ლოგარითმების შედარების ტექნიკა და მეთოდები. რიცხვების შედარება

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com


სლაიდის წარწერები:

ლოგარითმის ერთფეროვნების თვისებები. ლოგარითმების შედარება. ალგებრა მე-11 კლასი. დაასრულა მათემატიკის მასწავლებელი: ლილია ანასოვნა კინზიაბულატოვა, ნოიაბრსკი, 2014 წ.

y= log a x, სადაც a>0; a≠1. ა) თუ a> 1, მაშინ y= log a x – იზრდება ბ) თუ 0

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ① ერთფეროვნების თვისება შეადარეთ log a b log a c ფუძეები არის a თუ a> 1, მაშინ y= log a t იზრდება, მაშინ b> c = > log a b > log a c ; თუ 0 c => log a b log 1/3 8;

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ② გრაფიკული მეთოდი log a b log შეადარეთ b ფუძეები განსხვავებულია, რიცხვები უდრის b 1) თუ a> 1; с > 1, შემდეგ y=log a t, y=log с t – ასაკი. ა) თუ a> c, b>1, მაშინ log a b log c b

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ② გრაფიკული მეთოდი შეადარეთ log a b log b ფუძეებით განსხვავებულია, რიცხვები უდრის b 2) თუ 0 c, b>1, მაშინ log a b > log c b ბ) თუ a

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ② გრაფიკული მეთოდი log a b log შეადარეთ b ფუძეები განსხვავებულია, რიცხვები უდრის b-ს მაგალითები log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0.25; 3>1 ჟურნალი 0.3 0.6

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ③ სხვადასხვა მონოტონურობის ფუნქციები a>1 y=log a x – იზრდება 0-ით 1, შემდეგ log a c > log b d ბ) თუ 0 1) ლოგ 0.5 1/3 > log 5 1/2

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ⑤ შეფასების მეთოდის ჟურნალი 3 5 ჟურნალი 4 17 1 > > > >

ლოგარითმების შედარების მეთოდები. ⑦ შედარება სეგმენტის შუა რიცხვთან log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. ლოგარითმული გამოსახულებების სამი განსხვავებული ტიპი არსებობს:

  1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
  2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
  3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვების ლუწი ფესვის ამოღება. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

  • ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
  • თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დაგჭირდებათ დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც კი, ვინც საერთოდ არაფერი იცის რთული მათემატიკური თემების შესახებ. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). უარყოფითი ძალებისთვის წესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი გამოთქმა: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, რადგან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმული ნიშნის ქვეშ არის. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) პასუხში გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ რიცხვობრივ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას ორივე მისაღები დიაპაზონი. მნიშვნელობები და წერტილები განისაზღვრება ამ ფუნქციის დარღვევით. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით განვიხილავთ; ჯერ უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული თვისება.

  1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
  2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
  3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". იგი წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში შესასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ სწორად ამოხსნათ ასეთი ამოცანები.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთიანი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, მაგრამ გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგად ფორმამდე. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

  1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

  • უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
  • ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, ასევე მოდულებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას, თქვენ უნდა მოათავსოთ ნაპოვნი ფესვები რიცხვთა წრფეზე. მოგეხსენებათ, აღმოჩენილი ფესვები შეიძლება განსხვავებული იყოს. ისინი შეიძლება იყვნენ ასე: , ან შეიძლება იყვნენ ასე: , .

შესაბამისად, თუ რიცხვები არ არის რაციონალური, არამედ ირაციონალური (თუ დაგავიწყდათ რა არის, გადახედეთ თემას), ან რთული მათემატიკური გამონათქვამებია, მაშინ რიცხვთა წრფეზე მათი განთავსება ძალიან პრობლემურია. უფრო მეტიც, თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კალკულატორები გამოცდის დროს და სავარაუდო გამოთვლები არ იძლევა 100% გარანტიას, რომ ერთი რიცხვი მეორეზე ნაკლებია (რა მოხდება, თუ შედარებულ რიცხვებს შორის განსხვავებაა?).

რა თქმა უნდა, თქვენ იცით, რომ დადებითი რიცხვები ყოველთვის უფრო დიდია ვიდრე უარყოფითი და რომ თუ წარმოვიდგენთ რიცხვის ღერძს, მაშინ შედარებისას უდიდესი რიცხვები იქნება მარჯვნივ, ვიდრე უმცირესი: ; ; და ა.შ.

მაგრამ ყველაფერი ყოველთვის ასე მარტივია? სადაც რიცხვით ხაზში ჩვენ აღვნიშნავთ, .

როგორ შეიძლება მათი შედარება, მაგალითად, რიცხვთან? ეს არის რუბლი...)

პირველ რიგში, მოდით ვისაუბროთ ზოგადად იმაზე, თუ როგორ და რა უნდა შევადაროთ.

მნიშვნელოვანია: მიზანშეწონილია ისეთი ტრანსფორმაციების გაკეთება, რომ უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვალოს!ანუ გარდაქმნების დროს არასასურველია უარყოფითი რიცხვით გამრავლება და აკრძალულიაკვადრატი, თუ ერთ-ერთი ნაწილი უარყოფითია.

წილადების შედარება

ასე რომ, ჩვენ უნდა შევადაროთ ორი წილადი: და.

არსებობს რამდენიმე ვარიანტი, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს.

ვარიანტი 1. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

დავწეროთ ის ჩვეულებრივი წილადის სახით:

- (როგორც ხედავ, მრიცხველიც და მნიშვნელიც შევამცირე).

ახლა ჩვენ უნდა შევადაროთ წილადები:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ შედარება ორი გზით. Ჩვენ შეგვიძლია:

  1. უბრალოდ მიიტანეთ ყველაფერი საერთო მნიშვნელთან, წარმოადგინეთ ორივე წილადი, როგორც არასწორი (მრიცხველი მეტია მნიშვნელზე):

    რომელი რიცხვია მეტი? მართალია, უფრო დიდი მრიცხველის მქონე, ანუ პირველი.

  2. „მოდით გადავაგდოთ“ (ჩავთვალოთ, რომ თითოეულ წილადს გამოვაკლეთ ერთი და წილადების შეფარდება ერთმანეთთან, შესაბამისად, არ შეცვლილა) და შევადაროთ წილადები:

    ჩვენ ასევე მივყავართ მათ საერთო მნიშვნელამდე:

    ჩვენ მივიღეთ ზუსტად იგივე შედეგი, როგორც წინა შემთხვევაში - პირველი რიცხვი მეტია მეორეზე:

    ასევე შევამოწმოთ, სწორად გამოვაკლეთ თუ არა? გამოვთვალოთ მრიცხველის სხვაობა პირველ გამოთვლაში და მეორეში:
    1)
    2)

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ შევადაროთ წილადები, მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელთან. გადავიდეთ სხვა მეთოდზე - წილადების შედარება, საერთო... მრიცხველთან მიყვანა.

ვარიანტი 2. წილადების შედარება საერთო მრიცხველზე შემცირებით.

Დიახ დიახ. ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა. ამ მეთოდს სკოლაში იშვიათად ასწავლიან ვინმეს, მაგრამ ძალიან ხშირად ძალიან მოსახერხებელია. იმისათვის, რომ სწრაფად გაიგოთ მისი არსი, მე დაგისვამთ მხოლოდ ერთ კითხვას - "რა შემთხვევაშია წილადის მნიშვნელობა ყველაზე დიდი?" რა თქმა უნდა, თქვენ იტყვით "როცა მრიცხველი რაც შეიძლება დიდია და მნიშვნელი რაც შეიძლება პატარა".

მაგალითად, შეგიძლიათ ნამდვილად თქვათ, რომ ეს მართალია? რა მოხდება, თუ დაგვჭირდება შემდეგი წილადების შედარება: ? ვფიქრობ, თქვენც მაშინვე სწორად დააყენებთ ნიშანს, რადგან პირველ შემთხვევაში ისინი იყოფა ნაწილებად, ხოლო მეორეში მთლიანებად, რაც იმას ნიშნავს, რომ მეორე შემთხვევაში ნაჭრები ძალიან მცირე აღმოჩნდება და შესაბამისად: . როგორც ხედავთ, აქ მნიშვნელები განსხვავებულია, მაგრამ მრიცხველები ერთი და იგივეა. თუმცა, ამ ორი წილადის შესადარებლად, თქვენ არ გჭირდებათ საერთო მნიშვნელის ძებნა. თუმცა... იპოვე და ნახე, შედარების ნიშანი მაინც არასწორია?

მაგრამ ნიშანი იგივეა.

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ამოცანას - შეადარეთ და... ჩვენ შევადარებთ და... მოდით ეს წილადები შევიყვანოთ არა საერთო მნიშვნელზე, არამედ საერთო მრიცხველზე. ამის გაკეთება უბრალოდ მრიცხველი და მნიშვნელიგავამრავლოთ პირველი წილადი. ჩვენ ვიღებთ:

და. რომელი წილადია უფრო დიდი? მართალია, პირველი.

ვარიანტი 3: წილადების შედარება გამოკლების გამოყენებით.

როგორ შევადაროთ წილადები გამოკლების გამოყენებით? დიახ, ძალიან მარტივი. ერთ წილადს სხვას ვაკლებთ. თუ შედეგი დადებითია, მაშინ პირველი წილადი (მინუენდი) მეტია მეორეზე (ქვეტრაენდი), ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ პირიქით.

ჩვენს შემთხვევაში შევეცადოთ გამოვაკლოთ პირველი წილადი მეორეს: .

როგორც უკვე გესმით, ჩვენ ასევე გადავიყვანთ ჩვეულებრივ წილადად და ვიღებთ იგივე შედეგს - . ჩვენი გამოთქმა იღებს ფორმას:

შემდეგი, ჩვენ მაინც მოგვიწევს მივმართოთ საერთო მნიშვნელზე შემცირებას. საკითხავია: პირველი გზით, წილადების არასწორად გადაქცევა, თუ მეორე გზით, თითქოს ერთეულის „მოხსნა“? სხვათა შორის, ამ ქმედებას აქვს სრულიად მათემატიკური დასაბუთება. შეხედე:

მეორე ვარიანტი უფრო მომწონს, რადგან მრიცხველში გამრავლება საერთო მნიშვნელზე დაყვანისას ბევრად უფრო ადვილი ხდება.

მოდით მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე:

აქ მთავარია არ დავბნედეთ, რა რიცხვს გამოვაკლეთ და სად. ყურადღებით დააკვირდით ხსნარის პროგრესს და შემთხვევით არ აურიოთ ნიშნები. მეორე რიცხვს გამოვაკლეთ პირველი რიცხვი და მივიღეთ უარყოფითი პასუხი, ანუ?.. ასეა, პირველი რიცხვი მეორეზე დიდია.

Გავიგე? სცადეთ წილადების შედარება:

გაჩერდი, გაჩერდი. ნუ იჩქარებთ საერთო მნიშვნელთან მიყვანას ან გამოკლებას. შეხედეთ: თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გადაიყვანოთ იგი ათობითი წილადად. რამდენი ხანი იქნება? უფლება. ბოლოს რა არის მეტი?

ეს არის კიდევ ერთი ვარიანტი - წილადების შედარება ათწილადში გადაყვანით.

ვარიანტი 4: წილადების შედარება გაყოფის გამოყენებით.

Დიახ დიახ. და ეს ასევე შესაძლებელია. ლოგიკა მარტივია: როცა დიდ რიცხვს ვყოფთ პატარა რიცხვზე, პასუხი მივიღებთ არის ერთზე დიდი რიცხვი, ხოლო თუ პატარა რიცხვს გავყოფთ დიდ რიცხვზე, მაშინ პასუხი მოდის ინტერვალზე მდე.

ამ წესის დასამახსოვრებლად, შედარებისთვის აიღეთ ნებისმიერი ორი მარტივი რიცხვი, მაგალითად და. მეტი იცი რა არის? ახლა გავყოთ. ჩვენი პასუხია. შესაბამისად, თეორია სწორია. თუ გავყოფთ, რასაც მივიღებთ ერთზე ნაკლებია, რაც თავის მხრივ ადასტურებს, რომ ის რეალურად ნაკლებია.

შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს წესი ჩვეულებრივ წილადებზე. მოდით შევადაროთ:

გაყავით პირველი წილადი მეორეზე:

მოდი შევამოკლოთ.

მიღებული შედეგი ნაკლებია, რაც ნიშნავს, რომ დივიდენდი ნაკლებია გამყოფზე, ანუ:

ჩვენ განვიხილეთ წილადების შედარების ყველა შესაძლო ვარიანტი. როგორ ხედავთ მათ 5:

  • შემცირება საერთო მნიშვნელამდე;
  • საერთო მრიცხველამდე შემცირება;
  • შემცირება ათობითი წილადის სახით;
  • გამოკლება;
  • დაყოფა.

მზად ხართ ვარჯიშისთვის? შეადარეთ წილადები ოპტიმალური გზით:

მოდით შევადაროთ პასუხები:

  1. (- ათწილადად გადაქცევა)
  2. (ერთი წილადი გავყოთ მეორეზე და შევამციროთ მრიცხველით და მნიშვნელით)
  3. (აირჩიეთ მთელი ნაწილი და შეადარეთ წილადები იმავე მრიცხველის პრინციპით)
  4. (ერთი წილადი გავყოთ მეორეზე და შევამციროთ მრიცხველით და მნიშვნელით).

2. გრადუსების შედარება

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნდა შევადაროთ არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ გამონათქვამები, სადაც არის ხარისხი ().

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ მარტივად განათავსოთ ნიშანი:

ყოველივე ამის შემდეგ, თუ ხარისხს შევცვლით გამრავლებით, მივიღებთ:

ამ მცირე და პრიმიტიული მაგალითიდან შემდეგი წესია:

ახლა შეეცადეთ შეადაროთ შემდეგი: . თქვენ ასევე შეგიძლიათ მარტივად განათავსოთ ნიშანი:

იმის გამო, რომ თუ ჩვენ შევცვლით სიძლიერეს გამრავლებით...

ზოგადად, თქვენ გესმით ყველაფერი და ეს საერთოდ არ არის რთული.

სირთულეები წარმოიქმნება მხოლოდ მაშინ, როდესაც შედარებისას ხარისხებს განსხვავებული საფუძვლები და ინდიკატორები აქვთ. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ვეცადოთ საერთო საფუძველს მივიყვანოთ. Მაგალითად:

რა თქმა უნდა, თქვენ იცით, რომ ეს, შესაბამისად, გამოთქმა იღებს ფორმას:

გავხსნათ ფრჩხილები და შევადაროთ რას მივიღებთ:

გარკვეულწილად განსაკუთრებული შემთხვევაა, როდესაც ხარისხის () საფუძველი ერთზე ნაკლებია.

თუ, მაშინ ორი გრადუსისა და უფრო დიდია ის, ვისი ინდექსიც ნაკლებია.

შევეცადოთ დავამტკიცოთ ეს წესი. დაე იყოს.

მოდით შემოვიტანოთ ნატურალური რიცხვი, როგორც განსხვავება და-ს შორის.

ლოგიკურია, არა?

ახლა კი კიდევ ერთხელ მივაქციოთ ყურადღება მდგომარეობას - .

შესაბამისად: . აქედან გამომდინარე,.

Მაგალითად:

როგორც გესმით, ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც უფლებამოსილებების საფუძვლები თანაბარია. ახლა ვნახოთ, როდის არის ფუძე ინტერვალიდან მდე, მაგრამ მაჩვენებლები ტოლია. აქ ყველაფერი ძალიან მარტივია.

გავიხსენოთ როგორ შევადაროთ ეს მაგალითის გამოყენებით:

რა თქმა უნდა, თქვენ სწრაფად გააკეთეთ მათემატიკა:

ამიტომ, როდესაც შედარებისთვის მსგავს პრობლემებს წააწყდებით, გაითვალისწინეთ რამდენიმე მარტივი მსგავსი მაგალითი, რომელიც შეგიძლიათ სწრაფად გამოთვალოთ და ამ მაგალითის საფუძველზე ჩადეთ ნიშნები უფრო რთულში.

გარდაქმნების შესრულებისას გახსოვდეთ, რომ თუ ამრავლებთ, მიმატებთ, გამოკლებთ ან გაყოფთ, მაშინ ყველა მოქმედება უნდა შესრულდეს როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარეებით (თუ გაამრავლებთ, მაშინ ორივე უნდა გაამრავლოთ).

გარდა ამისა, არის შემთხვევები, როდესაც რაიმე მანიპულაციის გაკეთება უბრალოდ წამგებიანია. მაგალითად, თქვენ უნდა შეადაროთ. ამ შემთხვევაში არც ისე რთულია ძალაზე აყვანა და ამის საფუძველზე ნიშნის მოწყობა:

Მოდი ვივარჯიშოთ. შეადარეთ ხარისხები:

მზად ხართ პასუხების შესადარებლად? აი რა მივიღე:

  1. - იგივე რაც
  2. - იგივე რაც
  3. - იგივე რაც
  4. - იგივე რაც

3. რიცხვების შედარება ფესვებთან

ჯერ გავიხსენოთ რა არის ფესვები? გახსოვთ ეს ჩანაწერი?

რეალური რიცხვის სიმძლავრის ფესვი არის რიცხვი, რომლის ტოლობაც მოქმედებს.

Ფესვებიკენტი ხარისხის არსებობს უარყოფითი და დადებითი რიცხვები და ფესვებიც კი- მხოლოდ დადებითისთვის.

ფესვის მნიშვნელობა ხშირად არის უსასრულო ათწილადი, რაც ართულებს ზუსტად გამოთვლას, ამიტომ მნიშვნელოვანია ფესვების შედარება.

თუ დაგავიწყდათ რა არის და რითი მიირთმევენ - . თუ ყველაფერი გახსოვთ, მოდით ვისწავლოთ ფესვების შედარება ეტაპობრივად.

ვთქვათ, უნდა შევადაროთ:

ამ ორი ფესვის შესადარებლად, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე გამოთვლების გაკეთება, უბრალოდ გააანალიზეთ თავად "ძირის" კონცეფცია. გესმის რაზე ვლაპარაკობ? დიახ, ამის შესახებ: წინააღმდეგ შემთხვევაში ის შეიძლება დაიწეროს, როგორც მესამე ხარისხს რომელიმე რიცხვი, რომელიც უდრის რადიკალურ გამოხატვას.

მეტი რა არის? ან? რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ ეს ყოველგვარი სირთულის გარეშე. რაც უფრო დიდია რიცხვი, რომელსაც ჩვენ ვაზრდით სიმძლავრემდე, მით უფრო დიდი იქნება მნიშვნელობა.

Ისე. გამოვიტანოთ წესი.

თუ ფესვების მაჩვენებლები ერთნაირია (ჩვენს შემთხვევაში ეს ასეა), მაშინ აუცილებელია რადიკალური გამონათქვამების (და) შედარება - რაც უფრო დიდია რადიკალური რიცხვი, მით მეტია ფესვის მნიშვნელობა თანაბარი მაჩვენებლებით.

რთული დასამახსოვრებელი? მაშინ უბრალოდ მაგალითი შეინახე შენს თავში და... ეს მეტი?

ფესვების მაჩვენებლები იგივეა, რადგან ფესვი კვადრატულია. ერთი რიცხვის რადიკალური გამოხატულება () მეტია მეორეზე (), რაც ნიშნავს, რომ წესი ნამდვილად მართალია.

რა მოხდება, თუ რადიკალური გამონათქვამები ერთნაირია, მაგრამ ფესვების ხარისხი განსხვავებულია? Მაგალითად: .

ასევე გასაგებია, რომ უფრო დიდი ხარისხის ფესვის ამოღებისას მიიღება უფრო მცირე რაოდენობა. ავიღოთ მაგალითად:

მოდით აღვნიშნოთ პირველი ფესვის მნიშვნელობა როგორც, ხოლო მეორე - როგორც, შემდეგ:

თქვენ ადვილად ხედავთ, რომ ამ განტოლებებში მეტი უნდა იყოს, ამიტომ:

თუ რადიკალური გამონათქვამები ერთნაირია(ჩვენს შემთხვევაში), და ფესვების მაჩვენებლები განსხვავებულია(ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და), მაშინ საჭიროა მაჩვენებლების შედარება(და) - რაც უფრო მაღალია მაჩვენებელი, მით უფრო მცირეა ეს გამოხატულება.

შეეცადეთ შეადაროთ შემდეგი ფესვები:

შევადაროთ შედეგები?

ჩვენ ეს წარმატებით მოვაგვარეთ :). ჩნდება კიდევ ერთი კითხვა: რა მოხდება, თუ ჩვენ ყველანი განსხვავებულები ვართ? ხარისხიც და რადიკალური გამოხატულებაც? ყველაფერი ასე რთული არ არის, უბრალოდ უნდა... „მოვშორდეთ“ ფესვს. Დიახ დიახ. უბრალოდ მოიშორე)

თუ გვაქვს სხვადასხვა ხარისხი და რადიკალური გამონათქვამები, უნდა ვიპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი (წაიკითხეთ განყოფილება შესახებ) ფესვების მაჩვენებლებისთვის და ავიყვანოთ ორივე გამონათქვამი უმცირეს საერთო ჯერადის ტოლ ხარისხზე.

რომ ჩვენ ყველანი ვართ სიტყვებით და სიტყვებით. აი მაგალითი:

  1. ჩვენ ვუყურებთ ფესვების მაჩვენებლებს - და. მათი უმცირესი საერთო ჯერადი არის .
  2. მოდით ავიყვანოთ ორივე გამონათქვამი ძალამდე:
  3. მოდით გადავცვალოთ გამონათქვამი და გავხსნათ ფრჩხილები (დაწვრილებით თავში):
  4. მოდით დავთვალოთ რა გავაკეთეთ და დავდოთ ნიშანი:

4. ლოგარითმების შედარება

ასე რომ, ნელა, მაგრამ აუცილებლად მივედით კითხვამდე, როგორ შევადაროთ ლოგარითმები. თუ არ გახსოვთ, როგორი ცხოველია ეს, გირჩევთ, ჯერ წაიკითხოთ თეორია განყოფილებიდან. წაკითხული გაქვს? შემდეგ უპასუხეთ რამდენიმე მნიშვნელოვან კითხვას:

  1. რა არის ლოგარითმის არგუმენტი და რა არის მისი საფუძველი?
  2. რა განსაზღვრავს ფუნქციის გაზრდას თუ შემცირებას?

თუ ყველაფერი გახსოვს და მშვენივრად აითვისე, დავიწყოთ!

იმისათვის, რომ შევადაროთ ლოგარითმები ერთმანეთთან, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ 3 ტექნიკა:

  • შემცირება იმავე საფუძველზე;
  • იმავე არგუმენტამდე შემცირება;
  • მესამე რიცხვთან შედარება.

თავდაპირველად ყურადღება მიაქციეთ ლოგარითმის საფუძველს. გახსოვთ, რომ თუ ნაკლებია, მაშინ ფუნქცია მცირდება, ხოლო თუ მეტია, მაშინ იზრდება. სწორედ ამაზე იქნება დაფუძნებული ჩვენი გადაწყვეტილებები.

განვიხილოთ ლოგარითმების შედარება, რომლებიც უკვე დაყვანილია იმავე ფუძემდე, ანუ არგუმენტამდე.

დასაწყისისთვის, მოდით გავამარტივოთ პრობლემა: შევიტანოთ შედარებული ლოგარითმები თანაბარი საფუძველი. შემდეგ:

  1. ფუნქცია, for, იზრდება საწყისი ინტერვალზე, რაც ნიშნავს, განსაზღვრებით, მაშინ („პირდაპირი შედარება“).
  2. მაგალითი:- საფუძვლები ერთიდაიგივეა, შესაბამისად ვადარებთ არგუმენტებს: , შესაბამისად:
  3. ფუნქცია, at, მცირდება დან ინტერვალზე, რაც ნიშნავს, განსაზღვრებით, შემდეგ („საპირისპირო შედარება“). - საფუძვლები იგივეა, შესაბამისად ვადარებთ არგუმენტებს: თუმცა, ლოგარითმების ნიშანი იქნება „უკუ“, რადგან ფუნქცია მცირდება: .

ახლა განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც მიზეზები განსხვავებულია, მაგრამ არგუმენტები იგივეა.

  1. ბაზა უფრო დიდია.
    • . ამ შემთხვევაში ჩვენ ვიყენებთ "საპირისპირო შედარებას". მაგალითად: - არგუმენტები იგივეა და. მოდით შევადაროთ ფუძეები: თუმცა, ლოგარითმების ნიშანი იქნება "საპირისპირო":
  2. ფუძე a არის უფსკრული.
    • . ამ შემთხვევაში ჩვენ ვიყენებთ "პირდაპირ შედარებას". Მაგალითად:
    • . ამ შემთხვევაში ჩვენ ვიყენებთ "საპირისპირო შედარებას". Მაგალითად:

მოდით ჩამოვწეროთ ყველაფერი ზოგადი ცხრილის სახით:

, სადაც , სადაც

შესაბამისად, როგორც უკვე მიხვდით, ლოგარითმების შედარებისას უნდა მივიყვანოთ ერთიდაიგივე ფუძემდე, ანუ არგუმენტამდე, ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის ფორმულით მივდივართ ერთსა და იმავე ფუძემდე.

ასევე შეგიძლიათ შეადაროთ ლოგარითმები მესამე რიცხვს და ამის საფუძველზე გამოიტანოთ დასკვნა რა არის ნაკლები და რა მეტი. მაგალითად, დაფიქრდით, როგორ შევადაროთ ეს ორი ლოგარითმი?

პატარა მინიშნება - შედარებისთვის ძალიან დაგეხმარებათ ლოგარითმი, რომლის არგუმენტიც ტოლი იქნება.

ფიქრი? ერთად გადავწყვიტოთ.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევადაროთ ეს ორი ლოგარითმი თქვენთან:

არ იცი როგორ? Იხილეთ ზემოთ. ჩვენ უბრალოდ მოვაგვარეთ ეს. რა ნიშანი იქნება? მარჯვენა:

ვეთანხმები?

შევადაროთ ერთმანეთს:

თქვენ უნდა მიიღოთ შემდეგი:

ახლა გავაერთიანოთ ყველა ჩვენი დასკვნა ერთში. მოხდა?

5. ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების შედარება.

რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი? რატომ გვჭირდება ერთეული წრე და როგორ ვიპოვოთ მასზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა? თუ არ იცით ამ კითხვებზე პასუხები, გირჩევთ, წაიკითხოთ თეორია ამ თემაზე. და თუ იცით, მაშინ ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ერთმანეთთან შედარება რთული არ არის თქვენთვის!

ცოტათი განვაახლოთ მეხსიერება. დავხატოთ ერთეული ტრიგონომეტრიული წრე და მასში ჩაწერილი სამკუთხედი. მოახერხე? ახლა მონიშნეთ რომელ მხარეს გამოვსახავთ კოსინუსს და რომელ მხარეს - სამკუთხედის გვერდების გამოყენებით. (თქვენ, რა თქმა უნდა, გახსოვთ, რომ სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი არის მიმდებარე მხარე?). დახატე? დიდი! საბოლოო შეხება არის ჩამოგდება სად გვექნება, სად და ასე შემდეგ. დადგით? ფუ) შევადაროთ რა დამემართა მე და შენ.

ფუ! ახლა დავიწყოთ შედარება!

ვთქვათ, უნდა შევადაროთ და. დახაზეთ ეს კუთხეები უჯრებში (სადაც აღვნიშნეთ სად) მოთხოვნის გამოყენებით, მოათავსეთ წერტილები ერთეულ წრეზე. მოახერხე? აი რა მივიღე.

ახლა წრეზე მონიშნული წერტილებიდან პერპენდიკულარი გადავაგდოთ ღერძზე... რომელი? რომელი ღერძი აჩვენებს სინუსების მნიშვნელობას? უფლება,. ეს არის ის, რაც უნდა მიიღოთ:

ამ სურათს რომ ვუყურებ, რომელია უფრო დიდი: თუ? რა თქმა უნდა, იმიტომ რომ წერტილი წერტილიდან მაღლა დგას.

ანალოგიურად, ჩვენ ვადარებთ კოსინუსების მნიშვნელობას. ჩვენ მხოლოდ ღერძის პერპენდიკულარს ვამცირებთ... ასეა, . შესაბამისად, ჩვენ ვუყურებთ რომელი წერტილია მარჯვნივ (ან უფრო მაღალი, როგორც სინუსების შემთხვევაში), მაშინ მნიშვნელობა უფრო დიდია.

თქვენ ალბათ უკვე იცით ტანგენტების შედარება, არა? ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ არის რა არის ტანგენსი. მაშ, რა არის ტანგენსი?) მართალია, სინუსის შეფარდება კოსინუსთან.

ტანგენტების შესადარებლად, ჩვენ ვხატავთ კუთხეს ისევე, როგორც წინა შემთხვევაში. ვთქვათ, უნდა შევადაროთ:

დახატე? ახლა ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ სინუსების მნიშვნელობებს კოორდინატთა ღერძზე. Შეამჩნიე? ახლა მიუთითეთ კოსინუსის მნიშვნელობები კოორდინატთა ხაზზე. მოხდა? მოდით შევადაროთ:

ახლა გააანალიზე რაც დაწერე. - დიდ სეგმენტს ვყოფთ პატარაზე. პასუხი შეიცავს მნიშვნელობას, რომელიც ნამდვილად აღემატება ერთს. მართალია?

ხოლო როცა პატარას დიდზე ვყოფთ. პასუხი იქნება რიცხვი, რომელიც ზუსტად ერთზე ნაკლებია.

მაშ რომელ ტრიგონომეტრიულ გამონათქვამს აქვს უფრო დიდი მნიშვნელობა?

მარჯვენა:

როგორც ახლა გესმით, კოტანგენტების შედარება იგივეა, მხოლოდ საპირისპიროდ: ჩვენ ვუყურებთ, როგორ უკავშირდება ერთმანეთს სეგმენტები, რომლებიც განსაზღვრავენ კოსინუსს და სინუსს.

შეეცადეთ თავად შეადაროთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები:

მაგალითები.

პასუხები.

რიცხვების შედარება. საშუალო დონე.

რომელი რიცხვია მეტი: ან? პასუხი აშკარაა. და ახლა: ან? არც ისე აშკარაა, არა? ასე რომ: ან?

ხშირად თქვენ უნდა იცოდეთ რომელი რიცხვითი გამოხატულებაა უფრო დიდი. მაგალითად, იმისათვის, რომ უტოლობის ამოხსნისას ღერძზე წერტილები სწორი თანმიმდევრობით მოათავსოთ.

ახლა მე გასწავლით როგორ შეადაროთ ასეთი რიცხვები.

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვების შედარება და, მათ შორის ვსვამთ ნიშანს (ლათინური სიტყვიდან Versus ან შემოკლებით vs - წინააღმდეგ): . ეს ნიშანი ცვლის უცნობი უტოლობის ნიშანს (). შემდეგი, ჩვენ ვასრულებთ იდენტურ გარდაქმნებს, სანამ არ გახდება ნათელი, რომელი ნიშანი უნდა განთავსდეს ციფრებს შორის.

რიცხვების შედარების არსი ასეთია: ჩვენ ნიშანს ისე ვეპყრობით, თითქოს ეს იყოს რაიმე სახის უტოლობის ნიშანი. და გამონათქვამით ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ყველაფერი, რასაც ჩვეულებრივ ვაკეთებთ უტოლობებით:

  • დაამატეთ ნებისმიერი რიცხვი ორივე მხარეს (და, რა თქმა უნდა, შეგვიძლია გამოვაკლოთ)
  • „გადაიტანე ყველაფერი ერთ მხარეს“, ანუ გამოაკელი ერთ-ერთი შედარებული გამოთქმა ორივე ნაწილს. გამოკლებული გამოხატვის ადგილას დარჩება: .
  • გამრავლება ან გაყოფა იმავე რიცხვზე. თუ ეს რიცხვი უარყოფითია, უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია: .
  • აამაღლოს ორივე მხარე იმავე ძალაზე. თუ ეს სიმძლავრე თანაბარია, უნდა დარწმუნდეთ, რომ ორივე ნაწილს ერთი და იგივე ნიშანი აქვს; თუ ორივე ნაწილი დადებითია, ნიშანი არ იცვლება ძალამდე აყვანისას, მაგრამ თუ ისინი უარყოფითია, მაშინ ის იცვლება საპირისპიროდ.
  • ამოიღეთ ერთი ხარისხის ფესვი ორივე ნაწილიდან. თუ ჩვენ გამოვყოფთ ლუწი ხარისხის ფესვს, ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ორივე გამონათქვამი არაუარყოფითია.
  • ნებისმიერი სხვა ექვივალენტური ტრანსფორმაცია.

მნიშვნელოვანია: მიზანშეწონილია ისეთი ტრანსფორმაციების გაკეთება, რომ უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვალოს! ანუ გარდაქმნების დროს არასასურველია უარყოფით რიცხვზე გამრავლება და არ შეიძლება მისი კვადრატი, თუ რომელიმე ნაწილი უარყოფითია.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ტიპურ სიტუაციას.

1. ექსპონენტაცია.

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

ვინაიდან უთანასწორობის ორივე მხარე დადებითია, შეგვიძლია მისი კვადრატი ფესვის მოსაშორებლად:

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

აქ შეგვიძლია მისი კვადრატიც, მაგრამ ეს მხოლოდ კვადრატული ფესვის მოშორებაში დაგვეხმარება. აქ აუცილებელია მისი ამაღლება ისე, რომ ორივე ფესვი გაქრეს. ეს ნიშნავს, რომ ამ ხარისხის მაჩვენებელი უნდა გაიყოს როგორც (პირველი ფესვის ხარისხი) ასევე. ამრიგად, ეს რიცხვი ამაღლებულია მე-6 ხარისხამდე:

2. გამრავლება მის კონიუგატზე.

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ და გავყოთ თითოეული განსხვავება კონიუგატულ ჯამზე:

ცხადია, მარჯვენა მხარეს მნიშვნელი უფრო დიდია, ვიდრე მარცხენა. მაშასადამე, მარჯვენა წილადი უფრო მცირეა ვიდრე მარცხენა:

3. გამოკლება

გავიხსენოთ ეს.

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვეძლო ყველაფერი გავასწოროთ, გადავაჯგუფოთ და ისევ გავასწოროთ. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ რაღაც უფრო ჭკვიანურად:

ჩანს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული ტერმინი ნაკლებია, ვიდრე ყოველი ტერმინი მარჯვენა მხარეს.

შესაბამისად, მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინის ჯამი ნაკლებია მარჯვენა მხარეს ყველა ტერმინის ჯამს.

Მაგრამ ფრთხილად იყავი! გვკითხეს მეტი რა...

მარჯვენა მხარე უფრო დიდია.

მაგალითი.

შეადარეთ რიცხვები და...

გამოსავალი.

გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიის ფორმულები:

შევამოწმოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე რომელ კვარტალშია წერტილები და დავწექით.

4. სამმართველო.

აქ ასევე ვიყენებთ მარტივ წესს: .

ან, ანუ.

როდესაც ნიშანი იცვლება: .

მაგალითი.

შეადარეთ: .

გამოსავალი.

5. შეადარეთ რიცხვები მესამე რიცხვს

თუ და, მაშინ (ტრანზიტულობის კანონი).

მაგალითი.

შეადარე.

გამოსავალი.

შევადაროთ რიცხვები არა ერთმანეთს, არამედ რიცხვს.

აშკარაა რომ.

Მეორეს მხრივ, .

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

ორივე რიცხვი უფრო დიდია, მაგრამ უფრო მცირე. ავირჩიოთ რიცხვი ისე, რომ ის იყოს ერთზე დიდი, მაგრამ მეორეზე ნაკლები. Მაგალითად, . მოდით შევამოწმოთ:

6. რა ვუყოთ ლოგარითმებს?

Არაფერი განსაკუთრებული. როგორ მოვიშოროთ ლოგარითმები დეტალურად არის აღწერილი თემაში. ძირითადი წესებია:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \მარცხნივ მარჯვენა ისარი (\rm( ))\left[ (\begin(მასივი)(*(20)(l))(x \vee (a^ ბ)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \სოლი (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \სოლი y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავამატოთ წესი ლოგარითმების შესახებ სხვადასხვა ფუძეებით და იგივე არგუმენტით:

ეს შეიძლება აიხსნას ასე: რაც უფრო დიდია ფუძე, მით ნაკლებია მისი აწევა იმავე ნივთის მისაღებად. თუ ფუძე უფრო მცირეა, მაშინ საპირისპიროა, რადგან შესაბამისი ფუნქცია მონოტონურად მცირდება.

მაგალითი.

შეადარეთ რიცხვები: და.

გამოსავალი.

ზემოაღნიშნული წესების მიხედვით:

ახლა კი ფორმულა მოწინავეებისთვის.

ლოგარითმების შედარების წესი შეიძლება უფრო მოკლედ დაიწეროს:

მაგალითი.

რომელია მეტი: ან?

გამოსავალი.

მაგალითი.

შეადარეთ რომელი რიცხვია მეტი: .

გამოსავალი.

რიცხვების შედარება. მოკლედ მთავარის შესახებ

1. ექსპონენტაცია

თუ უტოლობის ორივე მხარე დადებითია, მათი კვადრატი შეიძლება ფესვის მოსაშორებლად

2. გამრავლება მის კონიუგატზე

კონიუგატი არის ფაქტორი, რომელიც ავსებს გამონათქვამს კვადრატების სხვაობის ფორმულასთან: - კონიუგატისთვის და პირიქით, რადგან .

3. გამოკლება

4. სამმართველო

როდის ან ეს არის

როდესაც ნიშანი იცვლება:

5. მესამე რიცხვთან შედარება

თუ და მერე

6. ლოგარითმების შედარება

ძირითადი წესები:

ლოგარითმები სხვადასხვა ფუძეებით და ერთი და იგივე არგუმენტით:

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

Რისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, კოლეჯში ბიუჯეტით ჩასვლისთვის და რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). იქნებ იმიტომ, რომ კიდევ ბევრი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

  1. განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში -
  2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 899 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა ამოცანაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

"გაგება" და "მე შემიძლია გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვნეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!

    დავიწყოთ იმით ერთის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება არ არის რთული: ვინაიდან 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დასამტკიცებელი ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.

    მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0, log1=0 და .

    გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ანუ შესვლა a=1 a>0, a≠1. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.

    ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია ტოლობები log 5 5=1, log 5.6 5.6 და lne=1.

    მაგალითად, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 და .

    ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, და რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობის მიხედვით a log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x ·a log a y =x·y. ამრიგად, log a x+log a y =x·y, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, დადასტურებული ტოლობა გამომდინარეობს.

    ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და .

    ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს დადებითი რიცხვების n სასრული რიცხვის ნამრავლზე x 1 , x 2 , …, x n როგორც log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ეს თანასწორობა შეიძლება დადასტურდეს უპრობლემოდ.

    მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და რიცხვების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.

    ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. დადასტურებულია ამ ფორმულის მართებულობა, ისევე როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან , შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით.

    აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: .

    მოდით გადავიდეთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლის და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ლოგარითმის ნამრავლის. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ლოგარითმის ეს თვისება ფორმულის სახით: log a b p =p·log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.

    ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითად b. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, ძალაუფლების თვისების გამო, უდრის p·log a b. ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p·log a b, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, ვასკვნით, რომ log a b p =p·log a b.

    რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი ბ. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ ლუწი მაჩვენებლებს p (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ. მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, საიდანაც log a b p =p·log a |b| .

    Მაგალითად, და ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

    ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ფესვის ლოგარითმი უდრის 1/n წილადის ნამრავლს რადიკალური გამოხატვის ლოგარითმით, ანუ , სადაც a>0, a≠1, n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0.

    მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b-ისთვის და სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებაზე: .

    აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: .

    ახლა დავამტკიცოთ ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულაკეთილი . ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b·log c a. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b =log a b log c a. ეს ადასტურებს ტოლობის log c b=log a b·log c a, რაც ნიშნავს, რომ ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე დადასტურებულია.

    მოდით ვნახოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და .

    ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასასვლელად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა, ზოგიერთ შემთხვევაში, იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.

    ხშირად გამოიყენება ფორმის c=b-სთვის ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულის სპეციალური შემთხვევა . ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, .

    ფორმულა ასევე ხშირად გამოიყენება , რაც მოსახერხებელია ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მისი გამოყენება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობის გამოსათვლელად. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის: .

    რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.

    დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2, b 1 log a b 2, ხოლო a>1 - უტოლობა log a b 1

    და ბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. შემოვიფარგლოთ მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ დავამტკიცოთ, რომ თუ a 1 >1, a 2 >1 და a 1 1 არის ჭეშმარიტი log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით.

    გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 არის ჭეშმარიტი log a 1 b≤log a 2 b . ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც და შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე საფუძვლების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, უნდა იყოს ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2, ანუ a 1 ≥a 2 . ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1-თან

ბიბლიოგრაფია.

  • კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
  • გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

ძირითადი თვისებები.

  1. ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
  2. ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

იდენტური საფუძველი

Log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x >

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:


ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.


ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

2.

3.

4. სად .



მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ


მაგალითი 3. მოცემულია ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ




ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

  1. ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
  2. ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმის ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითები.

იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

  1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
  2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b-ის ლოგარითმი a-ს ბაზაზე აღნიშნავს გამოხატვას. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს x () სიმძლავრის პოვნას, რომლის დროსაც ტოლობა დაკმაყოფილებულია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

აუცილებელია ზემოაღნიშნული თვისებების ცოდნა, ვინაიდან ლოგარითმებთან დაკავშირებული თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება მათ საფუძველზე. დანარჩენი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულის გამოთვლისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი საერთო ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე არის ათიც კი, ექსპონენციალური ან ორი.
ათი ბაზის ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ათობითი ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x-ით).

ჩანაწერიდან ირკვევა, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)-ით).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ. ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ლოგარითმი ორი საფუძვლისთვის აღინიშნება

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება ურთიერთობით

მოცემული მასალა საკმარისია თქვენთვის ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასის გადასაჭრელად. მასალის გაგებაში რომ დაგეხმაროთ, მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმიდან და უნივერსიტეტებიდან.

ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
3.5 თვისებების გამოყენებით ვპოულობთ

4. სად .

ერთი შეხედვით რთული გამონათქვამი გამარტივებულია და ჩამოყალიბებულია რიგი წესების გამოყენებით

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ

გამოსავალი. გამოსათვლელად ვიყენებთ ბოლო ტერმინს 5 და 13 თვისებებს

ჩანაწერში ჩავსვით და ვგლოვობთ

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, გამონათქვამებს ვაიგივებთ

ლოგარითმები. პირველი დონე.

დაე, ლოგარითმების მნიშვნელობა იყოს მოცემული

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: ავიღოთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ დავწეროთ ლოგარითმი მისი წევრთა ჯამის მეშვეობით


ეს მხოლოდ დასაწყისია ჩვენი გაცნობისა ლოგარითმებთან და მათ თვისებებთან. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ თქვენი პრაქტიკული უნარები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვა თანაბრად მნიშვნელოვან თემაზე - ლოგარითმული უტოლობები...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

  1. ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
  2. ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

  1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
  2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: