कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत कैसे आया? कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

जब मैं स्कूल में था, हमारे भौतिकी के शिक्षक, बदर ने एक बार पाठ के बाद मुझे अपने स्थान पर बुलाया और कहा: “तुम ऐसे दिखते हो जैसे तुम हर चीज से बहुत थके हुए हो; कुछ दिलचस्प सुनो।" और उसने मुझे कुछ ऐसा बताया जो मुझे लगा कि वास्तव में आकर्षक था। अब भी, हालाँकि तब से बहुत समय बीत चुका है, फिर भी यह मुझे मोहित करता है। और हर बार मुझे याद आता है कि क्या कहा गया था, मैं काम पर वापस आ जाता हूं। और इस बार, व्याख्यान की तैयारी करते हुए, मैंने स्वयं को फिर से उन्हीं सभी चीज़ों का विश्लेषण करते पाया। और, व्याख्यान की तैयारी करने के बजाय, मैंने निर्णय लिया नया कार्य. मैं जिस विषय की बात कर रहा हूं वह है कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत।


- यही मेरे शिक्षक बदर ने मुझे बताया था: “उदाहरण के लिए, आपके पास गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण है; यह कण कहीं से निकलकर स्वतंत्र रूप से कहीं दूसरे बिंदु पर चला जाता है। तुमने उसे फेंक दिया, कहो, ऊपर, और वह उड़ गई, और फिर गिर गई।

शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक, इसमें कुछ समय लगा। अब किसी अन्य आंदोलन का प्रयास करें। मान लीजिए कि "यहाँ से यहाँ" जाने के लिए, वह पहले की तरह नहीं, बल्कि इस तरह चलती है:

लेकिन फिर भी मैं पहले की तरह उसी समय सही जगह पर समाप्त हो गया।

"और इसलिए," शिक्षक ने जारी रखा, "यदि आप कण के पथ के साथ समय के प्रत्येक क्षण में गतिज ऊर्जा की गणना करते हैं, तो इसमें से संभावित ऊर्जा घटाते हैं और पूरे समय के अंतर को एकीकृत करते हैं जब आंदोलन हुआ था, तो आप देखें कि आपको जो संख्या मिलेगी वह होगी अधिक,कण की वास्तविक गति की तुलना में।

दूसरे शब्दों में, न्यूटन के नियमों को F = ma के रूप में नहीं, बल्कि निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: औसत गतिज ऊर्जा घटा औसत संभावित ऊर्जा अपने आप पहुंचती है सबसे छोटा मूल्यउस प्रक्षेपवक्र पर जिसके साथ कोई वस्तु वास्तव में एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाती है।

मैं आपको इसे थोड़ा और स्पष्ट रूप से समझाने की कोशिश करूँगा।
यदि हम गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र लेते हैं और कण के प्रक्षेपवक्र को निरूपित करते हैं एक्स(टी), कहाँ एक्सजमीन से ऊपर की ऊंचाई है (हम अभी के लिए एक माप के साथ प्रबंधन करेंगे; प्रक्षेपवक्र को केवल ऊपर और नीचे चलने दें, न कि पक्षों की ओर), तो गतिज ऊर्जा होगी वाई 2 एम(डीएक्स/ डीटी) 2, एसमय के एक मनमाने क्षण में संभावित ऊर्जा के बराबर होगी mgx.


अब, प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन के कुछ पल के लिए, मैं गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच अंतर लेता हूं और हर समय शुरुआत से अंत तक एकीकृत करता हूं। शुरुआती समय में दें टेक्सास आंदोलन एक निश्चित ऊंचाई पर शुरू हुआ और एक पल में समाप्त हो गया टी 2 एक अलग ऊंचाई पर।

फिर अभिन्न ∫ t2 t1 dt है

सच्चा आंदोलन कुछ वक्र के साथ किया जाता है (समय के कार्य के रूप में यह एक परबोला है) और अभिन्न के कुछ निश्चित मूल्य की ओर जाता है। लेकिन आप कर सकते हैं पहलेरखनाकुछ अन्य आंदोलन: पहले एक तेज वृद्धि, और फिर कुछ विचित्र उतार-चढ़ाव।

आप इस रास्ते पर स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं के बीच के अंतर की गणना कर सकते हैं...या कोई और। और सबसे खास बात यह है कि असली रास्ता वही है जिसके साथ यह अभिन्न सबसे छोटा है।
चलो पता करते हैं। आरंभ करने के लिए, हम निम्नलिखित मामले का विश्लेषण करेंगे: एक मुक्त कण में कोई संभावित ऊर्जा नहीं होती है। तब नियम कहता है कि एक निश्चित समय में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर जाने पर गतिज ऊर्जा का समाकल सबसे छोटा होना चाहिए। और इसका मतलब है कि कण को ​​समान रूप से चलना चाहिए। (और ठीक ही तो, आप और मैं जानते हैं कि इस तरह की गति में गति स्थिर है।) और समान रूप से क्यों? आइए इसका पता लगाते हैं। यदि यह अन्यथा होता, तो कभी कण की गति औसत से अधिक होती, और कभी उससे कम होती, और औसत गति समान होती, क्योंकि कण को ​​"यहाँ से यहाँ" में जाना होता सहमत समय। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक निश्चित समय के भीतर अपनी कार में घर से स्कूल जाना है, तो आप इसे अलग-अलग तरीकों से कर सकते हैं: आप पहले पागलों की तरह गाड़ी चला सकते हैं, और अंत में धीमे हो सकते हैं, या उसी गति से गाड़ी चला सकते हैं, या आप वापस भी जा सकते हैं, और उसके बाद ही स्कूल की ओर मुड़ सकते हैं, आदि। सभी मामलों में, औसत गति, निश्चित रूप से समान होनी चाहिए - समय से विभाजित घर से स्कूल तक की दूरी का भागफल। लेकिन इस औसत गति पर भी, आप कभी बहुत तेज और कभी बहुत धीमी गति से चलते हैं। एक मध्यम वर्गकुछ ऐसा जो माध्य से विचलित होता है वह हमेशा माध्य के वर्ग से अधिक होता है; इसका मतलब यह है कि गति की गति में उतार-चढ़ाव के दौरान गतिज ऊर्जा का अभिन्न अंग हमेशा एक स्थिर गति से आगे बढ़ने की तुलना में अधिक होगा। आप देखते हैं कि गति स्थिर होने पर (बलों की अनुपस्थिति में) अभिन्न न्यूनतम तक पहुंच जाएगा। यह सही तरीका है।

गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में फेंकी गई वस्तु पहले तेजी से ऊपर उठती है, और फिर धीरे-धीरे बढ़ती जाती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इसमें संभावित ऊर्जा भी होती है, और इसे सबसे छोटे मूल्य तक पहुंचना चाहिए एक बारसत्तागतिज और संभावित ऊर्जा के बीच .. चूंकि संभावित ऊर्जा बढ़ने के साथ बढ़ती है, फिर छोटी होती है अंतरयदि आप उन ऊंचाइयों तक पहुँचते हैं जहाँ संभावित ऊर्जा जितनी जल्दी हो सके, यह बाहर हो जाएगा। फिर, इस उच्च क्षमता को गतिज ऊर्जा से घटाकर, हम औसत में कमी प्राप्त करते हैं। इसलिए संभावित ऊर्जा की कीमत पर ऊपर जाकर एक अच्छे नकारात्मक टुकड़े की आपूर्ति करना अधिक लाभदायक है।

मेरे शिक्षक ने मुझे बस इतना ही बताया क्योंकि वह एक बहुत अच्छे शिक्षक थे और जानते थे कि कब रुकना है। दुर्भाग्य से मैं ऐसा नहीं हूं। मेरे लिए समय पर रुकना कठिन है। और इसलिए, केवल मेरी कहानी के साथ आपकी रुचि को प्रज्वलित करने के बजाय, मैं आपको डराना चाहता हूं, मैं चाहता हूं कि आप जीवन की जटिलता से बीमार हो जाएं - मैंने जो कहा है, उसे साबित करने की कोशिश करूंगा। हम जिस गणितीय समस्या को हल करेंगे वह बहुत ही कठिन और अनोखी है। कुछ मूल्य है एस, बुलाया कार्य।यह गतिज ऊर्जा माइनस के बराबर है जो समय के साथ एकीकृत संभावित ऊर्जा है:

लेकिन, दूसरी ओर, आप न तो बहुत तेजी से आगे बढ़ सकते हैं और न ही बहुत ऊपर चढ़ सकते हैं, क्योंकि इसके लिए बहुत अधिक गतिज ऊर्जा की आवश्यकता होगी। आपको अपने निपटान में उपलब्ध समय सीमा के भीतर ऊपर और नीचे जाने के लिए पर्याप्त तेजी से चलना होगा। इसलिए आपको बहुत ऊंची उड़ान भरने की कोशिश नहीं करनी चाहिए, बल्कि बस कुछ उचित स्तर तक पहुंचने की जरूरत है। नतीजतन, यह पता चला है कि समाधान जितना संभव हो उतना संभावित ऊर्जा प्राप्त करने की इच्छा और जितना संभव हो सके गतिज ऊर्जा की मात्रा को कम करने की इच्छा के बीच एक प्रकार का संतुलन है - यह अधिकतम कमी प्राप्त करने की इच्छा है गतिज और संभावित ऊर्जा के बीच अंतर में।

यह मत भूलो कि प. और c.e. दोनों ही समय के कार्य हैं। किसी भी नए बोधगम्य पथ के लिए, यह क्रिया अपना निश्चित अर्थ लेती है। गणितीय समस्या यह निर्धारित करना है कि किस वक्र के लिए यह संख्या दूसरों की तुलना में कम है।

आप कहते हैं, "ओह, यह केवल एक विशिष्ट उच्च और निम्न उदाहरण है। हमें क्रिया को गिनना चाहिए, उसमें अंतर करना चाहिए और न्यूनतम का पता लगाना चाहिए।

पर रुको। आम तौर पर हमारे पास कुछ चर का एक कार्य होता है और मूल्य खोजने की आवश्यकता होती है चर,जिस पर फलन सबसे छोटा या सबसे बड़ा हो जाता है। मान लीजिए कि बीच में एक रॉड गरम है। इसके साथ ऊष्मा फैलती है और छड़ के प्रत्येक बिंदु पर एक तापमान निर्धारित किया जाता है। आपको उस बिंदु को खोजने की जरूरत है जहां यह उच्चतम है। लेकिन हम कुछ बिल्कुल अलग बात कर रहे हैं - अंतरिक्ष में हर रास्ताइसकी संख्या का उत्तर देता है, और इसे खोजना है पथ,जिसके लिए यह संख्या न्यूनतम है। यह गणित का बिल्कुल अलग क्षेत्र है। यह कोई साधारण गणित नहीं है, लेकिन परिवर्तन संबंधी(यही वे इसे कहते हैं)।

गणित के इस क्षेत्र में कई समस्याएं हैं। उदाहरण के लिए, एक वृत्त को आमतौर पर उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनकी किसी दिए गए बिंदु से दूरी समान होती है, लेकिन एक वृत्त को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है: यह वक्रों में से एक है दी गई लंबाई,जो सबसे बड़ा क्षेत्र है। समान परिधि का कोई अन्य वक्र एक वृत्त से छोटा क्षेत्र घेरता है। इसलिए यदि हम कार्य निर्धारित करते हैं: किसी दिए गए परिधि के वक्र को खोजने के लिए जो सबसे बड़े क्षेत्र को सीमित करता है, तो हमारे पास विविधताओं की कलन से कार्य होगा, न कि उस कलन से, जिसके आप आदी हैं।

इसलिए, हम अभिन्न अंग को शरीर द्वारा तय किए गए पथ पर ले जाना चाहते हैं। इसे इस तरह से करते हैं। संपूर्ण बिंदु यह कल्पना करना है कि एक सच्चा मार्ग है और हम जो भी वक्र बनाते हैं वह एक सच्चा मार्ग नहीं है, ताकि यदि हम इसके लिए क्रिया की गणना करें, तो हमें क्रिया के अनुरूप संख्या से अधिक संख्या प्राप्त हो। वास्तविक पथ।

तो कार्य सही मार्ग खोजना है। वह कहाँ भागता है? बेशक, एक तरीका यह होगा कि लाखों और करोड़ों रास्तों के लिए कार्रवाई की गणना की जाए और फिर देखा जाए कि किस रास्ते में सबसे छोटी कार्रवाई है। यह वह तरीका है जिसमें क्रिया न्यूनतम है, और वास्तविक होगी।

यह तरीका काफी संभव है। हालाँकि, इसे आसान बनाया जा सकता है। यदि कोई ऐसी मात्रा है जिसमें न्यूनतम (सामान्य कार्य, कहते हैं, तापमान) है, तो न्यूनतम के गुणों में से एक यह है कि इससे कुछ दूरी पर जाने पर पहलाछोटेपन के क्रम में, फलन अपने न्यूनतम मान से केवल राशि से विचलित होता है दूसराआदेश देना। और वक्र के किसी भी अन्य स्थान पर, एक छोटी दूरी से एक बदलाव फ़ंक्शन के मान को छोटेपन के पहले क्रम के मान से भी बदल देता है। लेकिन कम से कम, पहले सन्निकटन में पक्ष की ओर थोड़ा सा विचलन फलन में परिवर्तन की ओर नहीं ले जाता है।

यह वह संपत्ति है जिसका उपयोग हम वास्तविक पथ की गणना करने के लिए करने जा रहे हैं।

यदि पथ सही है, तो पहले सन्निकटन के रूप में इससे थोड़ा अलग वक्र क्रिया के परिमाण में परिवर्तन की ओर नहीं ले जाएगा। सभी परिवर्तन, यदि यह वास्तव में न्यूनतम थे, केवल दूसरे सन्निकटन में ही घटित होंगे।

यह सिद्ध करना आसान है। यदि वक्र से कुछ विचलन के लिए पहले क्रम में परिवर्तन होते हैं, तो ये क्रिया में परिवर्तन होते हैं आनुपातिकविचलन। वे कार्रवाई बढ़ाने की संभावना रखते हैं; अन्यथा यह न्यूनतम नहीं होगा। लेकिन समय बदल जाता है आनुपातिकविचलन, तो विचलन के चिह्न को बदलने से क्रिया कम हो जाएगी। यह पता चला है कि एक तरफ विचलन के साथ, क्रिया बढ़ जाती है, और विपरीत दिशा में विचलन के साथ घट जाती है। इसके वास्तव में न्यूनतम होने की एकमात्र संभावना यह है कि, पहले सन्निकटन के रूप में, कोई परिवर्तन नहीं होता है और परिवर्तन वास्तविक पथ से विचलन के वर्ग के समानुपाती होता है।

तो, हम निम्नलिखित पथ का अनुसरण करेंगे: निरूपित करें एक्स(टी) (नीचे एक पंक्ति के साथ) सच्चा मार्ग वह है जिसे हम खोजना चाहते हैं। आइए कुछ ट्रायल रन करते हैं एक्स(टी), एक छोटी राशि से वांछित से भिन्न, जिसे हम निरूपित करते हैं η (टी).

विचार यह है कि यदि हम क्रिया को गिनते हैं एस एक रास्ते में एक्स(टी), फिर इसके बीच का अंतर एस और वह क्रिया जिसकी गणना हमने पथ के लिए की थी एक्स(टी) (सरलता के लिए, इसे निरूपित किया जाएगा एस), या के बीच का अंतर एस_ और एस, पहले सन्निकटन में होना चाहिए η शून्य। वे दूसरे क्रम में भिन्न हो सकते हैं, लेकिन पहले क्रम में अंतर शून्य होना चाहिए।

और यह किसी के लिए देखा जाना चाहिए η . हालांकि, सभी के लिए काफी नहीं है। विधि में केवल उन पथों को ध्यान में रखने की आवश्यकता है जो सभी बिंदुओं की एक ही जोड़ी पर शुरू और समाप्त होते हैं, अर्थात, प्रत्येक पथ को एक निश्चित बिंदु पर शुरू होना चाहिए टी 1 और इस समय एक अन्य विशिष्ट बिंदु पर समाप्त करें टी 2 . ये बिंदु और क्षण निश्चित हैं। तो हमारा कार्य डी) (विचलन) दोनों सिरों पर शून्य होना चाहिए: η (टी 1 )= 0 और η (टी2)=0। इस स्थिति में हमारी गणितीय समस्या पूरी तरह परिभाषित हो जाती है।

यदि आप डिफरेंशियल कैलकुलस नहीं जानते हैं, तो आप एक सामान्य फ़ंक्शन का न्यूनतम पता लगाने के लिए एक ही काम कर सकते हैं एफ(एक्स). क्या आप सोच सकते हैं कि लेने से क्या होगा एफ(एक्स) और जोड़ें एक्सछोटी राशि एच, और तर्क देंगे कि संशोधन एफ(एक्स) पहले क्रम में द्वारा एच कम से कम शून्य होना चाहिए। क्या आप फ्रेम करेंगे एक्स +एच के बजाय एक्सऔर j(x+h) को प्रथम घात तक विस्तृत करें एच. . एक शब्द में, वह सब कुछ दोहराएगा जो हम करना चाहते हैं η .

यदि अब हम इसे ध्यान से देखें तो हम देखेंगे कि यहाँ लिखे गए पहले दो पद उस क्रिया के अनुरूप हैं एस, जो मैं इच्छित सच्चे मार्ग के लिए लिखूंगा एक्स।मैं आपका ध्यान बदलाव पर केंद्रित करना चाहता हूं एस, यानी, बीच के अंतर पर एस और विषय एस_, जो सच्चे मार्ग के लिए प्राप्त होगा। हम इस अंतर को इस प्रकार लिखेंगे बी एस और इसे भिन्नता कहते हैं एस. "दूसरे और उच्च आदेश" को छोड़कर, हम प्राप्त करते हैं σS

अब कार्य इस तरह दिखता है। यहाँ मेरे सामने एक अभिन्न है। मुझे अभी तक नहीं पता कि यह कैसा है, लेकिन मुझे पता है कि क्या, क्या है η मैं इसे नहीं लूंगा, यह अभिन्न शून्य के बराबर होना चाहिए। "ठीक है," आप सोच सकते हैं, एकमात्र संभावनाइसके लिए इतना है कि गुणक at η शून्य के बराबर था। लेकिन पहले कार्यकाल का क्या, जहां है डी η / डीटी? आप कहते हैं: "यदि η कुछ नहीं में बदल जाता है, तो इसका व्युत्पत्ति वही कुछ नहीं है; इसलिए गुणांक डीवी\/ डीटी भी शून्य होना चाहिए। खैर, यह पूरी तरह सच नहीं है। यह पूरी तरह सच नहीं है क्योंकि विचलन के बीच η और इसके व्युत्पत्ति में एक संबंध है; वे पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि η (टी) शून्य होना चाहिए और टी 1 और कम से टी 2 .


विभिन्नताओं की कलन की सभी समस्याओं को हल करने में हमेशा एक ही सामान्य सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। आप जो बदलना चाहते हैं उसे थोड़ा बदल दें (जैसे हमने जोड़कर किया η ), पहले आदेश की शर्तों पर नज़र डालें, तबसब कुछ व्यवस्थित करें ताकि आपको इस रूप में एक अभिन्न मिल जाए: “शिफ्ट (η ), यह जो निकलता है उससे गुणा किया जाता है, "लेकिन इसका कोई डेरिवेटिव नहीं है η (नहीं डी η / डीटी). हर चीज को इस तरह से रूपांतरित करना नितांत आवश्यक है कि "कुछ" गुणा करके रह जाए η . अब आप समझ गए होंगे कि यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है। (ऐसे सूत्र हैं जो आपको बताएंगे कि कुछ मामलों में आप इसे बिना किसी गणना के कैसे कर सकते हैं; लेकिन वे इतने सामान्य नहीं हैं कि उन्हें सीखना उचित है; गणना करना सबसे अच्छा है जिस तरह से हम इसे करते हैं।)

मैं एक डिक का रीमेक कैसे बना सकता हूं डी η / डीटी, इसमें प्रकट होने के लिए η ? मैं इसे भागों द्वारा एकीकृत करके प्राप्त कर सकता हूं। यह पता चला है कि विविधताओं की गणना में भिन्नता को लिखने की पूरी चाल है एस और फिर भागों द्वारा एकीकृत करें ताकि डेरिवेटिव का η गायब हुआ। उन सभी समस्याओं में जिनमें अवकलज प्रकट होते हैं, एक ही युक्ति की जाती है।

याद करना सामान्य सिद्धांतभागों द्वारा एकीकरण। यदि आपके पास एक मनमाना फ़ंक्शन है जिसे f से गुणा किया जाता है डी η / डीटी और एकीकृत टी, तब आप का व्युत्पन्न लिखते हैं η /टी

एकीकरण की सीमा को पहले पद में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए टी 1 और टी 2 . तब मुझे इंटीग्रल के तहत भागों द्वारा इंटीग्रेशन से एक टर्म मिलेगा और आखिरी टर्म जो ट्रांसफॉर्मेशन के दौरान अपरिवर्तित रहा।
और अब जो होता है वह हमेशा होता है - एकीकृत हिस्सा गायब हो जाता है। (और यदि यह गायब नहीं होता है, तो सिद्धांत को फिर से तैयार किया जाना चाहिए, ऐसे गायब होने को सुनिश्चित करने वाली स्थितियों को जोड़ना!) हम पहले ही कह चुके हैं कि η पथ के सिरों पर शून्य के बराबर होना चाहिए। आखिर हमारा सिद्धांत क्या है? इसमें कार्रवाई न्यूनतम है, बशर्ते कि चर वक्र चयनित बिंदुओं पर शुरू और समाप्त हो। यह मतलब है कि η (टी 1)=0 और η (टी2)=0. इसलिए, एकीकृत शब्द शून्य के बराबर हो जाता है। हम बाकी सदस्यों को इकट्ठा करते हैं और लिखते हैं

उतार-चढ़ाव एस अब वह रूप प्राप्त कर लिया है जिसे हम देना चाहते थे: कुछ कोष्ठक में है (आइए इसे निरूपित करें एफ), और यह सब गुणा किया जाता है η (टी) और से एकीकृत टी टी पहले टी 2 .
यह पता चला कि कुछ अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग η से गुणा किया जाता है (टी), हमेशा शून्य होता है:

कुछ फंक्शन वर्थ है टी; इसे से गुणा करें η (टी) और इसे शुरू से अंत तक एकीकृत करें। और जो कुछ भी है η, मैं अशक्त हो जाता हूँ। इसका मतलब यह है कि समारोह एफ(टी) शून्य के बराबर। सामान्य तौर पर, यह स्पष्ट है, लेकिन सिर्फ मामले में, मैं आपको इसे साबित करने के तरीकों में से एक दिखाऊंगा।

चलो η के रूप में (टी) मैं कुछ ऐसा चुनूंगा जो हर जगह, सभी के लिए शून्य हो टी, एक पूर्वनिर्धारित मूल्य को छोड़कर टी. मेरे वहां पहुंचने तक यह शून्य रहता है। टी, एचफिर यह एक पल के लिए उछलता है और तुरंत वापस खींच लेता है। यदि आप इस एम का अभिन्न अंग लेते हैं) किसी फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है एफ, केवल वही स्थान है जहाँ आपको कुछ अशून्य मिलता है η (टी) कूद गया; और आपको मूल्य मिलेगा एफ इस बिंदु पर कूद पर अभिन्न अंग पर। अपने आप में, कूद अभिन्न शून्य के बराबर नहीं है, लेकिन गुणा के बाद एफ इसे शून्य देना चाहिए। इसका मतलब यह है कि जिस स्थान पर छलांग लगाई गई है वहां का कार्य शून्य होना चाहिए। लेकिन छलांग कहीं भी लगाई जा सकती थी; साधन, एफ हर जगह शून्य होना चाहिए।

हम देखते हैं कि यदि किसी के लिए हमारा अभिन्न शून्य के बराबर है η , फिर गुणांक पर η शून्य पर जाना चाहिए। क्रिया समाकल उस पथ पर न्यूनतम तक पहुँचता है जो इस तरह के एक जटिल अंतर समीकरण को संतुष्ट करेगा:

यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है; आप उससे पहले मिल चुके हैं। यह सिर्फ एफ = मा है। पहला शब्द सामूहिक समय त्वरण है; दूसरा संभावित ऊर्जा, यानी बल का व्युत्पन्न है।

इसलिए, हमने दिखाया है (कम से कम एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए) कि कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत सही उत्तर की ओर ले जाता है; उनका दावा है कि वह पथ जिसमें न्यूनतम क्रिया हो, वह पथ है जो न्यूटन के नियम को संतुष्ट करता है।

एक और टिप्पणी करने की जरूरत है। मैंने यह सिद्ध नहीं किया है न्यूनतम।शायद यह अधिकतम है। वास्तव में, यह न्यूनतम होना जरूरी नहीं है। यहाँ सब कुछ "सबसे कम समय के सिद्धांत" के समान है, जिसकी चर्चा हमने प्रकाशिकी का अध्ययन करते समय की थी। वहां भी, हमने सबसे पहले "सबसे कम" समय के बारे में बात की थी। हालांकि, यह पता चला कि ऐसी परिस्थितियां हैं जिनमें यह समय "सबसे छोटा" नहीं है। मूलभूत सिद्धांत यह है कि किसी के लिए भी पहले क्रम के विचलनऑप्टिकल पथ से परिवर्तनसमय शून्य के बराबर होगा; यहाँ वही कहानी। "न्यूनतम" से हमारा वास्तव में मतलब है कि मात्रा में परिवर्तन के छोटेपन के पहले क्रम में एसपथ से विचलन शून्य के बराबर होना चाहिए। और यह "न्यूनतम" होना जरूरी नहीं है।

अब मैं कुछ सामान्यीकरणों की ओर बढ़ना चाहता हूं। सबसे पहले तो यह पूरी कहानी तीन आयामों में की जा सकती है। एक साधारण के बजाय एक्समेरे पास तब होगा एक्स, वाईऔर जेडएक समारोह के रूप में टी,और कार्रवाई अधिक जटिल लगेगी। 3D गति में आपको कुल गतिज ऊर्जा का उपयोग करना होता है): (टी/2),पूरी गति के वर्ग से गुणा। दूसरे शब्दों में

साथ ही, स्थितिज ऊर्जा अब एक फलन है एक्स, वाईऔर जेडपथ के बारे में क्या कहा जा सकता है? पथ अंतरिक्ष में एक निश्चित सामान्य वक्र है; इसे बनाना इतना आसान नहीं है, लेकिन विचार वही रहता है। और η के बारे में क्या? खैर, η के भी तीन घटक हैं। पथ को x और in दोनों में स्थानांतरित किया जा सकता है वाई,और तक जेड,या एक ही समय में तीनों दिशाओं में। इसलिए η अब एक वेक्टर। इससे मजबूत जटिलताएं प्राप्त नहीं होती हैं। चूँकि केवल विविधताएँ शून्य के बराबर होनी चाहिए पहले के आदेश,तो तीन पारियों के साथ क्रमिक रूप से गणना करना संभव है। पहले आप चल सकते हैं सीकेवल दिशा में एक्सऔर कहते हैं कि गुणांक शून्य होना चाहिए। आपको एक समीकरण मिलता है। फिर हम चलेंगे सीदिशा में परऔर दूसरा प्राप्त करें। फिर हम दिशा में आगे बढ़ते हैं जेडऔर तीसरा प्राप्त करें। यदि आप चाहें तो सब कुछ अलग क्रम में कर सकते हैं। जैसा भी हो सकता है, समीकरणों का एक तिहाई उभरता है। लेकिन न्यूटन का नियम भी तीन आयामों में तीन समीकरण है, प्रत्येक घटक के लिए एक। आप अपने लिए यह देखने के लिए बचे हैं कि यह सब तीन आयामों में काम करता है (यहाँ बहुत काम नहीं है)। वैसे, आप अपनी इच्छानुसार कोई भी समन्वय प्रणाली ले सकते हैं, ध्रुवीय, कोई भी, और इस प्रणाली के संबंध में तुरंत न्यूटन के नियम प्राप्त कर सकते हैं, यह देखते हुए कि शिफ्ट होने पर क्या होता है η एक त्रिज्या के साथ या एक कोण के साथ, आदि।

विधि को कणों की मनमानी संख्या के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि, कहते हैं, आपके पास दो कण हैं और उनके बीच कुछ बल काम करते हैं और एक पारस्परिक संभावित ऊर्जा है, तो आप बस उनकी गतिज ऊर्जा जोड़ते हैं और योग से बातचीत की संभावित ऊर्जा घटाते हैं। आप क्या बदलते हैं? तौर तरीकों दोनोंकण। फिर तीन आयामों में गतिमान दो कणों के लिए छह समीकरण उत्पन्न होते हैं। आप कण 1 की स्थिति को दिशा में बदल सकते हैं एक्स,दिशा में परऔर दिशा में जेड,और कण 2 के साथ भी ऐसा ही करें, इसलिए छह समीकरण हैं। और ऐसा ही होना चाहिए। तीन समीकरण उस पर कार्य करने वाले बल के संदर्भ में कण 1 का त्वरण निर्धारित करते हैं, और तीन अन्य उस पर कार्य करने वाले बल के कारण कण 2 का त्वरण निर्धारित करते हैं। हमेशा खेल के समान नियमों का पालन करें और आपको कणों की मनमानी संख्या के लिए न्यूटन का नियम मिल जाएगा।

मैंने कहा कि हम न्यूटन का नियम प्राप्त करेंगे। यह पूरी तरह से सच नहीं है, क्योंकि न्यूटन के नियम में घर्षण जैसे गैर-रूढ़िवादी बल भी शामिल हैं। न्यूटन ने दावा किया वहकिसी भी एफ के बराबर है। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत केवल के लिए मान्य है रूढ़िवादीसिस्टम, जैसे कि सभी बलों को एक संभावित कार्य से प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन आप जानते हैं कि सूक्ष्म स्तर पर, यानी सबसे गहरे स्तर पर भौतिक स्तर, कोई गैर-रूढ़िवादी ताकतें नहीं हैं। गैर-रूढ़िवादी बल (जैसे घर्षण) केवल इस तथ्य से आते हैं कि हम सूक्ष्म जटिल प्रभावों की उपेक्षा करते हैं: विश्लेषण करने के लिए बहुत सारे कण हैं। मौलिकसमान कानून मईकम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।

मुझे और सामान्यीकरणों पर जाने दें। मान लीजिए कि हम इस बात में रुचि रखते हैं कि जब कण सापेक्ष रूप से चलता है तो क्या होगा। जब तक हमें गति का सही आपेक्षिकीय समीकरण नहीं मिल जाता; F=ma केवल गैर-सापेक्ष गतियों में सत्य है। सवाल उठता है: क्या सापेक्षतावादी मामले में कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत है? हाँ वहाँ है। सापेक्षतावादी मामले में सूत्र है:

क्रिया समाकल का पहला भाग शेष द्रव्यमान का गुणनफल है टी 0पर 2 के बाद सेऔर वेग समारोह √ के अभिन्न अंग पर (1-वी2/सी 2 ). फिर, स्थितिज ऊर्जा को घटाने के बजाय, हमारे पास अदिश विभव φ और सदिश विभव A के समाकलों को v से गुणा किया जाता है। बेशक, यहां केवल विद्युत चुम्बकीय बलों को ध्यान में रखा जाता है। सभी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को φ और A के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इस तरह का एक क्रिया फलन विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक कण की सापेक्ष गति का एक पूरा सिद्धांत देता है।

बेशक, आपको यह समझना चाहिए कि हर जगह जहां मैंने v लिखा है, गणना करने से पहले, आपको स्थानापन्न करना चाहिए डीएक्स/ डीटी के बजाय वी एक्स आदि। इसके अलावा, जहाँ मैंने सरलता से लिखा एक्स, वाई, जेड,आपको इस समय बिंदुओं की कल्पना करनी होगी टी: एक्स(टी), वाई(टी), जेड(टी). दरअसल, v के ऐसे प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन के बाद ही आपको एक सापेक्षिक कण की क्रिया के लिए एक सूत्र मिलेगा। आप में से सबसे कुशल को यह साबित करने की कोशिश करनी चाहिए कि क्रिया का यह सूत्र वास्तव में सापेक्षता के लिए गति के सही समीकरण देता है। मैं आपको सलाह देता हूं कि आप पहले ए को छोड़ दें, यानी कुछ समय के लिए चुंबकीय क्षेत्र के बिना करें। तब आपको गति के समीकरण के घटकों को प्राप्त करना होगा डीपी/डीटी =—क्यूवीφ,जहाँ, जैसा कि आपको शायद याद होगा, p=mv√(1-v 2 /c 2).

सदिश क्षमता A को ध्यान में रखना बहुत कठिन है। विविधताएं तब अतुलनीय रूप से अधिक जटिल हो जाती हैं। लेकिन अंत में बल निम्न के बराबर हो जाता है: g(E+v × B). लेकिन इसके साथ खुद मजा करो।

मैं इस बात पर जोर देना चाहूंगा कि सामान्य स्थिति में (उदाहरण के लिए, सापेक्षतावादी सूत्र में) गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच का अंतर अब अभिन्न क्रिया के तहत नहीं है। यह केवल गैर-सापेक्ष सन्निकटन में मान्य था। उदाहरण के लिए, एक सदस्य एम ओ सी 2√(1-v2/c2)वह नहीं है जिसे गतिज ऊर्जा कहा जाता है। किसी मनमाने विशेष मामले के लिए कार्रवाई क्या होनी चाहिए, इसका प्रश्न कुछ परीक्षण और त्रुटि के बाद तय किया जा सकता है। यह उसी प्रकार की समस्या है जो यह निर्धारित करती है कि गति के समीकरण क्या होने चाहिए। आपको केवल उन समीकरणों के साथ खेलना है जिन्हें आप जानते हैं और देखें कि क्या उन्हें कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के रूप में लिखा जा सकता है।

शब्दावली के बारे में एक और नोट। वह कार्य जो क्रिया प्राप्त करने के लिए समय के साथ एकीकृत होता है एस,बुलाया लाग्रंगियनएल। यह एक ऐसा कार्य है जो केवल कणों के वेग और स्थिति पर निर्भर करता है। अत: न्यूनतम क्रिया के सिद्धांत को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

कहाँ के तहत एक्स मैंऔर वी मैं निर्देशांक और वेग के सभी घटक निहित हैं। यदि आप कभी किसी को "लग्रैंगियन" के बारे में बात करते हुए सुनते हैं, तो जान लें कि वे एक फ़ंक्शन के बारे में बात कर रहे हैं जो प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है एस. एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में सापेक्ष गति के लिए

इसके अलावा, मुझे ध्यान देना चाहिए कि सबसे सावधानीपूर्वक और पांडित्यपूर्ण लोग नाम नहीं लेते हैं एसकार्य। इसे "हैमिल्टन का पहला प्रमुख कार्य" कहा गया है। लेकिन "हैमिल्टन के कम से कम पहले प्रमुख कार्य सिद्धांत" पर व्याख्यान देना मेरी शक्तियों से परे था। मैंने इसे "कार्रवाई" कहा। और इसके अलावा, ज्यादा से ज्यादा अधिक लोगइसे "कार्रवाई" कहते हैं। आप देखिए, ऐतिहासिक रूप से, क्रिया को कुछ और कहा जाता था, जो विज्ञान के लिए इतना उपयोगी नहीं था, लेकिन मुझे लगता है कि परिभाषा को बदलने के लिए यह अधिक समझ में आता है। अब आप नए फंक्शन को एक्शन कहना शुरू करेंगे और जल्द ही हर कोई इसे इस सरल नाम से बुलाने लगेगा।

अब मैं आपको हमारे विषय के बारे में बताना चाहता हूं जो तर्क के समान है जो मैंने सबसे कम समय के सिद्धांत के बारे में बताया। कानून के बहुत सार में एक अंतर है जो कहता है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर ले जाने वाले कुछ अभिन्न का एक न्यूनतम है - वह कानून जो हमें एक ही बार में पूरे रास्ते के बारे में कुछ बताता है, और वह कानून जो कहता है कि जब आप आगे बढ़ते हैं, तब , इसका मतलब है कि एक बल है जो त्वरण की ओर ले जाता है। दूसरा तरीका आपको आपके हर कदम के बारे में बताता है, यह इंच दर इंच आपके रास्ते का पता लगाता है, और पहला तरीका एक बार में यात्रा किए गए पूरे रास्ते के बारे में किसी तरह का सामान्य बयान देता है। प्रकाश की बात करें तो हमने इन दोनों दृष्टिकोणों के बीच संबंध के बारे में बात की। अब मैं आपको यह समझाना चाहता हूं कि अंतर कानून क्यों होना चाहिए, अगर ऐसा कोई सिद्धांत है - कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत। इसका कारण यह है: अंतरिक्ष और समय में वास्तव में तय किए गए पथ पर विचार करें। पहले की तरह, हम एक आयाम के साथ प्रबंधन करेंगे, ताकि एक निर्भरता ग्राफ बनाना संभव हो सके एक्ससे टी. सत्य पथ के साथ एस न्यूनतम तक पहुँचता है। मान लीजिए हमारे पास यह रास्ता है और यह किसी बिंदु से होकर गुजरता है एअंतरिक्ष और समय और दूसरे पड़ोसी बिंदु के माध्यम से बी।

अब, यदि संपूर्ण समाकल से टी 1 पहले टी 2 एक न्यूनतम तक पहुँचता है, यह आवश्यक है कि एक छोटे से क्षेत्र के साथ एक से अभिन्न अंग बी भी न्यूनतम था। का हिस्सा नहीं हो सकता एपहले बीकम से कम न्यूनतम से थोड़ा ऊपर। अन्यथा, आप इस खंड पर वक्र को आगे और पीछे ले जा सकते हैं और संपूर्ण समाकलन के मान को थोड़ा कम कर सकते हैं।

इसका मतलब है कि पथ के किसी भी हिस्से को न्यूनतम भी देना चाहिए। और यह पथ के किसी भी छोटे हिस्से के लिए सही है। इसलिए, यह सिद्धांत कि पूरे पथ को एक न्यूनतम देना चाहिए, यह कहकर तैयार किया जा सकता है कि पथ का एक असीम रूप से छोटा खंड भी ऐसा वक्र है जिस पर क्रिया न्यूनतम है। और अगर हम पथ का एक छोटा पर्याप्त खंड लेते हैं - बिंदुओं के बीच एक दूसरे के बहुत करीब एऔर बी,- इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस स्थान से बिंदु से बिंदु तक संभावित परिवर्तन कैसे होता है, क्योंकि, आपके पूरे छोटे खंड से गुजरते हुए, आप लगभग कभी भी मौके को नहीं छोड़ते। केवल एक चीज जिस पर आपको विचार करने की आवश्यकता है, वह है क्षमता में लघुता के पहले क्रम में परिवर्तन। उत्तर केवल क्षमता के व्युत्पन्न पर निर्भर हो सकता है, न कि कहीं और क्षमता पर। इस प्रकार, पूरे पथ की संपत्ति के बारे में एक बयान इस बारे में एक बयान बन जाता है कि पथ के एक छोटे खंड पर क्या होता है, यानी एक अंतर बयान। और इस विभेदक सूत्रीकरण में क्षमता के डेरिवेटिव शामिल हैं, अर्थात किसी दिए गए बिंदु पर बल। यह सामान्य रूप से कानून और विभेदक कानून के बीच संबंध की गुणात्मक व्याख्या है।

जब हमने प्रकाश के बारे में बात की, तो हमने इस प्रश्न पर भी चर्चा की: आखिर कोई कण सही रास्ता कैसे खोज लेता है? अंतर के दृष्टिकोण से, यह समझना आसान है। प्रत्येक क्षण कण त्वरण का अनुभव करता है और केवल यह जानता है कि उस क्षण उसे क्या करना चाहिए। लेकिन जब आप कण "निर्णय" सुनते हैं, तो आपके सभी कारण और प्रभाव की वृत्ति किक मारती है, जो कि कम से कम कार्रवाई के लिए होती है। क्या यह पहले से ही पड़ोसी रास्तों को "सूँघ" रहा है, सोच रहा है कि वे कहाँ ले जाएँगे - कम या ज्यादा कार्रवाई के लिए? जब हमने प्रकाश के मार्ग में एक स्क्रीन लगाई जिससे फोटॉन सभी पथों का परीक्षण नहीं कर सके, हमने पाया कि वे यह तय नहीं कर पाए कि कौन सा मार्ग लिया जाए, और हमें विवर्तन की घटना प्राप्त हुई।

लेकिन क्या यह यांत्रिकी के लिए भी सही है? क्या यह सच है कि कण सिर्फ "सही रास्ते पर नहीं जाता", बल्कि अन्य सभी बोधगम्य प्रक्षेपवक्रों पर पुनर्विचार करता है? और क्या होगा, यदि हम उसके मार्ग में बाधाएँ डालकर उसे आगे देखने की अनुमति न दें, तो हमें विवर्तन की घटना का कोई सादृश्य मिल जाएगा? इस सब के बारे में आश्चर्यजनक बात यह है कि यह वास्तव में है। क्वांटम यांत्रिकी के नियम यही कहते हैं। इसलिए हमारा कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत पूरी तरह से तैयार नहीं है। यह इस तथ्य में शामिल नहीं है कि कण कम से कम कार्रवाई का रास्ता चुनता है, लेकिन यह सभी पड़ोसी रास्तों को "गंध" करता है और वह चुनता है जिसके साथ कार्रवाई न्यूनतम है, और इस पसंद की विधि समान है जिसके द्वारा प्रकाश सबसे कम समय का चयन करता है। आपको याद है कि जिस तरह से प्रकाश सबसे कम समय लेता है वह यह है: यदि प्रकाश एक पथ पर जाता है जिसके लिए अलग समय की आवश्यकता होती है, तो यह एक अलग चरण के साथ आएगा। और किसी बिंदु पर कुल आयाम उन सभी पथों के लिए आयामों के योगदान का योग है जो उस तक पहुंचने के लिए प्रकाश ले सकते हैं। वे सभी रास्ते जिनमें चरण तेजी से भिन्न होते हैं, जोड़ के बाद कुछ भी नहीं देते हैं। लेकिन यदि आप रास्तों के पूरे अनुक्रम को खोजने का प्रबंधन करते हैं, जिनमें से चरण लगभग समान हैं, तो छोटे योगदान जुड़ेंगे, और आगमन के बिंदु पर पूर्ण आयाम को ध्यान देने योग्य मूल्य मिलेगा। सबसे महत्वपूर्ण मार्ग वह बन जाता है जिसके पास एक ही चरण देने वाले कई निकट मार्ग होते हैं।

ठीक यही बात क्वांटम यांत्रिकी में भी होती है। पूर्ण क्वांटम यांत्रिकी (गैर-सापेक्षतावादी और एक इलेक्ट्रॉन के स्पिन की उपेक्षा) इस तरह काम करती है: संभावना है कि एक कण, एक बिंदु को छोड़कर 1 में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 1, बिंदु पर पहुँचता है 2 में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 2 , संभाव्यता आयाम के वर्ग के बराबर है। कुल आयाम को सभी के आयामों के योग के रूप में लिखा जा सकता है संभव तरीके- आगमन के किसी भी तरीके के लिए। किसी के लिए भी एक्स(टी), जो किसी भी बोधगम्य काल्पनिक प्रक्षेपवक्र के लिए हो सकता है, किसी को आयाम की गणना करनी चाहिए। फिर उन सभी को फोल्ड करने की जरूरत है। हम किसी निश्चित पथ की प्रायिकता के आयाम के रूप में क्या लेंगे? हमारा एक्शन इंटीग्रल हमें बताता है कि किसी व्यक्तिगत पथ का आयाम क्या होना चाहिए। के अनुपात में आयाम ई टीएस / एच, कहाँ एस - रास्ते में कार्रवाई। इसका मतलब यह है कि यदि हम आयाम के चरण को एक जटिल संख्या के रूप में निरूपित करते हैं, तो चरण कोण के बराबर होगा एस/ एच. कार्य एस समय के साथ ऊर्जा का आयाम होता है, और प्लैंक स्थिरांक का आयाम समान होता है। यह एक स्थिरांक है जो यह निर्धारित करता है कि क्वांटम यांत्रिकी की आवश्यकता कब है।

और यहां बताया गया है कि यह सब कैसे काम करता है। सभी रास्तों के लिए कार्रवाई करें एस संख्या की तुलना में बहुत अधिक होगा एच. कुछ पथ को आयाम के कुछ परिमाण तक ले जाने दें। अगले निर्धारित पथ का चरण पूरी तरह से अलग हो जाएगा, क्योंकि विशाल के साथ एस मामूली बदलाव भी एस चरण अचानक बदलें एचबहुत कम)। इसका मतलब यह है कि आसन्न पथ आमतौर पर जोड़े जाने पर उनके योगदान को समाप्त कर देते हैं। और केवल एक क्षेत्र में ऐसा नहीं है - एक में जहां दोनों पथ और उसके पड़ोसी - दोनों, पहले सन्निकटन में, एक ही चरण (या, अधिक सटीक, लगभग एक ही क्रिया, भीतर बदलते हुए) एच)।केवल ऐसे रास्तों को ध्यान में रखा जाता है। और सीमित मामले में, जब प्लैंक स्थिरांक एचशून्य हो जाता है, सही क्वांटम यांत्रिक कानूनों को यह कहकर अभिव्यक्त किया जा सकता है, "उन सभी संभाव्यता आयामों के बारे में भूल जाओ। कण वास्तव में एक विशेष पथ के साथ चलता है - ठीक उसी के साथ जिसके साथ एस पहले सन्निकटन में नहीं बदलता है। यह कम से कम क्रिया के सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी के बीच का संबंध है। तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी को इस तरह से तैयार किया जा सकता है, जिसकी खोज 1942 में उसी शिक्षक श्री बदर के एक छात्र ने की थी, जिनके बारे में मैंने आपको बताया था। [क्वांटम यांत्रिकी मूल रूप से आयाम (श्रोडिंगर) के लिए एक अंतर समीकरण का उपयोग करके और कुछ मैट्रिक्स गणित (हाइजेनबर्ग) का उपयोग करके तैयार की गई थी।]

अब मैं भौतिकी में न्यूनतम के अन्य सिद्धांतों के बारे में बात करना चाहता हूं। इस तरह के कई रोचक सिद्धांत हैं। मैं उन सभी की सूची नहीं दूंगा, लेकिन मैं सिर्फ एक और का नाम लूंगा। बाद में जब हम एक हो जाते हैं भौतिक घटना, जिसके लिए एक उत्कृष्ट न्यूनतम सिद्धांत है, मैं आपको इसके बारे में बताऊंगा। और अब मैं दिखाना चाहता हूं कि क्षेत्र के लिए एक अंतर समीकरण के माध्यम से इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का वर्णन करना आवश्यक नहीं है; इसके बजाय किसी को आवश्यकता हो सकती है कि कुछ इंटीग्रल में अधिकतम या न्यूनतम हो। आरंभ करने के लिए, उस स्थिति को लेते हैं जब चार्ज घनत्व हर जगह जाना जाता है, लेकिन हमें अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर संभावित φ खोजने की आवश्यकता है। आप पहले से ही जानते हैं कि उत्तर होना चाहिए:

इसी बात को कहने का दूसरा तरीका इस प्रकार है: किसी को समाकलन की गणना करनी चाहिए यू*

वॉल्यूम इंटीग्रल है। इसे पूरे अंतरिक्ष में ले जाया जाता है। संभावित φ के सही वितरण के साथ (एक्स, वाई,जेड) यह अभिव्यक्ति न्यूनतम तक पहुँचती है।

हम दिखा सकते हैं कि इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के संबंध में ये दोनों कथन समतुल्य हैं। मान लीजिए कि हमने एक मनमाना फ़ंक्शन φ चुना है। हम दिखाना चाहते हैं कि जब हम φ के लिए लेते हैं सही मूल्यसंभावित _φ प्लस एक छोटा विचलन f, फिर लघुता के पहले क्रम में परिवर्तन यू* शून्य होगा। तो हम लिखते हैं

यहाँ φ वह है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं; लेकिन हम यह देखने के लिए φ को बदलेंगे कि भिन्नता के लिए यह क्या होना चाहिए यू* छोटेपन के पहले क्रम का निकला। पहले सदस्य में यू* हमें लिखने की जरूरत है

इसे एकीकृत करने की आवश्यकता है एक्स, वाईऔर तक जेड. और यहाँ वही चाल सुझाती है: छुटकारा पाने के लिए df/ डीएक्स, हम एकीकृत करेंगे एक्सखंड में। इससे φ के संबंध में अतिरिक्त भेदभाव होगा एक्स।यह वही मूल विचार है जिसके साथ हमने डेरिवेटिव के संबंध में छुटकारा पाया टी. हम समानता का उपयोग करते हैं

समाकलित पद शून्य है क्योंकि हम f को अनंत पर शून्य मानते हैं। (यह η के लुप्त होने से मेल खाता है टी 1 और टी 2 . तो हमारा सिद्धांत इस प्रकार अधिक सटीक रूप से कहा गया है: यू* अधिकार के लिए φ किसी अन्य से कम φ(एक्स, वाई,जेड), अनंत पर समान मान होना।) फिर हम उसी के साथ करेंगे परऔर जेड के साथ। हमारा अभिन्न ΔU* बन जाता है

इस भिन्नता के लिए किसी भी मनमाना f के लिए शून्य होने के लिए, f पर गुणांक शून्य होना चाहिए। साधन,

हम अपने पुराने समीकरण पर वापस आ गए हैं। तो हमारा "न्यूनतम" प्रस्ताव सही है। गणनाओं में थोड़ा परिवर्तन करके इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है। घटक दर घटक सब कुछ का वर्णन किए बिना वापस चलते हैं और भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। आइए निम्नलिखित समीकरण लिखकर शुरू करें:

बाईं ओर अंतर करके, मैं दिखा सकता हूं कि यह दाईं ओर के बिल्कुल बराबर है। यह समीकरण भागों द्वारा एकीकरण के लिए उपयुक्त है। हमारे अभिन्न में डीयू* हम प्रतिस्थापित करते हैं वीφ * वीएफ एनऔर fV 2 φ+V*(fVφ) और फिर इसे वॉल्यूम पर एकीकृत करें। वॉल्यूम इंटीग्रेशन के बाद डायवर्जेंस टर्म को सरफेस इंटीग्रल से बदल दिया जाता है:

और जब से हम पूरे स्थान पर एकीकृत कर रहे हैं, इस अभिन्न में सतह अनंत पर स्थित है। इसलिए, f = 0, और हमें पिछला परिणाम मिलता है।

केवल अब हम यह समझने लगे हैं कि जिन समस्याओं में हम हैं, उन्हें कैसे हल किया जाए हमें पता नहींजहां सभी शुल्क स्थित हैं। मान लीजिए कि हमारे पास कंडक्टर हैं जिन पर शुल्क किसी तरह वितरित किए जाते हैं। यदि सभी कंडक्टरों पर क्षमता स्थिर है, तो हमारा न्यूनतम सिद्धांत अभी भी लागू होने की अनुमति है। में एकीकरण यू* हम सभी कंडक्टरों के बाहर पड़े क्षेत्र पर ही आकर्षित करेंगे। लेकिन चूँकि हम कंडक्टरों पर (φ) नहीं बदल सकते हैं, तो उनकी सतह पर f = 0, और सतह का अभिन्न अंग

कंडक्टरों के बीच के अंतराल में ही किया जाना चाहिए। और निश्चित रूप से हमें पोइसन समीकरण फिर से मिलता है

इसलिए हमने दिखाया है कि हमारा प्रारंभिक अभिन्न यू* कंडक्टरों के बीच की जगह में गणना किए जाने पर भी न्यूनतम तक पहुंचता है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित क्षमता पर है [इसका मतलब है कि प्रत्येक परीक्षण फ़ंक्शन φ(x, वाई,जेड) कंडक्टर की दी गई क्षमता के बराबर होना चाहिए जब (एक्स, वाई,जेड) - कंडक्टर की सतह के बिंदु]। एक दिलचस्प विशेष मामला है जब आरोप केवल कंडक्टरों पर स्थित होते हैं। तब

और हमारा न्यूनतम सिद्धांत हमें बताता है कि उस मामले में जहां प्रत्येक कंडक्टर की अपनी पूर्व निर्धारित क्षमता होती है, उनके बीच की क्षमता फिट होती है ताकि अभिन्न यू* जितना संभव हो उतना छोटा हो जाता है। यह अभिन्न क्या है? Vφ पद विद्युत क्षेत्र है। तो अभिन्न इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा है। सही क्षेत्र एकमात्र ऐसा क्षेत्र है, जो एक संभावित प्रवणता के रूप में प्राप्त सभी क्षेत्रों में, सबसे छोटी कुल ऊर्जा है।

मैं इस परिणाम का उपयोग किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए करना चाहूंगा और आपको दिखाऊंगा कि ये सभी चीजें वास्तविक व्यावहारिक महत्व की हैं। मान लीजिए मैंने एक बेलनाकार संधारित्र के रूप में दो कंडक्टर लिए हैं।

आंतरिक कंडक्टर की क्षमता है, कहते हैं, वी, और बाहरी शून्य है। बता दें कि आंतरिक कंडक्टर की त्रिज्या के बराबर है ए,और बाहरी - बी।अब हम मान सकते हैं कि उनके बीच क्षमता का वितरण है कोई भी।लेकिन अगर हम लेते हैं सहीφ का मान और गणना करें
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 डीवीतब सिस्टम की ऊर्जा 1/2CV 2 होनी चाहिए।

तो अपने सिद्धांत की मदद से हम समाई की गणना भी कर सकते हैं साथ।यदि हम एक गलत संभावित वितरण लेते हैं और इस विधि से एक संधारित्र की धारिता का अनुमान लगाने का प्रयास करते हैं, तो हम इस पर भी आएँगे बडा महत्वएक निश्चित क्षमता वी. कोई भी कल्पित संभावित φ जो अपने वास्तविक मान से पूरी तरह मेल नहीं खाता है, C का गलत मान भी देगा, जो आवश्यकता से अधिक है। लेकिन अगर गलत तरीके से चुना गया पोटेंशियल cp अभी भी एक मोटा सन्निकटन है, तो समाई साथयह पहले से ही अच्छी सटीकता के साथ निकलेगा, क्योंकि C में त्रुटि φ में त्रुटि की तुलना में दूसरे क्रम का मान है।

मान लीजिए कि मुझे एक बेलनाकार संधारित्र की धारिता का पता नहीं है। फिर, उसे जानने के लिए, मैं इस सिद्धांत का उपयोग कर सकता हूँ। मैं संभावित रूप से φ के विभिन्न कार्यों की कोशिश करूंगा जब तक कि मैं न्यूनतम मूल्य तक नहीं पहुंच जाता साथ।मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि मैंने एक स्थिर क्षेत्र के अनुरूप क्षमता का चयन किया है। (बेशक, आप जानते हैं कि क्षेत्र वास्तव में यहाँ स्थिर नहीं है; यह 1/r की तरह बदलता है) यदि क्षेत्र स्थिर है, तो इसका मतलब है कि क्षमता दूरी पर रैखिक रूप से निर्भर करती है। कंडक्टरों पर वोल्टेज की आवश्यकता होने के लिए, फ़ंक्शन φ का रूप होना चाहिए

यह कार्य के बराबर है वी पर आर = ए,आर के लिए शून्य = बी,और उनके बीच बराबर एक स्थिर ढलान है - वी/(बी—ए)।तो अभिन्न को परिभाषित करने के लिए यू*, इस ग्रेडिएंट के वर्ग को ε o /2 से गुणा करना और संपूर्ण वॉल्यूम पर एकीकृत करना आवश्यक है। आइए इस गणना को इकाई लंबाई के एक सिलेंडर के लिए करें। आयतन तत्व त्रिज्या के साथ आर 2prdr के बराबर है। एकीकृत करके, मुझे लगता है कि मेरी पहली कोशिश निम्नलिखित क्षमता पैदा करती है:

तो मुझे समाई का सूत्र मिलता है, जो कि गलत होने के बावजूद किसी प्रकार का सन्निकटन है:

बेशक, यह सही उत्तर से अलग है। सी \u003d 2πε 0 / एलएन (बी / ए),लेकिन कुल मिलाकर यह उतना बुरा नहीं है। आइए इसे कई मूल्यों के सही उत्तर के साथ तुलना करने का प्रयास करें। बी ० ए।मेरे द्वारा गणना की गई संख्याएँ निम्न तालिका में दिखाई गई हैं।

यहां तक ​​कि जब बी/ए=2(और यह पहले से ही निरंतर और रैखिक क्षेत्रों के बीच काफी बड़े अंतर की ओर जाता है), मुझे अभी भी काफी सहनीय सन्निकटन मिलता है। उत्तर, निश्चित रूप से, अपेक्षा के अनुरूप, थोड़ा ऊपर है। लेकिन अगर किसी बड़े सिलिंडर के अंदर एक पतला तार लगा दिया जाए तो सब कुछ काफी खराब नजर आता है। फिर क्षेत्र बहुत दृढ़ता से बदलता है और इसे स्थिर क्षेत्र से बदलने से कुछ भी अच्छा नहीं होता है। b/a = 100 के साथ, हम उत्तर को लगभग दोगुना कर देते हैं। छोटे के लिए बी ० एस्थिति काफी बेहतर नजर आ रही है। विपरीत सीमा में, जब कंडक्टरों के बीच का अंतर बहुत व्यापक नहीं होता है (कहते हैं, b/a=1.1 पर), स्थिर क्षेत्र एक बहुत अच्छा सन्निकटन है, यह मान देता है साथप्रतिशत के दसवें हिस्से तक सटीक।

और अब मैं आपको बताऊंगा कि इस कैलकुलेशन को कैसे बेहतर बनाया जा सकता है। (आप के लिए सिलेंडर का जवाब, बिल्कुल, प्रसिद्ध,लेकिन वही तरीका कुछ अन्य लोगों के लिए काम करता है असामान्य आकारकैपेसिटर, जिसके लिए आपको सही उत्तर नहीं पता होगा।) अगला कदम वास्तविक क्षमता φ के लिए एक बेहतर सन्निकटन खोजना है, जिसे हम नहीं जानते हैं। मान लीजिए कि आप φ के एक स्थिर और एक घातांक के लिए परीक्षण कर सकते हैं, और इसी तरह। लेकिन आप कैसे जानते हैं कि आपको सबसे अच्छा सन्निकटन मिला है यदि आप सही φ नहीं जानते हैं? उत्तर:गिनती साथ;यह जितना कम होता है, सत्य के उतना ही करीब होता है। आइए इस विचार का परीक्षण करें। बता दें कि क्षमता रैखिक नहीं है, लेकिन, कहते हैं, r में द्विघात है, और विद्युत क्षेत्र स्थिर नहीं है, लेकिन रैखिक है। सबसे आमद्विघात रूप जो φ=O हो जाता है जब आर= खऔर φ=F at आर = ए,है:

जहां α एक स्थिर संख्या है। यह सूत्र पिछले वाले की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है। इसमें द्विघात पद और रेखीय पद दोनों शामिल हैं। इससे फील्ड प्राप्त करना बहुत आसान है। यह साधारण के बराबर है

अब इसे स्क्वायर और वॉल्यूम से अधिक एकीकृत करने की आवश्यकता है। लेकिन एक मिनट रुकिए। मुझे α के लिए क्या लेना चाहिए? एफ के लिए मैं एक पैराबोला ले सकता हूं, लेकिन क्या? यहाँ मैं क्या करूँगा: समाई की गणना करें मनमाना α।मैं लाऊंगा

यह थोड़ा भ्रमित करने वाला लगता है, लेकिन मैदान के वर्ग को एकीकृत करने के बाद ऐसा ही होता है। अब मैं अपने लिए चुनाव कर सकता हूं। मुझे पता है कि मैं जिस चीज का पता लगाने जा रहा हूं, सच्चाई उससे कहीं कम है। मैंने a के स्थान पर जो कुछ भी रखा है, उत्तर अभी भी बहुत बड़ा है। लेकिन अगर मैं अपना खेल α के साथ जारी रखता हूं और न्यूनतम संभव मूल्य प्राप्त करने का प्रयास करता हूं साथ,तो यह निम्नतम मूल्य किसी अन्य मूल्य की तुलना में सत्य के अधिक निकट होगा। इसलिए, अब मुझे α चुनने की जरूरत है ताकि मूल्य साथन्यूनतम पर पहुंच गया। सामान्य अंतर पथरी की ओर मुड़ते हुए, मैं देखता हूं कि न्यूनतम साथहोगा जब α =— 2 बी/(ख+ए). इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, मुझे सबसे छोटी क्षमता मिलती है

मुझे पता चला कि यह सूत्र किस लिए देता है साथअलग-अलग मूल्यों पर बी ० ए।मैंने इन नंबरों पर कॉल किया साथ(द्विघात)। यहाँ एक तालिका है जो तुलना करती है साथ(द्विघात) के साथ साथ(सत्य)।

उदाहरण के लिए, जब त्रिज्या अनुपात 2:1 है, मुझे 1.444 मिलता है। यह सही उत्तर, 1.4423 के लिए एक बहुत अच्छा सन्निकटन है। बड़े के साथ भी फिरसन्निकटन काफी अच्छा रहता है - यह बहुत है पहले से बेहतरसन्निकटन। यह बी/ए = 10:1 पर भी सहन करने योग्य (केवल 10% अधिक अनुमानित) रहता है। बड़ी विसंगति केवल 100:1 के अनुपात में आती है। मुझे मिलता है साथ 0.267 के बजाय 0.346 के बराबर। दूसरी ओर, 1.5 के त्रिज्या अनुपात के लिए, समझौता उत्कृष्ट है, लेकिन इसके लिए बी/ए=1.1उत्तर 10.492070 के बजाय 10.492065 है। जहाँ एक अच्छे उत्तर की उम्मीद की जानी चाहिए, वह बहुत, बहुत अच्छा निकला।

मैंने ये सभी उदाहरण दिए, सबसे पहले, न्यूनतम कार्रवाई के सिद्धांत के सैद्धांतिक मूल्य और सामान्य रूप से न्यूनतम के सभी सिद्धांतों को प्रदर्शित करने के लिए, और, दूसरी बात, आपको उनकी व्यावहारिक उपयोगिता दिखाने के लिए, और क्षमता की गणना करने के लिए बिल्कुल नहीं, जिसे हम पहले से ही अच्छी तरह से जानते हैं। किसी भी अन्य आकार के लिए, आप कुछ अज्ञात पैरामीटर (जैसे α) के साथ अनुमानित फ़ील्ड आज़मा सकते हैं और उन्हें कम से कम फ़िट कर सकते हैं। आप उन समस्याओं पर उत्कृष्ट संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करेंगे जिन्हें अन्यथा हल नहीं किया जा सकता।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत, पहले जैकोबी द्वारा स्पष्ट रूप से कहा गया, हैमिल्टन के सिद्धांत के समान है, लेकिन कम सामान्य और साबित करना अधिक कठिन है। यह सिद्धांत केवल उस मामले पर लागू होता है जब कनेक्शन और बल कार्य समय पर निर्भर नहीं होते हैं और इसलिए, जब जीवित शक्ति का एक अभिन्न अंग होता है।

यह अभिन्न दिखता है:

ऊपर वर्णित हैमिल्टन के सिद्धांत में कहा गया है कि अभिन्न की भिन्नता

वास्तविक गति के किसी अन्य असीम रूप से निकट गति के संक्रमण पर शून्य के बराबर है, जो सिस्टम को उसी से स्थानांतरित करता है प्रारंभिक स्थितिसमान समय में समान अंतिम स्थिति में।

जैकोबी सिद्धांत, इसके विपरीत, एक गुण, गति को व्यक्त करता है, जो समय पर निर्भर नहीं करता है। जैकोबी अभिन्न मानता है

क्रिया को परिभाषित करना। उनके द्वारा स्थापित सिद्धांत में कहा गया है कि इस इंटीग्रल की भिन्नता शून्य है जब हम सिस्टम की वास्तविक गति की तुलना किसी अन्य असीम गति से करते हैं जो सिस्टम को उसी प्रारंभिक स्थिति से उसी अंतिम स्थिति में ले जाती है। इस मामले में, हम खर्च किए गए समय अंतराल पर ध्यान नहीं देते हैं, लेकिन हम समीकरण (1) का निरीक्षण करते हैं, यानी वास्तविक आंदोलन के रूप में निरंतर एच के समान मान के साथ जनशक्ति का समीकरण।

यह आवश्यक शर्तएक्सट्रीमम, आम तौर पर कम से कम इंटीग्रल (2) की ओर ले जाता है, जहां से कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का नाम आता है। न्यूनतम स्थिति सबसे स्वाभाविक प्रतीत होती है, क्योंकि T का मान अनिवार्य रूप से धनात्मक है, और इसलिए अभिन्न (2) आवश्यक रूप से एक न्यूनतम होना चाहिए। एक न्यूनतम के अस्तित्व को सख्ती से तभी सिद्ध किया जा सकता है जब समय अंतराल पर्याप्त रूप से छोटा हो। सतहों के सिद्धांत पर डार्बौक्स के प्रसिद्ध पाठ्यक्रम में इस प्रस्ताव का प्रमाण पाया जा सकता है। हालांकि, हम इसे यहां पेश नहीं करेंगे और खुद को शर्त निकालने तक ही सीमित रखेंगे

432. कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का प्रमाण।

वास्तविक गणना में हमें एक कठिनाई का सामना करना पड़ता है जो हैमिल्टन के प्रमेय के प्रमाण में मौजूद नहीं है। चर टी अब भिन्नता से स्वतंत्र नहीं रहता है; तो क्यू मैं और क्यू की विविधताएं। समीकरण (1) से आने वाले एक जटिल संबंध द्वारा टी की भिन्नता से संबंधित हैं। इस कठिनाई को हल करने का सबसे आसान तरीका स्वतंत्र चर को एक ऐसे चर में बदलना है जिसका मूल्य निरंतर समय-स्वतंत्र सीमाओं के बीच है। चलो k एक नया स्वतंत्र चर है जिसकी सीमाएँ t से स्वतंत्र मानी जाती हैं। सिस्टम को स्थानांतरित करते समय, पैरामीटर और टी इस चर के कार्य होंगे

बता दें कि प्राइम किए गए अक्षर q समय के संबंध में q पैरामीटर के डेरिवेटिव को दर्शाते हैं।

चूंकि लिंक्स को समय से स्वतंत्र माना जाता है, कार्तीय निर्देशांक x, y, z q के कार्य हैं जिनमें समय शामिल नहीं है। इसलिए उनके व्युत्पन्न q के रैखिक सजातीय कार्य होंगे और 7 q का एक सजातीय द्विघात रूप होगा जिसके गुणांक q के कार्य हैं। अपने पास

क्यू के समय डेरिवेटिव को अलग करने के लिए, हम कोष्ठक के साथ निरूपित करते हैं, (क्यू), क्यू के डेरिवेटिव, इसके संबंध में और इसके अनुसार रखा गया

तो हमारे पास होगा

और नए स्वतंत्र चर ए के माध्यम से व्यक्त अभिन्न (2), रूप ले लेगा;

जीवित बल प्रमेय का उपयोग करके व्युत्पन्न को समाप्त किया जा सकता है। निश्चय ही प्राणशक्ति का अभिन्न अंग होगा

के सूत्र में इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करके, हम समाकल (2) को रूप में लाते हैं

इस प्रकार क्रिया को परिभाषित करने वाले अभिन्न ने अंतिम रूप (3) लिया। पूर्णांक मात्राओं के द्विघात रूप का वर्गमूल है

आइए हम दिखाते हैं कि इंटीग्रल (3) के एक्सट्रीमल्स के डिफरेंशियल इक्वेशन बिल्कुल लैग्रेंज इक्वेशन हैं। विविधताओं की कलन के सामान्य सूत्रों के आधार पर चरम समीकरण होंगे:

हम समीकरणों को 2 से गुणा करते हैं और आंशिक विभेदन करते हैं, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि इसमें शामिल नहीं है, तो हम प्राप्त करते हैं, यदि हम सूचकांक नहीं लिखते हैं,

ये स्वतंत्र चर के संदर्भ में व्यक्त चरम समीकरण हैं। अब कार्य स्वतंत्र चर पर वापस लौटना है

चूँकि G दूसरी डिग्री का एक सजातीय कार्य है और पहली डिग्री का एक सजातीय कार्य है, हमारे पास है

दूसरी ओर, चरम समीकरणों में डेरिवेटिव के कारकों के लिए, जीवित बल प्रमेय को लागू किया जा सकता है, जो प्रतिस्थापन के लिए, जैसा कि हमने ऊपर देखा था

सभी प्रतिस्थापनों के परिणामस्वरूप, चरम समीकरणों को रूप में घटा दिया जाता है

इस प्रकार हम लग्रेंज समीकरण पर पहुँच गए हैं।

433. मामला जब कोई ड्राइविंग बल नहीं है।

मामले में जब चलाने वाले बलनहीं, जनशक्ति के लिए एक समीकरण है और हमारे पास है

शर्त यह है कि अभिन्न न्यूनतम है इस मामले मेंउसमें -10 का संगत मान सबसे छोटा होना चाहिए। इस प्रकार, जब कोई प्रेरक बल नहीं होते हैं, तो उन सभी गतियों के बीच जिनमें जीवित शक्ति समान दिए गए मूल्य को बनाए रखती है, वास्तविक गति वह होती है जो कम से कम समय में प्रणाली को उसकी प्रारंभिक स्थिति से उसकी अंतिम स्थिति तक लाती है।

यदि सिस्टम एक निश्चित सतह के साथ चलते हुए एक बिंदु तक कम हो जाता है, तो सतह के साथ सभी गतियों के बीच वास्तविक गति, समान गति से की जाती है, ऐसी गति होती है जिसमें बिंदु अपनी प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक जाता है सबसे छोटा

समय अंतराल। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु सतह पर अपनी दो स्थितियों के बीच की सबसे छोटी रेखा का वर्णन करता है, यानी एक जियोडेसिक रेखा।

434. टिप्पणी।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत मानता है कि प्रणाली में स्वतंत्रता की कई डिग्री हैं, क्योंकि अगर स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री होती, तो गति निर्धारित करने के लिए एक समीकरण पर्याप्त होता। चूंकि इस मामले में गति को जीवित बल के समीकरण द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है, वास्तविक गति केवल एक ही होगी जो इस समीकरण को संतुष्ट करती है, और इसलिए किसी अन्य गति से तुलना नहीं की जा सकती।


कम से कम कार्रवाई सिद्धांत

एक दूसरे की तुलना में यांत्रिक आंदोलनों के दिए गए वर्ग के लिए क्रॉम के अनुसार यांत्रिकी के परिवर्तनशील सिद्धांतों में से एक। प्रणाली किस भौतिक के लिए मान्य है। मूल्य, कहा जाता है क्रिया, का सबसे छोटा (अधिक सटीक, स्थिर) मान होता है। आमतौर पर एन डी पी दो रूपों में से एक में लागू किया जाता है।

a) N.d.p. हैमिल्टन के रूप में - ओस्ट्रोग्रैडस्की यह स्थापित करता है कि एक ही समय अंतराल में किए गए एक कॉन्फ़िगरेशन से दूसरे (पहले के करीब) में सिस्टम के सभी किनेमेटिक रूप से संभव विस्थापन के बीच, वास्तविक एक वह है जिसके लिए हैमिल्टनियन क्रिया S होगा सबसे छोटा हो। चटाई। इस मामले में, एनडीपी की अभिव्यक्ति का रूप है: डीएस = 0, जहां डी अपूर्ण (आइसोक्रोनस) भिन्नता का प्रतीक है (यानी, पूर्ण भिन्नता के विपरीत, इसमें समय भिन्न नहीं होता है)।

b) मौपर्टुइस के रूप में N.D.P. - लैग्रेंज स्थापित करता है कि सिस्टम के सभी किनेमेटिकली संभावित विस्थापनों के बीच एक कॉन्फ़िगरेशन से दूसरे के करीब, सिस्टम की कुल ऊर्जा के समान मूल्य को बनाए रखते हुए प्रदर्शन किया जाता है, यह मान्य है कि k- के लिए सबसे बड़ी लैग्रेंज क्रिया W सबसे छोटी होगी। चटाई। इस मामले में N.d.p. की अभिव्यक्ति का रूप DW = 0 है, जहां D कुल भिन्नता का प्रतीक है (हैमिल्टन-ओस्ट्रोग्रैडस्की सिद्धांत के विपरीत, न केवल निर्देशांक और वेग यहां भिन्न होते हैं, बल्कि सिस्टम को समय लगता है एक कॉन्फ़िगरेशन से दूसरे कॉन्फ़िगरेशन पर जाएं)। एन डी पी। इस मामले में, यह केवल रूढ़िवादी और इसके अलावा, होलोनोमिक सिस्टम के लिए मान्य है, जबकि पहले मामले में एनडीपी अधिक सामान्य है और विशेष रूप से गैर-रूढ़िवादी सिस्टम तक बढ़ाया जा सकता है। N.d.p. का उपयोग यांत्रिक संचलन के ur-tions को संकलित करने के लिए किया जाता है। सिस्टम और इन आंदोलनों में आम सेंट के अध्ययन के लिए। एन डी पी की अवधारणाओं के एक उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ, यह एक निरंतर माध्यम के यांत्रिकी, इलेक्ट्रोडायनामिक्स और क्वांटम में अनुप्रयोगों को पाता है। यांत्रिकी, आदि

  • - बराबर...

    भौतिक विश्वकोश

  • - एम-ऑपरेटर, न्यूनीकरण ऑपरेटर, - निम्नलिखित में शामिल अन्य कार्यों से नए कार्यों के निर्माण की एक विधि ...

    गणितीय विश्वकोश

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    प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

  • - रूसी वैज्ञानिक एम.वी. द्वारा स्थापित यांत्रिकी के सबसे महत्वपूर्ण कानूनों में से एक। ओस्ट्रोग्रैडस्की...

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  • - कई राज्यों के संवैधानिक कानून में, सिद्धांत जिसके अनुसार आम तौर पर मान्यता प्राप्त सिद्धांत और अंतरराष्ट्रीय कानून के मानदंड हैं अभिन्न अंग कानूनी प्रणालीसंबंधित देश...

    कानून विश्वकोश

  • - कई राज्यों के संवैधानिक कानून में, सिद्धांत जिसके अनुसार अंतरराष्ट्रीय कानून के आम तौर पर मान्यता प्राप्त मानदंड राष्ट्रीय कानूनी प्रणाली का एक अभिन्न अंग हैं ...

    बिग लॉ डिक्शनरी

  • विस्फोटक चार्ज के केंद्र से सबसे कम दूरी है मुक्त सतह- नै-मल्कोटो प्रतिरोध पर लाइन - क्रिवका नेजमेंसिहो ओडपोरु - लाइन डेर गेरिंग्स्टन फेस्टिग्किट - रोबैंटस मिनिमलिस एलेनालासी टेंजेलीवोनाला - हैमजीन बैगा...

    निर्माण शब्दकोश

  • - यदि किसी विकृत पिंड के बिंदुओं को अलग-अलग दिशाओं में स्थानांतरित करना संभव है, तो इस पिंड का प्रत्येक बिंदु कम से कम प्रतिरोध की दिशा में चलता है ...

    धातुकर्म का विश्वकोश शब्दकोश

  • - वह नियम जिसके अनुसार यह मौजूदा शेयरों को या तो सबसे कम लागत पर या सबसे कम बिक्री मूल्य पर मूल्य देने की प्रथा है ...

    व्यापार शर्तों की शब्दावली

  • - कई राज्यों के संवैधानिक कानून में - वह सिद्धांत जिसके अनुसार आम तौर पर मान्यता प्राप्त सिद्धांत और अंतर्राष्ट्रीय कानून के मानदंड संबंधित राज्य की कानूनी प्रणाली का एक अभिन्न अंग हैं और कार्य करते हैं ...

    अर्थशास्त्र और कानून का विश्वकोश शब्दकोश

  • - यांत्रिकी के परिवर्तनशील सिद्धांतों में से एक, जिसके अनुसार एक यांत्रिक प्रणाली के आंदोलनों की एक दूसरे के साथ तुलना के लिए, वास्तविक वह है जिसके लिए भौतिक मात्रा, ...
  • - गॉस सिद्धांत के समान ...

    महान सोवियत विश्वकोश

  • - यांत्रिकी के परिवर्तनशील सिद्धांतों में से एक; कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के समान ...

    महान सोवियत विश्वकोश

  • - यांत्रिकी के परिवर्तनशील सिद्धांतों में से एक, जिसके अनुसार एक यांत्रिक प्रणाली के आंदोलनों के दिए गए वर्ग के लिए एक दूसरे के साथ तुलना की जाती है, जिसके लिए कार्रवाई न्यूनतम है ...

    बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

  • - किताब। सबसे चुनें आसान तरीकाकार्य, बाधाओं से बचना, कठिनाइयों से बचना...

    रूसी साहित्यिक भाषा का वाक्यांशविज्ञान शब्दकोश

पुस्तकों में "न्यूनतम क्रिया सिद्धांत"

2.5.1। डिवाइस के संचालन का सिद्धांत

मनोरंजक इलेक्ट्रॉनिक्स पुस्तक से [उपयोगी सर्किटों का गैर-टेम्प्लेट विश्वकोश] लेखक काशकारोव एंड्री पेट्रोविच

2.5.1। डिवाइस के संचालन का सिद्धांत डिवाइस के संचालन का सिद्धांत सरल है। जब HL1 LED द्वारा उत्सर्जित प्रकाश प्रवाह वस्तु से परिलक्षित होता है और फोटोडेटेक्टर से टकराता है, तो इलेक्ट्रॉनिक इकाई, 2 microcircuits पर लागू होती है - KR1401CA1 तुलनित्र और KR1006VI1 टाइमर, उत्पन्न करता है

टेराफ के संचालन का सिद्धांत

गुप्त ज्ञान पुस्तक से। अग्नि योग का सिद्धांत और अभ्यास लेखक रोरिक एलेना इवानोव्ना

टेराफ के संचालन का सिद्धांत 24.02.39 आप जानते हैं कि किसी वस्तु की प्रत्येक जागरूकता और प्रतिनिधित्व हमें उसके करीब लाता है। जैसा कि आप जानते हैं, किसी वस्तु की मानसिक परतों को उसके टेराफिम में स्थानांतरित किया जा सकता है। विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं दूर की दुनिया के सूक्ष्म टेराफिम और

कम से कम प्रयास के कानून के लिए तीन शर्तें

दीपक चोपड़ा की पुस्तक विजडम से [ब्रह्मांड के 7 नियमों का पालन करके आप जो चाहते हैं उसे प्राप्त करें] लेखक गुडमैन टिम

काम करने के कम से कम प्रयास के कानून के लिए तीन शर्तें आइए देखें कि ब्रह्मांड की ऊर्जा के इस रचनात्मक प्रवाह - प्रेम की ऊर्जा को अपने जीवन में आकर्षित करने के लिए किन शर्तों की आवश्यकता है, और इसलिए कम से कम प्रयास के कानून के लिए अपने जीवन में काम करना शुरू करें।

अध्याय 19 कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

पुस्तक 6 से। इलेक्ट्रोडायनामिक्स लेखक फेनमैन रिचर्ड फिलिप्स

अध्याय 19 सबसे अंतिम क्रिया सिद्धांत व्याख्यान के बाद का परिशिष्ट जब मैं स्कूल में था, हमारे भौतिकी के शिक्षक, बैडर ने एक बार मुझे कक्षा के बाद बुलाया और कहा, “ऐसा लगता है कि आप हर चीज से बहुत थके हुए हैं; कुछ दिलचस्प सुनो

5. कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

भौतिकी में क्रांति पुस्तक से लेखक डी ब्रोगली लुइस

5. कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत सामान्य रूप से देखेंहैमिल्टन का सिद्धांत या स्थिर क्रिया का सिद्धांत कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, सभी का

परिचालन सिद्धांत

लॉकस्मिथ की गाइड पुस्तक से फिलिप्स बिल द्वारा

संचालन का सिद्धांत सिलेंडर की घुमाने की क्षमता पिनों की स्थिति पर निर्भर करती है, जो बदले में गुरुत्वाकर्षण, स्प्रिंग्स की क्रिया और कुंजी के बल द्वारा निर्धारित होती है (या पिक; चुनने के बारे में जानकारी के लिए अध्याय 9 देखें) . बिना चाबी के, गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग्स अंदर धकेलते हैं

स्थिर क्रिया सिद्धांत

किताब बिग से सोवियत विश्वकोश(एसटी) लेखक टीएसबी

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

टीएसबी

कम से कम जबरदस्ती का सिद्धांत

लेखक की पुस्तक ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया (NA) से टीएसबी

2.5.1। परिचालन सिद्धांत

विद्युत वितरण नेटवर्क B90 में पुस्तक रिले सुरक्षा से लेखक बूलचेव अलेक्जेंडर विटालिविच

2.5.1। संचालन का सिद्धांत दो-तरफ़ा आपूर्ति वाले विद्युत नेटवर्क में और रिंग नेटवर्क में, पारंपरिक ओवरकरंट सुरक्षा चुनिंदा रूप से कार्य नहीं कर सकती है। उदाहरण के लिए, में विद्युत नेटवर्कदो शक्ति स्रोतों (चित्र। 2.15) के साथ, जहां दोनों तरफ स्विच और सुरक्षा स्थापित हैं

परिचालन सिद्धांत

टर्बो-गोफर पुस्तक से। अपने दिमाग को चोदना कैसे बंद करें और जीना शुरू करें लेखक ल्यूशकिन दिमित्री

क्रिया का सिद्धांत "इसे प्रोसेस करें", वास्तव में, एक प्रकार का "मैक्रो" है जो एक वाक्यांश के साथ अवचेतन में प्रक्रियाओं का एक पूरा गुच्छा लॉन्च करता है, जिसका उद्देश्य चयनित मानसिक सामग्री को संसाधित करना है। इस हैंडलर में 7 अलग-अलग मॉड्यूल शामिल हैं, जिनमें से कुछ

न्यूनतम प्रयास के नियम का पालन कैसे शुरू करें: तीन कदम उठाने होंगे

जोसेफ मर्फी, डेल कार्नेगी, एकहार्ट टोले, दीपक चोपड़ा, बारबरा शेर, नील वॉल्श की पुस्तक कैपिटल ग्रोइंग गाइड से लेखक स्टर्न वैलेन्टिन

न्यूनतम प्रयास के नियम का पालन कैसे शुरू करें: तीन आवश्यक कार्रवाईकम से कम प्रयास के नियम के काम करने के लिए, आपको न केवल उपरोक्त तीन शर्तों का पालन करना चाहिए, बल्कि तीन क्रियाएं भी करनी चाहिए। पहली कार्रवाई: दुनिया को स्वीकार करना शुरू करें।

11. सबसे छोटी क्रिया का भौतिकी और एकिडो

लेखक मिंडेल अर्नोल्ड

11. भौतिकी और ऐकीडो छोटी से छोटी क्रिया जब चलती है, तो वही हवा होती है। कब बारिश हो रही है, केवल वर्षा होती है। जब बादल चलते हैं, तो सूरज उनके बीच से चमकता है। यदि आप अपने आप को अंतर्दृष्टि के लिए खोलते हैं, तो आप अंतर्दृष्टि के साथ एक हो जाते हैं। और आप इसका पूरा उपयोग कर सकते है। यदि आप खुलते हैं

लीबनिज का कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत "विज़ वाइवा"

शमनवाद, भौतिकी और ताओवाद में भू-मनोविज्ञान पुस्तक से लेखक मिंडेल अर्नोल्ड

लीबनिज का कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत "विवा" कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के लिए हम सभी को विल्हेम गॉटफ्राइड लीबनिज (1646-1716) का आभारी होना चाहिए। पहले "आधुनिक" भौतिकविदों और गणितज्ञों में से एक, लीबनिज न्यूटन के समय में रहते थे - एक ऐसा युग जब वैज्ञानिक अधिक खुले थे

ऐकिडो कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का अवतार है

शमनवाद, भौतिकी और ताओवाद में भू-मनोविज्ञान पुस्तक से लेखक मिंडेल अर्नोल्ड

एकिडो कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का अवतार है हमारा मनोविज्ञान और प्रौद्योगिकी काफी हद तक कम से कम कार्रवाई के विचार के बहुत करीब की अवधारणा से प्रेरित हैं। हम लगातार अपने लिए जीवन को आसान बनाने की कोशिश कर रहे हैं। आज के कंप्यूटर पर्याप्त तेज़ नहीं हैं; उन्हें करना है

P. Maupertuis) ने 1744 में, तुरंत इसकी सार्वभौमिक प्रकृति की ओर इशारा करते हुए और प्रकाशिकी और यांत्रिकी पर लागू होने पर विचार किया। इस सिद्धांत से उन्होंने प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियम निकाले।

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    फ़र्मेट के सिद्धांत का गणितीय अनुसंधान और विकास क्रिश्चियन ह्यूजेंस द्वारा किया गया था, जिसके बाद 17 वीं शताब्दी के सबसे बड़े वैज्ञानिकों द्वारा इस विषय पर सक्रिय रूप से चर्चा की गई थी। लीबनिज ने 1669 में भौतिकी में कार्रवाई की मौलिक अवधारणा पेश की: "गति की औपचारिक क्रियाएं ... पदार्थ की मात्रा, उनके द्वारा तय की जाने वाली दूरी और गति के उत्पाद के समानुपाती होती हैं।"

    यांत्रिकी की नींव के विश्लेषण के समानांतर, परिवर्तनशील समस्याओं को हल करने के तरीके विकसित किए गए थे। इसहाक न्यूटन ने अपने "प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांत" (1687) में पहली परिवर्तनशील समस्या को निर्धारित किया और हल किया: अपनी धुरी के साथ एक प्रतिरोधक माध्यम में घूमते हुए क्रांति के शरीर के ऐसे रूप को खोजने के लिए, जिसके लिए प्रतिरोध का अनुभव कम से कम होगा . लगभग एक साथ, अन्य परिवर्तनशील समस्याएं सामने आईं: ब्राचिस्टोक्रोन समस्या (1696), कैटेनरी का आकार, आदि।

    निर्णायक घटनाएं 1744 में हुईं। लिओनहार्ड-यूलर ने विविधताओं के कलन पर पहला सामान्य काम प्रकाशित किया ("अधिकतम या न्यूनतम गुणों वाले घटता खोजने की एक विधि"), और पियरे-लुइस डी मौपर्टुइस ने अपने ग्रंथ "प्रकृति के विभिन्न नियमों का सामंजस्य" में प्रकाशित किया। अब तक असंगत लग रहा था", कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का पहला सूत्रीकरण दिया: "प्रकाश द्वारा अनुसरण किया जाने वाला मार्ग वह पथ है जिसके लिए कार्रवाई की मात्रा सबसे छोटी होगी।" उन्होंने प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन दोनों के लिए इस कानून की पूर्ति का प्रदर्शन किया। Maupertuis के एक लेख के जवाब में, Euler ने प्रकाशित किया (उसी वर्ष 1744 में) काम "मैक्सिमा और मिनिमा की विधि द्वारा एक गैर-विरोध माध्यम में फेंके गए पिंडों की गति के निर्धारण पर", और इस काम में उन्होंने दिया मौपर्टुइस सिद्धांत एक सामान्य यांत्रिक चरित्र: "चूंकि सभी प्राकृतिक घटनाएं अधिकतम या न्यूनतम के किसी भी कानून का पालन करती हैं, इसमें कोई संदेह नहीं है कि घुमावदार रेखाओं के लिए जो फेंके गए पिंडों का वर्णन करती हैं, जब कोई बल उन पर कार्य करता है, तो अधिकतम या न्यूनतम की कुछ संपत्ति होती है। . यूलर ने आगे इस कानून को तैयार किया: शरीर का प्रक्षेपवक्र न्यूनतम बनाता है ∫ एम वी डी एस (\displaystyle \int mv\ ds). फिर उन्होंने इसे लागू किया, एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में और कई अन्य मामलों में गति के नियमों को प्राप्त किया।

    1746 में मौपर्टुइस नयी नौकरीयूलर की राय से सहमत हुए और उनके सिद्धांत के सबसे सामान्य संस्करण की घोषणा की: "जब प्रकृति में कुछ परिवर्तन होता है, तो इस परिवर्तन के लिए आवश्यक कार्रवाई की मात्रा सबसे छोटी संभव होती है। कार्रवाई की मात्रा पिंडों के द्रव्यमान, उनकी गति और उनके द्वारा तय की गई दूरी का गुणनफल है। इसके बाद हुई व्यापक चर्चा में, यूलर ने मौपर्टुइस की प्राथमिकता का समर्थन किया और नए कानून की सार्वभौमिक प्रकृति के लिए तर्क दिया: "समग्र गतिकी और हाइड्रोडायनामिक्स को केवल मैक्सिमा और मिनिमा की विधि के माध्यम से आश्चर्यजनक रूप से प्रकट किया जा सकता है।"

    1760-1761 में एक नया चरण शुरू हुआ, जब जोसेफ़ लुइस लैग्रेंज ने एक फलन की भिन्नता की एक सख्त अवधारणा पेश की, विविधताओं की कलन को एक आधुनिक रूप दिया और कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को एक मनमाने ढंग से यांत्रिक प्रणाली तक विस्तारित किया (अर्थात, न केवल मुफ्त सामग्री बिंदु)। इसने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी की शुरुआत को चिह्नित किया। कार्ल गुस्ताव जेकोब जैकोबी ने 1837 में सिद्धांत का एक और सामान्यीकरण किया - उन्होंने समस्या को ज्यामितीय रूप से माना, एक गैर-यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ विन्यास स्थान में एक परिवर्तनशील समस्या के चरम को खोजने के रूप में। विशेष रूप से, जैकोबी ने बताया कि बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में, सिस्टम का प्रक्षेपवक्र विन्यास स्थान में एक जियोडेसिक रेखा है।

    हैमिल्टन का दृष्टिकोण भौतिक विज्ञान के गणितीय मॉडल में विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी के लिए सार्वभौमिक और अत्यधिक प्रभावी निकला। सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के निर्माण में इसकी अनुमानी शक्ति की पुष्टि हुई, जब डेविड हिल्बर्ट ने गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (1915) के अंतिम समीकरणों को प्राप्त करने के लिए हैमिल्टनियन सिद्धांत को लागू किया।

    शास्त्रीय यांत्रिकी में

    कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत यांत्रिकी के Lagrangian और हैमिल्टनियन योगों के लिए मौलिक और मानक आधार के रूप में कार्य करता है।

    आइए पहले इस तरह के निर्माण पर विचार करें Lagrangian यांत्रिकी. एक डिग्री  स्वतंत्रता के साथ एक भौतिक प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम याद करते हैं कि एक क्रिया (सामान्यीकृत)  निर्देशांक (स्वतंत्रता की एक डिग्री के मामले में - एक समन्वय) के संबंध में एक कार्यात्मक है, अर्थात, इसे व्यक्त किया जाता है क्यू (टी) (\displaystyle क्यू(टी))ताकि समारोह के हर कल्पनीय संस्करण क्यू (टी) (\displaystyle क्यू(टी))एक निश्चित संख्या की तुलना की जाती है - एक क्रिया (इस अर्थ में, हम कह सकते हैं कि एक कार्यात्मक के रूप में एक क्रिया एक नियम है जो किसी के लिए अनुमति देता है दिया गया कार्य क्यू (टी) (\displaystyle क्यू(टी))एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या की गणना करें - जिसे क्रिया भी कहा जाता है)। कार्रवाई दिखती है:

    एस [क्यू] = ∫ एल (क्यू (टी), क्यू ˙ (टी), टी) डी टी, (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L)) क्यू))(टी),टी)डीटी,)

    कहाँ एल (क्यू (टी), क्यू ˙ (टी), टी) (\displaystyle (\mathcal (एल))(क्यू(टी),(\डॉट (क्यू))(टी),टी))सामान्यीकृत समन्वय के आधार पर प्रणाली का Lagrangian है क्यू (\डिस्प्लेस्टाइल क्यू), यह पहली बार व्युत्पन्न है क्यू ˙ (\displaystyle (\dot (q))), और संभवतः, स्पष्ट रूप से समय से भी टी (\displaystyle t). यदि सिस्टम में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), तो Lagrangian पर निर्भर करता है अधिकसामान्यीकृत निर्देशांक क्यू आई (टी), आई = 1 , 2 , … , एन (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n)और उनका पहली बार डेरिवेटिव। इस प्रकार, क्रिया शरीर के प्रक्षेपवक्र के आधार पर एक अदिश क्रिया है।

    तथ्य यह है कि क्रिया एक अदिश राशि है, इसे किसी भी सामान्यीकृत निर्देशांक में लिखना आसान बनाता है, मुख्य बात यह है कि सिस्टम की स्थिति (कॉन्फ़िगरेशन) उनके द्वारा विशिष्ट रूप से विशेषता है (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन निर्देशांक के बजाय, ये ध्रुवीय हो सकते हैं निर्देशांक, सिस्टम के बिंदुओं के बीच की दूरी, कोण या उनके कार्य आदि। डी।)।

    कार्रवाई की गणना पूरी तरह से मनमाना प्रक्षेपवक्र के लिए की जा सकती है क्यू (टी) (\displaystyle क्यू(टी)), चाहे वह कितना भी "जंगली" और "अप्राकृतिक" क्यों न हो। हालांकि, शास्त्रीय यांत्रिकी में, संभावित प्रक्षेपवक्र के पूरे सेट के बीच, केवल एक ही है जिसके साथ शरीर वास्तव में जाएगा। कार्रवाई की स्थिरता का सिद्धांत सिर्फ इस सवाल का जवाब देता है कि शरीर वास्तव में कैसे आगे बढ़ेगा:

    इसका मतलब यह है कि यदि सिस्टम का लैग्रैन्जियन दिया गया है, तो विविधताओं के कलन का उपयोग करके हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि पहले गति के समीकरण - यूलर -लग्रेंज समीकरण प्राप्त करके, और फिर उन्हें हल करके वास्तव में शरीर कैसे चलेगा। यह न केवल यांत्रिकी के सूत्रीकरण को गंभीरता से सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है, बल्कि प्रत्येक विशिष्ट समस्या के लिए सबसे सुविधाजनक निर्देशांक चुनने की अनुमति देता है, कार्टेशियन लोगों तक सीमित नहीं है, जो सबसे सरल और सबसे आसानी से हल किए गए समीकरणों को प्राप्त करने के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है।

    S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\displaystyle S=\int (\ बड़ा ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\बड़ा ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

    कहाँ H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots ,p_(N),t) )दी गई प्रणाली का हैमिल्टन कार्य है; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (सामान्यीकृत) निर्देशांक, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- संयुग्मित (सामान्यीकृत) आवेग, समय के प्रत्येक क्षण में एक साथ प्रणाली की गतिशील स्थिति की विशेषता और, प्रत्येक समय का एक कार्य होने के नाते, इस प्रकार प्रणाली के विकास (आंदोलन) की विशेषता है। इस मामले में, विहित हैमिल्टन समीकरण  के रूप में सिस्टम की गति के समीकरण प्राप्त करने के लिए इस तरह से लिखी गई कार्रवाई को सभी पर स्वतंत्र रूप से बदलना आवश्यक है क्यू आई (\displaystyle q_(i))और पी आई (\displaystyle p_(i)).

    यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि सैद्धांतिक रूप से समस्या की स्थितियों से गति के नियम का पता लगाना संभव है, तो यह स्वतः ही नहींइसका मतलब है कि वास्तविक गति के दौरान एक स्थिर मान लेने वाले कार्यात्मक का निर्माण करना संभव है। एक उदाहरण संयुक्त आंदोलन है विद्युत शुल्कऔर मोनोपोल - चुंबकीय आवेश - एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में। गति के उनके समीकरणों को क्रिया की स्थिरता के सिद्धांत से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसी तरह, कुछ हैमिल्टनियन प्रणालियों में गति के समीकरण होते हैं जो इस सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं।

    उदाहरण

    तुच्छ उदाहरण यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के माध्यम से ऑपरेटिंग सिद्धांत के उपयोग का मूल्यांकन करने में सहायता करते हैं। मुक्त कण (द्रव्यमान एमऔर गति वि) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा में चलता है। यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके, इसे ध्रुवीय निर्देशांक में निम्नानुसार दिखाया जा सकता है। क्षमता के अभाव में लैग्रेंज फलन केवल गतिज ऊर्जा के बराबर होता है

    1 2 m v 2 = 1 2 m (x˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\dot (x))^(2)+(\dot (y))^(2\right)) ψ = ∫ [डी एक्स ] ई (आई एस [ एक्स ] / ℏ) । (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,।)

    यहाँ ∫ [डी एक्स ] (\displaystyle \int )सभी प्रक्षेपवक्र x(t) पर अनंत-गुना कार्यात्मक एकीकरण का एक सशर्त संकेतन है, और ℏ (\displaystyle \hbar )- प्लैंक स्थिरांक। हम इस बात पर जोर देते हैं कि, सिद्धांत रूप में, घातांक में क्रिया प्रकट होती है (या प्रकट हो सकती है), क्वांटम यांत्रिकी में विकास ऑपरेटर का अध्ययन करते समय, हालांकि, उन प्रणालियों के लिए जिनके पास एक सटीक शास्त्रीय (गैर-क्वांटम) एनालॉग है, यह बिल्कुल बराबर है सामान्य शास्त्रीय क्रिया।

    शास्त्रीय सीमा में इस अभिव्यक्ति का गणितीय विश्लेषण - पर्याप्त रूप से बड़े के लिए एस / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), अर्थात्, काल्पनिक घातांक के बहुत तेज़ दोलनों के साथ - दर्शाता है कि इस अभिन्न में सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों का विशाल बहुमत सीमा में एक दूसरे को रद्द कर देता है (औपचारिक रूप से, जब एस / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). लगभग किसी भी पथ के लिए, एक पथ है जिस पर चरण आक्रमण बिल्कुल विपरीत होगा, और वे शून्य योगदान तक जोड़ देंगे। केवल वे प्रक्षेपवक्र जिनके लिए क्रिया चरम मान के करीब है (अधिकांश प्रणालियों के लिए - न्यूनतम) कम नहीं होते हैं। यह विशुद्ध गणितीय तथ्य है

  • 3.1 प्राकृतिक विज्ञान के इतिहास में वैज्ञानिक क्रांतियाँ
  • 3.2। पहली वैज्ञानिक क्रांति। दुनिया की हेलियोसेंट्रिक प्रणाली। दुनिया की बहुलता का सिद्धांत
  • 3.3। दूसरी वैज्ञानिक क्रांति। शास्त्रीय यांत्रिकी और प्रायोगिक प्राकृतिक विज्ञान का निर्माण। दुनिया की यांत्रिक तस्वीर
  • 3.4। एक यांत्रिक दुनिया में रसायन विज्ञान
  • 3.5। आधुनिक समय का प्राकृतिक विज्ञान और दार्शनिक पद्धति की समस्या
  • 3.6। तीसरी वैज्ञानिक क्रांति। प्राकृतिक विज्ञान का डायलेक्टाइजेशन
  • 3.7। प्राकृतिक विज्ञान की सफाई
  • 3.8। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के क्षेत्र में अनुसंधान और दुनिया की यंत्रवत तस्वीर के पतन की शुरुआत
  • मैं XX सदी का प्राकृतिक विज्ञान
  • 4.1 चौथी वैज्ञानिक क्रांति। पदार्थ की गहराई में प्रवेश। सापेक्षता का सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी। दुनिया की यंत्रवत तस्वीर का अंतिम पतन
  • 4.2। वैज्ञानिक और तकनीकी क्रांति, इसका प्राकृतिक विज्ञान घटक और ऐतिहासिक चरण
  • 4.3। आधुनिक प्राकृतिक विज्ञान का पैनोरमा 4.3.1। XX सदी में विज्ञान के विकास की विशेषताएं
  • 4.3.2। सूक्ष्म जगत और मेगावर्ल्ड का भौतिकी। परमाणु भौतिकी
  • 4.3.3। आधुनिक रसायन विज्ञान की मुख्य दिशाओं में उपलब्धियां
  • 4.3.4। XX सदी की जीव विज्ञान: जीवन के आणविक स्तर का ज्ञान। आधुनिक जीव विज्ञान की पृष्ठभूमि।
  • 4.3.5। साइबरनेटिक्स और synergetics
  • धारा III
  • मैं अंतरिक्ष और समय
  • 1.1 पूर्व-न्यूटोनियन काल में अंतरिक्ष और समय के बारे में विचारों का विकास
  • 1. 2. स्थान और समय
  • 1.3। लंबी दूरी और करीब सीमा। "फ़ील्ड" की अवधारणा का विकास
  • 2.1 सापेक्षता का गैलिलियन सिद्धांत
  • 2.2। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत
  • 2.3। विशेष सापेक्षता ए। आइंस्टाइन
  • 1. सापेक्षता का सिद्धांत: प्रकृति के सभी नियम संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेमों में समान हैं।
  • 2.4। सामान्य सापेक्षता के तत्व
  • 3. मैक्रोस्कोपिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा के संरक्षण का नियम
  • 3.1। "लिविंग फोर्स"
  • 3.2। यांत्रिकी में काम करें। यांत्रिकी में ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन का नियम
  • 3.3। आंतरिक ऊर्जा
  • 3.4। विभिन्न प्रकार की ऊर्जाओं का एक दूसरे में अंतर्परिवर्तन
  • 4. एंट्रॉपी बढ़ाने का सिद्धांत
  • 4.1। आदर्श कार्नाट चक्र
  • 4.2। एन्ट्रापी की अवधारणा
  • 4.3। एंट्रॉपी और संभावना
  • 4.4। आदेश और अराजकता। समय का तीर
  • 4.5। "मैक्सवेल का दानव"
  • 4.6। ब्रह्मांड की गर्मी से मृत्यु की समस्या। बोल्ट्जमैन उतार-चढ़ाव परिकल्पना
  • 4.7। सिनर्जेटिक्स। अराजकता से आदेश का जन्म
  • मैं क्वांटम भौतिकी के तत्व
  • 5.1। प्रकाश की प्रकृति पर विचारों का विकास। प्लैंक सूत्र
  • 5.2। एक फोटॉन की ऊर्जा, द्रव्यमान और संवेग
  • 5.3। डी ब्रोगली की परिकल्पना। पदार्थ के तरंग गुण
  • 5.4। हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत
  • 5.5। बोह्र पूरकता सिद्धांत
  • 5.6। क्वांटम भौतिकी में अखंडता की अवधारणा। आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास
  • 5.7। संभाव्यता तरंगें। श्रोडिंगर समीकरण। क्वांटम यांत्रिकी में कारण सिद्धांत
  • 5.8। भौतिक प्रणाली की अवस्थाएँ। प्रकृति में गतिशील और सांख्यिकीय पैटर्न
  • 5.9। सापेक्षवादी क्वांटम भौतिकी। एंटीपार्टिकल्स की दुनिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
  • I एक एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण की ओर 6.1। नोथेर की प्रमेय और संरक्षण कानून
  • 6.2। समरूपता की अवधारणा
  • 6.3। गेज समरूपता
  • 6.4। बातचीत। प्राथमिक कणों का वर्गीकरण
  • 6.5। एक एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत की ओर। सहज निर्वात समरूपता को तोड़ने का विचार
  • 6.6। ब्रह्मांड के विकास की सहक्रियात्मक दृष्टि। भौतिक वस्तुओं का ऐतिहासिकतावाद। भौतिकी में प्रारंभिक अमूर्तता के रूप में भौतिक निर्वात
  • 6.7। मानवशास्त्रीय सिद्धांत। ब्रह्मांड का "ठीक ट्यूनिंग"
  • खंड चतुर्थ
  • 1. "समाज-प्रकृति" प्रणाली में रसायन
  • मैं रासायनिक पदनाम
  • खंड वी
  • मैं जीवन की उत्पत्ति के सिद्धांत
  • 1.1। सृष्टिवाद
  • 1.2। सहज (सहज) पीढ़ी
  • 1.3। स्थिर राज्य सिद्धांत
  • 1.4। पैनस्पर्मिया सिद्धांत
  • 1.5। जैव रासायनिक विकास
  • 2.1। लैमार्क का विकासवाद का सिद्धांत
  • 2.2। डार्विन, वालेस और प्राकृतिक चयन के माध्यम से प्रजातियों की उत्पत्ति
  • 2.3। विकास की आधुनिक अवधारणा
  • 3.1। जीवाश्म विज्ञान
  • 3.2। भौगोलिक वितरण
  • 3.3। वर्गीकरण
  • 3.4। पौधे और पशु प्रजनन
  • 3.5। तुलनात्मक शरीर रचना
  • 3.6। अनुकूली विकिरण
  • 3.7। तुलनात्मक भ्रूणविज्ञान
  • 3.8। तुलनात्मक जैव रसायन
  • 3.9। विकास और आनुवंशिकी
  • धारा VI। इंसान
  • मैं मनुष्य और सभ्यता की उत्पत्ति
  • 1.1 मनुष्य का उदय
  • 1.2। नृवंशविज्ञान की समस्या
  • 1.3। सांस्कृतिक उत्पत्ति
  • 1.4। सभ्यता का उदय
  • मैं मनुष्य और जीवमंडल
  • 7.1 V.I की अवधारणा। वर्नाडस्की जीवमंडल और मनुष्य की घटना के बारे में
  • 7.2। अंतरिक्ष चक्र
  • 7.3। विकास का चक्र। मनुष्य एक लौकिक प्राणी के रूप में
  • मैं सामग्री की तालिका
  • धारा I वैज्ञानिक विधि 7
  • खंड द्वितीय। प्राकृतिक विज्ञान का इतिहास 42
  • धारा III। आधुनिक भौतिकी के तत्व 120
  • खंड चतुर्थ। रसायन शास्त्र की बुनियादी अवधारणाएं और निरूपण246
  • खंड V.. जीवन की उत्पत्ति और विकास 266
  • धारा VI। मैन 307
  • 344007, रोस्तोव-ऑन-डॉन,
  • 344019, रोस्तोव-ऑन-डॉन, सेंट। Sovetskaya, 57. प्रिंट की गुणवत्ता प्रदान की गई स्लाइड्स से मेल खाती है।

    • 2.2। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

    18वीं शताब्दी में, वैज्ञानिक परिणामों का और अधिक संचय और व्यवस्थितकरण हुआ, जो भौतिक घटनाओं के अध्ययन के लिए गणितीय विश्लेषण के तरीकों के व्यवस्थित अनुप्रयोग के माध्यम से व्यक्तिगत वैज्ञानिक उपलब्धियों को एक कड़ाई से आदेशित, दुनिया की सुसंगत तस्वीर में संयोजित करने की प्रवृत्ति द्वारा चिह्नित है। इस दिशा में कई शानदार दिमागों के काम ने यंत्रवत अनुसंधान कार्यक्रम - विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के मूल सिद्धांत का निर्माण किया है, जिसके प्रावधानों के आधार पर विभिन्न मौलिक सिद्धांतों का निर्माण किया गया है जो एक विशिष्ट वर्ग के संयोजन का वर्णन करते हैं।

    परिघटना: हाइड्रोडायनामिक्स, लोच सिद्धांत, वायुगतिकी, आदि। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत (चर सिद्धांत) है, जो 20 वीं शताब्दी के अंत में भौतिकी में होने वाली प्रक्रियाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

    विज्ञान में परिवर्तनशील सिद्धांतों के उद्भव की जड़ें प्राचीन ग्रीस में वापस जाती हैं और अलेक्जेंड्रिया से बगुले के नाम से जुड़ी हैं। किसी भी परिवर्तनशील सिद्धांत का विचार किसी दिए गए प्रक्रिया की विशेषता वाले कुछ मूल्य को बदलना (बदलना) है, और सभी संभावित प्रक्रियाओं में से एक का चयन करना है जिसके लिए यह मान चरम (अधिकतम या न्यूनतम) मान लेता है। हेरोन ने प्रकाश के परावर्तन के नियमों को समझाने की कोशिश की, जब यह एक दर्पण से परावर्तित होता है, तो प्रकाश की किरण द्वारा एक स्रोत से एक पर्यवेक्षक तक पारित पथ की लंबाई को अलग-अलग करके अलग-अलग किया जाता है। वह इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि सभी संभावित रास्तों में से, प्रकाश की एक किरण सबसे छोटा (ज्यामितीय रूप से संभव) चुनती है।

    17वीं सदी में, दो हज़ार साल बाद, फ्रांसीसी गणितज्ञ फर्मेट ने हेरोन के सिद्धांत पर ध्यान आकर्षित किया, इसे विभिन्न अपवर्तक सूचकांकों के साथ मीडिया में विस्तारित किया, और इसलिए समय के संदर्भ में इसे सुधार दिया। फ़र्मेट का सिद्धांत बताता है कि एक अपवर्तक माध्यम में, जिसके गुण समय पर निर्भर नहीं करते हैं, दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक प्रकाश किरण अपने लिए एक रास्ता चुनती है ताकि पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक यात्रा करने के लिए आवश्यक समय न्यूनतम हो। लगातार अपवर्तक सूचकांक के साथ मीडिया के लिए हेरॉन का सिद्धांत फ़र्मेट के सिद्धांत का एक विशेष मामला निकला।

    फ़र्मेट के सिद्धांत ने समकालीनों का ध्यान आकर्षित किया। एक ओर, उन्होंने प्रकृति में "अर्थव्यवस्था के सिद्धांत" के लिए सर्वोत्तम संभव तरीके से गवाही दी, दुनिया की संरचना में महसूस की गई तर्कसंगत दिव्य योजना के लिए, दूसरी ओर, उन्होंने न्यूटन के प्रकाश के कणिका सिद्धांत का खंडन किया। न्यूटन के अनुसार, यह पता चला कि सघन मीडिया में प्रकाश की गति अधिक होनी चाहिए, जबकि फर्मेट के सिद्धांत से यह पता चला कि ऐसे मीडिया में प्रकाश की गति कम हो जाती है।

    1740 में, गणितज्ञ पियरे लुइस मोरो डे मौपर्टुइस, गंभीर रूप से फ़र्मेट के सिद्धांत का विश्लेषण कर रहे थे और धार्मिक सिद्धांतों का पालन कर रहे थे।

    ब्रह्मांड की पूर्णता और सबसे किफायती व्यवस्था के बारे में तार्किक उद्देश्य, काम में घोषित "प्रकृति के विभिन्न कानूनों पर जो असंगत लग रहे थे" कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत। Maupertuis ने Fermat के सबसे कम समय को छोड़ दिया और एक नई अवधारणा - क्रिया की शुरुआत की। यह क्रिया पिंड के संवेग (संवेग Р = mV) और पिंड द्वारा तय किए गए पथ के गुणनफल के बराबर है। समय का स्थान पर कोई लाभ नहीं है, और इसके विपरीत। इसलिए, प्रकाश सबसे छोटा रास्ता नहीं चुनता है और इसे यात्रा करने के लिए सबसे कम समय नहीं है, लेकिन मौपर्टुइस के अनुसार, "वह रास्ता चुनता है जो अधिक वास्तविक अर्थव्यवस्था देता है: जिस पथ के साथ यह अनुसरण करता है वह पथ है जिस पर कार्रवाई की परिमाण न्यूनतम है।" यूलर और लाग्रेंज के कार्यों में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को और विकसित किया गया था; वह आधार था जिस पर लैग्रेंज ने गणितीय विश्लेषण का एक नया क्षेत्र विकसित किया - विविधताओं की कलन। हैमिल्टन के कार्यों में इस सिद्धांत को और सामान्यीकृत और पूरा किया गया। एक सामान्यीकृत रूप में, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत गति के संदर्भ में व्यक्त की गई कार्रवाई की अवधारणा का उपयोग करता है, लेकिन लैग्रेंज फ़ंक्शन के संदर्भ में। किसी संभावित क्षेत्र में गतिमान एक कण के मामले में, लैग्रेंज फ़ंक्शन को गतिज के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है और संभावित ऊर्जा:

    ("ऊर्जा" की अवधारणा पर इस खंड के अध्याय 3 में विस्तार से चर्चा की गई है।)

    उत्पाद को एक प्राथमिक क्रिया कहा जाता है। कुल क्रिया विचाराधीन पूरे समय अंतराल पर सभी मूल्यों का योग है, दूसरे शब्दों में, कुल क्रिया A:

    कम से कम क्रिया के सिद्धांत का उपयोग करके एक कण की गति के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं, जिसके अनुसार वास्तविक गति इस तरह से होती है कि क्रिया चरम हो जाती है, अर्थात इसकी भिन्नता 0 हो जाती है:

    लैग्रेंज-हैमिल्टन परिवर्तनशील सिद्धांत आसानी से उन प्रणालियों के विस्तार की अनुमति देता है जिनमें गैर-

    कितने (कई) कण। ऐसी प्रणालियों की गति को आमतौर पर बड़ी संख्या में आयामों के एक अमूर्त स्थान (एक सुविधाजनक गणितीय तकनीक) में माना जाता है। कहते हैं, N बिंदुओं के लिए, N कणों के 3N निर्देशांक के कुछ सार स्थान को पेश किया जाता है, जिससे एक सिस्टम बनता है जिसे कॉन्फ़िगरेशन स्पेस कहा जाता है। सिस्टम के विभिन्न राज्यों के अनुक्रम को इस विन्यास स्थान में एक वक्र द्वारा दर्शाया गया है - एक प्रक्षेपवक्र। इस 3एन-आयामी अंतरिक्ष के दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी संभावित रास्तों को ध्यान में रखते हुए, यह सुनिश्चित किया जा सकता है कि सिस्टम की वास्तविक गति कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के अनुसार होती है: सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों में से, जिसके लिए कार्रवाई अत्यधिक है आंदोलन के पूरे समय अंतराल का एहसास होता है।

    शास्त्रीय यांत्रिकी में कार्रवाई को कम करने पर, यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त होते हैं, जिसका न्यूटन के नियमों के साथ संबंध सर्वविदित है। शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लैग्रैन्जियन के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण मैक्सवेल के समीकरण बन गए हैं। इस प्रकार, हम देखते हैं कि Lagrangian और कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का उपयोग कण गतिकी को निर्धारित करने की अनुमति देता है। हालाँकि, Lagrangian की एक और महत्वपूर्ण विशेषता है, जिसने आधुनिक भौतिकी की लगभग सभी समस्याओं को हल करने में Lagrangian औपचारिकता को मुख्य बना दिया है। तथ्य यह है कि भौतिकी में न्यूटोनियन यांत्रिकी के साथ, पहले से ही 19 वीं शताब्दी में, कुछ भौतिक मात्राओं के लिए संरक्षण कानून तैयार किए गए थे: ऊर्जा के संरक्षण का नियम, संवेग के संरक्षण का नियम, कोणीय गति के संरक्षण का नियम, कानून विद्युत आवेश के संरक्षण का। हमारी सदी में क्वांटम भौतिकी और प्राथमिक कण भौतिकी के विकास के संबंध में संरक्षण कानूनों की संख्या और भी अधिक हो गई है। प्रश्न उठता है कि गति के दोनों समीकरणों (जैसे, न्यूटन के नियम या मैक्सवेल के समीकरण) और समय में संरक्षित मात्राओं को लिखने के लिए एक सामान्य आधार कैसे खोजा जाए। यह पता चला कि इस तरह का आधार Lagrangian औपचारिकता का उपयोग है, क्योंकि किसी विशेष सिद्धांत का Lagrangian इस सिद्धांत में विचार किए गए विशिष्ट अमूर्त स्थान के अनुरूप परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तित) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप संरक्षण होता है कानून। Lagrangian की ये विशेषताएं

    Lagrangians की भाषा में भौतिक सिद्धांतों को तैयार करने की समीचीनता का नेतृत्व नहीं किया। आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के उद्भव के कारण इस परिस्थिति का अहसास भौतिकी में हुआ।

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