اصل کمترین عمل چگونه شکل گرفت؟ اصل کمترین عمل

وقتی در مدرسه بودم، معلم فیزیک ما، به نام بادر، یک بار بعد از یک درس مرا به خانه‌اش فراخواند و گفت: «انگار از همه چیز به شدت خسته شده‌ای. به چیز جالبی گوش کن." و او چیزی به من گفت که به نظر من واقعاً جذاب بود. الان هم با وجود اینکه زمان زیادی از آن زمان می گذرد، همچنان من را مجذوب خود می کند. و هر بار که یادم می‌آید، به سر کار برمی‌گردم. و این بار، در حالی که برای سخنرانی آماده می‌شدم، دوباره متوجه شدم که همه چیزهای مشابه را تجزیه و تحلیل می‌کنم. و به جای آماده شدن برای سخنرانی، تصمیم گرفتم وظیفه جدید. موضوعی که من در مورد آن صحبت می کنم این است اصل کمترین عمل


- این همان چیزی بود که معلمم بادر آن موقع به من گفت: «مثلاً بگذار ذره ای در میدان گرانشی داشته باشی. این ذره با خروج از جایی آزادانه به جایی به نقطه دیگر حرکت می کند. شما او را، مثلاً، بالا انداختید و او بلند شد و سپس افتاد.

از نقطه شروع تا نقطه پایانی، مدتی طول کشید. اکنون یک حرکت دیگر را امتحان کنید. فرض کنید برای اینکه "از اینجا به اینجا" حرکت کند، نه مثل قبل، بلکه به این صورت حرکت کرد:

اما با این حال من در همان لحظه در زمان قبلی در مکان مناسب قرار گرفتم.

معلم ادامه داد: «و بنابراین، اگر انرژی جنبشی را در هر لحظه از زمان در طول مسیر ذره محاسبه کنید، انرژی پتانسیل را از آن کم کنید و اختلاف را در کل زمان انجام حرکت ادغام کنید، خواهید دید. ببینید که عددی که به دست می آورید خواهد بود بیشتر،نسبت به حرکت واقعی ذره.

به عبارت دیگر، قوانین نیوتن را می توان نه به صورت F = ma، بلکه به صورت زیر فرموله کرد: میانگین انرژی جنبشی منهای میانگین انرژی پتانسیل به خودش می رسد. کوچکترین مقداردر مسیری که یک جسم در واقع از مکانی به مکان دیگر حرکت می کند.

سعی می کنم کمی واضح تر برای شما توضیح دهم.
اگر میدان گرانشی را بگیریم و مسیر حرکت ذره را مشخص کنیم ایکس(تی), جایی که ایکسارتفاع از سطح زمین است (فعلاً با یک اندازه گیری مدیریت می کنیم؛ بگذارید مسیر فقط به سمت بالا و پایین حرکت کند و نه به طرفین)، سپس انرژی جنبشی خواهد بود. y 2 متر(dx/ dt) 2، الفانرژی پتانسیل در یک لحظه دلخواه از زمان برابر خواهد بود mgx.


اکنون، برای لحظه‌ای از حرکت در طول مسیر، تفاوت بین انرژی جنبشی و بالقوه را در نظر می‌گیرم و در تمام زمان‌ها از ابتدا تا انتها ادغام می‌کنم. در زمان اولیه اجازه دهید tx حرکت از یک ارتفاع مشخص شروع شد و در یک لحظه پایان یافت تی 2 در ارتفاع متفاوت

سپس انتگرال ∫ t2 t1 dt است

حرکت واقعی در امتداد یک منحنی انجام می شود (به عنوان تابعی از زمان که یک سهمی است) و به مقدار معینی از انتگرال منجر می شود. ولی تو می توانی قبل ازقرار دادنیک حرکت دیگر: ابتدا یک افزایش شدید و سپس برخی نوسانات عجیب و غریب.

شما می توانید تفاوت بین انرژی پتانسیل و جنبشی را در این مسیر یا هر مسیر دیگری محاسبه کنید. و قابل توجه ترین چیز این است که مسیر واقعی مسیری است که این انتگرال کوچکترین است.
بگذار چک کنیم. برای شروع، ما مورد زیر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: یک ذره آزاد اصلاً انرژی پتانسیل ندارد. سپس این قانون می گوید که هنگام حرکت از یک نقطه به نقطه دیگر در یک زمان معین، انتگرال انرژی جنبشی باید کوچکترین باشد. و این بدان معنی است که ذره باید به طور یکنواخت حرکت کند. (و به درستی، من و شما می دانیم که سرعت در چنین حرکتی ثابت است.) و چرا به طور مساوی؟ بیایید آن را بفهمیم. اگر غیر از این بود، گاهی اوقات سرعت ذره از میانگین بیشتر می‌شد، و گاهی کمتر از آن بود، و سرعت متوسط ​​یکسان بود، زیرا ذره باید «از اینجا به اینجا» در زمان توافق شده به عنوان مثال، اگر باید در مدت زمان معینی با ماشین خود از خانه به مدرسه بروید، می توانید این کار را به روش های مختلف انجام دهید: ابتدا می توانید دیوانه وار رانندگی کنید و در پایان سرعت خود را کم کنید یا با همان سرعت رانندگی کنید. یا حتی می توانید به عقب بروید، و فقط پس از آن به مدرسه بروید، و غیره. در همه موارد، البته، میانگین سرعت باید یکسان باشد - ضریب فاصله از خانه تا مدرسه تقسیم بر زمان. اما حتی با این سرعت متوسط، گاهی خیلی سریع و گاهی خیلی آهسته حرکت می کردید. یک رسانه مربعچیزی که از میانگین منحرف می شود، همیشه بزرگتر از مجذور میانگین است. این بدان معنی است که انتگرال انرژی جنبشی در طول نوسانات در سرعت حرکت همیشه بیشتر از زمانی است که با سرعت ثابت حرکت می کنید. می بینید که وقتی سرعت ثابت باشد (در صورت عدم وجود نیرو) انتگرال به حداقل می رسد. این راه درست است.

جسمی که در میدان گرانش پرتاب می‌شود، ابتدا به سرعت بالا می‌آید و سپس به آرامی بیشتر می‌شود. این اتفاق می افتد زیرا انرژی بالقوه نیز دارد و باید به کوچکترین مقدار برسد یک بارnessبین انرژی های جنبشی و پتانسیل.. از آنجایی که انرژی پتانسیل با افزایش آن افزایش می یابد، پس کوچکتر می شود تفاوتاگر در سریع ترین زمان ممکن به ارتفاعاتی برسید که انرژی پتانسیل بالا باشد، معلوم می شود. سپس با کم کردن این پتانسیل بالا از انرژی جنبشی به کاهش میانگین دست پیدا می کنیم. بنابراین سودآورتر است که به قیمت انرژی پتانسیل بالا بروید و یک قطعه منفی خوب را عرضه کنید.

این تمام چیزی بود که معلمم به من گفت زیرا او معلم بسیار خوبی بود و می دانست چه زمانی باید متوقف شود. متاسفانه من اینطور نیستم. توقف به موقع برایم سخت است. و بنابراین، به جای اینکه به سادگی علاقه شما را با داستانم برانگیزم، می خواهم شما را بترسانم، می خواهم از پیچیدگی زندگی بیمار شوید - سعی خواهم کرد آنچه را که گفتم ثابت کنم. مسئله ریاضی که ما حل خواهیم کرد بسیار دشوار و عجیب است. مقداری ارزش وجود دارد اس, تماس گرفت عمل.برابر است با انرژی جنبشی منهای انرژی پتانسیل یکپارچه شده در طول زمان:

اما، از طرف دیگر، نه می توانید خیلی سریع حرکت کنید و نه خیلی بالا، زیرا به انرژی جنبشی بیش از حد نیاز دارد. شما باید به اندازه کافی سریع حرکت کنید تا در محدوده زمانی که در اختیار دارید بالا و پایین بروید. بنابراین شما نباید سعی کنید خیلی بالا پرواز کنید، بلکه فقط باید به سطح معقولی برسید. در نتیجه، معلوم می شود که راه حل نوعی تعادل بین میل به دریافت هرچه بیشتر انرژی بالقوه و تمایل به کاهش هرچه بیشتر انرژی جنبشی است - این تمایل به دستیابی به حداکثر کاهش است. در تفاوت بین انرژی جنبشی و پتانسیل.

فراموش نکنید که p.e. و c.e هر دو تابع زمان هستند. برای هر مسیر قابل تصور جدیدی، این عمل معنای قطعی خود را می گیرد. مسئله ریاضی این است که تعیین کنیم این عدد برای کدام منحنی کمتر از منحنی های دیگر است.

شما می گویید: «اوه، این فقط یک مثال معمولی بالا و پایین است. ما باید عمل را بشماریم، آن را متمایز کنیم و حداقل را پیدا کنیم.

اما صبر کن معمولاً تابعی از یک متغیر داریم و باید مقدار آن را پیدا کنیم متغیر،که در آن تابع کوچکترین یا بزرگترین می شود. فرض کنید یک میله گرم شده در وسط وجود دارد. گرما در امتداد آن پخش می شود و درجه حرارت در هر نقطه از میله تنظیم می شود. شما باید نقطه ای را که بالاترین نقطه است پیدا کنید. اما ما در مورد چیزی کاملاً متفاوت صحبت می کنیم - هر مسیری در فضابه شماره آن پاسخ می دهد و قرار است آن را پیدا کند مسیر،که این تعداد برای آنها حداقل است. این یک حوزه کاملاً متفاوت از ریاضیات است. این یک حساب معمولی نیست، اما متغیر(این چیزی است که به آن می گویند).

مشکلات زیادی در این زمینه از ریاضیات وجود دارد. به عنوان مثال، دایره معمولاً به عنوان مکان نقاطی تعریف می شود که فاصله آنها از یک نقطه معین یکسان است، اما یک دایره را می توان به روش دیگری تعریف کرد: یکی از منحنی ها است. طول داده شده،که بزرگترین منطقه است. هر منحنی دیگری از همان محیط، ناحیه ای کوچکتر از دایره را در بر می گیرد. بنابراین، اگر این وظیفه را تعیین کنیم: پیدا کردن منحنی از محیط معین که بزرگ‌ترین ناحیه را محدود می‌کند، آن‌گاه وظیفه‌ای از حساب تغییرات خواهیم داشت، نه از حسابی که شما به آن عادت دارید.

بنابراین، می‌خواهیم انتگرال را در مسیری که بدن طی کرده است طی کنیم. بیایید این کار را انجام دهیم. کل موضوع این است که تصور کنیم یک مسیر واقعی وجود دارد و هر منحنی دیگری که ترسیم کنیم، مسیر واقعی نیست، به طوری که اگر عمل را برای آن محاسبه کنیم، عددی بزرگتر از آنچه برای عمل مربوط به مسیر واقعی

بنابراین وظیفه یافتن راه واقعی است. کجا می دود؟ البته یکی از راه‌ها این است که عمل میلیون‌ها و میلیون‌ها مسیر را محاسبه کنید و سپس ببینید کدام مسیر کوچک‌ترین عمل را دارد. این راهی است که در آن کنش حداقل است و واقعی خواهد بود.

این راه کاملا امکان پذیر است. با این حال، می توان آن را آسان تر کرد. اگر کمیتی وجود داشته باشد که دارای حداقل (از توابع معمول، مثلاً دما) باشد، یکی از ویژگی‌های کمینه این است که هنگام دور شدن از آن در فاصله اولینبه ترتیب کوچکی، تابع فقط با مقدار از مقدار حداقل خود منحرف می شود دومینسفارش. و در هر مکان دیگری از منحنی، یک جابجایی با فاصله کوچک، مقدار تابع را نیز با مقدار درجه اول کوچکی تغییر می‌دهد. اما حداقل، انحرافات جزئی به سمت در تقریب اول منجر به تغییر در عملکرد نمی شود.

این خاصیتی است که از آن برای محاسبه مسیر واقعی استفاده می کنیم.

اگر مسیر درست باشد، منحنی کمی متفاوت از آن، به عنوان اولین تقریب، منجر به تغییر در بزرگی عمل نخواهد شد. همه تغییرات، اگر واقعاً حداقل باشد، فقط در تقریب دوم رخ می دهد.

این به راحتی قابل اثبات است. اگر برای مقداری انحراف از منحنی تغییرات در مرتبه اول وجود داشته باشد، این تغییرات در عمل تغییر می کند متناسبانحراف. آنها احتمالاً عمل را افزایش می دهند. در غیر این صورت حداقل نخواهد بود. اما زمان تغییر می کند متناسبانحراف، سپس تغییر علامت انحراف باعث کاهش عمل می شود. معلوم می شود که با انحراف به یک طرف، عمل افزایش می یابد و با انحراف در جهت مخالف، کاهش می یابد. تنها امکانی که این در واقع حداقل باشد این است که به عنوان اولین تقریب، تغییری رخ نمی دهد و تغییر متناسب با مربع انحراف از مسیر واقعی است.

بنابراین، مسیر زیر را طی خواهیم کرد: نشان دادن توسط ایکس(تی) (با یک خط زیر) مسیر واقعی همان مسیری است که ما می خواهیم پیدا کنیم. بیایید آزمایشی انجام دهیم ایکس(تی), با مقدار مورد نظر متفاوت است که ما آن را نشان می دهیم η (تی).

ایده این است که اگر عمل را بشماریم اس در یک راه ایکس(تی), سپس تفاوت بین این اس و عملی که برای مسیر محاسبه کردیم ایکس(تی) (برای سادگی مشخص خواهد شد اس), یا تفاوت بین اس_ و اس, باید در اولین تقریب باشد η صفر آنها ممکن است در مرتبه دوم متفاوت باشند، اما در مرتبه اول تفاوت باید صفر باشد.

و این باید برای هر کدام رعایت شود η . با این حال، کاملا برای همه نیست. این روش مستلزم در نظر گرفتن تنها مسیرهایی است که همه آنها در یک جفت نقطه شروع و پایان می یابند، یعنی هر مسیر باید در یک نقطه خاص در لحظه شروع شود. تی 1 و در یک نقطه خاص دیگر در لحظه به پایان برسد تی 2 . این نقاط و لحظات ثابت هستند. بنابراین تابع d) (انحراف) ما باید در هر دو انتها صفر باشد: η (تی 1 )= 0 و η (t2)=0. در این شرایط، مسئله ریاضی ما کاملاً مشخص می شود.

اگر حساب دیفرانسیل را نمی دانستید، می توانید همین کار را انجام دهید تا حداقل یک تابع معمولی را بیابید. f(ایکس). آیا به این فکر می کنید که اگر بپذیرید چه اتفاقی می افتد؟ f(ایکس) و به ایکسمقدار کمی ساعت, و استدلال می کند که اصلاحیه به f(ایکس) به ترتیب اول توسط ساعت باید حداقل صفر باشد آیا شما قاب می کنید x+ساعت بجای ایکسو j(x+h) را تا توان اول گسترش دهید ساعت. . .، در یک کلام، هر کاری را که قصد انجام آن را داریم تکرار می کنیم η .

اگر اکنون به این موضوع نگاه دقیقی بیندازیم، خواهیم دید که دو عبارت اول که در اینجا نوشته شده با آن عمل مطابقت دارد اس, که من برای مسیر واقعی مورد نظر خواهم نوشت ایکس.من می خواهم توجه شما را روی تغییر متمرکز کنم اس, یعنی در مورد تفاوت بین اس و موضوعات اس_, که برای راه حقیقی به دست می آید. این تفاوت را به عنوان می نویسیم لیسانس و به آن تنوع می گویند اس. با دور انداختن «سفارش‌های دوم و بالاتر»، برای به دست می‌آوریم σS

حالا کار به این شکل است. اینجا یک انتگرال پیش روی من است. من هنوز نمی دانم چگونه است، اما مطمئناً می دانم که چیست، چیست η من آن را نمی پذیرم، این انتگرال باید برابر با صفر باشد. ممکن است فکر کنید "خب" تنها امکانزیرا این به طوری است که ضریب در η برابر با صفر بود. اما در مورد ترم اول، جایی که وجود دارد د η / dt? شما می گویید: «اگر η تبدیل به هیچ می شود، سپس مشتق آن همان هیچ است; بنابراین ضریب dv\/ dt نیز باید صفر باشد. خوب، این کاملاً درست نیست. این کاملا درست نیست زیرا بین انحراف η و مشتق آن ارتباط وجود دارد; آنها کاملا مستقل نیستند زیرا η (تی) باید صفر و t1 و در تی 2 .


در حل تمام مسائل حساب تغییرات، همیشه از یک اصل کلی استفاده می شود. آنچه را که می‌خواهید تغییر دهید کمی تغییر می‌دهید (همانطور که ما با اضافه کردن انجام دادیم η ) نگاهی به شرایط مرتبه اول، سپسهمه چیز را طوری ترتیب دهید که یک انتگرال به این شکل بدست آورید: "Shift (η ), ضرب در آنچه معلوم می شود، «اما هیچ مشتقی از آن ندارد η (خیر د η / dt). کاملاً ضروری است که همه چیز را به گونه ای تغییر دهیم که "چیزی" باقی بماند و ضرب شود η . اکنون خواهید فهمید که چرا این بسیار مهم است. (فرمول هایی وجود دارد که به شما می گوید چگونه در برخی موارد می توانید این کار را بدون هیچ محاسباتی انجام دهید؛ اما آنها آنقدر کلی نیستند که ارزش یادگیری آنها را داشته باشد؛ بهتر است محاسبات را به روشی که ما انجام می دهیم انجام دهیم.)

چگونه می توانم دیک را دوباره بسازم د η / dt, در آن ظاهر شود η ? من می توانم با ادغام قطعات به این هدف برسم. به نظر می رسد که در محاسبه تغییرات، کل ترفند نوشتن تغییرات است اس و سپس توسط قطعات ادغام می شود تا مشتقات از η ناپدید شد. در تمام مسائلی که مشتقات ظاهر می شوند، همین ترفند انجام می شود.

به خاطر آوردن اصل کلییکپارچه سازی توسط قطعات اگر تابع دلخواه f ضرب در د η / dt و ادغام شده است تی, سپس مشتق از را می نویسید η /t

حدود ادغام باید در اولین ترم جایگزین شود t1 و تی 2 . سپس من در زیر انتگرال عبارتی از ادغام توسط قطعات و آخرین عبارتی که در طول تبدیل بدون تغییر باقی مانده است، دریافت خواهم کرد.
و اکنون آنچه اتفاق می افتد همان چیزی است که همیشه اتفاق می افتد - بخش یکپارچه ناپدید می شود. (و اگر ناپدید نشد، باید اصل را مجدداً فرموله کرد و شرایطی را اضافه کرد که چنین ناپدید شدنی را تضمین می کند!) قبلاً گفتیم که η در انتهای مسیر باید برابر با صفر باشد. بالاخره اصل ما چیست؟ در آن عمل حداقل است، مشروط بر اینکه منحنی متغیر در نقاط انتخاب شده شروع و پایان یابد. این به آن معنا است η (t 1)=0 و η (t2)=0. بنابراین، عبارت یکپارچه برابر با صفر است. بقیه اعضا را دور هم جمع می کنیم و می نویسیم

تغییر اس اکنون شکلی را که می‌خواستیم به آن بدهیم به دست آورده است: چیزی در پرانتز است (بیایید آن را نشان دهیم اف), و همه اینها ضرب می شود η (تی) و ادغام شده از تی تی قبل از تی 2 .
معلوم شد که انتگرال برخی عبارت در η ضرب می شود (تی), همیشه صفر است:

برخی از عملکرد ارزش دارد تی; آن را ضرب کن η (تی) و آن را از ابتدا تا انتها ادغام کنید. و هر چه هست η, من پوچ می شوم این بدان معنی است که تابع اف(تی) برابر با صفر است. به طور کلی، این امر بدیهی است، اما در هر صورت، یکی از راه های اثبات آن را به شما نشان خواهم داد.

به عنوان η (تی) من چیزی را انتخاب خواهم کرد که همه جا صفر باشد، برای همه تی, به جز یک مقدار از پیش انتخاب شده تی. صفر می ماند تا به آنجا برسم. تی، hسپس یک لحظه می پرد و بلافاصله عقب می کشد. اگر انتگرال این m) را در یک تابع ضرب کنید اف, تنها جایی که چیزی غیر صفر به دست می آورید همان جایی است η (تی) پرید؛ و شما ارزش را دریافت خواهید کرد اف در این نقطه در انتگرال بیش از پرش. به خودی خود، انتگرال پرش برابر با صفر نیست، بلکه پس از ضرب در است اف باید صفر بدهد این بدان معنی است که تابع در جایی که پرش وجود دارد باید صفر باشد. اما پرش می توانست در هر جایی انجام شود. به معنای، اف باید همه جا صفر باشد

می بینیم که اگر انتگرال ما برای هر کدام برابر با صفر باشد η ، سپس ضریب در η باید به صفر برود انتگرال عمل در مسیری که چنین معادله دیفرانسیل پیچیده ای را برآورده می کند به حداقل می رسد:

در واقع آنقدرها هم سخت نیست. شما قبلا با او ملاقات کرده اید این فقط F=ma است. اولین عبارت شتاب ضربات جرمی است. دوم مشتق انرژی پتانسیل است، یعنی نیرو.

بنابراین، ما (حداقل برای یک نظام محافظه کار) نشان دادیم که اصل کمترین عمل منجر به پاسخ صحیح می شود. او ادعا می کند که مسیری که حداقل عمل دارد، مسیری است که قانون نیوتن را برآورده می کند.

یک تذکر دیگر لازم است. من این را ثابت نکرده ام کمترین.شاید این حداکثر باشد. در واقع، این نباید حداقل باشد. در اینجا همه چیز مانند "اصل کوتاه ترین زمان" است که در حین مطالعه اپتیک در مورد آن صحبت کردیم. در آنجا هم ابتدا درباره «کوتاه ترین» زمان صحبت کردیم. با این حال، مشخص شد که موقعیت هایی وجود دارد که در آن این زمان لزوما "کوتاه ترین" نیست. اصل اساسی این است که برای هر انحرافات مرتبه اولاز مسیر نوری تغییر می کنددر زمان برابر با صفر خواهد بود. همین داستان اینجا منظور ما از "حداقل" این است که در مرتبه اول کوچکی تغییر در کمیت است اسبرای انحراف از مسیر باید برابر با صفر باشد. و لازم نیست "حداقل" باشد.

اکنون می خواهم به برخی از کلیات بپردازم. اول از همه، کل این داستان را می‌توان به صورت سه بعدی انجام داد. به جای ساده ایکسمن پس از آن خواهم داشت x، yو zبه عنوان یک تابع تی،و عمل پیچیده تر به نظر می رسد. در حرکت سه بعدی باید از کل انرژی جنبشی استفاده کنید: (t/2)،ضرب در مجذور کل سرعت. به عبارت دیگر

همچنین، انرژی پتانسیل اکنون یک تابع است x، yو z.در مورد مسیر چه می توان گفت؟ مسیر یک منحنی کلی معین در فضا است. ترسیم آن چندان آسان نیست، اما ایده همان است. و در مورد η؟ خب، η نیز سه جزء دارد. مسیر را می توان هم در x و هم در داخل تغییر داد y،و توسط z،یا در هر سه جهت به طور همزمان. بنابراین η اکنون یک بردار از این عوارض قوی حاصل نمی شود. از آنجایی که فقط تغییرات باید برابر با صفر باشد سفارش اول،سپس می توان محاسبه را به صورت متوالی با سه شیفت انجام داد. ابتدا می توانید حرکت کنید جفقط در جهت ایکسو بگویید ضریب باید صفر شود. شما یک معادله بدست می آورید. سپس حرکت خواهیم کرد جدر جهت درو دومی را دریافت کنید سپس در جهت حرکت می کنیم zو سومی را دریافت کنید. شما می توانید همه چیز را، اگر دوست دارید، به ترتیب دیگری انجام دهید. به هر حال، یک سه معادله ظاهر می شود. اما قانون نیوتن نیز سه معادله در سه بعد است که برای هر جزء یکی است. شما باقی مانده اید که خودتان ببینید که این همه در سه بعدی کار می کند (اینجا کار زیادی وجود ندارد). به هر حال، شما می توانید هر سیستم مختصاتی را که می خواهید، قطبی، هر کدام را بگیرید و بلافاصله قوانین نیوتن را در رابطه با این سیستم دریافت کنید، با توجه به اینکه چه اتفاقی می افتد وقتی یک جابجایی رخ می دهد. η در امتداد یک شعاع یا در امتداد یک زاویه و غیره

این روش همچنین می تواند به تعداد دلخواه ذرات تعمیم یابد. مثلاً اگر دو ذره دارید و نیروها بین آنها عمل می کنند و انرژی پتانسیل متقابلی وجود دارد، به سادگی انرژی جنبشی آنها را اضافه کرده و انرژی پتانسیل برهمکنش را از مجموع کم می کنید. چه چیزی را تغییر می دهید؟ راه ها هر دوذرات. سپس برای دو ذره که در سه بعدی حرکت می کنند، شش معادله به وجود می آید. می توانید موقعیت ذره 1 را در جهت تغییر دهید ایکس،در جهت درو در جهت z،و همین کار را با ذره 2 انجام دهید، بنابراین شش معادله وجود دارد. و همینطور باید باشد. سه معادله شتاب ذره 1 را بر حسب نیروی وارده بر آن تعیین می کند و سه معادله دیگر شتاب ذره 2 را در اثر نیروی وارد بر آن تعیین می کند. همیشه از قوانین بازی پیروی کنید و قانون نیوتن را برای تعداد دلخواه ذرات دریافت خواهید کرد.

گفتم قانون نیوتن را می گیریم. این کاملاً درست نیست، زیرا قانون نیوتن شامل نیروهای غیر محافظه کار مانند اصطکاک نیز می شود. نیوتن ادعا کرد کهبرابر هر F است. اصل کمترین عمل فقط برای محافظه کارسیستم ها، به طوری که تمام نیروها را می توان از یک تابع بالقوه مشتق کرد. اما می دانید که در سطح میکروسکوپی، یعنی در عمیق ترین سطح فیزیکی، هیچ نیروی غیر محافظه کار وجود ندارد. نیروهای غیر محافظه کار (مانند اصطکاک) تنها از این واقعیت ناشی می شوند که ما از اثرات پیچیده میکروسکوپی غفلت می کنیم: صرفاً ذرات زیادی برای تجزیه و تحلیل وجود دارد. اساسیهمان قوانین ممکن استبه عنوان اصل حداقل عمل بیان شود.

اجازه دهید به تعمیم های بیشتر بروم. فرض کنید ما علاقه مندیم وقتی ذره به صورت نسبیتی حرکت کند چه اتفاقی می افتد. تا زمانی که معادله نسبیتی صحیح حرکت را بدست آوریم. F=ma فقط در حرکات غیر نسبیتی صادق است. این سؤال مطرح می‌شود: آیا در مورد نسبی‌گرایانه اصل کمترین کنش وجود دارد؟ بله وجود دارد. فرمول در حالت نسبیتی این است:

قسمت اول انتگرال عملی حاصلضرب جرم سکون است t 0بر از 2و روی انتگرال تابع سرعت √ (1-v2/c 2 ). سپس به جای تفریق انرژی پتانسیل، انتگرال های پتانسیل اسکالر φ و پتانسیل برداری A را در v ضرب می کنیم. البته در اینجا فقط نیروهای الکترومغناطیسی در نظر گرفته می شود. همه میدان های الکتریکی و مغناطیسی بر حسب φ و A بیان می شوند. چنین تابع عملی تئوری کاملی از حرکت نسبیتی یک ذره منفرد در یک میدان الکترومغناطیسی به دست می دهد.

البته باید متوجه بشید که هر جایی که v نوشتم قبل از انجام محاسبات باید جایگزین کنید dx/ dt بجای v x و غیره علاوه بر آن جایی که ساده نوشتم x، y، z،شما باید نقاط را در لحظه تصور کنید تی: ایکس(تی), y(تی), z(تی). در واقع، تنها پس از چنین جایگزینی و جایگزینی v، فرمولی برای عمل یک ذره نسبیتی دریافت خواهید کرد. بگذارید ماهرترین شما تلاش کند ثابت کند که این فرمول عمل واقعاً معادلات حرکت صحیح را برای نسبیت ارائه می دهد. فقط به شما توصیه می کنم ابتدا A را کنار بگذارید، یعنی فعلاً بدون میدان مغناطیسی انجام دهید. سپس شما باید اجزای معادله حرکت را بدست آورید dp/dt=-qVφ،جایی که احتمالاً به خاطر دارید، p=mv√(1-v 2 /c 2).

در نظر گرفتن پتانسیل بردار A بسیار دشوارتر است. سپس تغییرات به طور غیرقابل مقایسه پیچیده تر می شوند. اما در نهایت نیرو برابر با چیزی است که در ادامه آمده است: g(E+v × B). اما خودتان با آن لذت ببرید.

من می خواهم تأکید کنم که در حالت کلی (مثلاً در فرمول نسبیتی) تفاوت بین انرژی جنبشی و بالقوه دیگر تحت انتگرال در عمل نیست. این فقط در تقریب غیرنسبیتی معتبر بود. مثلا یک عضو m o c 2√(1-v2/c2)چیزی نیست که انرژی جنبشی نامیده می شود. این سؤال که اقدام برای یک مورد خاص خودسرانه چگونه باید باشد، پس از آزمون و خطا قابل تصمیم گیری است. این مشکل از همان نوع تعیین معادلات حرکت است. شما فقط باید با معادلاتی که می دانید بازی کنید و ببینید که آیا می توان آنها را به عنوان اصل حداقل عمل نوشت.

یک نکته دیگر در مورد اصطلاحات. تابعی که در طول زمان برای دریافت عمل یکپارچه شده است اس،تماس گرفت لاگرانژیΛ. این تابعی است که فقط به سرعت و موقعیت ذرات بستگی دارد. پس اصل کمترین عمل را نیز می توان به صورت نوشتاری نوشت

کجا زیر ایکس منو v i تمام مولفه های مختصات و سرعت ها دلالت دارند. اگر تا به حال شنیدید که کسی در مورد "لاگرانژی" صحبت می کند، بدانید که او در مورد تابعی صحبت می کند که برای دریافت استفاده می شود اس. برای حرکت نسبیتی در یک میدان الکترومغناطیسی

علاوه بر این، باید توجه داشته باشم که دقیق ترین و متین ترین افراد نام نمی برند اسعمل. از آن به عنوان "اولین عملکرد اصلی همیلتون" یاد شده است. اما سخنرانی در مورد "اصول کارکرد اصلی همیلتون" فراتر از توان من بود. اسمش را گذاشتم «عمل». و علاوه بر این، بیشتر و بیشتر مردم بیشتریآن را "عمل" نامید. ببینید، از نظر تاریخی، عمل را چیز دیگری می نامیدند، نه چندان مفید برای علم، اما به نظر من تغییر تعریف منطقی تر است. اکنون شما شروع به فراخوانی تابع جدید یک عمل خواهید کرد و به زودی همه شروع به فراخوانی آن با این نام ساده خواهند کرد.

اکنون می‌خواهم در مورد موضوع خود چیزی شبیه به استدلالی که من در مورد اصل کوتاه‌ترین زمان ارائه کردم به شما بگویم. در اصل قانون تفاوت وجود دارد که می گوید مقداری انتگرال گرفته شده از یک نقطه به نقطه دیگر دارای حداقل است - قانونی که به ما یکباره چیزی را در مورد کل مسیر می گوید و قانونی که می گوید وقتی حرکت می کنید، پس ، این بدان معنی است که نیرویی وجود دارد که منجر به شتاب می شود. رویکرد دوم به شما در مورد هر قدم شما می گوید، مسیر شما را اینچ به اینچ ترسیم می کند، و روش اول بلافاصله نوعی بیانیه کلی در مورد کل مسیر طی شده ارائه می دهد. در مورد نور، در مورد ارتباط بین این دو رویکرد صحبت کردیم. اکنون می خواهم برای شما توضیح دهم که چرا باید قوانین متفاوتی وجود داشته باشد، اگر چنین اصلی وجود دارد - اصل کمترین عمل. دلیلش این است: مسیری را که واقعاً در فضا و زمان طی شده در نظر بگیرید. مانند قبل با یک بعد مدیریت خواهیم کرد تا بتوان نمودار وابستگی را ترسیم کرد ایکساز جانب تی. در طول مسیر واقعی اس به حداقل می رسد. فرض کنید این مسیر را داریم و از نقطه ای می گذرد آفضا و زمان و از طریق یک نقطه همسایه دیگر ب

حال، اگر کل انتگرال از t1 قبل از تی 2 به حداقل می رسد، لازم است که انتگرال در امتداد یک منطقه کوچک از a به ب نیز حداقل بود. نمی تواند بخشی از آقبل از بحداقل کمی بالاتر از حداقل در غیر این صورت می توانید منحنی را در این قسمت به جلو و عقب ببرید و مقدار کل انتگرال را کمی کاهش دهید.

این بدان معنی است که هر بخشی از مسیر باید حداقل را نیز ارائه دهد. و این برای هر بخش کوچکی از مسیر صادق است. بنابراین، این اصل که کل مسیر باید حداقلی داشته باشد را می توان با گفتن اینکه یک بخش بی نهایت کوچک از مسیر نیز چنین منحنی است که در آن عمل حداقل است، فرموله شود. و اگر بخش کوتاهی از مسیر را انتخاب کنیم - بین نقاط بسیار نزدیک به یکدیگر آو ب- مهم نیست که چگونه پتانسیل از نقطه ای به نقطه دیگر از این مکان تغییر می کند، زیرا با عبور از کل بخش کوتاه خود، تقریباً هرگز نقطه را ترک نمی کنید. تنها چیزی که باید در نظر بگیرید تغییر درجه اول کوچکی در پتانسیل است. پاسخ ممکن است فقط به مشتق پتانسیل بستگی داشته باشد و نه به پتانسیل در جای دیگر. بنابراین، یک عبارت در مورد ویژگی کل مسیر به بیانیه ای در مورد آنچه در یک بخش کوتاه از مسیر رخ می دهد، یعنی یک عبارت تفاضلی تبدیل می شود. و این فرمول دیفرانسیل مشتقات پتانسیل، یعنی نیرو در یک نقطه معین را شامل می شود. این یک توضیح کیفی از ارتباط بین قانون به طور کلی و قانون تفاضلی است.

وقتی در مورد نور صحبت می‌کردیم، این سؤال را نیز مطرح می‌کردیم: بالاخره چگونه یک ذره مسیر درست را پیدا می‌کند؟ از نقطه نظر تفاضلی، درک این موضوع آسان است. در هر لحظه، ذره شتاب را تجربه می کند و فقط می داند که در آن لحظه قرار است چه کاری انجام دهد. اما تمام غرایز شما برای علت و معلول وقتی می شنوید که یک ذره در حال «تصمیم گیری» است که کدام مسیر را طی کند و به حداقل عمل گرایش دارد، شروع می شود. آیا در حال حاضر مسیرهای همسایه را "بو می کشد" و متعجب است که آنها به کجا منتهی می شوند - به اقدامات کم و بیش؟ وقتی صفحه‌ای را در مسیر نور قرار دادیم تا فوتون‌ها نتوانند همه مسیرها را امتحان کنند، متوجه شدیم که آنها نمی‌توانند تصمیم بگیرند که کدام مسیر را طی کنند و به پدیده پراش رسیدیم.

اما آیا این در مورد مکانیک نیز صادق است؟ آیا این درست است که ذره فقط "راه درست را نمی رود"، بلکه تمام مسیرهای قابل تصور دیگر را مورد بازنگری قرار می دهد؟ و اگر با قرار دادن موانع در مسیرش، اجازه ندهیم که به جلو نگاه کند، آنگاه به نوعی شبیه به پدیده پراش خواهیم رسید؟ چیز شگفت انگیز در مورد همه اینها این است که واقعاً همینطور است. این چیزی است که قوانین مکانیک کوانتومی می گوید. بنابراین اصل کمترین عمل ما به طور کامل تدوین نشده است. این شامل این واقعیت نیست که ذره مسیر کمترین عمل را انتخاب می کند، بلکه این است که تمام مسیرهای همسایه را "بو" می کند و مسیری را انتخاب می کند که در آن عمل حداقل است، و روش این انتخاب مشابه است. که توسط آن نور کوتاه ترین زمان را انتخاب می کند. شما به یاد دارید که روشی که در آن نور کمترین زمان را می گیرد این است: اگر نور در مسیری حرکت کند که به زمان دیگری نیاز دارد، آنگاه با فاز متفاوتی می آید. و دامنه کل در یک نقطه، مجموع سهم دامنه ها برای همه مسیرهایی است که نور می تواند برای رسیدن به آن طی کند. تمام مسیرهایی که در آنها فازها به شدت متفاوت است، پس از اضافه کردن چیزی به دست نمی‌دهند. اما اگر بتوانید کل دنباله مسیرها را پیدا کنید، مراحل آن تقریباً یکسان است، مشارکت های کوچک جمع می شوند و در نقطه رسیدن دامنه کامل مقدار قابل توجهی دریافت می کند. مهمترین مسیر مسیری می شود که در نزدیکی آن مسیرهای نزدیک زیادی وجود دارد که فاز یکسانی دارند.

دقیقاً همین اتفاق در مکانیک کوانتومی می افتد. مکانیک کوانتومی کامل (غیر نسبیتی و نادیده گرفتن اسپین الکترون) به این صورت عمل می کند: احتمال خروج یک ذره از یک نقطه 1 در حال حاضر t1, به نقطه می رسد 2 در حال حاضر تی 2 , برابر مجذور دامنه احتمال است. دامنه کل را می توان به عنوان مجموع دامنه ها برای همه نوشت راه های ممکن- برای هر راه رسیدن. برای هرکس ایکس(تی), که می تواند برای هر مسیر خیالی قابل تصوری رخ دهد، باید دامنه را محاسبه کرد. سپس همه آنها باید تا شوند. دامنه احتمال یک مسیر معین را چه چیزی در نظر بگیریم؟ انتگرال عمل ما به ما می گوید که دامنه یک مسیر فردی باید چقدر باشد. دامنه متناسب با e tS/h, جایی که اس - اقدام در طول مسیر به این معنی که اگر فاز دامنه را به صورت یک عدد مختلط نشان دهیم، زاویه فاز برابر خواهد بود اس/ ساعت. عمل اس دارای بعد انرژی در طول زمان است و ثابت پلانک نیز همین بعد را دارد. این یک ثابت است که تعیین می کند چه زمانی مکانیک کوانتومی مورد نیاز است.

و در اینجا نحوه کار همه چیز است. اجازه دهید برای همه مسیرها عمل اس در مقایسه با تعداد بسیار بزرگ خواهد بود ساعت. بگذارید مسیری به مقداری از دامنه منتهی شود. فاز مسیر گذاشته شده بعدی کاملاً متفاوت خواهد بود، زیرا با یک بزرگ اس حتی تغییرات جزئی اس تغییر فاز ناگهانی ساعتبسیار کم). این بدان معنی است که مسیرهای مجاور معمولاً هنگام اضافه شدن، سهم خود را خاموش می کنند. و فقط در یک منطقه اینطور نیست - در منطقه ای که هم مسیر و هم همسایه آن - هر دو، در تقریب اول، فاز یکسانی دارند (یا به طور دقیق تر، تقریباً یک عمل، تغییر در درون. h).فقط چنین مسیرهایی در نظر گرفته می شود. و در حالت محدود، زمانی که ثابت پلانک ساعتبه سمت صفر گرایش دارد، قوانین صحیح مکانیک کوانتومی را می‌توان با گفتن این جمله خلاصه کرد: «تمام آن دامنه‌های احتمال را فراموش کنید. ذره واقعاً در امتداد یک مسیر خاص حرکت می کند - دقیقاً در امتداد مسیری که در امتداد آن است اس در تقریب اول تغییر نمی کند. این ارتباط بین اصل کمترین عمل و مکانیک کوانتومی است. این واقعیت که مکانیک کوانتومی را می توان به این شکل فرمول بندی کرد در سال 1942 توسط شاگرد همان استاد، آقای بادر، که من در مورد آن به شما گفته ام، کشف شد. [مکانیک کوانتومی در ابتدا با استفاده از یک معادله دیفرانسیل برای دامنه (شرودینگر) و همچنین با استفاده از برخی ریاضیات ماتریسی (هایزنبرگ) فرموله شد.]

حالا می خواهم در مورد دیگر اصول حداقل ها در فیزیک صحبت کنم. بسیاری از اصول جالب از این نوع وجود دارد. من همه آنها را فهرست نمی کنم، اما فقط یکی دیگر را نام می برم. بعداً که به یکی می رسیم پدیده فیزیکی، که یک اصل حداقل عالی برای آن وجود دارد، در مورد آن به شما خواهم گفت. و اکنون می خواهم نشان دهم که لازم نیست الکترواستاتیک را با استفاده از یک معادله دیفرانسیل برای میدان توصیف کنیم. درعوض می‌توان اقتضا کرد که برخی انتگرال‌ها دارای حداکثر یا حداقل باشند. برای شروع، اجازه دهید زمانی را در نظر بگیریم که چگالی بار در همه جا مشخص است، اما باید پتانسیل φ را در هر نقطه از فضا پیدا کنیم. شما قبلاً می دانید که پاسخ باید این باشد:

راه دیگر برای گفتن همین مطلب به شرح زیر است: باید انتگرال را محاسبه کرد U*

انتگرال حجمی است. در تمام فضا گرفته می شود. با توزیع صحیح پتانسیل φ (ایکس، y ،z) این عبارت به حداقل می رسد.

ما می توانیم نشان دهیم که هر دوی این اظهارات در مورد الکترواستاتیک معادل هستند. فرض کنید یک تابع دلخواه φ را انتخاب کرده ایم. ما می خواهیم نشان دهیم که وقتی برای φ می گیریم مقدار صحیحپتانسیل _φ به اضافه یک انحراف کوچک f، سپس در مرتبه اول کوچکی تغییر در U* صفر خواهد بود. پس می نویسیم

در اینجا φ چیزی است که ما به دنبال آن هستیم. اما ما φ را تغییر می‌دهیم تا ببینیم برای تغییر چه چیزی باید باشد U* معلوم شد که از درجه اول کوچکی است. در اولین عضو U* باید بنویسیم

این باید یکپارچه شود x، yو توسط z. و در اینجا همان ترفند خود را نشان می دهد: خلاص شدن از شر df/ dx, ما ادغام خواهیم شد ایکسدر قطعات این منجر به تمایز اضافی φ با توجه به ایکس.این همان ایده اصلی است که با توجه به آن از مشتقات خلاص شدیم تی. ما از برابری استفاده می کنیم

جمله ادغام شده صفر است زیرا f را در بی نهایت صفر در نظر می گیریم. (این مربوط به ناپدید شدن η وقتی است تی 1 و تی 2 . بنابراین اصل ما به طور دقیق تر به صورت زیر بیان می شود: U* برای حق φ کمتر از بقیه φ(x, y,z), داشتن مقادیر یکسان در بی نهایت.) سپس همین کار را با درو با z. انتگرال ΔU* ما می شود

برای اینکه این تغییر برای هر f دلخواه صفر باشد، ضریب f باید صفر باشد. به معنای،

ما به معادله قبلی خود برگشتیم. بنابراین گزاره «حداقل» ما صحیح است. با کمی تغییر محاسبات می توان آن را تعمیم داد. بیایید به عقب برگردیم و بدون اینکه همه چیز را جزء به جزء توصیف کنیم، ادغام کنیم. بیایید با نوشتن معادله زیر شروع کنیم:

با تفکیک سمت چپ می توانم نشان دهم که دقیقا برابر با سمت راست است. این معادله برای ادغام توسط قطعات مناسب است. در انتگرال ما ΔU* جایگزین می کنیم Vφ*Vf nو fV 2 φ+V*(fVφ) و سپس این را روی حجم ادغام کنید. عبارت واگرایی پس از ادغام حجمی با انتگرال سطحی جایگزین می شود:

و از آنجایی که ما در حال ادغام در کل فضا هستیم، سطح در این انتگرال در بی نهایت قرار دارد. بنابراین، f=0، و نتیجه قبلی را می گیریم.

تنها اکنون ما شروع به درک چگونگی حل مشکلاتی می کنیم که در آنها وجود دارد ما نمی دانیمجایی که تمام هزینه ها در آن قرار دارد. فرض کنید هادی هایی داریم که شارژها به نحوی بر روی آنها توزیع می شود. اگر پتانسیل روی همه هادی ها ثابت باشد، آنگاه اصل حداقل ما همچنان مجاز است اعمال شود. ادغام در U* ما فقط روی ناحیه ای که خارج از همه هادی ها قرار دارد ترسیم می کنیم. اما از آنجایی که نمی‌توانیم (φ) را روی هادی‌ها تغییر دهیم، پس f = 0 در سطح آنها و سطح انتگرال است

باید فقط در شکاف بین هادی ها انجام شود. و البته دوباره معادله پواسون را بدست می آوریم

بنابراین ما نشان دادیم که انتگرال اصلی ماست U* حتی زمانی که در فضای بین رساناها که هر یک در یک پتانسیل ثابت هستند محاسبه شود، به حداقل می رسد [این بدان معناست که هر تابع آزمون φ(x, y،z) باید برابر با پتانسیل داده شده هادی باشد وقتی (x, y,z) - نقاط سطح هادی]. یک مورد خاص جالب وجود دارد که شارژها فقط روی هادی ها قرار می گیرند. سپس

و اصل حداقل ما به ما می گوید که در موردی که هر هادی پتانسیل از پیش تعیین شده خود را دارد، پتانسیل های بین آنها به گونه ای جا می گیرند که انتگرال U* معلوم می شود تا حد امکان کوچک است. این انتگرال چیست؟ اصطلاح Vφ میدان الکتریکی است. بنابراین انتگرال انرژی الکترواستاتیک است. میدان صحیح تنها میدانی است که از بین تمام میدان هایی که به عنوان گرادیان پتانسیل به دست می آید، کمترین انرژی کل را دارد.

من می خواهم از این نتیجه برای حل یک مشکل خاص استفاده کنم و به شما نشان دهم که همه این موارد از اهمیت عملی واقعی برخوردار هستند. فرض کنید من دو هادی را به شکل یک خازن استوانه ای گرفته ام.

پتانسیل هادی داخلی مثلاً V, و بیرونی صفر است. بگذارید شعاع هادی داخلی برابر باشد آ،و خارجی - بحال می توان فرض کرد که توزیع پتانسیل ها بین آنها است هراما اگر بگیریم درستمقدار φ و محاسبه کنید
(ε 0/2) ∫ (Vφ) 2 dVپس انرژی سیستم باید 1/2CV 2 باشد.

بنابراین با کمک اصل خود می توانیم ظرفیت خازن را نیز محاسبه کنیم با.اگر توزیع پتانسیل نادرست را در نظر بگیریم و سعی کنیم ظرفیت خازن را با این روش تخمین بزنیم، به این موضوع نیز خواهیم رسید. پراهمیتظرفیت ثابت V. هر پتانسیل مفروضی φ که دقیقاً با مقدار واقعی آن مطابقت ندارد نیز منجر به مقدار نادرست C، بیشتر از حد لازم می شود. اما اگر cp پتانسیل نادرست انتخاب شده همچنان یک تقریب تقریبی باشد، ظرفیت خازن بااز قبل با دقت خوبی مشخص خواهد شد، زیرا خطای C در مقایسه با خطای φ، مقدار مرتبه دومی است.

فرض کنید من ظرفیت خازن استوانه ای را نمی دانم. سپس، برای شناختن او، می توانم از این اصل استفاده کنم. من به سادگی توابع مختلف φ را به عنوان پتانسیل امتحان می کنم تا زمانی که به کمترین مقدار برسم با.برای مثال، فرض کنید من یک پتانسیل مربوط به یک میدان ثابت را انتخاب کرده ام. (البته می دانید که میدان واقعاً در اینجا ثابت نیست، مانند 1/r تغییر می کند) اگر میدان ثابت باشد، این بدان معناست که پتانسیل به صورت خطی به فاصله بستگی دارد. برای اینکه ولتاژ روی هادی ها به اندازه مورد نیاز باشد، تابع φ باید شکل داشته باشد

این تابع برابر است با V در r=a،صفر برای r =b،و بین آنها یک شیب ثابت برابر است با - V/(ب—آ).بنابراین برای تعریف انتگرال U*, فقط لازم است که مربع این گرادیان را در ε o /2 ضرب کنیم و در کل حجم ادغام کنیم. اجازه دهید این محاسبه را برای یک استوانه با طول واحد انجام دهیم. عنصر حجم با شعاع rبرابر با 2prdr. با ادغام، متوجه می شوم که اولین تلاش من ظرفیت زیر را به همراه دارد:

بنابراین من فرمول ظرفیت خازن را دریافت می کنم، که اگرچه نادرست است، اما نوعی تقریب است:

البته با پاسخ صحیح متفاوت است. C \u003d 2pe 0 / ln (b / a)،اما در کل آنقدرها هم بد نیست. بیایید سعی کنیم آن را با پاسخ صحیح برای چندین مقدار مقایسه کنیم. b/a.اعدادی که من محاسبه کردم در جدول زیر نشان داده شده است.

حتی وقتی که b/a=2(و این در حال حاضر منجر به تفاوت های بسیار زیادی بین فیلدهای ثابت و خطی می شود)، من هنوز یک تقریب نسبتا قابل تحمل دریافت می کنم. پاسخ، البته، همانطور که انتظار می رود، کمی بیش از حد است. اما اگر یک سیم نازک در داخل یک سیلندر بزرگ قرار گیرد، همه چیز بسیار بدتر به نظر می رسد. سپس میدان به شدت تغییر می کند و جایگزینی آن با یک میدان ثابت به هیچ چیز خوبی منجر نمی شود. با b/a=100 جواب را تقریبا دو برابر می کنیم. برای کوچک b/aموقعیت بسیار بهتر به نظر می رسد در حد مقابل، وقتی شکاف بین هادی ها خیلی وسیع نیست (مثلاً در b/a=1.1)، میدان ثابت تقریب بسیار خوبی است، مقدار را نشان می دهد. بادقت تا دهم درصد

و اکنون به شما خواهم گفت که چگونه این محاسبه را بهبود ببخشید. (البته جواب سیلندر به شما معروف،اما همین روش برای برخی دیگر کار می کند اشکال غیر معمولخازن هایی که ممکن است پاسخ صحیح آنها را ندانید.) قدم بعدی یافتن تقریب بهتری برای پتانسیل واقعی φ است که ما نمی دانیم. فرض کنید می‌توانید ثابت بعلاوه نمایی از φ و غیره را آزمایش کنید.اما اگر ف واقعی را ندانید چگونه می‌دانید که بهترین تقریب را دارید؟ پاسخ:بشمار با؛هر چه پایین تر باشد به حقیقت نزدیک تر است. بیایید این ایده را آزمایش کنیم. بگذارید پتانسیل خطی نباشد، بلکه مثلاً در r درجه دوم باشد، و میدان الکتریکی ثابت نباشد، بلکه خطی باشد. بیشترین عمومیشکل درجه دوم که زمانی که φ=O می شود r=بو در φ=F در r=a،است:

جایی که α یک عدد ثابت است. این فرمول کمی پیچیده تر از فرمول قبلی است. این شامل هر دو عبارت درجه دوم و یک ترم خطی است. خیلی راحت میشه ازش میدان گرفت. برابر با ساده است

اکنون این باید مربع و با حجم ادغام شود. اما یک دقیقه صبر کنید. برای α باید چی بگیرم؟ برای f من می توانم سهمی بگیرم، اما چه؟ در اینجا کاری که من انجام خواهم داد: محاسبه ظرفیت خازن در α دلخواه.خواهم گرفت

کمی گیج کننده به نظر می رسد، اما پس از ادغام مربع میدان، اینگونه به نظر می رسد. حالا من می توانم برای خودم انتخاب کنم. من می دانم که حقیقت پایین تر از هر چیزی است که می خواهم بفهمم. هر چه به جای a قرار دهم، پاسخ هنوز خیلی بزرگ است. اما اگر بازی خود را با α ادامه دهم و سعی کنم کمترین مقدار ممکن را بدست بیاورم با،آنگاه این کمترین مقدار از هر مقدار دیگری به حقیقت نزدیکتر خواهد بود. بنابراین، اکنون باید α را انتخاب کنم تا مقدار بابه حداقل خود رسیده است. با عطف به حساب دیفرانسیل معمول، می بینم که حداقل است بازمانی خواهد بود که α =— 2 ب/(b+آ). با جایگزینی این مقدار در فرمول، کمترین ظرفیت را دریافت می کنم

من فهمیدم که این فرمول چه چیزی را ارائه می دهد بادر مقادیر مختلف b/a.با این شماره ها تماس گرفتم با(مربع). در اینجا جدولی است که مقایسه می کند با(مربع) با با(درست است، واقعی).

به عنوان مثال، وقتی نسبت شعاع 2:1 باشد، من 1.444 را دریافت می کنم. این یک تقریب بسیار خوب برای پاسخ صحیح، 1.4423 است. حتی با بزرگ بلهتقریب بسیار خوب باقی می ماند - بسیار است بهتر از اولیتقریب ها حتی در b/a=10:1 قابل تحمل باقی می ماند (فقط 10% بیش از حد تخمین زده می شود) اختلاف بزرگ فقط در نسبت 100:1 است. بابرابر با 0.346 به جای 0.267. از سوی دیگر، برای نسبت شعاع 1.5، توافق عالی است، اما برای b/a=1.1پاسخ به جای 10.492070 10.492065 است. جایی که باید انتظار یک پاسخ خوب را داشت، معلوم می شود که بسیار بسیار خوب است.

من تمام این مثال ها را اولاً برای نشان دادن ارزش تئوریک اصل حداقل عمل و همه اصول حداقل ها به طور کلی و ثانیاً برای نشان دادن فایده عملی آنها به شما نشان دادم و اصلاً برای محاسبه ظرفیت نیست. که ما از قبل به خوبی می دانیم. برای هر شکل دیگری، می توانید یک فیلد تقریبی با چند پارامتر ناشناخته (مانند α) را امتحان کنید و آنها را به حداقل برسانید. شما نتایج عددی بسیار خوبی را در مورد مسائلی دریافت خواهید کرد که در غیر این صورت قابل حل نیستند.

اصل کمترین عمل، که اولین بار به صراحت توسط ژاکوبی بیان شد، مشابه اصل همیلتون است، اما کمتر کلی است و اثبات آن دشوارتر است. این اصل فقط برای مواردی قابل اعمال است که اتصالات و تابع نیرو به زمان بستگی ندارد و بنابراین، یک انتگرال از نیروی زنده وجود دارد.

این انتگرال به نظر می رسد:

اصل همیلتون که در بالا بیان شد بیان می کند که تغییر انتگرال

برابر با صفر در انتقال حرکت واقعی به هر حرکت بی نهایت نزدیک دیگری است که سیستم را از همان حرکت منتقل می کند. موقعیت اولیهبه همان موقعیت پایانی در همان مدت زمان.

اصل ژاکوبی، برعکس، خاصیت، حرکتی را بیان می کند که به زمان بستگی ندارد. یعقوبی انتگرال را در نظر می گیرد

تعریف عمل اصلی که او ایجاد کرد بیان می کند که تغییرات این انتگرال زمانی صفر است که حرکت واقعی سیستم را با هر حرکت بی نهایت نزدیک دیگری که سیستم را از همان موقعیت اولیه به همان موقعیت نهایی می برد مقایسه کنیم. در این حالت به فاصله زمانی صرف شده توجه نمی کنیم، بلکه معادله (1) یعنی معادله نیروی انسانی را با مقدار ثابت h در حرکت واقعی مشاهده می کنیم.

این شرط لازم extremum به طور کلی به حداقل انتگرال (2) منتهی می‌شود، که نام اصل کمترین عمل از آنجا آمده است. به نظر می رسد که شرط حداقل طبیعی ترین است، زیرا مقدار T اساساً مثبت است و بنابراین انتگرال (2) لزوماً باید حداقل داشته باشد. تنها در صورتی می توان وجود حداقل را به دقت ثابت کرد که فاصله زمانی به اندازه کافی کم باشد. اثبات این گزاره را می توان در درس معروف داربوکس در مورد نظریه سطوح یافت. با این حال، ما آن را در اینجا ارائه نمی کنیم و به استنباط شرط اکتفا می کنیم

432. اثبات اصل اقل عمل.

در محاسبات واقعی با مشکلی مواجه می شویم که در اثبات قضیه همیلتون وجود ندارد. متغیر t دیگر مستقل از تغییرات باقی نمی ماند. بنابراین تغییرات q i و q. با تغییر t توسط یک رابطه پیچیده که از معادله (1) دنبال می شود، مرتبط هستند. ساده ترین راه برای دور زدن این مشکل، تغییر متغیر مستقل به متغیری است که مقادیر آن بین محدودیت های ثابت مستقل از زمان قرار دارد. فرض کنید k یک متغیر مستقل جدید باشد که حدود آن مستقل از t فرض می شود. هنگام جابجایی سیستم، پارامترها و t از توابع این متغیر خواهند بود

اجازه دهید حروف اولیه q مشتقات پارامترهای q را با توجه به زمان نشان دهند.

از آنجایی که پیوندها مستقل از زمان فرض می شوند، مختصات دکارتی x، y، z توابعی از q هستند که حاوی زمان نیستند. بنابراین مشتقات آنها توابع همگن خطی q و 7 شکل درجه دوم همگن q خواهد بود که ضرایب آن تابعی از q هستند. ما داریم

برای تشخیص مشتقات زمانی q با پرانتز (q) مشتقات q را که با توجه به آن گرفته شده و مطابق با آن قرار می گیرند نشان می دهیم.

سپس خواهیم داشت

و انتگرال (2) که از طریق متغیر مستقل جدید A بیان می شود، شکل خواهد گرفت.

مشتق را می توان با استفاده از قضیه نیروی زنده حذف کرد. در واقع، انتگرال نیروی زنده خواهد بود

با جایگزینی این عبارت به فرمول، انتگرال (2) را به فرم می آوریم

بنابراین انتگرال تعریف کنش شکل نهایی را به خود گرفت (3). انتگرال جذر شکل درجه دوم کمیت ها است

اجازه دهید نشان دهیم که معادلات دیفرانسیل انتگرال (3) دقیقا معادلات لاگرانژ هستند. معادلات مازاد بر اساس فرمول های کلی حساب تغییرات به صورت زیر خواهد بود:

معادلات را در 2 ضرب می کنیم و تمایزات جزئی را با در نظر گرفتن اینکه شامل نمی شود انجام می دهیم، اگر شاخص را ننویسیم، به دست می آوریم.

اینها معادلات افراطی هستند که بر حسب متغیر مستقل بیان می شوند. اکنون وظیفه بازگشت به متغیر مستقل است.

از آنجایی که Г تابع همگن درجه دوم و تابع همگن درجه اول است، داریم

از سوی دیگر، در مورد عوامل مشتقات در معادلات اکستریمال ها، می توان قضیه نیروی زنده را اعمال کرد، که همانطور که در بالا دیدیم، منجر به جایگزینی می شود.

در نتیجه همه جانشینی ها، معادلات اکستریم به شکل کاهش می یابد

بنابراین به معادلات لاگرانژ رسیدیم.

433. موردی که نیروی محرکه نباشد.

در صورتی که نیروهای محرکنه، معادله ای برای نیروی انسانی وجود دارد و ما داریم

شرط حداقل بودن انتگرال است این موردبه این صورت که مقدار مربوط به -10 باید کوچکترین باشد. بنابراین، هنگامی که هیچ نیروی محرکی وجود نداشته باشد، در بین تمام حرکاتی که در آن نیروی زنده همان ارزش داده شده را حفظ می کند، حرکت واقعی آن چیزی است که سیستم را از موقعیت اولیه خود به موقعیت نهایی خود در کوتاه ترین زمان می رساند.

اگر سیستم به یک نقطه کاهش یابد که در امتداد یک سطح ثابت حرکت می کند، در این صورت حرکت واقعی، در بین تمام حرکات در طول سطح، که با سرعت یکسان انجام می شود، حرکتی است که در آن نقطه از موقعیت اولیه خود به موقعیت نهایی می گذرد. به کوتاه ترین

فاصله زمانی. به عبارت دیگر، یک نقطه کوتاه ترین خط بین دو موقعیت خود را بر روی سطح توصیف می کند، یعنی یک خط ژئودزیکی.

434. تذکر.

اصل حداقل عمل فرض می کند که سیستم دارای چندین درجه آزادی است، زیرا اگر فقط یک درجه آزادی وجود داشته باشد، یک معادله برای تعیین حرکت کافی است. از آنجایی که حرکت را می توان در این مورد کاملاً با معادله نیروی زنده تعیین کرد، حرکت واقعی تنها چیزی است که این معادله را برآورده می کند و بنابراین نمی توان آن را با هیچ حرکت دیگری مقایسه کرد.

کمترین اصل اقدام

یکی از اصول تغییر مکانیک، طبق نظر کروم برای یک کلاس معین از حرکات مکانیکی در مقایسه با یکدیگر. سیستم برای کدام فیزیکی معتبر است. ارزش، نامیده می شود عمل، کوچکترین (به طور دقیق تر، ثابت) ارزش را دارد. معمولاً N. d. p. به یکی از دو شکل اعمال می شود.

الف) N.d.p به شکل همیلتون - استروگرادسکی ثابت می کند که در بین همه جابجایی های ممکن سینماتیکی سیستم از یک پیکربندی به پیکربندی دیگر (نزدیک به اولین) که در همان بازه زمانی انجام می شود، واقعی آن چیزی است که عمل همیلتونی S برای آن انجام می شود. کوچکترین باشد تشک. در این مورد، بیان N.d.p به شکل dS = 0 است، که در آن d نماد تغییر ناقص (هم زمان) است (یعنی بر خلاف تغییرات کامل، زمان در آن تغییر نمی کند).

ب) N.D.P به شکل Maupertuis - Lagrange ثابت می کند که در بین همه جابجایی های ممکن سینماتیکی یک سیستم از یک پیکربندی به پیکربندی دیگر نزدیک به آن، که با حفظ همان مقدار انرژی کل سیستم انجام می شود، معتبر است که برای k- بزرگترین اقدام لاگرانژ W کوچکترین خواهد بود. تشک. بیان N.d.p در این مورد به شکل DW=0 است، که در آن D نماد کل تغییرات است (برخلاف اصل همیلتون-استروگرادسکی، نه تنها مختصات و سرعت ها در اینجا متفاوت است، بلکه مدت زمانی که سیستم طول می کشد تا تغییر کند. حرکت از یک پیکربندی به پیکربندی دیگر). N. d. p. در این مورد، آن را فقط برای سیستم های محافظه کار و، علاوه بر این، هولونومیک معتبر است، در حالی که در مورد اول NDP عمومی تر است و، به طور خاص، می تواند به سیستم های غیر محافظه کار گسترش یابد. N. d. p. برای جمع‌آوری دستورات حرکت مکانیکی استفاده می‌شود. سیستم ها و برای مطالعه سنت مشترک در این جنبش ها. با تعمیم مناسب مفاهیم N. D. P.، کاربردهایی در مکانیک یک محیط پیوسته، در الکترودینامیک و در کوانتوم پیدا می کند. مکانیک و غیره

• - همان ...

  دایره المعارف فیزیکی

• - اپراتور m، عملگر کمینه سازی، - روشی برای ساخت توابع جدید از توابع دیگر، شامل موارد زیر ...

  دایره المعارف ریاضی

• - یکی از اصول تغییرات مکانیک، طبق نظر کروم برای یک کلاس معین از حرکات مکانیکی در مقایسه با یکدیگر. سیستمی انجام می شود که برای آن اقدام حداقل است ...

  علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

• - یکی از مهمترین قوانین مکانیک که توسط دانشمند روسی M.V. اوستروگرادسکی...

  دایره المعارف روسی

• واژه نامه اصطلاحات حقوقی

• - در قانون اساسی تعدادی از کشورها، این اصل که اصول و هنجارهای عمومی شناخته شده حقوق بین الملل بر اساس آن است. بخشی جدایی ناپذیر سیستم حقوقیکشور مربوطه...

  دایره المعارف حقوق

• - در قانون اساسی تعدادی از دولت ها، این اصل که بر اساس آن هنجارهای عمومی شناخته شده حقوق بین الملل جزء لاینفک نظام حقوقی ملی هستند ...

  فرهنگ لغت بزرگ قانون

• کوتاه ترین فاصله از مرکز بار انفجاری تا سطح آزاد- خط روی مقاومت نای-مالکوتو - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...

  فرهنگ لغت ساخت و ساز

• - اگر بتوان نقاط یک جسم تغییر شکل پذیر را در جهات مختلف حرکت داد، هر نقطه از این جسم در جهت کمترین مقاومت حرکت می کند.

  فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

• - قاعده ای که بر اساس آن مرسوم است که سهام موجود را با کمترین هزینه و یا با کمترین قیمت فروش ارزش گذاری کنند.

  واژه نامه اصطلاحات تجاری

• - در قانون اساسی تعدادی از دولت ها - این اصل که بر اساس آن اصول و هنجارهای عمومی شناخته شده حقوق بین الملل بخشی جدایی ناپذیر از نظام حقوقی دولت مربوطه است و عمل می کند ...

  فرهنگ دایره المعارف اقتصاد و حقوق

• - یکی از اصول تغییر مکانیک که بر اساس آن برای یک کلاس معین از حرکات یک سیستم مکانیکی در مقایسه با یکدیگر، واقعی همان چیزی است که برای آن کمیت فیزیکی، ...
• - همان اصل گاوس ...

  دایره المعارف بزرگ شوروی

• - یکی از اصول تغییر مکانیک؛ همان اصل کمترین عمل...

  دایره المعارف بزرگ شوروی

• - یکی از اصول تغییر مکانیک، که طبق آن برای یک کلاس معین از حرکات یک سیستم مکانیکی در مقایسه با یکدیگر، حرکتی که برای آن عمل حداقل است ...

  بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفی

• - کتاب. بیشترین را انتخاب کنید راه اساناقدامات، اجتناب از موانع، گریز از مشکلات...

  فرهنگ عباراتی زبان ادبی روسی

«اصول کمترین اقدام» در کتاب ها

2.5.1. اصل عملکرد دستگاه

برگرفته از کتاب Entertaining Electronics [دانشنامه غیرقالب مدارهای مفید] نویسنده کاشکروف آندری پتروویچ

2.5.1. اصل کارکرد دستگاه اصل کارکرد دستگاه ساده است. هنگامی که شار نور ساطع شده توسط HL1 LED از جسم منعکس می شود و به آشکارساز نور برخورد می کند، واحد الکترونیکی که بر روی 2 ریزمدار اجرا شده است - مقایسه کننده KR1401CA1 و تایمر KR1006VI1، تولید می کند.

اصل عملکرد تراف

برگرفته از کتاب دانش راز. تئوری و تمرین آگنی یوگا نویسنده روریش النا ایوانونا

اصل عملکرد تراف 24.02.39 شما می دانید که هر آگاهی و بازنمایی یک شی ما را به آن نزدیکتر می کند. همانطور که می دانید لایه های روانی یک شیء را می توان به ترافیم آن منتقل کرد. به خصوص ترافیم اختری جهان های دور و

سه شرط برای اجرای قانون کمترین تلاش

برگرفته از کتاب حکمت دیپاک چوپرا [با پیروی از 7 قانون جهان به آنچه می خواهید برسید] نویسنده گودمن تیم

سه شرط برای کارکرد قانون کمترین تلاش بیایید ببینیم چه شرایطی لازم است تا این جریان خلاقانه انرژی کیهان - انرژی عشق - و بنابراین برای شروع قانون کمترین تلاش در زندگی شما وارد زندگی شما شود.

فصل 19 اصل کمترین عمل

از کتاب 6. الکترودینامیک نویسنده فاینمن ریچارد فیلیپس

فصل 19 آخرین اصل عمل ضمیمه ارسال سخنرانی وقتی من در مدرسه بودم، معلم فیزیک ما، به نام بادر، یک بار بعد از کلاس با من تماس گرفت و گفت: «به نظر می‌رسد از همه چیز به شدت خسته شده‌ای. گوش دادن به چیز جالب

5. اصل کمترین عمل

از کتاب انقلاب در فیزیک نویسنده د بروگلی لوئیس

5. اصل کمترین عمل نمای کلیاصل همیلتون یا اصل کنش ثابت نامیده می شود. بر اساس این اصل، از همه

اصول کارکرد، اصول جراحی، اصول عملکرد

برگرفته از کتاب راهنمای قفل ساز توسط فیلیپس بیل

اصل عملکرد توانایی چرخش سیلندر به موقعیت پین ها بستگی دارد که به نوبه خود توسط گرانش، عمل فنرها و نیروی کلید تعیین می شود (یا انتخاب؛ برای اطلاعات در مورد پین ها به فصل 9 مراجعه کنید). . بدون کلید، جاذبه و فنر به داخل فشار می آورند

اصل عمل ثابت

از کتاب بزرگ دایره المعارف شوروی(ST) نویسنده TSB

اصل کمترین عمل

TSB

اصل کمترین اجبار

از کتاب دایره المعارف بزرگ شوروی (NA) نویسنده TSB

2.5.1. اصول کارکرد، اصول جراحی، اصول عملکرد

برگرفته از کتاب حفاظت رله در شبکه های توزیع برق B90 نویسنده بولیچف الکساندر ویتالیویچ

2.5.1. اصل کار در شبکه های الکتریکی با منبع تغذیه دو طرفه و در شبکه های حلقه ای، حفاظت های اضافه جریان معمولی نمی توانند به صورت انتخابی عمل کنند. به عنوان مثال، در شبکه برقبا دو منبع تغذیه (شکل 2.15)، که در آن سوئیچ ها و حفاظ ها در دو طرف نصب شده اند

اصول کارکرد، اصول جراحی، اصول عملکرد

از کتاب Turbo-Gopher. چگونه از لعنت به مغز خود دست بردارید و زندگی را شروع کنید نویسنده لیوشکین دیمیتری

اصل عمل "آن را پردازش کن" در واقع نوعی "کلان" است که با یک عبارت مجموعه کاملی از فرآیندها را در ناخودآگاه راه اندازی می کند که هدف آن پردازش مواد ذهنی انتخاب شده است. این هندلر خود شامل 7 ماژول مختلف است که برخی از آنها

چگونه پیروی از قانون کمترین تلاش را شروع کنیم: سه ​​مرحله

برگرفته از کتاب راهنمای رشد سرمایه نوشته جوزف مورفی، دیل کارنگی، اکهارت توله، دیپاک چوپرا، باربارا شر، نیل والش نویسنده استرن والنتین

چگونه پیروی از قانون کمترین تلاش را شروع کنیم: سه اقدام لازمبرای اینکه قانون کمترین تلاش عمل کند، نه تنها باید سه شرط بالا را رعایت کنید، بلکه باید سه عمل را نیز انجام دهید، اولین اقدام: شروع به پذیرش جهان آنگونه که هست بپذیرید.

11. فیزیک و آیکیدو از کوچکترین عمل

نویسنده میندل آرنولد

11. فیزیک و آیکیدو کوچکترین عمل وقتی می وزد، آن فقط باد است. چه زمانی هوا بارانی است، فقط باران است. وقتی ابرها حرکت می کنند، خورشید از میان آنها می تابد. اگر خودتان را به روی بصیرت باز کنید، پس با بینش یکی هستید. و می توانید از آن به طور کامل استفاده کنید. اگر باز کنی

اصل حداقل عمل لایب نیتس "Vis Viva"

برگرفته از کتاب ژئوپسیکولوژی در شمنیسم، فیزیک و تائوئیسم نویسنده میندل آرنولد

اصل حداقل عمل لایب نیتس "Vis Viva" برای اصل کمترین عمل، همه ما باید قدردان ویلهلم گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) باشیم. یکی از اولین فیزیکدانان و ریاضیدانان "مدرن"، لایبنیتس در زمان نیوتن زندگی کرد - دورانی که دانشمندان بازتر بودند.

آیکیدو - تجسم اصل حداقل عمل

برگرفته از کتاب ژئوپسیکولوژی در شمنیسم، فیزیک و تائوئیسم نویسنده میندل آرنولد

آیکیدو تجسم اصل کمترین عمل است، روانشناسی و فناوری ما عمدتاً توسط مفهومی بسیار نزدیک به ایده کمترین عمل هدایت می شود. ما دائماً در تلاشیم تا زندگی را برای خودمان آسان کنیم. کامپیوترهای امروزی به اندازه کافی سریع نیستند. آنها مجبورند

P. Maupertuis) در سال 1744، بلافاصله به ماهیت جهانی آن اشاره کرد و آن را برای اپتیک و مکانیک قابل استفاده دانست. او از این اصل قوانین بازتاب و شکست نور را استخراج کرد.

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  تحقیقات ریاضی و توسعه اصل فرما توسط کریستین هویگنس انجام شد و پس از آن این موضوع به طور فعال توسط بزرگترین دانشمندان قرن هفدهم مورد بحث قرار گرفت. لایب نیتس مفهوم اساسی کنش را در سال 1669 وارد فیزیک کرد: "عملکردهای صوری حرکت متناسب با ... حاصل ضرب مقدار ماده، مسافت هایی که طی می کنند و سرعت هستند."

  به موازات تجزیه و تحلیل مبانی مکانیک، روش هایی برای حل مسائل متغیر توسعه یافت. اسحاق نیوتن در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" (1687) اولین مسئله تغییری را تنظیم و حل کرد: یافتن چنین شکلی از یک بدنه انقلاب که در یک محیط مقاوم در امتداد محور خود حرکت می کند، که مقاومت تجربه شده کمترین است. . تقریباً به طور همزمان، مشکلات متغیر دیگری ظاهر شد: مشکل براکیستوکرون (1696)، شکل یک خط لوله و غیره.

  وقایع تعیین کننده در سال 1744 رخ داد. لئونهارد-اویلر اولین کار کلی را در مورد حساب تغییرات ("روشی برای یافتن منحنی هایی با ویژگی های حداکثر یا حداقل") منتشر کرد و پیر لوئیس دو ماپرتویس در رساله خود "آشتی بین قوانین مختلف طبیعت که تا آن زمان ناسازگار به نظر می رسید»، اولین فرمول بندی اصل کمترین عمل را ارائه کرد: «مسیری که نور دنبال می کند، مسیری است که میزان عمل برای آن کوچکترین خواهد بود». او اجرای این قانون را هم برای بازتاب و هم برای شکست نور نشان داد. اویلر در پاسخ به مقاله ای از Maupertuis (در همان سال 1744) کار "در مورد تعیین حرکت اجسام پرتاب شده در یک محیط غیرمقاوم به روش ماکزیمم و حداقل" را منتشر کرد و در این اثر ارائه کرد. اصل Maupertuis یک ویژگی مکانیکی کلی است: «از آنجایی که همه پدیده‌های طبیعی از برخی قانون‌های حداکثر یا حداقل پیروی می‌کنند، شکی نیست که برای خطوط منحنی که اجسام پرتاب شده را توصیف می‌کنند، وقتی نیروهایی بر آنها وارد می‌شوند، خاصیت حداکثر یا حداقل اتفاق می‌افتد. . اویلر این قانون را بیشتر فرموله کرد: مسیر حرکت یک جسم حداقل را ایجاد می کند ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). او سپس آن را با استخراج قوانین حرکت در یک میدان گرانشی یکنواخت و در چندین مورد دیگر به کار برد.

  در سال 1746 Maupertuis شغل جدیدبا نظر اویلر موافقت کرد و کلی ترین نسخه از اصل او را اعلام کرد: «وقتی تغییری در طبیعت رخ می دهد، میزان اقدام لازم برای این تغییر کمترین مقدار ممکن است. مقدار عمل حاصل ضرب جرم اجسام، سرعت آنها و مسافتی است که طی می کنند. در بحث گسترده ای که پیش آمد، اویلر از اولویت Maupertuis حمایت کرد و برای ماهیت جهانی قانون جدید استدلال کرد: "کل دینامیک و هیدرودینامیک را می توان با سهولت شگفت انگیزی تنها با استفاده از روش ماکزیمم و مینیمم آشکار کرد."

  مرحله جدیدی در 1760-1761 آغاز شد، زمانی که جوزف-لوئیس-لاگرانژ یک مفهوم دقیق از تغییر یک تابع را معرفی کرد، به حساب تغییرات ظاهری مدرن داد و اصل کمترین عمل را به یک سیستم مکانیکی دلخواه (یعنی نه تنها به امتیاز مواد رایگان). این آغاز مکانیک تحلیلی بود. کارل گوستاو یاکوب یاکوبی تعمیم بیشتری از این اصل را در سال 1837 انجام داد - او این مسئله را از نظر هندسی به عنوان یافتن اضطراری های یک مسئله تغییرات در یک فضای پیکربندی با متریک غیر اقلیدسی در نظر گرفت. ژاکوبی به طور خاص خاطرنشان کرد که در غیاب نیروهای خارجی، مسیر سیستم یک خط ژئودزیکی در فضای پیکربندی است.

  رویکرد همیلتون در مدل‌های ریاضی فیزیک، به‌ویژه برای مکانیک کوانتومی، جهانی و بسیار مؤثر بود. قدرت ابتکاری آن در ایجاد نظریه نسبیت عام تأیید شد، زمانی که دیوید هیلبرت اصل همیلتونی را برای استخراج معادلات نهایی میدان گرانشی به کار برد (1915).

  در مکانیک کلاسیک

  اصل کمترین عمل به عنوان مبنای اساسی و استاندارد برای فرمول بندی های لاگرانژی و همیلتونی مکانیک عمل می کند.

  بیایید ابتدا ساخت و ساز را به این شکل در نظر بگیریم مکانیک لاگرانژی. با استفاده از مثال یک سیستم فیزیکی با یک درجه آزادی، به یاد می آوریم که یک کنش با توجه به مختصات (تعمیم شده) (در مورد یک درجه آزادی - یک مختصات) عملکردی است، یعنی از طریق بیان می شود. q (t) (\displaystyle q(t))به طوری که هر نسخه قابل تصور از تابع q (t) (\displaystyle q(t))یک عدد معین مقایسه می شود - یک عمل (از این نظر، می توان گفت که یک عمل به عنوان یک عملکرد، قاعده ای است که برای هر عملکرد داده شده q (t) (\displaystyle q(t))یک عدد به خوبی تعریف شده را محاسبه کنید - که یک عمل نیز نامیده می شود). عمل به نظر می رسد:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t)،t)dt،)

  جایی که L (q (t) ، q ˙ (t) ، t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t)،(\dot (q))(t),t))بسته به مختصات تعمیم یافته، لاگرانژی سیستم است q (\displaystyle q)، مشتق اولین بار آن است q ˙ (\displaystyle (\dot (q)))، و همچنین، احتمالاً، به صراحت از زمان t (\displaystyle t). اگر سیستم درجات آزادی بیشتری داشته باشد n (\displaystyle n)، سپس لاگرانژ بستگی دارد بیشترمختصات تعمیم یافته q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t)،\ i=1,2,\dots ,n)و مشتقات اولین بار آنها. بنابراین، عمل بسته به مسیر بدن، عملکردی اسکالر است.

  این واقعیت که عمل یک اسکالر است نوشتن آن را در هر مختصات تعمیم یافته آسان می کند، نکته اصلی این است که موقعیت (پیکربندی) سیستم به طور منحصر به فرد توسط آنها مشخص می شود (به عنوان مثال، به جای مختصات دکارتی، اینها می توانند قطبی باشند. مختصات، فواصل بین نقاط سیستم، زوایا یا توابع آنها و غیره د.).

  عمل را می توان برای یک مسیر کاملا دلخواه محاسبه کرد q (t) (\displaystyle q(t))، مهم نیست که چقدر "وحشی" و "غیر طبیعی" باشد. با این حال، در مکانیک کلاسیک، در میان کل مجموعه مسیرهای ممکن، تنها یکی وجود دارد که بدن در واقع در امتداد آن حرکت خواهد کرد. اصل ایستایی عمل فقط به این سؤال پاسخ می دهد که بدن واقعاً چگونه حرکت می کند:

  این بدان معناست که اگر لاگرانژ سیستم داده شود، با استفاده از حساب تغییرات می‌توانیم دقیقاً نحوه حرکت جسم را تعیین کنیم، ابتدا معادلات حرکت - معادلات اویلر-لاگرانژ را به دست آوریم و سپس آنها را حل کنیم. این اجازه می دهد تا نه تنها به طور جدی فرمول مکانیک را تعمیم دهیم، بلکه راحت ترین مختصات را برای هر مسئله خاص انتخاب کنیم، نه محدود به موارد دکارتی، که می تواند برای به دست آوردن ساده ترین و راحت ترین معادلات بسیار مفید باشد.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

  جایی که H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1)،q_(2)،\dots،q_(N)،p_(1)،p_(2)،\dots،p_(N)،t) )تابع همیلتون سیستم داده شده است. q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- مختصات (تعمیم شده)، p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots,p_(N))- تکانه‌های مزدوج (تعمیم‌یافته) که در هر لحظه از زمان وضعیت پویایی سیستم را مشخص می‌کنند و هر کدام تابعی از زمان هستند، بنابراین تکامل (حرکت) سیستم را مشخص می‌کنند. در این حالت، برای به دست آوردن معادلات حرکت سیستم در قالب معادلات همیلتون متعارف، لازم است عمل نوشته شده به این ترتیب به طور مستقل در همه موارد تغییر کند. q i (\displaystyle q_(i))و p i (\displaystyle p_(i)).

  لازم به ذکر است که اگر اصولاً بتوان قانون حرکت را از شرایط مسئله پیدا کرد، این امر به طور خودکار انجام می شود. نهبه این معنی که می توان تابعی ساخت که در حین حرکت واقعی مقدار ثابتی بگیرد. یک مثال حرکت مشترک است بارهای الکتریکیو تک قطبی - بارهای مغناطیسی - در یک میدان الکترومغناطیسی. معادلات حرکت آنها را نمی توان از اصل ایستایی عمل استخراج کرد. به طور مشابه، برخی از سیستم های همیلتونی معادلات حرکتی دارند که از این اصل پیروی نمی کنند.

  مثال ها

  مثال‌های بی‌اهمیت به ارزیابی استفاده از اصل عملیاتی از طریق معادلات اویلر-لاگرانژ کمک می‌کنند. ذره آزاد (جرم مترو سرعت v) در یک خط مستقیم در فضای اقلیدسی حرکت می کند. با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ، می توان آن را در مختصات قطبی به صورت زیر نشان داد. در غیاب پتانسیل، تابع لاگرانژ به سادگی برابر با انرژی جنبشی است

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\dot (x))^(2)+(\dot (y))^(2)\راست)) ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  اینجا ∫ [D x] (\displaystyle \int)یک نماد مشروط از یکپارچگی عملکردی بینهایت برابر در تمام مسیرهای x(t) است، و ℏ (\displaystyle \hbar)- ثابت پلانک ما تأکید می کنیم که اصولاً عمل در حالت نمایی به خودی خود ظاهر می شود (یا می تواند ظاهر شود) ، هنگام مطالعه عملگر تکامل در مکانیک کوانتومی ، اما برای سیستم هایی که دارای آنالوگ دقیق کلاسیک (غیر کوانتومی) هستند ، دقیقاً برابر است با عمل کلاسیک معمولی

  تجزیه و تحلیل ریاضی این عبارت در حد کلاسیک - برای به اندازه کافی بزرگ S / ℏ (\displaystyle S/\hbar)، یعنی با نوسانات بسیار سریع توان خیالی - نشان می دهد که اکثریت قریب به اتفاق تمام مسیرهای ممکن در این انتگرال یکدیگر را در حد خنثی می کنند (به طور رسمی، زمانی که S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \right arrow \infty)). تقریباً برای هر مسیری، مسیری وجود دارد که در آن هجوم فاز دقیقاً برعکس خواهد بود و مجموع آنها به صفر می رسد. فقط آن مسیرهایی که عملکرد آنها به مقدار شدید نزدیک است (برای اکثر سیستم ها - حداقل) کاهش نمی یابد. این یک واقعیت کاملاً ریاضی است

• 3.1 انقلاب های علمی در تاریخ علوم طبیعی
• 3.2. اولین انقلاب علمی سیستم هلیوسنتریک جهان. آموزه کثرت عوالم
• 3.3. انقلاب علمی دوم ایجاد مکانیک کلاسیک و علوم تجربی تجربی. تصویر مکانیکی از جهان
• 3.4. شیمی در دنیای مکانیکی
• 3.5. علوم طبیعی دوران معاصر و مسئله روش فلسفی
• 3.6. انقلاب علمی سوم گویش شناسی علوم طبیعی
• 3.7. پاکسازی علوم طبیعی
• 3.8. تحقیق در زمینه میدان الکترومغناطیسی و آغاز فروپاشی تصویر مکانیکی جهان
• I علوم طبیعی قرن XX
• 4.1 انقلاب علمی چهارم. نفوذ به اعماق ماده. نظریه نسبیت و مکانیک کوانتومی. فروپاشی نهایی تصویر مکانیکی جهان
• 4.2. انقلاب علمی و فناوری، مؤلفه علوم طبیعی و مراحل تاریخی آن
• 4.3. پانورامای علوم طبیعی مدرن 4.3.1. ویژگی های توسعه علم در قرن XX
• 4.3.2. فیزیک عالم صغیر و مگاجهان. فیزیک اتمی
• 4.3.3. دستاوردها در جهت های اصلی شیمی مدرن
• 4.3.4. زیست شناسی قرن بیستم: دانش سطح مولکولی زندگی. پیشینه زیست شناسی مدرن.
• 4.3.5. سایبرنتیک و سینرژتیک
• بخش III
• من فضا و زمان
• 1.1 توسعه ایده ها در مورد فضا و زمان در دوره پیش از نیوتنی
• 1. 2. فضا و زمان
• 1.3. برد دور و نزدیک. توسعه مفهوم "میدان"
• 2.1 اصل نسبیت گالیله
• 2.2. اصل کمترین عمل
• 2.3. نسبیت خاص الف. انیشتین
• 1. اصل نسبیت: همه قوانین طبیعت در همه چارچوب های مرجع اینرسی یکسان هستند.
• 2.4. عناصر نسبیت عام
• 3. قانون بقای انرژی در فرآیندهای ماکروسکوپی
• 3.1. "نیروی زنده"
• 3.2. در مکانیک کار کنید. قانون بقا و تبدیل انرژی در مکانیک
• 3.3. انرژی درونی
• 3.4. تبدیل انواع مختلف انرژی به یکدیگر
• 4. اصل افزایش آنتروپی
• 4.1. چرخه ایده آل کارنو
• 4.2. مفهوم آنتروپی
• 4.3. آنتروپی و احتمال
• 4.4. نظم و هرج و مرج. فلش زمان
• 4.5. "دیو ماکسول"
• 4.6. مشکل مرگ گرمایی کیهان. فرضیه نوسانات بولتزمن
• 4.7. سینرژتیک. تولد نظم از هرج و مرج
• I عناصر فیزیک کوانتومی
• 5.1. توسعه دیدگاه ها در مورد ماهیت نور. فرمول پلانک
• 5.2. انرژی، جرم و تکانه فوتون
• 5.3. فرضیه دی بروگلی. خواص موجی ماده
• 5.4. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ
• 5.5. اصل مکمل بودن بور
• 5.6. مفهوم یکپارچگی در فیزیک کوانتومی پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن
• 5.7. امواج احتمال معادله شرودینگر اصل علیت در مکانیک کوانتومی
• 5.8. حالات سیستم فیزیکی الگوهای پویا و آماری در طبیعت
• 5.9. فیزیک کوانتومی نسبیتی دنیای ضد ذرات نظریه میدان کوانتومی
• I به سوی ساخت یک نظریه میدان یکپارچه 6.1. قضیه نوتر و قوانین بقا
• 6.2. مفهوم تقارن
• 6.3. تقارن سنج
• 6.4. فعل و انفعالات. طبقه بندی ذرات بنیادی
• 6.5. به سوی یک نظریه میدان یکپارچه ایده شکست تقارن خلاء خود به خود
• 6.6. چشم انداز هم افزایی از تکامل کیهان. تاریخ گرایی اشیاء فیزیکی. خلاء فیزیکی به عنوان یک انتزاع اولیه در فیزیک
• 6.7. اصل آنتروپیک "تنظیم دقیق" کیهان
• بخش IV
• 1. شیمی در نظام «جامعه-طبیعت».
• I نام های شیمیایی
• بخش V
• I نظریه های منشأ حیات
• 1.1. خلقت گرایی
• 1.2. نسل خود به خود (خود به خودی).
• 1.3. نظریه حالت پایدار
• 1.4. تئوری پان اسپرمی
• 1.5. تکامل بیوشیمیایی
• 2.1. نظریه تکامل لامارک
• 2.2. داروین، والاس و منشا گونه ها از طریق انتخاب طبیعی
• 2.3. مفهوم مدرن تکامل
• 3.1. دیرینه شناسی
• 3.2. توزیع جغرافیایی
• 3.3. طبقه بندی
• 3.4. اصلاح نباتات و حیوانات
• 3.5. آناتومی مقایسه ای
• 3.6. تابش تطبیقی
• 3.7. جنین شناسی مقایسه ای
• 3.8. بیوشیمی تطبیقی
• 3.9. تکامل و ژنتیک
• بخش ششم انسان
• من خاستگاه انسان و تمدن
• 1.1. ظهور انسان
• 1.2. مشکل قوم زایی
• 1.3. پیدایش فرهنگی
• 1.4. پیدایش تمدن
• من انسان و زیست کره
• 7.1 مفهوم V.I. ورنادسکی درباره بیوسفر و پدیده انسان
• 7.2. چرخه های فضایی
• 7.3. چرخه تکامل. انسان به عنوان یک موجود کیهانی
• فهرست مطالب I
• بخش I. روش علمی 7
• بخش دوم. تاریخ علوم طبیعی 42
• بخش III. عناصر فیزیک مدرن 120
• بخش IV. مفاهیم اساسی و نمایش های شیمی246
• بخش پنجم. پیدایش و تکامل حیات 266
• بخش ششم مرد 307
• 344007، روستوف-آن-دون،
• 344019، روستوف-آن-دون، خ. Sovetskaya، 57. کیفیت چاپ مطابق با اسلایدهای ارائه شده است.

2.2. اصل کمترین عمل

در قرن هجدهم، انباشت و نظام‌بندی بیشتر نتایج علمی رخ داد که با تمایل به ترکیب دستاوردهای علمی فردی در یک تصویر کاملاً منظم و منسجم از جهان از طریق کاربرد سیستماتیک روش‌های تحلیل ریاضی برای مطالعه پدیده‌های فیزیکی مشخص شد. کار بسیاری از ذهن های درخشان در این راستا منجر به ایجاد نظریه اساسی یک برنامه تحقیقاتی مکانیکی - مکانیک تحلیلی شده است که بر اساس آن نظریه های بنیادی مختلفی ایجاد شده است که طبقه خاصی از مخروط ها را توصیف می کند.

پدیده ها: هیدرودینامیک، نظریه الاستیسیته، آیرودینامیک و غیره. یکی از مهم ترین نتایج مکانیک تحلیلی اصل کمترین عمل (اصل متغیر) است که برای درک فرآیندهای رخ داده در فیزیک در پایان قرن بیستم مهم است.

ریشه‌های پیدایش اصول تنوع در علم به یونان باستان بازمی‌گردد و با نام هرون از اسکندریه مرتبط است. ایده هر اصل تغییری این است که مقداری را تغییر دهیم (تغییر دهیم) مقداری را که مشخصه یک فرآیند معین است، و از بین همه فرآیندهای ممکن، یکی را انتخاب کنیم که برای آن این مقدار یک مقدار شدید (حداکثر یا حداقل) به خود بگیرد. هرون سعی کرد قوانین انعکاس نور را با تغییر مقدار مشخص کننده طول مسیری که پرتوی نور از یک منبع به ناظر زمانی که از آینه منعکس می‌شود، توضیح دهد. او به این نتیجه رسید که از بین همه مسیرهای ممکن، پرتوی از نور کوتاه‌ترین (از همه راه‌های ممکن هندسی) را انتخاب می‌کند.

در قرن هفدهم، دو هزار سال بعد، فرما، ریاضیدان فرانسوی، توجه را به اصل هرون جلب کرد، آن را به رسانه هایی با ضریب انکسار متفاوت تعمیم داد و بنابراین آن را از نظر زمانی دوباره فرموله کرد. اصل فرما بیان می کند که در یک محیط انکساری که خواص آن به زمان بستگی ندارد، یک پرتو نوری که از دو نقطه می گذرد مسیری را برای خود انتخاب می کند تا زمان لازم برای حرکت از نقطه اول به نقطه دوم حداقل باشد. به نظر می رسد که اصل هرون یک مورد خاص از اصل فرما برای رسانه هایی با ضریب شکست ثابت است.

اصل فرما توجه معاصران را به خود جلب کرد. او از یک سو به بهترین وجه ممکن به «اصل اقتصاد» در طبیعت، به برنامه عقلانی الهی تحقق یافته در ساختار جهان شهادت داد، از سوی دیگر، با نظریه جسمانی نور نیوتن مخالفت کرد. به گفته نیوتن، معلوم شد که در محیط های متراکم تر، سرعت نور باید بیشتر باشد، در حالی که از اصل فرما پیروی می کند که در چنین رسانه هایی سرعت نور کوچکتر می شود.

در سال 1740، ریاضیدان پیر لوئیس مورئو دو ماپرتویس، با تحلیل انتقادی اصل فرما و پیروی از اصول الهیاتی.

انگیزه های منطقی در مورد کمال و اقتصادی ترین آرایش جهان، که در اثر "در مورد قوانین مختلف طبیعت که ناسازگار به نظر می رسید" اصل حداقل عمل را اعلام کرد. Maupertuis کوتاه ترین زمان فرما را رها کرد و مفهوم جدیدی را معرفی کرد - اکشن. عمل برابر است با حاصل ضرب تکانه جسم (تکانه Р = mV) و مسیر طی شده توسط جسم. زمان هیچ مزیتی نسبت به فضا ندارد و بالعکس. بنابراین، نور نه کوتاه‌ترین مسیر و نه کوتاه‌ترین زمان را برای پیمودن آن انتخاب می‌کند، بلکه به گفته مائوپرتویس، «مسیری را انتخاب می‌کند که اقتصاد واقعی‌تری را به ارمغان می‌آورد: مسیری که طی می‌کند، مسیری است که در آن بزرگی کنش وجود دارد. حداقل است." اصل کمترین عمل بیشتر در آثار اویلر و لاگرانژ توسعه یافت. او مبنایی بود که بر اساس آن لاگرانژ حوزه جدیدی از تجزیه و تحلیل ریاضی - حساب تغییرات را ایجاد کرد. این اصل در آثار همیلتون بیشتر تعمیم و تکمیل شد. در شکل تعمیم یافته، اصل کمترین کنش از مفهوم کنش استفاده می کند که نه بر حسب حرکت، بلکه بر اساس تابع لاگرانژ بیان شده است. برای حالتی که یک ذره در یک میدان پتانسیل حرکت می کند، تابع لاگرانژ را می توان به عنوان اختلاف جنبشی نشان داد. و انرژی پتانسیل:

(مفهوم "انرژی" به تفصیل در فصل 3 این بخش مورد بحث قرار گرفته است.)

محصول را یک عمل ابتدایی می نامند. عمل کل مجموع همه مقادیر در کل بازه زمانی مورد بررسی است، به عبارت دیگر، کل عمل A:



معادلات حرکت یک ذره را می توان با استفاده از اصل کمترین عمل به دست آورد که بر اساس آن حرکت واقعی به گونه ای اتفاق می افتد که عمل شدید می شود، یعنی تغییر آن به 0 تبدیل می شود:



اصل تغییرات لاگرانژ-همیلتون به راحتی اجازه می دهد تا به سیستم های متشکل از غیر

چند (چند) ذره حرکت چنین سیستم هایی معمولاً در یک فضای انتزاعی (یک تکنیک ریاضی راحت) با تعداد زیادی ابعاد در نظر گرفته می شود. مثلاً برای N نقطه، مقداری فضای انتزاعی از 3N مختصات N ذره معرفی می‌شود که سیستمی به نام فضای پیکربندی را تشکیل می‌دهد. دنباله ای از حالت های مختلف سیستم با یک منحنی در این فضای پیکربندی - یک مسیر - نشان داده می شود. با در نظر گرفتن تمام مسیرهای ممکن که دو نقطه داده شده از این فضای 3N بعدی را به هم وصل می کنند، می توان مطمئن شد که حرکت واقعی سیستم مطابق با اصل کمترین عمل اتفاق می افتد: در بین تمام مسیرهای ممکن، مسیری که عمل برای آن بسیار زیاد است. تمام فاصله زمانی حرکت محقق می شود.

هنگام به حداقل رساندن عمل در مکانیک کلاسیک، معادلات اویلر-لاگرانژ به دست می آید که ارتباط آن با قوانین نیوتن کاملاً مشخص است. معادلات اویلر-لاگرانژ برای لاگرانژ میدان الکترومغناطیسی کلاسیک معادلات ماکسول هستند. بنابراین، می بینیم که استفاده از لاگرانژ و اصل کمترین عمل به فرد امکان می دهد دینامیک ذرات را تنظیم کند. با این حال، لاگرانژی یک ویژگی مهم دیگر دارد، که فرمالیسم لاگرانژی را به اصلی ترین مورد در حل تقریباً همه مسائل فیزیک مدرن تبدیل کرد. واقعیت این است که همراه با مکانیک نیوتنی در فیزیک، قبلاً در قرن نوزدهم، قوانین بقای برخی از کمیت های فیزیکی تدوین شد: قانون بقای انرژی، قانون بقای تکانه، قانون بقای تکانه زاویه ای، قانون. پایستگی بار الکتریکی تعداد قوانین حفاظت در ارتباط با توسعه فیزیک کوانتومی و فیزیک ذرات بنیادی در قرن ما حتی بیشتر شده است. این سوال مطرح می شود که چگونه می توان مبنای مشترکی برای نوشتن معادلات حرکت (مثلاً قوانین نیوتن یا معادلات ماکسول) و کمیت های حفظ شده در زمان پیدا کرد. معلوم شد که چنین مبنایی استفاده از فرمالیسم لاگرانژی است، زیرا لاگرانژی یک نظریه خاص با توجه به تبدیل‌های متناظر با فضای انتزاعی خاص در نظر گرفته شده در این نظریه، ثابت می‌شود (بدون تغییر) که منجر به حفظ می‌شود. قوانین این ویژگی های لاگرانژی

به مصلحت تدوین نظریه های فیزیکی به زبان لاگرانژی منجر نشد. تحقق این شرایط به دلیل ظهور نظریه نسبیت اینشتین به فیزیک رسید.

"





 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• یولاندا حدید: داستان دشوار زندگی یک زن قوی;
• ویکتوریا از خانه 2 اکنون;
• روش اصلی کاهش وزن سلنا گومز چگونه سلنا گومز وقتی لاغر بود غذا می خورد;
• جذاب ترین صحنه های فصل اول صحنه های رختخواب The Vampire Diaries;
• زین مالک در MITAM: من قطعاً این آلبوم را نمی‌خرم;
• برد پیت با سلنا گومز قرار می گیرد برد پیت با سلنا گومز قرار می گیرد;
• بوریس نیکولاویچ یلتسین که بود یلتسین چه مدت در قدرت بود;
• آنچه واقعاً در دهه نود اتفاق افتاد;