це той самий вираз, який спочатку був. Таким чином, ця формула теж вірна, і нею можна доповнити таблицю первісних, а краще просто запам'ятати всю таблицю.

Висновки із «секретного: прийому:

Обидві функції, які ми щойно розглянули, насправді, можуть бути зведені до первісних, зазначених у таблиці, шляхом розкриття ступенів, але якщо з четвертим ступенем ми ще більш-менш якось упораємося, то ось дев'ятий ступінь я б взагалі не ризикнув розкривати.
Якби ми розкрили ступеня, то ми отримали б такий обсяг обчислень, що просте завдання зайняло б у нас неадекватно велику кількість часу.
Саме тому такі завдання, усередині яких стоять лінійні вирази, не потрібно вирішувати «напролом». Як тільки ви зустрічаєте первісну, яка відрізняється від тієї, що в таблиці, лише наявністю виразу $kx+b$ всередині, відразу згадуйте написану вище формулу, підставляйте її у вашу табличну первісну, і все у вас вийде набагато швидше та простіше.

Звичайно, через складність і серйозність цього прийому ми ще неодноразово повернемося до його розгляду в майбутніх відеоуроках, але на сьогодні у мене все. Сподіваюся, цей урок справді допоможе тим учням, які хочуть розібратися у першорядних та в інтегруванні.

Конспект уроку з алгебри та початків аналізу для учнів 11 класу середніх загальноосвітніх установ

На тему: "Правила знаходження первообразних"

Мета уроку:

Освітня: ввести правила знаходження первісних за допомогою їх табличних значень та використовувати їх під час вирішення завдань.

Завдання:

запровадити визначення операції інтегрування;

познайомити учнів із таблицею первісних;

познайомити учнів із правилами інтегрування;

навчити учнів застосовувати таблицю первісних та правила інтегрування під час вирішення завдань.

Розвиваюча: сприяти розвитку в учнів уміння аналізувати, зіставляти дані, робити висновки.

Виховна: сприяти формуванню навичок колективної та самостійної роботи, формувати вміння акуратно та грамотно виконувати математичні записи.

Методи навчання: індуктивно-репродуктивний, дедуктивно-репродук-

тивний.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Вимоги до ЗУН:

Учні повинні знати:

- визначення операції інтегрування;

Таблицю первісних;

учні повинні вміти:

Застосовувати таблицю первісних під час вирішення завдань;

Розв'язувати задачі, у яких необхідно знаходити першорядні.

Обладнання: комп'ютер, екран, мультимедіа проектор, презентації.

Література:

1. А.Г. Мордкович та ін. «Алгебра та початки аналізу. Задачник для 10-11 класу »М.: Мнемозіна, 2001.

2. Ш.А. Алимов «Алгебра та початку аналізу. 10-11 клас. Підручник »М.: Просвітництво, 2004. - 384с.

3. Методика та технологія навчання математики. М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

Структура уроку:

I. Організаційний момент (2 хв.)

II. Актуалізація знань (7 хв.)

III. Вивчення нового матеріалу (15 хв.)

VI. Закріплення вивченого матеріалу (17 хв.)

V. Підбиття підсумків та Д/З (4 хв.)

Хід уроку

I . Організаційний момент

Привітання учнів, перевірка відсутніх та готовність приміщення до уроку.

II . Актуалізація знань

Запис на дошці (у зошитах)

Дата.

Класна робота

Правила знаходження первісних.

Вчитель: Тема сьогоднішнього уроку: «Правила знаходження первісних» (слайд 1). Але перш, ніж перейти до вивчення нової теми, пригадаємо пройдений матеріал.

До дошки викликаються двоє учнів, кожному дається індивідуальне завдання (якщо учень впорався із завданням без помилок, він отримує позначку «5»).

Картки із завданнями

№ 1

у = 6х - 2х 3 .

f ( x )=3 x 2 +4 x –1 у точці x =3.

№ 2

2) Знайдіть значення похідної функціїf ( x )=5 x 2 +5 x – 5 у точці x =1.

Рішення

Картка № 1

1) Знайти інтервали зростання та зменшення функціїу = 6х - 2х 3 .

; Нехай, тоді, здібно; х 1 і х 2 стаціонарні точки;

2. Стаціонарні точки розбивають координатну пряму на три інтервали. У тих інтервалах, де похідна функції позитивна сама функція зростає, де негативна – зменшується.

- + -

у -1 1

Отже успадає при х (- ;-1) (1; ) і зростає прих (-1;1).

2) f ( x )=3 x 2 +4 x –1 ; ; .

Картка № 2

1) Знайти точки екстремуму функції .

1. Знайдемо стаціонарні точки, для цього знайдемо похідну цієї функції, потім прирівняємо її до нуля і розв'яжемо отримане рівняння, корінням якого і будуть стаціонарні точки.

; Нехай тоді , отже, , і .

2. Стаціонарні точки розбивають координатну пряму на чотири інтервали. Ті точки, під час переходу через які похідна функції змінює знак, є точками екстремуму.

+ - - +

у -3 0 3

Значить - точки екстремуму, причому - точка максимуму, а - точка мінімуму.

2) f ( x )=5 x 2 +5 x – 5; ; .

Поки що викликані до дошки учні вирішують приклади решти класу задаються теоретичні питання. У процесі опитування вчитель стежить, чи впоралися учні із завданням чи ні.

Вчитель: Отже, відповімо на кілька запитань. Згадаймо, яка функція називається первісною? (слайд 2)

Учень: Функція F ( x ) називається первісної функціїf ( x ) на деякому проміжку, якщо для всіхx з цього проміжку .

(Слайд 2).

Вчитель: Правильно. А як називається процес знаходження похідної функції? (Слайд 3)

Учень: Диференціювання.

Після відповіді учня, правильна відповідь дублюється на слайді (Слайд 3).

Вчитель: Як показати, що функціяF ( x ) є первісною для функціїf ( x ) ? (Слайд 4).

Учень: Знайти похідну функціїF ( x ) .

Після відповіді учня, правильна відповідь дублюється на слайді (Слайд 4).

Вчитель: Добре. Тоді скажіть, чи є функціяF ( x )=3 x 2 +11 x первісної функціїf ( x )=6х+10? (слайд 5)

Учень: Ні, т.к. похідна функціїF ( x )=3 x 2 +11 x дорівнює 6х+11, а не 6х+10 .

Після відповіді учня, правильна відповідь дублюється на слайді (Слайд 5).

Вчитель: Яку кількість первісних можна знайти для певної функціїf ( x ) ? Відповідь обґрунтуйте. (слайд 6)

Учень: Безкінечно багато, т.к. до отриманої функції ми завжди додаємо константу, яка може бути будь-яким речовим числом.

Після відповіді учня, правильна відповідь дублюється на слайді (Слайд 6).

Вчитель: Правильно. Зараз давайте разом перевіримо рішення учнів, які працювали біля дошки.

Учні разом із учителем перевіряють рішення.

III . Вивчення нового матеріалу

Вчитель: Обернену операцію знаходження первісної для цієї функції називають інтегруванням (від латинського словаintegrare - Відновлювати). Таблицю первісних деяких функцій можна скласти, використовуючи таблицю похідних. Наприклад, знаючи, що, отримуємо звідки випливає, що всі першорядні функції записуються у вигляді, де C - Довільна постійна.

Запис на дошці (у зошитах)

отримуємо ,

звідки випливає, що всі першорядні функції записуються у вигляді, де C - Довільна постійна.

Вчитель: Відкрийте підручники на сторінці 290. Тут наведено таблицю первісних. Також вона представлена на слайді. (Слайд 7)

Вчитель: Правила інтегрування можна одержати за допомогою правил диференціювання. Розглянемо такі правила інтегрування: нехайF ( x ) і G ( x ) – первісні відповідно до функційf ( x ) і g ( x ) на деякому проміжку. Тоді:

1) Функція;

2) Функція є первісної функції. (слайд 8)

Запис на дошці (у зошитах)

1) Функція є первісної функції ;

2) Функція є первісної функції .

VI . Закріплення вивченого матеріалу

Вчитель: Переходимо до практичної частини уроку. Знайти одну з першорядних функційВирішуємо біля дошки.

Учень: Щоб знайти первинну цю функцію потрібно використовувати правило інтегрування: функція є первісної функції .

Вчитель: Чи правда, що ще потрібно знати для знаходження первинної цієї функції?

Учень: Також використовуватимемо таблицю первісних для функцій, при p =2 і є функція ;

2) Функція є первісної функції .

Вчитель: Все правильно.

Домашнє завдання

§55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8). (слайд 9)

Виставлення відміток.

Вчитель: Урок завершено. Можете бути вільними.

Цей урок – перший із серії відео, присвячених інтегруванню. У ньому ми розберемо, що таке первісна функція, а також вивчимо елементарні прийоми обчислення цих самих первісних.

Насправді тут немає нічого складного: по суті, все зводиться до поняття похідної, з яким ви вже повинні знайомі.

Відразу зазначу, що оскільки це найперший урок у нашій новій темі, сьогодні не буде жодних складних обчислень і формул, але те, що ми вивчимо сьогодні, ляже в основу набагато складніших викладок і конструкцій при обчисленні складних інтегралів і площ.

Крім того, приступаючи до вивчення інтегрування та інтегралів зокрема, ми неявно припускаємо, що учень уже, як мінімум, знайомий до понять похідної та має хоча б елементарні навички їх обчислення. Без чіткого розуміння цього робити в інтегруванні зовсім нічого.

Однак тут криється одна з найчастіших і підступних проблем. Справа в тому, що, починаючи обчислювати свої перші первообразні, багато учнів плутають їх із похідними. В результаті на іспитах та самостійних роботах допускаються дурні та образливі помилки.

Тому зараз я не даватиму чіткого визначення первісної. А натомість пропоную вам подивитися, як вона вважається на простому конкретному прикладі.

Що таке первісна і як вона вважається

Ми знаємо таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Вважається ця похідна елементарно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Подивимося уважно на отриманий вираз і виразимо $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Але ми можемо записати і так, згідно з визначенням похідної:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А тепер увага: те, що ми тільки-но записали і є визначенням першорядної. Але щоб записати її правильно, потрібно написати таке:

Аналогічно запишемо і такий вираз:

Якщо ми узагальним це правило, то зможемо вивести таку формулу:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Наразі ми можемо сформулювати чітке визначення.

Первоподібною функцією називається така функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.

Питання про первинну функцію

Здавалося б, досить просте та зрозуміле визначення. Однак, почувши його, у уважного учня одразу виникне кілька запитань:

Допустимо, добре, ця формула вірна. Однак у цьому випадку при $n=1$ у нас виникають проблеми: у знаменнику з'являється нуль, а на нуль ділити не можна.
Формула обмежується лише ступенями. Як вважати первісну, наприклад, синуса, косинуса та будь-якої іншої тригонометрії, а також констант.
Екзистенційне питання: а чи взагалі можна знайти первісну? Якщо так, то як бути з первісної суми, різниці, твори тощо?

На останнє запитання я відповім одразу. На жаль, первісна, на відміну похідної, вважається який завжди. Немає такої універсальної формули, за якою з будь-якої вихідної конструкції ми отримаємо функцію, яка дорівнюватиме цій подібній конструкції. А щодо ступенів і констант — зараз ми про це поговоримо.

Розв'язання задач зі статечними функціями

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Як бачимо, ця формула для $((x)^(-1))$ не працює. Постає питання: а що тоді працює? Невже ми можемо порахувати $((x)^(-1))$? Звичайно можемо. Тільки давайте спершу згадаємо таке:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Тепер подумаємо: похідна якої функції дорівнює $ frac (1) (x) $. Очевидно, що будь-який учень, який хоч трохи займався цією темою, згадає, що до цього виразу дорівнює похідна натурального логарифму:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тому ми впевнено можемо записати наступне:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Цю формулу потрібно знати, так само, як і похідну статечної функції.

Отже, що нам відомо на даний момент:

Для статечної функції $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Для константи - $ = const \ to \ cdot x $
Частковий випадок статечної функції - $\frac(1)(x)\to \ln x$

А якщо найпростіші функції ми почнемо множити і ділити, як тоді порахувати первісну твори чи приватного. На жаль, аналогії із похідною твору чи приватного тут не працюють. Якоїсь стандартної формули не існує. Для деяких випадків існують хитрі спеціальні формули – з ними ми познайомимося на майбутніх відеоуроках.

Однак запам'ятайте: загальної формули, аналогічної формулі для обчислення похідної частки та твору, не існує.

Розв'язання реальних завдань

Завдання №1

Давайте кожну зі статечних функцій порахуємо окремо:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Повертаючись до нашого висловлювання, ми запишемо загальну конструкцію:

Завдання № 2

Як я вже казав, первісні твори та приватного «напролом» не вважаються. Однак тут можна вчинити так:

Ми розтрощили дріб на суму двох дробів.

Порахуємо:

Хороша новина полягає в тому, що знаючи формули обчислення первісних, ви вже здатні вважати складніші конструкції. Однак давайте підемо далі і розширимо наші знання ще трохи. Справа в тому, що багато конструкцій і виразів, які, на перший погляд, не мають жодного відношення до $((x)^(n))$, можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всі ці прийоми можна комбінувати. Ступінні вирази можна

множити (ступеня складаються);
ділити (ступеня віднімаються);
множити на константу;
і т.д.

Рішення виразів зі ступенем із раціональним показником

Приклад №1

Порахуємо кожен корінь окремо:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Всього всю нашу конструкцію можна записати так:

Приклад №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Отже, ми отримаємо:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Отже, збираючи все в один вираз, можна записати:

Приклад №3

Для початку зауважимо, що $sqrt(x)$ ми вже вважали:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Перепишемо:

Сподіваюся, я нікого не здивую, якщо скажу, що те, що ми щойно вивчали, — це лише найпростіші обчислення первісних, найпростіші конструкції. Давайте зараз розглянемо трохи складніші приклади, у яких крім табличних першоподібних ще потрібно згадати шкільну програму, зокрема, формули скороченого множення.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

Згадаймо формулу квадрата різниці:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Давайте перепишемо нашу функцію:

Першорядну таку функцію нам зараз належить знайти:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Збираємо все у загальну конструкцію:

Завдання № 2

В цьому випадку нам потрібно розкрити куб різниці. Згадаймо:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

З огляду на цей факт можна записати так:

Давайте трохи перетворимо нашу функцію:

Вважаємо як завжди - по кожному доданку окремо:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Запишемо отриману конструкцію:

Завдання №3

Зверху у нас коштує квадрат суми, давайте його розкриємо:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Давайте напишемо підсумкове рішення:

А тепер увага! Дуже важлива річ, з якою пов'язана левова частка помилок та непорозуміння. Справа в тому, що досі вважаючи першорядні за допомогою похідних, наводячи перетворення, ми не замислювалися про те, чому дорівнює похідна константи. Адже похідна константи дорівнює «нулю». А це означає, що можна записати такі варіанти:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ось це дуже важливо розуміти: якщо похідна функції завжди одна й та сама, то першорядних в одній і тій же функції нескінченно багато. Просто до наших первісних ми можемо дописувати будь-які числа-константи та отримувати нові.

Невипадково, у поясненні до завдань, які ми щойно вирішували, було написано «Запишіть загальний вигляд первісних». Тобто. вже заздалегідь передбачається, що їх не одна, а безліч. Але, насправді, вони відрізняються лише константою $C$ наприкінці. Тому в наших завданнях ми виправимо те, чого ми не дописали.

Ще раз переписуємо наші конструкції:

У разі слід дописувати, що $C$ — константа — $C=const$.

У другій нашій функції ми отримаємо таку конструкцію:

І остання:

І ось тепер ми справді отримали те, що від нас вимагалося у вихідній умові завдання.

Розв'язання задач на знаходження первісних із заданою точкою

Зараз, коли ми знаємо про константи і про особливості запису первообразних, цілком логічно виникає наступний тип завдань, коли з безлічі всіх первісних потрібно знайти одну-єдину таку, яка проходила через задану точку. У чому полягає це завдання?

Справа в тому, що всі первісні цієї функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатній площині ми не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і лише одна.

Отже, завдання, які зараз ми вирішуватимемо, сформульовані в такий спосіб: не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані за умови завдання.

Приклад №1

Для початку просто порахуємо кожне доданок:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Тепер підставляємо ці висловлювання до нашої конструкції:

Ця функція повинна проходити через точку $M\left(-1;4\right)$. Що означає, що вона проходить через точку? Це означає, що якщо замість $x$ поставити скрізь $-1$, а замість $F\left(x \right)$ - $-4$, то ми повинні отримати правильну числову рівність. Давайте так і зробимо:

Ми бачимо, що у нас вийшло рівняння щодо $C$, тому давайте спробуємо його вирішити:

Давайте запишемо те саме рішення, яке ми шукали:

Приклад №2

Насамперед необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Вихідна конструкція запишеться так:

Тепер давайте знайдемо $C$: підставимо координати точки $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Висловлюємо $C$:

Залишилося відобразити підсумковий вираз:

Розв'язання тригонометричних завдань

Як фінальний акорд до того, що ми щойно розібрали, пропоную розглянути два складніші завдання, в яких міститься тригонометрія. У них точно так само потрібно знайти першорядні для всіх функцій, потім вибрати з цієї множини одну-єдину, яка проходить через точку $M$ на координатній площині.

Забігаючи наперед, хотів би зазначити, що той прийом, який ми зараз використовуватимемо для знаходження первісних від тригонометричних функцій, насправді є універсальним прийомом для самоперевірки.

Завдання №1

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Виходячи з цього, ми можемо записати:

Давайте підставимо координати точки $M$ у наш вираз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Перепишемо вираз з урахуванням цього факту:

Завдання № 2

Тут буде трохи складніше. Зараз побачите чому.

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Щоб позбутися «мінусу», необхідно зробити наступне:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ось наша конструкція

Підставимо координати точки $M$:

Разом запишемо остаточну конструкцію:

Ось і все, про що я сьогодні хотів вам розповісти. Ми вивчили сам термін первісних, як рахувати їх від елементарних функцій, а також як знаходити первісну, яка проходить через конкретну точку на координатній площині.

Сподіваюся, цей урок хоч трохи допоможе вам розібратися у цій складній темі. У будь-якому випадку, саме на первообразних будуються невизначені і невизначені інтеграли, тому вважати їх необхідно. На цьому маю все. До нових зустрічей!

Можливо, буде корисно почитати: