Snowflake Koch qurilishi. Koch qor parchasini qanday chizish mumkin, foto diagrammalar, Koch qor parchasi qanday ko'rinishga ega? Ilovalar yaratuvchisida ilova interfeysini belgilash

Mavzu: Fraktallar.

1.Kirish. Fraktallar haqida qisqacha tarixiy ma'lumotlar. 2. Fraktallar tabiatdagi geometriya elementlari.

3. Tabiatda fraktal xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar. 4. “Fraktallar” terminologiyasining ta’rifi.

5. Fraktallar sinflari.

6.Fraktal jarayonlarning tavsifi. 7.Fraktal to'plamlarni olish tartiblari.

8.1 Buzilgan Koxa (olish tartibi).

8.2 Koch qor parchasi (Koch fraktal).

8.3 Menger gubkalari.

9. Fraktallardan foydalanishga misollar.

Kirish. Fraktallar haqida qisqacha tarixiy ma'lumotlar.

Fraktallar diskret matematikaning yosh bo'limidir.

IN 1904 yilda shved Kox hech bir joyda tangensi bo'lmagan uzluksiz egri chiziqni o'ylab topdi - Koch egri chizig'i.

IN 1918 yilda frantsuz Julia fraktallarning butun oilasini tasvirlab berdi.

IN 1938 yilda Per Levi "Teklik va fazoviy egri chiziqlar va butunga o'xshash qismlardan iborat sirtlar" maqolasini nashr etdi.

IN 1982 yil Benoit Mandelbrot "Tabiatning fraktal geometriyasi" kitobini nashr etdi.

BILAN Oddiy konstruktsiyalar va formulalar yordamida tasvirlar olinadi. "Fraktal rasm" paydo bo'ldi.

1993 yildan beri World Scientific "Fraktallar" jurnalini nashr etadi.

Fraktallar tabiatdagi geometriya elementlaridir.

Fraktallar tog' tizmalarining maketlari, qirg'oq chizig'i, ko'plab kapillyarlar va tomirlarning qon aylanish tizimlari, daraxt tojlari, kaskadli sharsharalar, shishadagi sovuq naqshlar kabi ob'ektlarni tasvirlash uchun vositadir.

Yoki bular: fern yaprog'i, bulutlar, dog'lar.

Bunday ob'ektlarning tasvirlarini fraktal grafikalar yordamida tasvirlash mumkin.

Tabiatda fraktal xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar.

MarjonlarDengiz yulduzlari va kirpilarDengiz chig'anoqlari

Gullar va o'simliklar (brokkoli, karam) Mevalar (ananas)

Daraxt tojlari va o'simlik barglari Qon aylanish tizimi va odamlar va hayvonlarning bronxlari Jonsiz tabiatda:

Geografik ob'ektlarning chegaralari (mamlakatlar, viloyatlar, shaharlar) Sohil chiziqlari Tog' tizmalari Qor parchalari Bulutlar Chaqmoq

Shisha ustida hosil bo'lgan naqshlar Kristallar Stalaktitlar, stalagmitlar, heliktitlar.

"Fraktallar" terminologiyasining ta'rifi.

Fraktallar quyidagi xususiyatlardan bir yoki bir nechtasini qondiradigan geometrik shakllardir:

U har qanday kattalashtirishda (barcha miqyosda) murakkab bo'lmagan tuzilishga ega; (taxminan) o'ziga o'xshash.

U kasrli Hausdorff (fraktal) o'lchamiga ega yoki topologik o'lchamdan oshadi; Rekursiv protseduralar bilan tuzilishi mumkin.

Doira, ellips kabi oddiy figuralar uchun, silliq funksiya grafigi juda katta miqyosdagi kichik bo'lak to'g'ri chiziqning bo'lagiga o'xshaydi. Fraktal uchun masshtabni oshirish strukturani soddalashtirishga olib kelmaydi, barcha masshtablar uchun biz bir xil darajada murakkab rasmlarni ko'ramiz.

Fraktal sinflar

Fraktal - bu butunga o'xshash qismlardan (quyi tuzilmalardan) tashkil topgan struktura.

Ba'zi fraktallarni tabiat elementlari sifatida geometrik (konstruktiv) fraktallar deb tasniflash mumkin.

Qolganlarini dinamik fraktallar (algebraik) deb tasniflash mumkin.

Fraktal to'plamlarni olish tartiblari.

Bu fraktal egri chiziqlarni olishning oddiy rekursiv protsedurasi: chegaralangan sonli bog'lanishli ixtiyoriy siniq chiziqni - generatorni belgilang. Keyinchalik, generatorning har bir segmenti unda almashtiriladi. Keyin undagi har bir segment yana generator bilan almashtiriladi va hokazo.

Ko'rsatilgan: birlik segmentini 3 qismga (a), birlik kvadrat maydonni 9 qismga (b), birlik kubni 27 qismga (c) va 64 qismga (d) bo'lish. Qismlar soni n, masshtab koeffitsienti k, fazoning o'lchami d. Bizda quyidagi munosabatlar mavjud: n = kd,

agar n = 3, k = 3 bo'lsa, d = 1; agar n = 9, k = 3, u holda d = 2; agar n = 27, k = 3, u holda d = 3.

agar n = 4, k = 4, u holda d = 1; agar n = 16, k = 4, u holda d = 2; agar n = 64, k = 4, u holda d = 3. Fazoning o'lchami butun sonlarda ifodalanadi: d = 1, 2, 3; n = 64 uchun d ning qiymati

Koch poliliniyasini qurishning besh bosqichi ko'rsatilgan: birlik uzunligi segmenti (a), uch qismga bo'lingan (k = 3), to'rt qismdan (n = 4) - singan chiziq (b); har bir tekis segment uch qismga bo'linadi (k2 = 9) va 16 qismdan (n2 = 16) - singan chiziq (c); protsedura k3 = 27 va n3 = 64 uchun takrorlanadi - singan chiziq (g); k5 = 243 va n5 = 1024 uchun - singan chiziq (d).

Hajmi

Bu fraksiyonel yoki fraktal o'lchovdir.

1904 yilda Helg fon Koch tomonidan taklif qilingan Koch poliliniyasi qirg'oq chizig'ining mustahkamligini modellashtirish uchun mos bo'lgan fraktal rolini o'ynaydi. Mandelbrot qirg'oq chizig'ini qurish algoritmiga tasodifiylik elementini kiritdi, ammo bu qirg'oq chizig'ining uzunligi bo'yicha asosiy xulosaga ta'sir qilmadi. Chunki chegara

Sohilning cheksiz qo'polligi tufayli qirg'oq chizig'ining uzunligi cheksizlikka intiladi.

Batafsilroq miqyosdan kamroq batafsilroqqa o'tishda qirg'oq chizig'ini tekislash tartibi, ya'ni.

Koch qor parchasi (Koch fraktal)

Qurilish uchun asos sifatida siz birlik uzunligi segmentlarini emas, balki teng qirrali uchburchakni olishingiz mumkin, uning har bir tomoniga tartibsizliklarni ko'paytirish tartibini kengaytirishingiz mumkin. Bunday holda, biz Koch qor parchasini olamiz (rasm), va uchta turdagi: yangi tashkil etilgan uchburchaklar faqat oldingi uchburchakdan (a) va (b) tashqariga yo'naltiriladi; faqat ichida (ichida); tasodifiy yoki tashqariga yoki ichkariga (d) va (e). Koch fraktalini qurish tartibini qanday belgilash mumkin.

Guruch. Qor parchasi Koch

Shaklda. ikkita vektor diagrammasi ko'rsatilgan; Oklar ustidagi raqamlar, ehtimol, savol tug'diradi: ular nimani anglatadi? 0 vektor abscissa o'qining musbat yo'nalishiga to'g'ri keladi, chunki l = 0 da uning faza omili exp (i2pl/6) o'z yo'nalishini saqlab qoladi. 1-vektor 0 vektoriga nisbatan 2p/6 burchakka buriladi, bunda l= 1. 5-vektorning faza omili exp (i2p5/6), l = 5. Oxirgi vektor birinchisi bilan bir xil faza omiliga ega ( l = 0). Butun sonlar l birlik vektorining faza faktorining burchagini tavsiflaydi.

Birinchi qadam (rasm) barcha keyingi bosqichlar va, xususan, ikkinchi bosqich uchun rekursiv protsedurani belgilaydi (rasm). ph1 = (0 1 5 0) raqamlar to'plamidan ph2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) ga qanday o'tish mumkin? Javob: to'g'ridan-to'g'ri matritsani ko'paytirish orqali, bitta matritsaning har bir elementi asl matritsaga ko'paytirilganda. Chunki bu holda biz bir o'lchovli massiv bilan ishlaymiz, ya'ni. Matritsalar vektor bo'lganligi sababli, bitta matritsa-vektorning har bir elementi boshqa matritsa-vektorning barcha elementlariga ko'paytiriladi. Bundan tashqari, ph1 matritsa-vektorining elementlari eksponensial funktsiyalardan iborat (i2pl/6), shuning uchun h sonini ko'paytirishda 10 ni ko'paytirish emas, balki mod (6) ga muvofiq qo'shish kerak bo'ladi.

Koch egri chizig'i

Kochning qor parchalari

Koch qor parchasini qurish uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz. Teng tomonli uchburchakni nol iteratsiya sifatida ko'rib chiqing.


Keyin biz bu uchburchakning har bir tomonini uchta teng qismga ajratamiz, o'rta qismini olib tashlaymiz va o'rtada rasmda ko'rsatilgandek teng tomonli uchburchakni to'ldiramiz. Keyingi bosqichda, yangi figuraning har bir tomoni uchta teng qismga bo'linish va teng qirrali uchburchak qurishni yakunlash va hokazolar bilan bir xil protseduradan o'tadi. Natijada simmetrik, qor parchasiga o'xshash, cheksiz singan egri chiziq bo'lib, u Koch qor parchasi deb ataladigan o'ziga o'xshash to'plamdir. U 1904 yilda uni birinchi marta tasvirlab bergan shved matematigi Xelge fon Kox sharafiga nomlangan. Uning o'ziga xos xususiyati shundaki, u yopiq bo'lsa-da, hech qanday joyda kesishmaydi, chunki tugallangan uchburchaklar har safar etarlicha kichik bo'ladi va hech qachon "to'qnashmaydi". bir-biriga, bir-birini, o'zaro.

Keling, uning fraktal o'lchamini hisoblaymiz. Asl uchburchakning tomonlarini uzunligi sifatida oling l= 1 bo'lsa, fragment har bir uzunligi 1/3 va shuning uchun umumiy uzunligi 4/3 bo'lgan to'rtta segmentdan iborat bo'ladi. Keyingi bosqichda biz 16 ta segmentdan iborat bo'lgan va umumiy uzunligi 16/9 yoki va hokazo bo'lgan siniq chiziqni olamiz. Bundan fraktal o'lcham teng ekanligi kelib chiqadi.

Bu qiymat bittadan katta (chiziqning topologik o'lchami), lekin egri chiziq joylashgan tekislikning Evklid o'lchamidan kichik, d = 2. Shuni ta'kidlaymizki, har qanday chekli n uchun n-takrorlanish natijasida olingan egri chiziq prefraktal deyiladi va faqat n cheksizlikka intilganda Koch egri chizig'i fraktalga aylanadi. Shunday qilib, Koch qor parchasi cheksiz uzunlikdagi chegaralangan maydonni chegaralovchi chiziqdir. Fraktal ta'rifidan foydalanib, biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu to'plam fraktaldir.

Bu raqam olimlar tomonidan o'rganilgan birinchi fraktallardan biridir. U uch nusxada keladi Koch egri chizig'i, bu birinchi marta 1904 yilda shved matematigi Xelge fon Koxning maqolasida paydo bo'lgan. Ushbu egri chiziq hech qanday nuqtaga tegib bo'lmaydigan uzluksiz chiziqqa misol sifatida ixtiro qilingan. Bu xususiyatga ega bo'lgan chiziqlar ilgari ma'lum bo'lgan (Karl Weierstrass o'z namunasini 1872 yilda qurgan), ammo Koch egri chizig'i dizaynining soddaligi bilan ajralib turadi. Uning maqolasi “Elementar geometriyadan kelib chiqadigan tangenssiz uzluksiz egri chiziqda” deb nomlanishi bejiz emas.

Chizma va animatsiya Koch egri chizig'i bosqichma-bosqich qanday qurilganligini mukammal ko'rsatadi. Birinchi iteratsiya oddiygina boshlang'ich segmentdir. Keyin u uchta teng qismga bo'linadi, markaziy qismi muntazam uchburchak hosil qilish uchun tugatiladi va keyin tashqariga tashlanadi. Natijada ikkinchi iteratsiya - to'rt segmentdan iborat singan chiziq. Ularning har biriga bir xil operatsiya qo'llaniladi va qurilishning to'rtinchi bosqichi olinadi. Xuddi shu ruhda davom etsangiz, siz tobora ko'proq yangi chiziqlar olishingiz mumkin (ularning barchasi singan chiziqlar bo'ladi). Va chegarada sodir bo'ladigan narsa (bu allaqachon xayoliy ob'ekt bo'ladi) Koch egri chizig'i deb ataladi.

Koch egri chizig'ining asosiy xossalari

1. U uzluksiz, lekin hech bir joyda farqlanmaydi. Taxminan aytganda, u aynan shuning uchun ixtiro qilingan - bu matematik "injiqliklarga" misol sifatida.

2. Cheksiz uzunlikka ega. Asl segmentning uzunligi 1 ga teng bo'lsin. Har bir qurilish bosqichida biz chiziqni tashkil etuvchi segmentlarning har birini 4/3 marta uzunroq bo'lgan singan chiziq bilan almashtiramiz. Bu shuni anglatadiki, butun singan chiziq uzunligi har bir qadamda 4/3 ga ko'paytiriladi: raqam bilan chiziq uzunligi n teng (4/3) n-1 . Shuning uchun chegara chizig'i cheksiz uzun bo'lishdan boshqa tanlovga ega emas.

3. Kochning qor parchasi cheklangan maydonni cheklaydi. Va bu uning perimetri cheksiz bo'lishiga qaramay. Bu xususiyat paradoksal ko'rinishi mumkin, ammo bu aniq - qor parchasi aylanaga to'liq mos keladi, shuning uchun uning maydoni aniq cheklangan. Maydonni hisoblash mumkin va buning uchun sizga maxsus bilim ham kerak emas - maktabda uchburchak maydoni va geometrik progressiya yig'indisi uchun formulalar o'rgatiladi. Qiziq bo'lganlar uchun hisob-kitob quyida nozik nashrda keltirilgan.

Asl muntazam uchburchakning tomoni teng bo'lsin a. Keyin uning maydoni. Avval tomoni 1 va maydoni: . Iteratsiya ortishi bilan nima sodir bo'ladi? Biz kichik teng tomonli uchburchaklar mavjud ko'pburchakga biriktirilgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Birinchi marta ulardan atigi 3 tasi bor, keyingi safar esa avvalgisidan 4 barobar ko'p. Ya'ni, yoqilgan n chi bosqich tugallanadi Tn= 3 4 n- 1 ta uchburchak. Ularning har birining yon tomonining uzunligi oldingi bosqichda tugallangan uchburchak tomonining uchdan bir qismidir. Demak, u (1/3) ga teng n. Maydonlar tomonlarning kvadratlariga proportsionaldir, shuning uchun har bir uchburchakning maydoni . Katta qiymatlar uchun n Aytgancha, bu juda oz. Ushbu uchburchaklarning qor parchasi maydoniga umumiy hissasi Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 . Shuning uchun keyin n-qadam, raqamning maydoni yig'indiga teng bo'ladi S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S n = . Qor parchasi cheksiz ko'p qadamlardan so'ng olinadi, bu mos keladi n→ ∞. Natijada cheksiz yig'indi, lekin bu kamayib borayotgan geometrik progressiyaning yig'indisidir; uning formulasi mavjud: . Qor parchasining maydoni .

4. Fraktal o'lcham ga teng log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . To'g'ri hisoblash katta kuch va batafsil tushuntirishlarni talab qiladi, shuning uchun bu erda fraktal o'lchamning ta'rifi tasvirlangan. Quvvat qonuni formulasidan N(δ ) ~ (1/δ )D, Qayerda N- kesishgan kvadratlar soni, δ - ularning kattaligi va D- o'lcham, biz buni tushunamiz D= jurnal 1/ d N. Bu tenglik doimiy qo'shilmaguncha to'g'ri bo'ladi (hamma uchun bir xil δ ). Rasmlar Koch egri chizig'ini qurishning beshinchi iteratsiyasini ko'rsatadi; u bilan kesishgan to'r kvadratlari yashil rangga bo'yalgan. Asl segmentning uzunligi 1 ga teng, shuning uchun yuqori rasmda kvadratlarning yon uzunligi 1/9 ga teng. 12 kvadrat soyali, log 9 12 ≈ 1,130929... . 1.261859 ga hali unchalik o'xshamaydi... . Keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. O'rtadagi rasmda kvadratchalar yarmi o'lchamda, ularning o'lchami 1/18, soyali 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Allaqachon yaxshiroq. Quyida kvadratchalar hali ham yarmi katta; 72 qism allaqachon bo'yalgan. log 72 30 ≈ 1.193426... . Hatto yaqinroq. Keyin iteratsiya sonini oshirish va bir vaqtning o'zida kvadratlarni kamaytirish kerak, keyin Koch egri o'lchamining "empirik" qiymati doimiy ravishda log 3 4 ga yaqinlashadi va chegarada u butunlay mos keladi.

Kox egri chizig'i 1904 yilda shved matematigi Xelge fon Kox tomonidan tasvirlangan fraktal egri chiziqdir. Teng tomonli uchburchakning yon tomonlarida qurilgan (tashqariga qaragan) Koch egri chizig'ining uchta nusxasi Koch qor parchasi deb ataladigan yopiq egri chiziqni hosil qiladi.

Ba'zida qandaydir so'kinishlarni xohlasam, menda jingalak bor. muammoni dasturlash. Bu safar men fraktallar bilan ishlashga qaror qildim. Ya'ni Koch qor parchasi bilan.

Qor parchasi Koch

Bu fraktal olimlar tomonidan o'rganilgan birinchilardan biridir. U 1904 yilda shved matematigi Xelge fon Koxning qog'ozida birinchi marta paydo bo'lgan Koch egri chizig'ining uchta nusxasidan olingan. Ushbu egri chiziq hech qanday nuqtaga tegib bo'lmaydigan uzluksiz chiziqqa misol sifatida ixtiro qilingan.

Koch egri chizig'ining asosiy xususiyatlari:

  1. U uzluksiz, lekin hech qanday joyda farqlanmaydi.
  2. Cheksiz uzunlikka ega. Asl segmentning uzunligi 1 ga teng bo'lsin. Har bir qurilish bosqichida biz chiziqni tashkil etuvchi segmentlarning har birini 4/3 marta uzunroq bo'lgan singan chiziq bilan almashtiramiz. Bu shuni anglatadiki, butun siniq chiziq uzunligi har bir qadamda 4/3 ga ko'paytiriladi: n raqami bo'lgan chiziq uzunligi (4/3) n-1 ga teng. Shuning uchun chegara chizig'i cheksiz uzun bo'lishdan boshqa tanlovga ega emas.
  3. Koch qor parchasi cheklangan maydonni cheklaydi. Va bu uning perimetri cheksiz bo'lishiga qaramay. Bu xususiyat paradoksal ko'rinishi mumkin, ammo bu aniq - qor parchasi aylanaga to'liq mos keladi, shuning uchun uning maydoni aniq cheklangan.

Bir oz matematika

Ba'zida eng oddiy so'kinish so'zlarini eslab qolish juda qiziq. transformatsiyalar (: Bu holda, vektorlar va tekislikdagi nuqtalarning o'zgarishi haqidagi bilimlarni yangilash kerak edi.

Xususan, nuqtani boshqa nuqtaga nisbatan qanday aylantirish mumkin:

Xo'sh, siz ushbu masofani va nuqtalarning koordinatalarini bilib, nuqtadan bir oz masofada joylashgan segmentda nuqtani qanday topishni bilishingiz kerak. Juda ko'p usullar mavjud. Siz ushbu nuqtalarni o'z ichiga olgan chiziqning koordinatalarini topishingiz va keyin ularni tenglamaga almashtirishingiz mumkin. Vektorlar yordamida koordinatalarni hisoblashingiz mumkin.

Bu shunga o'xshash narsaga o'xshaydi.



 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: