تمامی سیستم های اعداد سیستم اعداد موقعیتی

به محض اینکه مردم شروع به شمارش کردند، شروع به نوشتن اعداد کردند. باستان شناسان شواهدی را در مکان های افراد بدوی یافته اند مبنی بر اینکه در ابتدا تقریباً هر مقداری به سادگی با تعداد یکسان نمادها نوشته شده است: چوب، نقطه، خط تیره. چنین سیستمی واحد (یونی) نامیده می شود. هر عددی در این سیستم با تکرار یک علامت نوشته می شود که نماد یک است.

علیرغم قدمت این سیستم، هنوز هم تا به امروز از آن استفاده می شود؛ به دانش آموزان کلاس اولی آموزش می دهند که روی چوب حساب کنند و برای تعیین دوره ای که یک دانشجوی مدرسه نظامی در حال حاضر در آن درس می خواند، باید تعداد نوارهای دوخته شده روی او را بشمارید. آستین

سیستم یکپارچه بیشترین نیست راه راحتضبط اعداد، ضبط فضای زیادی را اشغال می کند و یکنواختی ضبط منجر به خطا می شود، بنابراین با گذشت زمان، سیستم های شماره راحت تر ظاهر شدند.

سیستم اعداد اعشاری مصر باستان

مصریان باستان یک سیستم اعداد بسیار راحت داشتند، دارای علائمی بود که نشان می داد اعداد کلیدی: 1، 10، 100 و غیره. اعداد باقیمانده با استفاده از جمع نوشته شده اند. نامگذاری برخی از اعداد در شکل 1 ارائه شده است.

این سیستم در حال حاضر در حال استفاده نیست.

سیستم اعداد رومی

این سیستم تا به امروز بدون تغییر باقی مانده است. بیش از دو و نیم هزار سال پیش ظاهر شد رم باستان. این بر اساس علائم I (انگشت) برای عدد 1، V (پنج) برای عدد 5، X (دو دست) برای عدد 10 بود. و برای تعیین 100، 500 و 1000، حروف اول نام های لاتین. استفاده شد (سنتوم - صد، دمیل - نیم هزار، میل - هزار). برای نوشتن اعداد، رومی ها مانند مصریان نه تنها از مجموع، بلکه از تفاوت ها نیز استفاده می کردند. برای انجام این کار، یک قانون ساده اعمال شد: هر علامت کوچکتر که بعد از علامت بزرگتر ایستاده است، به ارزش آن اضافه می شود و آنهایی که قبل از آن ایستاده اند. علامت بزرگاز معنای آن کم می شود. بنابراین، IX مخفف 9 و XI مخفف 11 است.

اعداد رومی هنوز تا به امروز مورد استفاده قرار می گیرند و برای نام گذاری بخش ها، بخش های فرعی کتاب ها، قرن ها استفاده می شوند و همچنین اغلب بر روی ساعت ها نوشته می شوند.

سیستم های اعداد الفبایی

چنین سیستم هایی عبارتند از: یونانی، اسلاوی، فنلاندی و غیره. در اینجا اعداد از 1 تا 9، از 10 تا 90 و از 100 تا 900 با حروف الفبا مشخص شدند. که در یونان باستاناعداد با نه حرف اول الفبای یونانی تعیین می شدند. اعداد از 10 تا 90 9 بعدی هستند. و از 100 تا 900 - با نه حرف آخر الفبای رومی. در میان اسلاوها مقادیر عددیحروف را به ترتیب مطابقت داد ابتدا برای این کار از الفبای گلاگولیتیک و سپس الفبای سیریلیک استفاده شد. در روسیه، چنین شماره گذاری تا پایان قرن هفدهم حفظ شد. سپس پیتر اول شماره گذاری عربی را از خارج از کشور آورد که تا به امروز از آن استفاده می کنیم.

نشانه گذاری - این روشی برای نمایش اعداد و قوانین مربوطه برای کار بر روی اعداد است. سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به دو دسته تقسیم کرد غیر موضعیو موضعی. علائمی که هنگام نوشتن اعداد استفاده می شود، نامیده می شوند در اعداد

که در سیستم های اعداد غیر موقعیتی معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، سیستم رومی (اعداد رومی) است. در سیستم رومی، از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می شود:

مثال 1.عدد CCXXXII از دویست، سه ده و دو واحد تشکیل شده و برابر با دویست و سی و دو است.

در اعداد رومی، اعداد از چپ به راست به ترتیب نزولی نوشته می شوند. در این حالت مقادیر آنها با هم جمع می شوند. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ و یک عدد بزرگتر در سمت راست نوشته شود، مقادیر آنها کم می شود.

مثال 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

مثال 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

که در سیستم های اعداد موقعیتی مقدار مشخص شده با یک رقم در نماد اعداد به موقعیت آن بستگی دارد. تعداد ارقام استفاده شده را پایه سیستم اعداد موقعیتی می نامند.

سیستم اعداد مورد استفاده در ریاضیات مدرن است سیستم اعشاری موقعیتی. پایه آن ده است، زیرا هر عددی با ده رقم نوشته می شود:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ماهیت موقعیتی این سیستم با استفاده از مثال هر عدد چند رقمی به راحتی قابل درک است. به عنوان مثال، در عدد 333، سه اول به معنای سه صد، دوم - سه ده، سوم - سه یک است.

برای نوشتن اعداد در یک سیستم موقعیتی با ریشه nباید داشته باشد الفبااز جانب nشماره معمولا برای این n < 10 используют nاولین اعداد عربی و چه زمانی n> 10 تا 10 اعداد عربیحروف اضافه کنید در اینجا نمونه هایی از حروف الفبای چندین سیستم آورده شده است:

اگر شما نیاز به نشان دادن پایه سیستمی دارید که یک شماره به آن تعلق دارد، یک زیرنویس به این شماره اختصاص داده می شود. مثلا:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

در یک سیستم اعداد با پایه q(q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توان های متوالی یک عدد هستند q.qواحدهای هر دسته، واحد دسته بعدی را تشکیل می دهند. برای نوشتن یک عدد q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q– 1. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

شکل گسترده نوشتن یک عدد

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق با قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

تبدیل اعداد اعشاری به سیستم های اعداد دیگر

تبدیل عدد صحیح

عدد اعشاری کامل ایکسباید به یک سیستم با پایه تبدیل شود q:ایکس= (آ n آ n-1 …آ 1 آ 0) q. نیاز به پیدا کردن ارقام قابل توجهشماره: . بیایید عدد را به شکل بسط یافته نشان دهیم و تبدیل یکسان را انجام دهیم:

از اینجا معلوم است که آ 0 هنگام تقسیم یک عدد باقی می ماند ایکسدر هر عدد q. عبارت داخل پرانتز ضریب صحیح این تقسیم است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ایکس 1. با انجام تبدیل های مشابه، به دست می آوریم:

از این رو، آ 1 باقیمانده تقسیم است ایکس 1 در هر q. با ادامه تقسیم با باقی مانده، دنباله ای از ارقام عدد مورد نظر را به دست خواهیم آورد. عدد یکدر این زنجیره تقسیمات، آخرین ضریب، کوچکتر خواهد بود q.

اجازه دهید قانون حاصل را فرموله کنیم: برای آن برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به یک سیستم اعداد با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) اساس سیستم اعداد جدید را در سیستم اعداد اعشاری بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را طبق قوانین حساب اعشاری انجام دهید.

2) عدد داده شده و ضرایب ناقص حاصل را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید تا زمانی که یک ضریب ناقص کوچکتر از مقسوم علیه بدست آوریم.

3) ترازهای حاصل که ارقام عدد در است سیستم جدیداعداد، آنها را با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت دهید.

4) یک عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین ضریب شروع کنید.

مثال 1.عدد 37 10 را به باینری تبدیل کنید.

برای تعیین ارقام در یک عدد از نمادگرایی استفاده می کنیم: آ 5 آ 4 آ 3 آ 2 آ 1 آ 0

از اینجا: 37 10 = l00l0l 2

مثال 2.عدد اعشاری 315 را به سیستم های هشت و هگزادسیمال تبدیل کنید:

به شرح زیر است: 315 10 = 473 8 = 13B 16. به یاد بیاورید که 11 10 = B 16.

کسر اعشاری ایکس< 1 требуется перевести в систему с основаниемq:ایکس= (0,آ –1 آ –2 …آ–m+1 آ-m) q. باید ارقام مهم عدد را پیدا کنیم: آ –1 ,آ –2 , …,آ-m بیایید عدد را به صورت بسط یافته تصور کنیم و آن را در ضرب کنیم q:

از اینجا معلوم است که آ–1 یک بخش کامل از کار وجود دارد ایکسدر هر عدد q. بیایید نشان دهیم ایکس 1 جزء کسری محصول و ضرب آن در q:

از این رو، آ –2 یک بخش کامل از کار وجود دارد ایکسهر عدد 1 عدد q. با ادامه ضرب، دنباله ای از اعداد به دست می آید. حالا بیایید یک قانون را تدوین کنیم: برای تبدیل کسر اعشاری به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از حاصل را در پایه سیستم اعداد جدید ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا دقت لازم برای نمایش عدد در سیستم اعداد جدید حاصل شود.

2) قسمت های صحیح حاصل از آثار را که ارقام عدد در سیستم اعداد جدید هستند مطابق با الفبای سیستم اعداد جدید قرار دهید.

3) قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و از قسمت صحیح اولین محصول شروع کنید.

مثال 3.کسر اعشاری 0.1875 را به سیستم های باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید.

در اینجا ستون سمت چپ شامل قسمت صحیح اعداد و ستون سمت راست شامل قسمت کسری است.

از این رو: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16

تبدیل اعداد مختلطشامل اجزای صحیح و کسری در دو مرحله انجام می شود. قسمت های صحیح و کسری عدد اصلی به طور جداگانه با استفاده از الگوریتم های مناسب ترجمه می شوند. در ثبت نهایی یک عدد در سیستم اعداد جدید، قسمت صحیح با یک کاما (نقطه) از قسمت کسری جدا می شود.

محاسبات باینری

طبق اصل جان فون نویمان، یک کامپیوتر محاسبات را در آن انجام می دهد سیستم دودوییحساب کردن. در چارچوب دوره پایه، کافی است خود را به در نظر گرفتن محاسبات با اعداد صحیح باینری محدود کنیم. برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی باید قوانین جمع و قوانین ضرب اعداد تک رقمی را بدانید. این قوانین هستند:

اصل جابجایی جمع و ضرب در همه سیستم های عددی کار می کند. تکنیک های انجام محاسبات با اعداد چند رقمی در سیستم باینری شبیه به سیستم اعشاری است. به عبارت دیگر، مراحل جمع، تفریق و ضرب در یک "ستون" و تقسیم بر یک "گوشه" در سیستم باینری به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود.

بیایید به قوانین تفریق و تقسیم اعداد باینری نگاه کنیم. عمل تفریق معکوس جمع است. از جدول جمع بالا قوانین تفریق به شرح زیر است:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

در اینجا مثالی از تفریق اعداد چند رقمی آورده شده است:

نتیجه به‌دست‌آمده را می‌توان با اضافه کردن تفاوت با زیرمجموعه بررسی کرد. نتیجه باید یک عدد کاهشی باشد.

تقسیم عمل معکوس ضرب است. در هر سیستم عددی نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. حاصل تقسیم بر 1 برابر است با سود تقسیمی. تقسیم یک عدد دودویی بر 10 2 اعشار را یک مکان به سمت چپ حرکت می دهد، مشابه تقسیم اعشار بر ده. مثلا:

تقسیم بر 100 نقطه اعشار را 2 مکان به سمت چپ حرکت می دهد و غیره. در دوره ابتدایی، لازم نیست مثال های پیچیده ای از تقسیم اعداد باینری چند رقمی را در نظر بگیرید. اگرچه دانش آموزان توانمند می توانند با آنها کنار بیایند، اما با درک اصول کلی.

نمایش اطلاعات ذخیره شده در حافظه کامپیوتر به شکل دودویی واقعی آن به دلیل تعداد زیاد ارقام بسیار دشوار است. این به ثبت چنین اطلاعاتی بر روی کاغذ یا نمایش آن بر روی صفحه اشاره دارد. برای این اهداف، مرسوم است که از سیستم های مختلط باینری-اکتال یا باینری-هگزادسیمال استفاده شود.

یک رابطه ساده بین نمایش باینری و هگزادسیمال یک عدد وجود دارد. هنگام تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، یک رقم هگزادسیمال مربوط به یک کد باینری چهار رقمی است. این مطابقت در جدول باینری-هگزادسیمال منعکس شده است:

جدول هگزادسیمال باینری

این ارتباط بر اساس این واقعیت است که 16 = 2 4 و تعداد ترکیب های چهار رقمی مختلف اعداد 0 و 1 16 است: از 0000 تا 1111. بنابراین تبدیل اعداد از هگزادسیمال به باینری و بالعکس از طریق تبدیل رسمی انجام می شود.طبق جدول هگزادسیمال باینری.

در اینجا مثالی از تبدیل باینری 32 بیتی به هگزادسیمال آورده شده است:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

اگر یک نمایش هگزادسیمال از اطلاعات داخلی داده شود، تبدیل آن به کد باینری آسان است. مزیت نمایش هگزا دسیمال این است که 4 برابر کوتاهتر از باینری است. برای دانش آموزان توصیه می شود که جدول باینری-هگزادسیمال را حفظ کنند. سپس در واقع برای آنها نمایش هگزا دسیمال معادل باینری خواهد شد.

در سیستم هشت دودویی، هر رقم هشتی مربوط به سه عدد از ارقام باینری است. این سیستم به شما امکان می دهد کد باینری را 3 برابر کاهش دهید.

کار آزمایشگاهی 1. "سیستم های اعداد"

سیستم اعداد قوانینی برای نوشتن اعداد با استفاده از یک مجموعه معین از کاراکترهای خاص - اعداد است.

مردم از روش‌های مختلفی برای نوشتن اعداد استفاده کرده‌اند که می‌توان آن‌ها را در چند گروه ترکیب کرد: یک‌نفره، غیر موضعی و موقعیتی.

دو مورد اول نسبتاً دارای اهمیت تاریخی هستند، زیرا در زمان حاضر کاربرد بسیار محدودی دارند.

سیستم اعداد واحد

یگانه نشانه گذاری یک سیستم اعداد است که در آن فقط از یک علامت برای ثبت اعداد استفاده می شود - 1 ("چوب").

عدد بعدی از عدد قبلی با اضافه کردن 1 جدید بدست می آید. تعداد آنها (جمع) برابر با خود عدد است.

دقیقاً این سیستم است که برای آموزش اولیه شمارش به کودکان استفاده می شود (می توانید "چوب های شمارش" را به خاطر بیاورید).

به عبارت دیگر، استفاده از سیستم unary یک تکنیک آموزشی مهم برای معرفی کودکان به دنیای اعداد و عملیات با آنها است.

غیر موضعی نشانه گذاری

سیستم اعداد غیر موقعیتی - سیستمی که در آن نمادهایی که یک کمیت خاص را نشان می دهند، بسته به مکان (موقعیت) در تصویر عدد، معنای خود را تغییر نمی دهند.

از جانب غیر موضعی رایج ترین سیستم اعداد رومی است.

در آن، برخی از اعداد اصلی با حروف بزرگ لاتین نشان داده شده است:

1 - I، 5 - V، 10 - X، 50 - L، 100 - C، 500 - D، 1000 - M.

همه اعداد دیگر از ترکیب اعداد اصلی ساخته می شوند و:

اگر رقم سمت چپ کمتر از رقم سمت راست باشد، رقم سمت چپ از سمت راست کم می شود.

اگر عدد سمت راست کمتر یا مساوی عدد سمت چپ باشد، این اعداد اضافه می شوند.

نوشتن اعداد در چنین سیستمی دست و پا گیر و ناخوشایند است، اما حتی ناخوشایندتر از آن انجام حتی ساده ترین عملیات حسابی در آن است.

در نهایت، عدم وجود صفر و علامت برای اعداد بزرگتر از M اجازه نمی دهد که هیچ عددی (حتی یک عدد طبیعی) با اعداد رومی نوشته شود. این سیستم برای شماره گذاری استفاده می شود.

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم اعداد موقعیتی آنهایی هستند که در آنها ارزش هر رقم در تصویر یک عدد با موقعیت (موقعیت) آن در یک سری ارقام دیگر تعیین می شود.

مجموعه کاراکترهای مرتب شده (اعداد) (آ 0 , آ v ...، آ پ ), برای نشان دادن هر عددی در یک سیستم عددی موقعیتی معین استفاده می شود الفبا،تعداد کاراکترها (اعداد) حروف الفبا آر= n + 1 - او اساس،و خود سیستم اعداد نامیده می شود آر-ثروتمند.

پایه سیستم اعداد موقعیتی - تعداد ارقام مختلف مورد استفاده برای نشان دادن اعداد در یک سیستم عددی معین.

آشناترین سیستم اعداد برای ما سیستم اعداد اعشاری است. الفبای آن (0، 1، 2، 3، 4، 5، b، 7، 8، 9) و پایه p = 10، یعنی در این سیستم، فقط از ده علامت (رقم) مختلف برای نوشتن هر عدد استفاده می شود. سیستم اعداد اعشاری بر اساس این واقعیت است که 10 واحد از هر رقم در یک واحد از بالاترین رقم مجاور ترکیب می شود، بنابراین هر رقم دارای وزنی برابر با توان 10 است. بنابراین، مقدار همان رقم با مکان آن در تصویر عددی که با توان 10 مشخص می شود. برای مثال، در تصویر عدد 222.22 عدد 2 5 بار تکرار شده است، در حالی که اولین عدد 2 در سمت چپ به معنای تعداد صدها است (وزن آن برابر است با 10 2)؛ دومی تعداد دهها (وزن آن 10 1)، سومی تعداد واحدها (وزن آن 10 0)، چهارمی تعداد دهمهای یک واحد (وزن آن 10-1) و رقم پنجم عدد صدم یک واحد است (وزن آن 2-10 است)، یعنی عدد 222.22 را می توان به توان های عدد 10 گسترش داد:

222.22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2.

به طور مشابه 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304.5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2.

به طور کلی، برای کار آر-سیستم اعداد غنی برای تعیین پایه ضروری است آرو الفبای متشکل از آرکاراکترهای مختلف (اعداد) آ آر من = 1,...,آر.

هر عددی ایکس پرا می توان با بسط آن در توان های عدد به صورت چند جمله ای نشان داد پ:

دنباله ای از ضرایب که شکل اختصاری یک عدد است ایکس پ :

نقطه ای که قسمت صحیح عدد را از کسری جدا می کند برای ثابت کردن مقادیر خاص هر موقعیت در این دنباله اعداد و نقطه شروع است.

روش های تبدیل اعداد نمایش اعداد در سیستم های مختلفحساب مرده

ترجمهاعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

یک عدد را می توان در سیستم های اعداد مختلف نوشت.

الگوریتمتبدیل اعداد صحیح از q -سیستم غنی در پ -rich، برای q > p

برای جایگزینی شماره اصلیایکس q تعداد مساویایکس پ طبق قوانین لازم استq-تقسیم صحیح حسابی غنیایکس q بر مبنای جدیدپ. نتایج تقسیم که به ترتیب از آخر به اول نوشته می شود، اعداد X خواهد بود پ .

از آنجایی که ضرایب چند جمله ای ناشناخته هستند، آنها را a i نشان می دهیم. ما گرفتیم:

معمولاً روش توصیف شده در قالب یک عملیات تقسیم آشنا در مدرسه ارائه می شود:

بنابراین، ما X 5 = 443 را دریافت کردیم.

صحت ترجمه را بررسی می کنیم: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10.

دومین چیزی که باید به آن توجه کنید این است تمام عملیات بر اساس قوانین حسابی سیستم اعدادی که ترجمه از آن انجام شده است انجام شد(در مثال در نظر گرفته شده - اعشاری).

الگوریتم تبدیل اعداد صحیح از q -سیستم غنی در پ غنی، برای q< p

برای ترجمه باید یک عدد ارائه کنیدایکس q پ- محاسبات غنی

X 6  X 10، X = 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

استفاده از الگوریتم های فوق هنگام تبدیل یک عدد از یک سیستم اعشاری به سیستم دیگر یا برعکس، راحت است.

آنها همچنین برای ترجمه بین هر سیستم اعداد دیگری کار می کنند، با این حال، چنین ترجمه ای با این واقعیت پیچیده می شود که تمام عملیات حسابی باید طبق قوانین منبع (در الگوریتم اول) یا نهایی (در الگوریتم دوم) انجام شود. ) سیستم.

به همین دلیل، انتقال، برای مثال X 3  X 8، از طریق یک انتقال میانی به سیستم دهم X 3  X 10  X 8 آسان تر است.

الگوریتم تبدیل کسرهای مناسب برای q > p

نتیجه تبدیل کسر مناسب 0,X q نیز کسر مناسب 0,X p خواهد بود که از ضرب کسر اصلی در پایه جدید بدست می آیدپطبق قوانینq- محاسبات غنی؛ بخش صحیح حاصلضرب، بالاترین رقم کسر جدید خواهد بود. قسمت کسری حاصلضرب باید دوباره در ضرب شودپو غیره.

مثال: 0.X 10  0.X 2. 0.X=0.375 10

سپس برای بدست آوردن 0،X 2:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

بنابراین، 0.375 10 = 0.011 2.

بررسی 0.011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0.25+1.125=0.375 10

الگوریتم تبدیل کسرهای مناسب برای q< p

برای ترجمهایکس q  ایکس پ شماره باید ارائه شودایکس q به صورت چند جمله ای و انجام کلیه عملیات طبق قوانینپ- محاسبات غنی

مثال: X 6  X 10، X 6 = 0.234 6

برای این

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

بررسی می کنیم:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0.66612*6=3.99672 4 0 (خطا در محاسبه در صورت به دست آوردن ir اعداد گویا}

مثال: X 2  X 10، X=0.10101 2

برای این

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

بررسی می کنیم:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 , 0 . درست است

تبدیل اعداد بین سیستم های اعداد 2 – 8 – 16

نمونه هایی از نمایش اعداد در این سیستم های اعداد در جدول 1 آورده شده است

جدول 1. سیستم های اعداد

اعشاری	دودویی			اعشاری	دودویی

برای تبدیل یک عدد باینری عدد صحیح به سیستم اعداد ریشه ایپ = 2 r کافی است عدد باینری داده شده را با شروع از کمترین رقم، به گروه‌هایی تقسیم کنیمrهر عدد و هر گروه را به طور مستقل در سیستم ترجمه کنیدپ.

به عنوان مثال، برای تبدیل عدد 110001 2 به سیستم اعداد p=8، باید عدد اصلی را به گروه های سه رقمی از راست به چپ (8 = 2 3، بنابراین، r = 3) تقسیم کنید و آن را به سیستم اعداد اکتالی: 110001 2 =61 8 . بررسی می کنیم 110001 2 =32+16+1=49 10, 6*8 1 +1*8 0 =49 10

به همین ترتیب، با تقسیم ارقام باینری به گروه های 4 تایی، 110001 2 = 31 16 به دست می آید.

برای تبدیل یک عدد صحیح نوشته شده در یک سیستم اعداد ریشه ایپ = 2 r ، در سیستم باینری کافی است هر رقم از عدد اصلی را به طور مستقل با عدد مربوطه جایگزین کنیدr- عدد باینری بیت، در صورت لزوم، آن را با صفرهای ناچیز به یک گروه در تکمیل می کندrشماره

مثال: عدد D3 16 را در سیستم اعداد باینری تصور کنید:

به عنوان مثال، 123 8 = 001010011 2 = 53 16.

وظایف برای تکمیل مستقل

عدد X p سیستم اعداد p-ary را به X q از سیستم اعداد q-ary تبدیل کنید

X 5  X 10، که در آن X 5 = 123

X 3  X 10، که در آن X 3 = 102

X 10  X 4، که در آن X 10 = 123

X 10  X 6، که در آن X 10 = 548

X 5  X 3، که در آن X 3 = 421

X 2  X 6، که در آن X 2 = 0111001

X 2  X 16، که در آن X 2 = 10011

X 2  X 8، که در آن X 2 = 101010

X 16  X 2، که در آن X 16 = AD3

X 8  X 2، که در آن X 8 = 5470

II. تبدیل عدد اعشاری به باینری:

743 10، ب) 334.12 10، ج) 61.375، د) 160.25 10، ه) 131.82 10

III. تبدیل عدد اعشاری به عدد هگزادسیمال:

445 10، ب) 334.12 10، ج) 261.375، د) 160.25 10، ه) 131.82 10

سیستم اعداد واحد (یونی). لیست سیستم های اعداد

نشانه گذاری:

• نمایش مجموعه ای از اعداد (اعداد صحیح و/یا واقعی) را ارائه می دهد.
• به هر عدد یک نمایش منحصر به فرد (یا حداقل یک نمایش استاندارد) می دهد.
• ساختار جبری و حسابی اعداد را منعکس می کند.

سیستم های اعداد به دو دسته تقسیم می شوند موضعی, غیر موضعیو مختلط.

سیستم های اعداد موقعیتی

در سیستم های اعداد موقعیتی، علامت عددی (رقمی) یکسانی در نماد یک عدد وجود دارد معانی مختلفبسته به مکان (دسته) که در آن قرار دارد. اختراع شماره گذاری موقعیتی بر اساس معنی مکان ارقام به سومری ها و بابلی ها نسبت داده می شود. چنین شماره گذاری توسط هندوها ایجاد شد و پیامدهای ارزشمندی در تاریخ تمدن بشری داشت. چنین سیستم هایی شامل سیستم اعداد اعشاری مدرن است که ظهور آن با شمارش انگشتان همراه است. که در اروپای قرون وسطیاز طریق بازرگانان ایتالیایی ظاهر شد که به نوبه خود آن را از مسلمانان قرض گرفتند.

سیستم اعداد موقعیتی معمولاً به سیستم عدد غنی اشاره دارد که توسط یک عدد صحیح به نام تعیین می شود اساسسیستم های اعداد یک عدد صحیح بدون علامت در سیستم اعداد -ary به صورت ترکیب خطی محدودی از توان های یک عدد نشان داده می شود:

، جایی که اعداد صحیح نامیده می شوند در اعداد، ارضای نابرابری.

هر درجه در چنین نمادی وزن رتبه ای نامیده می شود. قدمت ارقام و ارقام مربوط به آنها با مقدار نشانگر (عدد رقمی) تعیین می شود. به طور معمول، در اعداد غیر صفر، صفرهای سمت چپ حذف می شوند.

اگر هیچ تناقضی وجود نداشته باشد (مثلاً وقتی همه اعداد به شکل کاراکترهای نوشته شده منحصر به فرد ارائه می شوند)، عدد به صورت دنباله ای از ارقام الفبایی آن نوشته می شود که به ترتیب نزولی اولویت ارقام از چپ به راست فهرست شده است:

مثلا عدد یکصد و سهدر سیستم اعداد اعشاری به صورت:

در حال حاضر بیشترین استفاده از سیستم های موقعیتی عبارتند از:

در سیستم های موقعیتی، هرچه پایه سیستم بزرگتر باشد، هنگام نوشتن یک عدد، تعداد ارقام کمتری (یعنی ارقام نوشته شده) مورد نیاز است.

سیستم های اعداد مختلط

سیستم اعداد مختلطتعمیم سیستم اعداد غنی است و همچنین اغلب به سیستم های اعداد موقعیتی اشاره دارد. اساس سیستم اعداد مختلط یک دنباله فزاینده از اعداد است و هر عدد در آن به عنوان یک ترکیب خطی نشان داده می شود:

، جایی که ضرایب مانند قبل فراخوانی می شوند در اعداد، برخی محدودیت ها اعمال می شود.

نوشتن یک عدد در یک سیستم اعداد مختلط، فهرست کردن ارقام آن به ترتیب نزولی شاخص است که با اولین غیر صفر شروع می‌شود.

بسته به نوع به عنوان تابعی از، سیستم های اعداد مختلط می توانند توانی، نمایی و غیره باشند. هنگامی که برای برخی، سیستم اعداد مختلط با سیستم اعداد غنی نمایی منطبق است.

معروف ترین مثال سیستم اعداد مختلط، نمایش زمان به صورت تعداد روز، ساعت، دقیقه و ثانیه است. در این مورد، مقدار "روز، ساعت، دقیقه، ثانیه" با مقدار ثانیه مطابقت دارد.

سیستم اعداد فاکتوریل

که در سیستم اعداد فاکتوریلپایه ها دنباله ای از فاکتوریل ها هستند و هر عدد طبیعی به صورت زیر نمایش داده می شود:

، جایی که .

سیستم اعداد فاکتوریل زمانی استفاده می شود که رمزگشایی جایگشت ها با فهرستی از وارونگی ها: با داشتن عدد جایگشت می توانید آن را به صورت زیر بازتولید کنید: عددی که یک عدد کمتر از عدد است (اعداد از صفر شروع می شود) در سیستم اعداد فاکتوریل نوشته می شود و ضریب عدد i! نشان دهنده تعداد وارونگی های عنصر i+1 در مجموعه ای است که جایگشت ها در آن ایجاد شده است (تعداد عناصر کوچکتر از i+1، اما در سمت راست آن در جایگشت مورد نظر قرار دارند)

مثال: مجموعه ای از جایگشت های 5 عنصر را در نظر بگیرید، در کل 5 عنصر وجود دارد! = 120 (از جایگشت شماره 0 - (1،2،3،4،5) به جایگشت شماره 119 - (5،4،3،2،1))، بیایید جایگشت 101 را پیدا کنیم: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; بگذارید ti ضریب عدد i باشد!، سپس t4 = 4، t3 = 0، t2 = 2، t1 = 0، سپس: تعداد عناصر کمتر از 5، اما در سمت راست، 4 است. تعداد عناصر کمتر از 4 اما در سمت راست 0 است. تعداد عناصر کمتر از 3، اما واقع در سمت راست 2 است. تعداد عناصر کمتر از 2، اما در سمت راست 0 است (آخرین عنصر در جایگشت در تنها مکان باقی مانده "قرار داده می شود") - بنابراین، جایگشت 101 به نظر می رسد: (5،3،1،2 4) بررسی این روش می تواند با شمارش مستقیم وارونگی ها برای هر عنصر جایگشت انجام شود.

سیستم اعداد فیبوناچیبر اساس اعداد فیبوناچی هر عدد طبیعی به شکل زیر نمایش داده می شود:

، اعداد فیبوناچی کجا هستند، و ضرایب دارای یک عدد محدود هستند و دو عدد در یک ردیف وجود ندارد.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی

در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، مقداری که یک رقم نشان می دهد به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد. در این حالت، سیستم می تواند محدودیت هایی را برای موقعیت اعداد اعمال کند، به عنوان مثال، به ترتیب نزولی مرتب شوند.

سیستم اعداد دو جمله ای

نمایش با استفاده از ضرایب دو جمله ای

، جایی که .

سیستم کلاس باقیمانده (RSS)

نمایش عدد در سیستم کلاس باقیمانده بر اساس مفهوم باقیمانده و قضیه باقی مانده چینی است. RNS با مجموعه ای از نسبتاً اول تعیین می شود ماژول هابا محصول به گونه ای که هر عدد صحیح از بخش با مجموعه ای از باقیمانده ها همراه باشد، که در آن

…

در عین حال، قضیه باقیمانده چینی منحصر به فرد بودن نمایش اعداد از بازه را تضمین می کند.

در RNS، عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) در صورتی انجام می شود که نتیجه یک عدد صحیح باشد و همچنین در .

معایب RNS توانایی نمایش تعداد محدودی از اعداد و همچنین عدم وجود الگوریتم های موثر برای مقایسه اعداد ارائه شده در RNS است. مقایسه معمولاً از طریق ترجمه آرگومان‌ها از RNS به یک سیستم اعداد ریشه‌ای مختلط انجام می‌شود.

سیستم شماره استرن-بروکوت- روشی برای نوشتن اعداد گویا مثبت، بر اساس درخت Stern–Brocot.

سیستم های اعداد ملل مختلف

سیستم شماره واحد

ظاهراً از نظر زمانی اولین سیستم اعداد هر ملتی است که در شمارش تسلط دارد. عدد طبیعیبا تکرار همان علامت (خط تیره یا نقطه) به تصویر کشیده می شود. به عنوان مثال، برای به تصویر کشیدن عدد 26، باید 26 خط بکشید (یا 26 بریدگی روی یک استخوان، سنگ و غیره ایجاد کنید). متعاقباً به خاطر سهولت درک اعداد بزرگ، این علائم در گروه های سه یا پنج نفری دسته بندی می شوند. سپس گروه‌های حجم مساوی از علائم با علامت جدیدی جایگزین می‌شوند - اینگونه است که نمونه‌های اولیه اعداد آینده به وجود می‌آیند.

سیستم اعداد مصر باستان

سیستم اعداد بابلی

سیستم های اعداد الفبایی

سیستم های اعداد الفبایی توسط ارمنیان باستان، گرجی ها، یونانی ها (سیستم اعداد یونی)، اعراب (ابجدیه)، یهودیان (به gematria مراجعه کنید) و دیگر مردمان خاورمیانه استفاده می شد. در کتابهای مذهبی اسلاو، سیستم الفبای یونانی به حروف سیریلیک ترجمه شد.

سیستم اعداد یهودی

سیستم اعداد یونانی

سیستم اعداد رومی

مثال متعارف یک سیستم اعداد تقریبا غیر موقعیتی، رومی است که از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می کند:
من مخفف 1 است،
V - 5،
X - 10،
L - 50،
C - 100،
D - 500،
M - 1000

به عنوان مثال، II = 1 + 1 = 2
در اینجا نماد I مخفف 1 بدون توجه به جایگاه آن در عدد است.

در واقع، سیستم رومی کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا رقم کوچکتر که قبل از بزرگتر قرار می گیرد از آن کم می شود، برای مثال:

IV = 4، در حالی که:
VI = 6

سیستم اعداد مایاها

همچنین ببینید

یادداشت

پیوندها

• گاشکوف اس بی.سیستم های اعداد و کاربردهای آنها - M.: MTsNMO، 2004. - (کتابخانه "آموزش ریاضی").
• فومین اس.وی.سیستم های اعداد - M.: Nauka، 1987. - 48 ص. - (سخنرانی محبوب در ریاضیات).
• یاگلوم I.سیستم های اعداد // کوانتومی. - 1970. - شماره 6. - ص 2-10.
• اعداد و سیستم های اعداد دایره المعارف آنلاین در سراسر جهان.
• استاخوف آ.نقش سیستم های اعداد در تاریخ کامپیوتر
• سیستم های شماره Mikushin A.V. دوره سخنرانی "دستگاه های دیجیتال و ریزپردازنده ها"
• باتلر جی.تی، ساسائو تی. سیستم‌های اعداد چندمقدار اضافی این مقاله سیستم‌های اعدادی را مورد بحث قرار می‌دهد که از ارقام بزرگ‌تر از یک استفاده می‌کنند و اجازه افزونگی در نمایش اعداد را می‌دهند.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• معنی اسم زن مارینا;
• سازگاری بر اساس تاریخ تولد;
• چرا بستگان خواب می بینند - طبق کتاب رویای مدرن;
• تعبیر خواب فرزندخواندگی در کتابهای رویایی;
• اگر شب را در خواب ببینید تعبیرش چیست؟;
• سیگنال دهی صوتی و رفتار پرنده اهمیت سیگنال دهی صوتی برای پرندگان چیست؟;
• سبک زندگی و زیستگاه بینی;
• ویژگی های خانواده سنجاب و خوابگاه: مورفولوژی، سبک زندگی، نمایندگان، اهمیت;