თანაპირდაპირი რიცხვები - განმარტება, მაგალითები და თვისებები.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

ეს ნაშრომი მიზნად ისახავს ახსნას ახალი თემა. მასწავლებელი თავისი შეხედულებისამებრ ირჩევს პრაქტიკულ და საშინაო დავალებებს.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი.

ახსნის პროგრესი

სლაიდი 1. უდიდესი საერთო გამყოფი.

ზეპირი სამუშაო.

1. გამოთვალეთ:

ა) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

ბ) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

პასუხები: ა) 8; ბ) 3.

2. უარყავით განცხადება: რიცხვი „2“ არის ყველა რიცხვის საერთო გამყოფი“.

ცხადია, კენტი რიცხვები არ იყოფა 2-ზე.

3. რა ეწოდება რიცხვებს, რომლებიც 2-ის ჯერადი არიან?

4. დაასახელეთ რიცხვი, რომელიც არის რომელიმე რიცხვის გამყოფი.

Წერილობით.

1. რიცხვი 2376 ფაქტორებად უბრალო ფაქტორებად.

2. იპოვე 18-ისა და 60-ის ყველა საერთო გამყოფი.

რა არის 18-ისა და 60-ის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.

შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ რა რიცხვს ჰქვია ორი ნატურალური რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი

წესი. უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომელიც შეიძლება დაიყოს ნაშთის გარეშე, ეწოდება უდიდესი საერთო გამყოფი.

ისინი წერენ: GCD (18; 60) = 6.

გთხოვთ მითხრათ, არის თუ არა მოსახერხებელი GCD-ის პოვნის განხილული მეთოდი?

რიცხვები შეიძლება იყოს ძალიან დიდი და მათთვის რთულია ყველა გამყოფის ჩამოთვლა.

შევეცადოთ ვიპოვოთ სხვა გზა GCD-ის მოსაძებნად.

მოდით დავშალოთ რიცხვები 18 და 60 მარტივ ფაქტორებად:

18 =

მიეცით 18 რიცხვის გამყოფების მაგალითები.

ნომრები: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

მიეცით 60 რიცხვის გამყოფების მაგალითები.

ნომრები: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; ოცდაათი; 60.

მიეცით მაგალითები საერთო გამყოფებინომრები 18 და 60.

ნომრები: 1; 2; 3; 6.

როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ 18-ისა და 60-ის უდიდესი საერთო გამყოფი?

ალგორითმი.

1. ამ რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.

2. შეადარეთ რიცხვების მამრავლები და გადახაზეთ სხვადასხვა.

3. გამოთვალეთ დარჩენილი ფაქტორების ნამრავლი.

სლაიდი 4. ორმხრივად მარტივი რიცხვები.

ვარჯიში. იპოვეთ 24 და 35 რიცხვების GCD.

წესი. ნატურალურ რიცხვებზე ამბობენ, რომ თანაპირობითია, თუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი არის 1.

Ეს საინტერესოა!

• 18 რიცხვის გამყოფები: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
• 60-ის გამყოფები: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; ოცდაათი; 60.
• GCD (18;60) = 6.
• 6-ის გამყოფები: 1; 2; 3; 6.
• გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 1; 2; 3; 6 არის 18-ისა და 60-ის საერთო გამყოფები.
• მაგალითად, GCD (108; 196) = 4. ასე რომ, დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ 108 და 196 რიცხვების საერთო გამყოფები არის რიცხვი 4-ის, ანუ 1-ის გამყოფები; 2; 4.

gcd რიცხვის (a;b) თითოეული გამყოფი არის a და b რიცხვების საერთო გამყოფი და, პირიქით, მათი თითოეული საერთო გამყოფი არის gcd რიცხვის (a;b) გამყოფი.

ამ სტატიაში მოცემული ინფორმაცია მოიცავს თემას " შედარებით მარტივი რიცხვები". პირველ რიგში მოცემულია ორი თანმხლები რიცხვის განმარტება, ასევე სამი ან მეტი თანმხლები რიცხვის განმარტება. ამას მოჰყვება თანმხლები რიცხვების მაგალითები და როგორ უნდა დავამტკიცოთ, რომ მოცემული რიცხვები თანაპრომიულია. გარდა ამისა, ჩამოთვლილია და დადასტურდა თანაპრომტ რიცხვების ძირითადი თვისებები. დასასრულს, ნახსენებია წყვილი მარტივი რიცხვები, რადგან ისინი მჭიდრო კავშირშია თანაპირველ რიცხვებთან.

გვერდის ნავიგაცია.

ხშირად არის ამოცანები, რომლებშიც საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ მოცემული მთელი რიცხვები თანაპრიმია. მტკიცებულება ემყარება მოცემული რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის გამოთვლას და gcd-ის ტოლობის შემოწმებას ერთთან. ასევე სასარგებლოა მარტივი რიცხვების ცხრილის შესწავლა GCD-ის გამოთვლამდე: მოულოდნელად თავდაპირველი მთელი რიცხვები მარტივია და ჩვენ ვიცით, რომ მარტივი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის ერთს. განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

დაადასტურეთ, რომ 84 და 275 რიცხვები ერთპიროვნულია.

გამოსავალი.

ცხადია, ეს რიცხვები არ არის მარტივი, ასე რომ, ჩვენ არ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ვისაუბროთ 84 და 275 რიცხვების ურთიერთსიმარტივობაზე და მოგვიწევს GCD-ის გამოთვლა. გამოიყენეთ ევკლიდური ალგორითმი GCD-ს საპოვნელად: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , შესაბამისად gcd (84, 275)=1. ეს ადასტურებს, რომ რიცხვები 84 და 275 თანაპირდაპირია.

თანაპირდაპირი რიცხვების განმარტება შეიძლება გავრცელდეს სამ ან მეტ რიცხვზე.

განმარტება.

მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , ..., a k , k>2 ეწოდება კოპრაიმთუ ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ერთის ტოლია.

ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მთელი რიცხვების გარკვეულ სიმრავლეს აქვს დადებითი საერთო გამყოფი, გარდა ერთისა, მაშინ ეს რიცხვები არ არის თანაპირველი.

მოვიყვანოთ მაგალითები. სამი მთელი რიცხვი -99 , 17 და -27 არის თანაპრომი. მარტივი რიცხვების ნებისმიერი კოლექცია ქმნის შედარებით მარტივი რიცხვების ერთობლიობას, მაგალითად, 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 და 677 შედარებით მარტივი რიცხვებია. და ოთხი რიცხვი 12, −9, 900 და −72 შედარებით მარტივი არ არის, რადგან მათ აქვთ დადებითი საერთო გამყოფი 3, რომელიც განსხვავდება 1-ისგან. რიცხვები 17, 85 და 187 ასევე არ არის ერთპიროვნული, რადგან თითოეული მათგანი იყოფა 17-ზე.

როგორც წესი, შორს არის ცხადი, რომ ზოგიერთი რიცხვი თანაპირდაპირია და ეს ფაქტი უნდა დადასტურდეს. იმის გასარკვევად, არის თუ არა ეს რიცხვები თანმხლები, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვების ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი და თანაპრამიანი რიცხვების განსაზღვრებიდან გამომდინარე, გამოიტანოთ დასკვნა.

მაგალითი.

331 , 463 და 733 რიცხვები შედარებით მარტივია?

გამოსავალი.

მარტივი რიცხვების ცხრილის დათვალიერებისას აღმოვაჩენთ, რომ თითოეული რიცხვი 331, 463 და 733 არის მარტივი. აქედან გამომდინარე, მათ აქვთ ერთი დადებითი საერთო გამყოფი, ერთი. ამრიგად, სამი რიცხვი 331, 463 და 733 შედარებით მარტივი რიცხვებია.

პასუხი:

დიახ.

მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ რიცხვები −14 , 105 , −2 107 და −91 არ არის თანაპირველი.

გამოსავალი.

იმის დასამტკიცებლად, რომ ეს რიცხვები არ არის თანაპრომიტი, შეგიძლიათ იპოვოთ მათი gcd და დარწმუნდეთ, რომ ის არ არის ერთის ტოლი. მოდით გავაკეთოთ ეს.

ვინაიდან უარყოფითი მთელი რიცხვების გამყოფები იგივეა, რაც შესაბამისის გამყოფები, მაშინ gcd(−14, 105, 2107, −91)= gcd(14, 105, 2 107, 91) . მივუბრუნდეთ სტატიის მასალას, ვიპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, აღმოვაჩენთ, რომ GCD(14, 105, 2 107, 91)=7. მაშასადამე, თავდაპირველი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის შვიდი, ასე რომ, ეს რიცხვები არ არის თანაპირველი რიცხვები.

თანაპირდაპირი რიცხვების თვისებები

Coprime რიცხვებს აქვთ მთელი რიგი თვისებები. განვიხილოთ მთავარი კოპრაიმ თვისებები.

რიცხვები, რომლებიც მიღებულია a და b რიცხვების მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფით, არის თანაპირველი, ანუ a:gcd(a, b) და b:gcd(a, b) არის თანაპირისპირა.

ჩვენ დავამტკიცეთ ეს თვისება, როდესაც გავაანალიზეთ GCD-ის თვისებები.

თანაპირდაპირი რიცხვების განხილული თვისება საშუალებას იძლევა ვიპოვოთ თანაპირდაპირი რიცხვების წყვილი. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვი და გავყოთ ისინი უდიდეს საერთო გამყოფზე, შედეგად მიღებული რიცხვები იქნება თანაპრომიტი.

იმისათვის, რომ a და b მთელი რიცხვები იყოს თანაპრომიტი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ არსებობდეს ისეთი მთელი რიცხვები u 0 და v 0, რომ a·u 0 +b·v 0 =1 .

ჯერ დავამტკიცოთ აუცილებლობა.

მოდით, რიცხვები a და b იყოს თანაპირდაპირი. მაშინ თანაპირდაპირი რიცხვების განმარტებით gcd(a, b)=1 . და gcd-ის თვისებებიდან ვიცით, რომ a და b რიცხვებისთვის Bezout მიმართება a u 0 +b v 0 =gcd(a, b) მართალია. ამიტომ, a·u 0 +b·v 0 =1 .

რჩება საკმარისიობის დამტკიცება.

დაე, ტოლობა a·u 0 +b·v 0 =1 იყოს ჭეშმარიტი. ვინაიდან gcd(a, b) ყოფს როგორც a-ს, ასევე b-ს, მაშინ gcd(a, b) გაყოფის თვისებების გამო უნდა გაყოს ჯამი a u 0 + b v 0 და, შესაბამისად, ერთეული. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც gcd(a, b)=1. მაშასადამე, a და b არის თანმხლები რიცხვები.

თანაპირდაპირი რიცხვების შემდეგი თვისებაა ეს: თუ a და b რიცხვები თანაპირდაპირია და a c ნამრავლი იყოფა b-ზე, მაშინ c იყოფა b-ზე.

მართლაც, რადგან a და b არის თანაპრომიტეტები, წინა თვისებიდან გვაქვს ტოლობა a u 0 +b v 0 =1 . ამ ტოლობის ორივე მხარე c-ზე გავამრავლოთ, მივიღებთ a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. a c u 0 +b c v 0 ჯამის პირველი წევრი იყოფა b-ზე, რადგან a c იყოფა b-ზე პირობით, ამ ჯამის მეორე წევრი ასევე იყოფა b-ზე, რადგან ერთ-ერთი ფაქტორი უდრის b-ს, შესაბამისად, მთელი ჯამი იყოფა b-ზე. და რადგან ჯამი a·c·u 0 +b·c·v 0 უდრის c-ს, მაშინ c ასევე იყოფა b-ზე.

თუ რიცხვები a და b შედარებით მარტივია, მაშინ gcd(a c, b)=gcd(c, b) .

მოდით ვაჩვენოთ, ჯერ ერთი, რომ gcd(a c, b) ყოფს gcd(c, b) და მეორეც, რომ gcd(c, b) ყოფს gcd(a c, b) , ეს დაამტკიცებს ტოლობას gcd(a c, b) =gcd(c, b) .

GCD(a c, b) ყოფს c-საც და b-საც და რადგან gcd(a c, b) ყოფს b-ს, ის ასევე ყოფს b c. ანუ gcd(a c, b) ყოფს c-საც და b c-საც, შესაბამისად, უდიდესი საერთო გამყოფის თვისებების გამო ყოფს ასევე gcd(a c, b c) , რომელიც gcd-ის თვისებებით არის cc gcd(a). , ბ)=გ. ამრიგად, gcd(a c, b) ყოფს როგორც b, ასევე c, შესაბამისად gcd(c, b) ასევე იყოფა.

მეორეს მხრივ, gcd(c, b) ყოფს c-საც და b-საც და რადგანაც ყოფს c-ს, ის ასევე ყოფს a c-საც. ასე რომ, gcd(c, b) ყოფს c-საც და b-საც, შესაბამისად gcd(a c, b) ასევე იყოფა.

ასე რომ, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ gcd(a c, b) და gcd(c, b) ერთმანეთს ყოფენ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ტოლები არიან.

თუ თითოეული რიცხვი a 1 , a 2 , ..., a k არის თანაპირველი b 1 , b 2 , …, b m (სადაც k და m არის რამდენიმე). მთელი რიცხვები), მაშინ a 1 a 2 ... a k და b 1 b 2 ... b m მრავლობითი რიცხვებია, კერძოდ, თუ a 1 =a 2 =...=a k =a და b 1 =b 2 = …=b m =b , შემდეგ a k და b m არის თანაპირისპირული რიცხვები.

თანაპირდაპირი რიცხვების წინა თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ფორმის ტოლობების სერია GCD(a 1 a 2 ... a k, b m)= GCD(a 2 ... a k, b m)=…= GCD(a k, b m)=1, სადაც ბოლო გადასვლა შესაძლებელია, რადგან a k და b m არის თანაპირისპირული რიცხვები ვარაუდით. Ისე, GCD(a 1 a 2 ... a k, b m)=1.

ახლა, აღვნიშნავთ 1 ·a 2 ·…·a k =A, გვაქვს
GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= GCD(b 1 b 2 ... b m, A)=
=gcd(b 2 ... b m, A)=... =gcd(b m, A)=1
(ბოლო გარდამავალი ძალაშია, წინა აბზაცის ბოლო თანასწორობის მიხედვით). ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ თანასწორობა GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, რომელიც ამტკიცებს, რომ a 1 ·a 2 ·…·a k და b 1 ·b 2 ·…·b m მრავლობითი რიცხვებია.

ამით მთავრდება თანაპრომიტი რიცხვების ძირითადი თვისებების მიმოხილვა.

დაწყვილებული პირველი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

თანპირობითი რიცხვების მიხედვით მოცემულია წყვილ-წყვილად მარტივი რიცხვების განმარტება.

განმარტება.

მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , ..., a k , რომელთაგან თითოეული თანაპირველია ყველა დანარჩენთან, ეწოდება წყვილი მარტივი რიცხვები.

მოვიყვანოთ წყვილი მარტივი რიცხვების მაგალითი. 14, 9, 17 და -25 რიცხვები წყვილში მარტივია, რადგან 14 და 9, 14 და 17, 14 და -25, 9 და 17, 9 და -25, 17 და -25 რიცხვების წყვილი თანაპირდაპირი რიცხვებია. აქვე აღვნიშნავთ, რომ წყვილში მყოფი მარტივი რიცხვები ყოველთვის თანაპირდაპირია.

მეორეს მხრივ, შედარებით მარტივი რიცხვები ყოველთვის არ არის წყვილში მარტივი, ეს დასტურდება შემდეგი მაგალითით. რიცხვები 8, 16, 5 და 15 არ არის წყვილში მარტივი, რადგან 8 და 16 რიცხვები არ არის თანაპირველი. თუმცა, რიცხვები 8, 16, 5 და 15 არის თანაპირველი. ასე რომ, 8, 16, 5 და 15 შედარებით მარტივი რიცხვებია, მაგრამ არა წყვილში მარტივი.

აუცილებელია ხაზი გავუსვა მარტივი რიცხვების გარკვეული რაოდენობის სიმრავლეს. ეს რიცხვები ყოველთვის არის როგორც თანმხლები, ასევე წყვილის მარტივი. მაგალითად, 71 , 443 , 857 , 991 არის როგორც წყვილში, ასევე მარტივი რიცხვები.

ისიც ნათელია, რომ როდის ჩვენ ვსაუბრობთდაახლოებით ორი მთელი რიცხვი, შემდეგ მათთვის ცნებები "წყვილური პირველი" და "coprime" ემთხვევა.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა.. ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელოფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.

რა არის თანაპირდაპირი რიცხვები?

კოპრიმი რიცხვების განმარტება

თანაპირდაპირი რიცხვების განმარტება:

Coprime რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებსაც ერთის გარდა არ აქვთ საერთო გამყოფები.

კოპირი რიცხვების მაგალითები

Coprime მაგალითი:

2-ს და 3-ს ერთის გარდა სხვა საერთო გამყოფები არ აქვთ.

შედარებით მარტივი რიცხვების კიდევ ერთი მაგალითი:

3-ს და 7-ს ერთის გარდა სხვა საერთო გამყოფები არ აქვთ.

თანაპრაიმ რიცხვების კიდევ ერთი მაგალითი:

11-სა და 13-ს ერთის გარდა სხვა საერთო გამყოფები არ აქვთ.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვუპასუხოთ კითხვას, თუ რას ნიშნავს თანმხლები რიცხვები.

რას ნიშნავს თანაპრიმა რიცხვი?

ეს არის მთელი რიცხვები, რომლებსაც ერთის გარდა საერთო გამყოფები არ აქვთ.

ორი თანაპირველი რიცხვი

თითოეული ეს წყვილი ორი შედარებით მარტივი რიცხვია.

11 და 15
15 და 16
16 და 23

ერთობლივი რიცხვების საერთო გამყოფები

თანაპრამების საერთო გამყოფები მხოლოდ ერთია, როგორც ამას თანხმობის განმარტებებიდან მოჰყვება.

თანაპირდაპირი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი

თანაპრაიმების ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის ერთი, როგორც ამას თანხმობის განმარტებიდან მოჰყვება.

რიცხვები შედარებით მარტივია?

არის თუ არა 3 და 13 რიცხვები თანაპირდაპირი? დიახ, რადგან მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები, გარდა ერთისა.

3 და 12 რიცხვები ერთპიროვნულია? არა, იმიტომ რომ მათ აქვთ საერთო გამყოფები 1 და 3. ხოლო თანაპრომიტი რიცხვების განმარტებით მხოლოდ ერთი უნდა იყოს საერთო გამყოფი.

არის თუ არა 3 და 108 რიცხვები ერთპიროვნული? არა, იმიტომ რომ მათ აქვთ საერთო გამყოფები 1 და 3. ხოლო თანაპრომიტი რიცხვების განმარტებით მხოლოდ ერთი უნდა იყოს საერთო გამყოფი.

არის თუ არა 108 და 5 რიცხვები ერთპიროვნული? დიახ, რადგან მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები, გარდა ერთისა.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• წმიდა მიროს მატარებელი ქალების დღე;
• ვნების მატარებელი ევგენი ბოტკინი მოწამე ევგენი ბოტკინი;
• სასულიერო რეპი: ჩუვაშური "ოხლობისტინი" ასწავლის მოზარდებს სიყვარულსა და თავმდაბლობას რეჩიტატივით;
• ეპარქიული მისიონერული კურსები: ლექცია პროტოდიაკონის მისიონერულ მოღვაწეობაზე ა;
• როგორ გავიგოთ, რა მოსწონს მორიელს;
• Zombie Apocalypse ონლაინ მეგობრებთან ერთად;
• ონლაინ თამაშები Zombie Apocalypse თამაში;
• პრობლემები ფიფას თამაშის დაწყებასთან დაკავშირებით;