მატრიცები. მატრიცების ძირითადი განმარტებები და ტიპები
მატრიცები. მატრიცების ტიპები. ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.
n-ე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი. N, Z, Q, R, C,
m*n რიგის მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს m-სტრიქონებს და n-სვეტებს.
მატრიქსის თანასწორობა:
ამბობენ, რომ ორი მატრიცა ტოლია, თუ ერთი მათგანის მწკრივების და სვეტების რაოდენობა უდრის, შესაბამისად, მეორის მწკრივებისა და სვეტების რაოდენობას. ამ მატრიცების ელემენტები თანაბარია.
შენიშვნა: იგივე ინდექსების მქონე ელ.წერილები შესაბამისია.
მატრიცების ტიპები:
კვადრატული მატრიცა: მატრიცას ეწოდება კვადრატი, თუ მისი რიგების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას.
მართკუთხა: მატრიცას მართკუთხა ეწოდება, თუ რიგების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი.
მწკრივის მატრიცა: 1*n რიგის მატრიცას (m=1) აქვს a11,a12,a13 ფორმა და ეწოდება მწკრივის მატრიცა.
მატრიცის სვეტი:………….
დიაგონალი: კვადრატული მატრიცის დიაგონალს, რომელიც მიდის ზედა მარცხენა კუთხიდან ქვედა მარჯვენა კუთხეში, ანუ შედგება a11, a22...... ელემენტებისაგან...... მთავარი დიაგონალი ეწოდება. (განმარტება: კვადრატულ მატრიცას, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, გარდა იმ ელემენტებისა, რომლებიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, ეწოდება დიაგონალური მატრიცა.
იდენტურობა: დიაგონალურ მატრიცას ეწოდება იდენტურობის მატრიცა, თუ ყველა ელემენტი განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე და უდრის 1-ს.
ზედა სამკუთხედი: A=||aij|| ზედა სამკუთხა მატრიცას უწოდებენ, თუ aij=0. გათვალისწინებული i> j.
ქვედა სამკუთხა: aij = 0. მე ნული: ეს არის მატრიცა, რომლის მნიშვნელობები 0-ის ტოლია. ოპერაციები მატრიცებზე. 1. ტრანსპორტირება. 2.მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. 3. მატრიცების დამატება. 4. Matrix გამრავლება. მატრიცებზე მოქმედებების ძირითადი თვისებები. 1.A+B=B+A (კომუტატიულობა) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (ასოციაციურობა) 3.a(A+B)=aA+aB (განაწილება) 4.(a+b)A=aA+bA (გამანაწილებელი) 5.(აბ)A=a(bA)=b(aA) (ასოც.) 6.AB≠BA (არ კომმ.) 7.A(BC)=(AB)C (ასოც.) – შესრულებულია თუ განსაზღვრულია. შესრულებულია მატრიცული პროდუქტები. 8.A(B+C)=AB+AC (გამანაწილებელი) (B+C)A=BA+CA (დისტრიბუციული) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი - განმარტება და მისი თვისებები. დეტერმინანტის დაშლა რიგებად და სვეტებად. დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები. თუ A მატრიცას აქვს რიგი m>1, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი. A მატრიცის aij ელემენტის ალგებრული დანამატი Aij არის მცირე Mij რიცხვზე გამრავლებული. თეორემა 1: A მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის თვითნებური მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის ნამრავლების ჯამს მათი ალგებრული კომპლიმენტებით. დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები. 1. მატრიცის დეტერმინანტი არ შეიცვლება მისი ტრანსპონირებისას. 2. ორი მწკრივის (სვეტის) გადაწყობისას განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს, მაგრამ მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა არ იცვლება. 3. მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელსაც აქვს ორი იდენტური მწკრივი (სვეტი) 0-ის ტოლია. 4. როდესაც მატრიცის მწკრივი (სვეტი) მრავლდება რიცხვზე, მისი განმსაზღვრელი მრავლდება ამ რიცხვზე. 5. თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი (სვეტი) შედგება 0-ისგან, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის 0-ს. 6. თუ მატრიცის i-ე რიგის (სვეტის) ყველა ელემენტი წარმოდგენილია ორი წევრის ჯამის სახით, მაშინ მისი განმსაზღვრელი შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც ორი მატრიცის განმსაზღვრელთა ჯამი. 7. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ გამრავლების შემდეგ ერთი სვეტის (მწკრივის) ელემენტები დაემატება მეორე სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს შესაბამისად. იგივე ნომრისთვის. 8. დეტერმინანტის ნებისმიერი სვეტის (მწკრივის) თვითნებური ელემენტების ჯამი სხვა სვეტის (მწკრივის) ელემენტების შესაბამისი ალგებრული დანამატით უდრის 0-ს. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> დეტერმინანტის გამოთვლის მეთოდები: 1. განმარტებით ან თეორემა 1. 2. შემცირება სამკუთხა ფორმამდე. ინვერსიული მატრიცის განმარტება და თვისებები. შებრუნებული მატრიცის გამოთვლა. მატრიცული განტოლებები. განმარტება: n რიგის კვადრატულ მატრიცას ეწოდება იმავე რიგის A მატრიცის შებრუნებული და აღინიშნება. იმისათვის, რომ A მატრიცას ჰქონდეს შებრუნებული მატრიცა, აუცილებელია და საკმარისია, რომ A მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავებული იყოს 0-დან. ინვერსიული მატრიცის თვისებები: 1. უნიკალურობა: მოცემული A მატრიცისთვის მისი ინვერსია უნიკალურია. 2. მატრიცის განმსაზღვრელი 3. ტრანსპოზიციის აღების და შებრუნებული მატრიცის აღების ოპერაცია. მატრიცული განტოლებები: მოდით A და B იყოს ერთი და იმავე რიგის ორი კვადრატული მატრიცა. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> მატრიცის სვეტების წრფივი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის კონცეფცია. სვეტის სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და წრფივი დამოუკიდებლობის თვისებები. A1, A2...An სვეტებს უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია 0 სვეტის ტოლი. სვეტებს A1, A2...An ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია 0 სვეტის ტოლი. წრფივ კომბინაციას ეწოდება ტრივიალური, თუ ყველა კოეფიციენტი C(l) უდრის 0-ს და არატრივიალური სხვა შემთხვევაში. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. იმისათვის, რომ სვეტები იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ რომელიმე სვეტი იყოს სხვა სვეტების წრფივი კომბინაცია. დაე, სვეტებიდან 1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">სხვა სვეტების წრფივი კომბინაცია იყოს. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> წრფივია დამოკიდებული, შემდეგ ყველა სვეტი წრფივად არის დამოკიდებული. 4. თუ სვეტების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა ასევე წრფივად დამოუკიდებელია. (ყველაფერი, რაც ნათქვამია სვეტების შესახებ, ასევე შეესაბამება რიგებს). მატრიცის არასრულწლოვნები. ძირითადი არასრულწლოვნები. მატრიცის რანგი. მატრიცის რანგის გამოსათვლელად არასრულწლოვანთა მოსაზღვრების მეთოდი. A მატრიცის k რიგის მინორი არის განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტები განლაგებულია A მატრიცის k-სვეტებისა და k-სვეტების გადაკვეთაზე. თუ A = 0 მატრიცის kth რიგის ყველა მინორი, მაშინ k+1 რიგის ნებისმიერი მინორი ასევე 0-ის ტოლია. ძირითადი მცირე. A მატრიცის რანგი არის მისი საბაზისო მინორის რიგი. მინორების შემოსაზღვრების მეთოდი: - აირჩიეთ A მატრიცის არანულოვანი ელემენტი (თუ ასეთი ელემენტი არ არსებობს, მაშინ რანგი A = 0) წინა 1-ლი რიგის მინორს ვაპირებთ მე-2 რიგის მინორს. (თუ ეს მინორი არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ რანგი არის >=2) თუ ამ მინორის წოდება არის =0, მაშინ არჩეულ 1-ლი რიგის მინორს ვუსაზღვრავთ სხვა მე-2 რიგის მინორებს. (თუ მე-2 რიგის ყველა მცირეწლოვანი = 0, მაშინ მატრიცის რანგი = 1). მატრიცის რანგი. მატრიცის რანგის პოვნის მეთოდები. A მატრიცის რანგი არის მისი საბაზისო მინორის რიგი. გაანგარიშების მეთოდები: 1) მინორების შემოსაზღვრების მეთოდი: - აირჩიეთ A მატრიცის არანულოვანი ელემენტი (თუ ასეთი ელემენტი არ არის, მაშინ რანგი = 0) - წინა 1-ლი რიგის მინორის შემოხაზვა მე-2 რიგის მინორით..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0. 2) მატრიცის დაყვანა ეტაპობრივ ფორმამდე: ეს მეთოდი ეფუძნება ელემენტარულ გარდაქმნებს. ელემენტარული გარდაქმნების დროს მატრიცის რანგი არ იცვლება. შემდეგ გარდაქმნებს ელემენტარული გარდაქმნები ეწოდება: ორი რიგის (სვეტების) გადაწყობა. გარკვეული სვეტის (მწკრივის) ყველა ელემენტის გამრავლება არა =0 რიცხვზე. გარკვეული სვეტის (მწკრივის) ყველა ელემენტს ემატება სხვა სვეტის (მწკრივის) ელემენტები, ადრე გამრავლებული იმავე რიცხვით. თეორემა მინორის საფუძველზე. აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი. A მატრიცის საბაზისო მინორი არის უმაღლესი kth რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება 0-ისგან. ძირითადი მცირე თეორემა: ძირეული რიგები (სვეტები) წრფივად დამოუკიდებელია. A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სვეტი) არის საბაზისო რიგების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია. შენიშვნები: სტრიქონებსა და სვეტებს, რომელთა გადაკვეთაზეც არის საბაზისო მინორი, შესაბამისად, საბაზისო რიგები და სვეტები ეწოდება. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2….arr arj ak1 ak2…..akr akj აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი: იმისათვის, რომ n-ე რიგის განმსაზღვრელი იყოს =0, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი რიგები (სვეტები) იყოს წრფივად დამოკიდებული. წრფივი განტოლებათა სისტემები, მათი კლასიფიკაცია და აღნიშვნის ფორმები. კრამერის წესი. განვიხილოთ 3 წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} ეწოდება სისტემის განმსაზღვრელი. მოდით შევადგინოთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი შემდეგნაირად: შეცვალეთ თანმიმდევრულად 1, 2 და 3 სვეტები D დეტერმინანტში თავისუფალი ტერმინების სვეტით. https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} მტკიცებულება. მაშ ასე, განვიხილოთ 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით. მოდით გავამრავლოთ სისტემის 1-ლი განტოლება a11 ელემენტის ალგებრულ დანამატზე A11, მე-2 განტოლება A21-ზე და მე-3 A31-ზე: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} მოდით შევხედოთ თითოეულ ფრჩხილს და ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს. 1-ლი სვეტის ელემენტებში დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ და . ბოლოს და ბოლოს, ამის შემჩნევა ადვილია ამრიგად, ვიღებთ ტოლობას: . აქედან გამომდინარე,. ტოლობები და მიღებულია ანალოგიურად, საიდანაც გამომდინარეობს თეორემის განცხადება. წრფივი განტოლებათა სისტემები. წრფივი განტოლებათა თავსებადობის პირობა. კრონეკერ-კაპელის თეორემა. ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის n რიცხვი C1, C2, C3......Cn, რომელიც ჩანაცვლებულია საწყის სისტემაში x1, x2, x3.....xn. , აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტებად. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც. თანმიმდევრულ სისტემას ეწოდება განმსაზღვრელი, თუ მას აქვს უნიკალური ამონახსნები, და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების თანმიმდევრულობის პირობები. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn თეორემა: იმისათვის, რომ m წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობით იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ გაფართოებული მატრიცის რანგი ტოლი იყოს A მატრიცის რანგის. შენიშვნა: ეს თეორემა იძლევა მხოლოდ ამოხსნის არსებობის კრიტერიუმებს, მაგრამ არ მიუთითებს ამოხსნის პოვნის მეთოდზე. 10 კითხვა. წრფივი განტოლებათა სისტემები. საბაზისო მცირე მეთოდი არის ზოგადი მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ყველა ამოხსნის მოსაძებნად. A=a21 a22…..a2n ძირითადი მცირე მეთოდი: მოდით, სისტემა იყოს თანმიმდევრული და RgA=RgA’=r. დაე, საბაზისო მინორი ჩაიწეროს მატრიცის A ზედა მარცხენა კუთხეში. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> შენიშვნები: თუ ძირითადი მატრიცის და განსახილველი მატრიცის რანგი უდრის r=n, მაშინ ამ შემთხვევაში dj=bj და სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები. წრფივი განტოლებათა ჰომოგენური სისტემები. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ მისი ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია. AX=0 – ერთგვაროვანი სისტემა. AX =B არის ჰეტეროგენული სისტემა. ჰომოგენური სისტემები ყოველთვის თანმიმდევრულია. X1 =x2 =..=xn =0 თეორემა 1. ჰომოგენურ სისტემებს აქვთ არაჰომოგენური გადაწყვეტილებები, როდესაც სისტემის მატრიცის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე. თეორემა 2. n-წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემას n-უცნობებთან აქვს არანულოვანი ამონახსნი, როდესაც A მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. (detA=0) ერთგვაროვანი სისტემების ხსნარების თვისებები. ჰომოგენური სისტემის ამოხსნის ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია თავისთავად ამ სისტემის გამოსავალია. α1C1 +α2C2; α1 და α2 არის რამდენიმე რიცხვი. A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, ე.ი. კ (A C1) = 0; (AC2) = 0 არაჰომოგენური სისტემისთვის ეს თვისება არ ვრცელდება. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა. თეორემა 3. თუ n-უცნობებთან განტოლების მატრიცული სისტემის რანგი უდრის r-ს, მაშინ ამ სისტემას აქვს n-r წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები. დაე, ბაზის მინორი იყოს ზედა მარცხენა კუთხეში. თუ რ< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) n-r წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემას წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემისთვის r რანგის n-უცნობი ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა ეწოდება. თეორემა 4. წრფივი განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი არის ფუნდამენტური სისტემის ამოხსნის წრფივი კომბინაცია. С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r თუ რ კითხვა 12. ჰეტეროგენული სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა. ძილი (ზოგადი ჰეტეროგენული) = Coo + Sch (კერძოდ) AX=B (ჰეტეროგენული სისტემა); AX= 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, რადგან (ASoo) = 0 ძილი= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch გაუსის მეთოდი. ეს არის უცნობების (ცვლადების) თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - ის მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა მცირდება ეტაპობრივი ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც გვხვდება ყველა სხვა ცვლადი. თანმიმდევრობით, ბოლო ცვლადებით დაწყებული. მოდით a≠0 (თუ ეს ასე არ არის, მაშინ ამის მიღწევა შესაძლებელია განტოლებების გადალაგებით). 1) გამოვრიცხავთ x1 ცვლადს მეორე, მესამე...n-ე განტოლებიდან, ვამრავლებთ პირველ განტოლებას შესაფერის რიცხვებზე და მიღებულ შედეგებს ვამატებთ მე-2, მე-3...n-ე განტოლებას, შემდეგ მივიღებთ: ჩვენ ვიღებთ ორიგინალის ექვივალენტურ სისტემას. 2) გამორიცხეთ x2 ცვლადი 3) გამორიცხეთ ცვლადი x3 და ა.შ. x4;x5...xr-1 ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესის გაგრძელებით ვიღებთ (r-1)-ე საფეხურს. ბოლო n-r-ის რიცხვი ნული განტოლებებში ნიშნავს, რომ მათ მარცხენა მხარეს აქვს ფორმა: 0x1 +0x2+..+0xn თუ br+1, br+2... რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა წინააღმდეგობრივია და სისტემა (1) არათანმიმდევრულია. ამრიგად, ნებისმიერი თანმიმდევრული სისტემისთვის ეს br+1 ... bm უდრის ნულს. ბოლო n-r განტოლება სისტემაში (1;r-1) არის იდენტობები და შეიძლება მათი იგნორირება. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა: ა) სისტემის განტოლებათა რაოდენობა (1;r-1) უდრის უცნობის რაოდენობას, ანუ r=n (ამ შემთხვევაში სისტემას აქვს სამკუთხა ფორმა). ბ) რ სისტემიდან გადასვლას (1) ეკვივალენტურ სისტემაზე (1;r-1) ეწოდება გაუსის მეთოდის პირდაპირ მოძრაობას. სისტემიდან ცვლადის პოვნა (1;r-1) გაუსის მეთოდის საპირისპიროა. მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება მათი არა განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების გაფართოებული მატრიცით. კითხვა 13. მსგავსი მატრიცები. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიგის კვადრატულ მატრიცებს n/ მატრიცა A არის B მატრიცის მსგავსი (A~B), თუ არსებობს არასიგნორული მატრიცა S ისეთი, რომ A=S-1BS. მსგავსი მატრიცების თვისებები. 1) მატრიცა A თავის მსგავსია. (A ~ ა) თუ s = e, მაშინ eae = e-1ae = ა 2) თუ A ~ B, მაშინ B ~ ა თუ A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) თუ A~B და ამავე დროს B~C, მაშინ A~C მოცემულია, რომ A=S1-1BS1, და B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, სადაც S3 = S2S1 4) მსგავსი მატრიცების დეტერმინანტები ტოლია. იმის გათვალისწინებით, რომ A~B, აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (შემცირებული) = detB. 5) მსგავსი მატრიცების რიგები ემთხვევა. მატრიცების საკუთრივვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები. რიცხვს λ ეწოდება A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობას, თუ არსებობს არანულოვანი ვექტორი X (მატრიცის სვეტი) ისეთი, რომ AX = λ X, ვექტორს X ეწოდება A მატრიცის საკუთრივვექტორს და ყველა საკუთრივ მნიშვნელობის სიმრავლეს ე.წ. A მატრიცის სპექტრი. საკუთრივ ვექტორების თვისებები. 1) საკუთრივ ვექტორის რიცხვზე გამრავლებისას ვიღებთ საკუთრივ ვექტორს იგივე საკუთრივ მნიშვნელობით. Ax = λ x; X≠0 α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX) 2) წყვილ-წყვილად განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობებით საკუთრივ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია λ1, λ2,.. λk. მოდით, სისტემა შედგებოდეს 1 ვექტორისგან, ავიღოთ ინდუქციური ნაბიჯი: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – გავამრავლოთ A-ზე. C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 გავამრავლოთ λn+1-ზე და გამოვაკლოთ С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 აუცილებელია, რომ C1 = C2 =... = Cn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 დამახასიათებელი განტოლება. A-λE ეწოდება დამახასიათებელ მატრიცას A მატრიცისთვის. იმისათვის, რომ არანულოვანი ვექტორი X იყოს A მატრიცის საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ საკუთრივ მნიშვნელობას, აუცილებელია, რომ იგი იყოს წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი (A - λE)X = 0. სისტემას აქვს არატრივიალური გამოსავალი, როდესაც det (A - XE) = 0 - ეს არის დამახასიათებელი განტოლება. განცხადება! ასეთი მატრიცების დამახასიათებელი განტოლებები ემთხვევა. det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE) დამახასიათებელი მრავალწევრი. det(A – λE) - ფუნქცია λ პარამეტრთან მიმართებაში det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA ამ მრავალწევრს ეწოდება A მატრიცის დამახასიათებელი პოლინომი. შედეგი: 1) თუ მატრიცები არის A~B, მაშინ მათი დიაგონალური ელემენტების ჯამი ემთხვევა. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) მსგავსი მატრიცების საკუთრივ მნიშვნელობების ნაკრები ემთხვევა. თუ მატრიცების დამახასიათებელი განტოლებები ემთხვევა, მაშინ ისინი სულაც არ არიან მსგავსი. მატრიცისთვის A მატრიცისთვის B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 იმისათვის, რომ n რიგის A მატრიცა დიაგონალიზაციადი იყოს, აუცილებელია არსებობდეს A მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი საკუთარი ვექტორები. შედეგი. თუ A მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა განსხვავებულია, მაშინ ის დიაგონალიზაციადია. ალგორითმი საკუთრივ ვექტორებისა და საკუთრივ მნიშვნელობების საპოვნელად. 1) შეადგინეთ დამახასიათებელი განტოლება 2) იპოვნეთ განტოლებების ფესვები 3) ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას საკუთარი ვექტორის დასადგენად. λi (A-λi E)X = 0 4) იპოვნეთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა x1,x2..xn-r, სადაც r არის დამახასიათებელი მატრიცის რანგი. r =Rg(A - λi E) 5) საკუთრივ ვექტორი, λi საკუთრივ მნიშვნელობები იწერება როგორც: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, სადაც С12 +С22 +… С2n ≠0 6) შეამოწმეთ შესაძლებელია თუ არა მატრიცა დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანა. 7) იპოვეთ აგ Ag = S-1AS S= კითხვა 15. სწორი ხაზის, სიბრტყის, სივრცის საფუძველი. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). ვექტორის მოდული არის ნული, როდესაც ეს ვექტორი ნულია (│ō│=0 ) 4. ორმხრივი ვექტორი. მოცემული ვექტორის ორთალი არის ვექტორი, რომელსაც აქვს მოცემული ვექტორის მიმართულება და აქვს ერთის ტოლი მოდული. თანაბარ ვექტორებს აქვთ თანაბარი ვექტორები. 5.კუთხე ორ ვექტორს შორის. ეს არის ტერიტორიის უფრო მცირე ნაწილი, შემოიფარგლება ორი სხივით, რომელიც გამოდის ერთი და იმავე წერტილიდან და მიმართულია მოცემულ ვექტორებთან ერთნაირად. ვექტორის დამატება. ვექტორის გამრავლება რიცხვზე. 1) ორი ვექტორის დამატება https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)ვექტორის გამრავლება სკალარზე. ვექტორისა და სკალარის ნამრავლი არის ახალი ვექტორი, რომელსაც აქვს: ა) = ვექტორის მოდულის ნამრავლი სკალარის აბსოლუტურ მნიშვნელობაზე. ბ) მიმართულება იგივეა, რაც ვექტორის გამრავლება, თუ სკალარი დადებითია და საპირისპირო, თუ სკალარი უარყოფითია. λ а(ვექტორი)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ ვექტორებზე წრფივი მოქმედებების თვისებები. 1. გადაცემის კანონი. 2. ასოციაციურობის კანონი. 3. შეკრება ნულით. a(ვექტორი)+ō= a(ვექტორი) 4. დამატება საპირისპიროდ. 5. (αβ) = α(ბ) = β(ა) 6;7.განაწილების კანონი. ვექტორის გამოხატვა მისი მოდულისა და ორთის მიხედვით. წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალურ რაოდენობას საფუძველი ეწოდება. წრფეზე საფუძველი არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი. სიბრტყეზე საფუძველი არის ნებისმიერი ორი არაკალენარული ვექტორი. სივრცეში საფუძველი არის ნებისმიერი სამი არათანაბარი ვექტორის სისტემა. ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტს ამ საფუძველში ვექტორის კომპონენტებს ან კოორდინატებს უწოდებენ. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> შეასრულეთ შეკრების და გამრავლების მოქმედება სკალარით, შემდეგ ასეთი მოქმედებების ნებისმიერ რაოდენობას მივიღებთ: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ეწოდება წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ō-ის ტოლი. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ, თუ არ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია. წრფივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორების თვისებები: 1) ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, არის წრფივი დამოკიდებული. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> იყო წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია, რომ რომელიმე ვექტორი იყოს სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაცია. 3) თუ a1(ვექტორი), a2(ვექტორი)... ak(ვექტორი) სისტემის ზოგიერთი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ყველა ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული. 4) თუ ყველა ვექტორი https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) ხაზოვანი მოქმედებები კოორდინატებში. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები: 1. კომუტატიურობა 3. (a;b)=0, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ორთოგანალურია ან ზოგიერთი ვექტორი 0-ის ტოლია. 4. განაწილება (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. a და b-ის სკალარული ნამრავლის გამოხატვა მათი კოორდინატების მიხედვით https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> როდესაც () პირობა დაკმაყოფილებულია, h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> და ეწოდება მესამე ვექტორი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ განტოლებებს: 3. – მართალია ვექტორული პროდუქტის თვისებები: 4. კოორდინატთა ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ორთონორალური საფუძველი. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> ხშირად 3 სიმბოლო გამოიყენება ორთონორმალური საფუძვლის ერთეული ვექტორების აღსანიშნავად https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> თუ ორთონორმალური საფუძველია, მაშინ https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- სწორი ხაზის განტოლება OX ღერძის პარალელურად 2) - სწორი ხაზის განტოლება op-amp-ის ღერძის პარალელურად 2. 2 სწორი ხაზის ორმხრივი განლაგება. თეორემა 1 სწორი ხაზების განტოლებები მოცემულია აფინური კოორდინატთა სისტემის მიმართ ა) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა მათი გადაკვეთისას აქვს ფორმა: ბ) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ წრფეები პარალელურია, არის პირობა: ბ) მაშინ აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისთვის, რომ ხაზები ერთში გაერთიანდეს, არის პირობა: 3. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. თეორემა. მანძილი წერტილიდან წრფემდე დეკარტის კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. პერპენდიკულარობის მდგომარეობა. 2 სწორი ხაზი განისაზღვროს დეკარტის კოორდინატთა სისტემის მიმართ ზოგადი განტოლებებით. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> თუ , მაშინ ხაზები პერპენდიკულარულია. კითხვა 24. თვითმფრინავი კოსმოსში. ვექტორისა და სიბრტყის თანმიმდევრული პირობა. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე. ორი სიბრტყის პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობა. 1. ვექტორისა და სიბრტყის თანმიმდევრული პირობა. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. კუთხე 2 სიბრტყეს შორის. პერპენდიკულარობის მდგომარეობა. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> თუ , მაშინ სიბრტყეები პერპენდიკულარულია. კითხვა 25. სწორი ხაზი სივრცეში. სწორი ხაზის განტოლების სხვადასხვა ტიპები სივრცეში. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. წრფის ვექტორული განტოლება სივრცეში. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. კანონიკური განტოლება პირდაპირია. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">!} ხაზოვანი ალგებრის ამოცანები. მატრიცის კონცეფცია. მატრიცების ტიპები. ოპერაციები მატრიცებით. მატრიცის ტრანსფორმაციის ამოცანების ამოხსნა. მათემატიკაში სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას ხშირად გიწევთ საქმე რიცხვების ცხრილებთან, რომლებსაც მატრიცები ეწოდება. მატრიცების გამოყენებით მოსახერხებელია წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა, ვექტორებით მრავალი ოპერაციის შესრულება, კომპიუტერული გრაფიკის სხვადასხვა ამოცანების და სხვა საინჟინრო ამოცანების გადაჭრა. მატრიცა ეწოდება
რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს რაოდენობას მხაზები და გარკვეული რაოდენობა პსვეტები. ნომრები თდა პმატრიცულ ბრძანებებს უწოდებენ. თუ თ = P,მატრიცას ეწოდება კვადრატი, ხოლო რიცხვი m = n -მისი შეკვეთა. მომავალში მატრიცების დასაწერად გამოყენებული იქნება ორმაგი ტირე ან ფრჩხილები: ან მატრიცის მოკლედ აღსანიშნავად, ხშირად გამოყენებული იქნება ერთი დიდი ასო (მაგალითად, A) ან სიმბოლო. || a ij ||და ზოგჯერ განმარტებით: ა = || a ij || = (აი),სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n). ნომრები აიი,ამ მატრიცაში შედის მისი ელემენტები. ჩაწერაში იჯპირველი ინდექსი і
ნიშნავს ხაზის ნომერს და მეორე ინდექსს ჯ- სვეტის ნომერი. კვადრატული მატრიცის შემთხვევაში შემოღებულია ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ცნებები. მატრიცის (1.1) მთავარ დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება 11 და 12 …
ენმიდის ამ მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან მის ქვედა მარჯვენა კუთხეში. იმავე მატრიცის გვერდით დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება a n 1 a (n -1)2…
a 1 n,ქვედა მარცხენა კუთხიდან ზედა მარჯვენა კუთხეში გადასვლა. ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე. მოდით გადავიდეთ მატრიცებზე ძირითადი მოქმედებების განსაზღვრაზე. მატრიცის დამატება.ორი მატრიცის ჯამი A = || a ij || ,სად და B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)იგივე ბრძანებები თდა პეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n)იგივე ბრძანებები თდა P,ელემენტები ij-თან ერთადრომლებიც განისაზღვრება ფორმულით ,
სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2) ორი მატრიცის ჯამის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = A + B.მატრიცების ჯამის შედგენის ოპერაციას მათი შეკრება ეწოდება. ასე რომ, განმარტებით: მატრიცების ჯამის განსაზღვრებიდან, უფრო სწორედ ფორმულებიდან (1.2), მაშინვე გამომდინარეობს, რომ მატრიცების დამატების ოპერაციას აქვს იგივე თვისებები, რაც რეალური რიცხვების შეკრების ოპერაციას, კერძოდ: 1) კომუტაციური საკუთრება: A + b = b + a, 2) ასოციაციური თვისება: A + B) + C = A + (B + C). ეს თვისებები საშუალებას გაძლევთ არ ინერვიულოთ მატრიცის ტერმინების თანმიმდევრობაზე ორი ან მეტი მატრიცის დამატებისას. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. მატრიცის ნამრავლი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) რეალური რიცხვით l, ეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), რომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით: ,
სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3) მატრიცისა და რიცხვის ნამრავლის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = l Aან C = A l.მატრიცის ნამრავლის რიცხვით შედგენის ოპერაციას მატრიცის ამ რიცხვზე გამრავლება ეწოდება. პირდაპირ ფორმულიდან (1.3) ცხადია, რომ მატრიცის რიცხვზე გამრავლებას აქვს შემდეგი თვისებები: 1) ასოციაციური თვისება რიცხვითი მულტიპლიკატორის მიმართ: (ლ მ) A = ლ (მ A); 2) განაწილების თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ: l (A + B) = l A + l B; 3) გამანაწილებელი თვისება რიცხვთა ჯამის მიმართ: (l + m) A = l A + m A კომენტარი.ორი მატრიცის განსხვავება ადა INიდენტური შეკვეთები თდა პასეთი მატრიცის დარქმევა ბუნებრივია თანიგივე ბრძანებები თდა P,რომელიც ჯამდება მატრიცასთან ბიძლევა მატრიცას A. ორი მატრიცის სხვაობის აღსანიშნავად გამოიყენება ბუნებრივი აღნიშვნა: C = A - B. განსხვავების დადასტურება ძალიან მარტივია თანორი მატრიცა ადა INმიღება შესაძლებელია წესით C = A + (–1) V. მატრიცების პროდუქტიან მატრიცის გამრავლება. მატრიცული პროდუქტი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე თდა n,მატრიცამდე B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p),შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე ნდა R,მატრიცას უწოდებენ C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), რომელსაც აქვს ბრძანებები შესაბამისად თანაბარი თდა რრომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით: მატრიცის ნამრავლის აღსანიშნავად ამატრიცამდე INგამოიყენეთ ჩანაწერი C = A × B. მატრიცული პროდუქტის შედგენის ოპერაცია ამატრიცამდე INეწოდება ამ მატრიცების გამრავლება. ზემოთ ჩამოყალიბებული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცა A არ შეიძლება გამრავლდეს ყველა B მატრიცზე,აუცილებელია მატრიცის სვეტების რაოდენობა აუდრის მატრიცის მწკრივების რაოდენობას IN. ფორმულა (1.4) არის C მატრიცის ელემენტების შედგენის წესი, რომელიც არის მატრიცის ნამრავლი. ამატრიცამდე IN.ეს წესი შეიძლება ჩამოყალიბდეს სიტყვიერად: ელემენტი c i j, რომელიც დგას i-ე მწკრივისა და მატრიცის j-ე სვეტის გადაკვეთაზე C = A B უდრის A მატრიცის i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტების წყვილი ნამრავლების ჯამს. მატრიცის B. ამ წესის გამოყენების მაგალითად წარმოგიდგენთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცების გამრავლების ფორმულას. × = ფორმულიდან (1.4) გამოდის მატრიცული პროდუქტის შემდეგი თვისებები: ამატრიცაზე IN: 1) ასოციაციური თვისება: (A B) C = A (B C); 2) გამანაწილებელი თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ: (A + B) C = A C + B C ან A (B + C) = A B + A C. კითხვა მატრიქსის პროდუქტის კომუტაციური საკუთრების შესახებ ამატრიცამდე INაზრი აქვს მას მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის დაყენება A და Bიგივე ბრძანება. მოდით წარმოვადგინოთ მატრიცების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევები, რისთვისაც ასევე შეესაბამება permutation ქონება. ორი მატრიცით, რომელთა პროდუქტს აქვს კომუტაციის საკუთრება, ჩვეულებრივ, კომიქსს უწოდებენ. კვადრატულ მატრიცებს შორის ჩვენ გამოვყოფთ ე.წ. წესრიგის თითოეული დიაგონალური მატრიცა პროგორც ჩანს D= სად d 1, d 2,…
, დნ- ნებისმიერი რიცხვი. მარტივია იმის დანახვა, რომ თუ ყველა ეს რიცხვი ერთმანეთთან ტოლია, ე.ი. d 1 = d 2 =… =
d nშემდეგ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის აშეკვეთა პთანასწორობა მართალია A D = D A. ყველა დიაგონალურ მატრიცას შორის (1.5) დაემთხვა ელემენტებს d 1 = d 2 =… =
დნ = = დორი მატრიცა განსაკუთრებით მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. ამ მატრიცებიდან პირველი მიღებულია D = 1,იდენტობის მატრიცას უწოდებენ ნ ე.მეორე მატრიცა მიიღება როდესაც დ = 0, ეწოდება ნულოვანი მატრიცა ნ-ე რიგი და აღინიშნება სიმბოლოთი ო.ამრიგად, E= იმის გამო, რაც ზემოთ დადასტურდა A e = e ადა A o = o A.უფრო მეტიც, ამის ჩვენება ადვილია A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6) ფორმულების პირველი (1.6) ახასიათებს პირადობის მატრიცის განსაკუთრებულ როლს E,როლის მსგავსად, რომელსაც ასრულებს ნომერი 1, რეალური რიცხვების გამრავლებისას. რაც შეეხება ნულოვანი მატრიცის განსაკუთრებულ როლს შესახებ,შემდეგ იგი ვლინდება არა მხოლოდ ფორმულების მეორე (1.7), არამედ ელემენტარული გადამოწმებული თანასწორობით A + 0 = 0 + a = A. დასკვნის სახით, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ნულოვანი მატრიქსის კონცეფცია ასევე შეიძლება დაინერგოს არა კვადრატულ მატრიცებზე (ნულს უწოდებენ ნებისმიერიმატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ტოლია ნულოვანი). დაბლოკოს მატრიცები დავუშვათ, რომ ზოგიერთი მატრიცა a ij ||ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გამოყენებით, იგი იყოფა ცალკეულ მართკუთხა უჯრედებად, რომელთაგან თითოეული არის უფრო მცირე ზომის მატრიცა და ეწოდება თავდაპირველი მატრიცის ბლოკი. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელი გახდება ორიგინალური მატრიქსის განხილვა აროგორც რაღაც ახალი (ე.წ. ბლოკის) მატრიცა ა = || A A B ||, რომელთა ელემენტები არის მითითებული ბლოკები. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ელემენტებს დიდი ასოებით, რათა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ისინი, ზოგადად, მატრიცებია და არა რიცხვები და (ჩვეულებრივი რიცხვითი ელემენტების მსგავსად) ვაძლევთ ორ ინდექსს, რომელთაგან პირველი მიუთითებს "ბლოკის" ხაზის რაოდენობაზე, ხოლო მეორე - სვეტის "ბლოკის" ნომერი. მაგალითად, მატრიცა შეიძლება ჩაითვალოს ბლოკის მატრიცად რომლის ელემენტებია შემდეგი ბლოკები: აღსანიშნავია ის ფაქტი, რომ ძირითადი ოპერაციები ბლოკის მატრიცებით შესრულებულია იმავე წესებით, რომლითაც ისინი სრულდება ჩვეულებრივი რიცხვითი მატრიცებით, მხოლოდ ბლოკები მოქმედებენ ელემენტებად. დეტერმინანტის ცნება. განვიხილოთ ნებისმიერი რიგის თვითნებური კვადრატული მატრიცა P: A= თითოეულ ასეთ მატრიცას ჩვენ ვუკავშირებთ კარგად განსაზღვრულ რიცხვობრივ მახასიათებელს, რომელსაც დეტერმინანტი ეწოდება, რომელიც შეესაბამება ამ მატრიცას. თუ ბრძანება ნმატრიცა (1.7) უდრის ერთს, მაშინ ეს მატრიცა შედგება ერთი ელემენტისგან და მე j პირველი რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, ჩვენ დავარქმევთ ამ ელემენტის მნიშვნელობას. მაშინ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, არის რიცხვი ტოლი a 11 a 22 - a 12 a 21და აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი: ასე რომ, განსაზღვრებით ფორმულა (1.9) არის მეორე რიგის დეტერმინანტის აგების წესი შესაბამისი მატრიცის ელემენტებიდან. ამ წესის სიტყვიერი ფორმულირება ასეთია: მატრიცის (1.8) შესაბამისი მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის სხვაობას ამ მატრიცის მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლსა და მის მეორად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს შორის. მეორე და უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელი ფართოდ გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ვნახოთ, როგორ სრულდება ისინი ოპერაციები მატრიცებით MathCad სისტემაში
. მატრიცული ალგებრის უმარტივესი ოპერაციები MathCad-ში ხორციელდება ოპერატორების სახით. ოპერატორების ჩაწერა რაც შეიძლება ახლოსაა მნიშვნელობით მათ მათემატიკურ მოქმედებასთან. თითოეული ოპერატორი გამოიხატება შესაბამისი სიმბოლოთი. განვიხილოთ მატრიცული და ვექტორული ოპერაციები MathCad 2001-ში. ვექტორები არის განზომილების მატრიცების განსაკუთრებული შემთხვევა. n x 1,მაშასადამე, მათთვის მართებულია ყველა იგივე ოპერაცია, რაც მატრიცებისთვის, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც კონკრეტულად არის მითითებული შეზღუდვები (მაგალითად, ზოგიერთი ოპერაცია გამოიყენება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებზე n x n). ზოგიერთი ქმედება მოქმედებს მხოლოდ ვექტორებისთვის (მაგალითად, სკალარული ნამრავლი), ზოგი კი, მიუხედავად ერთი და იგივე მართლწერისა, განსხვავებულად მოქმედებს ვექტორებსა და მატრიცებზე. q ღილაკზე OK დაჭერის შემდეგ იხსნება ველი მატრიცის ელემენტების შესაყვანად. მატრიცის ელემენტის შესაყვანად მოათავსეთ კურსორი მონიშნულ პოზიციაზე და შეიყვანეთ რიცხვი ან გამოთქმა კლავიატურიდან. ინსტრუმენტთა ზოლის გამოყენებით ნებისმიერი ოპერაციის შესასრულებლად საჭიროა: q აირჩიეთ მატრიცა და დააწკაპუნეთ ოპერაციის ღილაკზე პანელში, q ან დააჭირეთ ღილაკს პანელში და ჩაწერეთ მატრიცის სახელი მონიშნულ პოზიციაზე. მენიუ "სიმბოლოები" შეიცავს სამ ოპერაციას - ტრანსპოზირება, ინვერსია, განმსაზღვრელი. ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ბრძანების გაშვებით სიმბოლოები/მატრიცები/დეტერმინანტი. MathCAD ინახავს მატრიცის პირველი რიგის (და პირველი სვეტის) რიცხვს ORIGIN ცვლადში. ნაგულისხმევად, დათვლა იწყება ნულიდან. მათემატიკური აღნიშვნებისას უფრო ხშირია 1-დან დათვლა. იმისათვის, რომ MathCAD-მა დათვალოს მწკრივების და სვეტების რიცხვები 1-დან, თქვენ უნდა დააყენოთ ORIGIN:=1 ცვლადის მნიშვნელობა. ხაზოვანი ალგებრის ამოცანებთან მუშაობისთვის შექმნილი ფუნქციები გროვდება დიალოგში „ჩასმა ფუნქციის“ განყოფილებაში „ვექტორები და მატრიცები“ (შეგახსენებთ, რომ ის გამოიძახება „სტანდარტული“ პანელის ღილაკით). ამ ფუნქციების ძირითადი ნაწილი მოგვიანებით იქნება აღწერილი. ტრანსპონირება Დაკავშირებული ინფორმაცია. ეს თემა მოიცავს ისეთ ოპერაციებს, როგორიცაა მატრიცების დამატება და გამოკლება, მატრიცის გამრავლება რიცხვზე, მატრიცის გამრავლება მატრიცზე და მატრიცის ტრანსპონირება. ამ გვერდზე გამოყენებული ყველა სიმბოლო აღებულია წინა თემიდან. $A+B$ მატრიცების $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ და $B_(m\ჯერ n)=(b_(ij))$ მატრიცას $C_(m) ეწოდება \ჯერ n) =(c_(ij))$, სადაც $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ ყველა $i=\overline(1,m)$ და $j=\overline( 1, ნ) $. მსგავსი განმარტება შემოღებულია მატრიცების სხვაობისთვის: $A-B$ მატრიცებს შორის სხვაობა $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ და $B_(m\ჯერ n)=(b_(ij))$ არის $C_(m\ჯერ) მატრიცა. n)=( c_(ij))$, სადაც $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ ყველა $i=\overline(1,m)$ და $j=\overline(1, ნ)$. $i=\overline(1,m)$ ჩანაწერის ახსნა: show\hide აღნიშვნა "$i=\overline(1,m)$" ნიშნავს, რომ პარამეტრი $i$ მერყეობს 1-დან m-მდე. მაგალითად, ჩანაწერი $i=\overline(1,5)$ მიუთითებს, რომ პარამეტრი $i$ იღებს მნიშვნელობებს 1, 2, 3, 4, 5. აღსანიშნავია, რომ შეკრება და გამოკლების ოპერაციები განისაზღვრება მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის. ზოგადად, მატრიცების შეკრება და გამოკლება არის ოპერაციები, რომლებიც ნათელია ინტუიციურად, რადგან ისინი არსებითად ნიშნავს მხოლოდ შესაბამისი ელემენტების შეჯამებას ან გამოკლებას. მაგალითი No1 მოცემულია სამი მატრიცა: $$ A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(მასივი) \მარჯვნივ)\;\; B=\left(\begin(მასივი) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(მაივი) \მარჯვნივ); \;\; F=\left(\begin(მასივი) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(მასივი) \მარჯვნივ). $$ შესაძლებელია თუ არა $A+F$ მატრიცის პოვნა? იპოვეთ $C$ და $D$ მატრიცები, თუ $C=A+B$ და $D=A-B$. $A$ მატრიცა შეიცავს 2 მწკრივს და 3 სვეტს (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, $A$ მატრიცას ზომა არის $2\ჯერ 3$), ხოლო $F$ მატრიცა შეიცავს 2 რიგს და 2 სვეტს. $A$ და $F$ მატრიცების ზომები არ ემთხვევა, ამიტომ მათ ვერ დავამატებთ, ე.ი. $A+F$ ოპერაცია არ არის განსაზღვრული ამ მატრიცებისთვის. $A$ და $B$ მატრიცების ზომები იგივეა, ე.ი. მატრიცის მონაცემები შეიცავს მწკრივების და სვეტების თანაბარ რაოდენობას, ამიტომ დამატების ოპერაცია გამოიყენება მათზე. $$ C=A+B=\left(\ დასაწყისი(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(მასივი) \მარჯვნივ)+ \left(\ დასაწყისი(მასივი ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(მასივი) \მარჯვნივ)=\\= \left(\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(მასივი) \მარჯვნივ)= \მარცხნივ(\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(მასივი) \მარჯვნივ) $$ ვიპოვოთ მატრიცა $D=A-B$: $$ D=A-B=\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(მასივი) \მარჯვნივ)- \left(\begin(მასივი) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(მაივი) \მარჯვნივ)=\\= \left(\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(მასივი) \მარჯვნივ)= \მარცხნივ(\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(მასივი) \მარჯვნივ) $$ უპასუხე: $C=\left(\begin(მასივი) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$, $D=\left(\begin(მასივი) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end (მასივი) \მარჯვნივ)$. $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ მატრიცის ნამრავლი $\alpha$ რიცხვით არის $B_(m\ჯერ n)=(b_(ij))$, სადაც $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ ყველა $i=\overline(1,m)$ და $j=\overline(1,n)$. მარტივად რომ ვთქვათ, მატრიცის გამრავლება გარკვეულ რიცხვზე ნიშნავს მოცემული მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებას. მაგალითი No2 მატრიცა მოცემულია: $ A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. იპოვეთ $3\cdot A$, $-5\cdot A$ და $-A$ მატრიცები. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ) =\მარცხნივ(\ დასაწყისი( მასივი) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(მასივი) \right)= \left(\begin(მასივი) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(მაივი) \მარჯვნივ).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ) =\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -5\cdot (-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)= \მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ). $$ აღნიშვნა $-A$ არის $-1\cdot A$-ის სტენოგრაფიული აღნიშვნა. ანუ $-A$-ის საპოვნელად საჭიროა $A$ მატრიცის ყველა ელემენტის გამრავლება (-1-ზე). არსებითად, ეს ნიშნავს, რომ $A$ მატრიცის ყველა ელემენტის ნიშანი შეიცვლება საპირისპიროდ: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)= \ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$ უპასუხე: $3\cdot A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ);\; -5\cdot A=\left(\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ);\; -A=\left(\begin(მასივი) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ)$. ამ ოპერაციის განმარტება რთული და, ერთი შეხედვით, გაურკვეველია. ამიტომ, ჯერ ზოგად განმარტებას მივუთითებ, შემდეგ კი დეტალურად გავაანალიზებთ რას ნიშნავს და როგორ ვიმუშაოთ მასთან. $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ მატრიცის ნამრავლი $B_(n\ჯერ k)=(b_(ij))$ არის $C_(m\ჯერ k) მატრიცა. )=(c_( ij))$, რომლისთვისაც თითოეული ელემენტი $c_(ij)$ უდრის $A$ მატრიცის i-ე რიგის შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამს j-ის ელემენტებით. -$B$ მატრიცის -ე სვეტი: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ მოდით შევხედოთ მატრიცის გამრავლებას ეტაპობრივად მაგალითის გამოყენებით. თუმცა, დაუყოვნებლივ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ყველა მატრიცის გამრავლება შეუძლებელია. თუ ჩვენ გვინდა გავამრავლოთ $A$ მატრიცა $B$ მატრიცით, მაშინ ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ $A$ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის $B$ მატრიცის მწკრივების რაოდენობას (ასეთ მატრიცებს ხშირად უწოდებენ შეთანხმებული). მაგალითად, მატრიცა $A_(5\ჯერ 4)$ (მატრიცა შეიცავს 5 სტრიქონს და 4 სვეტს) არ შეიძლება გამრავლდეს $F_(9\ჯერ 8)$ მატრიცაზე (9 მწკრივი და 8 სვეტი), რადგან რიცხვი $A $ მატრიცის სვეტების ტოლი არ არის $F$ მატრიცის მწკრივების რაოდენობა, ე.ი. $4\neq 9$. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მატრიცა $A_(5\ჯერ 4)$ $B_(4\ჯერ 9)$ მატრიცით, ვინაიდან $A$ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის $ მატრიცის მწკრივების რაოდენობას. B$. ამ შემთხვევაში, $A_(5\ჯერ 4)$ და $B_(4\ჯერ 9)$ მატრიცების გამრავლების შედეგი იქნება $C_(5\ჯერ 9)$ მატრიცა, რომელიც შეიცავს 5 მწკრივს და 9 სვეტს: მაგალითი No3 მოცემული მატრიცები: $ A=\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ)$ და $ B=\მარცხნივ(\ დასაწყისი (მასივი) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end (მასივი) \მარჯვნივ) $. იპოვეთ $C=A\cdot B$ მატრიცა. პირველი, მოდით დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ $C$ მატრიცის ზომა. ვინაიდან $A$ მატრიცას აქვს ზომა $3\ჯერ 4$, ხოლო $B$ მატრიცას აქვს ზომა $4\ჯერ 2$, მაშინ $C$ მატრიცის ზომაა: $3\ჯერ 2$: ასე რომ, $A$ და $B$ მატრიცების ნამრავლის შედეგად, ჩვენ უნდა მივიღოთ $C$ მატრიცა, რომელიც შედგება სამი მწკრივისა და ორი სვეტისგან: $ C=\left(\begin(მასივი) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end (მასივი) \მარჯვნივ)$. თუ ელემენტების აღნიშვნა აჩენს კითხვებს, მაშინ შეგიძლიათ გადახედოთ წინა თემას: „მატრიცები. მატრიცების ტიპები. ძირითადი ტერმინები“, რომლის დასაწყისში ახსნილია მატრიცის ელემენტების აღნიშვნა. ჩვენი მიზანი: ვიპოვოთ $C$ მატრიცის ყველა ელემენტის მნიშვნელობები. დავიწყოთ $c_(11)$ ელემენტით. $c_(11)$ ელემენტის მისაღებად, თქვენ უნდა იპოვოთ $A$ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტების და $B$ მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტების ჯამი: თავად $c_(11)$ ელემენტის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ $A$ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტები $B$ მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამის ელემენტებზე, ე.ი. პირველი ელემენტი პირველს, მეორეს მეორეს, მესამეს მესამეს, მეოთხეს მეოთხეს. ჩვენ ვაჯამებთ მიღებულ შედეგებს: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ გავაგრძელოთ ამოხსნა და ვიპოვოთ $c_(12)$. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ $A$ მატრიცის პირველი რიგის და $B$ მატრიცის მეორე სვეტის ელემენტები: წინას მსგავსად, გვაქვს: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ ნაპოვნია $C$ მატრიცის პირველი რიგის ყველა ელემენტი. გადავიდეთ მეორე სტრიქონზე, რომელიც იწყება $c_(21)$ ელემენტით. მის საპოვნელად მოგიწევთ გაამრავლოთ $A$ მატრიცის მეორე რიგისა და $B$ მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტები: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ ჩვენ ვპოულობთ შემდეგ ელემენტს $c_(22)$ $A$ მატრიცის მეორე რიგის ელემენტების გამრავლებით $B$ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამის ელემენტებზე: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ $c_(31)$-ის საპოვნელად, გაამრავლეთ $A$ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები $B$ მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებზე: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ და ბოლოს, $c_(32)$ ელემენტის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ $A$ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები $B$ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამის ელემენტებზე: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ $C$ მატრიცის ყველა ელემენტი ნაპოვნია, რჩება მხოლოდ დაწერა, რომ $C=\left(\begin(მასივი) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( მასივი) \მარჯვნივ)$ . ან სრულად დავწეროთ: $$ C=A\cdot B =\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(მასივი) \მარჯვნივ)\cdot \left(\ დასაწყისი (მასივი) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end (მასივი) \მარჯვნივ) =\left(\begin(მასივი) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(მაივი) \მარჯვნივ). $$ უპასუხე: $C=\left(\begin(მასივი) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. სხვათა შორის, ხშირად არ არსებობს მიზეზი, რომ დეტალურად აღვწეროთ შედეგის მატრიცის თითოეული ელემენტის მდებარეობა. მატრიცებისთვის, რომელთა ზომა მცირეა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს: $$ \left(\ დასაწყისი (მასივი) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end (მასივი)\right)\cdot \left(\ დასაწყისი (მასივი) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(მასივი) \მარჯვნივ) =\left(\begin(მაივი) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(მასივი) \მარჯვნივ) =\მარცხნივ (\ დასაწყისი (მასივი) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$ ასევე აღსანიშნავია, რომ მატრიცული გამრავლება არაკომუტაციურია. ეს ნიშნავს, რომ ზოგად შემთხვევაში $A\cdot B\neq B\cdot A$. მხოლოდ ზოგიერთი ტიპის მატრიცებისთვის, რომლებიც ე.წ ცვალებადი(ან გადაადგილებისას), ტოლობა $A\cdot B=B\cdot A$ მართალია. სწორედ გამრავლების არაკომუტატიურობაზეა დაფუძნებული, რომ ჩვენ ზუსტად უნდა მივუთითოთ, თუ როგორ ვამრავლებთ გამოხატვას კონკრეტულ მატრიცზე: მარჯვნივ თუ მარცხნივ. მაგალითად, ფრაზა „გაამრავლე ტოლობის ორივე მხარე $3E-F=Y$ მატრიცით $A$ მარჯვნივ“ ნიშნავს, რომ გსურთ მიიღოთ შემდეგი ტოლობა: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$. $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ მატრიცას მიმართ გადატანილი არის $A_(n\ჯერ m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, ელემენტებისთვის, რომლებიც $a_(ij)^(T)=a_(ji)$. მარტივად რომ ვთქვათ, ტრანსპონირებული $A^T$ მატრიცის მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ სვეტები თავდაპირველ $A$ მატრიცაში შესაბამისი რიგებით ამ პრინციპის მიხედვით: იყო პირველი მწკრივი - იქნება პირველი სვეტი. ; იყო მეორე რიგი - იქნება მეორე სვეტი; იყო მესამე რიგი - იქნება მესამე სვეტი და ასე შემდეგ. მაგალითად, ვიპოვოთ გადატანილი მატრიცა $A_(3\ჯერ 5)$ მატრიცაში: შესაბამისად, თუ თავდაპირველ მატრიცას ჰქონდა ზომა $3\ჯერ 5$, მაშინ ტრანსპოზიციურ მატრიცას აქვს ზომა $5\ჯერ 3$. აქ ვარაუდობენ, რომ $\alpha$, $\beta$ არის რამდენიმე რიცხვი და $A$, $B$, $C$ არის მატრიცები. პირველი ოთხი თვისებისთვის მე დავასახელე სახელები, დანარჩენი შეიძლება დასახელდეს პირველი ოთხის ანალოგიით. ლექცია 1. „მატრიცები და ძირითადი მოქმედებები მათზე. განმსაზღვრელი
განმარტება.
მატრიცაზომა მ
ნ, სად მ- ხაზების რაოდენობა, ნ- სვეტების რაოდენობა, რომელსაც ეწოდება გარკვეული თანმიმდევრობით მოწყობილი რიცხვების ცხრილი. ამ ციფრებს მატრიცის ელემენტებს უწოდებენ. თითოეული ელემენტის მდებარეობა ცალსახად განისაზღვრება იმ მწკრივისა და სვეტის რაოდენობით, რომელთა გადაკვეთაზეც ის მდებარეობს. მითითებულია მატრიცის ელემენტებია იჯ, სად მე- ხაზის ნომერი და ჯ- სვეტის ნომერი. A = ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე.
მატრიცა შეიძლება შედგებოდეს ერთი მწკრივისაგან ან ერთი სვეტისგან. ზოგადად, მატრიცა შეიძლება შედგებოდეს ერთი ელემენტისგან. განმარტება.
თუ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მწკრივების რაოდენობას (m=n), მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი.
განმარტება.
მატრიცის ნახვა: დაურეკა პირადობის მატრიცა.
განმარტება.
თუ ა
წთ
=
ა
ნმ
, მაშინ მატრიცა ეწოდება სიმეტრიული.
მაგალითი. განმარტება.
ფორმის კვადრატული მატრიცა შეკრება და გამოკლებამატრიცები მცირდება მათ ელემენტებზე შესაბამის ოპერაციებამდე. ამ ოპერაციების ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ ისინი განსაზღვრულია მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის. ამრიგად, შესაძლებელია მატრიცის შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების განსაზღვრა: განმარტება.
ჯამი (განსხვავება)მატრიცები არის მატრიცა, რომლის ელემენტები, შესაბამისად, არის ორიგინალური მატრიცების ელემენტების ჯამი (განსხვავება). c ij = a ij
ბ ij C = A + B = B + A. Ოპერაცია გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერი ზომის მატრიცა თვითნებური რიცხვით მცირდება მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებამდე (გაყოფამდე). (A+B) = A B A( ) = A A მაგალითი.მოცემული მატრიცები A = 2A = მატრიცის გამრავლების ოპერაცია.
განმარტება:
Სამუშაომატრიცები არის მატრიცა, რომლის ელემენტების გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულების გამოყენებით: ა
ბ =
C;
ზემოაღნიშნული განმარტებიდან ირკვევა, რომ მატრიცის გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ მატრიცებისთვის პირველის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის რიგების რაოდენობას.
მატრიცის გამრავლების ოპერაციის თვისებები.
1) მატრიცული გამრავლებაარა შემცვლელი
, ე.ი. AB VA მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ რომელიმე მატრიცისთვის მიმართება AB = BA დაკმაყოფილებულია, მაშინ ასეთი მატრიცები ე.წ.ცვალებადი.
ყველაზე ტიპიური მაგალითია
მატრიცა, რომელიც გადადის იმავე ზომის ნებისმიერ სხვა მატრიცასთან. მხოლოდ ერთი და იმავე რიგის კვადრატული მატრიცები შეიძლება იყოს გარდამავალი. ცხადია, ნებისმიერი მატრიცისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისება: ა
ო =
ო;
ო
ა =
ო,
სადაც O - ნულიმატრიცა. 2) მატრიცული გამრავლების ოპერაცია ასოციაციური,იმათ. თუ AB და (AB)C პროდუქცია განისაზღვრება, მაშინ BC და A(BC) განისაზღვრება და თანასწორობა მოქმედებს: (AB)C=A(BC). 3) მატრიცული გამრავლების ოპერაცია გამანაწილებელიდამატებასთან მიმართებაში, ე.ი. თუ გამოთქმებს A(B+C) და (A+B)C აქვს აზრი, მაშინ შესაბამისად: (A + B)C = AC + BC. 4) თუ ნამრავლი AB არის განსაზღვრული, მაშინ ნებისმიერი რიცხვისთვის
შემდეგი თანაფარდობა სწორია: (AB) = (
ა)
ბ =
ა(
ბ).
5) თუ ნამრავლი AB არის განსაზღვრული, მაშინ ნამრავლი B T A T განისაზღვრება და ტოლობა მოქმედებს: (AB) T = B T A T, სადაც ინდექსი T აღნიშნავს გადატანილიმატრიცა. 6) ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის det (AB) = detA detB. Რა მოხდა det ქვემოთ იქნება განხილული. განმარტება
.
მატრიცა B ე.წ გადატანილიმატრიცა A და A-დან B-ზე გადასვლა ტრანსპოზიცია, თუ A მატრიცის თითოეული მწკრივის ელემენტები B მატრიცის სვეტებში ერთი და იგივე თანმიმდევრობით არის ჩაწერილი. A = სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, b ji = a ij . წინა თვისების (5) შედეგად შეგვიძლია დავწეროთ, რომ: (ABC) T = C T B T A T, იმ პირობით, რომ ABC მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება. მაგალითი.
მოცემული მატრიცები A = ა თ =
C =
მაგალითი.იპოვეთ A = და B = მატრიცების ნამრავლი AB = VA = მაგალითი.იპოვეთ A= მატრიცების ნამრავლი AB = განმსაზღვრელი(განმსაზღვრელი). განმარტება.
განმსაზღვრელიკვადრატული მატრიცა A= det A = მ 1-მდე– მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია ორიგინალიდან პირველი მწკრივისა და k-ე სვეტის წაშლით. უნდა აღინიშნოს, რომ დეტერმინანტებს აქვთ მხოლოდ კვადრატული მატრიცები, ე.ი. მატრიცები, რომლებშიც მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას. ფ det A = ზოგადად რომ ვთქვათ, დეტერმინანტი შეიძლება გამოითვალოს მატრიცის ნებისმიერი მწკრივიდან ან სვეტიდან, ე.ი. ფორმულა სწორია: detA = ცხადია, სხვადასხვა მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს იგივე განმსაზღვრელი. იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი არის 1. მითითებული მატრიცისთვის A, რიცხვი M 1k ეწოდება დამატებითი მცირემატრიცის ელემენტი a 1 k. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მატრიქსის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი დამატებითი მცირე. დამატებითი მცირე რაოდენობა მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებში არსებობს. განმარტება.
დამატებითი არასრულწლოვანიკვადრატული მატრიცის თვითნებური ელემენტის a ij უდრის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც მიღებულია საწყისიდან i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის წაშლით. საკუთრება 1.
განმსაზღვრელების მნიშვნელოვანი საკუთრებაა შემდეგი ურთიერთობა: det A = det A T; საკუთრება
2.
დეტ (ა
ბ) = დეტ ა
დეტ ბ. საკუთრება 3.
დეტ (AB) =
detA
detB საკუთრება 4.
თუ კვადრატულ მატრიცაში შეიტანთ რომელიმე ორ მწკრივს (ან სვეტებს), მატრიქსის განმსაზღვრელი შეიცვლება ნიშანი აბსოლუტური მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე. საკუთრება 5.
მატრიქსის სვეტის (ან რიგის) გამრავლებისას, მისი განმსაზღვრელი ამომრჩეველი ამ რიცხვით მრავლდება. საკუთრება 6.
თუ მატრიცაში A რიგები ან სვეტები ხაზოვანია დამოკიდებული, მაშინ მისი განმსაზღვრელი ტოლია ნულის ტოლია. განმარტება:
მატრიცის სვეტებს (სტრიქონებს) უწოდებენ წრფივად დამოკიდებული, თუ მათგან ხაზოვანი კომბინაცია ტოლია ნულამდე, რომელსაც აქვს არა ტრივიალური (არა-ნულოვანი) გადაწყვეტილებები. საკუთრება 7.
თუ მატრიცა შეიცავს ნულოვან სვეტს ან ნულოვან მწკრივს, მაშინ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. (ეს განცხადება აშკარაა, რადგან განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს ზუსტად ნულოვანი რიგის ან სვეტით.) საკუთრება 8.
მატრიცის განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ სხვა მწკრივის (სვეტის) ელემენტები დაემატება (გამოკლდება) მისი ერთ-ერთი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. საკუთრება 9.
თუ შემდეგი კავშირი ეხება მატრიქსის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს:დ
=
დ
1
დ
2
,
ე
=
ე
1
ე
2
,
ვ
= det(AB).
1 მეთოდი: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26. მე-2 მეთოდი: AB =
– 152 = -26.
მატრიცები, ძირითადი ცნებები. მატრიცა არის მართკუთხა ცხრილი A, რომელიც წარმოიქმნება გარკვეული ნაკრების ელემენტებიდან და შედგება M რიგებისა და N სვეტებისგან. კვადრატული მატრიცა - სადაც m=n. მწკრივი (რიგის ვექტორი) - მატრიცა შედგება ერთი რიგისგან. სვეტი (სვეტის ვექტორი) - მატრიცა შედგება ერთი სვეტისგან. გადაცემული მატრიცა - მატრიქსის მიღებული მატრიცა, მწკრივების სვეტებით შეცვლით. დიაგონალური მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა ელემენტი, რომელიც არ არის მთავარ დიაგონალზე, ნულის ტოლია. მოქმედებები მატრიცებზე. 1) მატრიცის გამრავლება და გაყოფა რიცხვზე. A მატრიცისა და α რიცხვის ნამრავლს ეწოდება მატრიცა Axα, რომლის ელემენტები მიიღება A მატრიცის ელემენტებიდან α რიცხვზე გამრავლებით. მაგალითი: 7xA, , 2) მატრიცული გამრავლება. ორი მატრიცის გამრავლების ოპერაცია შემოღებულია მხოლოდ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობას. მაგალითი: ,, АхВ= მატრიცის გამრავლების თვისებები: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) = AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T =B T A T 3) შეკრება, გამოკლება. მატრიცების ჯამი (განსხვავება) არის მატრიცა, რომლის ელემენტები, შესაბამისად, ორიგინალური მატრიცების ელემენტების ჯამი (განსხვავებაა). c ij = a ij b ij C = A + B = B + A. ფუნქციების უწყვეტობა წერტილში, ინტერვალზე, სეგმენტზე. ფუნქციების შესვენების წერტილები და მათი კლასიფიკაცია. ფუნქცია f(x), რომელიც განსაზღვრულია x 0 წერტილის სამეზობლოში, ეწოდება უწყვეტს x 0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი და მისი მნიშვნელობა ამ წერტილში ტოლია, ე.ი. ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x 0 წერტილში, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის e>0 არის რიცხვი D>0 ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას უთანასწორობა მართალია ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x = x 0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზრდა x 0 წერტილში არის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა. f(x) =f(x 0) +a(x) სადაც a(x) არის უსასრულოდ მცირე x®x 0-ზე. უწყვეტი ფუნქციების თვისებები. 1) x 0 წერტილში უწყვეტი ფუნქციების ჯამი, სხვაობა და ნამრავლი არის x 0 წერტილში უწყვეტი ფუნქცია. 2) ორი უწყვეტი ფუნქციის კოეფიციენტი არის უწყვეტი ფუნქცია იმ პირობით, რომ g(x) არ იყოს ნულის ტოლი x 0 წერტილში. 3) უწყვეტი ფუნქციების სუპერპოზიცია არის უწყვეტი ფუნქცია. ეს ქონება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: თუ u=f(x),v=g(x) არის უწყვეტი ფუნქციები x = x 0 წერტილში, მაშინ ფუნქცია v=g(f(x)) ასევე უწყვეტი ფუნქციაა ამ წერტილში. ფუნქცია ვ(x) ეწოდება უწყვეტი ინტერვალზე(ა,ბ), თუ ის უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში. ფუნქციების თვისებები უწყვეტი ინტერვალზე. ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, შემოიფარგლება ამ ინტერვალზე, ე.ი. პირობა –M f(x) M დაკმაყოფილებულია სეგმენტზე. ამ თვისების მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია x 0 წერტილში, შემოიფარგლება მის გარკვეულ მიმდებარედ, და თუ სეგმენტს დაყოფთ უსასრულო რაოდენობის სეგმენტებად, რომლებიც „შეკუმშულია“ წერტილამდე. x 0, მაშინ იქმნება x 0 წერტილის გარკვეული მეზობლობა. ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია სეგმენტზე, იღებს მასზე უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. იმათ. არის მნიშვნელობები x 1 და x 2 ისეთი, რომ f(x 1) = m, f(x 2) = M და m f(x) M მოდით აღვნიშნოთ ეს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, რომელსაც ფუნქციამ შეიძლება რამდენჯერმე მიიღოს სეგმენტი (მაგალითად, f(x) = sinx). განსხვავებას ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს შორის ინტერვალზე ეწოდება ფუნქციის რხევა ინტერვალზე. ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, იღებს ყველა მნიშვნელობას ამ ინტერვალზე ორ თვითნებურ მნიშვნელობას შორის. თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია x = x 0 წერტილში, მაშინ არის x 0 წერტილის რაღაც სამეზობლო, რომელშიც ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს. თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია სეგმენტზე და აქვს საპირისპირო ნიშნების მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, მაშინ ამ სეგმენტის შიგნით არის წერტილი, სადაც f(x) = 0. შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:
(1.1) + 
= 
სად (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
დიალოგში, რომელიც გამოჩნდება, მიუთითეთ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა.
ნახ.2 მატრიცების ტრანსპოზირება
MathCAD-ში შეგიძლიათ დაამატოთ მატრიცები და გამოკლოთ ისინი ერთმანეთს. ამ ოპერატორებისთვის გამოყენებული სიმბოლოებია <+>
ან <->
შესაბამისად. მატრიცებს უნდა ჰქონდეთ იგივე განზომილება, წინააღმდეგ შემთხვევაში წარმოიქმნება შეცდომის შეტყობინება. ორი მატრიცის ჯამის თითოეული ელემენტი უდრის მატრიცა-ბრძანებების შესაბამისი ელემენტების ჯამს (მაგალითი ნახ. 3-ში).
მატრიცების დამატების გარდა, MathCAD მხარს უჭერს მატრიცის დამატების ოპერაციას სკალარული რაოდენობით, ე.ი. ნომერი (მაგალითი ნახ. 4). შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი უდრის ორიგინალური მატრიცის შესაბამისი ელემენტისა და სკალარული რაოდენობის ჯამს.
გამრავლების სიმბოლოს შესაყვანად, თქვენ უნდა დააჭიროთ ვარსკვლავის ღილაკს<*>ან გამოიყენეთ ხელსაწყოების პანელი მატრიცამასზე ღილაკის დაჭერით წერტილოვანი პროდუქტი (გამრავლება)(ნახ. 1). მატრიცის გამრავლება ნაგულისხმევად აღინიშნება წერტილით, როგორც ნაჩვენებია მაგალითში 6-ში. მატრიცის გამრავლების სიმბოლო შეიძლება შეირჩეს ისევე, როგორც სკალარული გამოსახულებების დროს.
კიდევ ერთი მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია ვექტორის მწკრივის მატრიცით და, პირიქით, მწკრივის ვექტორით გამრავლებასთან, ნაჩვენებია ნახ. 7. ამ მაგალითის მეორე სტრიქონი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ფორმულა გამრავლების ოპერატორის ჩვენების არჩევისას არა სივრცე (ერთად).თუმცა, ერთი და იგივე გამრავლების ოპერატორი განსხვავებულად მოქმედებს ორ ვექტორზე .
მატრიცების შეკრება და გამოკლება.
მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.
ორი მატრიცის პროდუქტი.
მატრიცებზე მოქმედებების ზოგიერთი თვისება.
= ე
,
- სიმეტრიული მატრიცა
დაურეკა დიაგონალიმატრიცა.
; B= 
იპოვეთ 2A + B.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = A T = 
;
, B = , C = 
და ნომერი = 2. იპოვეთ A T B+ C.
;
ა თ ბ =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, B = 
= 
= 
.
არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს მატრიცის ელემენტებიდან ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც (1)
ფორმულა (1) საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი პირველი რიგიდან; ასევე მოქმედებს პირველი სვეტიდან განმსაზღვრელი გამოთვლის ფორმულა:
(2)
, i = 1,2,…,n. (3)
,
დეტ (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.კითხვა 2.
.