მხიარული შემთხვევა ცხოვრებიდან. სფერული გეომეტრია რიცხვითი წრის თვისებები

ერთხელ შევესწარი საუბარს ორ განმცხადებელს შორის:

– როდის უნდა დაამატოთ 2πn და როდის უნდა დაამატოთ πn? უბრალოდ არ მახსოვს!

- და მეც იგივე პრობლემა მაქვს.

მე უბრალოდ მინდოდა მეთქვა მათთვის: "თქვენ არ გჭირდებათ დამახსოვრება, მაგრამ გაიგეთ!"

ეს სტატია ძირითადად მიმართულია საშუალო სკოლის მოსწავლეებს და, იმედი მაქვს, დაეხმარება მათ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში „გაგება“:

ნომრის წრე

რიცხვითი წრფის კონცეფციასთან ერთად არის რიცხვითი წრის ცნებაც. Როგორც ვიცით, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრეს, რომელსაც აქვს ცენტრი (0;0) წერტილში და რადიუსი 1, ეწოდება ერთეული წრე.წარმოვიდგინოთ რიცხვითი წრფე თხელ ძაფად და შემოვახვიოთ ამ წრის გარშემო: საწყისს (წერტილს 0) მივამაგრებთ ერთეული წრის „მარჯვნივ“ წერტილს, დადებით ნახევრად ღერძს მოვახვევთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფით ნახევრად. -ღერძი მიმართულებით (ნახ. 1). ასეთ ერთეულ წრეს ციფრული წრე ეწოდება.

რიცხვითი წრის თვისებები

თითოეული რეალური რიცხვი დევს რიცხვთა წრის ერთ წერტილზე.
რიცხვების წრის ყველა წერტილში უსასრულოდ ბევრი რეალური რიცხვია. ვინაიდან ერთეული წრის სიგრძეა 2π, წრის ერთ წერტილში ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის სხვაობა ტოლია ერთ-ერთი რიცხვის ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

მოდით დავასკვნათ: ვიცით A წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი, შეგვიძლია ვიპოვოთ A წერტილის ყველა რიცხვი.

დავხატოთ AC-ის დიამეტრი (ნახ. 2). ვინაიდან x_0 არის A წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი, მაშინ რიცხვები x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... და მხოლოდ ისინი იქნებიან C წერტილის რიცხვები. მოდით ავირჩიოთ ამ რიცხვებიდან ერთი, ვთქვათ, x_0+π და გამოვიყენოთ C წერტილის ყველა რიცხვის ჩასაწერად: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ზ. გაითვალისწინეთ, რომ A და C წერტილების რიცხვები შეიძლება გაერთიანდეს ერთ ფორმულაში: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... ვიღებთ რიცხვებს წერტილი A, ხოლო k = ± 3 … – C წერტილის რიცხვები;

მოდით დავასკვნათ: AC დიამეტრის A ან C წერტილების ერთ-ერთი რიცხვის ცოდნა, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში.

ორი საპირისპირო რიცხვი განლაგებულია წრის წერტილებზე, რომლებიც სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ.

დავხატოთ ვერტიკალური აკორდი AB (სურ. 2). ვინაიდან A და B წერტილები სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ, რიცხვი -x_0 მდებარეობს B წერტილში და, შესაბამისად, B წერტილის ყველა რიცხვი მოცემულია ფორმულით: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. A და B წერტილებში რიცხვებს ვწერთ ერთი ფორმულით: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. მოდით დავასკვნათ: AB ვერტიკალური აკორდის A ან B წერტილების ერთ-ერთი რიცხვის ცოდნით, შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში. განვიხილოთ ჰორიზონტალური აკორდი AD და ვიპოვოთ D წერტილის რიცხვები (ნახ. 2). ვინაიდან BD არის დიამეტრი და რიცხვი -x_0 ეკუთვნის B წერტილს, მაშინ -x_0 + π არის D წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი და, შესაბამისად, ამ წერტილის ყველა რიცხვი მოცემულია x_D=-x_0+π+ ფორმულით. 2πk ,k∈Z. A და D წერტილების რიცხვები შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულით: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … ვიღებთ A წერტილის რიცხვებს, ხოლო k = ±1; ±3; ±5; … - D წერტილის რიცხვებს).

მოდით დავასკვნათ: ვიცით ერთ-ერთი რიცხვი AD ჰორიზონტალური აკორდის ერთ-ერთ A ან D წერტილში, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში.

რიცხვითი წრის თექვსმეტი მთავარი წერტილი

პრაქტიკაში, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმეტესობის ამოხსნა მოიცავს წრეზე თექვსმეტ წერტილს (ნახ. 3). რა არის ეს წერტილები? წითელი, ლურჯი და მწვანე წერტილები წრეს ყოფს 12 თანაბარ ნაწილად. ვინაიდან ნახევარწრის სიგრძე არის π, მაშინ A1A2 რკალის სიგრძეა π/2, A1B1 რკალის სიგრძე π/6, ხოლო A1C1 რკალის სიგრძე π/3.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივუთითოთ თითო ნომერი:

π/3 C1-ზე და

ნარინჯისფერი კვადრატის წვეროები ყოველი მეოთხედის რკალების შუა წერტილებია, შესაბამისად, A1D1 რკალის სიგრძე უდრის π/4 და, შესაბამისად, π/4 არის D1 წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი. რიცხვითი წრის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულები, რომ ჩავწეროთ ყველა რიცხვი ჩვენი წრის ყველა მონიშნულ წერტილზე. ამ წერტილების კოორდინატები ასევე მონიშნულია ფიგურაში (გამოვტოვებთ მათი შეძენის აღწერას).

ზემოაღნიშნულის ათვისების შემდეგ, ახლა გვაქვს საკმარისი მომზადება სპეციალური შემთხვევების გადასაჭრელად (რიცხვის ცხრა მნიშვნელობისთვის ა)უმარტივესი განტოლებები.

განტოლებების ამოხსნა

1)sinx=1⁄(2).

- რა არის საჭირო ჩვენგან?

– იპოვეთ ყველა ის რიცხვი x რომლის სინუსი უდრის 1/2-ს.

გავიხსენოთ სინუსის განმარტება: sinx – რიცხვითი წრის წერტილის ორდინატი, რომელზეც მდებარეობს რიცხვი x. წრეზე გვაქვს ორი წერტილი, რომლის ორდინატი უდრის 1/2-ს. ეს არის ჰორიზონტალური აკორდის B1B2 ბოლოები. ეს ნიშნავს, რომ მოთხოვნა „გადაწყვიტე განტოლება sinx=1⁄2“ ექვივალენტურია მოთხოვნის „იპოვე ყველა რიცხვი B1 წერტილში და ყველა რიცხვი B2 წერტილში“.

2)sinx=-√3⁄2 .

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა რიცხვი C4 და C3 წერტილებში.

3) sinx=1. წრეზე გვაქვს მხოლოდ ერთი წერტილი ორდინატით 1 - წერტილი A2 და, შესაბამისად, უნდა ვიპოვოთ მხოლოდ ამ წერტილის ყველა რიცხვი.

პასუხი: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

მხოლოდ A_4 წერტილს აქვს -1 ორდინატი. ამ წერტილის ყველა რიცხვი იქნება განტოლების ცხენები.

პასუხი: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

წრეზე გვაქვს ორი წერტილი ორდინატით 0 - წერტილები A1 და A3. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ რიცხვები თითოეულ წერტილზე ცალ-ცალკე, მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ეს წერტილები დიამეტრულად საპირისპიროა, უმჯობესია, ისინი ერთ ფორმულაში გავაერთიანოთ: x=πk,k∈Z.

პასუხი: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

გავიხსენოთ კოსინუსის განმარტება: cosx არის წერტილის აბსციზა რიცხვით წრეზე, რომელზეც მდებარეობს რიცხვი x.წრეზე გვაქვს ორი წერტილი აბსცისით √2⁄2 - ჰორიზონტალური აკორდის D1D4 ბოლოები. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებზე. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი, გავაერთიანოთ ისინი ერთ ფორმულაში.

პასუხი: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვები C_2 და C_3 წერტილებში.

პასუხი: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

მხოლოდ A2 და A4 წერტილებს აქვთ აბსცისა 0, რაც ნიშნავს, რომ ყველა რიცხვი თითოეულ ამ წერტილში იქნება განტოლების ამონახსნები.
.

სისტემის განტოლების ამონახსნები არის რიცხვები B_3 და B_4 უტოლობის cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
პასუხი: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

გაითვალისწინეთ, რომ x-ის ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის მეორე ფაქტორი დადებითია და, შესაბამისად, განტოლება სისტემის ექვივალენტურია.

სისტემის განტოლების ამონახსნები არის D_2 და D_3 წერტილების რაოდენობა. D_2 წერტილის რიცხვები არ აკმაყოფილებს sinx≤0.5 უტოლობას, მაგრამ D_3 წერტილის რიცხვები აკმაყოფილებს.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P; 3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 მ , m Z იპოვეთ შემდეგი რიცხვების შესაბამისი წერტილები

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 ლ ), l Z იპოვეთ შემდეგი რიცხვების შესაბამისი წერტილები

1. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის პირველი წერტილი? B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 2. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის პირველი წერტილი? B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 3. დაადგინეთ a და b რიცხვების ნიშნები, თუ: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. რიცხვითი წრის რომელი მეოთხედია წერტილი A. პირველი. B. მეორე C. მეოთხე >0."> title="1. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის პირველი წერტილი? B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 2. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის პირველი წერტილი? B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 3. დაადგინეთ a და b რიცხვების ნიშნები, თუ: A. a>0"> !}

როგორც ჩანს, კაცობრიობის პირველი მიმართვა, რასაც მოგვიანებით სფერული გეომეტრია ეწოდა, იყო ბერძენი მათემატიკოსი ევდოქსის (დაახლოებით 408–355) პლანეტარული თეორია, პლატონის აკადემიის ერთ-ერთი მონაწილე. ეს იყო დედამიწის ირგვლივ პლანეტების მოძრაობის ახსნის მცდელობა ოთხი მბრუნავი კონცენტრული სფეროს დახმარებით, რომელთაგან თითოეულს ჰქონდა ბრუნვის სპეციალური ღერძი, ბოლოებით დამაგრებული მიმდებარე სფეროზე, რომელსაც, თავის მხრივ, ვარსკვლავები ეკავათ. "ფრჩხილი". ამ გზით აიხსნებოდა პლანეტების რთული ტრაექტორიები (ბერძნულიდან თარგმნილი „პლანეტა“ ნიშნავს ხეტიალს). სწორედ ამ მოდელის წყალობით შეძლეს ძველი ბერძენი მეცნიერები პლანეტების მოძრაობის საკმაოდ ზუსტად აღწერა და პროგნოზირება. ეს აუცილებელი იყო, მაგალითად, ნავიგაციაში, ისევე როგორც ბევრ სხვა "მიწიერ" ამოცანებში, სადაც გასათვალისწინებელი იყო, რომ დედამიწა არ არის ბრტყელი ბლინი, რომელიც ეყრდნობა სამ ვეშაპს. სფერულ გეომეტრიაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა მენელაოს ალექსანდრიელმა (დაახლოებით 100 წ.). Მისი სამუშაო სფერულიგახდა ბერძნული მიღწევების მწვერვალი ამ სფეროში. IN სფერიკეგანიხილება სფერული სამკუთხედები - საგანი, რომელიც არ გვხვდება ევკლიდეში. მენელაუსმა ბრტყელი სამკუთხედების ევკლიდეს თეორია გადაიტანა სფეროზე და, სხვა საკითხებთან ერთად, მიიღო პირობა, რომლის დროსაც სფერული სამკუთხედის გვერდებზე სამი წერტილი ან მათი გაფართოება ერთსა და იმავე სწორ ხაზზეა. თვითმფრინავის შესაბამისი თეორემა იმ დროს უკვე ფართოდ იყო ცნობილი, მაგრამ ის გეომეტრიის ისტორიაში შევიდა ზუსტად როგორც მენელაოსის თეორემა და, განსხვავებით პტოლემეოსისგან (დაახლოებით 150 წ.), რომელსაც მრავალი გამოთვლა ჰქონდა თავის ნაშრომებში, მენელაუსის ტრაქტატი არის გეომეტრიული მკაცრად ევკლიდური ტრადიციის სულისკვეთებით.

სფერული გეომეტრიის ძირითადი პრინციპები.

ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც კვეთს სფეროს, ქმნის წრეს განივი კვეთით. თუ სიბრტყე გადის სფეროს ცენტრს, მაშინ განივი მონაკვეთი იწვევს ეგრეთ წოდებულ დიდ წრეს. სფეროს ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით, გარდა დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებისა, შეიძლება გაიხაზოს ერთი დიდი წრე. (გლობუსზე დიდი წრის მაგალითია ეკვატორი და ყველა მერიდიანი.) დიდი წრეების უსასრულო რაოდენობა გადის დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებში. მცირე რკალი AmB(ნახ. 1) დიდი წრის ყველა წრფეა მოცემული წერტილების დამაკავშირებელ სფეროზე. ამ ხაზს ე.წ გეოდეზიური. გეოდეზიური ხაზები იგივე როლს თამაშობენ სფეროზე, როგორც სწორი ხაზები პლანიმეტრიაში. სიბრტყეზე გეომეტრიის მრავალი დებულება ასევე მოქმედებს სფეროზე, მაგრამ, სიბრტყისგან განსხვავებით, ორი სფერული ხაზი იკვეთება ორ დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილზე. ამრიგად, პარალელიზმის ცნება უბრალოდ არ არსებობს სფერულ გეომეტრიაში. კიდევ ერთი განსხვავება ისაა, რომ სფერული ხაზი დახურულია, ე.ი. მოძრაობს მის გასწვრივ იმავე მიმართულებით, ჩვენ დავუბრუნდებით საწყის წერტილს; და კიდევ ერთი გასაკვირი ფაქტი პლანიმეტრიის თვალსაზრისით არის ის, რომ სფეროზე სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს სამივე მართი კუთხე.

ხაზები, სეგმენტები, მანძილი და კუთხეები სფეროზე.

სფეროზე დიდი წრეები სწორ ხაზებად ითვლება. თუ ორი წერტილი მიეკუთვნება დიდ წრეს, მაშინ ამ წერტილების დამაკავშირებელი რკალების სიგრძე განისაზღვრება როგორც სფერული მანძილიამ წერტილებს შორის და თავად რკალი სფერულ სეგმენტს ჰგავს. დიამეტრულად საპირისპირო წერტილები დაკავშირებულია უსასრულო რაოდენობის სფერული სეგმენტებით - დიდი ნახევარწრილებით. სფერული სეგმენტის სიგრძე განისაზღვრება ცენტრალური კუთხის a რადიანის ზომით და სფეროს რადიუსით. რ(ნახ. 2), რკალის სიგრძის ფორმულის მიხედვით უდრის რა. ნებისმიერი წერტილი თანსფერული სეგმენტი ABყოფს მას ორად და მათი სფერული სიგრძის ჯამი, როგორც პლანიმეტრიაში, უდრის მთელი სეგმენტის სიგრძეს, ე.ი. რ AOC+ რ ᲑᲣ= პ AOB. ნებისმიერი წერტილისთვის დსეგმენტის გარეთ ABარსებობს „სფერული სამკუთხედის უტოლობა“: სფერული მანძილების ჯამი დადრე ადა დან დადრე INმეტი AB, ე.ი. რ AOD+ რ DOB> რ AOB, – სრული კორესპონდენცია სფერულ და ბრტყელ გეომეტრიებს შორის. სამკუთხედის უტოლობა ერთ-ერთი ფუნდამენტურია სფერულ გეომეტრიაში, მისგან გამომდინარეობს, რომ, როგორც პლანიმეტრიაში, სფერული სეგმენტი უფრო მოკლეა, ვიდრე ნებისმიერი სფერული გატეხილი ხაზი და, შესაბამისად, ნებისმიერი მრუდი სფეროზე, რომელიც აკავშირებს მის ბოლოებს.

ანალოგიურად, პლანიმეტრიის მრავალი სხვა კონცეფცია შეიძლება გადავიდეს სფეროზე, განსაკუთრებით ის, რაც შეიძლება გამოიხატოს დისტანციებზე. Მაგალითად, სფერული წრე– მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული სფეროს წერტილების ერთობლიობა რ. ადვილია იმის ჩვენება, რომ წრე დევს სფეროს დიამეტრის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში RR` (ნახ. 3), ე.ი. ეს არის ჩვეულებრივი ბრტყელი წრე დიამეტრის ცენტრით RR`. მაგრამ მას აქვს ორი სფერული ცენტრი: რდა რ`. ამ ცენტრებს ჩვეულებრივ უწოდებენ ბოძები. თუ გლობუსს მივუბრუნდებით, დავინახავთ, რომ საუბარია ისეთ წრეებზე, როგორიცაა პარალელები, ხოლო ყველა პარალელის სფერული ცენტრები არის ჩრდილოეთ და სამხრეთ პოლუსები. თუ სფერული წრის დიამეტრი r უდრის p/2, მაშინ სფერული წრე იქცევა სფერულ სწორ ხაზად. (გლობუსზე არის ეკვატორი). ამ შემთხვევაში, ასეთი წრე ეწოდება პოლარულითითოეული წერტილი რდა პ`.

გეომეტრიაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა ფიგურების თანასწორობა. ფიგურები განიხილება თანაბარი, თუ ერთი შეიძლება იყოს ნაჩვენები მეორის თავზე ისე (როტაციითა და თარგმნით), რომ შენარჩუნდეს დისტანციები. ეს ასევე ეხება სფერულ გეომეტრიას.

კუთხეები სფეროზე განისაზღვრება შემდეგნაირად. როდესაც ორი სფერული ხაზი იკვეთება ადა ბსფეროზე წარმოიქმნება ოთხი სფერული ბიგონი, ისევე როგორც სიბრტყეზე ორი გადამკვეთი ხაზი ყოფს მას ოთხ სიბრტყე კუთხედ (ნახ. 4). თითოეულ დიაგონს შეესაბამება დიედრული კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება დიამეტრული სიბრტყეებით, რომლებიც შეიცავს ადა ბ. ხოლო კუთხე სფერულ სწორ ხაზებს შორის უდრის მათ მიერ შექმნილ დიაგონების კუთხეებს შორის პატარას.

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ კუთხე P ABC, რომელიც ჩამოყალიბებულია სფეროზე დიდი წრის ორი რკალით, იზომება P კუთხით ა`ძვ.წ.` წერტილში შესაბამისი რკალების ტანგენტებს შორის IN(ნახ. 5) ან დიედრული კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება სფერული სეგმენტების შემცველი დიამეტრული სიბრტყეებით ABდა მზე.

ისევე, როგორც სტერეომეტრიაში, სფეროს თითოეული წერტილი ასოცირდება სფეროს ცენტრიდან ამ წერტილამდე გამოყვანილ სხივთან, ხოლო სფეროზე ნებისმიერი ფიგურა ასოცირდება მასზე გადაკვეთილი ყველა სხივების გაერთიანებასთან. ამრიგად, სფერული სწორი ხაზი შეესაბამება მის შემცველ დიამეტრულ სიბრტყეს, სფერული სეგმენტი შეესაბამება სიბრტყის კუთხეს, დიგონი შეესაბამება დიედრალურ კუთხეს და სფერული წრე შეესაბამება კონუსურ ზედაპირს, რომლის ღერძი გადის წრის პოლუსებზე.

სფეროს ცენტრში წვეროსანი მრავალწახნაგოვანი კუთხე კვეთს სფეროს სფერული მრავალკუთხედის გასწვრივ (ნახ. 6). ეს არის სფერო სფეროზე, რომელიც შემოიფარგლება სფერული სეგმენტების გატეხილი ხაზით. გატეხილი ხაზის რგოლები სფერული მრავალკუთხედის გვერდებია. მათი სიგრძე უდრის მრავალწახნაგოვანი კუთხის შესაბამისი სიბრტყის კუთხეების მნიშვნელობებს და კუთხის მნიშვნელობას ნებისმიერ წვეროზე. აკიდეზე დიედრული კუთხის ტოლი OA.

სფერული სამკუთხედი.

ყველა სფერულ მრავალკუთხედს შორის ყველაზე დიდი ინტერესი სფერული სამკუთხედია. სამი დიდი წრე, რომლებიც იკვეთება წყვილებში ორ წერტილში, ქმნის რვა სფერულ სამკუთხედს სფეროზე. ერთი მათგანის ელემენტების (გვერდებისა და კუთხეების) ცოდნით, შესაძლებელია ყველა დანარჩენის ელემენტების დადგენა, ამიტომ განვიხილავთ ურთიერთკავშირებს ერთი მათგანის ელემენტებს შორის, რომლის ყველა მხარე დიდის ნახევარზე ნაკლებია. წრე. სამკუთხედის გვერდები იზომება სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეებით OABC, სამკუთხედის კუთხეები იგივე სამკუთხედის ორკუთხედი კუთხეებია (სურ. 7).

სფერული სამკუთხედის მრავალი თვისება (და ისინი ასევე სამკუთხედის თვისებებია) თითქმის მთლიანად იმეორებს ჩვეულებრივი სამკუთხედის თვისებებს. მათ შორის არის სამკუთხედის უტოლობა, რომელიც, სამკუთხედის კუთხით, ამბობს, რომ სამკუთხედის ნებისმიერი სიბრტყე კუთხე ნაკლებია დანარჩენი ორის ჯამზე. ან, მაგალითად, სამკუთხედების თანასწორობის სამი ნიშანი. ზემოაღნიშნული თეორემების ყველა პლანიმეტრიული შედეგი, მათ მტკიცებულებებთან ერთად, ძალაში რჩება სფეროზე. ამრიგად, სეგმენტის ბოლოებიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების სიმრავლე ასევე იქნება მის პერპენდიკულარულ სფეროზე, მის შუაზე გავლის სწორი ხაზი, საიდანაც ირკვევა, რომ ბისექტრები პერპენდიკულარულია სფერული სამკუთხედის გვერდებზე. ABCაქვს საერთო წერტილი, უფრო სწორად, ორი დიამეტრალურად საპირისპირო საერთო წერტილი რდა რ`, რომლებიც მისი ერთადერთი შემოხაზული წრის პოლუსებია (სურ. 8). სტერეომეტრიაში ეს ნიშნავს, რომ კონუსი შეიძლება აღწერილი იყოს ნებისმიერი სამკუთხედის გარშემო. სფეროზე ადვილია გადაიტანო თეორემა იმის შესახებ, რომ სამკუთხედის ბისექტრები იკვეთებიან მისი წრის ცენტრში.

სიმაღლისა და მედიანას კვეთაზე თეორემები ასევე ჭეშმარიტი რჩება, მაგრამ პლანიმეტრიაში მათი ჩვეულებრივი მტკიცებულებები პირდაპირ ან ირიბად იყენებენ პარალელიზმს, რომელიც არ არსებობს სფეროზე და, შესაბამისად, უფრო ადვილია მათი ხელახლა დამტკიცება, სტერეომეტრიის ენაზე. ბრინჯი. ნახაზი 9 ასახავს სფერული მედიანური თეორემის დადასტურებას: სფერული სამკუთხედის მედიანას შემცველი სიბრტყეები ABC, კვეთენ სიბრტყის სამკუთხედს იგივე წვეროებით მისი ჩვეულებრივი შუამავლების გასწვრივ, შესაბამისად, ისინი ყველა შეიცავს სფეროს რადიუსს, რომელიც გადის სიბრტყის შუამავლების გადაკვეთის წერტილში. რადიუსის დასასრული იქნება სამი "სფერული" მედიანის საერთო წერტილი.

სფერული სამკუთხედების თვისებები მრავალმხრივ განსხვავდება სიბრტყეზე არსებული სამკუთხედების თვისებებისგან. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ცნობილ სამ შემთხვევას ემატება მეოთხე: ორი სამკუთხედი. ABCდა А`В`С` ტოლია, თუ სამი კუთხე P ტოლია, შესაბამისად ა= პ ა`, რ IN= პ IN`, რ თან= პ თან`. ამდენად, არ არსებობს მსგავსი სამკუთხედები სფეროზე, უფრო მეტიც, სფერულ გეომეტრიაში არ არსებობს მსგავსების ცნება, რადგან არ არსებობს გარდაქმნები, რომლებიც ცვლის ყველა მანძილს ერთი და იგივე (არა ტოლი) რაოდენობის ჯერ. ეს მახასიათებლები დაკავშირებულია პარალელური წრფეების ევკლიდური აქსიომის დარღვევასთან და ასევე თანდაყოლილია ლობაჩევსკის გეომეტრიაში. სამკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ თანაბარი ელემენტები და განსხვავებული ორიენტაცია, უწოდებენ სიმეტრიულებს, როგორიცაა სამკუთხედები AC`თანდა VSS` (სურ. 10).

ნებისმიერი სფერული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180°-ზე მეტია. განსხვავება პ ა+პ IN+პ თან -გვ = d (იზომება რადიანებში) დადებითი სიდიდეა და მას სფერული ჭარბი ეწოდება მოცემული სფერული სამკუთხედის. სფერული სამკუთხედის ფართობი: S=R 2 d სად რარის სფეროს რადიუსი და d არის სფერული ჭარბი. ეს ფორმულა პირველად გამოაქვეყნა ჰოლანდიელმა ა.ჟირარმა 1629 წელს და მისი სახელი დაარქვა.

თუ განვიხილავთ დიაგონს a კუთხით, მაშინ 226 = 2p/ ნ (n –მთელი რიცხვი) სფერო შეიძლება ზუსტად დაიჭრას პასეთი დიაგონის ასლები და სფეროს ფართობია 4 nR 2 = 4p at რ= 1, ასე რომ, დიაგონის ფართობი არის 4p/ ნ= 2a. ეს ფორმულა ასევე მართალია ა = 2გვ ტ/ნდა ამიტომ ყველასთვის მართალი ა. თუ გავაგრძელებთ სფერული სამკუთხედის გვერდებს ABCდა გამოხატეთ სფეროს ფართობი მიღებული ბიგონების არეებით კუთხეებით ა,IN,თანდა მისი საკუთარი ფართობი, მაშინ შეგვიძლია მივაღწიოთ ზემოთ ჟირარის ფორმულას.

კოორდინატები სფეროზე.

სფეროს თითოეული წერტილი მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვის მითითებით; ეს ნომრები ( კოორდინატები) განისაზღვრება შემდეგნაირად (ნახ. 11). რაღაც დიდი წრე ფიქსირდება QQ` (ეკვატორი), სფეროს დიამეტრის გადაკვეთის ორი წერტილიდან ერთ-ერთი PP`, ეკვატორული სიბრტყის პერპენდიკულარულად, სფეროს ზედაპირით, მაგალითად რ (ბოძი), და ერთ-ერთი დიდი ნახევარწრი PAP` პოლუსიდან გამოსული ( პირველი მერიდიანი). დიდი ნახევარწრეები გამოდის პ, მერიდიანებს უწოდებენ, ეკვატორის პარალელურად პატარა წრეებს, მაგ LL`, – პარალელები. როგორც ერთ-ერთი წერტილის კოორდინატი მსფეროზე აღებულია q კუთხე = POM (წერტილის სიმაღლე), როგორც მეორე – კუთხე j = AONპირველ მერიდიანსა და წერტილში გამავალ მერიდიანს შორის მ (გრძედიქულები, დათვლილია საათის ისრის საწინააღმდეგოდ).

გეოგრაფიაში (გლობუსზე), ჩვეულებრივად გამოიყენება გრინვიჩის მერიდიანი, როგორც პირველი მერიდიანი, რომელიც გადის გრინვიჩის ობსერვატორიის მთავარ დარბაზში (გრინვიჩი არის ლონდონის დაბა), ის დედამიწას ყოფს, შესაბამისად, აღმოსავლეთ და დასავლეთ ნახევარსფეროებად. და გრძედი არის აღმოსავლეთი ან დასავლეთი და იზომება 0-დან 180°-მდე გრინვიჩიდან ორივე მიმართულებით. და გეოგრაფიაში წერტილის სიმაღლის ნაცვლად, ჩვეულებრივ გამოიყენება გრძედი ზე, ე.ი. კუთხე NOM = 90° – q, იზომება ეკვატორიდან. იმიტომ რომ ვინაიდან ეკვატორი დედამიწას ყოფს ჩრდილოეთ და სამხრეთ ნახევარსფეროებად, გრძედი არის ჩრდილოეთი ან სამხრეთი და მერყეობს 0-დან 90°-მდე.

მარინა ფედოსოვა

დასკვნითი სამუშაო მათემატიკაში
მე-10 კლასი
2017 წლის 28 აპრილი
ვარიანტი MA00602
(ძირითადი დონე)
შეავსო: სრული სახელი _______________________________________ კლასი ______
სამუშაოს შესრულების ინსტრუქცია
მათემატიკური სამუშაოს დასასრულებლად გეძლევათ 90 წუთი. Სამუშაო
მოიცავს 15 ამოცანას და შედგება ორი ნაწილისგან.
პასუხი პირველი ნაწილის (1-10) ამოცანებში არის მთელი რიცხვი,
ათობითი წილადი ან რიცხვების თანმიმდევრობა. დაწერეთ თქვენი პასუხი ველში
პასუხი ნაწარმოების ტექსტში.
მეორე ნაწილის მე-11 დავალებაში თქვენ უნდა დაწეროთ პასუხი სპეციალურად
ამისთვის გამოყოფილი ველი.
მეორე ნაწილის 12-14 ამოცანებში უნდა ჩაწეროთ ამოხსნა და უპასუხოთ
ამ მიზნით გათვალისწინებულ სფეროში. პასუხი მე-15 ამოცანაზე არის
ფუნქციის გრაფიკი.
თითოეული დავალება 5 და 11 წარმოდგენილია ორი ვერსიით, რომელთაგან
თქვენ მხოლოდ ერთი უნდა აირჩიოთ და შეასრულოთ.
სამუშაოს შესრულებისას არ შეიძლება სახელმძღვანელოების გამოყენება, მუშაობა
რვეულები, საცნობარო წიგნები, კალკულატორი.
საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მონახაზი. პროექტში ჩანაწერები არ განიხილება ან შეფასდება.
დავალებების შესრულება შეგიძლიათ ნებისმიერი თანმიმდევრობით, მთავარია ეს სწორად გააკეთოთ
რაც შეიძლება მეტი ამოცანის გადაჭრა. ჩვენ გირჩევთ დაზოგოთ დრო
გამოტოვეთ დავალება, რომლის შესრულებაც შეუძლებელია დაუყოვნებლივ და გადადით
შემდეგზე. თუ ყველა სამუშაოს დასრულების შემდეგ ჯერ კიდევ გაქვთ დრო,
თქვენ შეძლებთ გამოტოვებულ დავალებებს დაუბრუნდეთ.
გისურვებთ წარმატებებს!

Ნაწილი 1
1-10 ამოცანებში მიეცით პასუხი მთელი რიცხვის, ათობითი წილადის ან
რიცხვების თანმიმდევრობა. დაწერეთ თქვენი პასუხი ტექსტის პასუხის ველში
მუშაობა.
1

ელექტრო ქვაბზე ფასი 10%-ით გაიზარდა და შეადგინა
1980 რუბლი. რამდენი მანეთი ღირდა ქვაბი ფასის მატებამდე?

ოლეგმა და ტოლიამ სკოლა ერთდროულად დატოვეს და სახლში წავიდნენ
ძვირი. ბიჭები ერთ სახლში ცხოვრობენ. ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი
თითოეულის მოძრაობები: ოლეგი - მყარი ხაზით, ტოლია - წერტილოვანი ხაზით. ავტორი
ვერტიკალური ღერძი აჩვენებს მანძილს (მეტრებში), ჰორიზონტალური ღერძი აჩვენებს მანძილს
მგზავრობის დრო თითოეულისთვის წუთებში.

გრაფიკის გამოყენებით აირჩიეთ სწორი განცხადებები.
1)
2)
3)

ოლეგი სახლში დაბრუნდა ტოლიას წინ.
სკოლიდან სამი წუთის შემდეგ ოლეგი ტოლიას დაეწია.
მთელი მოგზაურობის მანძილზე ბიჭებს შორის მანძილი ნაკლები იყო
100 მეტრი.
4) პირველ ექვს წუთში ბიჭებმა იგივე მანძილი დაფარეს.

პასუხი: __________________________

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

π
π
- 2 ცოდვა 2.
8
8

პასუხი: __________________________
StatGrad 2016−2017 სასწავლო წელი. გამოქვეყნება ონლაინ ან ბეჭდვით
StatGrad-ის წერილობითი თანხმობის გარეშე აკრძალულია

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

ერთეულ წრეზე ორია მონიშნული
დიამეტრულად საპირისპირო წერტილები Pa α და
Pβ, რომელიც შეესაბამება α და კუთხეების მეშვეობით ბრუნვას
β (იხ. სურათი).
შესაძლებელია თუ არა ამის თქმა:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

თქვენს პასუხში მიუთითეთ სწორი განცხადებების ნომრები ინტერვალის, მძიმეებისა და
სხვა დამატებითი სიმბოლოები.
პასუხი: __________________________
აირჩიეთ და შეასრულეთ მხოლოდ ერთი დავალება 5.1 ან 5.2.
5.1

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი
ფუნქცია y  f (x) განსაზღვრულია   3;11 ინტერვალზე.
იპოვეთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა
ფუნქციები  1 სეგმენტზე; 5.

პასუხი: __________________________
5.2

ამოხსენით განტოლება log 2 4 x5  6.

პასუხი: __________________________

StatGrad 2016−2017 სასწავლო წელი. გამოქვეყნება ონლაინ ან ბეჭდვით
StatGrad-ის წერილობითი თანხმობის გარეშე აკრძალულია

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

თვითმფრინავი, რომელიც გადის A, B და C წერტილებზე (იხ.
ფიგურა), ყოფს კუბს ორ პოლიედრად. Ერთ - ერთი
მას აქვს ოთხი მხარე. რამდენი სახე აქვს მეორეს?

პასუხი: __________________________
7

აირჩიეთ სწორი განცხადებების ნომრები.
1)
2)
3)
4)

სივრცეში, წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ ხაზზე, შეგიძლიათ
დახაზეთ სიბრტყე, რომელიც არ კვეთს მოცემულ ხაზს და, უფრო მეტიც, მხოლოდ
ერთი.
სიბრტყისკენ მიდრეკილი დახრილი ხაზი ქმნის იმავე კუთხეს
ყველა სწორი ხაზი დევს ამ სიბრტყეში.
თვითმფრინავის დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერი ორი გადამკვეთი ხაზით.
სივრცის წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ ხაზზე, შეიძლება
დახაზეთ ორი სწორი ხაზი, რომლებიც არ კვეთენ მოცემულ ხაზს.

თქვენს პასუხში მიუთითეთ სწორი განცხადებების ნომრები ინტერვალის, მძიმეებისა და
სხვა დამატებითი სიმბოლოები.
პასუხი: __________________________
8

მეფრინველეობის ფერმაში მხოლოდ ქათმები და იხვებია, ხოლო ქათამი 7-ჯერ მეტია
იხვები იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ფერმა
ჩიტი იხვი აღმოჩნდება.
პასუხი: __________________________

ტილოების სახურავი მდებარეობს 14 კუთხით
ჰორიზონტალურამდე. მანძილი ორ საყრდენს შორის
არის 400 სანტიმეტრი. მაგიდის გამოყენებით,
დაადგინეთ რამდენი სანტიმეტრია ერთი საყრდენი
მეორეზე გრძელი.
α
13
14
15
16
17
18
19

სინ α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

იპოვეთ უმცირესი ბუნებრივი შვიდნიშნა რიცხვი, რომელიც იყოფა 3-ზე,
მაგრამ არ იყოფა 6-ზე და რომლის თითოეული ციფრი მეორედან დაწყებული ნაკლებია
წინა.
პასუხი: __________________________
Მე -2 ნაწილი
მე-11 ამოცანაში ჩაწერეთ თქვენი პასუხი მითითებულ ადგილზე. ამოცანებში
12-14 თქვენ უნდა ჩაწეროთ გამოსავალი და უპასუხოთ სპეციალურად დანიშნულ ადგილას
ამ სფეროსთვის. მე-15 დავალების პასუხი არის ფუნქციის გრაფიკი.
აირჩიეთ და შეასრულეთ მხოლოდ ერთი დავალება: 11.1 ან 11.2.

2
. ჩაწერეთ სამი განსხვავებული შესაძლო მნიშვნელობა
2
ასეთი კუთხეები. გაეცით პასუხი რადიანებში.

იპოვეთ უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც 7 80-ზე მეტია.

კუთხის კოსინუსი არის 

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

სამკუთხედში ABC მონიშნულია გვერდები AB და BC
წერტილები M და K, შესაბამისად, ისე, რომ BM: AB  1: 2 და
BK:BC  2:3. რამდენჯერ არის ABC სამკუთხედის ფართობი?
მეტია MVK სამკუთხედის ფართობზე?

აირჩიეთ a და b რიცხვების რამდენიმე წყვილი ისე, რომ უტოლობა ცული  b  0
დააკმაყოფილა ფიგურაში მონიშნული ხუთი პუნქტიდან ზუსტად სამი.
-1

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

იგივე პროცენტით ორჯერ გაიზარდა რკინის ფასი. ჩართულია
რამდენ პროცენტით იზრდებოდა რკინის ფასი ყოველ ჯერზე თუ იგი
საწყისი ღირებულება 2000 რუბლია, ხოლო საბოლოო ღირებულება 3380 რუბლია?

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

y  f (x) ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:
1) f (x)  3 x  4 2  x  1-ზე;
2) f (x)  x  2 1  x  0-ზე;
3) f (x)  2  2 x 0  x  2;
4) ფუნქცია y  f (x) პერიოდულია მე-4 პერიოდით.
დახაზეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი  6;4 სეგმენტზე.
წ

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: