تفاوت پیشرفت چیست؟ چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم؟ مثال های پیشروی حسابی با حل

بسیاری از مردم در مورد پیشرفت محاسباتی شنیده‌اند، اما همه نمی‌دانند که آن چیست. در این مقاله ما تعریف مربوطه را ارائه می دهیم و همچنین به این سؤال می پردازیم که چگونه تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم و تعدادی مثال ارائه می دهیم.

تعریف ریاضی

بنابراین اگر ما در مورددر مورد پیشرفت حسابی یا جبری (این مفاهیم یک چیز را تعریف می کنند)، به این معنی است که یک سری عددی مشخص وجود دارد که برآورده می کند قانون بعدی: هر دو عدد مجاور در یک سری با یک مقدار متفاوت هستند. از نظر ریاضی به این صورت نوشته شده است:

در اینجا n به معنای تعداد عنصر a n در دنباله است و عدد d تفاوت پیشروی است (نام آن از فرمول ارائه شده است).

دانستن تفاوت d به چه معناست؟ در مورد اینکه اعداد همسایه چقدر از یکدیگر فاصله دارند. با این حال، آگاهی از d شرط لازم اما کافی برای تعیین (بازیابی) کل پیشرفت است. لازم است یک عدد دیگر بدانید که می تواند مطلقاً هر عنصر از سری مورد بررسی باشد، به عنوان مثال، 4، a10، اما، به عنوان یک قاعده، آنها از اولین عدد، یعنی یک 1 استفاده می کنند.

فرمول هایی برای تعیین عناصر پیشرفت

به طور کلی، اطلاعات بالا از قبل برای حرکت به سمت حل مشکلات خاص کافی است. با این وجود، قبل از اینکه پیشرفت محاسباتی داده شود، و لازم باشد تفاوت آن را پیدا کنیم، یک زوج ارائه می کنیم. فرمول های مفید، در نتیجه روند بعدی حل مشکلات را تسهیل می کند.

به راحتی می توان نشان داد که هر عنصری از دنباله با عدد n را می توان به صورت زیر یافت:

a n = a 1 + (n - 1) * d

در واقع، هر کسی می‌تواند این فرمول را با جستجوی ساده بررسی کند: اگر n = 1 را جایگزین کنید، اولین عنصر را دریافت می‌کنید، اگر n = 2 را جایگزین کنید، سپس عبارت مجموع عدد اول و تفاوت را نشان می‌دهد و غیره.

شرایط بسیاری از مسائل به گونه ای تشکیل شده است که با توجه به یک جفت اعداد شناخته شده که اعداد آنها نیز در دنباله آورده شده است، لازم است کل سری اعداد بازسازی شود (تفاوت و عنصر اول را بیابید). حال این مشکل را به صورت کلی حل می کنیم.

بنابراین، اجازه دهید دو عنصر با اعداد n و m داده شود. با استفاده از فرمول به دست آمده در بالا، می توانید یک سیستم از دو معادله ایجاد کنید:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

برای یافتن مقادیر مجهول، از یک تکنیک ساده و شناخته شده برای حل چنین سیستمی استفاده می کنیم: طرف چپ و راست را جفت تفریق کنید، تساوی معتبر باقی می ماند. ما داریم:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

بنابراین، ما یک مجهول (a 1) را حذف کردیم. حال می توانیم عبارت نهایی را برای تعیین d بنویسیم:

d = (a n - a m) / (n - m)، که در آن n > m

ما یک فرمول بسیار ساده دریافت کردیم: برای محاسبه تفاوت d مطابق با شرایط مسئله، فقط باید نسبت تفاوت بین خود عناصر و شماره سریال آنها را در نظر گرفت. باید به یکی توجه کرد نکته مهمتوجه: تفاوت ها بین "بالاترین" و "پایین ترین" اعضا گرفته می شود، یعنی n > m ("بالاترین" به معنای آن است که از ابتدای دنباله دورتر است، قدر مطلق آن می تواند بزرگتر یا کمتر از عنصر "جوان").

عبارت تفاوت پیشروی d باید در ابتدای حل مسئله در هر یک از معادلات جایگزین شود تا مقدار جمله اول به دست آید.

در عصر توسعه فناوری رایانه ما، بسیاری از دانش‌آموزان سعی می‌کنند راه‌حل‌هایی برای تکالیف خود در اینترنت بیابند، بنابراین سؤالاتی از این نوع اغلب مطرح می‌شود: تفاوت یک پیشرفت حسابی را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای چنین درخواستی، موتور جستجو تعدادی صفحه وب را برمی گرداند که با رفتن به آنها باید داده های شناخته شده از شرایط را وارد کنید (این می تواند دو عبارت پیشرفت یا مجموع تعداد معینی از آنها باشد. ) و فوراً پاسخ دریافت کنید. با این حال، این رویکرد برای حل مشکل از نظر رشد و درک دانش آموز از ماهیت وظیفه ای که به او محول شده است، بی ثمر است.

راه حل بدون استفاده از فرمول

بیایید مشکل اول را بدون استفاده از هیچ یک از فرمول های داده شده حل کنیم. اجازه دهید عناصر سری داده شوند: a6 = 3، a9 = 18. تفاوت پیشروی حسابی را پیدا کنید.

عناصر شناخته شده در یک ردیف نزدیک به یکدیگر ایستاده اند. اختلاف d را چند برابر باید به کوچکترین اضافه کرد تا بزرگترین حاصل شود؟ سه بار (اولین بار با اضافه کردن d، عنصر 7 را دریافت می کنیم، بار دوم - هشتم، در نهایت، بار سوم - نهمین). برای بدست آوردن 18 چه عددی باید سه بار به سه اضافه شود؟ این عدد پنج است. واقعا:

بنابراین، تفاوت مجهول d = 5.

البته راه حل می توانست با استفاده از فرمول مناسب انجام شود، اما این کار عمدی انجام نشده است. توضیح مفصلراه حل مشکل باید روشن شود و یک نمونه درخشانپیشروی حسابی چیست؟

کاری شبیه به کار قبلی

حالا بیایید یک مشکل مشابه را حل کنیم، اما داده های ورودی را تغییر دهید. بنابراین، باید پیدا کنید که a3 = 2، a9 = 19.

البته، می توانید دوباره به روش راه حل "هدر رو" متوسل شوید. اما از آنجایی که عناصر سریال ارائه شده است که نسبتاً از یکدیگر فاصله دارند، این روش کاملاً مناسب نخواهد بود. اما استفاده از فرمول به‌سرعت ما را به پاسخ می‌رساند:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

در اینجا عدد نهایی را گرد کرده ایم. میزانی که این گرد کردن منجر به خطا شده است را می توان با بررسی نتیجه قضاوت کرد:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

این نتیجه تنها 0.1٪ با مقدار داده شده در شرایط متفاوت است. بنابراین می توان گرد کردن به صدم را در نظر گرفت انتخاب موفق.

مشکلات مربوط به استفاده از فرمول برای یک عبارت

بیایید یک مثال کلاسیک از یک مسئله را برای تعیین مجهول d در نظر بگیریم: تفاوت یک پیشرفت حسابی را اگر a1 = 12، a5 = 40 پیدا کنید.

وقتی دو عدد از یک دنباله جبری مجهول داده می شود و یکی از آنها عنصر a 1 است، دیگر نیازی به فکر کردن طولانی نیست، بلکه باید فوراً فرمول عبارت a n را اعمال کنید. که در در این موردما داریم:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

گرفتیم عدد دقیقهنگام تقسیم، بنابراین بررسی صحت نتیجه محاسبه شده، همانطور که در پاراگراف قبلی انجام شد، فایده ای ندارد.

بیایید یک مشکل مشابه دیگر را حل کنیم: ما باید تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم اگر a1 = 16، a8 = 37.

ما از روشی مشابه روش قبلی استفاده می کنیم و دریافت می کنیم:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

چه چیز دیگری باید در مورد پیشرفت حسابی بدانید؟

علاوه بر مشکلات یافتن یک تفاوت مجهول یا عناصر منفرد، اغلب لازم است مسائل حاصل از مجموع جمله های اول یک دنباله حل شود. در نظر گرفتن این مشکلات خارج از حوصله مقاله است، اما برای کامل شدن اطلاعات، فرمولی کلی برای مجموع n عدد در یک سری ارائه می دهیم:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2


به عنوان مثال، دنباله \(2\); \(5\); \(8\); \(یازده\)؛ \(14\)... یک تصاعد حسابی است، زیرا هر عنصر بعدی با عنصر قبلی سه تفاوت دارد (با جمع سه عنصر می توان از عنصر قبلی به دست آورد):

در این پیشرفت، تفاوت \(d\) مثبت است (برابر با \(3\)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.

با این حال، \(d\) همچنین می تواند یک عدد منفی باشد. مثلا، در پیشروی حسابی \(16\); \(10\)؛ \(4\); \(-2\); \(-8\)... اختلاف پیشرفت \(d\) برابر با منهای شش است.

و در این صورت هر عنصر بعدی کوچکتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش.

نماد پیشرفت حسابی

پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.

اعدادی که یک پیشروی را تشکیل می دهند نامیده می شوند اعضا(یا عناصر).

آنها با همان حرف به عنوان یک پیشرفت حسابی نشان داده می شوند، اما با یک شاخص عددی برابر با تعداد عنصر به ترتیب.

برای مثال، پیشروی حسابی \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) از عناصر \(a_1=2\) تشکیل شده است. \(a_2=5\); \(a_3=8\) و غیره.

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل پیشروی حسابی

در اصل، اطلاعات ارائه شده در بالا برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(b_1=7; d=4\) مشخص می شود. \(b_5\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_5=23\)

مثال (OGE). سه جمله اول یک تصاعد حسابی آورده شده است: \(62; 49; 36…\) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

اولین عناصر دنباله به ما داده شده است و می دانیم که این یک پیشرفت حسابی است. یعنی هر عنصر با همسایه خود به همان تعداد متفاوت است. بیایید با کم کردن عنصر قبلی از عنصر بعدی دریابیم که کدام یک: \(d=49-62=-13\).

اکنون می توانیم پیشرفت خود را به عنصر (نفی اول) مورد نیاز خود بازگردانیم.

آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). با توجه به چندین عنصر متوالی یک پیشروی حسابی: \(…5; x; 10; 12.5...\) مقدار عنصر مشخص شده با حرف \(x\) را بیابید.
راه حل:


برای پیدا کردن \(x\)، باید بدانیم که عنصر بعدی چقدر با عنصر قبلی تفاوت دارد، به عبارت دیگر، تفاوت پیشرفت. بیایید آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا کنیم: \(d=12.5-10=2.5\).

و اکنون می‌توانیم به راحتی آنچه را که به دنبال آن هستیم پیدا کنیم: \(x=5+2.5=7.5\).


آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط زیر تعریف می شود: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

ما باید مجموع شش ترم اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما معانی آنها را نمی دانیم؛ تنها عنصر اول به ما داده شده است. بنابراین، ابتدا مقادیر را یک به یک با استفاده از آنچه به ما داده شده محاسبه می کنیم:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
و با محاسبه شش عنصر مورد نیاز، مجموع آنها را پیدا می کنیم.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

مقدار مورد نیاز پیدا شده است.

پاسخ: \(S_6=9\).

مثال (OGE). در پیشروی حسابی \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). تفاوت این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(d=7\).

فرمول های مهم برای پیشرفت حسابی

همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل مربوط به پیشرفت حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید. تفاوت پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات موقعیت‌هایی پیش می‌آید که تصمیم‌گیری «سر به سر» بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در اولین مثال ما نیاز داریم نه عنصر پنجم \(b_5\)، بلکه سیصد و هشتاد و ششمین \(b_(386)\) را پیدا کنیم. آیا باید چهار \(385\) بار اضافه کنیم؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. از شمردن خسته میشی...

بنابراین، در چنین مواردی، آنها مسائل را "سر به سر" حل نمی کنند، بلکه از فرمول های ویژه ای استفاده می کنند که برای پیشرفت حسابی به دست آمده است. و اصلی ترین آنها فرمول nامین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \(n\) اولین جمله ها هستند.

فرمول \(n\)امین عبارت: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، که در آن \(a_1\) اولین جمله پیشرفت است.
\(n\) - تعداد عنصر مورد نیاز.
\(a_n\) - مدت پیشرفت با عدد \(n\).


این فرمول به ما این امکان را می دهد که حتی عنصر سه صدم یا میلیونی را به سرعت پیدا کنیم، تنها با دانستن اولین و تفاوت پیشرفت.

مثال. پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_(246)=1850\).

فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، که در آن



\(a_n\) - آخرین ترم جمع شده؛


مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(a_n=3.4n-0.6\) مشخص می شود. مجموع اولین \(25\) عبارت های این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)

برای محاسبه مجموع بیست و پنج جمله اول باید ارزش جمله اول و بیست و پنجم را بدانیم.
پیشرفت ما با فرمول ترم n بسته به تعداد آن داده می شود (برای جزئیات بیشتر، نگاه کنید به). بیایید اولین عنصر را با جایگزین کردن یکی به جای \(n\) محاسبه کنیم.

\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)

حالا بیایید عبارت بیست و پنجم را با جایگزین کردن بیست و پنج به جای \(n\) پیدا کنیم.

\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)

خوب حالا به راحتی می توانیم مقدار مورد نیاز را محاسبه کنیم.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(25)=1090\).

برای مجموع \(n\) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) به جای \(a_n\) فرمول را جایگزین کنید \(a_n=a_1+(n-1)d\). ما گرفتیم:

فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، جایی که

\(S_n\) - مجموع مورد نیاز \(n\) عناصر اولیه.
\(a_1\) - اولین ترم جمع شده؛
\(d\) - تفاوت پیشرفت؛
\(n\) - تعداد عناصر در کل.

مثال. مجموع اولین ترم های \(33\)-ex پیشروی حسابی را بیابید: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
راه حل:

پاسخ: \(S_(33)=-231\).

مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی

اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. بیایید موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان برسانیم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه کمی فکر کنید (در ریاضیات این می تواند مفید باشد ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام عبارات منفی پیشرفت را بیابید: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
راه حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

کار بسیار شبیه به کار قبلی است. ما شروع به حل یک چیز می کنیم: ابتدا \(d\) را پیدا می کنیم.

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

اکنون می‌خواهم \(d\) را در فرمول جمع قرار دهم... و در اینجا یک تفاوت ظریف ظاهر می‌شود - ما \(n\) را نمی‌دانیم. به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عبارت باید اضافه شود. چگونه متوجه شویم؟ بیایید فکر کنیم. وقتی به اولین عنصر مثبت رسیدیم اضافه کردن عناصر را متوقف خواهیم کرد. یعنی باید تعداد این عنصر را دریابید. چگونه؟ بیایید فرمول محاسبه هر عنصر یک پیشرفت حسابی را بنویسیم: \(a_n=a_1+(n-1)d\) برای مورد خود.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)

ما باید \(a_n\) را بزرگتر از صفر کنیم. بیایید دریابیم که در چه زمانی \(n\) این اتفاق خواهد افتاد.

\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)

\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)

هر دو طرف نابرابری را بر \(0.3\) تقسیم می کنیم.

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

منهای یک را منتقل می کنیم، فراموش نمی کنیم که علائم را تغییر دهیم

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

بیا حساب کنیم...

\(n>65,333…\)

...و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت دارای عدد \(66\) خواهد بود. بر این اساس، آخرین منفی دارای \(n=65\) است. در هر صورت، بیایید این را بررسی کنیم.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)

بنابراین باید اولین عناصر \(65\) را اضافه کنیم.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

پاسخ آماده است.

پاسخ: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). حاصل جمع از \(26\)th تا عنصر \(42\) را بیابید.
راه حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

در این مشکل شما همچنین باید مجموع عناصر را پیدا کنید، اما نه از اول، بلکه از \(26\)th. برای چنین موردی فرمولی نداریم. چگونه تصمیم بگیریم؟
آسان است - برای به دست آوردن مجموع از \(26\)ام به \(42\)ام، ابتدا باید مجموع \(1\)ام به \(42\)ام را پیدا کنید و سپس از آن کم کنید. از آن مجموع از اول تا \(25\)ام (تصویر را ببینید).


برای پیشرفت \(a_1=-33\)، و تفاوت \(d=4\) (در آخر، ما چهار عنصر را به عنصر قبلی اضافه می کنیم تا عنصر بعدی را پیدا کنیم). با دانستن این موضوع، مجموع اولین عناصر \(42\)-y را پیدا می کنیم.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

اکنون مجموع اولین عناصر \(25\).

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

و در نهایت پاسخ را محاسبه می کنیم.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

پاسخ: \(S=1683\).

برای پیشروی حسابی چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفتیم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.

مجموع یک تصاعد حسابی.

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا بیایید معنی و فرمول مقدار را درک کنیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) معنی مقدار به سادگی یک مو است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام عبارات آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت فرمول به کمک می آید.

فرمول مقدار ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این موضوع خیلی چیزها را روشن می کند.

S n - مجموع یک تصاعد حسابی. نتیجه اضافه هر کساعضا، با اولینتوسط آخر.مهم است. آنها دقیقاً جمع می شوند همهاعضا پشت سر هم، بدون پرش یا پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در مسائلی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم، یا مجموع ترم های پنجم تا بیستم، استفاده مستقیم از فرمول ناامید کننده خواهد بود.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره سریال. نام چندان آشنا نیست، اما وقتی روی مقدار اعمال شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n - شماره آخرین عضو درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اصطلاحات اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال مشکل: کدام عضو خواهد بود آخریناگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟)

برای پاسخ با اطمینان، باید معنای ابتدایی پیشرفت حسابی را درک کنید و ... کار را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت یک مبلغ نهایی و مشخص به سادگی وجود نداردبرای حل، مهم نیست که پیشرفت داده شود: متناهی یا نامتناهی. مهم نیست چگونه داده می شود: یک سری اعداد یا یک فرمول برای ترم n.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. همه اینها در وظیفه است اطلاعات ارزشمنداغلب رمزگذاری شده است، بله... اما مهم نیست، در مثال های زیر این اسرار را فاش می کنیم.)

نمونه هایی از کارها بر روی مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارهایی که شامل مجموع یک پیشروی حسابی است در تعیین صحیح عناصر فرمول نهفته است.

وظیفه نویسان دقیقاً همین عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، کافی است به سادگی آنها را رمزگشایی کنیم. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار مبتنی بر یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول آن را بیابید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار با استفاده از فرمول، چه چیزهایی باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره آخرین عضو n

از کجا می توانم شماره آخرین عضو را دریافت کنم؟ n? بله، همانجا، به شرطی! می گوید: جمع را پیدا کن 10 عضو اولخوب، با چه شماره ای خواهد بود؟ آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، و به جاش n- ده تکرار می کنم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا مطابقت دارد.

باقی مانده است که مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با استفاده از فرمول ترم n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید؟ در درس قبلی شرکت کنید، بدون این هیچ راهی وجود ندارد.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

ما به معنای تمام عناصر فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی پی برده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

خودشه. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به یک تصاعد حسابی (an)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 = 2.3. مجموع 15 جمله اول آن را بیابید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عبارتی را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

باقی مانده است که همه عناصر را در فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کرده و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nما به سادگی فرمول را برای ترم n جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

بیایید موارد مشابه را ارائه کنیم و یک فرمول جدید برای مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی به دست آوریم:

همانطور که می بینید، در اینجا لازم نیست ترم نهم a n. در برخی مشکلات این فرمول کمک زیادی می کند، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. یا می توانید به سادگی آن را در زمان مناسب مانند اینجا نمایش دهید. پس از همه، شما همیشه باید فرمول جمع و فرمول ترم n را به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به صورت رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع همه مثبت ها را بیابید اعداد دو رقمیمضرب سه.

وای! نه عضو اولت، نه آخرین و نه پیشرفت اصلا... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از مجموع پیشرفت حسابی را از شرط بیرون بکشید. ما می دانیم که اعداد دو رقمی چیست. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) A آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که بر سه بخش پذیرند، اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. از قبل می توانید یک سری را با توجه به شرایط مشکل بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ قطعا! هر ترم با ترم قبلی کاملاً سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 را به یک عبارت اضافه کنید، بگویید نتیجه، یعنی. عدد جدید دیگر بر 3 بخش پذیر نیست. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی را تعیین کنید: d = 3.به کار خواهد آمد!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

عدد چقدر خواهد بود؟ nآخرین عضو؟ هر کس فکر می کند که 99 به شدت در اشتباه است... اعداد همیشه پشت سر هم می روند، اما اعضای ما از سه می پرند. مطابقت ندارند

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق العاده سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را یادداشت کنید و تعداد اعضا را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول را برای مسئله خود اعمال کنیم، متوجه می شویم که 99 عبارت سی ام پیشرفت است. آن ها n = 30.

بیایید به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما از بیانیه مشکل هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود بیرون کشیدیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبات ابتدایی است. اعداد را جایگزین فرمول می کنیم و محاسبه می کنیم:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل محبوب:

4. با توجه به یک پیشرفت حسابی:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهار را بیابید.

فرمول مبلغ را نگاه می کنیم و... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، مقدار را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می‌توانید کل پیشرفت را در یک سری بنویسید و عبارت‌های 20 تا 34 را اضافه کنید.

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - از بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را با مجموع شرایط قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

از این می توانیم ببینیم که مجموع را پیدا می کنیم S 20-34می توان با تفریق ساده انجام داد

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مقدار در سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. بیا شروع کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از عبارت مشکل استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. ما آنها را با استفاده از فرمول ترم n، مانند مسئله 2، محاسبه می کنیم:

یک 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

یک 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

چیزی باقی نمانده از مجموع 34 جمله، مجموع 19 جمله را کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یک نکته مهم! یک ترفند بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر نمی رسد مورد نیاز باشد - S 1-19.و بعد تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. این نوع "تظاهرات با گوش" اغلب شما را از مشکلات بد نجات می دهد.)

در این درس به مسائلی پرداختیم که برای درک معنای مجموع یک پیشرفت حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای که شامل مجموع یک پیشرفت حسابی است، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول ترم n:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که برای حل مشکل به دنبال چه چیزی باشید و در چه جهتی فکر کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مشکل 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول آن را بیابید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین مشکلاتی اغلب در آکادمی علوم دولتی یافت می شود.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به شخص مورد علاقه ام (خودم) چند روز شادی بدهم). زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

آیا دشوار است؟) فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

پیشروی حسابی مجموعه ای از اعداد است که در آن هر عدد به همان مقدار بزرگتر (یا کمتر) از عدد قبلی است.

این موضوع اغلب پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. شاخص های حروف، ترم n ام پیشرفت، تفاوت پیشرفت - همه اینها به نوعی گیج کننده است، بله ... بیایید معنی پیشرفت حسابی را بفهمیم و همه چیز فوراً بهتر می شود.)

مفهوم پیشرفت حسابی.

پیشروی حسابی مفهومی بسیار ساده و واضح است. آیا شما شک دارید؟ بیهوده.) خودتان ببینید.

من یک سری اعداد ناتمام می نویسم:

1, 2, 3, 4, 5, ...

میشه این سریال رو تمدید کنید چه اعدادی بعد از پنج می آیند؟ همه... اوه... خلاصه همه متوجه خواهند شد که اعداد 6، 7، 8، 9 و غیره می آیند.

بیایید کار را پیچیده کنیم. من یک سری اعداد ناتمام به شما می دهم:

2, 5, 8, 11, 14, ...

شما می توانید الگو را بگیرید، سری را گسترش دهید و نام گذاری کنید هفتمشماره ردیف؟

اگر متوجه شدید که این عدد 20 است، به شما تبریک می گویم! نه تنها احساس کردی امتیاز کلیدیپیشرفت حسابی،بلکه با موفقیت از آنها در تجارت استفاده کرد! اگر متوجه نشدید، ادامه دهید.

حالا بیایید نکات کلیدی را از احساسات به ریاضیات ترجمه کنیم.)

اولین نکته کلیدی

پیشروی حسابی با سری اعداد سروکار دارد.این در ابتدا گیج کننده است. ما به حل معادلات، رسم نمودار و اینها عادت کرده ایم... اما در اینجا سری را گسترش می دهیم، شماره سری را پیدا می کنیم...

خوبه. فقط پیشرفت ها اولین آشنایی با شاخه جدیدی از ریاضیات است. این بخش "سری" نام دارد و به طور خاص با مجموعه ای از اعداد و عبارات کار می کند. عادت کن.)

نکته کلیدی دوم

در یک تصاعد حسابی، هر عددی با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

در مثال اول این تفاوت یکی است. هر عددی که بگیرید، یک عدد بیشتر از عدد قبلی است. در دوم - سه. هر عددی سه عدد بیشتر از عدد قبلی است. در واقع، این لحظه است که به ما فرصت می دهد تا الگو را درک کنیم و اعداد بعدی را محاسبه کنیم.

نکته کلیدی سوم

این لحظه خیره کننده نیست، بله... اما بسیار بسیار مهم است. او اینجا است: هر عدد پیشرفت در جای خود قرار دارد.عدد اول هست، هفتم هست، چهل و پنجم هست و غیره. اگر آنها را به صورت تصادفی مخلوط کنید، الگو ناپدید می شود. پیشروی حسابی نیز ناپدید خواهد شد. چیزی که باقی می ماند فقط یک سری اعداد است.

این تمام نکته است.

البته در موضوع جدیداصطلاحات و عناوین جدید ظاهر می شوند. شما باید آنها را بشناسید. در غیر این صورت تکلیف را متوجه نخواهید شد. به عنوان مثال، شما باید چیزی مانند این تصمیم بگیرید:

اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد، شش جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بنویسید.

الهام بخش؟) نامه ها، برخی از فهرست ها ... و کار، اتفاقا، نمی تواند ساده تر باشد. شما فقط باید معنای اصطلاحات و تعاریف را درک کنید. حالا ما بر این موضوع مسلط خواهیم شد و به کار برمی گردیم.

شرایط و تعاریف.

پیشرفت حسابییک سری اعداد است که در آن هر عدد با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

این مقدار نامیده می شود . بیایید این مفهوم را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

تفاوت پیشروی حسابی

تفاوت پیشروی حسابیمقداری است که با آن هر عدد پیشرفتی است بیشترقبلی.

یک نکته مهم لطفا به کلمه دقت کنید "بیشتر".از نظر ریاضی، این بدان معنی است که هر عدد پیشروی است با اضافه کردنتفاوت پیشروی حسابی به عدد قبلی

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومینشماره های سری، شما نیاز دارید اولینعدد اضافه کردنهمین تفاوت یک پیشرفت حسابی. برای محاسبه پنجم- تفاوت لازم است اضافه کردنبه چهارم،خوب و غیره

تفاوت پیشروی حسابیشاید مثبت،سپس هر عدد در این سری واقعی خواهد شد بیشتر از قبلیاین پیشرفت نامیده می شود افزایش می یابد.مثلا:

8; 13; 18; 23; 28; .....

در اینجا هر عدد به دست می آید با اضافه کردنعدد مثبت 5+ نسبت به قبلی.

تفاوت ممکن است باشد منفی،سپس هر عدد در سری خواهد بود کمتر از قبلیاین پیشرفت نام دارد (باور نمی کنید!) در حال کاهش.

مثلا:

8; 3; -2; -7; -12; .....

در اینجا هر عدد نیز به دست می آید با اضافه کردنبه قبلی، اما در حال حاضر یک عدد منفی، -5.

به هر حال، هنگام کار با پیشرفت، بسیار مفید است که فوراً ماهیت آن را تعیین کنید - افزایش یا کاهش آن. این به تصمیم گیری، تشخیص اشتباهات و اصلاح آنها قبل از اینکه خیلی دیر شود کمک زیادی می کند.

تفاوت پیشروی حسابیمعمولا با حرف مشخص می شود د

چطوری پیدا کنم د? بسیار ساده. باید از هر عددی در سری کم کرد قبلیعدد. تفریق کردن. به هر حال، نتیجه تفریق "تفاوت" نامیده می شود.)

برای مثال تعریف کنیم دبرای افزایش پیشرفت حسابی:

2, 5, 8, 11, 14, ...

هر عددی را در سری که بخواهیم می گیریم مثلاً 11. از آن کم می کنیم شماره قبلیآن ها 8:

این جواب درست است. برای این پیشروی حسابی، تفاوت سه است.

می توانید آن را بگیرید هر عدد پیشرفت،زیرا برای یک پیشرفت خاص د-همیشه همینطورحداقل جایی در ابتدای ردیف، حداقل در وسط، حداقل هر جایی. شما نمی توانید فقط شماره اول را بگیرید. صرفاً به این دلیل که همان شماره اول است قبلی نیست)

به هر حال، دانستن آن d=3، یافتن عدد هفتم این پیشرفت بسیار ساده است. بیایید 3 را به عدد پنجم اضافه کنیم - ششمین را می گیریم، 17 می شود. بیایید سه را به عدد ششم اضافه کنیم، عدد هفتم را به دست می آوریم - بیست.

بیایید تعریف کنیم دبرای پیشرفت محاسباتی نزولی:

8; 3; -2; -7; -12; .....

به شما یادآوری می کنم که بدون توجه به علائم، برای تعیین دنیاز از هر شماره قبلی را برداریدهر عدد پیشروی را انتخاب کنید، به عنوان مثال -7. عدد قبلی او 2- است. سپس:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

تفاوت یک پیشروی حسابی می تواند هر عددی باشد: عدد صحیح، کسری، غیر منطقی، هر عددی.

سایر اصطلاحات و عناوین.

هر عدد در این سری نامیده می شود عضو یک پیشرفت حسابی

هر یک از اعضای پیشرفت شماره خودش را دارداعداد کاملاً مرتب هستند، بدون هیچ ترفندی. اول، دوم، سوم، چهارم و غیره. به عنوان مثال، در پیشرفت 2، 5، 8، 11، 14، ... دو ترم اول است، پنج عبارت دوم، یازده چهارم است، خوب، متوجه شدید...) لطفا واضح متوجه شوید - خود اعدادمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، کل، کسری، منفی، هر چه باشد، اما شماره گذاری اعداد- کاملاً به ترتیب!

چگونه یک پیشرفت را به صورت کلی بنویسیم؟ مشکلی نیست! هر عدد در یک سری به صورت یک حرف نوشته می شود. برای نشان دادن یک پیشرفت حسابی، معمولاً از حرف استفاده می شود آ. شماره عضو با یک نمایه در پایین سمت راست نشان داده می شود. ما عبارات را که با کاما (یا نقطه ویرگول) از هم جدا شده اند، می نویسیم:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- این اولین شماره است، یک 3- سوم و غیره چیز خاصی نیست. این سریال را می توان به طور خلاصه اینگونه نوشت: (a n).

پیشرفت ها اتفاق می افتد متناهی و نامتناهی

نهاییپیشرفت تعداد محدودی از اعضا دارد. پنج، سی و هشت، هر چه باشد. اما یک عدد محدود است.

بي نهايتپیشرفت - همانطور که ممکن است حدس بزنید تعداد نامتناهی عضو دارد.)

شما می توانید پیشرفت نهایی را از طریق مجموعه ای مانند این، تمام اصطلاحات و یک نقطه در پایان بنویسید:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

یا اگر تعداد اعضا زیاد باشد به این صورت:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

در ورودی کوتاه باید تعداد اعضا را نیز مشخص کنید. به عنوان مثال (برای بیست عضو)، مانند زیر:

(a n)، n = 20

مانند مثال‌های این درس، یک پیشروی بی‌نهایت را می‌توان با بیضی انتهای ردیف تشخیص داد.

اکنون می توانید وظایف را حل کنید. کارها ساده هستند، صرفاً برای درک معنای یک پیشرفت حسابی.

نمونه هایی از کارهای مربوط به پیشرفت حسابی.

بیایید به کار ارائه شده در بالا با جزئیات نگاه کنیم:

1. شش جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بنویسید، اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد.

ما کار را به زبان قابل فهم ترجمه می کنیم. یک پیشروی حسابی بی نهایت داده شده است. عدد دوم این پیشرفت مشخص است: a 2 = 5.تفاوت پیشرفت مشخص است: d = -2.5.ما باید ترم های اول، سوم، چهارم، پنجم و ششم این پیشرفت را پیدا کنیم.

برای وضوح یک سری با توجه به شرایط مشکل می نویسم. شش ترم اول که ترم دوم پنج ترم است:

1، 5، 3، 4، 5، 6، ....

یک 3 = یک 2 + د

جایگزین در بیان a 2 = 5و d = -2.5. منهای را فراموش نکنید!

یک 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ترم سوم کمتر از دوره دوم بود. همه چیز منطقی است. اگر عدد از عدد قبلی بیشتر باشد منفیمقدار، به این معنی که خود عدد از عدد قبلی کمتر خواهد بود. پیشرفت در حال کاهش است. خوب، بیایید آن را در نظر بگیریم.) ما چهارمین ترم سریال خود را می شماریم:

یک 4 = یک 3 + د

یک 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

یک 5 = یک 4 + د

یک 5=0+(-2,5)= - 2,5

یک 6 = یک 5 + د

یک 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

بنابراین ترم های سوم تا ششم محاسبه شد. نتیجه سریال زیر است:

1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

باقی مانده است که اولین ترم را پیدا کنیم یک 1با توجه به دوم معروف. این یک گام در جهت دیگر، به سمت چپ است.) بنابراین، تفاوت پیشروی حسابی دنباید به آن اضافه شود یک 2، آ بردن:

یک 1 = یک 2 - د

یک 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

خودشه. پاسخ تکلیف:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

گذراً می خواهم یادآوری کنم که ما این کار را حل کردیم عود کنندهمسیر. این کلمه ترسناکبه سادگی به معنای جستجو برای عضوی از پیشرفت است مطابق شماره قبلی (مجاور).در زیر به روش‌های دیگری برای کار با پیشرفت می‌پردازیم.

از این کار ساده می توان یک نتیجه مهم گرفت.

یاد آوردن:

اگر حداقل یک جمله و تفاوت یک تصاعد حسابی را بدانیم، می توانیم هر جمله ای از این پیشروی را پیدا کنیم.

یادت میاد؟ این نتیجه گیری ساده به شما امکان می دهد بیشتر مشکلات دوره مدرسه را در مورد این موضوع حل کنید. همه وظایف حول محور می چرخند سه اصلیمولفه های: عضو یک پیشرفت حسابی، تفاوت یک پیشرفت، تعداد یک عضو پیشرفت.همه.

البته تمام جبرهای قبلی باطل نمی شوند.) نابرابری ها، معادلات، و چیزهای دیگر به پیشرفت پیوسته اند. ولی با توجه به خود پیشرفت- همه چیز حول سه پارامتر می چرخد.

به عنوان مثال، اجازه دهید به برخی از وظایف محبوب در این موضوع نگاه کنیم.

2. اگر n=5، d = 0.4، و a 1 = 3.6 باشد، پیشرفت محاسباتی محدود را به صورت سری بنویسید.

اینجا همه چیز ساده است. همه چیز قبلا داده شده است. شما باید به یاد داشته باشید که اعضای یک پیشروی حسابی چگونه شمارش می شوند، آنها را بشمارید و یادداشت کنید. توصیه می شود کلمات را در شرایط کار از دست ندهید: "نهایی" و " n=5". به طوری که تا زمانی که صورت کاملاً آبی نشوید حساب نکنید.) فقط 5 (پنج) عضو در این پیشرفت وجود دارد:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

یک 4 = یک 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

یک 5 = یک 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

باقی مانده است که پاسخ را بنویسیم:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

وظیفه دیگر:

3. تعیین کنید که آیا عدد 7 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود، اگر a 1 = 4.1; d = 1.2.

هوم... کی میدونه؟ چگونه چیزی را تعیین کنیم؟

چطوری ... پیشرفت رو به صورت سریال بنویس ببین اونجا هفت میشه یا نه! حساب می کنیم:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

یک 4 = یک 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که ما فقط هفت نفر هستیم سر خوردبین 6.5 تا 7.7! هفت در سری اعداد ما قرار نمی گیرد، و بنابراین، هفت عضوی از پیشرفت داده شده نخواهد بود.

پاسخ: خیر

و در اینجا یک مشکل مبتنی بر نسخه واقعی GIA وجود دارد:

4. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15; ایکس؛ 9; 6; ...

اینم سریالی که بدون پایان و شروع نوشته شده. بدون شماره اعضا، بدون تفاوت د. خوبه. برای حل مسئله کافی است که معنای یک تصاعد حسابی را بفهمیم. بیایید نگاه کنیم و ببینیم چه چیزی ممکن است دانستناز این سریال؟ سه پارامتر اصلی چیست؟

شماره اعضا؟ اینجا یک عدد وجود ندارد.

اما سه عدد وجود دارد و - توجه! - کلمه "استوار"در شرایط این بدان معنی است که اعداد کاملاً مرتب و بدون شکاف هستند. آیا در این ردیف دو نفر هستند؟ همسایهاعداد شناخته شده؟ بله دارم! اینها 9 و 6 هستند. بنابراین، ما می توانیم تفاوت پیشروی حسابی را محاسبه کنیم! از شش کم کنید قبلیشماره، یعنی نه:

چیزهای جزئی باقی مانده است. عدد قبلی برای X چه عددی خواهد بود؟ پانزده. این بدان معنی است که X را می توان به راحتی با جمع ساده پیدا کرد. اختلاف پیشروی حسابی را به 15 اضافه کنید:

همین. پاسخ: x=12

مشکلات زیر را خودمان حل می کنیم. توجه: این مشکلات بر اساس فرمول نیستند. صرفاً برای درک معنای پیشرفت حسابی.) ما فقط یک سری اعداد و حروف را یادداشت می کنیم، نگاه می کنیم و آن را کشف می کنیم.

5. اولین جمله مثبت پیشروی حسابی را بیابید اگر 5 = -3; d = 1.1.

6. مشخص است که عدد 5.5 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است، که در آن a 1 = 1.6; d = 1.3. عدد n این عبارت را مشخص کنید.

7. معلوم است که در پیشروی حسابی 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 را پیدا کنید.

8. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15.6; ایکس؛ 3.4; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

9. قطار از ایستگاه شروع به حرکت کرد و به طور یکنواخت سرعت را 30 متر در دقیقه افزایش داد. سرعت قطار در پنج دقیقه چقدر خواهد بود؟ پاسخ خود را بر حسب کیلومتر در ساعت بدهید.

10. مشخص است که در پیشروی حسابی 2 = 5; a 6 = -5. 1 را پیدا کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

همه چیز درست شد؟ حیرت آور! برای اطلاعات بیشتر می توانید بر پیشروی حسابی مسلط شوید سطح بالا، در درس های بعدی.

همه چیز درست نشد؟ مشکلی نیست. در بخش ویژه 555، تمام این مشکلات تکه تکه مرتب شده اند.) و البته، یک تکنیک کاربردی ساده توضیح داده شده است که بلافاصله راه حل چنین کارهایی را به وضوح، واضح، در یک نگاه برجسته می کند!

به هر حال، در پازل قطار دو مشکل وجود دارد که مردم اغلب با آنها برخورد می کنند. یکی صرفاً از نظر پیشرفت است و دومی برای هر مشکلی در ریاضیات و فیزیک نیز کلی است. این ترجمه ابعاد از یکی به دیگری است. نشان می دهد که چگونه باید این مشکلات را حل کرد.

در این درس به معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی و پارامترهای اصلی آن نگاه کردیم. این برای حل تقریباً تمام مشکلات در مورد این موضوع کافی است. اضافه کردن دبه اعداد یه سری بنویس همه چی حل میشه

راه حل انگشت مانند نمونه های این آموزش برای قطعات بسیار کوتاه یک ردیف خوب کار می کند. اگر سری طولانی تر باشد، محاسبات پیچیده تر می شود. مثلا اگر در مسئله 9 در سوال جایگزین کنیم "پنج دقیقه"بر "سی و پنج دقیقه"مشکل به طور قابل توجهی بدتر خواهد شد.)

و همچنین وظایفی وجود دارد که در اصل ساده هستند، اما از نظر محاسبات پوچ هستند، به عنوان مثال:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

پس چی، آیا قراره 1/6 رو چند بار اضافه کنیم؟! میتونی خودتو بکشی!؟

می‌توانید.) اگر فرمول ساده‌ای را نمی‌دانید که با آن می‌توانید چنین کارهایی را در یک دقیقه حل کنید. این فرمول در درس بعدی خواهد بود. و این مشکل در آنجا حل می شود. در یک دقیقه.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعداد
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، ترم امین دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی بوئتیوس در قرن ششم معرفی شد و در موارد بیشتری درک شد. به معنای وسیع، مانند یک دنباله اعداد بی نهایت. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفت، منتقل شد.

این یک دنباله اعداد است که هر عضو آن برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و مشخص می شود.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار ترم آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می‌توانیم عدد پیشرفت را به مقدار قبلی اضافه کنیم تا زمانی که به ترم پیشروی برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، امین ترم پیشروی حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع‌بندی بیش از یک ساعت طول می‌کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ابداع کرده اند که در آن لازم نیست تفاوت یک تصاعد حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنیم. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که مقدار ترم سوم این پیشروی حسابی شامل چه چیزی است:


به عبارت دیگر:

سعی کنید ارزش عضوی از یک پیشرفت محاسباتی را خودتان از این طریق بیابید.

حساب کردی؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی شرایط پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را وارد کنیم فرم کلیو دریافت می کنیم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی می تواند افزایش یا کاهش یابد.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید این را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چقدر خواهد بود:


از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی عمل می‌کند.
سعی کنید خود ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید مشکل را پیچیده کنیم - ما خاصیت پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و طبق فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

بگذار، آه، پس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال به این فکر کنید که آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته بله، و این چیزی است که ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را بیان کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به عنوان فرمول پیدا کردن آن برای ما مشخص کنیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

  • ترم قبلی پیشرفت عبارت است از:
  • ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید شرایط قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

به نظر می رسد که مجموع عبارت های قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر عبارت پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عبارت پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرده و بر آن تقسیم کنید.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را ایمن کنیم. ارزش پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم، که طبق افسانه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس به راحتی استنباط شده است.

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر بود، مشکل زیر را در کلاس پرسید: «مجموع همه را محاسبه کنید. اعداد طبیعیاز به (طبق منابع دیگر تا) فراگیر.» تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) یک دقیقه بعد جواب درست را به تکلیف داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که شما نیز به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک پیشروی حسابی داریم که از جمله های -ام تشکیل شده است: باید مجموع این ترم های پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر کار مستلزم یافتن مجموع عبارت‌های آن باشد، همانطور که گاوس به دنبال آن بود، چه؟

اجازه دهید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده نگاه دقیق تری بیندازید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی را انجام دهید.


این را امتحان کرده ای؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ درست! مجموع آنها مساوی است


حالا به من بگویید، در مجموع چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده شده است وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مشابه برابر هستند، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مسائل ما اصطلاح هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید فرمول جمله ام را با فرمول جمع جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حال برگردیم به مسئله ای که از کارل گاوس پرسیده شد: خودتان محاسبه کنید که مجموع اعدادی که از th شروع می شوند با چه عددی و مجموع اعدادی که از th شروع می شوند برابر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع عبارت ها برابر است و مجموع عبارت ها. این همان چیزی است که شما تصمیم گرفتید؟

در واقع، فرمول مجموع اصطلاحات یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در طول این مدت، افراد شوخ از خواص پیشروی حسابی استفاده کامل کردند.
مثلا مصر باستان و بزرگترین پروژه ساختمانی آن زمان - ساخت یک هرم را تصور کنید... تصویر یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم وقتی انگشت خود را روی مانیتور حرکت می‌دهید، شمارش نکنید، آخرین فرمول و همه چیزهایی را که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به این صورت است: .
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اصطلاحات یک تصاعد حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش محاسبه کنید).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. فهمیدم؟ آفرین، شما بر مجموع nام یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک هایی در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

آموزش

وظایف:

  1. ماشا در حال خوش فرم شدن برای تابستان است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین جلسه تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته اسکات انجام می دهد؟
  2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
  3. هنگام ذخیره لاگ ها، لاگرها آنها را به گونه ای روی هم می چینند که هر لایه بالایی یک لاگ کمتر از لاگ قبلی داشته باشد. در صورتی که پایه سنگ تراشی کنده ها باشد در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد؟

پاسخ ها:

  1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
    (هفته = روز).

    پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز اسکات انجام دهد.

  2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
    تفاوت پیشروی حسابی
    تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، بیایید این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله ترم یک پیشرفت حسابی بررسی کنیم:

    اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
    بیایید داده های موجود را با فرمول جایگزین کنیم:

    پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است.

  3. بیایید مشکل اهرام را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، در مجموع یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
    بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

    پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

  1. - دنباله اعدادی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند در حال افزایش یا کاهش باشد.
  2. یافتن فرمولجمله ترم یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
  3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در حال پیشرفت کجاست.
  4. مجموع عبارات یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:

    ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشرفت حسابی. سطح متوسط

دنباله اعداد

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد. اما همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است کدام دوم و ... یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد می تواند با یک عدد طبیعی خاص و یک عدد منحصر به فرد مرتبط باشد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان ترم 7 دنباله را با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت آن است). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما یک فرمول را تکراری می نامیم که در آن، برای پیدا کردن عبارت، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از این فرمول، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. کدام یک؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ این چیزی است که:

(به همین دلیل است که به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف ترم های متوالی پیشرفت).

بنابراین، فرمول:

سپس جمله صدم برابر است با:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، کارل گاوس، ریاضیدان بزرگ، به عنوان یک پسر 9 ساله، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. متوجه شد که مجموع اول و آخرین تاریخبرابر است، مجموع دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. در کل چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر عدد بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعدادی که ما به آنها علاقه مندیم، با جمله اول و تفاوت، یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

  1. هر روز ورزشکار مترهای بیشتری نسبت به روز قبل می دود. اگر در روز اول کیلومتر متر دوید، مجموعا چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
  2. یک دوچرخه سوار هر روز کیلومترهای بیشتری را نسبت به روز قبل طی می کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. برای طی کردن یک کیلومتر به چند روز سفر نیاز دارد؟ او در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
  3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال در هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

  1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
    .
    پاسخ:
  2. در اینجا داده می شود: , باید پیدا شود.
    بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
    .
    مقادیر را جایگزین کنید:

    بدیهی است که ریشه مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
    بیایید مسیر طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله ام محاسبه کنیم:
    (کیلومتر).
    پاسخ:

  3. داده شده: . پیدا کردن: .
    ساده تر از این نمی تواند باشد:
    (مالیدن).
    پاسخ:

پیشرفت حسابی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

این یک دنباله اعداد است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت محاسباتی می تواند افزایش () و کاهش () باشد.

مثلا:

فرمول یافتن ترم n یک پیشرفت حسابی

با فرمول نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در حال پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد به راحتی یک عبارت از یک پیشروی را در صورت شناخته شدن شرایط همسایه آن پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آماده سازی "100gia" (کتاب حل)، یک آزمون آزمایشی نامحدود Unified State Exam و Unified State Exam، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها، و سایر خدمات YouClever و 100gia داشته باشید.



 

شاید خواندن آن مفید باشد: