ინტეგრაციის მეთოდები. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ამოხსნის მეთოდები

ლექცია 12

1 . პირდაპირი ინტეგრაცია – ინტეგრალების გამოთვლა მარტივი ინტეგრალების ცხრილის, ინტეგრაციის წესებისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალების თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი 1. +თან .

გამოყენებული ტრიგონომეტრიის ფორმულა: .

მაგალითი 2.

აქ ხდება ინტეგრანტის აშკარა ტრანსფორმაცია და ინტეგრაციის ცვლადის ნაცვლად X მიღებული გამოთქმა (a–bx), ამ ცვლადთან მიმართებაში მიიღება ტაბულური ინტეგრალი. ამ ტექნიკას ზოგჯერ უწოდებენ " მამოძრავებელი » ზოგიერთი გამოხატვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

ნამდვილად: .


2 . ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი . ჩანაცვლების მეთოდი .

დაე წ=f(x), x X . შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი ტ , აყენებს x=(ტ) , ტ თ, მაშინ წ=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt და

ბოლო გამოხატვის ინტეგრაციის შემდეგ, თქვენ უნდა გადახვიდეთ ძველ ცვლადზე.

ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც ინტეგრანტი რთული ფუნქციაა.

მაგალითი. იპოვნეთ ინტეგრალი : .

გამოსავალი.

1. ცვლადის ჩანაცვლება: x=t/4 , მაშინ dx=dt/4.

ჩანაცვლება X და dx თავდაპირველ ინტეგრალში ვიღებთ:

= .

2. ჩანაცვლება: 4x = ტ , მაშინ dx = dt/4 . იგივე პასუხს ვიღებთ.


3. ინტეგრაციის მეთოდი "ნაწილების მიხედვით" .

შეუშვით შორის X მოცემულია ორი მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქცია u(x) და v(x) .

მოდით დავწეროთ გამოხატულება მათი პროდუქტის დიფერენციალისთვის:

მოდით გავაერთიანოთ მიღებული გამონათქვამის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს გვაძლევს ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულას:


ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი გამოიყენება ინტეგრალების მთელი კლასისთვის, მაგალითად, როდესაც ინტეგრადი შეიცავს:

1) ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც არ არის მარტივი ინტეგრალების ცხრილში:

ან მისი ნამრავლი მრავალწევრით P(x) :

, .

ამ შემთხვევაში, ამისთვის u მიიღოს, შესაბამისად, და ა.შ. და ამისთვის dv - გამომეტყველება პ(x)dx ., ასე რომ, ერთ-ერთი ანტიდერივატი ვ ადვილად შეიძლება განისაზღვროს: ,

(აქ ინტეგრირებისას უნდა გამოტოვოთ თვითნებური მუდმივი);


2) მრავალწევრის ნამრავლი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით ან ექსპონენციალურით: .

ამ შემთხვევაში, ამისთვის u უნდა იქნას მიღებული P(x) და ამისთვის dv - დანარჩენი ინტეგრანტი: exdx, sin xdx, და ა.შ.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ოპერაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბევრჯერ, რაც ზოგჯერ პრობლემის გადაჭრის საშუალებას გაძლევთ.


მაგალითი 1. იპოვნეთ ინტეგრალი .

გამოსავალი.

დავაყენოთ n x = u , dx =dv (Აქ პ(x) =1 ).

მაშინ დუ = დ(n x) =, ვ = =x - ერთ-ერთი ორიგინალი.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენებით,

ჩვენ ვიღებთ:

=xln x – =x ln x – =x ln x – x +C = x(n x – 1 ) +C .

მაგალითი 2.

იპოვნეთ ინტეგრალი .

გამოსავალი.

დაე x =u (P(x) =x ), =დვდუ = , ვ =.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:



=x ცოდვა x – = x ცოდვა x + cos x +C .

მაგალითი 3. იპოვნეთ ინტეგრალი .

გამოსავალი.

დავაყენოთ x =u , e x dx =dv .

მაშინ დუ =dx , ვ =ყოფილი .

=xe x–=xe x – e x= e x (x – 1) +თან.


მაგალითი 4. იპოვნეთ ინტეგრალი .

გამოსავალი.

დავაყენოთ x 2 =u , e x dx =dv .

მაშინ დუ =2xdx , ვ =e x .

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:

=x 2 ∙e x –2 .

მოდით კვლავ გამოვიყენოთ ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით (იხ. მაგალითი 3):

x 2 e x–2 = x 2 ე x- 2 (xe x- e x)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .


4.გაურკვეველი კოეფიციენტის მეთოდი

გამოიყენება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრირებისთვის

სადაც და არის პოლინომები, და მრიცხველის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე (სწორი წილადი), არასწორი წილადი შეიძლება შემცირდეს გარკვეული მრავალწევრისა და სწორი წილადის ჯამამდე პოლინომის მრავალწევრზე გაყოფით.


ალგებრის თეორემით, ხარისხის ყველა მრავალწევრი ნ წამყვანი კოეფიციენტით ერთის ტოლი, რეალური მკაფიო ფესვების მქონე x 1 ,x 2 , ..., x n , შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ასე:

ქ(x )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – xn ).

შემდეგ სწორი წილადი შეიძლება დაიშალოს უფრო მარტივ წილადებად და დაიწეროს:

სად A 1 ,A 2 , ...,A n – ზოგიერთი რიცხვი (გაურკვეველი კოეფიციენტები).


გამოხატვის მარჯვენა მხარის შემცირება საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ კოეფიციენტების გათანაბრება იმავე ხარისხებით X მარცხენა და მარჯვენა მხარის მრიცხველში ვიღებთ განტოლებათა სისტემას უცნობი კოეფიციენტების დასადგენად A 1,A 2, ...,A n .

ამის შემდეგ რაციონალური ფუნქციის ინტეგრაცია მცირდება პოვნამდე ნ ფორმის ინტეგრალები:


მაგალითი. იპოვნეთ ინტეგრალი .

გამოსავალი. ინტეგრადი სწორი წილადია, მოდით დავყოთ ის უფრო მარტივ წილადებად.

მნიშვნელს აქვს რეალური, განსხვავებული ფესვები: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . აქედან გამომდინარე , x3–4x= x(x–2)(x+2 ) ,

რთული ინტეგრალები

ეს სტატია ამთავრებს განუსაზღვრელი ინტეგრალების თემას და მოიცავს ინტეგრალებს, რომლებიც საკმაოდ რთული მეჩვენება. გაკვეთილი შეიქმნა ვიზიტორთა განმეორებითი თხოვნით, რომლებმაც გამოთქვეს სურვილი, რომ უფრო რთული მაგალითები გაანალიზებულიყო საიტზე.

ვარაუდობენ, რომ ამ ტექსტის მკითხველი კარგად არის მომზადებული და იცის როგორ გამოიყენოს ძირითადი ინტეგრაციის ტექნიკა. დუიმებმა და ადამიანებმა, რომლებიც არ არიან ძალიან დარწმუნებული ინტეგრალებში, უნდა მიმართონ პირველ გაკვეთილს - განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები, სადაც შეგიძლიათ თემის ათვისება თითქმის ნულიდან. უფრო გამოცდილ სტუდენტებს შეუძლიათ გაეცნონ ინტეგრაციის ტექნიკასა და მეთოდებს, რომლებიც ჯერ არ შემხვედრია ჩემს სტატიებში.

რა ინტეგრალები იქნება გათვალისწინებული?

პირველ რიგში განვიხილავთ ინტეგრალებს ფესვებთან, რომელთა გადაწყვეტისთვისაც თანმიმდევრულად ვიყენებთ ცვლადი ჩანაცვლებადა ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. ანუ, ერთ მაგალითში ორი ტექნიკა ერთდროულად არის გაერთიანებული. და კიდევ უფრო მეტი.

შემდეგ გავეცნობით საინტერესო და ორიგინალურს ინტეგრალის თავისთვის შემცირების მეთოდი. საკმაოდ ბევრი ინტეგრალი წყდება ამ გზით.

პროგრამის მესამე ნომერი იქნება ინტეგრალები რთული ფრაქციებიდან, რომლებიც წინა სტატიებში გაფრინდნენ სალაროსთან.

მეოთხე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამატებითი ინტეგრალები იქნება გაანალიზებული. კერძოდ, არსებობს მეთოდები, რომლებიც თავიდან აიცილებენ შრომატევადი უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებას.

(2) ინტეგრანდულ ფუნქციაში მრიცხველს ვყოფთ მნიშვნელზე ტერმინით.

(3) ჩვენ ვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებას. ბოლო ინტეგრალში მაშინვე დააყენეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

(4) ვიღებთ დარჩენილ ინტეგრალებს. გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები და არა მოდული, რადგან .

(5) ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას, გამოვხატავთ "te"-ს პირდაპირი ჩანაცვლებიდან:

მაზოხისტი სტუდენტებს შეუძლიათ განასხვავონ პასუხი და მიიღონ ორიგინალური ინტეგრადი, როგორც მე გავაკეთე. არა, არა, შემოწმება გავაკეთე სწორი გაგებით =)

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტის დროს ჩვენ უნდა გამოგვეყენებინა გადაწყვეტის ორზე მეტი მეთოდიც კი, ამიტომ ასეთ ინტეგრალებთან გასამკლავებლად გჭირდებათ ინტეგრაციის დამაჯერებელი უნარები და საკმაოდ დიდი გამოცდილება.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, კვადრატული ფესვი უფრო გავრცელებულია, აქ არის სამი მაგალითი მისი გადასაჭრელად:

მაგალითი 2

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს მაგალითები ერთი და იგივე ტიპისაა, ამიტომ სტატიის ბოლოს სრული გადაწყვეტა იქნება მხოლოდ მაგალით 2-ისთვის. რომელი ჩანაცვლება გამოვიყენოთ გადაწყვეტილების დასაწყისში, ვფიქრობ, აშკარაა. რატომ ავირჩიე იგივე ტიპის მაგალითები? ხშირად გვხვდება მათ როლში. უფრო ხშირად, ალბათ, რაღაც მსგავსი .

მაგრამ არა ყოველთვის, როდესაც არქტანგენტის, სინუსის, კოსინუსის, ექსპონენციალური და სხვა ფუნქციების ქვეშ არის წრფივი ფუნქციის ფესვი, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი ერთდროულად. რიგ შემთხვევებში შესაძლებელია „ადვილად გადმოსვლა“, ანუ ჩანაცვლებისთანავე მიიღება მარტივი ინტეგრალი, რომლის ადვილად აღებაც შესაძლებელია. ზემოთ შემოთავაზებული ამოცანებიდან ყველაზე მარტივია მაგალითი 4, რომელშიც ჩანაცვლების შემდეგ მიიღება შედარებით მარტივი ინტეგრალი.

ინტეგრალის თავისთვის შემცირებით

მახვილგონივრული და ლამაზი მეთოდი. მოდით გადავხედოთ ჟანრის კლასიკას:

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბინომი და ამ მაგალითის ინტეგრირების მცდელობა შეიძლება ჩაიდანს საათობით ატკინოს. ასეთი ინტეგრალი აღებულია ნაწილებად და მცირდება თავისთავად. პრინციპში, ეს არ არის რთული. თუ იცი როგორ.

ავღნიშნოთ განსახილველი ინტეგრალი ლათინური ასოებით და დავიწყოთ ამოხსნა:

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

(1) მოამზადეთ ინტეგრანდული ფუნქცია ტერმინის მიხედვით გაყოფისთვის.

(2) ჩვენ ვყოფთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ტერმინებზე. შეიძლება ყველასთვის გასაგები არ იყოს, მაგრამ უფრო დეტალურად აღვწერ:

(3) ვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებას.

(4) აიღეთ ბოლო ინტეგრალი ("გრძელი" ლოგარითმი).

ახლა მოდით გადავხედოთ გადაწყვეტის თავიდანვე:

და ბოლომდე:

Რა მოხდა? ჩვენი მანიპულაციების შედეგად ინტეგრალი თავისთავად შემცირდა!

გავაიგივოთ დასაწყისი და დასასრული:

გადადით მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით:

და ჩვენ ორს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს. Როგორც შედეგი:

მუდმივი, მკაცრად რომ ვთქვათ, ადრე უნდა დაემატა, მაგრამ ბოლოს დავამატე. კატეგორიულად გირჩევთ წაიკითხოთ რა არის აქ სიმძიმე:

Შენიშვნა: უფრო მკაცრად, გადაწყვეტის საბოლოო ეტაპი ასე გამოიყურება:

ამრიგად:

მუდმივი შეიძლება შეიცვალოს . რატომ შეიძლება მისი ხელახალი დიზაინი? რადგან ის მაინც იღებს ამას ნებისმიერიმნიშვნელობები და ამ თვალსაზრისით არ არის განსხვავება მუდმივებსა და.
Როგორც შედეგი:

მსგავსი ხრიკი მუდმივი რენოტაციით ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები. და იქ ვიქნები მკაცრი. აქ კი ასეთ თავისუფლებას მხოლოდ იმისთვის ვიძლევი, რომ ზედმეტ ნივთებში არ დაგაბნიო და ყურადღება სწორედ ინტეგრაციის მეთოდზე გავამახვილო.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

კიდევ ერთი ტიპიური ინტეგრალი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. წინა მაგალითის პასუხთან განსხვავება იქნება!

თუ კვადრატული ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ტრინომი, მაშინ გამოსავალი ნებისმიერ შემთხვევაში მოდის ორ გაანალიზებულ მაგალითზე.

მაგალითად, განიხილეთ ინტეგრალი . ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის პირველი აირჩიეთ სრული კვადრატი:
.
შემდეგი, ტარდება ხაზოვანი ჩანაცვლება, რომელიც აკეთებს "ყოველგვარი შედეგების გარეშე":
, რის შედეგადაც ინტეგრალური . რაღაც ნაცნობი, არა?

ან ეს მაგალითი, კვადრატული ბინომით:
აირჩიეთ სრული კვადრატი:
ხოლო წრფივი ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ ინტეგრალს, რომელიც ასევე იხსნება უკვე განხილული ალგორითმის გამოყენებით.

მოდით შევხედოთ კიდევ ორ ტიპურ მაგალითს, თუ როგორ შევამციროთ ინტეგრალი საკუთარ თავზე:
– სინუსზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალი;
– კოსინუსზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალი.

ჩამოთვლილ ინტეგრალებში ნაწილების მიხედვით მოგიწევთ ორჯერ ინტეგრირება:

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ინტეგრანტი არის სინუსზე გამრავლებული ექსპონენცია.

ჩვენ ორჯერ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით და ვამცირებთ ინტეგრალს თავისთვის:


ნაწილების მიერ ორმაგი ინტეგრაციის შედეგად, ინტეგრალი თავისთავად შემცირდა. ჩვენ ვატოლებთ ამოხსნის დასაწყისს და დასასრულს:

ჩვენ მას მარცხენა მხარეს ვცვლით ნიშნის ცვლილებით და გამოვხატავთ ჩვენს ინტეგრალს:

მზადაა. ამავდროულად, მიზანშეწონილია სავარცხელი მარჯვენა მხარეს, ე.ი. ამოიღეთ მაჩვენებელი ფრჩხილებიდან და მოათავსეთ სინუსი და კოსინუსი ფრჩხილებში "ლამაზი" თანმიმდევრობით.

ახლა დავუბრუნდეთ მაგალითის საწყისს, უფრო ზუსტად, ნაწილების მიხედვით ინტეგრაციას:

ჩვენ აღვნიშნეთ ექსპონენტი, როგორც. ჩნდება კითხვა: არის თუ არა ის მაჩვენებელი, რომელიც ყოველთვის უნდა აღინიშნოს? Არ არის საჭირო. ფაქტობრივად, განხილულ ინტეგრალში ფუნდამენტურად არ აქვს მნიშვნელობა, რას ვგულისხმობთ , შეგვეძლო სხვა გზით წავსულიყავით:

რატომ არის ეს შესაძლებელი? იმის გამო, რომ ექსპონენცია იქცევა თავის თავში (როგორც დიფერენციაციის, ასევე ინტეგრაციის დროს), სინუსი და კოსინუსი ურთიერთშექცევად იქცევა ერთმანეთში (ისევ, როგორც დიფერენციაციის, ისე ინტეგრაციის დროს).

ანუ შეგვიძლია ტრიგონომეტრიული ფუნქციის აღნიშვნაც. მაგრამ განხილულ მაგალითში ეს ნაკლებად რაციონალურია, რადგან გამოჩნდება წილადები. თუ გსურთ, შეგიძლიათ სცადოთ ამ მაგალითის გადაჭრა მეორე მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სანამ გადაწყვეტთ, იფიქრეთ იმაზე, თუ რა არის ამ შემთხვევაში უფრო ხელსაყრელი აღნიშვნა, როგორც ექსპონენციალური თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია? სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

და, რა თქმა უნდა, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ გაკვეთილზე პასუხების უმეტესობის შემოწმება საკმაოდ მარტივია დიფერენციაციის გზით!

განხილული მაგალითები არ იყო ყველაზე რთული. პრაქტიკაში ინტეგრალები უფრო ხშირია იქ, სადაც მუდმივი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მაჩვენებელშიც და არგუმენტშიც, მაგალითად: . ასეთ ინტეგრალში ბევრი დაიბნევა და მეც ხშირად ვიბნევი. ფაქტია, რომ ხსნარში წილადების გაჩენის დიდი ალბათობაა და უყურადღებობის გამო რაღაცის დაკარგვა ძალიან ადვილია. გარდა ამისა, ნიშნების შეცდომის დიდი ალბათობაა, გაითვალისწინეთ, რომ მაჩვენებელს აქვს მინუს ნიშანი და ეს იწვევს დამატებით სირთულეს.

საბოლოო ეტაპზე, შედეგი ხშირად ასეთია:

ამოხსნის ბოლოსაც კი, ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ და სწორად გაიგოთ წილადები:

რთული წილადების ინტეგრირება

ნელ-ნელა ვუახლოვდებით გაკვეთილის ეკვატორს და ვიწყებთ წილადების ინტეგრალების განხილვას. ისევ და ისევ, ყველა მათგანი არ არის სუპერ კომპლექსური, უბრალოდ, ამა თუ იმ მიზეზის გამო მაგალითები სხვა სტატიებში ცოტა „თემას მიღმა“ იყო.

ფესვების თემის გაგრძელება

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფესვის ქვეშ მნიშვნელში არის კვადრატული ტრინომი პლუს "დანართი" ფესვის გარეთ "X"-ის სახით. ამ ტიპის ინტეგრალი შეიძლება გადაწყდეს სტანდარტული ჩანაცვლების გამოყენებით.

Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩანაცვლება აქ მარტივია:

მოდით შევხედოთ ცხოვრებას ჩანაცვლების შემდეგ:

(1) ჩანაცვლების შემდეგ ვამცირებთ ფესვის ქვეშ არსებულ ტერმინებს საერთო მნიშვნელამდე.
(2) ამოვიღებთ ფესვის ქვემოდან.
(3) მრიცხველი და მნიშვნელი მცირდება . ამავდროულად, ფესვის ქვეშ, მე გადავაწყვე ტერმინები მოსახერხებელი თანმიმდევრობით. გარკვეული გამოცდილებით, ნაბიჯები (1), (2) შეიძლება გამოტოვოთ კომენტარების ზეპირად შესრულებით.
(4) შედეგად მიღებული ინტეგრალი, როგორც გახსოვთ გაკვეთილიდან ზოგიერთი წილადის ინტეგრირება, წყდება სრული კვადრატული მოპოვების მეთოდი. აირჩიეთ სრული კვადრატი.
(5) ინტეგრაციით ვიღებთ ჩვეულებრივ „გრძელ“ ლოგარითმს.
(6) ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას. თუ თავდაპირველად , მაშინ უკან: .
(7) საბოლოო მოქმედება მიზნად ისახავს შედეგის გასწორებას: ფესვის ქვეშ კვლავ მივყავართ ტერმინებს საერთო მნიშვნელამდე და ამოვიღებთ მათ ფესვის ქვეშ.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. აქ მუდმივი ემატება მარტოხელა "X"-ს და ჩანაცვლება თითქმის იგივეა:

ერთადერთი, რაც დამატებით უნდა გააკეთოთ, არის "x"-ის გამოხატვა განხორციელებული ჩანაცვლებიდან:

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ზოგჯერ ასეთ ინტეგრალში შეიძლება იყოს კვადრატული ბინომი ძირის ქვეშ, ეს არ ცვლის ამოხსნის მეთოდს, ეს კიდევ უფრო მარტივი იქნება. Იგრძენი განსხვავება:

მაგალითი 11

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 12

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოკლე გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს. უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითი 11 არის ზუსტად ბინომალური ინტეგრალი, რომლის ამოხსნის მეთოდი განიხილეს კლასში ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები.

მე-2 ხარისხის განუყოფელი მრავალწევრის ინტეგრალი ხარისხამდე

(პოლინომი მნიშვნელში)

ინტეგრალის უფრო იშვიათი ტიპი, მაგრამ მაინც გვხვდება პრაქტიკულ მაგალითებში.

მაგალითი 13

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგრამ დავუბრუნდეთ მაგალითს იღბლიანი ნომრით 13 (სიმართლე გითხრათ, სწორად ვერ ვხვდებოდი). ეს ინტეგრალი ასევე ერთ-ერთია, რომელიც შეიძლება საკმაოდ იმედგაცრუებული იყოს, თუ არ იცით როგორ გადაჭრათ.

გამოსავალი იწყება ხელოვნური ტრანსფორმაციით:

ვფიქრობ, უკვე ყველას ესმის, თუ როგორ უნდა გავყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე ტერმინებით.

შედეგად მიღებული ინტეგრალი აღებულია ნაწილებად:

ფორმის ინტეგრალისთვის ( – ნატურალური რიცხვი) გამოვიყვანთ განმეორებადიშემცირების ფორმულა:
, სად – ერთი ხარისხით დაბალი ინტეგრალი.

მოდით გადავამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა ამოხსნილი ინტეგრალისთვის.
ამ შემთხვევაში: , , ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, პასუხები იგივეა.

მაგალითი 14

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნიმუშის ხსნარი იყენებს ზემოთ მოცემულ ფორმულას ზედიზედ ორჯერ.

თუ ხარისხის ქვეშ არის განუყოფელიკვადრატული ტრინომი, მაშინ გამოსავალი მცირდება ბინომად სრულყოფილი კვადრატის იზოლირებით, მაგალითად:

რა მოხდება, თუ მრიცხველში არის დამატებითი მრავალწევრი? ამ შემთხვევაში გამოიყენება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი და ინტეგრანდული ფუნქცია გაფართოებულია წილადების ჯამად. მაგრამ ჩემს პრაქტიკაში არის ასეთი მაგალითი არასოდეს შეხვედრია, ამიტომ გამომრჩა ეს საქმე სტატიაში წილად-რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები, ახლა გამოვტოვებ. თუ მაინც შეგხვდათ ასეთი ინტეგრალი, გადახედეთ სახელმძღვანელოს - იქ ყველაფერი მარტივია. არა მგონია მიზანშეწონილი იყოს მასალის (თუნდაც უბრალო) ჩართვა, რომლის შეხვედრის ალბათობა ნულისკენ არის მიდრეკილი.

რთული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრირება

ზედსართავი სახელი „კომპლექსი“ უმეტეს მაგალითებში კვლავ დიდწილად პირობითია. დავიწყოთ მაღალი სიმძლავრის ტანგენტებითა და კოტანგენტებით. გამოყენებული ამოხსნის მეთოდების თვალსაზრისით, ტანგენსი და კოტანგენსი თითქმის ერთი და იგივეა, ამიტომ უფრო მეტს ვისაუბრებ ტანგენსზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ ინტეგრალის ამოხსნის დემონსტრირებული მეთოდი მოქმედებს კოტანგენსისთვისაც.

ზემოთ გაკვეთილზე ჩვენ შევხედეთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებატრიგონომეტრიული ფუნქციების გარკვეული ტიპის ინტეგრალების ამოხსნისთვის. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მინუსი არის ის, რომ მისი გამოყენება ხშირად იწვევს რთულ ინტეგრალებს რთული გამოთვლებით. და ზოგიერთ შემთხვევაში, უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების თავიდან აცილება შესაძლებელია!

განვიხილოთ კიდევ ერთი კანონიკური მაგალითი, ერთის ინტეგრალი, რომელიც იყოფა სინუსზე:

მაგალითი 17

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება და მიიღოთ პასუხი, მაგრამ არსებობს უფრო რაციონალური გზა. მე გთავაზობთ სრულ გადაწყვეტას კომენტარებით თითოეული ნაბიჯისთვის:

(1) ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას ორმაგი კუთხის სინუსისთვის.
(2) ვახორციელებთ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას: გავყოთ მნიშვნელში და გავამრავლოთ .
(3) მნიშვნელში ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, წილადს ვაქცევთ ტანგენტად.
(4) ფუნქციას მივყავართ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
(5) აიღეთ ინტეგრალი.

რამდენიმე მარტივი მაგალითი, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

მაგალითი 18

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

შენიშვნა: პირველივე ნაბიჯი უნდა იყოს შემცირების ფორმულის გამოყენება და ფრთხილად განახორციელეთ წინა მაგალითის მსგავსი მოქმედებები.

მაგალითი 19

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ისე, ეს ძალიან მარტივი მაგალითია.

შეავსეთ გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

ვფიქრობ, ახლა ინტეგრალებთან პრობლემა არავის ექნება:
და ასე შემდეგ.

რა არის მეთოდის იდეა? იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ გამოვიყენოთ გარდაქმნები და ტრიგონომეტრიული ფორმულები, რათა მოაწყოთ მხოლოდ ტანგენტები და ტანგენტების წარმოებული ინტეგრანდში. ანუ, ჩვენ ვსაუბრობთ ჩანაცვლებაზე: . მაგალითებში 17-19 ჩვენ რეალურად გამოვიყენეთ ეს ჩანაცვლება, მაგრამ ინტეგრალები იმდენად მარტივი იყო, რომ მივიღეთ ეკვივალენტური მოქმედებით - ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

მსგავსი მსჯელობა, როგორც უკვე აღვნიშნე, შეიძლება განხორციელდეს კოტანგენსისთვის.

ასევე არსებობს ფორმალური წინაპირობა ზემოაღნიშნული ჩანაცვლების გამოყენებისთვის:

კოსინუსის და სინუსის ხარისხების ჯამი არის უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი, Მაგალითად:

ინტეგრალისთვის - უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი.

! შენიშვნა : თუ ინტეგრანი შეიცავს მხოლოდ სინუსს ან მხოლოდ კოსინუსს, მაშინ ინტეგრალი ასევე აღებულია უარყოფითი კენტი ხარისხისთვის (უმარტივესი შემთხვევები მოცემულია მაგალითებში No17, 18).

მოდით გადავხედოთ ამ წესზე დაფუძნებულ კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვან ამოცანას:

მაგალითი 20

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

სინუსის და კოსინუსის ხარისხების ჯამი: 2 – 6 = –4 არის უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი შეიძლება შემცირდეს ტანგენტებამდე და მის წარმოებულებამდე:

(1) გადავცვალოთ მნიშვნელი.
(2) კარგად ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ .
(3) გადავცვალოთ მნიშვნელი.
(4) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .
(5) ფუნქციას მივყავართ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
(6) ჩვენ ვახორციელებთ ჩანაცვლებას. უფრო გამოცდილმა მოსწავლეებმა შეიძლება ვერ განახორციელონ ჩანაცვლება, მაგრამ მაინც ჯობია ტანგენსი ერთი ასოთი ჩაანაცვლოთ - დაბნეულობის რისკი ნაკლებია.

მაგალითი 21

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

დარჩით, ჩემპიონატის ტურები იწყება =)

ხშირად ინტეგრანდში შეიცავს „ჰოჯპოჯს“:

მაგალითი 22

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს ინტეგრალი თავდაპირველად შეიცავს ტანგენტს, რომელიც მაშინვე მივყავართ უკვე ნაცნობ აზრამდე:

თავიდანვე დავტოვებ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას და დარჩენილ ნაბიჯებს კომენტარის გარეშე, რადგან ზემოთ უკვე განვიხილეთ ყველაფერი.

რამდენიმე კრეატიული მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 23

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 24

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

დიახ, მათში, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეამციროთ სინუსის და კოსინუსის ძალა და გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, მაგრამ გამოსავალი ბევრად უფრო ეფექტური და მოკლე იქნება, თუ ის განხორციელდება ტანგენტების საშუალებით. სრული ამოხსნა და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

მოცემულ X ინტერვალში დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), ან f(x-ის ინტეგრალი), თუ ყოველ x ∈X-ზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F" (x) = f(x). (8.1)

მოცემული ფუნქციისთვის ყველა ანტიწარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება ინტეგრაცია. განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) მოცემულ ინტერვალზე X არის ყველა ანტიწარმოებული ფუნქციის სიმრავლე f(x) ფუნქციისთვის; დანიშნულება -

თუ F(x) არის f(x) ფუნქციის ზოგიერთი ანტიწარმოებული, მაშინ ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ინტეგრალების ცხრილი

პირდაპირ განმარტებიდან ვიღებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ძირითად თვისებებს და ცხრილის ინტეგრალების ჩამონათვალს:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

ცხრილის ინტეგრალების სია

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (მ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = არქტანი x + C

8. = რკალი x + C

10. = - ctg x + C

ცვლადის ჩანაცვლება

მრავალი ფუნქციის ინტეგრირებისთვის გამოიყენეთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი ან ჩანაცვლებები,საშუალებას გაძლევთ დაიყვანოთ ინტეგრალები ცხრილის სახით.

თუ ფუნქცია f(z) უწყვეტია [α,β]-ზე, z =g(x) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული და α ≤ g(x) ≤ β, მაშინ

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

უფრო მეტიც, მარჯვენა მხარეს ინტეგრაციის შემდეგ უნდა გაკეთდეს ჩანაცვლება z=g(x).

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია ორიგინალური ინტეგრალის დაწერა ფორმაში:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Მაგალითად:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

მოდით, u = f(x) და v = g(x) იყოს ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი . შემდეგ, სამუშაოს მიხედვით,

d(uv))= udv + vdu ან udv = d(uv) - ვდუ.

d(uv) გამოხატვისთვის, ანტიწარმოებული აშკარად იქნება uv, ამიტომ ფორმულა მოქმედებს:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ეს ფორმულა გამოხატავს წესს ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. udv=uv"dx გამოხატვის ინტეგრაციას მივყავართ vdu=vu"dx გამოხატვის ინტეგრაციამდე.

მოდით, მაგალითად, გსურთ იპოვოთ ∫xcosx dx. მოდით დავაყენოთ u = x, dv = cosxdx, ამიტომ du=dx, v=sinx. მაშინ

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესს აქვს უფრო შეზღუდული ფარგლები, ვიდრე ცვლადების ჩანაცვლება. მაგრამ არსებობს ინტეგრალების მთელი კლასები, მაგალითად,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax და სხვა, რომლებიც გამოითვლება ზუსტად ინტეგრაციის გამოყენებით ნაწილების მიხედვით.

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება წარმოდგენილია შემდეგნაირად. მოდით, ინტერვალზე განისაზღვროს ფუნქცია f(x). მოდით დავყოთ სეგმენტი [a,b] ნნაწილები წერტილებით a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i ფორმის ჯამი ეწოდება განუყოფელი ჯამი, და მისი ზღვარი λ = maxΔx i → 0, თუ ის არსებობს და სასრულია, ე.წ. განსაზღვრული ინტეგრალიფუნქციები f(x) of აადრე ბდა დანიშნულია:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ფუნქცია f(x) ამ შემთხვევაში ეწოდება ინტეგრირებადი ინტერვალზე, რიცხვები a და b ეწოდება ინტეგრალის ქვედა და ზედა საზღვრები.

შემდეგი თვისებები მართალია გარკვეული ინტეგრალისთვის:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

ბოლო ქონება ე.წ საშუალო ღირებულების თეორემა.

ვთქვათ f(x) უწყვეტი იყოს . შემდეგ ამ სეგმენტზე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

∫f(x)dx = F(x) + C

და ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, აკავშირებს განსაზღვრულ ინტეგრალს განუსაზღვრელ ინტეგრალთან:

F(b) - F(a). (8.6)

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან მრუდით y=f(x), სწორი ხაზებით x=a და x=b და ღერძის სეგმენტი. ოქსი.

არასწორი ინტეგრალები

უსასრულო საზღვრების მქონე ინტეგრალები და უწყვეტი (შეუზღუდავი) ფუნქციების ინტეგრალები ე.წ. არა შენი. პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები -ეს არის ინტეგრალები უსასრულო ინტერვალზე, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(8.7)

თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ მას უწოდებენ f(x)-ის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი[a,+ ∞) ინტერვალზე და გამოიძახეთ ფუნქცია f(x). ინტეგრირებადი უსასრულო ინტერვალით[a,+ ∞). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი ითვლება არ არსებობს ან განსხვავდება.

არასწორი ინტეგრალები ინტერვალებზე (-∞,b] და (-∞, + ∞) ანალოგიურად არის განსაზღვრული:

მოდით განვსაზღვროთ შეუზღუდავი ფუნქციის ინტეგრალის კონცეფცია. თუ f(x) უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის xსეგმენტი, გარდა c წერტილისა, სადაც f(x)-ს აქვს უსასრულო შეუწყვეტლობა, მაშინ მეორე სახის არასწორი ინტეგრალი f(x) დაწყებული a-დან b-მდეთანხას ჰქვია:

თუ ეს საზღვრები არსებობს და სასრულია. Დანიშნულება:

ინტეგრალური გამოთვლების მაგალითები

მაგალითი 3.30.გამოთვალეთ ∫dx/(x+2).

გამოსავალი.ავღნიშნოთ t = x+2, შემდეგ dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

მაგალითი 3.31. იპოვეთ ∫ tgxdx.

გამოსავალი.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. მოდით t=cosx, შემდეგ ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

მაგალითი3.32 . იპოვეთ ∫dx/sinx

გამოსავალი.

მაგალითი3.33. იპოვე .

გამოსავალი. = .

მაგალითი3.34 . იპოვეთ ∫arctgxdx.

გამოსავალი. მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ავღნიშნოთ u=arctgx, dv=dx. მაშინ du = dx/(x 2 +1), v=x, საიდანაც ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; რადგან
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

მაგალითი3.35 . გამოთვალეთ ∫lnxdx.

გამოსავალი.ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. შემდეგ ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

მაგალითი3.36 . გამოთვალეთ ∫e x sinxdx.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ u = e x, dv = sinxdx, შემდეგ du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ ∫e x cosxdx ინტეგრალს ნაწილებით: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ჩვენ გვაქვს:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. მივიღეთ მიმართება ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, საიდანაც 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

მაგალითი 3.37. გამოთვალეთ J = ∫cos(lnx)dx/x.

გამოსავალი.ვინაიდან dx/x = dlnx, მაშინ J= ∫cos(lnx)d(lnx). თუ შევცვლით lnx-ს t-ით, მივიღებთ ცხრილის ინტეგრალს J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

მაგალითი 3.38 . გამოთვალეთ J =.

გამოსავალი.იმის გათვალისწინებით, რომ = d(lnx), ჩვენ ვცვლით lnx = t. შემდეგ J = .

მაგალითი 3.39 . გამოთვალეთ ინტეგრალი J = .

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს: . ამიტომ =
=
=. შეყვანილია ასე: sqrt(tan(x/2)).

და თუ შედეგის ფანჯარაში დააწკაპუნებთ ზედა მარჯვენა კუთხეში ნაბიჯების ჩვენებას, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.

ამ ინტეგრალის გამოსათვლელად, თუ ეს შესაძლებელია, ამა თუ იმ მეთოდის გამოყენებით, უნდა დავიყვანოთ იგი ცხრილის ინტეგრალამდე და ამით ვიპოვოთ სასურველი შედეგი. ჩვენს კურსში განვიხილავთ მხოლოდ რამდენიმე ყველაზე გავრცელებულ ინტეგრაციის ტექნიკას და მივუთითებთ მათ გამოყენებას უმარტივეს მაგალითებზე.

ინტეგრაციის ყველაზე მნიშვნელოვანი მეთოდებია:
1) პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი (გაფართოების მეთოდი),
2) ჩანაცვლების მეთოდი (ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი),
3) ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი.

I. პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი

მრავალი ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პრობლემა წყდება ცხრილის ერთ-ერთ ინტეგრალამდე მათი შემცირებით.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

მაგალითი 3. ∫sin 2 xdx

ვინაიდან sin 2 x=(1-cos2x), მაშინ
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

მაგალითი 4. ∫sinxcos3xdx

ვინაიდან sinxcos3x=(sin4x-sin2x), გვაქვს
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

მაგალითი 5. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

მაგალითი 6.

II. ჩანაცვლების მეთოდი (ინტეგრაცია ცვლადის ცვლილებით)

თუ x=φ(t) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული, მაშინ მოცემულ განუსაზღვრელ ინტეგრალში ∫f(x)dx ყოველთვის შეგიძლიათ გადახვიდეთ ახალ t ცვლადზე ფორმულის გამოყენებით.

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

შემდეგ იპოვნეთ ინტეგრალი მარჯვენა მხრიდან და დაუბრუნდით საწყის ცვლადს. ამ შემთხვევაში, ინტეგრალი ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს შეიძლება აღმოჩნდეს უფრო მარტივი, ვიდრე ინტეგრალი ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს, ან თუნდაც ცხრილი. ინტეგრალის პოვნის ამ მეთოდს ცვლადის მეთოდის შეცვლა ეწოდება.

მაგალითი 7. ∫x√x-5dx

ფესვის მოსაშორებლად ვაყენებთ √x-5=t. აქედან გამომდინარე, x=t 2 +5 და შესაბამისად dx=2tdt. ჩანაცვლების განხორციელებისას ჩვენ მუდმივად გვაქვს:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

მაგალითი 8.

მას შემდეგ, ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 9.

მაგალითი 10. ∫e -x 3 x 2 dx

გამოვიყენოთ ჩანაცვლება -x 3 =t. მაშინ გვაქვს -3x 2 dx=dt და ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

მაგალითი 11.

გამოვიყენოთ ჩანაცვლება 1+sinx=t , შემდეგ cosxdx=dt და

III. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი ეფუძნება შემდეგ ფორმულას:

∫udv=uv-∫vdu

სადაც u(x),v(x) განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქციებია. ფორმულას ეწოდება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა. ეს ფორმულა გვიჩვენებს, რომ ინტეგრალი ∫udv მივყავართ ინტეგრალურ ∫vdu-მდე, რომელიც შეიძლება აღმოჩნდეს უფრო მარტივი ვიდრე ორიგინალი, ან თუნდაც ცხრილი.

მაგალითი 12. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫xe -2x dx

პირდაპირი ინტეგრაცია

ძირითადი ინტეგრაციის ფორმულები

1. C – მუდმივი 1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

ინტეგრალების გამოთვლა მარტივი ინტეგრალების ცხრილისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალების ძირითადი თვისებების პირდაპირი გამოყენებით ე.წ. პირდაპირი ინტეგრაცია.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

მაგალითი 3.

ეს არის რთული ფუნქციის ინტეგრირების ყველაზე გავრცელებული მეთოდი, რომელიც შედგება ინტეგრალის სხვა ინტეგრაციის ცვლადზე გადასვლის გზით.

თუ ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით რთულია ინტეგრალის ტაბულამდე შემცირება, მაშინ ამ შემთხვევაში გამოიყენება ჩანაცვლების მეთოდი. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ახალი ცვლადის შემოღებით შესაძლებელია ამ ინტეგრალის შემცირება ახალ ინტეგრალამდე, რაც შედარებით ადვილია უშუალოდ აღება.

ჩანაცვლების მეთოდით ინტეგრაციისთვის გამოიყენეთ გადაწყვეტის სქემა:

2) იპოვნეთ განსხვავება ორივე შემცვლელი ნაწილისგან;

3) მთელი ინტეგრადის გამოხატვა ახალი ცვლადის მეშვეობით (რის შემდეგაც უნდა მივიღოთ ცხრილის ინტეგრალი);

4) იპოვეთ მიღებული ცხრილის ინტეგრალი;

5) შეასრულეთ საპირისპირო შეცვლა.

იპოვნეთ ინტეგრალები:

მაგალითი 1 . Ცვლილება:cosx=t,-sinxdx=dt,

გამოსავალი:

მაგალითი 2.∫e -x3 x 2 dx Ცვლილება:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, გამოსავალი:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

მაგალითი 3.Ცვლილება: 1+sinx=t, cosxdx=dt,

გამოსავალი: .

ნაწილი 1.5. განსაზღვრული ინტეგრალი, მისი გამოთვლის მეთოდები.

პუნქტი 1 განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება

დავალება.იპოვეთ ფუნქციის ნამატი, რომელიც არის ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), არგუმენტის გავლისას xღირებულებიდან არომ შეაფასო ბ.

გამოსავალი. დავუშვათ, რომ ინტეგრაციამ აღმოაჩინა: ∫ (x)dx = F(x)+C.

მაშინ F(x)+C 1, სად C 1- ნებისმიერი მოცემული რიცხვი იქნება ამ ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატიული ფუნქცია f(x). ვიპოვოთ მისი ზრდა, როდესაც არგუმენტი გადადის მნიშვნელობიდან არომ შეაფასო ბ. ჩვენ ვიღებთ:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

როგორც ვხედავთ, ანტიდერივატიული ფუნქციის გაზრდის გამოხატულებაში F(x)+C 1არ არის მუდმივი მნიშვნელობა C 1. და რადგან ქვეშ C 1ნებისმიერი მოცემული რიცხვი იყო ნაგულისხმევი, მიღებული შედეგი მივყავართ შემდეგ დასკვნამდე: არგუმენტის გადასვლაზე x ღირებულებიდან x=aრომ შეაფასო x=bყველა ფუნქცია F(x)+C, ანტიწარმოებულები მოცემული ფუნქციისთვის f(x), აქვს იგივე ნამატის ტოლი F(b)-F(a).



ამ ნამატს ჩვეულებრივ უწოდებენ განსაზღვრულ ინტეგრალსდა აღინიშნება სიმბოლოთი: და წაიკითხეთ: განუყოფელი of აადრე ბ f(x) ფუნქციიდან dх ან, მოკლედ, ინტეგრალი აადრე ბ f(x)dx-დან.

ნომერი ადაურეკა ქვედა ზღვარიინტეგრაცია, ნომერი ბ - ზედა; სეგმენტი a ≤ x ≤ b – ინტეგრაციის სეგმენტი.ვარაუდობენ, რომ ინტეგრატის ფუნქცია f(x)უწყვეტი ყველა მნიშვნელობისთვის xპირობებს აკმაყოფილებს: აxბ

განმარტება. ანტიდერივატიული ფუნქციების ზრდა F(x)+Cარგუმენტის გადასვლაზე xღირებულებიდან x=aრომ შეაფასო x=b, სხვაობის ტოლი F(b)-F(a), ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალი და აღინიშნება სიმბოლოთი: ისე, რომ თუ ∫ (x)dx = F(x)+C, შემდეგ = F(b)-F(a) -მოცემული თანასწორობას ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ეწოდება.

პუნქტი 2 განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები

ყველა თვისება ჩამოყალიბებულია იმ წინადადებაში, რომ განხილული ფუნქციები ინტეგრირებულია შესაბამის ინტერვალებში.

პუნქტი 3 განსაზღვრული ინტეგრალის პირდაპირი გამოთვლა

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოსათვლელად, როდესაც შეგიძლიათ იპოვოთ შესაბამისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი, გამოიყენეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

იმათ. განსაზღვრული ინტეგრალი უდრის სხვაობას ნებისმიერი ანტიდერივატიული ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ინტეგრაციის ზედა და ქვედა საზღვრებზე.

ეს ფორმულა გვიჩვენებს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის პროცედურას:

1) იპოვეთ ამ ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი;

2) მიღებულ ანტიწარმოებულში, არგუმენტის ნაცვლად ჩაანაცვლეთ ინტეგრალის ჯერ ზედა და შემდეგ ქვედა ზღვარი;

3) ქვედა ზღვრის ჩანაცვლების შედეგი გამოვაკლოთ ზედა ზღვრის ჩანაცვლების შედეგს.

მაგალითი 1:გამოთვალეთ ინტეგრალი:

მაგალითი 2:გამოთვალეთ ინტეგრალი:

გვ.4 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ჩანაცვლების მეთოდით

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ჩანაცვლების მეთოდით ასეთია:

1) ინტეგრადის ნაწილის შეცვლა ახალი ცვლადით;

2) განსაზღვრული ინტეგრალის ახალი ზღვრების პოვნა;

3) იპოვნეთ განსხვავება ორივე შემცვლელი ნაწილისგან;

4) მთელი ინტეგრადის გამოხატვა ახალი ცვლადის საშუალებით (რის შემდეგაც უნდა მივიღოთ ცხრილის ინტეგრალი); 5) გამოთვალეთ მიღებული განსაზღვრული ინტეგრალი.

მაგალითი 1:გამოთვალეთ ინტეგრალი:

Ცვლილება: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

ნაწილი 1.6. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

მოხრილი ტრაპეციის ფართობი:

ცნობილია, რომ სეგმენტზე განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს მრუდი ტრაპეციის ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება f(x) ფუნქციის გრაფიკით.

გარკვეული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით, თუ ცნობილია ამ ხაზების განტოლებები.

მოდით სეგმენტზე [a; b] უწყვეტი ფუნქცია მოცემულია y = ƒ(x) ≥ 0. ვიპოვოთ ამ ტრაპეციის ფართობი.

0 ღერძით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი x, ორი ვერტიკალური სწორი ხაზი x = a, x = bდა y = ƒ(x) ფუნქციის გრაფიკი (ფიგურა), რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:

ეს არის განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

მაგალითი 1: გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

გამოსავალი: დავხატოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება y=0 განსაზღვრავს Ox ღერძს).

პასუხი: S = 9 ერთეული 2

მაგალითი 2: გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y= - e x, x=1 და კოორდინატთა ღერძები.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი.
თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ, მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

ნაწილი 1.7. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება

გვ.1 ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოთვლა

თუ მოხრილი ტრაპეცია არის Ox ღერძის გვერდით და სწორი ხაზები y=a, y=b და ფუნქციის გრაფიკი y= F(x) (ნახ. 1), შემდეგ რევოლუციის სხეულის მოცულობა განისაზღვრება ინტეგრალის შემცველი ფორმულით.

რევოლუციის სხეულის მოცულობა უდრის:

მაგალითი:

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც შემოიფარგლება Ox ღერძის გარშემო წრფის ბრუნვის ზედაპირით 0≤ x ≤4-ზე.

გამოსავალი:ვ

ერთეული 3. პასუხი: განყოფილება 3.

ნაწილი 3.1. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები

პუნქტი 1 დიფერენციალური განტოლების ცნება

განმარტება. დიფერენციალური განტოლებაარის განტოლება, რომელიც შეიცავს ცვლადების სიმრავლისა და მათი წარმოებულების ფუნქციას.

ასეთი განტოლების ზოგადი ფორმაა =0, სადაც F არის მისი არგუმენტების ცნობილი ფუნქცია, მითითებული ფიქსირებულ დომენში; x - დამოუკიდებელი ცვლადი (ცვლადი, რომლითაც იგი დიფერენცირებულია y - დამოკიდებული ცვლადი (რომლისგანაც აღებულია წარმოებულები და ის, რომელიც უნდა განისაზღვროს); - დამოკიდებული ცვლადის y წარმოებული x დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

პუნქტი 2 დიფერენციალური განტოლების ძირითადი ცნებები

Წესითდიფერენციალური განტოლების ეწოდება მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

Მაგალითად:

მეორე რიგის განტოლება არის პირველი რიგის განტოლება.

ნებისმიერ ფუნქციას, რომელიც აკავშირებს ცვლადებს და აქცევს დიფერენციალურ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში, ეწოდება გადაწყვეტილებადიფერენციალური განტოლება.

ზოგადი გამოსავალიპირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების არის ფუნქცია და თვითნებური მუდმივი C, რომელიც აქცევს ამ განტოლებას იდენტურად.

ზოგადი ამონახსნი, რომელიც დაწერილია იმპლიციტური ფორმით =0, ეწოდება ზოგადი ინტეგრალი.

პირადი გადაწყვეტილებაგანტოლება =0 არის ფიქსირებული მნიშვნელობის - ფიქსირებული რიცხვის ზოგადი ამონახსნებიდან მიღებული ამონახსნი.

n-ე რიგის დიფერენციალური განტოლების (n= 1,2,3,...) კონკრეტული ამონახსნის პოვნის ამოცანა, რომელიც აკმაყოფილებს ფორმის საწყის პირობებს.

დაურეკა კუშის პრობლემა.

პუნქტი 3 პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას უწოდებენ განცალკევებულ განტოლებას, თუ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ისე, როგორც შეიძლება გადაიწეროს როგორც . თუ . მოდით გავაერთიანოთ: .

ამ ტიპის განტოლების ამოსახსნელად გჭირდებათ:

1. ცვლადების გამოყოფა;

2. განტოლების განცალკევებულ ცვლადებთან ინტეგრირებით იპოვეთ ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნები;

3. იპოვეთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს (თუ ისინი მოცემულია).

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება. იპოვეთ კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს y=4 პირობას x=-2-ზე.

გამოსავალი:ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. ინტეგრირებისას ვპოულობთ განტოლების ზოგად ამოხსნას: . უფრო მარტივი ზოგადი ამოხსნის მისაღებად, ჩვენ წარმოვადგენთ მუდმივ წევრს მარჯვენა მხარეს სახით C/2. ჩვენ გვაქვს ან არის ზოგადი გამოსავალი. y=4 და x=-2 მნიშვნელობების ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით მივიღებთ 16=4+C, საიდანაც C=12.

ასე რომ, განტოლების კონკრეტულ ამოხსნას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობას, აქვს ფორმა

მაგალითი 2.იპოვეთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი თუ .

გამოსავალი:, , , , , საერთო გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვცვლით x და y მნიშვნელობებს კერძო ამონახსნით: , , კერძო ამონახსნით.

მაგალითი 3.იპოვნეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი . გამოსავალი:,, , - საერთო გადაწყვეტილება.

პუნქტი 4 პირველზე მაღალი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

ფორმის ან განტოლება წყდება ორმაგი ინტეგრაციით: , , საიდანაც . ამ ფუნქციის ინტეგრირების შემდეგ ვიღებთ f(x) ახალ ფუნქციას, რომელსაც ვნიშნავთ F(x-ით). ამრიგად, ; . მოდით კიდევ ერთხელ გავაერთიანოთ: ან y=Ф(x). ჩვენ მივიღეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი, რომელიც შეიცავს ორ თვითნებურ მუდმივას და .

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:, , ,

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება . გამოსავალი: , , .

ნაწილი 3.2. ნომრების სერია, მისი წევრები

განმარტება 1.ნომრების სერიაეწოდება ფორმის გამოხატულება ++…++…, (1)

სად, ,…, ,… - რიცხვები, რომლებიც მიეკუთვნება კონკრეტულ რიცხვთა სისტემას.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ რეალურ სერიებზე, რომლისთვისაც R,რთული სერიების შესახებ, რომლისთვისაც C, ი= 1, 2, …, ნ,... = =.

ნაწილი 3.3. ალბათობის თეორიის საფუძვლები და მათემატიკური სტატისტიკა



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: