1 عدد طبیعی یا نه. مطالعه دقیق موضوع: اعداد طبیعی همان اعداد، مثال ها و خصوصیات هستند

ریاضیات در حدود قرن ششم قبل از میلاد از فلسفه عمومی پدید آمد. e.، و از همان لحظه راهپیمایی پیروزمندانه او در سراسر جهان آغاز شد. هر مرحله از توسعه چیز جدیدی را معرفی کرد - شمارش ابتدایی تکامل یافت، به حساب دیفرانسیل و انتگرال تبدیل شد، قرن ها تغییر کرد، فرمول ها بیشتر و بیشتر گیج کننده شدند و لحظه ای فرا رسید که "پیچیده ترین ریاضیات آغاز شد - همه اعداد از آن ناپدید شدند." اما اساس چه بود؟

آغاز زمان

اعداد طبیعی همراه با اولین عملیات ریاضی ظاهر شدند. یک بار یک ستون فقرات، دو خار، سه خار ... آنها به لطف دانشمندان هندی ظاهر شدند که اولین موقعیت را استنباط کردند.

کلمه "موقعیت" به این معنی است که مکان هر رقم در یک عدد کاملاً مشخص است و با دسته آن مطابقت دارد. به عنوان مثال، اعداد 784 و 487 یکسان هستند، اما اعداد معادل نیستند، زیرا اولی شامل 7 صدها است، در حالی که دومی فقط 4 را شامل می شود. که اکنون می دانیم

در زمان های قدیم اعداد داده می شد معنای عرفانیفیثاغورث معتقد بود که این عدد به همراه عناصر اساسی - آتش، آب، خاک، هوا، زمینه ساز خلقت جهان است. اگر همه چیز را فقط از جنبه ریاضی در نظر بگیریم، پس یک عدد طبیعی چیست؟ میدان اعداد طبیعی با N نشان داده می شود و یک سری نامتناهی از اعداد صحیح و مثبت است: 1، 2، 3، … + ∞. صفر مستثنی شده است. عمدتاً برای شمارش اقلام و نشان دادن ترتیب استفاده می شود.

در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

فیلد N میدان پایه ای است که ریاضیات ابتدایی بر آن تکیه دارد. با گذشت زمان، زمینه های اعداد صحیح، منطقی،

کار ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو ساختار بیشتر حساب را ممکن کرد، به رسمیت آن دست یافت و راه را برای نتیجه گیری های بیشتر که فراتر از میدان N بود، هموار کرد.

یک عدد طبیعی چیست، قبلاً مشخص شد زبان ساده، تعریف ریاضی بر اساس بدیهیات Peano در زیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود.
عددی که بعد از یک عدد طبیعی می آید یک عدد طبیعی است.
قبل از یک عدد طبیعی وجود ندارد.
اگر عدد b هم بعد از عدد c و هم از عدد d باشد، c=d.
اصل استقرا، که به نوبه خود نشان می دهد که یک عدد طبیعی چیست: اگر گزاره ای که به یک پارامتر بستگی دارد برای عدد 1 صادق باشد، آنگاه فرض می کنیم که برای عدد n از میدان اعداد طبیعی N نیز کار می کند. این عبارت برای n=1 از میدان اعداد طبیعی N نیز صادق است.

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

از آنجایی که فیلد N اولین مورد برای محاسبات ریاضی شد، هر دو حوزه تعریف و محدوده مقادیر تعدادی از عملیات زیر به آن اشاره دارند. آنها بسته هستند و نه. تفاوت اصلی این است که عملیات بسته تضمین شده است که نتیجه ای را در مجموعه N باقی می گذارد، صرف نظر از اینکه چه اعدادی درگیر می شوند. همین که طبیعی باشند کافی است. نتیجه فعل و انفعالات عددی باقیمانده دیگر چندان واضح نیست و مستقیماً به نوع اعدادی که در عبارت دخیل هستند بستگی دارد، زیرا ممکن است با تعریف اصلی در تضاد باشد. بنابراین، عملیات بسته:

جمع - x + y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ضرب - x * y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
توان - x y، که در آن x، y در فیلد N گنجانده شده است.

عملیات باقی مانده که ممکن است نتیجه آنها در چارچوب تعریف "عدد طبیعی چیست" وجود نداشته باشد، به شرح زیر است:

خواص اعداد متعلق به فیلد N

تمام استدلال‌های ریاضی بعدی بر اساس ویژگی‌های زیر خواهد بود که بی‌اهمیت‌ترین، اما نه کم‌اهمیت‌تر هستند.

خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x است که در آن اعداد x، y در فیلد N گنجانده شده است.
خاصیت جابجایی ضرب x * y = y * x است که اعداد x و y در فیلد N قرار می گیرند.
خاصیت انجمنی جمع (x + y) + z = x + (y + z) است که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
خاصیت تداعی ضرب (x * y) * z = x * (y * z) است که اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ویژگی توزیع - x (y + z) = x * y + x * z، که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.

جدول فیثاغورثی

یکی از اولین گام‌ها در دانش دانش‌آموزان از کل ساختار ریاضیات ابتدایی، پس از اینکه خودشان فهمیدند کدام اعداد طبیعی نامیده می‌شوند، جدول فیثاغورث است. می توان آن را نه تنها از نظر علمی، بلکه به عنوان یک اثر علمی ارزشمند به شمار آورد.

این جدول ضرب در طول زمان دستخوش تغییراتی شده است: صفر از آن حذف شده است و اعداد از 1 تا 10 بدون در نظر گرفتن ترتیب (صدها، هزاران ...) خود را نشان می دهند. جدولی است که عناوین سطرها و ستونها اعداد است و محتویات خانه های محل تقاطع آنها برابر حاصلضرب آنهاست.

در عمل تدریس در دهه های اخیر، نیاز به حفظ جدول فیثاغورثی «به ترتیب» وجود داشته است، یعنی اول حفظ بوده است. ضرب در 1 حذف شد زیرا نتیجه 1 یا بیشتر بود. در همین حال، در جدول با چشم غیر مسلح، می توانید یک الگو را ببینید: حاصل ضرب اعداد یک پله رشد می کند که برابر با عنوان خط است. بنابراین، عامل دوم به ما نشان می دهد که برای به دست آوردن محصول مورد نظر، چند بار باید اولین مورد را مصرف کنیم. این سیستم بسیار راحت‌تر از سیستمی است که در قرون وسطی انجام می‌شد: حتی با درک اینکه یک عدد طبیعی چیست و چقدر بی‌اهمیت است، مردم موفق شدند شمارش روزمره خود را با استفاده از یک سیستم مبتنی بر توان دو پیچیده کنند.

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

بر این لحظهمیدان اعداد طبیعی N تنها به عنوان یکی از زیرمجموعه های اعداد مختلط در نظر گرفته می شود، اما این باعث نمی شود ارزش آنها در علم کم شود. عدد طبیعی اولین چیزی است که کودک با مطالعه خودش و جهان. یک انگشت، دو انگشت ... به لطف او، یک فرد شکل می گیرد تفکر منطقیو همچنین توانایی تعیین علت و استنباط معلول، راه را برای اکتشافات بزرگ هموار می کند.

چه چیزی طبیعی است و نه اعداد صحیح? چگونه به یک کودک یا شاید نه برای کودک توضیح دهیم که چه تفاوت هایی بین آنها وجود دارد؟ بیایید آن را بفهمیم. تا جایی که می دانیم در کلاس پنجم اعداد غیر طبیعی و طبیعی مطالعه می شود و هدف ما این است که به دانش آموزان توضیح دهیم تا واقعا بفهمند و یاد بگیرند که چه چیزی و چگونه.

داستان

اعداد طبیعی یکی از قدیمی ترین مفاهیم هستند. مدت‌ها پیش، زمانی که مردم هنوز شمارش را نمی‌دانستند و هیچ ایده‌ای در مورد اعداد نمی‌دانستند، زمانی که می‌خواستند چیزی را بشمارند، مثلاً ماهی‌ها، حیوانات، نقطه‌ها یا خط تیره‌ها را روی اشیاء مختلف می‌کوبیدند، همانطور که باستان‌شناسان بعداً متوجه شدند. . در آن زمان زندگی برای آنها بسیار دشوار بود، اما تمدن ابتدا به سیستم اعداد رومی و سپس به سیستم اعداد اعشاری توسعه یافت. اکنون تقریباً همه از اعداد عربی استفاده می کنند.

همه چیز درباره اعداد طبیعی

اعداد طبیعی اعداد اولی هستند که ما در زندگی روزمره از آنها برای شمارش اجسام به منظور تعیین کمیت و ترتیب استفاده می کنیم. ما در حال حاضر از نماد اعشاری برای نوشتن اعداد استفاده می کنیم. برای نوشتن هر عددی، از ده رقم استفاده می کنیم - از صفر تا نه.

اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش اشیا یا نشان دادن شماره سریال چیزی از آنها استفاده می کنیم. مثال: 5، 368، 99، 3684.

سری اعداد را اعداد طبیعی می گویند که به ترتیب صعودی مرتب شده اند، یعنی. از یک تا بی نهایت چنین سری با کوچکترین عدد شروع می شود - 1، و بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، زیرا سری اعداد به سادگی بی پایان هستند.

به طور کلی، صفر یک عدد طبیعی محسوب نمی شود، زیرا به معنای عدم وجود چیزی است و همچنین شمارش اشیاء وجود ندارد.

سیستم اعداد عربی سیستم مدرنی است که ما هر روز از آن استفاده می کنیم. این یکی از انواع هندی (اعشاری) است.

این سیستم اعداد به دلیل عدد 0 که توسط اعراب اختراع شده بود مدرن شد. قبل از آن در سیستم هند وجود نداشت.

اعداد غیر طبیعی این چیه؟

اعداد طبیعی شامل اعداد منفی و غیر صحیح نمی شوند. بنابراین آنها - اعداد غیر طبیعی هستند

در زیر نمونه هایی آورده شده است.

اعداد غیر طبیعی عبارتند از:

اعداد منفی، به عنوان مثال: -1، -5، -36.. و غیره.
اعداد گویاکه در کسرهای اعشاری بیان می شود: 4.5، -67، 44.6.
به صورت کسر ساده: 1/2، 40 2/7 و غیره.

اعداد غیر منطقی، مانند e = 2.71828، √2 = 1.41421 و مانند آن.

امیدواریم در مورد اعداد غیر طبیعی و طبیعی کمک زیادی به شما کرده باشیم. حالا توضیح دادن این موضوع برای بچه‌تان برای شما آسان‌تر می‌شود و او هم مانند ریاضی‌دانان بزرگ آن را یاد می‌گیرد!

ساده ترین عدد است عدد طبیعی. در استفاده می شوند زندگی روزمرهبرای شمارش موارد، یعنی برای محاسبه تعداد و ترتیب آنها.

عدد طبیعی چیست: اعداد طبیعیاعداد مورد استفاده را نام ببرید شمارش اقلام یا نشان دادن شماره سریال هر مورد از همه همگنموارد.

اعداد صحیحاعدادی هستند که از یک شروع می شوند. آنها به طور طبیعی هنگام شمارش تشکیل می شوند.به عنوان مثال، 1،2،3،4،5 ... -اولین اعداد طبیعی

کوچکترین عدد طبیعی- یکی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد. هنگام شمارش عدد صفر استفاده نمی شود، بنابراین صفر یک عدد طبیعی است.

سری طبیعی اعداددنباله تمام اعداد طبیعی است. اعداد طبیعی را بنویسید:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

در اعداد طبیعی هر عدد یک عدد بیشتر از عدد قبلی است.

در سری طبیعی چند عدد وجود دارد؟ سری طبیعی بی نهایت است، بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد.

اعشاری، زیرا 10 واحد از هر دسته، 1 واحد از بالاترین مرتبه را تشکیل می دهند. موضعی بنابراین چگونه مقدار یک رقم به جای آن در عدد بستگی دارد، یعنی. از دسته ای که در آن ثبت شده است.

طبقات اعداد طبیعی

هر عدد طبیعی را می توان با استفاده از 10 نوشت اعداد عربی:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

برای خواندن اعداد طبیعی، آنها را از سمت راست به گروه های 3 رقمی تقسیم می کنند. 3 اول اعداد سمت راست کلاس واحدها هستند، 3 عدد بعدی کلاس هزاران، سپس کلاس های میلیون ها، میلیاردها وو غیره. به هر یک از ارقام کلاس آن می گویندتخلیه.

مقایسه اعداد طبیعی

از 2 عدد طبیعی، عددی که در شمارش زودتر خوانده می شود، کمتر است. مثلا، عدد 7 کمتر 11 (اینطور نوشته شده:7 < 11 ). وقتی یک عدد بیش از یک ثانیه، اینگونه نوشته شده است:386 > 99 .

جدول ارقام و طبقات اعداد.


واحد درجه 1	رقم 1 واحد رتبه دوم ده رتبه 3 صدها
درجه 2 هزار	واحدهای رقمی 1 هزار رقم دوم ده ها هزار رتبه 3 صدها هزار
کلاس سوم میلیونی	واحد رقم 1 میلیون رقم دوم ده ها میلیون رقم سوم صدها میلیون
پایه چهارم میلیاردی	واحد رقمی یک میلیارد رقم دوم ده ها میلیارد رقم سوم صدها میلیارد

اعداد از کلاس پنجم به بالا اعداد بزرگی هستند. واحدهای کلاس 5 - تریلیون ها، 6 کلاس - کوادریلیون‌ها، کلاس هفتم - کوئینتیلیون‌ها، کلاس هشتم - شش‌تیلیون‌ها، کلاس نهم -اپتیلیون ها

ویژگی های اساسی اعداد طبیعی

جابجایی جمع . a + b = b + a
جابجایی ضرب. ab=ba
تداعی افزودن. (a + b) + c = a + (b + c)
تداعی ضرب.
توزیع ضرب با توجه به جمع:

اقدامات روی اعداد طبیعی

4. تقسیم اعداد طبیعی یک عمل معکوس ضرب است.

اگر b ∙ c \u003d a، آن

فرمول های تقسیم بندی:

a: 1 = a

a: a = 1، a ≠ 0

0: a = 0، a ≠ 0

(آ∙ ب) : c = (a:c) ∙ b

(آ∙ ب) : c = (b:c) ∙ a

عبارات عددی و برابری های عددی.

نمادی که در آن اعداد با علائم عمل به هم متصل می شوند بیان عددی.

به عنوان مثال، 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ورودی هایی که علامت تساوی 2 عبارت عددی را به هم متصل می کند برابری های عددی. مساوات یک سمت چپ و یک سمت راست دارد.

ترتیب انجام عملیات حسابی.

جمع و تفریق اعداد عملیات درجه اول و ضرب و تقسیم عملیات درجه دوم هستند.

چه زمانی بیان عددیشامل اعمال تنها یک درجه است، سپس آنها به صورت متوالی انجام می شونداز چپ به راست.

وقتی عبارات فقط از اعمال درجه اول و دوم تشکیل شده باشند، ابتدا اقدامات انجام می شود درجه دوم، و سپس - اقدامات درجه اول.

هنگامی که در عبارت پرانتز وجود دارد، ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می شود.

برای مثال 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

تعریف

اعداد طبیعی به اعدادی گفته می شود که برای شمارش اجسام در نظر گرفته شده اند. برای ثبت اعداد طبیعی، از 10 عدد عربی (0-9) استفاده می شود که اساس سیستم اعداد اعشاری را تشکیل می دهد که عموماً برای محاسبات ریاضی پذیرفته شده است.

دنباله ای از اعداد طبیعی

اعداد طبیعی مجموعه ای را تشکیل می دهند که از 1 شروع می شود و مجموعه تمام اعداد صحیح مثبت را پوشش می دهد. چنین دنباله ای از اعداد 1،2،3، ... تشکیل شده است. این به این معنی است که در سریال طبیعی:

کوچکترین عدد وجود دارد و بزرگترین عدد وجود ندارد.
هر عدد بعدی بزرگتر از عدد قبلی 1 است (به استثنای خود واحد است).
با رفتن اعداد به بی نهایت، آنها به طور نامحدود رشد می کنند.

گاهی 0 هم وارد یک سری اعداد طبیعی می شود این جایز است و بعد صحبت می کنند تمدید شدهسریال طبیعی

طبقات اعداد طبیعی

هر رقم از یک عدد طبیعی رقم خاصی را بیان می کند. آخرین مورد همیشه تعداد واحدهای عدد است، یکی قبل از آن عدد ده ها، سومی از انتهای آن عدد صدها، چهارمی عدد هزاران و غیره است.

در عدد 276: 2 صد، 7 ده، 6 واحد
در شماره 1098: 1 هزار، 9 ده، 8 یک؛ اینجا صدها مکان وجود ندارد، زیرا به صورت صفر بیان می شود.

برای اعداد بزرگ و بسیار بزرگ، می توانید یک روند ثابت را مشاهده کنید (اگر عدد را از راست به چپ، یعنی از آخرین رقم به اول بررسی کنید):

سه رقم آخر عدد عبارتند از: واحد، ده و صد.
سه واحد قبلی، ده ها و صدها هزار هستند.
سه تای جلوی آنها (یعنی رقم های هفتم، هشتم و نهم عدد، از انتها شمارش می شود) واحد، ده ها و صدها میلیون و غیره هستند.

یعنی هر بار با سه رقم به معنای واحدها، ده ها و صدها نام بزرگتر سروکار داریم. چنین گروه هایی کلاس هایی را تشکیل می دهند. و اگر مجبورید کم و بیش با سه کلاس اول در زندگی روزمره سر و کار داشته باشید، باید سایرین را در لیست قرار دهید، زیرا همه نام آنها را به خاطر نمی آورند.

طبقه 4 که از کلاس میلیون ها پیروی می کند و نشان دهنده اعداد 10-12 رقمی است، یک میلیارد (یا یک میلیارد) نامیده می شود.
کلاس پنجم - تریلیون؛
کلاس ششم - کوادریلیون؛
کلاس هفتم - کوئینتیلیون؛
کلاس هشتم - سکستیلیون؛
کلاس نهم - سپتیلیون.

جمع اعداد طبیعی

جمع اعداد طبیعی یک عملیات حسابی است که به شما امکان می دهد عددی را به دست آورید که به تعداد واحدهای موجود در اعداد جمع شده با هم باشد.

علامت جمع علامت «+» است. اعداد اضافه شده اصطلاح نامیده می شوند، نتیجه حاصل جمع نامیده می شود.

اعداد کوچک به صورت شفاهی جمع می شوند (خلاصه می شوند) ، در نوشتن چنین اقداماتی در یک خط نوشته می شود.

اعداد چند رقمی که جمع کردن آنها در ذهن دشوار است، معمولاً در یک ستون اضافه می شوند. برای این کار، اعداد یکی زیر دیگری، با رقم آخر تراز می شوند، یعنی رقم واحد را زیر رقم واحد، رقم صدها را زیر رقم صدها و غیره می نویسند. در مرحله بعد، باید ارقام را به صورت جفت اضافه کنید. اگر جمع ارقام با انتقال از ده اتفاق بیفتد، آنگاه این ده به عنوان یک واحد بالای رقم سمت چپ (یعنی به دنبال آن) ثابت می شود و با ارقام این رقم جمع می شود.

اگر ستون جمع شود نه 2، بلکه اعداد بیشتر، پس هنگام جمع کردن ارقام دسته، نه 1 دوجین، بلکه چندین ممکن است اضافی باشد. در این صورت، تعداد این ده ها به رقم بعدی منتقل می شود.

تفریق اعداد طبیعی

تفریق یک عملیات حسابی است، معکوس از جمع، که به این واقعیت خلاصه می شود که با توجه به مقدار و یکی از عبارت ها، باید دیگری را پیدا کنید - یک اصطلاح ناشناخته. عددی که از آن کم می شود را مینیوند می نامند. عددی که تفریق می شود عدد فرعی است. حاصل تفریق را تفاضل می گویند. علامتی که عمل تفریق را نشان می دهد «-» است.

در گذار به جمع، فرع و تفاضل به اصطلاح و کاهش به جمع تبدیل می شود. جمع معمولاً صحت تفریق انجام شده را بررسی می کند و بالعکس.

اینجا 74 مینیوند است، 18 فرعی است، 56 تفاوت است.

یک پیش نیاز برای تفریق اعداد طبیعی به شرح زیر است: مینیوند لزوماً باید بزرگتر از اعداد فرعی باشد. فقط در این حالت اختلاف حاصل نیز یک عدد طبیعی خواهد بود. اگر عمل تفریق برای یک سری طبیعی توسعه یافته انجام شود، مجاز است که مینیوند برابر با فرعی باشد. و نتیجه تفریق در این حالت 0 خواهد بود.

نکته : اگر subtrahend برابر با صفر باشد ، عمل تفریق مقدار minuend را تغییر نمی دهد.

تفریق اعداد چند رقمی معمولاً در یک ستون انجام می شود. اعداد را مانند جمع بنویسید. تفریق برای ارقام مربوطه انجام می شود. اگر معلوم شد که مینیوند از عدد فرعی کمتر است، از رقم قبلی (واقع در سمت چپ) یک عدد گرفته می شود که پس از انتقال، طبیعتاً به 10 تبدیل می شود. این ده با رقم کاهش یافته خلاصه می شود. رقم داده شده و سپس کم می شود. علاوه بر این، هنگام تفریق رقم بعدی، باید در نظر گرفت که کاهش 1 کمتر شده است.

حاصل ضرب اعداد طبیعی

حاصل ضرب (یا ضرب) اعداد طبیعی یک عملیات حسابی است که عبارت است از یافتن مجموع تعداد دلخواه از جمله های یکسان. برای ثبت عملیات ضرب، از علامت «·» (گاهی «×» یا «*») استفاده کنید. به عنوان مثال: 3 5 = 15.

عمل ضرب در مواقعی که باید جمع شود ضروری است تعداد زیادی ازمقررات. به عنوان مثال، اگر باید عدد 4 را 7 بار جمع کنید، ضرب کردن 4 در 7 آسان تر از انجام این جمع است: 4+4+4+4+4+4+4.

اعدادی که ضرب می شوند را عامل می گویند، حاصل ضرب حاصلضرب است. بر این اساس، اصطلاح «کار» می تواند بسته به زمینه، هم روند ضرب و هم نتیجه آن را بیان کند.

اعداد چند رقمی در یک ستون ضرب می شوند. برای این عدد به همان ترتیبی که برای جمع و تفریق نوشته می شود. توصیه می شود ابتدا (بالا) بنویسید که کدام یک از 2 عدد طولانی تر است. در این حالت، فرآیند ضرب ساده تر و در نتیجه منطقی تر خواهد بود.

هنگام ضرب در یک ستون، ارقام هر یک از ارقام شماره دوم به ترتیب در ارقام شماره 1 ضرب می شوند و از انتهای آن شروع می شوند. پس از یافتن اولین اثر، تعداد واحدها را یادداشت می کنند و تعداد ده ها را در ذهن نگه می دارند. هنگام ضرب رقم دوم در رقم بعدی عدد 1، عددی که در نظر گرفته شده است به محصول اضافه می شود. و دوباره تعداد واحدهای حاصل را یادداشت می کنند و تعداد ده ها را به خاطر می آورند. هنگام ضرب در آخرین رقم عدد 1، عدد به دست آمده از این طریق به طور کامل یادداشت می شود.

نتایج حاصل از ضرب ارقام رقم دوم عدد دوم در ردیف دوم نوشته می شود و آن را 1 سلول به سمت راست منتقل می کند. و غیره. در نتیجه یک "نردبان" به دست خواهد آمد. تمام ردیف های حاصل از اعداد باید اضافه شوند (طبق قانون جمع در یک ستون). سلول های خالی را باید پر از صفر در نظر گرفت. حاصل جمع حاصل محصول نهایی است.

توجه داشته باشید

حاصل ضرب هر عدد طبیعی با 1 (یا 1 در یک عدد) با خود عدد برابر است. به عنوان مثال: 376 1=376; 1 86=86.
وقتی یکی از عوامل یا هر دو عامل برابر با 0 باشد، حاصل ضرب برابر با 0 است. برای مثال: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

تقسیم اعداد طبیعی

تقسیم به یک عملیات حسابی گفته می شود که به کمک آن، با توجه به یک محصول شناخته شده و یکی از عوامل، می توان عامل دیگری - مجهول - را یافت. تقسیم معکوس ضرب است و برای بررسی اینکه آیا ضرب به درستی انجام شده است (و بالعکس) استفاده می شود.

عددی که در حال تقسیم است، بخش پذیر نامیده می شود. عددی که بر آن تقسیم می شود مقسوم کننده است. حاصل یک تقسیم را ضریب می گویند. علامت تقسیم ":" است (گاهی اوقات، کمتر - "÷").

در اینجا 48 سود، 6 مقسوم علیه و 8 ضریب است.

همه اعداد طبیعی را نمی توان بین خود تقسیم کرد. در این حالت تقسیم با باقیمانده انجام می شود. این شامل این واقعیت است که برای مقسوم‌کننده چنین عاملی انتخاب می‌شود تا حاصلضرب آن توسط مقسوم‌کننده عددی باشد که از نظر ارزش تا حد امکان به سود سهام نزدیک است، اما کمتر از آن است. مقسوم علیه در این ضریب ضرب می شود و از سود سهام کم می شود. تفاوت باقیمانده تقسیم خواهد بود. حاصلضرب مقسوم علیه یک ضریب را ضریب ناقص می گویند. توجه: باقیمانده باید کمتر از ضریب انتخابی باشد! اگر باقیمانده بزرگتر باشد، به این معنی است که ضریب به اشتباه انتخاب شده است و باید افزایش یابد.

ما یک ضریب برای 7 انتخاب می کنیم این مورداین عدد 5 است. ضریب ناقص را بیابید: 7 5=35. باقی مانده را محاسبه کنید: 38-35=3. از 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

اعداد چند رقمی به یک ستون تقسیم می شوند. برای انجام این کار، تقسیم کننده و تقسیم کننده در کنار هم نوشته می شوند و تقسیم کننده را با یک خط عمودی و افقی از هم جدا می کنند. در تقسیم‌بندی، رقم اول یا چند رقم اول (سمت راست) انتخاب می‌شود که باید عددی باشد که حداقل برای تقسیم بر مقسوم‌کننده کافی باشد (یعنی این عدد باید بزرگ‌تر از مقسوم‌کننده باشد). برای این عدد، یک ضریب ناقص انتخاب می شود، همانطور که در قانون تقسیم با باقی مانده توضیح داده شده است. تعداد ضریب مورد استفاده برای یافتن ضریب جزئی در زیر مقسوم علیه نوشته می شود. ضریب ناقص در زیر عددی که تقسیم شده نوشته می شود، تراز راست. تفاوت آنها را پیدا کنید. رقم بعدی سود با نوشتن آن در کنار این تفاوت از بین می رود. برای عدد حاصل، یک ضریب ناقص دوباره با نوشتن شکل ضریب انتخابی، در کنار عامل قبلی زیر مقسوم علیه، پیدا می شود. و غیره. چنین اقداماتی تا زمانی که تعداد سود سهام تمام شود انجام می شود. پس از آن، تقسیم بندی انجام شده در نظر گرفته می شود. اگر سود تقسیمی و مقسوم علیه به طور کامل (بدون باقیمانده) تقسیم شوند، آخرین تفاوت صفر خواهد بود. در غیر این صورت، تعداد باقی مانده عودت داده می شود.

توانمندی

توان یک عملیات ریاضی است که شامل ضرب تعداد دلخواه از اعداد یکسان است. به عنوان مثال: 2 2 2 2.

چنین عباراتی به صورت زیر نوشته می شود: تبر,

جایی که آعددی است که در خودش ضرب می شود ایکستعداد چنین عواملی است.

اعداد طبیعی اول و مرکب

هر عدد طبیعی به جز 1 را می توان بر حداقل 2 عدد تقسیم کرد - یک و خودش. بر اساس این معیار اعداد طبیعی به دو دسته اول و مرکب تقسیم می شوند.

اعداد اول اعدادی هستند که فقط بر 1 و خودش بخش پذیرند. اعدادی که بر بیش از این 2 عدد بخش پذیر باشند، اعداد مرکب نامیده می شوند. واحدی که صرفاً به خود تقسیم می شود، نه اول است و نه مرکب.

اعداد اول هستند: 2،3،5،7،11،13،17،19 و غیره. نمونه هایی از اعداد مرکب: 4 (بخش پذیر بر 1،2،4)، 6 (بخش پذیر بر 1،2،3،6)، 20 (قابل تقسیم بر 1،2،4،5،10،20).

هر عدد مرکب را می توان به عوامل اول تجزیه کرد. در این حالت، عوامل اول مقسوم‌کننده‌های آن هستند که اعداد اول هستند.

مثالی از فاکتورسازی به عوامل اول:

مقسوم علیه اعداد طبیعی

مقسوم علیه عددی است که می توان یک عدد معین را بدون باقیمانده بر آن تقسیم کرد.

مطابق با این تعریف، اعداد طبیعی ساده دارای 2 مقسوم علیه و اعداد مرکب بیش از 2 مقسوم علیه دارند.

بسیاری از اعداد مقسوم علیه مشترک دارند. مقسوم علیه مشترک عددی است که اعداد داده شده بدون باقیمانده بر آن بخش پذیرند.

اعداد 12 و 15 مقسوم علیه مشترک 3 دارند
اعداد 20 و 30 مقسوم علیه های مشترک 2،5،10 دارند

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) از اهمیت ویژه ای برخوردار است. این عدد به ویژه برای یافتن کسرها مفید است. برای یافتن آن، لازم است اعداد داده شده را به ضرایب اول تجزیه کرده و آن را به عنوان حاصل ضرب ضرایب اول مشترک آنها که در کوچکترین توان آنها گرفته شده است، ارائه کنیم.

یافتن GCD اعداد 36 و 48 الزامی است.

بخش پذیری اعداد طبیعی

تعیین اینکه آیا یک عدد بدون باقیمانده بر عدد دیگر بخش پذیر است یا خیر، همیشه امکان پذیر نیست. در چنین مواردی، تست بخش پذیری مربوطه مفید است، یعنی قانونی که در عرض چند ثانیه می توانید تعیین کنید که آیا می توان اعداد را بدون باقی مانده تقسیم کرد یا خیر. علامت "" برای نشان دادن بخش پذیری استفاده می شود.

کمترین مضرب مشترک

این مقدار (که LCM نشان داده می شود) کوچکترین عددی است که بر هر یک از موارد داده شده بخش پذیر است. LCM را می توان برای مجموعه دلخواه اعداد طبیعی یافت.

LCM، مانند GCD، معنای کاربردی قابل توجهی دارد. بنابراین، این LCM است که باید با تقلیل کسرهای معمولی به مخرج مشترک پیدا شود.

LCM با فاکتورگیری اعداد داده شده در فاکتورهای اول تعیین می شود. برای تشکیل آن، یک محصول گرفته می شود که از هر یک از عوامل اول در حال وقوع (حداقل برای 1 عدد) به حداکثر درجه نشان داده شده است.

لازم است LCM اعداد 14 و 24 را پیدا کنید.

میانگین

میانگین حسابی یک عدد دلخواه (اما متناهی) از اعداد طبیعی مجموع همه این اعداد تقسیم بر تعداد عبارت است:

میانگین حسابی مقداری میانگین برای یک مجموعه اعداد است.

اعداد 2،84،53،176،17،28 آورده شده است. برای یافتن میانگین حسابی آنها لازم است.

شاید خواندن آن مفید باشد: