ფიფქის კოხის კონსტრუქცია. როგორ დავხატოთ კოხის ფიფქი, ფოტო დიაგრამები, როგორ გამოიყურება კოხის ფიფქი? აპლიკაციის UI მარკირება აპლიკაციის შემქმნელში

თემა: ფრაქტალები.

1. შესავალი. მოკლე ისტორიული ფონი ფრაქტალებზე. 2. ფრაქტალები ბუნებაში გეომეტრიის ელემენტებია.

3. ფრაქტალური თვისებების მქონე საგნები ბუნებაში. 4. ტერმინოლოგიის „ფრაქტალების“ განმარტება.

5.ფრაქტალების კლასები.

6.ფრაქტალური პროცესების აღწერა. 7.ფრაქტალის კომპლექტების მიღების პროცედურები.

8.1 გატეხილი კოხა (მოპოვების პროცედურა).

8.2 კოხის ფიფქია (კოხ ფრაქტალი).

8.3 მენჯერის ღრუბლები.

9. ფრაქტალების გამოყენების მაგალითები.

შესავალი. მოკლე ისტორიული ფონი ფრაქტალებზე.

ფრაქტალები დისკრეტული მათემატიკის ახალგაზრდა ფილიალია.

IN 1904 წელს შვედ კოხს გამოუვიდა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი - კოხის მრუდი.

IN 1918 წელს ფრანგმა ჯულიამ აღწერა ფრაქტალების მთელი ოჯახი.

IN 1938 წელს პიერ ლევიმ გამოაქვეყნა სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და ზედაპირი, რომელიც შედგება მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან“.

IN 1982 წელს ბენუა მანდელბროტმა გამოსცა წიგნი "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია".

თან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების გამოყენებით მიიღება გამოსახულებები. გამოჩნდა "ფრაქტალი ფერწერა".

1993 წლიდან World Scientific გამოსცემს ჟურნალს "ფრაქტალები".

ფრაქტალები ბუნებაში გეომეტრიის ელემენტებია.

ფრაქტალები არის ისეთი ობიექტების აღწერის საშუალება, როგორიცაა მთების ქედის მოდელები, უხეში სანაპირო ზოლები, მრავალი კაპილარების და გემის სისხლის მიმოქცევის სისტემა, ხეების გვირგვინები, კასკადური ჩანჩქერები, ყინვაგამძლე ნიმუშები მინაზე.

ან ეს: გვიმრის ფოთოლი, ღრუბლები, ლაქები.

ასეთი ობიექტების სურათები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფრაქტალური გრაფიკის გამოყენებით.

ფრაქტალური თვისებების მქონე ობიექტები ბუნებაში.

CoralsStarfish და Urchins ზღვის ჭურვი

ყვავილები და მცენარეები (ბროკოლი, კომბოსტო) ხილი (ანანასი)

ხეების გვირგვინები და მცენარის ფოთლები სისხლის მიმოქცევის სისტემადა ადამიანებისა და ცხოველების ბრონქები უსულო ბუნებაში:

გეოგრაფიული ობიექტების საზღვრები (ქვეყნები, რეგიონები, ქალაქები) სანაპირო ზოლები მთის ქედები ფიფქები ღრუბლები ელვა

შუშის კრისტალებზე წარმოქმნილი ნიმუშები სტალაქტიტები, სტალაგმიტები, ჰელიქტიტები.

ტერმინოლოგიის განმარტება „ფრაქტალები“.

ფრაქტალები არის გეომეტრიული ფიგურები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ერთ ან მეტ შემდეგ თვისებებს:

მას აქვს რთული არატრივიალური სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს (ყველა მასშტაბით); ის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსია.

მას აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება ან აღემატება ტოპოლოგიურს; შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

ჩვეულებრივი ფიგურებისთვის, როგორიცაა წრე, ელიფსი, გლუვი ფუნქციის გრაფიკიძალიან დიდი მასშტაბის პატარა ფრაგმენტი სწორი ხაზის ფრაგმენტს ჰგავს. ფრაქტალისთვის, მასშტაბის გაზრდა არ იწვევს სტრუქტურის გამარტივებას; ყველა მასშტაბისთვის ჩვენ ვნახავთ თანაბრად რთულ სურათებს.

ფრაქტალის კლასები

ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება მთელის მსგავსი ნაწილებისგან (ქვესტრუქტურებისგან).

ზოგიერთი ფრაქტალი, როგორც ბუნების ელემენტები, შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც გეომეტრიული (კონსტრუქციული) ფრაქტალები.

დანარჩენი შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც დინამიური ფრაქტალები (ალგებრული).

ფრაქტალის კომპლექტების მიღების პროცედურები.

ეს არის მარტივი რეკურსიული პროცედურა ფრაქტალის მრუდების მისაღებად: მიუთითეთ თვითნებური გატეხილი ხაზი ბმულების სასრული რაოდენობით - გენერატორი. შემდეგი, გენერატორის თითოეული სეგმენტი იცვლება მასში. შემდეგ მასში ყოველი სეგმენტი კვლავ იცვლება გენერატორით და ასე უსასრულოდ.

ნაჩვენებია: ერთეული სეგმენტის დაყოფა 3 ნაწილად (a), ერთეული კვადრატული ფართობი 9 ნაწილად (ბ), ერთეული კუბი 27 ნაწილად (c) და 64 ნაწილად (დ). ნაწილების რაოდენობა არის n, სკალირების ფაქტორი k და სივრცის განზომილებაა d. ჩვენ გვაქვს შემდეგი მიმართებები: n = kd,

თუ n = 3, k = 3, მაშინ d = 1; თუ n = 9, k = 3, მაშინ d = 2; თუ n = 27, k = 3, მაშინ d = 3.

თუ n = 4, k = 4, მაშინ d = 1; თუ n = 16, k = 4, მაშინ d = 2; თუ n = 64, k = 4, მაშინ d = 3. სივრცის განზომილება გამოიხატება მთელი რიცხვებით: d = 1, 2, 3; n = 64-ისთვის, d-ის მნიშვნელობა არის

ნაჩვენებია კოხის პოლიხაზის აგების ხუთი ნაბიჯი: ერთეული სიგრძის სეგმენტი (a), დაყოფილი სამ ნაწილად (k = 3), ოთხი ნაწილიდან (n = 4) - გატეხილი ხაზი (b); თითოეული სწორი სეგმენტი დაყოფილია სამ ნაწილად (k2 = 9) და 16 ნაწილად (n2 = 16) - გატეხილი ხაზი (c); პროცედურა მეორდება k3 = 27 და n3 = 64 - გატეხილი ხაზი (g); k5 = 243-ისთვის და n5 = 1024 - გატეხილი ხაზი (დ).

განზომილება

ეს არის ფრაქციული ან ფრაქტალური განზომილება.

კოხის პოლიხაზი, რომელიც შემოთავაზებულია ჰელგ ფონ კოხის მიერ 1904 წელს, მოქმედებს როგორც ფრაქტალი, რომელიც შესაფერისია სანაპირო ზოლის უხეშობის მოდელირებისთვის. მანდელბროტმა შემოიტანა შემთხვევითობის ელემენტი სანაპირო ზოლის მშენებლობის ალგორითმში, რაც, თუმცა, არ იმოქმედა მთავარ დასკვნაზე სანაპირო ზოლის სიგრძესთან დაკავშირებით. რადგან ლიმიტი

სანაპირო ზოლის სიგრძე უსასრულობისკენ მიისწრაფვის სანაპიროს გაუთავებელი უხეშობის გამო.

სანაპირო ზოლის გასწორების პროცედურა უფრო დეტალური მასშტაბიდან ნაკლებად დეტალურზე გადასვლისას, ე.ი.

კოხის ფიფქი (კოხის ფრაქტალი)

მშენებლობის საფუძვლად შეგიძლიათ აიღოთ არა ერთეული სიგრძის სეგმენტები, არამედ ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის თითოეულ მხარეს შეგიძლიათ გააგრძელოთ დარღვევების გამრავლების პროცედურა. ამ შემთხვევაში ვიღებთ კოხის ფიფქს (ნახ.) და სამი სახის: ახლად წარმოქმნილი სამკუთხედები მიმართულია მხოლოდ გარედან წინა სამკუთხედისგან (a) და (b); მხოლოდ შიგნით (ში); შემთხვევითი ან გარე ან შიგნით (დ) და (ე). როგორ შეგიძლიათ დააყენოთ კოხის ფრაქტალის აგების პროცედურა.

ბრინჯი. ფიფქია კოხი

ნახ. ნაჩვენებია ორი ვექტორული დიაგრამა; ისრების ზემოთ მოცემული რიცხვები, ალბათ, აჩენს კითხვას: რას ნიშნავს ისინი? ვექტორი 0 ემთხვევა აბსცისის ღერძის დადებით მიმართულებას, ვინაიდან მისი ფაზის ფაქტორი exp (i2πl/6) l = 0-ზე ინარჩუნებს მიმართულებას. ვექტორი 1 ბრუნავს ვექტორთან 0-თან მიმართებაში 2π/6 კუთხით, როდესაც l= 1. ვექტორს 5 აქვს ფაზის ფაქტორი exp (i2π5/6), l = 5. ბოლო ვექტორს აქვს იგივე ფაზის ფაქტორი, რაც პირველს ( l = 0). მთელი რიცხვები l ახასიათებს ერთეული ვექტორის ფაზის ფაქტორის კუთხეს.

პირველი ნაბიჯი (ნახ.) განსაზღვრავს რეკურსიულ პროცედურას ყველა შემდგომი საფეხურისთვის და, კერძოდ, მეორე საფეხურისთვის (ნახ.). როგორ გადავიდეთ რიცხვების სიმრავლიდან φ1 = (0 1 5 0) φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? პასუხი: პირდაპირი მატრიცის გამრავლების გზით, როდესაც ერთი მატრიცის თითოეული ელემენტი მრავლდება თავდაპირველ მატრიცზე. ვინაიდან ამ შემთხვევაში საქმე გვაქვს ერთგანზომილებიან მასივთან, ე.ი. ვინაიდან მატრიცები არის ვექტორები, ერთი მატრიცა-ვექტორის თითოეული ელემენტი მრავლდება მეორე მატრიცა-ვექტორის ყველა ელემენტზე. გარდა ამისა, მატრიცა-ვექტორის φ1 ელემენტები შედგება ექსპონენციალური ფუნქციებისგან exp (i2πl/6), შესაბამისად, 10 რიცხვის h გამრავლებისას საჭირო იქნება მოდ (6) მიხედვით შეკრება და არა გამრავლება.

კოხის მრუდი

კოხის ფიფქები

კოხის ფიფქის ასაგებად, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ ოპერაციებს. განვიხილოთ ტოლგვერდა სამკუთხედი, როგორც ნულოვანი გამეორება.


შემდეგ ამ სამკუთხედის თითოეულ გვერდს ვყოფთ სამ თანაბარ ნაწილად, ვხსნით შუა ნაწილს და ვასრულებთ ტოლგვერდა სამკუთხედს შუაში, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. მომდევნო საფეხურზე ახალი ფიგურის თითოეული მხარე ექვემდებარება ერთსა და იმავე პროცედურას სამ თანაბარ ნაწილად დაყოფას და ტოლგვერდა სამკუთხედის აგების დასრულებას და ა.შ. უსასრულოდ. შედეგი არის სიმეტრიული, ფიფქის მსგავსი, უსასრულოდ გატეხილი მრუდი, რომელიც არის საკუთარი თავის მსგავსი ნაკრები, რომელსაც კოხის ფიფქი ეწოდება. მას დაარქვეს შვედი მათემატიკოსის ჰელგე ფონ კოხის პატივსაცემად, რომელმაც პირველად აღწერა 1904 წელს. მისი გამორჩეული თვისება ისაა, რომ დახურულია, ის მაინც არსად იკვეთება, რადგან დასრულებული სამკუთხედები ყოველ ჯერზე საკმარისად პატარაა და არასდროს "ეჯახება" ერთმანეთი.

გამოვთვალოთ მისი ფრაქტალური განზომილება. მიიღეთ საწყისი სამკუთხედის გვერდების სიგრძე ლ= 1, მაშინ ფრაგმენტი შედგება ოთხი სეგმენტისგან, თითოეული სიგრძით 1/3 და, შესაბამისად, მთლიანი სიგრძე 4/3. შემდეგ ეტაპზე ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს, რომელიც შედგება 16 სეგმენტისგან და აქვს მთლიანი სიგრძე 16/9 ან და ა.შ. აქედან გამომდინარეობს, რომ ფრაქტალის განზომილება უდრის

ეს მნიშვნელობა ერთზე მეტია (წრფის ტოპოლოგიური განზომილება), მაგრამ ნაკლებია, ვიდრე სიბრტყის ევკლიდური განზომილება, d = 2, რომელზედაც მდებარეობს მრუდი. აღვნიშნოთ, რომ ნებისმიერი სასრული n-სთვის n-ე გამეორების შედეგად მიღებულ მრუდს პრეფრაქტალი ეწოდება და მხოლოდ მაშინ, როცა n მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, კოხის მრუდი ხდება ფრაქტალი. ამრიგად, კოხის ფიფქია არის უსასრულო სიგრძის ხაზი, რომელიც ესაზღვრება სასრულ ფართობს. ფრაქტალის განმარტების გამოყენებით, შეგვიძლია თამამად ვთქვათ, რომ ეს ნაკრები არის ფრაქტალი.

ეს ფიგურა ერთ-ერთი პირველი ფრაქტალია, რომელიც მეცნიერებმა შეისწავლეს. იგი მოდის სამი ეგზემპლარიდან კოხის მრუდი, რომელიც პირველად გამოჩნდა შვედი მათემატიკოსის ჰელგე ფონ კოხის ნაშრომში 1904 წელს. ეს მრუდი გამოიგონეს როგორც უწყვეტი ხაზის მაგალითი, რომელიც არ შეიძლება იყოს ტანგენსი რომელიმე წერტილზე. ამ თვისების ხაზები ადრეც იყო ცნობილი (კარლ ვეიერშტრასმა ააგო თავისი მაგალითი ჯერ კიდევ 1872 წელს), მაგრამ კოხის მრუდი აღსანიშნავია მისი დიზაინის სიმარტივით. შემთხვევითი არ არის, რომ მის სტატიას ჰქვია "უწყვეტი მრუდის შესახებ ტანგენტების გარეშე, რომელიც წარმოიქმნება ელემენტარული გეომეტრიიდან".

ნახატი და ანიმაცია შესანიშნავად აჩვენებს, თუ როგორ არის აგებული კოხის მრუდი ეტაპობრივად. პირველი გამეორება უბრალოდ საწყისი სეგმენტია. შემდეგ იგი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად, ცენტრალური სრულდება, რათა ჩამოყალიბდეს რეგულარული სამკუთხედი და შემდეგ გადმოაგდეს. შედეგი არის მეორე გამეორება - გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ოთხი სეგმენტისგან. იგივე ოპერაცია გამოიყენება თითოეულ მათგანზე და მიიღება მშენებლობის მეოთხე საფეხური. იმავე სულისკვეთებით გააგრძელეთ, შეგიძლიათ მიიღოთ უფრო და უფრო მეტი ახალი ხაზები (ყველა მათგანი იქნება გატეხილი ხაზები). და ის, რაც ხდება ლიმიტში (ეს უკვე წარმოსახვითი ობიექტი იქნება) კოხის მრუდი ეწოდება.

კოხის მრუდის ძირითადი თვისებები

1. უწყვეტია, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი.უხეშად რომ ვთქვათ, სწორედ ამიტომ გამოიგონეს ის - ამ სახის მათემატიკური „ფრიკების“ მაგალითი.

2. აქვს უსასრულო სიგრძე.თავდაპირველი სეგმენტის სიგრძე იყოს 1-ის ტოლი. ყოველი მშენებლობის საფეხურზე ვანაცვლებთ თითოეულ სეგმენტს, რომელიც ქმნის ხაზს გატეხილი ხაზით, რომელიც 4/3-ჯერ გრძელია. ეს ნიშნავს, რომ მთელი გატეხილი ხაზის სიგრძე ყოველ ნაბიჯზე მრავლდება 4/3-ზე: წრფის სიგრძე რიცხვთან ნტოლია (4/3) ნ-1. მაშასადამე, ლიმიტის ხაზს სხვა არჩევანი არ აქვს, გარდა იმისა, რომ იყოს უსასრულოდ გრძელი.

3. კოხის ფიფქია ზღუდავს სასრულ ფართობს.და ეს იმისდა მიუხედავად, რომ მისი პერიმეტრი უსასრულოა. ეს თვისება შეიძლება პარადოქსულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ აშკარაა - ფიფქი მთლიანად ჯდება წრეში, ამიტომ მისი ფართობი აშკარად შეზღუდულია. ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია და ამისათვის სპეციალური ცოდნაც კი არ გჭირდებათ - სკოლაში ისწავლება სამკუთხედის ფართობის ფორმულები და გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი. დაინტერესებულთათვის, გაანგარიშება ჩამოთვლილია ქვემოთ წვრილად.

დაე, თავდაპირველი რეგულარული სამკუთხედის გვერდი ტოლი იყოს ა. მაშინ მისი ფართობია. ჯერ გვერდი არის 1 და ფართობია: . რა ხდება, როდესაც გამეორება იზრდება? შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პატარა ტოლგვერდა სამკუთხედები მიმაგრებულია არსებულ მრავალკუთხედზე. პირველად არის მხოლოდ 3 მათგანი და ყოველ მომდევნო ჯერზე 4-ჯერ მეტია, ვიდრე წინა. ანუ ზე ნმე-6 ნაბიჯი დასრულდება ტნ= 3 4 ნ- 1 სამკუთხედი. თითოეული მათგანის გვერდის სიგრძე არის წინა საფეხურზე დასრულებული სამკუთხედის გვერდის მესამედი. ანუ უდრის (1/3) ნ. ფართობები გვერდების კვადრატების პროპორციულია, ამიტომ თითოეული სამკუთხედის ფართობი არის . დიდი ღირებულებებისთვის ნსხვათა შორის, ეს ძალიან ცოტაა. ამ სამკუთხედების მთლიანი წვლილი ფიფქის ფართობზე არის ტნ · S n= 3/4 · (4/9) ნ · ს 0 . ამიტომ მას შემდეგ ნ-ნაბიჯი, ფიგურის ფართობი ჯამის ტოლი იქნება ს 0 + თ 1 · ს 1 + თ 2 · ს 2 + ... +ტნს ნ = . ფიფქი მიიღება უსასრულო რაოდენობის ნაბიჯების შემდეგ, რაც შეესაბამება ნ→ ∞. შედეგი არის უსასრულო ჯამი, მაგრამ ეს არის კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი; ამის ფორმულა არსებობს: . ფიფქის ფართობი არის.

4. ფრაქტალური განზომილებატოლია log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... . ზუსტი გაანგარიშება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას და დეტალურ ახსნას, ამიტომ აქ არის ფრაქტალური განზომილების განმარტების ილუსტრაცია. ძალაუფლების კანონის ფორმულიდან ნ(δ ) ~ (1/δ )დ, სად ნ- გადაკვეთის კვადრატების რაოდენობა, δ - მათი ზომა და დ- განზომილება, ჩვენ ამას მივიღებთ დ= ჟურნალი 1/ δ N. ეს თანასწორობა მართალია მუდმივის დამატებამდე (იგივე ყველასთვის δ ). ფიგურები გვიჩვენებს კოხის მრუდის აგების მეხუთე განმეორებას; ბადის კვადრატები, რომლებიც იკვეთება მასთან, დაჩრდილულია მწვანედ. თავდაპირველი სეგმენტის სიგრძე არის 1, ასე რომ, ზედა ფიგურაში კვადრატების გვერდის სიგრძეა 1/9. 12 კვადრატი დაჩრდილულია, log 9 12 ≈ 1.130929... . ჯერ ძალიან არ ჰგავს 1.261859-ს... . მოდით უფრო შორს გადავხედოთ. შუა სურათზე კვადრატები ნახევარი ზომისაა, მათი ზომაა 1/18, დაჩრდილული 30. log 18 30 ≈ 1.176733... . უკვე უკეთესი. ქვემოთ, კვადრატები ჯერ კიდევ ნახევრად დიდია, 72 ცალი უკვე მოხატულია. ჟურნალი 72 30 ≈ 1.193426... . კიდევ უფრო ახლოს. შემდეგ თქვენ უნდა გაზარდოთ გამეორების რიცხვი და ამავდროულად შეამციროთ კვადრატები, მაშინ კოხის მრუდის განზომილების „ემპირიული“ მნიშვნელობა სტაბილურად მიუახლოვდება ჟურნალს 3 4 და ლიმიტში ის მთლიანად დაემთხვევა.

კოხის მრუდი არის ფრაქტალის მრუდი, რომელიც აღწერილია 1904 წელს შვედი მათემატიკოსის ჰელგე ფონ კოხის მიერ. კოხის მრუდის სამი ეგზემპლარი, რომელიც აგებულია (მიმართულია გარედან) ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდებზე, ქმნის დახურულ მრუდს, რომელსაც კოხის ფიფქი ეწოდება.

ხანდახან ვგიჟდები, როცა რაიმე სახის გინება მინდა. დაპროგრამეთ პრობლემა. ამჯერად გადავწყვიტე ფრაქტალებით გამეჩხუბა. კერძოდ კოხის ფიფქით.

ფიფქია კოხი

ეს ფრაქტალი ერთ-ერთი პირველია მეცნიერთა მიერ შესწავლილი. იგი მიღებულია კოხის მრუდის სამი ასლიდან, რომელიც პირველად გამოჩნდა შვედი მათემატიკოსის ჰელგე ფონ კოხის ნაშრომში 1904 წელს. ეს მრუდი გამოიგონეს როგორც უწყვეტი ხაზის მაგალითი, რომელიც არ შეიძლება იყოს ტანგენსი რომელიმე წერტილზე.

კოხის მრუდის ძირითადი თვისებები:

  1. ის უწყვეტია, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი.
  2. აქვს უსასრულო სიგრძე. თავდაპირველი სეგმენტის სიგრძე იყოს 1-ის ტოლი. ყოველი მშენებლობის საფეხურზე ვანაცვლებთ თითოეულ სეგმენტს, რომელიც ქმნის ხაზს გატეხილი ხაზით, რომელიც 4/3-ჯერ გრძელია. ეს ნიშნავს, რომ მთელი გატეხილი ხაზის სიგრძე ყოველ საფეხურზე მრავლდება 4/3-ით: n რიცხვით წრფის სიგრძე უდრის (4/3)n–1-ს. მაშასადამე, ლიმიტის ხაზს სხვა არჩევანი არ აქვს, გარდა იმისა, რომ იყოს უსასრულოდ გრძელი.
  3. კოხის ფიფქი ზღუდავს სასრულ ტერიტორიას. და ეს იმისდა მიუხედავად, რომ მისი პერიმეტრი უსასრულოა. ეს თვისება შეიძლება პარადოქსულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ აშკარაა - ფიფქი მთლიანად ჯდება წრეში, ამიტომ მისი ფართობი აშკარად შეზღუდულია.

ცოტა მათემატიკა

ზოგჯერ საკმაოდ საინტერესოა უმარტივესი გინების გახსენება. გარდაქმნები (: ამ შემთხვევაში, საჭირო იყო ცოდნის განახლება ვექტორების და სიბრტყეში წერტილების გარდაქმნების შესახებ.

კერძოდ, როგორ მოვატრიალოთ წერტილი სხვა წერტილთან შედარებით:

კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ იპოვოთ წერტილი სეგმენტზე, რომელიც არის გარკვეული მანძილის წერტილიდან, იცოდეთ ეს მანძილი და წერტილების კოორდინატები. ამდენი მეთოდი არსებობს. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ წერტილების შემცველი ხაზის კოორდინატები და შემდეგ ჩაანაცვლოთ ისინი განტოლებაში. კოორდინატების გამოთვლა შეგიძლიათ ვექტორების გამოყენებით.

ეს რაღაც ასე გამოიყურება.



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: