Kichikroq konusning hajmi. Konusning hajmi

Konusning hajmini topish uchun qo'shimcha konstruktsiyalar qilish kerak.

Biz konusga chizilgan muntazam n burchakli piramidani quramiz va bu konus atrofida muntazam n burchakli piramidani tasvirlaymiz.
Yozilgan piramida konusning ichida joylashgan. Bundan kelib chiqadiki, uning hajmi konusning hajmidan katta emas.
Ta'riflangan piramida konusni o'z ichiga oladi, ya'ni uning hajmi konusning hajmidan kam emas.

Chizilgan piramidaning poydevoriga aylana chizamiz.
Agar chizilgan muntazam n-burchakning radiusi R ga teng bo'lsa, unda chizilgan aylananing radiusi quyidagilarga teng bo'ladi:


Yozilgan piramidaning hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

bu erda S - piramidaning asosi.

Yozilgan piramida poydevorining maydoni undagi doiraning maydonidan kam emas
Shuning uchun, konusga yozilgan piramidaning hajmi kamida to'g'ri.
Shuning uchun biz ushbu piramidani o'z ichiga olgan konusning hajmi dan katta yoki teng bo'lishini ta'kidlashimiz mumkin.
V≥

Endi biz konusning atrofida tasvirlangan piramida poydevori atrofidagi doirani tasvirlaymiz.
Ushbu aylananing radiusi quyidagicha bo'ladi:

Ushbu doiraning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Ta'riflangan piramidaning asosi uning atrofida joylashgan doira ichida joylashgan. Shuning uchun piramida poydevorining maydoni dan ortiq emas
Shuning uchun, chegaralangan piramidaning hajmi endi to'g'ri emas.
Shuning uchun biz ushbu piramidani o'z ichiga olgan konusning hajmi dan kichik yoki teng bo'lishini ta'kidlashimiz mumkin

Natijadagi ikkita tengsizlik har qanday n uchun tengdir. Agar unda
Keyin birinchi tengsizlikdan V≥ kelib chiqadi
Ikkinchi tengsizlikdan

Agar to'g'ri burchakli uchburchak uning oyoqlaridan biri atrofida aylantirilsa, u holda inqilob konusi yoki to'g'ri dumaloq konus deb hisoblangan geometrik jism olinadi. Konus taglik va yon sirt bilan chegaralangan. Konusning tagida radiusi ikkinchi oyoqning qiymatiga teng bo'lgan doira mavjud. Konusning yuqori qismidan poydevorga perpendikulyar ravishda chizilgan to'g'ri chiziq uning balandligidir. Konusning hajmi bir nechta formulalar yordamida hisoblanadi. 1-usul, konusning balandligi va poydevorining maydoni ma'lum bo'lganda, formula bo'yicha konusning hajmini aniqlashni o'z ichiga oladi:

asosning maydoni S bilan belgilanadi;
konusning balandligi H orqali.

Konusning hajmi konusning balandligini uning asosining maydonini 3 ga bo'lish ko'paytmasi sifatida hisoblanadi.

Yordamida onlayn kalkulyator konusning hajmini yuqoridagi usullardan biri bilan tez va to'g'ri hisoblashingiz mumkin.

Konusning hajmini poydevor maydoni orqali hisoblash

Ikkinchi usul quyidagi formula bo'yicha konusning hajmini uning radiusi qiymati bo'yicha hisoblashni taklif qiladi:


r - konusning radiusi;
h - balandlik.

Konusning hajmining qiymati 3,1415 ga teng bo'lgan poydevor va balandlik va pi sonining radiusi kvadratining uchdan bir qismi sifatida hisoblanadi ...

Biz konus va silindrlarga etib keldik. E'lon qilinganlarga qo'shimcha ravishda, to'qqizga yaqin maqola bo'ladi, biz barcha turdagi vazifalarni ko'rib chiqamiz. Agar yil davomida ochiq bank yangi vazifalar qo'shiladi, albatta, ular ham blogga joylashtiriladi. Ushbu maqolada hajmni hisoblash bilan bog'liq bir nechta misollar keltirilgan. Konusning hajmining formulasini bilishning o'zi etarli emas, aytmoqchi, bu erda:

Biz yozishimiz mumkin:

Shu kabi jismlarning hajmlari qanday bog'liqligini ham tushunishingiz kerak. Bu faqat formulani o'rganish emas, balki tushunishdir. Mana u:



Ya'ni, agar tananing chiziqli o'lchamlarini k marta oshirsak (kamaytirsak), hosil bo'lgan jism hajmining asl hajmiga nisbati k 3 ga teng bo'ladi.

ESLATMA! Jildlarni qanday belgilashingiz muhim emas:

Gap shundaki, bunday jismlarni ko'rib chiqishda muammolarni hal qilish jarayonida ba'zilar k koeffitsienti bilan adashtirishlari mumkin. Savol tug'ilishi mumkin - bu nimaga teng?

(shartda ko'rsatilgan qiymatga qarab)

Hammasi qaysi tomondan qarashingizga bog'liq. Buni tushunish juda muhim! Misolni ko'rib chiqing - kub berilgan, ikkinchi kubning qirrasi uch baravar katta:

IN bu holat, o'xshashlik koeffitsienti uchga teng (qirrasi uch marta oshiriladi), ya'ni nisbat quyidagicha bo'ladi:

Ya'ni, hosil bo'lgan (kattaroq) kubning hajmi 27 marta katta bo'ladi.

Boshqa tomondan qarashingiz mumkin.

Agar kub berilgan bo'lsa, ikkinchi kubning qirrasi uch baravar kichik:

O'xshashlik koeffitsienti uchdan biriga teng (chetni uch marta qisqartiradi), ya'ni nisbat quyidagicha bo'ladi:

Ya'ni, hosil bo'lgan kubning hajmi 27 marta kichik bo'ladi.

Xulosa! Hajmlarni belgilashda indekslar muhim emas, jismlarning bir-biriga nisbatan qanday hisobga olinishini tushunish muhimdir.

Bu aniq:

- agar asl tanasi oshsa, u holda koeffitsient birdan katta bo'ladi.

- agar asl tanasi pasaysa, u holda koeffitsient birdan kam bo'ladi.

Hajmlarning nisbati haqida quyidagilarni aytishimiz mumkin:

- agar masalada kattaroq jismning hajmini kichikroqqa bo'lsak, o'xshashlik koeffitsientining kubini olamiz va koeffitsientning o'zi bittadan katta bo'ladi.

- agar biz kichikroq jismning hajmini kattaroqqa bo'lsak, o'xshashlik koeffitsientining kubini olamiz va koeffitsientning o'zi bittadan kichik bo'ladi.

Esda tutish kerak bo'lgan eng muhim narsa shundaki, shunga o'xshash jismlarning HACMI haqida gap ketganda, o'xshashlik koeffitsienti maydonlardagi kabi ikkinchi darajaga emas, UCHINCHI darajaga ega.

Yana bir nuqta haqida.

Vaziyat konusning generatrix kabi narsalarni o'z ichiga oladi. Bu konusning yuqori qismini poydevor aylanasi nuqtalari bilan bog'laydigan segment (rasmda L harfi bilan ko'rsatilgan).

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, biz muammolarni faqat to'g'ridan-to'g'ri konus (bundan keyin oddiy konus) bilan tahlil qilamiz. To'g'ri konusning generatorlari teng.

Vazifalarni ko'rib chiqing:

72353. Konusning hajmi 10. Konusning asosiga parallel balandlikning o'rtasidan kesma o'tkaziladi, u bir xil cho'qqiga ega bo'lgan kichikroq konusning asosidir. Kichikroq konusning hajmini toping.

Biz darhol ta'kidlaymizki, asl va kesilgan konuslar o'xshashdir va agar biz kesilgan konusni asl nusxaga nisbatan ko'rib chiqsak, buni aytishimiz mumkin: kichikroq konus bir soniya yoki 0,5 ga teng koeffitsient bilan kattaroq konusga o'xshaydi. Biz yozishimiz mumkin:

Bu shunday yozilishi mumkin edi:

Siz shunday deb o'ylashingiz mumkin!

Kesilgan konusga nisbatan asl konusni ko'rib chiqing. Aytishimiz mumkinki, kattaroq konus ikki faktorli kesilgan konusga o'xshaydi, biz yozamiz:

Endi o'xshashlik xususiyatlaridan foydalanmasdan yechimga qarang.

Konusning hajmi uning asosi maydoni va balandligi mahsulotining uchdan biriga teng:

Belgilangan qismga ega bo'lgan yon proektsiyani (yon ko'rinishi) ko'rib chiqing:

Kattaroq konusning radiusi R bo'lsin, balandligi H. Bo'lim (kichikroq konusning asosi) balandlikning o'rtasidan o'tadi, shuning uchun uning balandligi H / 2 ga teng bo'ladi. Va poydevorning radiusi R / 2, bu uchburchaklarning o'xshashligidan kelib chiqadi.

Keling, asl konusning hajmini yozamiz:

Kesilgan konusning hajmi quyidagilarga teng bo'ladi:

Shunday qilib batafsil yechimlar Qanday qilib fikr yuritishingiz mumkinligini ko'rishingiz uchun taqdim etilgan. Har qanday yo'l bilan harakat qiling - asosiysi, siz qarorning mohiyatini tushunasiz. Siz tanlagan yo'l mantiqiy bo'lmasin, natija muhim (to'g'ri natija).

Javob: 1.25

318145. Konus shaklidagi idishda suyuqlik darajasi yarim balandlikka etadi. Suyuqlik hajmi 70 ml ni tashkil qiladi. Idishni to'liq to'ldirish uchun necha millilitr suyuqlik qo'shilishi kerak?

Bu vazifa avvalgisiga o'xshaydi. Bu erda suyuqlik haqida gapiradigan bo'lsak-da, eritmaning printsipi bir xil.

Bizda ikkita konus bor - bu idishning o'zi va "kichik" konus (suyuqlik bilan to'ldirilgan), ular o'xshash. Ma'lumki, shunga o'xshash jismlarning hajmlari quyidagicha bog'liq:

Asl konus (idish) koeffitsienti 2 ga teng bo'lgan suyuqlik bilan to'ldirilgan konusga o'xshaydi, chunki suyuqlik darajasi yarim balandlikka etadi, deb aytiladi. Siz batafsilroq yozishingiz mumkin:

Biz hisoblaymiz:

Shunday qilib, siz qo'shishingiz kerak:

Javob: 490

Boshqa suyuqlik muammolari.

74257. Generatori 44 bo‘lgan va asos tekisligiga 30 0 burchak ostida qiya bo‘lgan konusning V hajmini toping. Javobingizni V/Pi deb bering.

Konusning hajmi:

Konusning balandligini to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyati bo'yicha topamiz.

30 ° burchakka qarama-qarshi oyoq gipotenuzaning yarmiga teng. Gipotenuza, bu holda, konusning generatrixidir. Shuning uchun konusning balandligi 22 ga teng.

Pifagor teoremasidan foydalanib, poydevor radiusining kvadratini topamiz:

*Bizga radiusning o'zi emas, balki radiusning kvadrati kerak.

Keyin hajm quyidagicha bo'ladi:

Hajmi 8p bo'lgan shar kub ichiga chizilgan. Kubning hajmini toping.

Yechim

a kubning tomoni bo'lsin. U holda kubning hajmi V = a 3 ga teng.

To'p kubga yozilganligi sababli, to'pning radiusi kubning chetining yarmiga teng, ya'ni R = a/2 (rasmga qarang).

To'pning hajmi V w \u003d (4/3)pR 3 va 8p ga teng, shuning uchun

(4/3)pR 3 = 8p,

Va kubning hajmi V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.

B9-topshiriq (2015-yilgi Case Study)

Konusning hajmi 32. Balandlikning o'rtasidan bir xil cho'qqi bilan kichikroq konusning asosi bo'lgan konusning asosiga parallel kesma chiziladi. Kichikroq konusning hajmini toping.

Yechim

Kattaroq konusning hajmi V k1 = (1/3)p(OB) 2 *AO = 32.

Kichikroq konusning hajmi V k2 = (1/3)p(PK) 2 *AP =(1/3)p(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)p (OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Bu kichikroq konusning hajmi 8 marta kichikroq va 4 ga teng degan ma'noni anglatadi.

B9-topshiriq (2015-yilgi Case Study)

Konusning hajmi 40. Balandlikning o'rtasidan bir xil cho'qqi bilan kichikroq konusning asosi bo'lgan konusning asosiga parallel kesma chiziladi. Kichikroq konusning hajmini toping.

Yechim

Kesim konusning balandligi o'rtasidan chizilganligi sababli, u holda AP = 1/2 AO va PK = 1/2 OB bo'ladi. Ya'ni, kichikroq konusning balandligi va radiusi mos ravishda katta konusning balandligi va radiusidan 2 baravar kam.

Kattaroq konusning hajmi V k1 \u003d (1/3) p (OB) 2 * AO \u003d 40 ga teng.

Kichikroq konusning hajmi V k2 = (1/3)p(PK) 2 *AP =(1/3)p(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)p (OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Geometrik jismlarning xilma-xilligi orasida eng qiziqarlilaridan biri konusdir. U to'g'ri burchakli uchburchakni oyoqlaridan biri atrofida aylantirish orqali hosil bo'ladi.

Konusning hajmini qanday topish mumkin - asosiy tushunchalar

Konusning hajmini hisoblashni boshlashdan oldin, siz asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak.

  • Dumaloq konus - bunday konusning asosi aylanadir. Agar asos ellips, parabola yoki giperbola bo'lsa, unda raqamlar elliptik, parabolik yoki giperbolik konuslar deb ataladi. Shuni esda tutish kerakki, oxirgi ikki turdagi konuslar cheksiz hajmga ega.
  • Kesilgan konus - bu asos va bu asosga parallel tekislik o'rtasida joylashgan konusning yuqori va poydevor o'rtasida joylashgan qismi.
  • Balandligi - taglikka perpendikulyar bo'lgan segment, yuqoridan chiqariladi.
  • Konusning generatrix - bu taglikning chegarasini va yuqori qismini bog'laydigan segment.

Konusning hajmi

Konusning hajmini hisoblash uchun V=1/3*S*H formulasidan foydalaniladi, bu erda S - asos maydoni, H - balandlik. Konusning asosi aylana bo'lgani uchun uning maydoni S= nR^2 formula bo'yicha topiladi, bu erda n = 3,14, R - aylananing radiusi.

Ba'zi parametrlar noma'lum bo'lgan vaziyat mavjud: balandlik, radius yoki generatrix. Bunday holda, Pifagor teoremasiga murojaat qilish kerak. Konusning eksenel kesimi ikki tomonli uchburchak bo'lib, ikkitadan iborat to'g'ri uchburchak, bu erda l gipotenuza va H va R - oyoqlar. Keyin l=(H^2+R^2)^1/2.


Kesilgan konusning hajmi

Kesilgan konus - tepasi kesilgan konus.


Bunday konusning hajmini topish uchun sizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


Bu yerda n=3,14, r - kesma aylana radiusi, R - katta asosning radiusi, H - balandligi.

Kesilgan konusning eksenel qismi bo'ladi izoskelli trapesiya. Shuning uchun, agar konusning avlodining uzunligini yoki aylanalardan birining radiusini topish kerak bo'lsa, trapetsiyaning tomonlari va asoslarini topish uchun formulalardan foydalanishga arziydi.

Konusning balandligi 8 sm va asos radiusi 3 sm bo'lsa, uning hajmini toping.

Berilgan: H=8 sm, R=3 sm.

Birinchidan, S = nR ^ 2 formulasini qo'llash orqali bazaning maydonini toping.

S=3,14*3^2=28,26sm^2

Endi V=1/3*S*H formulasidan foydalanib, konusning hajmini topamiz.

V=1/3*28,26*8=75,36sm^3


Konus shaklidagi raqamlar hamma joyda uchraydi: to'xtash konuslari, qurilish minoralari, chiroq soyasi. Shuning uchun, konusning hajmini qanday topishni bilish, ba'zida ham professional, ham kundalik hayotda foydali bo'lishi mumkin.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: