III. Yechimlari bilan muammolarga misollar

Sinf: 11

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Darsning maqsadi:

ko'phadni ko'phadga bo'lish va Xorner sxemasidan foydalanish ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish;
OpenOffice.org Calc elektron jadvallarida ko'nikmalarni mustahkamlash;
talabalarning yangi bilimlarni idrok etish, tushunish va birlamchi yodlash faoliyatini tashkil etish;
muammoli vaziyatni yechishda Bezut teoremasini tahlil qiling va isbotlang: uchinchi darajali ko‘phadni omillarga ajratish mumkinmi;
yuqori darajali tenglamalarni yechishda Bezout teoremasidan foydalanishni ko'rib chiqing;
mantiqiy fikrlash, diqqat, nutq va mustaqil ishlash qobiliyatini rivojlantirishga yordam berish.

Dars turi: yangi material bilan tanishish.

Uskunalar: multimedia proyektori, dars uchun taqdimot, kompyuter sinfi.

"Aqlni yaxshilash uchun yodlashdan ko'ra ko'proq fikr yuritish kerak."
Dekart (1596-1650). Fransuz matematigi, fizigi, filologi, faylasufi.

Darslar davomida

I. Tashkiliy vaqt

Bizning bugungi hamkorlikdagi vazifamiz Dekartning so'zlarini tasdiqlashdir (1-slayd). Darsimizning mavzusi (2-slayd) "Bezout teoremasi" shunchalik muhimki, u hatto USE topshiriqlarida va turli olimpiadalarda ham qo'llaniladi. Bezout teoremasi yuqori darajali tenglamalarni o'z ichiga olgan ko'plab vazifalarni hal qilishni osonlashtiradi. Afsuski, u faqat profil darajasida o'rganiladi.

II. Muammoli vaziyatning paydo bo'lishi

Bu darsda biz yuqori darajali tenglamalarni yechish usullarini o'rganamiz va o'zimiz yechim algoritmini chiqaramiz.

Tenglamani yeching: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(3-slayd). Muammo tug'iladi: biz tenglamaning chap tomonini mahsulot sifatida ko'rsatish qulay bo'lishini tushunamiz va mahsulot nolga teng bo'lganligi sababli, har bir omilni nolga tenglashtiramiz. Buning uchun 3-darajali ko'phadni omillarga ajratish kerak. Lekin qanday? Bizning holatimizda umumiy omilni qavsdan guruhlash yoki olib tashlash mumkinmi? (Yo'q).

III. Asosiy bilimlarni yangilash

X 2 - 5x - 6 ko'phadni qanday koeffitsientlarga ajratishni eslaylikmi? (4-slayd).

(Kvadrat trinomialni faktoring formulasiga ko'ra:

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x-x 2), bu erda x 1 va x 2 trinomialning ildizlari).

Trinomning ildizlarini ikki usulda toping. Nima?

(kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi va Vyeta teoremasi bo'yicha).

Har bir guruhdan bittadan o‘quvchi chiqib doskada yechish. Qolgan talabalar daftarlarida. Olingan: x 2 - 5x - 6 \u003d (x - 6) (x + 1).

Bu shuni anglatadiki, trinomial binomiallarning har biriga bo'linadi: x - 6 va x + 1.

Uch a’zomizning erkin hadiga e’tibor bering va uning bo‘luvchilarini toping (±1, ±2, ±3, ±6).

Bo'luvchilardan qaysi biri uchlikning ildizi hisoblanadi? (-1 va 6)

Qanday xulosa chiqarish mumkin? (Uch a'zoning ildizlari erkin terminning bo'luvchilari).

IV. Gipoteza

Xo'sh, qaysi monom ko'phadning ildizlarini topishga yordam beradi?

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(Bepul a'zo).

Uning bo'luvchilarini yozing: ±1; ±2; ±4.

Har bir bo'luvchi uchun ko'phadning qiymatlarini toping. Elektron jadvallar bilan va to'g'ridan-to'g'ri:

1-guruh daftarlarida hisoblaydi, ikkinchi guruh OpenOffice.org Calc da kompyuterlardan foydalanadi.

P(1)= -3
P(-1)=7
P(2)=-8
P(-2)=0
P(4)=12
P(-4)=-68

(Elektron jadvallarda hisoblashda B2 katakchada talabalar formulani kiritadilar: \u003d A1 ^ 3-2 * A1 ^ 2-6 * A1 + 4. Avtomatik to'ldirish belgisidan foydalanib, ular qiymatlarni oladilar. butun ustundagi polinom).

Ko‘phadning ildizi qaysi bo‘luvchi hisoblanadi? (-2)

Shunday qilib, kengayish omillaridan biri x-(-2) = x + 2 bo'ladi.

Boshqa ko'paytirgichlarni qanday topish mumkin?

("ustundagi" ni binomga ajrating x + 2)

Yana qanday qilib qila olasiz? (Xorner sxemasiga ko'ra). (5-slayd)

Horner sxemasi nima? ( Horner sxemasi - bu bo'linuvchi binomial bo'lgan maxsus holat uchun yozilgan ko'p nomli bo'linish algoritmidir. x-a).

Biz bo'linishni amalga oshiramiz: birinchi guruh "ustunda", ikkinchisi - Horner sxemasiga muvofiq.

Izsiz bo'lingan.

Keling, tenglamaga qaytaylik: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 kvadrat tenglama. Uni hal qiling:

D 1 \u003d 4 - 2 \u003d 2;

Javob: -2, .

Bo'lishda qoldiq bo'lishi mumkinmi? Bu savolga keyinroq javob beramiz. Endi x = - 2 da ko'phadning qiymatini ayting (qiymat nolga teng).

E'tibor bering, x = - 2 ko'phadning ildizi va ko'phadni x-(-2) ga bo'lishning qolgan qismi 0 ga teng.

X=1 deb hisoblang - tenglamaning ildizi emas.

Keling, ko'phadni bo'lishga harakat qilaylik x-1. Ikkinchi guruh bo'linishni "ustunga" bajaradi. Birinchisi, Hornerning sxemasiga ko'ra, jadvalni yana bitta qator bilan to'ldiradi.

Shunday qilib, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 \u003d (x - 1) ∙ (x 2 - x - 7) - 3.

E'tibor bering, x=1 ko'phadning ildizi emas va ko'phadni (x-1) ga bo'lishning qolgan qismi ko'phadning x=1dagi qiymatiga teng.

Qolganlari haqidagi savolga javob shu. Ha, qolgan qismi ko'phadning ildizi bo'lmagan x qiymati bilan chiqdi.

Qolgan doimiy hadli bo‘luvchilar uchun Horner sxemasini davom ettiramiz. Endi birinchi guruh kompyuterda, ikkinchisi esa daftarda hisoblaylik.

V. Faraz isboti

(6-slayd) Qolganlari haqida naqshni sezdingiz. Nima? (qolgan qismi ko'phadning ildizi bo'lmagan x qiymati bilan chiqdi).

Keling, ushbu qonuniyatni umumiy shaklda yozamiz.

P(x) ko’phad va ba’zi son bo’lsin.

Keling, bayonotni isbotlaylik: P(x) ni (x - a) ga bo'lishning qolgan qismi P(a) ga teng.

Isbot. P(x) ni qoldiq bilan (x - a) ga bo'ling.

Biz P (x) \u003d (x - a) Q (x) + R olamiz; qoldiqning ta'rifiga ko'ra, r polinomi yoki 0 ga teng yoki daraja (x - a) dan kichik darajaga ega, ya'ni. 1 dan kam. Lekin polinom darajasi 0 ga teng bo'lgandagina 1 dan kichik bo'ladi va shuning uchun har ikkala holatda ham R aslida raqam - nol yoki nolga teng emas.

Endi P (x) \u003d (x - a) Q (x) + R tengligidagi x \u003d a qiymatini almashtirsak, biz P (a) \u003d (a - a) Q (x) + R, P ni olamiz. (a) \u003d R , shuning uchun haqiqatan ham R = P (a).

Bu naqshni matematik Bezout ham qayd etgan.

Talaba xabari

(7-slayd) Etyen Bezout - fransuz matematigi, Parij Fanlar akademiyasining a'zosi (1758 yildan), 1730 yil 31 martda Nemurda tug'ilgan va 1783 yil 27 sentyabrda vafot etgan. 1763 yildan Bezout michmanlar maktabida, 1768 yildan esa qirollik artilleriya korpusida matematikadan dars bergan.

Etyen Bezoutning asosiy ishlari oliy algebra bilan bog'liq bo'lib, ular algebraik tenglamalarni echish nazariyasini yaratishga bag'ishlangan.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish nazariyasida u determinantlar nazariyasining paydo boʻlishiga hissa qoʻshdi, yuqori darajali tenglamalar sistemasidan nomaʼlumlarni yoʻq qilish nazariyasini ishlab chiqdi, teoremani isbotladi (birinchi marta Maklaurin tomonidan tuzilgan) tartibli ikki egri chiziq m. va n dan ko'p bo'lmagan mn nuqtada kesishadi.

Frantsiyada va xorijda 1848 yilgacha uning 1764-69 yillarda yozgan olti jildlik "Matematika kursi" juda mashhur edi.

Bezout noaniq omillar usulini ishlab chiqdi. Elementar algebrada bu usulga asoslangan tenglamalar tizimini yechish usuli uning nomi bilan ataladi.

Bezout ishining bir qismi tashqi ballistikaga bag'ishlangan.

Algebraning asosiy teoremalaridan biri olim nomi bilan atalgan.

Natija

P (x) ko‘phad to‘liq binomga (x - a) bo‘linishi uchun qoldiq qancha bo‘lishi kerak? (0 ga teng).

Bezout teoremasidan shunday natijaga erishamiz: P(x) ko‘phadni binomiga (x - a) to‘liq bo‘linishi uchun P(a) = 0 tengligining bajarilishi zarur va yetarli.

VI. O'rganilganlarni assimilyatsiya qilish

(8-slayd) Tenglamani yeching: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

P (x) \u003d x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 polinomining butun ildizlari bo'sh muddatning bo'luvchilari bo'lishi kerak, shuning uchun ular -1, 1, 3, -3 raqamlari bo'lishi mumkin.

Biz ildizni Horner sxemasiga muvofiq tanlaymiz:

VII. Natija:

Xo'sh, Bezout teoremasi bizga nimani beradi? (9-slayd)

Bezout teoremasi ko'phadning bitta ildizini topib, darajasi 1 ga kam bo'lgan ko'phadning ildizlarini izlashga imkon beradi: agar P(a) = 0 bo'lsa, P(x) = (x - a) )Q(x) va Q (x) = 0 tenglamasini yechish qoladi. Ba'zan bu usul yordamida - darajani pasaytirish deyiladi - ko'phadning barcha ildizlarini topish mumkin.

Ilgari ko'phad tushunchasi monomlarning algebraik yig'indisi sifatida ta'riflangan. Agar ko'phadning barcha o'xshash monomlari berilgan va o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida joylashtirilgan bo'lsa, natijada olingan yozuv deyiladi. kanonik belgi polinom.

Ta'rif. Shaklni ifodalash

Qayerda x ba'zi o'zgaruvchilar, haqiqiy sonlar va , deyiladi darajali polinom n o'zgaruvchidan x . Daraja polinom - bu o'zgaruvchining kanonik yozuvidagi eng katta darajasi. Agar o'zgaruvchi polinom belgisida bo'lmasa, ya'ni. ko'phad doimiyga teng, uning darajasi 0 ga teng deb hisoblanadi. Ko'phadni alohida ko'rib chiqish kerak bo'lgan holat. Bunday holda, uning darajasi aniqlanmagan deb hisoblanadi.

Misollar. ikkinchi darajali polinom,

beshinchi darajali polinom.

Ta'rif. Ikki polinom teng agar ular bir xil kuchga ega bo'lgan kanonik shakllarda bir xil koeffitsientlarga ega bo'lsa.

Ta'rif. Raqam chaqiriladi polinomli ildiz, agar bu raqam o'rniga o'rnatilganda x polinom 0 qiymatini oladi, ya'ni. Boshqacha qilib aytganda, tenglamaning ildizi bo'ladi

Shunday qilib, ko'phadning barcha ildizlarini va ratsional tenglamaning ildizlarini topish vazifasi bitta va bir xil vazifadir.

Birinchi va ikkinchi darajali ratsional tenglamalar ma'lum algoritmlar bilan yechiladi. Uchinchi va toʻrtinchi darajali koʻphadlarning ildizlarini topish formulalari ham mavjud (Kardano va Ferrari formulalari), ammo ogʻirligi tufayli ular elementar matematika kursiga kiritilmagan.

Yuqori darajali polinomlarning ildizlarini topishning umumiy g'oyasi polinomni faktorlarga ajratish va tenglamani pastki darajali tenglamalarning ekvivalent to'plami bilan almashtirishdir.

Oldingi mavzularda ko'phadlarni faktoringlashning asosiy usullari qayd etilgan edi: umumiy ko'rsatkichni chiqarish; guruhlash; qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Biroq, guruhlash usuli tabiatan algoritmik emas, shuning uchun uni katta darajali ko'phadlarga qo'llash qiyin. Keling, yuqori darajali ko'phadlarni faktorlarga ajratish imkonini beradigan ba'zi qo'shimcha teorema va usullarni ko'rib chiqaylik.

Qoldiq bilan bo'lish teoremasi. Polinomlar berilsin va daraja 0 dan farq qiladi va daraja darajadan katta. Keyin tenglik bo'lgan ko'phadlar mavjud

Bundan tashqari, daraja darajadan kichikdir Polinom deyiladi bo'linadigan, polinom ajratuvchi, polinom to'liq bo'lmagan shaxsiy, va polinom qolgan .

Agar bo'linishning qolgan qismi 0 bo'lsa, biz buni aytamiz bo'linadi yoqilgan butunlay, tenglik quyidagi shaklni oladi:

Ko‘phadni ko‘phadga bo‘lish algoritmi sonni songa ustun yoki burchakka bo‘lish algoritmiga o‘xshaydi. Keling, algoritmning bosqichlarini tavsiflaymiz.

Dividendni o'zgaruvchining barcha vakolatlarini o'z ichiga olgan qatorga yozing (etishmayotganlar, 0 koeffitsienti bilan yozing).

O'zgaruvchining barcha vakolatlarini o'z ichiga olgan dividendni "burchakda" yozing.

To'liq bo'lmagan qismdagi birinchi hadni (monomial) topish uchun dividendning etakchi monomialini bo'luvchining etakchi monomialiga bo'lish kerak.

Olingan qismning birinchi hadini butun bo'linuvchiga ko'paytiring va natijani dividend ostida yozing va o'zgaruvchining bir xil darajalarini bir-birining ostiga yozing.

Olingan mahsulotni dividenddan ayiring.

1-banddan boshlab, olingan qoldiqga algoritmni qo'llang).

Olingan farq bo'linuvchining darajasidan kamroq darajaga ega bo'lsa, algoritm tugatiladi. Bu qolgan.

Misol. Ko'phadni ga bo'ling.

Dividend va bo'luvchini yozing

Biz protsedurani takrorlaymiz

Daraja bo'luvchining darajasidan kichikdir. Shunday qilib, bu qolgan. Bo'linish natijasi quyidagicha yoziladi:

Horner sxemasi. Agar bo'linuvchi birinchi darajali ko'phad bo'lsa, bo'linish tartibini soddalashtirish mumkin. Ko'phadni binomga bo'lish algoritmini ko'rib chiqing.

Misol. Ko‘phadni Horner sxemasi bo‘yicha ajrating. Ushbu holatda A=2. Algoritmni bajarish natijalarini bosqichma-bosqich yozamiz.

Birinchi qadam.

ikkinchi qadam

Uchinchi qadam

To'rtinchi qadam

Shunday qilib, bo'linish natijasini quyidagicha yozamiz

Izoh. Agar binomial bilan bo'lish kerak bo'lsa

Keyin u keyin shakliga o'zgartiriladi. Bu shuni ko'rsatadiki, Horner sxemasiga ko'ra bo'lish orqali biz topamiz Keyin topilganni ga bo'lish orqali kerakli qism olinadi. A. Qolganlari bir xil bo'lib qoladi.

Bezout teoremasi. Ko'phadni ga bo'lishning qolgan qismi ko'phadning nuqtadagi qiymatiga teng x = A, ya'ni. . Ko'phad qoldiqsiz bo'linadi, agar va faqat bo'lsa x = A polinomning ildizidir.

Shunday qilib, polinomning bitta ildizi topiladi A , darajasidan bir daraja kamroq bo'lgan omilni tanlab, uni faktorlarga ajratishimiz mumkin. Ushbu multiplikatorni Horner sxemasiga ko'ra yoki "burchak" ga bo'lish orqali topishingiz mumkin.

Ildizni topish masalasi tanlash yo'li bilan yoki ko'phadning ratsional ildizlari haqidagi teoremadan foydalanish orqali hal qilinadi.

Teorema. Polinom bo'lsin butun sonli koeffitsientlarga ega. Agar kamaytirilmaydigan kasr ko'phadning ildizi bo'lsa, u holda uning soni p erkin terminning bo‘luvchisi va maxraji q etakchi koeffitsientning bo'luvchisidir.

Bu teorema asosda yotadi ratsional ildizlarni topish algoritmi polinom (agar mavjud bo'lsa).

Algebraik kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga parchalash

Ta'rif Numeratori va maxraji ko'phaddan iborat bo'lgan kasr deyiladi algebraik kasr .

Bir o'zgaruvchidagi algebraik kasrlarni ko'rib chiqing. Umuman olganda, ular quyidagicha yozilishi mumkin: , bu erda aylanma darajali ko'phaddir n, maxraj darajali ko'phaddir k. Agar bo'lsa, kasr deyiladi to'g'ri .

TO eng oddiy algebraik kasrlar To'g'ri kasrlarning ikki turi mavjud:

Teorema. Har qanday algebraik kasr oddiy algebraik kasrlar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Algebraik kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirish algoritmi.

Maxrajni koeffitsientlarga ajrating.

To'g'ri kasrlar sonini va ularning maxrajlarining turini aniqlang.

Chap tomonida asl kasr, o'ng tomonida noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisi joylashgan tenglamani yozing.

O'ng tomondagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

Kasrlar sonlaridagi ko‘phadlarni tenglashtiring. Ko'phadlar tengligining ta'rifidan foydalanib, chiziqli tenglamalar tizimini tuzing va uni noaniq koeffitsientlarni topib yeching.

Bezout teoremasi, zohiriy soddaligi va ravshanligiga qaramay, polinomlar nazariyasining asosiy teoremalaridan biridir. Bu teoremada ko‘phadlarning algebraik xarakteristikalari (ular ko‘phadlar bilan butun sonlar sifatida ishlash imkonini beradi) ularning funksional xarakteristikalari bilan bog‘lanadi (bu ko‘phadlarni funksiya sifatida ko‘rib chiqish imkonini beradi).

Bezout teoremasi ko'phadni ko'phadga bo'lishning qolgan qismi ekanligini bildiradi.

Ko'phadning koeffitsientlari birlikka ega qandaydir kommutativ halqada yotadi (masalan, haqiqiy yoki kompleks sonlar sohasida).

Bezout teoremasi - isboti.

Ko'phadni qolganga bo'lish P(x) polinomga (x-a):

Bunga asoslanib degR(x)< deg (x-a) = 1 noldan katta bo'lmagan darajali ko'phaddir. Biz almashtiramiz, chunki , biz olamiz .

Lekin eng muhimi teorema emas, balki Bezout teoremasining natijasidir:

1. Son ko‘phadning ildizidir P(x) agar va faqat agar P(x) binomga qoldiqsiz bo‘linadi x-a.

Bunga asoslanib - ko'phadning ildizlari to'plami P(x) mos keladigan tenglamaning ildizlari to'plami bilan bir xil x-a.

2. Ko'phadning erkin hadi ko'phadning butun sonli koeffitsientli istalgan butun ildiziga bo'linadi (etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda, barcha ratsional ildizlar butun son bo'ladi).

3. Aytaylik, bu qisqartirilgan ko‘phadning butun ildizi bo‘lsin P(x) butun son koeffitsientlari bilan. Demak, har qanday butun son uchun son ga bo'linadi.

Bezout teoremasi ko'phadning bitta ildizini topib, darajasi allaqachon 1 ga kam bo'lgan ko'phadning ildizlarini izlashga imkon beradi: agar , u holda bu ko'phad. P(x) quyidagicha ko'rinadi:

Bezout teoremalariga misollar:

Ko‘phadni binomga bo‘lishning qolgan qismini toping.

Bezout teoremasining yechimiga misollar:

Bezout teoremasidan kelib chiqqan holda, kerakli qoldiq nuqtadagi polinomning qiymatiga mos keladi. Keyin topamiz, buning uchun polinom o'rniga ifodadagi qiymatni almashtiramiz. Biz olamiz:

Javob: Qolgan = 5.

Horner sxemasi.

Horner sxemasi- bu ko'phadlarni bo'lish algoritmi (Xorner sxemasi bo'yicha bo'lish), agar ko'rsatkich binomga teng bo'lsa, maxsus holat uchun yozilgan.

Keling, ushbu algoritmni tuzamiz:

Faraz qilaylik - bo'linadigan

quotient (uning darajasi bir kam bo'lishi mumkin), r- qoldiq (chunki bo'linish ko'phad tomonidan amalga oshiriladi 1-chi daraja, keyin qolganning darajasi bir kam bo'ladi, ya'ni. nolga teng, shuning uchun qoldiq doimiydir).

Qoldiq bilan bo'lish ta'rifi bo'yicha P(x) = Q(x) (x-a) + r. Ko'phadli ifodalarni almashtirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Biz qavslarni ochamiz va koeffitsientlarni bir xil darajada tenglashtiramiz, shundan so'ng biz dividend va bo'linuvchi koeffitsientlari orqali bo'linma koeffitsientlarini ifodalaymiz:

Hisob-kitoblarni quyidagi jadvalda umumlashtirish qulay:

U keyingi bosqichda tarkibi hisob-kitoblarga jalb qilingan hujayralarni ta'kidlaydi.

Horner sxemasiga misollar:

Ko'phadni binomga bo'lish zarur bo'lsin x-2.

Ikki qatorli jadval yarating. 1 qatorga polinomimizning koeffitsientlarini yozamiz. Ikkinchi qatorda biz quyidagi sxema bo'yicha to'liq bo'lmagan qismning koeffitsientlarini olamiz: birinchi navbatda, biz ushbu ko'phadning eng yuqori koeffitsientini qayta yozamiz, so'ngra keyingi koeffitsientni olish uchun oxirgi topilganni ko'paytiramiz. a=2 va ko'phadning tegishli koeffitsienti bilan qo'shing F(x). Eng oxirgi koeffitsient qolgan bo'ladi va barcha oldingi koeffitsientlar to'liq bo'lmagan qismning koeffitsientlari bo'ladi.

Son ko‘phadning ildizi bo‘ladi, agar u ga bo‘linadigan bo‘lsa

_ ko'phadning ildizi bo'lsin, ya'ni. ga bo'ling, bu erda daraja darajadan kichik, qaysi teng. Demak, daraja teng, ya'ni. . Ma'nosi, . Chunki, oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, ya'ni. .

Aksincha, bo'linsin, ya'ni. . Keyin.

Natija. Ko'phadni ga bo'lishdan keyin qolgan miqdor teng bo'ladi.

Birinchi darajali ko'phadlar chiziqli ko'phadlar deyiladi. Bezout teoremasi shuni ko‘rsatadiki, ko‘phadning ildizlarini topish uning yetakchi koeffitsienti 1 bo‘lgan chiziqli bo‘luvchilarini topishga teng.

Ko'phadni qoldiq bilan bo'lish algoritmi yordamida chiziqli ko'phadga bo'lish mumkin, ammo Horner sxemasi deb nomlanuvchi qulayroq bo'linish mavjud.

Qaerda bo'lsin va ruxsat bering. Noma'lumning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni oxirgi tenglikning chap va o'ng qismlari bilan taqqoslab, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Agar ko‘phad bo‘linsa, lekin endi bo‘linmasa, son ko‘plik ildizi deyiladi.

Raqam ko'phadning ildizi bo'ladimi va qanday ko'paytma bo'lishiga ishonish uchun siz Horner sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Avval shu vaqtga bo'linadi, agar qolgan nolga teng bo'lsa, hosil bo'lgan qism ga bo'linadi va hokazo. nolga teng bo'lmagan balans olinmaguncha.

Polinomning aniq ildizlari soni uning darajasidan oshmaydi.

Quyidagi asosiy teorema katta ahamiyatga ega.

Asosiy teorema. Raqamli koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan har qanday polinom kamida bitta ildizga ega (balki murakkab).

Natija. Har bir darajali ko'phadning C da (murakkab sonlar to'plami) darajasi qanchalik ko'p ildizga ega bo'lsa, har bir ildiz o'zining ko'pligicha hisoblab chiqadi.

qaerda _ ildizlar, ya'ni. C to'plamida har bir ko'phad chiziqli omillar mahsulotiga parchalanadi. Agar bir xil omillar birlashtirilgan bo'lsa, unda:

Bu erda allaqachon turli xil ildizlar, _ - ildizning ko'pligi.

Haqiqiy koeffitsientli ko'phadning ildizi bo'lsa, son ham ildiz hisoblanadi

Demak, real koeffitsientli ko‘phad juftlashgan murakkab ildizlarga ega.

Natija. Haqiqiy koeffitsientlari toq darajali ko'phad toq sonli haqiqiy ildizlarga ega.

Let va ildizlar Keyin ga bo'linadi va lekin umumiy bo'luvchilari yo'qligi sababli u ko'paytmaga bo'linadi.

Bayonot 2. Haqiqiy daraja koeffitsientlari bo'lgan ko'phad har doim haqiqiy sonlar to'plamida uning haqiqiy ildizlariga mos keladigan chiziqli ko'phadlar ko'paytmasiga va bir juft konjugatli kompleks ildizlarga mos keladigan 2-darajali ko'phadlarga parchalanadi.

Ratsional funktsiyalarning integrallarini hisoblashda bizga ratsional kasrni eng oddiylar yig'indisi sifatida ko'rsatish kerak.

Ratsional kasr - bu kasr, bunda va _ haqiqiy koeffitsientli ko'phad va ko'phaddir. Ratsional kasr to'g'ri deyiladi, agar hisoblagichning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa. Agar ratsional kasr muntazam bo'lmasa, u holda ko'phadlarni bo'lish qoidasiga ko'ra payni maxrajga bo'lish yo'li bilan uni ko'rinishda ifodalash mumkin, bu erda va ba'zi ko'phadlar va to'g'ri ratsional kasrdir.

Lemma 1. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va raqam ko'phadning ko'pligining haqiqiy ildizi bo'lsa, ya'ni. va, u holda haqiqiy son va haqiqiy koeffitsientli ko'phad borki, bu erda ham to'g'ri kasr bo'ladi.

Olingan ifoda haqiqiy koeffitsientli ratsional kasr ekanligini ko'rsatish oson.

Lemma 2. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va raqam (va haqiqiy bo'lsa) ko'phadning ko'pligining ildizi, ya'ni. va, va agar, u holda haqiqiy sonlar va va haqiqiy koeffitsientli ko'phad borki, bu erda ham to'g'ri kasr bo'ladi.

Ko'rinishdagi ratsional kasrlar, _ haqiqiy ildizlarga ega bo'lmagan haqiqiy koeffitsientli trinomiya oddiy (yoki elementar) kasrlar deyiladi.

Har bir to'g'ri ratsional kasr oddiy kasrlar yig'indisi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin.

Bunday kengayishni amaliy olishda noaniq koeffitsientlar deb ataladigan usul qulay bo'lib chiqadi. U quyidagilardan iborat:

Berilgan kasr uchun kengayish yoziladi, unda koeffitsientlar noma'lum deb hisoblanadi;
Shundan so'ng tenglikning ikkala qismi ham umumiy maxrajga keltiriladi va ko'phadda olingan ko'phadlarning koeffitsientlari tenglashtiriladi.

Bundan tashqari, agar ko'phadning darajasi teng bo'lsa, u holda hisoblagichda, umumiy maxrajga qisqartirilgandan so'ng, darajali polinom olinadi, ya'ni. koeffitsientli polinom.

Noma'lumlar soni ham teng: .

Shunday qilib, noma'lumlar bilan tenglamalar tizimi olinadi. Bu sistemaning yechimining mavjudligi yuqoridagi teoremadan kelib chiqadi.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: