روی تخته سیاه 100 عدد مختلف نوشته شده است.

ارسال شده در 1397/03/14


5 (100%) 1 رای

100 چیز مختلف روی تخته سیاه نوشته شده است. اعداد طبیعی، و معلوم است که مجموع این اعداد 5120 است.

الف) عدد 230 را می توان روی تخته سیاه نوشت؟

ب) آیا ممکن است عدد 14 روی تخته سیاه نوشته نشده باشد؟

ج) کوچکترین عدد مضرب 14 نوشته شده روی تخته چند است؟

چگونه تصمیم بگیریم؟ ترجیحا زیر همه حروف.

ریاضیات،

تحصیلات

پاسخ

اظهار نظر

به موارد دلخواه

غمگینی

2 دقیقه پیش

آ)بیایید گزینه ای را محاسبه کنیم که مجموع آن کوچکترین باشد. به طور طبیعی، این فقط مجموع صد عدد اول است، یعنی. 1+2+3…+100 . می‌توانید با مرتب‌سازی شمارش کنید، یا می‌توانید از فرمول استفاده کنید. مقادیر پیشرفت حسابی ".

حالا بیایید مقدار را محاسبه کنیم. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

ما باید به نوعی تلاش کنیم تا هر عددی را در سری خود جایگزین کنیم 230 . بیایید دریابیم که چه مقداری از مقدار داده شده در شرایط کم داریم: 5120-5050=70 ، بله، و بیشترین تعداد در سریال ما چه بوده است؟ درست، 100 . معلوم می شود که بزرگترین عددی که می توانیم هر عددی از سری خود را با آن جایگزین کنیم، است 170 . بنابراین اعداد 230 در یک ردیف هیچ راهی وجود ندارد.

بدون پاسخ؛

ب)بیایید آن را یک ردیف بگیریم، از 1 تا 100، اما بیایید شماره را از آنجا حذف کنیم 14 و سعی کنید آن را با یکی دیگر جایگزین کنید. به عنوان مثال، بیایید سعی کنیم کوچکترین عدد را بعد از آن بگیریم 100 ، برای مثال 101 و جایگزینی ایجاد کنید. مجموع صد عدد اولما پیدا کردیم، به این معنی که برای جایگزینی، ما نیاز داریم 14 را از آن کم کنیدو اضافه کردن مقدار جدید 101: 5050-14+101=5137 -. متأسفانه شرط می گوید که مقدار برابر است 5120 پس افسوس شماره 14 را نمی توان از لیست ما حذف کرد.

پاسخ: ب) خیر؛

V)همه مضرب ها را پیدا کنید 14 از سری ما از 1 تا 100). راه‌های زیادی برای یافتن مقادیر متعدد وجود دارد، اما در مورد ما، تعداد آن‌قدر زیاد نیست، می‌توان آنها را به صورت دستی مرتب کرد، با اضافه کردن یک سری به دست می‌آوریم: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . مجموع 7 مضرب از 14. حالا بیایید سعی کنیم آنها را با موارد بیشتری جایگزین کنیم ارزش های بزرگمضرب 14 نیست، زیرا در این لحظه, جمع ما 5050 است. بیایید بزرگترین عدد مضرب را با کوچکترین عددهای استفاده نشده جایگزین کنیم: 98 تا 101;

جمع ما می شود: (101-98)+5050=5053- ;

مبلغ: (102-84)+5053=5071-;

هنوز جا هست، ادامه می دهیم. بیایید 70 را با 103 جایگزین کنیم;

مقدار: (103-70)+5071=5104-;

5104 ، هنوز کمتر از 5120، پس بیایید ادامه دهیم. 56 را با 104 جایگزین می کنیم;

مقدار: (104-56)+5104=5152-;

بیش از نیاز به دست آورد، به این معنی است که شما نیاز دارید

روی تخته سیاه 100 عدد طبیعی مختلف با مجموع 5120 نوشته شده است.

الف) عدد 230 را می توان نوشت؟

ب) آیا بدون عدد 14 امکان پذیر است؟

ج) کوچکترین تعداد مضرب 14 که می تواند روی تخته باشد چند است؟

راه حل.

الف) عدد 230 و 99 اعداد طبیعی مختلف دیگر روی تابلو نوشته شود. حداقل مجموع ممکن اعداد روی تخته با شرطی به دست می آید که مجموع 99 عدد طبیعی مختلف حداقل باشد. و این به نوبه خود در صورتی امکان پذیر است که 99 عدد طبیعی مختلف یک تصاعد حسابی با عضو اول و یک تفاوت باشند.

مجموع تمام اعداد روی تخته اسبرابر خواهد بود با:

به راحتی می توان دید که مجموع حاصل بزرگتر از 5120 است، به این معنی که هر مجموع 100 عدد طبیعی مختلف، که در میان آنها 230 وجود دارد، بزرگتر از 5120 است، بنابراین، عدد 230 نمی تواند روی تابلو باشد.

ب) عدد 14 روی تابلو نوشته نشود در این صورت حداقل مقدار ممکن اساعداد روی تخته از دو مجموع پیشرفت های حسابی تشکیل می شوند: مجموع 13 جمله اول پیشرفت با جمله اول، تفاوت (یعنی سری 1،2،3،..13) و مجموع 87 ترم اول پیشرفت با عضو اول، تفاوت (یعنی سری 15،16،17،..101). بیایید این مقدار را پیدا کنیم:

به راحتی می توان دید که مجموع حاصل بزرگتر از 5120 است، به این معنی که هر مجموع 100 عدد طبیعی مختلف، که در میان آنها 14 وجود ندارد، بزرگتر از 5120 است، بنابراین، بدون عدد 14 روی تخته نمی توان کار کرد.

ج) فرض کنید تمام اعداد از 1 تا 100 روی تخته نوشته شده است سپس معلوم می شود که سری حاصل یک تصاعد حسابی با عضو اول یعنی تفاوت است. مجموع تمام اعداد روی تابلو:

مقدار حاصل شرایط مشکل را برآورده نمی کند. حال برای اینکه مجموع تمام اعداد نوشته شده روی تابلو را به عددی که در شرط مشخص شده است افزایش دهیم، سعی می کنیم اعدادی را که مضرب 14 هستند با اعداد دیگری پس از صد جایگزین کنیم: 70 با 110، 84 جایگزین می شود. توسط 104 و 98 در 108. مجموع حاصل اسبرابر خواهد بود با:

با جایگزینی بیشتر اعدادی که مضرب 14 هستند با اعداد بزرگتر از 100، مجموع افزایش می یابد و با شرایط مسئله مطابقت نخواهد داشت. پس کمترین تعداد مضرب 14 4 است.

اجازه دهید راه حل دیگری برای قسمت ج ارائه دهیم).

بیایید مثالی بزنیم که چهار عدد مضرب 14 (14، 28، 42، 56) روی تخته نوشته شود:

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

اجازه دهید ثابت کنیم که نمی توان سه عدد مضرب 14 وجود داشته باشد. برای حذف حداکثر تعداد اعدادی که مضرب 14 هستند، لازم است که تفاوت بین اعداد جدید و قدیم حداقل باشد. یعنی باید بزرگ ترین اعداد مضرب 14 را با کوچکترین اعداد ممکن بزرگتر از صد جایگزین کرد. تعداد اعدادی که مضرب 14 هستند 3 باشد. سپس حداقل مجموع اعدادی که روی تخته نوشته شده است:

مجموع حاصل بزرگتر از 5120 است. با جایگزینی بیشتر اعدادی که مضرب 14 هستند با اعداد بزرگتر از 100، مجموع افزایش می یابد، به این معنی که نمی توان کمتر از چهار عدد مضرب 14 روی تخته وجود داشته باشد.

الف) خیر ب) خیر ج) 4.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای موفقیت است قبولی در امتحاندر ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده. جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه حل مسائل پیچیده قسمت 2 آزمون.

منبع جستجو: تصمیم 3754. آزمون دولتی واحد 2016. ریاضیات، I. V. Yashchenko. 30 نوع از وظایف تست معمولی.

وظیفه 19. 20 عدد طبیعی (الزاماً متفاوت) روی تخته نوشته شده بود که هر کدام از 40 بیشتر نمی شود. به جای تعدادی از اعداد (شاید یکی)، اعدادی روی تابلو نوشته شده بودند که یک عدد کمتر از اعداد اصلی بودند. اعدادی که بعد از آن مشخص شد برابر با 0 بودند از روی تابلو پاک شدند.

الف) آیا ممکن است میانگین حسابی اعداد روی تخته افزایش یافته باشد؟

ب) میانگین حسابی اعدادی که در ابتدا نوشته شده بودند 27 بود. آیا میانگین حسابی اعداد باقی مانده روی تخته می تواند 34 باشد؟

ج) میانگین حسابی اعدادی که در ابتدا نوشته شده بودند 27 بود. بزرگترین میانگین ممکن را از میانگین حسابی اعداد باقی مانده روی تخته بیابید.

راه حل.

آ)بله، شاید مثلاً اگر 19 عدد را برابر با 10 بگیرید و 20م برابر با 1 باشد، پس از کاهش عدد بیستم به 1، تبدیل به 0 شود و مقدار میانگین دیگر 20 عدد نباشد، بلکه 19 باشد. ما داریم:

مقدار متوسط ​​اولیه: ;

مقدار متوسط ​​پس از تغییر: .

همانطور که می بینید، مقدار متوسط ​​دوم از مقدار اصلی بزرگتر شده است.

ب)فرض کنید برای انجام این شرط، باید یک ها را بگیرید، سپس اعداد و یک عدد، در مجموع 20 عدد را بگیرید. میانگین حسابی آنها خواهد بود

,

و پس از پاک کردن واحدها باید دریافت کنند

,

یعنی ما یک سیستم معادلات داریم:

با کم کردن معادله دوم از معادله اول به دست می آید:

بنابراین، برای انجام شرط این پاراگراف، باید تعداد کسری از اعداد را بگیرید که در چارچوب این کار غیرممکن است.

پاسخ:خیر

V)برای به دست آوردن حداکثر میانگین اعداد باقی مانده روی تخته، ابتدا باید مجموعه ای از اعداد متشکل از بیشترین تعدادواحدها (که پس از آن از صفحه پاک می شوند)، و اعداد باقی مانده باید حداکثر باشند. این شرط را در فرم می نویسیم

,

تعداد واحدها کجاست - شماره 20 (برای ارائه میانگین 27 انتخاب شده است). از این رو داریم:

از عبارت به دست آمده می توان دریافت که حداقل مقدار، که در آن مقدار حداکثر را به دست می آوریم. بنابراین، دنباله ای از اعداد داریم که مجموع آنها برابر است

 

شاید خواندن آن مفید باشد: