Похідна функції заданої неявно. Похідна неявної функції Знайти значення похідної неявної функції

Розглянемо функцію y(x), яка записується неявним способом у загальному вигляді $F(x, y(x)) = 0$. Похідна неявної функції знаходиться двома способами:

Диференціюванням обох частин рівняння
За допомогою використання готової формули $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Як знайти?

Спосіб 1

Не потрібно наводити функцію до явного вигляду. Потрібно відразу приступати до диференціювання лівої та правої частини рівняння $ x $. Варто звернути увагу, що похідна $y"$ обчислюється за правилом диференціювання складної функції. Наприклад, $(y^2)"_x = 2yy"$. Після знаходження похідної необхідно виразити $y"$ з отриманого рівняння і розмістити $y"$ у лівій частині.

Спосіб 2

Можна скористатися формулою, в якій використовуються в чисельнику і знаменнику похідні приватні неявної функції $ F (x, y (x)) = 0 $. Для знаходження чисельника беремо похідну по $ x $, а знаменника похідну по $ y $.

Другу похідну неявної функції можна знайти за допомогою повторного диференціювання першої неявної похідної функції.

Приклади рішень

Розглянемо практичні приклади рішень обчислення похідної неявно заданої функції.

Приклад 1
Знайти похідну неявної функції $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1$
Рішення
Скористаємося способом №1. А саме продиференціюємо ліву та праву частину рівняння: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Не забуваймо при диференціюванні використовувати формулу похідної добутку функцій: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!
Відповідь
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Приклад 2
Функція задана неявно, знайти похідну $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Рішення
Скористаємося способом №2. Знаходимо приватні похідні функції $F(x,y) = 0$ Покладемо $ y $ постійною і продиференціюємо по $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Вважаємо тепер $ x $ константою і диференціюємо по $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Підставляємо тепер формулу $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ і отримуємо: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Відповідь
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Формула похідної функції, заданої неявно. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Зміст

Похідна першого порядку

Нехай функція задана неявним чином за допомогою рівняння
(1) .
І нехай це рівняння, за деякого значення, має єдине рішення. Нехай функція є функцією, що диференціюється в точці , причому
.
Тоді, при цьому значенні, існує похідна, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Для доказу розглянемо функцію як складну функцію від змінної:
.
Застосуємо правило диференціювання складної функції та знайдемо похідну за змінною від лівої та правої частин рівняння
(3) :
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю і , то
(4) ;
.

Формулу доведено.

Похідні вищих порядків

Перепишемо рівняння (4), використовуючи інші позначення:
(4) .
При цьому і є складними функціями від змінної:
;
.
Залежність визначає рівняння (1):
(1) .

Знаходимо похідну за змінною від лівої та правої частини рівняння (4).
За формулою похідної складної функції маємо:
;
.
За формулою похідної твори:

.
За формулою похідної суми:

.

Оскільки похідна правої частини рівняння (4) дорівнює нулю, то
(5) .
Підставивши сюди похідну, отримаємо значення похідної другого порядку у неявному вигляді.

Диференціюючи, аналогічно, рівняння (5), ми отримаємо рівняння, що містить похідну третього порядку :
.
Підставивши сюди знайдені значення похідних першого та другого порядків, знайдемо значення похідної третього порядку.

Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідну будь-якого порядку.

Приклади

Приклад 1

Знайдіть похідну першого порядку від функції, заданої неявно рівнянням:
(П1) .

Рішення за формулою 2

Знаходимо похідну за формулою (2):
(2) .

Перенесемо всі змінні в ліву частину, щоб рівняння набуло вигляду .
.
Звідси.

Знаходимо похідну за вважаючи постійною.
;
;
;
.

Знаходимо похідну за змінною, вважаючи змінну постійною.
;
;
;
.

За формулою (2) знаходимо:
.

Ми можемо спростити результат, якщо зауважимо, що відповідно до вихідного рівняння (П.1), . Підставимо:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Рішення другим способом

Вирішимо цей приклад другим способом. Для цього знайдемо похідну змінної лівої та правої частин вихідного рівняння (П1).

Застосовуємо:
.
Застосовуємо формулу похідного дробу:
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Диференціюємо вихідне рівняння (П1).
(П1) ;
;
.
Помножуємо на та групуємо члени.
;
.

Підставимо (з рівняння (П1)):
.
Помножимо на:
.

Приклад 2

Знайти похідну другого порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П2.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння, за змінною , вважаючи, що є функцією від :
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.

Диференціюємо вихідне рівняння (П2.1):
;
.
З вихідного рівняння (П2.1) випливає, що . Підставимо:
.
Розкриваємо дужки та групуємо члени:
;
(П2.2) .
Знаходимо похідну першого порядку:
(П2.3) .

Щоб знайти похідну другого порядку, диференціюємо рівняння (П2.2).
;
;
;
.
Підставимо вираз похідної першого порядку (П2.3):
.
Помножимо на:

;
.
Звідси знаходимо похідну другого порядку.

Приклад 3

Знайти похідну третього порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П3.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння за змінною вважаючи, що є функцією від .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Диференціюємо рівняння (П3.2) по змінній.
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Диференціюємо рівняння (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

З рівнянь (П3.2), (П3.3) та (П3.4) знаходимо значення похідних при .
;
;
.

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Оскільки мої уроки мають практичну спрямованість, я намагаюся уникати визначень, формулювань теорем, але тут це доречно зробити. А що таке функція взагалі?

Функція однієї змінної - це правило, яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і лише одне значення функції .

Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією.

Грубо кажучи, буква «гравець» в даному випадку – і є функція.

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець» (функція), а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини у частину зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: - приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

Просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати

Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» - САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Таким чином, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції:

Твір диференціюємо за звичайним правилом:

Зверніть увагу, що - теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» - складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:

Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину - переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана у неявному вигляді» більш загальна і коректна, - ця функція задана у неявному вигляді, але можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під фразою "неявна функція" розуміють "класичну" неявну функцію, коли "ігрок" висловити не можна.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналіз та чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пункт, інакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі складові в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою

Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки з ліву частину, інші - праву частину:

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади. кожен доданок кожної частини

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції

У цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються у контрольних роботах з вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових уроках та Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.

Похідна функції, заданої неявно

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:

Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Отже, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Добуток диференціюємо за звичайним правилом :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:

Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину – переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під словами «неявна функція» частіше розуміють «класичну» неявну функцію, коли «ігрек» висловити не можна.

Слід також відзначити, що «неявне рівняння» може неявно задавати відразу дві або навіть більшу кількість функцій, так, наприклад, рівняння кола неявно задає функції , , які визначають півкола. та нюансами, це була просто інформація для загального розвитку.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналіз та чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі складові в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо їх у обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його до другого рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Функція Z = f (х; у) називається неявною, якщо вона задається рівнянням F (x, y, z) = 0 недозволеним щодо Z. Знайдемо приватні похідні функції Z заданої неявно. Для цього підставивши в рівняння замість Zфункцію f (х; у) отримаємо тотожність F (x, y, f (х, у)) = 0. Приватні похідні поxи yфункції, тотожно рівної нулю, також дорівнюють нулю.

F(x, y, f (х, у)) =
=0 (вважаємо постійним)

F(x, y, f (х, у)) =
=0 (xвважаємо постійним)

Звідки
і

приклад: Знайти приватні похідні функціїZ заданою рівнянням
.

Тут F(x, y, z) =
;
;
;
. За наведеними вище формулами маємо:

Похідна за напрямком

Нехай функція двох змінних Z = f (x; у) задана в деякій околиці т. м (x, y). Розглянемо деякий напрямок, що визначається одиничним вектором
, де
(Див. рис.).

На прямий, що проходить у цьому напрямі через т. м. візьмемо т. м 1 (
) так, що довжина
відрізка MM 1 дорівнює
. Приріст функції f(M) визначається співвідношенням, де
пов'язані співвідношеннями. Межа відносин при
буде називатися похідною функції
у точці
у напрямку і позначатися .

Якщо функція Zдиференційована у точці
, то її збільшення у цій точці з урахуванням співвідношень для
може бути записано у наступній формі.

поділивши обидві частини на

і переходячи до межі при
отримаємо формулу для похідної функції Z = f (х; у) у напрямку:

Градієнт

Розглянемо функцію трьох змінних
що диференціюється в деякій точці
.

Градієнтом цієї функції
у точці М називається вектор, координати якого рівні відповідно приватним похідним
у цій точці. Для позначення градієнта використовують символ
.
=
.

. Градієнт показує напрямок якнайшвидшого зростання функції у цій точці.

Оскільки одиничний вектор має координати (
), то похідна у напрямі випадку функції трьох змінних записується як, тобто. має формулу скалярного твору векторів і
. Перепишемо останню формулу у такому вигляді:

, де - Кут між вектором і
. Оскільки
, то звідси випливає, що похідна функції у напрямку приймає max значення при =0, тобто. коли напрям векторів і
збігаються. При цьому
.Тобто, насправді градієнт функції характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції у точці.

Екстремум функції двох змінних

Поняття max,min, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї змінної. Нехай функція Z = f (x; у) визначена в деякій ділянці D і т. м.
належить до цієї галузі. Точка М
називається точкою max функції Z = f (x; у), якщо існує така δ-околиця точки
, Що для кожної точки з цієї околиці виконується нерівність
. Аналогічно визначається і точка min, тільки знак нерівності при цьому зміниться
. Значення функції у точці max(min) називається максимумом (мінімумом). Максимум та мінімум функції називаються екстремумами.

Необхідні та достатні умови екстремуму

Теорема:(Необхідні умови екстремуму). Якщо у точці М
диференційована функція Z= f(x; у) має екстремум, її приватні похідні в цій точці рівні нулю:
,
.

Доведення:зафіксувавши одну із зміннихxіліy, ревратим Z= f(x; у) у функцію однієї змінної, для екстремуму якої вищеописані умови повинні виконуватися. Геометрично рівності
і
означають, що у точці екстремуму функції Z= f(x; у), дотична площина до поверхні, що зображує функціюf(x,y)=Zпаралельна площині OXY, т.к. рівняння дотичної площині є Z = Z 0. Точка, у якій приватні похідні першого порядку функції Z = f (x; у) дорівнюють нулю, тобто.
,
називаються стаціонарною точкою функції. Функція може мати екстремум у точках, де хоча б одна з приватних похідних не існує. НаприкладZ=|-
| має maxв точціO(0,0), але не має в цій точці похідних.

Стаціонарні точки та точки, в яких хоча б одна приватна похідна не існує, називаються критичними точками.У критичних точках функція може мати екстремум, а може не мати. Рівність нуля приватних похідних є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму. Наприклад, при Z = xy точка O (0,0) є критичною. Однак екстремуму в ній функція Z = xy не має. (Т.к. в ІІIII четвертях Z> 0, а в II і IV-Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достатня умова екстремумів). Нехай у стаціонарній точці
і деякою околиці функція f(x; у) має безперервні приватні похідні до 2-го порядку включно. Обчислимо у точці
значення
,
і
. Позначимо