Знайти одз приклади. Старт у науці

У рівняннях і нерівностях виду , , , , перетин областей визначення функцій називають областю допустимих значень (ОДЗ) змінної, і навіть ОДЗ рівняння чи нерівності відповідно.

При вирішенні рівнянь (нерівностей) з однією змінною, коли постає питання – чи знаходити ОДЗ, часто можна почути категоричне «так» і не менш категоричне «ні». "Спочатку потрібно знайти ОДЗ, а потім приступати до вирішення рівняння (нерівності)", - стверджують одні. «Нема чого витрачати час на ОДЗ, по ходу рішення переходитимемо до рівносильного рівняння (нерівності) або до рівносильної системи рівнянь і нерівностей або тільки нерівностей. Зрештою, якщо це рівняння, то можна перевірити», - стверджують інші.

То чи знаходити ОДЗ?

Звісно, ​​однозначної відповіді це питання немає. Знаходження ОДЗ рівняння чи нерівності не є обов'язковим елементом розв'язання. У кожному конкретному прикладі це питання вирішується індивідуально.

У одних випадках перебування ОДЗ спрощує рішення рівняння чи нерівності (приклади 1-5), а деяких випадках навіть є необхідним етапом рішення (приклади 1, 2, 4).

В інших випадках (приклади 6, 7) від попереднього знаходження ОДЗ варто відмовитися, оскільки воно робить рішення більш громіздким.

приклад 1.Розв'язати рівняння.

Зведення обох частин рівняння квадрат не спростить, а ускладнить його і не дозволить позбутися радикалів. Потрібно шукати інший спосіб розв'язання.

Знайдемо ОДЗ рівняння:

Отже, ОДЗ містить лише одне значення , отже, коренем вихідного рівняння може лише число 4. Безпосередньою підстановкою переконуємося, що – єдиний корінь рівняння.

приклад 2.Розв'язати рівняння.

Наявність у рівнянні радикалів різних ступенів – другого, третього та шостого – робить рішення складним. Тому, перш за все, знайдемо ОДЗ рівняння:

Безпосереднім підстановкою переконуємося, що є коренем вихідного рівняння.

приклад 3.Розв'язати нерівність.

Звичайно, можна вирішувати цю нерівність, розглядаючи випадки: , але перебування ОДЗ відразу ж спрощує це рішення.

ОДЗ:

Підставляючи це єдине значення у вихідну нерівність, отримаємо хибну числову нерівність. Отже, вихідна нерівність немає рішення.

Відповідь: немає рішення.

приклад 4.Розв'язати рівняння.

Запишемо рівняння у вигляді.

Рівняння виду рівносильно змішаної системи тобто.

Звісно, ​​тут перебування ОДЗ зайве.

У нашому випадку отримаємо рівносильну систему тобто.

Рівняння рівносильне сукупності Рівняння раціонального коріння немає, але може мати ірраціональне коріння, перебування яких викличе в учнів труднощі. Тому пошукаємо інший спосіб розв'язання.

Повернемося до початкового рівняння, запишемо його як .

Знайдемо ОДЗ: .

При правій частині рівняння , а ліва частина . Отже, вихідне рівняння в області допустимих значень змінної хрівносильно системі рівнянь рішенням якої є лише одне значення.

Таким чином, у цьому прикладі саме знаходження ОДЗ дозволило вирішити вихідне рівняння.

Приклад 5.Розв'язати рівняння.

Так як , а , то при вирішенні вихідного рівняння потрібно буде позбавлятися модулів (розкривати їх).

Тому спочатку має сенс знайти ОДЗ рівняння:

Отже, ОДЗ:

Спростимо вихідне рівняння, скориставшись властивостями логарифмів.

Оскільки в області допустимих значень змінної хі , то , а тоді отримаємо рівносильне рівняння:

Враховуючи, що в ОДЗ перейдемо до рівносильного рівняння і розв'яжемо його, розділивши обидві частини на 3.

Відповідь: − 4,75.

Зауваження.

Якщо не знаходити ОДЗ, то при вирішенні рівняння необхідно було б розглянути чотири випадки: , , , . На кожному з цих проміжків знаковості виразів, що стоять під знаком модуля, потрібно було б розкрити модулі і вирішити отримане рівняння. Крім того, ще й виконати перевірку. Ми бачимо, що знаходження ОДЗ вихідного рівняння значно спрощує його розв'язання.

Приклад 7.Розв'язати нерівність .

Бо змінна хвходить і в основу логарифму, то при вирішенні цієї нерівності необхідно буде розглянути два випадки: і . Тому окремо знаходити ОДЗ недоцільно.

Отже, представимо вихідну нерівність у вигляді і воно буде рівносильним сукупності двох систем:

Відповідь: .

Науковий керівник:

1. Вступ 3

2. Історичний нарис 4

3. «Місце» ОДЗ під час вирішення рівнянь і нерівностей 5-6

4. Особливості та небезпека ОДЗ 7

5. ОДЗ – є рішення 8-9

6. Знаходження ОДЗ – зайва робота. Рівносильність переходів 10-14

7. ОДЗ в ЄДІ 15-16

8. Висновок 17

9. Література 18

1. Вступ

Проблема:рівняння та нерівності, в яких потрібно знаходити ОДЗ, не знайшли місця в курсі алгебри систематичного викладу, можливо тому я та мої однолітки часто робимо помилки при вирішенні таких прикладів, приділивши багато часу їх вирішенню, забувши при цьому про ОДЗ.

Ціль:вміти аналізувати ситуацію та робити логічно коректні висновки у прикладах, де потрібно врахувати ОДЗ.

Завдання:

1. Вивчити теоретичний матеріал;

2. Вирішувати безліч рівнянь, нерівностей: а) дробово-раціональних; б) ірраціональних; в) логарифмічні; г) містять зворотні тригонометричні функції;

3. Застосувати вивчені матеріали у ситуації, що відрізняється від стандартної;

4. Створити роботу на тему «Область допустимих значень: теорія і практика»

Робота над проектом:роботу над проектом я розпочала з повторення відомих мені функцій. Область визначення багатьох їх має обмеження.

ОДЗ зустрічається:

1. При розв'язанні дробово-раціональних рівнянь та нерівностей

2. При вирішенні ірраціональних рівнянь та нерівностей

3. При розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей

4. При розв'язанні рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції

Вирішивши безліч прикладів з різних джерел(допомог з ЄДІ, підручників, довідників), я систематизувала рішення прикладів з наступним принципам:

· Можна вирішити приклад і врахувати ОДЗ (найпоширеніший спосіб)

· Можна вирішити приклад, не враховуючи ОДЗ

· Можна тільки з огляду на ОДЗ дійти правильного рішення.

Методи, використані у роботі: 1) аналіз; 2) статистичний аналіз; 3) дедукція; 4) класифікація; 5) прогнозування.

Вивчила аналіз результатів ЄДІза минулі роки. Багато помилок було допущено у прикладах, у яких треба враховувати ОДЗ. Це ще раз наголошує актуальністьмоєї теми.

2. Історичний нарис

Як та інші поняття математики, поняття функції склалося відразу, а пройшло довгий шляхрозвитку. У роботі П. Ферма «Введення та вивчення плоских і тілесних місць» (1636, опубл. 1679) говориться: «Кожного разу, коли в заключному рівнянні є дві невідомі величини, є місце». Фактично тут йдеться про функціональної залежностіта її графічному зображенні («місце» у Ферма означає лінію). Вивчення ліній з їх рівнянь у «Геометрії» Р. Декарта (1637) також свідчить про ясне уявлення про взаємну залежність двох змінних величин. У І. Барроу («Лекції з геометрії», 1670) у геометричній формі встановлюється взаємна зворотність дій диференціювання та інтегрування (зрозуміло, без застосування самих цих термінів). Це свідчить про цілком виразному володінні поняттям функції. У геометричному та механічному вигляді це поняття ми знаходимо і в І. Ньютона. Однак термін «функція» вперше з'являється лише в 1692 р. у Г. Лейбніца і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні. Г. Лейбніц називає функцією різні відрізки, пов'язані з якоюсь кривою (наприклад, абсциси її точок). У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих пізнання кривих ліній» Лопіталя (1696) термін «функція» не вживається.

Перше визначення функції у сенсі, близькому до сучасного, зустрічається в І. Бернуллі (1718): «Функція - це величина, складена зі змінної та постійної». В основі цього недостатньо виразного визначення лежить ідея завдання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає і у визначенні Л. Ейлера, даному їм у «Введенні в аналіз нескінченних» (1748): «Функція змінної кількості є аналітичним виразом, складеним якимось чином із цієї змінної кількості та чисел чи постійних кількостей». Втім, вже Л. Ейлер не чуже і сучасне розуміння функції, яке не пов'язує поняття функції з яким-небудь аналітичним її виразом. У його «Диференційному обчисленні» (1755) говориться: «Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони змінюються, то перші називають функціями других».

З початку XIXстоліття вже дедалі частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичному зображенні. У «Трактаті з диференційного та інтегрального числення» (1797-1802) З. Лакруа говориться: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї чи багатьох інших величин, називається функцією цих останніх». В «Аналітичній теорії тепла» Ж. Фур'є (1822) є фраза: «Функція f(x)позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підпорядкованих чи ні загальному закону та відповідних всім значенням x, що міститься між 0 і будь-якою величиною x». Близько до сучасного та визначення М. І. Лобачевського: «… Загальне поняттяфункції вимагає, щоб функцією від xназивати число, яке дається для кожного xі разом з xпоступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа та вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати та залишатися невідомою». Там трохи нижче сказано: «Обширний погляд теорії допускає існування залежності лише тому сенсі, щоб числа одні з іншими у зв'язку розуміти хіба що даними разом». Таким чином, сучасне визначенняфункції, вільне від згадок про аналітичне завдання, що зазвичай приписується П. Діріхле (1837), неодноразово пропонувалося і до нього.

Області визначення (допустимих значень) функції у називається сукупність значень незалежної змінної х, при яких ця функція визначена, тобто область зміни незалежної змінної (аргументу).

3. «Місце» області допустимих значень при розв'язанні рівнянь та нерівностей

1. При розв'язанні дробово-раціональних рівнянь та нерівностейзнаменник не повинен дорівнювати нулю.

2. Вирішення ірраціональних рівнянь та нерівностей.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

У даному випадкунемає необхідності знаходити ОДЗ: з першого рівняння випливає, що при отриманих значеннях виконується нерівність: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" > є система:

Оскільки в рівняння і входять рівноправно, то замість нерівності можна включити нерівність.

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Розв'язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.

3.1. Схема розв'язання логарифмічного рівняння

Але перевірити достатньо лише одну умову ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометричні рівняннявидурівносильні системі (замість нерівності в систему можна включити нерівність).

4. Особливості та небезпека області допустимих значень

На уроках математики від нас вимагають знаходження ОДЗ у кожному прикладі. У той же час по математичній суті справи перебування ОДЗ зовсім не є обов'язковим, часто не потрібно, а іноді й неможливо - і все це без будь-яких збитків для вирішення прикладу. З іншого боку, часто трапляється таке, що, вирішивши приклад, школярі забувають врахувати ОДЗ, записують її як кінцеву відповідь, враховують лише деякі умови. Обставина ця добре відома, але «війна» триває щороку і, схоже, триватиме ще довго.

Розглянемо, наприклад, таку нерівність:

Тут шукається ОДЗ, і нерівність вирішується. Однак при вирішенні цієї нерівності школярі іноді вважають, що цілком можна обійтися без пошуку ОДЗ, точніше можна обійтися і без умови

Справді, щоб отримати правильну відповідь необхідно враховувати і нерівність , і .

А ось, наприклад, рішення рівняння: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79

що рівносильне роботі з ОДЗ. Однак і в цьому прикладі така робота зайва - достатньо перевірити виконання лише двох із цих нерівностей, причому будь-яких двох.

Нагадаю, що будь-яке рівняння (нерівність) може бути зведене до вигляду. ОДЗ - це область визначення функції у лівій частині. Те, що за цією областю треба стежити, випливає вже з визначення кореня як числа з області визначення цієї функції, тим самим - з ОДЗ. Ось кумедний приклад на цю тему. є коренем.

5. Область допустимих значень – є рішення

І нарешті, в масі прикладів знаходження ОДЗ дозволяє отримати відповідь без громіздких викладок,а то й зовсім усно.

1. ОД3 є порожня безліч, а значить, вихідний приклад не має рішень.

1) 2) 3)

2. УОДЗ знаходиться одне чи кілька чисел, і нескладна підстановка швидко визначає коріння.

1) , х = 3

2)Тут в ОДЗ знаходиться лише число 1, і після підстановки видно, що воно не є коренем.

3) В ОДЗ знаходяться два числа: 2 і 3, і обидва підходять.

4) > В ОДЗ знаходяться два числа 0 і 1, і підходить лише 1.

Ефективно можна використовувати ОДЗ разом із аналізом самого висловлювання.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) З ОДЗ випливає, що, звідки маємо ..gif" width="143" height="24"> З ОДЗ маємо: Але тоді і ... Так, то рішень немає.

З ОДЗ маємо: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значить, .<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ОДЗ: . Так, то

З іншого боку, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160"

ОДЗ:. Розглянемо рівняння на проміжку [-1; 0).

На ньому виконуються такі нерівності. width="68" src="> і рішень немає. При функції і https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179". ="45 src="> Знайдемо ОДЗ:

Цілочисленне рішення можливе лише за х=3 і х=5. Перевіркою знаходимо, що корінь х=3 не підходить, отже відповідь: х=5.

6. Знаходження області допустимих значень – надмірна робота. Рівносильність переходів.

Можна навести приклади, де ситуація зрозуміла та без знаходження ОДЗ.

1.

Рівність неможлива, бо при відніманні з меншого виразу більше повинно вийти негативне число.

2. .

Сума двох невід'ємних функцій може бути негативною.

Наведу також приклади, де перебування ОДЗ утруднене, інколи ж просто неможливо.

І, нарешті, пошуки ОДЗ є дуже часто просто зайвою роботою, без якої чудово можна обійтися, довівши тим самим розуміння того, що відбувається. Тут можна навести величезну кількість прикладів, тому я виберу лише типові. Головним прийомом рішення є у разі рівносильні перетворення під час переходу від однієї рівняння (нерівності, системи) до іншого.

1.. ОДЗ не потрібна, бо знайшовши ті значення х, при яких х2=1, ми не можемо отримати х=0.

2. . ОДЗ не потрібна, бо з'ясовуємо, коли виконується рівність підкореного виразу позитивному числу.

3. . ОДЗ не потрібна з тих же міркувань, що й у попередньому прикладі.

4.

ОДЗ не потрібна, бо підкорене вираз дорівнює квадрату деякої функції, а тому не може бути негативним.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Для вирішення достатньо лише одного обмеження для підкореного виразу. Справді, із записаної змішаної системи випливає, що й інше підкорене вираз невід'ємний.

8. ОДЗ не потрібна з тих же міркувань, що й у попередньому прикладі.

9. ОДЗ не потрібна, тому що достатньо, щоб були позитивні два із трьох виразів під знаками логарифму, щоб забезпечити позитивність третього.

10. ОДЗ не потрібна з тих же міркувань, що і в попередньому прикладі.

Варто, проте, помітити, що з вирішенні способом рівносильних перетворень допомагає знання ОДЗ (і властивостей функцій).

Ось кілька прикладів.

1. . ОД3 , звідки випливає позитивність виразу у правій частині, і можна записати рівняння, рівносильне даному, в такому вигляді width="112" height="27 ОДЗ: . Але тоді , і при розв'язанні цієї нерівності не треба розглядати випадок, коли права частина менше 0.

3. . З ОДЗ випливає, що , тому випадок, коли Перехід в загальному виглядівиглядає так:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Можливі два випадки: 0 >1.

Отже, вихідна нерівність дорівнює наступній сукупності систем нерівностей:

Перша система не має рішень, а з другої отримуємо: x<-1 – решение неравенства.

Розуміння умов рівносильності потребує знання деяких тонкощів. Наприклад, чому рівні такі рівняння:

Або

І нарешті, можливо, найважливіше. Справа в тому, що рівносильність гарантує правильність відповіді, якщо відбуваються якісь перетворення самого рівняння, але не використовується при перетворення лише в одній з частин. Скорочення, використання різних формул в одній із частин не підпадають під дію теорем про рівносильність. Деякі приклади такого виду вже наводила. Розглянемо ще приклади.

1. Таке рішення є природним. У лівій частині за якістю логарифмічної функції перейдемо до виразу ..gif"

Вирішивши цю систему, ми отримаємо результат (-2 і 2), який, однак, не є відповіддю, тому що число -2 не входить до ОДЗ. То що нам необхідно встановити ОДЗ? Ні, звісно. Але якщо ми у рішенні використовували певну властивість логарифмічної функції, ми повинні забезпечити ті умови, у яких воно виконується. Такою умовою є позитивність виразів під знаком логарифму..gif".

2. ..gif" width="143" height="27 src="> таким способом підстановці підлягають числа . Кому хочеться робити такі нудні викладки? images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрували 52% тих, хто здає. Однією з причин таких низьких показників є той факт, що багато випускників не провели відбір коренів, отриманих із рівняння після його зведення в квадрат.

3) Розглянемо, наприклад, розв'язання однієї із задач С1: "Знайдіть усі значення x, для яких точки графіка функції лежать вище відповідних точок графіка функції”. Завдання зводиться до розв'язання дробової нерівності, що містить логарифмічний вираз. Прийоми вирішення таких нерівностей нам відомі. Найпоширенішим з них є метод інтервалів. :

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Висновок

Підбиваючи певний підсумок, можна сказати, що універсального методу розв'язання рівняння та нерівностей немає. Щоразу, якщо хочеш зрозуміти, що робиш, а не діяти механічно, виникає дилема: а який спосіб рішення обрати, зокрема шукати ОДЗ чи не треба? Я думаю, що отриманий досвід допоможе мені вирішити цю дилему. Я перестану робити помилки, навчившись правильно використовувати ОДЗ. Чи вийде це, покаже час, точніше ЄДІ.

9. Література

та інших. «Алгебра і початку аналізу 10-11» задачник і підручник, М.: «Освіта», 2002. «Довідник з елементарної математики». М.: "Наука", 1966. Газета "Математика" № 46, Газета "Математика" № Газета "Математика" № "Історія математики в школі VII-VIII класи". М.: «Освіта», 1982. та ін. «Найповніше видання варіантів реальних завдань ЄДІ: 2009/ФІПД» - М.: «Астрель», 2009. та ін. «ЄДІ. Математика. Універсальні матеріали для підготовки учнів/ФІПД» - М.: «Інтелект-центр», 2009. та ін. «Алгебра та початки аналізу 10-11». М.: «Освіта», 2007., «Практикум у вирішенні завдань шкільної математики (практикум з алгебри)». М.: Просвітництво, 1976. "25000 уроків математики". М.: «Освіта», 1993. «Готуємось до олімпіад з математики». М.: "Іспит", 2006. "Енциклопедія для дітей "МАТЕМАТИКА"" том 11, М.: Аванта +; 2002. Матеріали сайтів www. *****, www. *****.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Збірна нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчих подіях.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Як?
Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», а наступна станція нашої подорожі – . Активне обговорення даного поняттяпочалося у статті про безлічі і продовжилося на першому уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає область визначення наступних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експонентів, синусу, косинуса. Вони визначені на (Багато всіх дійсних чисел). За тангенси, арксинуси, так і бути, прощаю =) – рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що ж буде стаття? на даному уроція розгляну поширені завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких знадобляться й інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення – це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення "ігреків". Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: – значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу, або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «гравець».

Грубо кажучи, де область визначення там є графік функції. А ось напівінтервал і точка «це» не входять до області визначення та графіка там немає.

Як знайти область визначення функції? Багато хто пам'ятає дитячу лічилку: «камінь, ножиці, папір», і в даному випадку її можна сміливо перефразувати: «корінь, дріб та логарифм». Таким чином, якщо вам на життєвому шляхузустрічається дріб, корінь або логарифм, то слід відразу ж дуже насторожитися! Набагато рідше зустрічаються тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, і ми теж поговоримо. Але спочатку замальовки з життя мурах:

Область визначення функції, в якій є дріб

Припустимо, дана функція, що містить певний дріб. Як ви знаєте, на нуль ділити не можна: тому ті значення «ікс», які перетворюють знаменник на нуль – не входять у область визначення цієї функції.

Не зупинятимуся на найпростіших функціях на кшталт і т.п., оскільки всі чудово бачать точки, які не входять до їхньої області визначення. Розглянемо більш змістовні дроби:

Приклад 1

Знайти область визначення функції

Рішення: у чисельнику нічого особливого немає, а ось знаменник повинен бути ненульовим Давайте прирівняємо його до нуля і спробуємо знайти погані точки:

Отримане рівняння має два корені: . Дані значення не входять у область визначення функції. Справді, підставте чи функцію і побачите, що знаменник звертається в нуль.

Відповідь: область визначення:

Запис читається так: «область визначення – всі дійсні числа за винятком множини, що складається зі значень ». Нагадую, що значок зворотного слеша в математиці позначає логічне віднімання, а фігурні дужки – безліч. Відповідь можна рівносильно записати як об'єднання трьох інтервалів:

Кому як до вподоби.

У точках функція терпить нескінченні розриви, а прямі, задані рівняннями є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції. Втім, це вже трохи інша тема, і далі я на цьому не особливо загострюватиму увагу.

Приклад 2

Знайти область визначення функції

Завдання, по суті, усне і багато хто з вас практично відразу знайдуть область визначення. Відповідь наприкінці уроку.

Чи завжди дріб буде «нехорошим»? Ні. Наприклад, функція визначена по всій числовій осі. Яке значення «ікс» ми не взяли, знаменник не звернеться в нуль, більше того, буде завжди позитивним: . Отже, область визначення цієї функции: .

Усі функції на кшталт визначені та безперервніна .

Трохи складніша ситуація, коли знаменник окупував квадратний тричлен:

Приклад 3

Знайти область визначення функції

Рішення: спробуємо знайти точки, в яких знаменник звертається в нуль Для цього вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант вийшов негативним, а отже, дійсних коренів немає, і наша функція визначена на всій числовій осі.

Відповідь: область визначення:

Приклад 4

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Раджу не лінуватися з простими завданнями, оскільки до подальших прикладів накопичиться непорозуміння.

Область визначення функції з коренем

Функція з квадратним коренем визначена лише за тих значеннях «ікс», коли підкорене вираз невід'ємно: . Якщо корінь розташувався у знаменнику , то умова явно посилюється: . Аналогічні викладки справедливі для будь-якого кореня позитивного парного ступеня: , Щоправда, корінь вже 4-го ступеня в дослідженнях функційне пригадую.

Приклад 5

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути невід'ємним:

Перед тим, як продовжити рішення, нагадаю основні правила роботи з нерівностями, відомі ще зі школи.

Звертаю особлива увага! Зараз розглядаються нерівності з однією змінною– тобто для нас існує лише одна розмірність по осі. Будь ласка, не плутайте з нерівностями двох змінних, де геометрично задіяна вся координатна площина Однак є й приємні збіги! Отже, для нерівності рівносильні такі перетворення:

1) Доданки можна переносити з частини до частини, змінюючи у них (доданків) знаки.

2) Обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативнечисло, то необхідно змінити знак самої нерівності. Наприклад, якщо було "більше", то стане "менше"; якщо було «менше чи одно», то стане «більше чи одно».

У нерівності перенесемо «трійку» в праву частинузі зміною знака (правило №1):

Помножимо обидві частини нерівності на –1 (правило №3):

Помножимо обидві частини нерівності (правило №2):

Відповідь: область визначення:

Відповідь також можна записати еквівалентною фразою: "функція визначена при".
Геометрично область визначення зображується штрихуванням відповідних інтервалів на осі абсцис. В даному випадку:

Ще раз нагадую геометричний зміст області визначення – графік функції існує тільки на заштрихованій ділянці та відсутня при .

Найчастіше годиться чисто аналітичне перебування області визначення, але коли функція сильно заморочена, слід креслити вісь і робити позначки.

Приклад 6

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення.

Коли під квадратним коренем знаходиться квадратний двочлен або тричлен, ситуація трохи ускладнюється, і зараз докладно розберемо техніку рішення:

Приклад 7

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути суворо позитивним, тобто нам необхідно вирішити нерівність. На першому кроці намагаємося розкласти квадратний тричлен на множники:

Дискримінант позитивний, шукаємо коріння:

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, а це означає, що частина параболи розташована нижче осі (нерівність), а частина параболи – вище осі (потрібна нам нерівність).

Оскільки коефіцієнт , то гілки параболи дивляться нагору. З вищесказаного випливає, що на інтервалах виконано нерівність (гілки параболи йдуть вгору на нескінченність), а вершина параболи розташована на проміжку нижче осі абсцис, що відповідає нерівності:

! Примітка: якщо вам не до кінця зрозумілі пояснення, будь ласка, накресліть другу вісь та параболу цілком! Доцільно повернутися до статті та методики Гарячі формули шкільного курсу математики.

Зверніть увагу, що самі точки виколоти (не входять у рішення), оскільки нерівність у нас сувора.

Відповідь: область визначення:

Взагалі, багато нерівностей (у тому числі розглянуте) вирішуються універсальним методом інтервалів, відомим знову ж таки з шкільної програми. Але у випадках квадратних дво-і тричленів, на мій погляд, набагато зручніше і швидше проаналізувати розташування параболи щодо осі. А основний спосіб – метод інтервалів ми детально розберемо у статті Нулі функції. Інтервали знакостійності.

Приклад 8

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. У зразку докладно закоментована логіка міркувань + другий спосіб розв'язання та ще одне важливе перетворення нерівності, без знання якої студент кульгатиме на одну ногу…, …хмм… на рахунок ноги, мабуть, погарячкував, скоріше – на один палець. Великий палець.

Чи може функція з квадратним коренем бути визначена на всій числовій прямій? Звісно. Знайомі обличчя: . Або аналогічна сума з експонентою: . Дійсно, для будь-яких значення «ікс» і «ка»: тому подАвно і .

А ось менш очевидний приклад: . Тут дискримінант негативний (парабола не перетинає вісь абсцис), причому гілки параболи спрямовані вгору, отже, і область визначення: .

Питання протилежне: чи може область визначення функції бути порожній? Так, і відразу напрошується примітивний приклад , де підкорене вираз негативно за будь-якого значення «ікс», і область визначення: (значок порожньої множини). Така функція не визначена взагалі (зрозуміло, графік також ілюзорний).

З непарним корінням і т.д. все набагато краще - тут підкорене вираз може бути і негативним. Наприклад, функція визначена на всій числовій прямій. Однак у функції єдина точка все ж таки не входить в область визначення, оскільки звертають знаменник у нуль. З тієї ж причини для функції виключаються точки.

Область визначення функції з логарифмом

Третя поширена функція – логарифм. Як зразок я малюватиму натуральний логарифм, який трапляється приблизно в 99 прикладах зі 100. Якщо деяка функція містить логарифм , то в її область визначення повинні входити ті значення «ікс», які задовольняють нерівності . Якщо логарифм перебуває у знаменнику: , то додатковонакладається умова (оскільки ).

Приклад 9

Знайти область визначення функції

Рішення: відповідно до сказаного вище складемо і вирішимо систему:

Графічне рішення для чайників:

Відповідь: область визначення:

Зупинюся ще на одному технічному моменті - адже в мене не вказаний масштаб і не проставлені поділу по осі. Виникає питання: як виконувати подібні креслення у зошиті на картатому папері? Чи відміряти відстань між точками за клітинами строго за масштабом? Канонічніше і суворіше, звичайно, масштабувати, але цілком припустимо і схематичний креслення, що принципово відображає ситуацію.

Приклад 10

Знайти область визначення функції

Для вирішення задачі можна використовувати метод попереднього параграфа – проаналізувати, як парабола розташована щодо осі абсцис. Відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, у царстві логарифмів все дуже схоже на ситуацію із квадратним коренем: функція (квадратний тричлен із Прикладу №7) визначено на інтервалах , а функція (Квадратний двочлен з Прімера №6) на інтервалі . Незручно вже й говорити, функції типу визначені на всій числовій прямій.

Корисна інформація : цікава типова функція , вона визначена на всій числовій прямій крім точки . Відповідно до властивості логарифму , «двійку» можна винести множником за межі логарифму, але щоб функція не змінилася, «ікс» необхідно укласти під знак модуля: . Ось вам і ще одне "практичне застосування" модуля =). Так необхідно чинити в більшості випадків, коли ви знесете парнуступінь, наприклад: . Якщо підстава ступеня свідомо позитивно, наприклад, , то знаку модуля відпадає необхідність і досить обійтися круглими дужками: .

Щоб не повторюватися, давайте ускладнимо завдання:

Приклад 11

Знайти область визначення функції

Рішення: у цій функції у нас присутній і корінь та логарифм.

Підкорене вираз має бути неотрицательным: , а вираз під знаком логарифму – суворо позитивним: . Таким чином, необхідно вирішити систему:

Багато хто з вас чудово знає або інтуїтивно здогадується, що рішення системи має задовольняти кожномуумовою.

Досліджуючи розташування параболи щодо осі, приходимо до висновку, що нерівності задовольняє інтервал (синя штрихування):

Нерівності, очевидно, відповідає «червоний» напівінтервал.

Оскільки обидві умови мають виконуватися одночасно, то рішенням системи є перетин даних інтервалів. « Загальні інтереси»Дотримані на напівінтервалі.

Відповідь: область визначення:

Типова нерівність, як демонструвалося в Прикладі №8, неважко вирішити і аналітично.

Знайдена область визначення не зміниться для схожих функцій, наприклад, для або . Також можна додати якісь безперервні функції, наприклад: , або так: , і навіть так: . Як кажуть, корінь та логарифм – річ уперта. Єдине, якщо одну з функцій «скинути» в знаменник, то область визначення зміниться (хоча у випадку це завжди справедливо). Ну а в теорії матана з приводу цього словесного… ой… існують теореми.

Приклад 12

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Використання креслення цілком доречно, тому що функція не найпростіша.

Ще кілька прикладів для закріплення матеріалу:

Приклад 13

Знайти область визначення функції

Рішення: складемо і вирішимо систему:

Усі дії вже розібрано під час статті. Зобразимо на числовий прямий інтервал, що відповідає нерівності і, згідно з другою умовою, виключимо дві точки:

Значення виявилося взагалі не при справах.

Відповідь: область визначення

Невеликий математичний каламбур на варіацію 13 прикладу:

Приклад 14

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Хто пропустив, той у прольоті;-)

Завершальний розділ уроку присвячений більш рідкісним, але також «робочим» функціям:

Області визначення функцій
з тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Якщо в деяку функцію входить, то з її області визначення виключаютьсякрапки , де Z- безліч цілих чисел. Зокрема, як зазначалося у статті Графіки та властивості елементарних функцій, У функції виколоти такі значення:

Тобто область визначення тангенсу: .

Вбиватись сильно не будемо:

Приклад 15

Знайти область визначення функції

Рішення: у разі і область визначення не увійдуть такі точки:

Скинемо «двійку» лівої частини у знаменник правої частини:

В результаті :

Відповідь: область визначення: .

У принципі, відповідь можна записати і як об'єднання нескінченної кількості інтервалів, але конструкція вийде дуже громіздкою:

Аналітичне рішення повністю узгоджується з геометричним перетворенням графіка: якщо аргумент функції помножити на 2, її графік стиснеться до осі вдвічі. Зауважте, як у функції уполовинувся період, і точки розривупочастішали вдвічі. Тахікардія.

Схожа історія із котангенсом. Якщо деяку функцію входить , то її області визначення виключаються точки . Зокрема, для функції автоматної черги розстрілюємо такі значення:

Іншими словами:

Будь-який вираз зі змінною має свою область допустимих значень, де вона існує. ОДЗ необхідно завжди враховувати під час вирішення. За його відсутності можна отримати неправильний результат.

У цій статті буде показано, як правильно знаходити ОДЗ, використовувати на прикладах. Також буде розглянуто важливість вказівки ОДЗ під час рішення.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимі та неприпустимі значення змінних

Це визначення пов'язане з допустимими значеннями змінної. При запровадженні визначення подивимося, якого результату приведе.

Починаючи з 7 класу, ми починаємо працювати з числами та числовими виразами. Початкові визначення зі змінними переходять до значення виразів із вибраними змінними.

Коли є вирази з вибраними змінними, деякі з них можуть не задовольняти. Наприклад, вираз виду 1: а, якщо а = 0 тоді воно не має сенсу, так як ділити на нуль не можна. Тобто вираз повинен мати такі значення, які підійдуть у будь-якому випадку та дадуть відповідь. Інакше кажучи, мають сенс із змінними.

Визначення 1

Якщо є вираз зі змінними, воно має сенс лише тоді, коли за їх підстановці значення то, можливо обчислено.

Визначення 2

Якщо є вираз зі змінними, воно немає сенсу, коли за їх підстановці значення може бути обчислено.

Тобто звідси випливає повне визначення

Визначення 3

Існуючими допустимими змінними називають такі значення, у яких вираз має сенс. А якщо сенсу не має, то вони вважаються неприпустимими.

Для уточнення сказаного вище: якщо змінних більше однієї, тоді може бути і пара відповідних значень.

Приклад 1

Наприклад розглянемо вираз виду 1 x - y + z де є три змінні. Інакше можна записати, як x = 0, y = 1, z = 2, інший запис має вигляд (0, 1, 2). Дані значення називають допустимими, отже, можна знайти значення виразу. Отримаємо, що 10 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Звідси бачимо, що (1, 1, 2) неприпустимі. Підстановка дає в результаті розподіл на нуль, тобто 11 - 2 + 1 = 10.

Що таке ОДЗ?

Область допустимих значень – важливий елемент при обчисленні виразів алгебри. Тому варто звернути на це увагу під час розрахунків.

Визначення 4

Область ОДЗ- Це безліч значень, допустимих для даного виразу.

Розглянемо з прикладу висловлювання.

Приклад 2

Якщо маємо вираз виду 5 z - 3 тоді ОДЗ має вигляд (− ∞ , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Ця область допустимих значень задовольняє змінної z для заданого виразу.

Якщо є вирази виду z x - y тоді видно, що x ≠ y z приймає будь-яке значення. Це і називають ОДЗ висловлювання. Його необхідно враховувати, щоб не отримати при підстановці поділ на нуль.

Область допустимих значень та область визначення має один і той же зміст. Тільки другий з них використовується для виразів, а перший – для рівнянь чи нерівностей. За допомогою ОДЗ вираз чи нерівність має сенс. Область визначення функції збігається з областю допустимих значень змінної х до виразу f(x).

Як знайти ОДЗ? Приклади, рішення

Знайти ОДЗ означає знайти всі допустимі значення, що підходять для заданої функціїчи нерівності. У разі невиконання цих умов можна отримати невірний результат. Для знаходження ОДЗ часто необхідно пройти через перетворення у заданому виразі.

Існують вирази, де їх обчислення неможливе:

  • якщо є поділ на нуль;
  • вилучення кореня з негативного числа;
  • наявність негативного цілого показника – лише позитивних чисел;
  • обчислення логарифму від'ємного числа;
  • область визначення тангенсу π 2 ​​+ π · k , k ∈ Z та котангенсу π · k , k ∈ Z ;
  • знаходження значення арксинусу та арккосинусу числа при значенні, що не належить [-1; 1].

Все це говорить про те, наскільки важливою є наявність ОДЗ.

Приклад 3

Знайти ОДЗ вирази x 3 + 2 · x · y − 4 .

Рішення

У куб можна зводити будь-яке число. Даний вираз не має дробу, тому значення x і у можуть бути будь-якими. Тобто ОДЗ – це будь-яке число.

Відповідь: x та y – будь-які значення.

Приклад 4

Знайти ОДЗ вирази 13-x + 10.

Рішення

Видно, що є один дріб, де в знаменнику нуль. Це говорить про те, що за будь-якого значення х ми отримаємо поділ на нуль. Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що це вираз вважається невизначеним, тобто немає ОДЗ.

Відповідь: ∅ .

Приклад 5

Знайти ОДЗ заданого виразу x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Рішення

Наявність квадратного кореня говорить про те, що цей вираз обов'язково має бути більшим або рівним нулю. При негативне значеннявоно немає сенсу. Отже, необхідно записати нерівність виду x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Тобто це і є потрібна область допустимих значень.

Відповідь:множина x і y , де x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Приклад 6

Визначити ОДЗ виразу виду 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3).

Рішення

За умовою маємо дріб, тому її знаменник не повинен дорівнювати нулю. Отримуємо, що x + 1 – 1 ≠ 0 . Підкорене вираз завжди має сенс, коли більше чи дорівнює нулю, тобто x + 1 ≥ 0 . Оскільки має логарифм, його вираз має бути суворо позитивним, тобто x 2 + 3 > 0 . Основа логарифму також повинна мати позитивне значенняі відмінне від 1 , тоді додаємо ще умови x + 8 > 0 і x + 8 ≠ 1 . Звідси випливає, що шукане ОДЗ набуде вигляду:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Інакше кажучи, називають системою нерівностей із однією змінною. Рішення призведе до запису ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Відповідь: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Чому важливо враховувати ОДЗ під час проведення перетворень?

При тотожних перетвореннях важливо знаходити ОДЗ. Бувають випадки, коли існування ОДЗ немає. Щоб зрозуміти, чи має рішення заданий вираз, потрібно порівняти ОДЗ змінних вихідного виразу та ОДЗ отриманого.

Тотожні перетворення:

  • можуть не впливати на ОДЗ;
  • можуть призвести до розширення або доповнення ОДЗ;
  • можуть звузити ОДЗ.

Розглянемо з прикладу.

Приклад 7

Якщо маємо вираз виду x 2 + x + 3 · x тоді його ОДЗ визначено на всій області визначення. Навіть при наведенні подібних доданків та спрощенні вираження ОДЗ не змінюється.

Приклад 8

Якщо взяти приклад виразу x + 3 x − 3 x , то справи інакше. У нас є дрібний вираз. А ми знаємо, що поділ на нуль неприпустимий. Тоді ОДЗ має вигляд (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, що нуль не є рішенням, тому додаємо його з круглою дужкою.

Розглянемо приклад із наявністю підкореного виразу.

Приклад 9

Якщо є x - 1 · x - 3 тоді слід звернути увагу на ОДЗ, так як його необхідно записати у вигляді нерівності (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 . Можливе рішення методом інтервалів, тоді отримуємо, що ОДЗ набуде вигляду (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Після перетворення x - 1 · x - 3 та застосування властивості коренів маємо, що ОДЗ можна доповнити та записати все у вигляді системи нерівності виду x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При її вирішенні отримуємо, що [ 3 + ∞) . Отже, ОДЗ повністю записується так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Потрібно уникати перетворень, що звужують ОДЗ.

Приклад 10

Розглянемо приклад виразу x-1 · x-3, коли х = -1. При підстановці отримаємо, що – 1 – 1 · – 1 – 3 = 8 = 2 2 . Якщо це вираз перетворити і призвести до виду x - 1 · x - 3, тоді при обчисленні отримаємо, що 2 - 1 · 2 - 3 вираз сенсу не має, тому що підкорене вираз не має бути негативним.

Слід дотримуватись тотожних перетворень, які ОДЗ не змінять.

Якщо є приклади, що його розширюють, його потрібно додавати в ОДЗ.

Приклад 11

Розглянемо з прикладу дробу виду x x 3 + x . Якщо скоротити на x, тоді отримуємо, що 1 x 2 + 1 . Тоді ОДЗ розширюється і стає (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причому при обчисленні вже працюємо з другим спрощеним дробом.

За наявності логарифмів справа трохи інакша.

Приклад 12

Якщо є вираз виду ln x + ln (x + 3), його замінюють на ln (x · (x + 3)), спираючись на властивість логарифму. Звідси видно, що ОДЗ (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Тому визначення ОДЗ ln (x · (x + 3)) необхідно проводити обчислення на ОДЗ, тобто (0 , + ∞) множини.

При вирішенні завжди необхідно звертати увагу на структуру та вид даного за умовою вираження. При правильному знаходженні області визначення результату буде позитивним.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter



 

Можливо, буде корисно почитати: