რა შედის რიცხვის ცნებაში. უდიდესი საერთო მრავალჯერადი და უმცირესი საერთო გამყოფი

ამ სტატიაში ჩვენ დავიწყებთ შესწავლას რაციონალური რიცხვი. აქ განვსაზღვრავთ რაციონალური რიცხვი, მიეცით საჭირო განმარტებები და მოიყვანეთ რაციონალური რიცხვების მაგალითები. ამის შემდეგ ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვროთ მოცემული რიცხვი რაციონალურია თუ არა.

გვერდის ნავიგაცია.

რაციონალური რიცხვების განმარტება და მაგალითები

ამ ქვეთავში ჩვენ ვაძლევთ რაციონალური რიცხვების რამდენიმე განმარტებას. ფორმულირებაში განსხვავებების მიუხედავად, ყველა ამ განმარტებას ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს: რაციონალური რიცხვები აერთიანებს მთელ და წილად რიცხვებს, ისევე როგორც მთელი რიცხვები აერთიანებს ბუნებრივ რიცხვებს, მათ საპირისპირო რიცხვებს და რიცხვს ნულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაციონალური რიცხვები განაზოგადებენ მთელ რიცხვებს და წილადი რიცხვები.

დავიწყოთ იმით რაციონალური რიცხვების განმარტებებირომელიც ყველაზე ბუნებრივად აღიქმება.

გაჟღერებული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ რაციონალური რიცხვია:

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი n . მართლაც, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი, მაგალითად, 3=3/1.
ნებისმიერი მთელი რიცხვი, კერძოდ რიცხვი ნული. მართლაც, ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს როგორც დადებითი საერთო წილადი, როგორც უარყოფითი საერთო წილადი ან როგორც ნული. მაგალითად, 26=26/1, .
ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი (დადებითი ან უარყოფითი). ეს პირდაპირ არის ნათქვამი რაციონალური რიცხვების მოცემული განმარტებით.
ნებისმიერი შერეული რიცხვი. მართლაც, ყოველთვის შესაძლებელია შერეული რიცხვის წარმოდგენა არასწორ საერთო წილადად. მაგალითად და.
ნებისმიერი სასრული ათობითი ან უსასრულო პერიოდული წილადი. ეს იმიტომ ხდება, რომ მითითებული ათობითი წილადები გარდაიქმნება ჩვეულებრივ წილადებად. მაგალითად, და 0,(3)=1/3.

ასევე ნათელია, რომ ნებისმიერი უსასრულო არაპერიოდული ათობითიეს არ არის რაციონალური რიცხვი, რადგან არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად მოვიტანოთ რაციონალური რიცხვების მაგალითები. რიცხვები 4, 903, 100,321 რაციონალური რიცხვებია, რადგან ისინი ნატურალური რიცხვებია. მთელი რიცხვები 58 , −72 , 0 , −833 333 333 ასევე რაციონალური რიცხვების მაგალითებია. ჩვეულებრივი წილადები 4/9, 99/3, ასევე რაციონალური რიცხვების მაგალითებია. რაციონალური რიცხვები ასევე რიცხვებია.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს, რომ არსებობს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რაციონალური რიცხვები, ხოლო რაციონალური რიცხვი ნული არ არის არც დადებითი და არც უარყოფითი.

რაციონალური რიცხვების ზემოაღნიშნული განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს უფრო მოკლე ფორმით.

განმარტება.

Რაციონალური რიცხვიზარის ნომრები, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს წილადად z/n, სადაც z არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ბუნებრივი რიცხვი.

დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვების ეს განმარტება წინა განმარტების ექვივალენტურია. ვიცით, რომ წილადის ზოლი შეგვიძლია მივიჩნიოთ გაყოფის ნიშნად, შემდეგ მთელი რიცხვების გაყოფის თვისებებიდან და მთელი რიცხვების გაყოფის წესებიდან გამომდინარეობს შემდეგი ტოლობები და . ამრიგად, რაც არის მტკიცებულება.

მოვიყვანოთ რაციონალური რიცხვების მაგალითები ამ განმარტებას. რიცხვები −5 , 0 , 3 და რაციონალური რიცხვებია, ვინაიდან ისინი შეიძლება დაიწეროს წილადებად მთელი რიცხვით და ფორმის ბუნებრივი მნიშვნელით და შესაბამისად.

რაციონალური რიცხვების განმარტება ასევე შეიძლება მოცემული იყოს შემდეგი ფორმულირებით.

განმარტება.

Რაციონალური რიცხვიარის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს როგორც სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი.

ეს განმარტება ასევე ექვივალენტურია პირველი განმარტებისა, რადგან ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი შეესაბამება სასრულ ან პერიოდულ ათწილად წილადს და პირიქით, და ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს ათწილადის წილადთან ნულებით ათწილადის შემდეგ.

მაგალითად, რიცხვები 5 , 0 , −13 , რაციონალური რიცხვების მაგალითებია, რადგან ისინი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი ათწილადების სახით 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 და −7,(18) .

ჩვენ ვასრულებთ ამ ნაწილის თეორიას შემდეგი განცხადებებით:

მთელი და წილადი რიცხვები (დადებითი და უარყოფითი) ქმნიან რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს;
ყოველი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით მთელი რიცხვითა და ბუნებრივი მნიშვნელით და ყოველი ასეთი წილადი არის რაციონალური რიცხვი;
ყველა რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი და თითოეული ასეთი წილადი წარმოადგენს რაღაც რაციონალურ რიცხვს.

ეს რიცხვი რაციონალურია?

წინა აბზაცში გავარკვიეთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი, ნებისმიერი შერეული რიცხვი, ნებისმიერი საბოლოო ათობითი წილადი და ასევე ნებისმიერი პერიოდული ათობითი წილადი რაციონალური რიცხვია. ეს ცოდნა საშუალებას გვაძლევს, რაციონალური რიცხვები „ამოვიცნოთ“ დაწერილი რიცხვების სიმრავლიდან.

მაგრამ რა მოხდება, თუ რიცხვი მოცემულია როგორც ზოგიერთი, ან როგორც და ა.შ., როგორ ვუპასუხოთ კითხვას, არის თუ არა მოცემული რიცხვი რაციონალური? ხშირ შემთხვევაში მასზე პასუხის გაცემა ძალიან რთულია. მოდით აღვნიშნოთ აზროვნების მიმდინარეობის რამდენიმე მიმართულება.

თუ რიცხვი მითითებულია, როგორც რიცხვითი გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს მხოლოდ რაციონალურ რიცხვებს და არითმეტიკულ ნიშნებს (+, −, · და:), მაშინ ამ გამოხატვის მნიშვნელობა არის რაციონალური რიცხვი. ეს გამომდინარეობს იქიდან, თუ როგორ არის განსაზღვრული მოქმედებები რაციონალურ რიცხვებზე. მაგალითად, გამონათქვამში ყველა ოპერაციის შესრულების შემდეგ მივიღებთ რაციონალურ რიცხვს 18 .

ზოგჯერ, გამონათქვამების გამარტივებისა და უფრო რთული ფორმის შემდეგ, შესაძლებელი ხდება იმის დადგენა, არის თუ არა მოცემული რიცხვი რაციონალური.

უფრო შორს წავიდეთ. რიცხვი 2 რაციონალური რიცხვია, რადგან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი რაციონალურია. რაც შეეხება ნომერს? რაციონალურია? გამოდის, რომ არა - ეს არ არის რაციონალური რიცხვი, ეს არის ირაციონალური რიცხვი (ამ ფაქტის წინააღმდეგობებით დადასტურება მოცემულია მე-8 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში, რომელიც მითითებულია ქვემოთ მითითებების ჩამონათვალში). ასევე დადასტურებულია, რომ ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ფესვი არის რიცხვი, რომელიც არის რაიმე ნატურალური რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. მაგალითად, და რაციონალური რიცხვებია, ვინაიდან 81=9 2 და 1 024=32 2 , და რიცხვები და არ არის რაციონალური, რადგან რიცხვები 7 და 199 არ არის სრულყოფილი კვადრატები ნატურალური რიცხვები.

რიცხვი რაციონალურია თუ არა? IN ამ საქმესადვილი მისახვედრია, რომ, შესაბამისად, ეს რიცხვი რაციონალურია. რიცხვი რაციონალურია? დადასტურებულია, რომ მთელი რიცხვის kth ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირის ნიშნის ქვეშ არსებული რიცხვი არის რომელიმე მთელი რიცხვის kth ხარისხი. მაშასადამე, ეს არ არის რაციონალური რიცხვი, რადგან არ არსებობს მთელი რიცხვი, რომლის მეხუთე ხარისხი არის 121.

წინააღმდეგობის მეთოდი საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, რატომღაც, რაციონალური რიცხვები არ არის. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ - არ არის რაციონალური რიცხვი.

დავუშვათ საპირისპირო, ანუ დავუშვათ, რომ რაციონალური რიცხვია და შეიძლება დაიწეროს როგორც ჩვეულებრივი წილადი m/n. შემდეგ და მიეცით შემდეგი ტოლობები: . ბოლო თანასწორობა შეუძლებელია, რადგან მის მარცხენა მხარეს არის კენტი რიცხვი 5 n , ხოლო მარჯვენა მხარეს არის ლუწი რიცხვი 2 მ . მაშასადამე, ჩვენი ვარაუდი მცდარია, ამიტომ არ არის რაციონალური რიცხვი.

დასასრულს, ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ რიცხვების რაციონალურობის ან ირაციონალურობის გარკვევისას თავი უნდა შეიკავოთ მოულოდნელი დასკვნებისგან.

მაგალითად, დაუყოვნებლივ არ უნდა თქვათ, რომ π და e ირაციონალური რიცხვების ნამრავლი არის ირაციონალური რიცხვი, ეს არის "თითქოს აშკარა", მაგრამ არ არის დადასტურებული. ეს ბადებს კითხვას: „რატომ იქნება პროდუქტი რაციონალური რიცხვი“? და რატომაც არა, რადგან თქვენ შეგიძლიათ მოიყვანოთ ირაციონალური რიცხვების მაგალითი, რომლის ნამრავლი იძლევა რაციონალურ რიცხვს:.

ასევე უცნობია რიცხვები და მრავალი სხვა რიცხვი რაციონალურია თუ არა. მაგალითად, არის ირაციონალური რიცხვები, რომელთა ირაციონალური ძალა რაციონალური რიცხვია. საილუსტრაციოდ, მოდით მივცეთ ფორმის ხარისხი, ამ ხარისხის ფუძე და მაჩვენებელი არ არის რაციონალური რიცხვები, მაგრამ 3 არის რაციონალური რიცხვი.

ბიბლიოგრაფია.

მათემატიკა.მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ნ. ია ვილენკინი და სხვები]. - 22-ე გამოცემა, რევ. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00897-2.
Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

ფიზიკისა და მათემატიკის თანამედროვე სიმბიოზი ასევე იწვევს მათემატიკაში გამოყენებული ძირითადი ცნებების რადიკალურ გადახედვას, რომელთა შორის ეს კონცეფცია ყველაზე ფუნდამენტური მნიშვნელობისაა.

რა შედის რიცხვის ცნებაში

რიცხვი ფიზიკური ცოდნის ძირითადი საგანია. ფიზიკა სწავლობს ციფრებს. ფიზიკა სწავლობს რიცხვის არსებობისგან წარმოშობილ ეფექტებს. რიცხვი ბუნებაში დროის არსებობის ფორმაა. რიცხვი ფიზიკის რეალური ობიექტია. რიცხვი არის ტალღა და ნაწილაკი ერთდროულად. რიცხვი არის რეალური ობიექტი, დროის ელემენტი, ნივთი, დროის ობიექტი, რომელიც მკვლევარის გადმოსახედიდან არის ტალღაც და ნაწილაკიც. რიცხვი, შესაბამისად, არის ობიექტი, რომელიც ახორციელებს რხევად და ტალღურ პროცესებს. რიცხვი ასხივებს.

რიცხვის არსებობის ფორმაა რხევა - ჰარმონიული რხევები, მექანიკური ჰარმონიული რხევები, თავისუფალი ჰარმონიული რხევები ელექტრულ რხევად წრეში, დარბეული და იძულებითი რხევები.

რიცხვის ცნება. კვანტური ფიზიკა ფიზიკის ყველა სხვა დარგთან შედარებით უფრო მიუახლოვდა თანამედროვე ფიზიკის ჭეშმარიტ, მაგრამ არა გამოკვეთილ ობიექტს - რიცხვს. ფიზიკის რეალური ობიექტი არის რიცხვი.

სივრცე შედგება რიცხვებისგან. რიცხვთა რიგის ერთი რეალური უსასრულობა (დათვლადი უსასრულობა) არის თავად სივრცე.

რიცხვების სერიის ერთი რეალური უსასრულობა არის "ველი". უსასრულო რიცხვითი რიგი არის „ბუნების“ თანმიმდევრულობა, ეს არის დროის პროცესი, როგორც ნებისმიერი რეალიზაციის საკითხი. რიცხვი, უნივერსალური და კონკრეტული, არის რეალობა დამალული სახელწოდებით "სხეული" კლასიკურ მექანიკაში. მხოლოდ ნომერია. რიცხვთა სერიების შინაგანი ურთიერთობები ქმნიან ფიზიკის გამჭვირვალე სივრცეს.

V. I. შილოვი

"სიჩქარე", "აჩქარება", "იმპულსი", "ინერცია", "ენერგია", "თერმული მოძრაობა", "მუშაობა", "რყევები", "ელექტრული ველი", " ელექტრული მუხტი"ელექტრული დენი", "დიელექტრიკი", "ნახევარგამტარი", "პლაზმა", "მაგნიტური ველი", "ატომი", "ინდუქცია", "ელექტრული დენი", "რხევები", "ტალღები", "თერმული გამოსხივება", "ფოტონი", "რადიოაქტიურობა", "ელემენტარული ნაწილაკების ფუნდამენტური ურთიერთქმედება" - და ეს ყველაფერი იზომება რიცხვით.

მაშასადამე, რიცხვი არის ფიზიკის თავდაპირველი საგანი, რომელიც ემთხვევა მათემატიკის არსს. ყველა ფიზიკური ექსპერიმენტი არის ექსპერიმენტები რიცხვების სერიაში „შიგნით“, ექსპერიმენტები კონკრეტულ რიცხვებთან, ექსპერიმენტები რიცხვების ურთიერთქმედების სფეროში, ექსპერიმენტები, რომლებიც დაფუძნებულია ერთი, მაგრამ რეალურად არსებული რიცხვითი სერიის რეალურ უსასრულობაზე.

რიცხვების ტიპებს შორის განსხვავება არის თანამედროვე ფიზიკის სექციებში წარმოდგენილი ფიზიკური პროცესების რეალური ფიზიკური რეალობა. რიცხვების ტიპებს შორის განსხვავება არის ფიზიკური ურთიერთქმედებებისა და ფიზიკური მატერიის ტიპებს შორის განსხვავების რეალური ფორმა.

რიცხვების ტიპები ასახავს ფიზიკური პროცესების მთელ მრავალფეროვნებას და წარმოადგენს ამ ჯიშის შესწავლილ ფორმას. Ისე:

რიცხვის გაყოფა არის ფიზიკური პროცესის კონკრეტული ფიზიკური არსი.

განუყოფელი, მარტივი რიცხვი არის ფიზიკის ბოლო ჭეშმარიტი ობიექტი.

უმარტივესი რიცხვია ბუნებრივი რიცხვი. ისინი გამოიყენება Ყოველდღიური ცხოვრებისდათვლისთვის ნივთები, ე.ი. მათი რიცხვის გამოთვლა და რიგი.

რა არის ბუნებრივი რიცხვი: ნატურალური რიცხვებიდაასახელეთ რიცხვები, რომლებისთვისაც გამოიყენება ნივთების დათვლა ან ნებისმიერი ნივთის სერიული ნომრის მითითება ყველა ერთგვაროვანიდანნივთები.

მთელი რიცხვებიარის რიცხვები, რომლებიც იწყება ერთიდან. ისინი ბუნებრივად წარმოიქმნება დათვლისას.მაგალითად, 1,2,3,4,5... -პირველი ნატურალური რიცხვები.

უმცირესი ბუნებრივი რიცხვი- ერთი. არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი. რიცხვის დათვლისას ნული არ გამოიყენება, ამიტომ ნული ნატურალური რიცხვია.

რიცხვების ბუნებრივი სერიაარის ყველა ნატურალური რიცხვის მიმდევრობა. დაწერეთ ნატურალური რიცხვები:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ნატურალურ რიცხვებში თითოეული რიცხვი წინაზე ერთით მეტია.

რამდენი რიცხვია ნატურალურ სერიაში? ბუნებრივი რიგი უსასრულოა, არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი.

ათწილადი, რადგან ნებისმიერი კატეგორიის 10 ერთეული ქმნის უმაღლესი რიგის 1 ერთეულს. პოზიციური ისე როგორ არის დამოკიდებული ციფრის მნიშვნელობა რიცხვში მის ადგილს, ე.ი. კატეგორიიდან, სადაც არის ჩაწერილი.

ნატურალური რიცხვების კლასები.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს 10 არაბული რიცხვის გამოყენებით:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ნატურალური რიცხვების წასაკითხად ისინი მარჯვნიდან დაწყებული იყოფა 3-ნიშნა ჯგუფებად. 3 ჯერ რიცხვები მარჯვნივ არის ერთეულების კლასი, შემდეგი 3 არის ათასობით კლასი, შემდეგ მილიონების, მილიარდების დადა ა.შ. კლასის თითოეულ ციფრს მისი ეწოდებაგამონადენი.

ნატურალური რიცხვების შედარება.

2 ნატურალური რიცხვიდან ნაკლებია რიცხვი, რომელსაც ადრე ეძახიან დათვლაში. Მაგალითად, ნომერი 7 ნაკლები 11 (დაწერილი ასე:7 < 11 ). როცა ერთი ნომერი წამზე მეტი, ასე წერია:386 > 99 .

ციფრების ცხრილი და რიცხვების კლასები.


1 კლასის ერთეული	1 ერთეული ციფრი მე-2 ადგილი ათი მე-3 რანგის ასობით
მე-2 კლასი ათასი	ათასის 1 ციფრიანი ერთეული მე-2 ციფრი ათიათასობით მე-3 ადგილი ასიათასობით
მე-3 კლასი მილიონი	პირველი ციფრი ერთეული მილიონი მე-2 ციფრი ათობით მილიონი მე-3 ციფრი ასობით მილიონი
მე-4 კლასი მილიარდები	პირველი ციფრი ერთეული მილიარდი მე-2 ციფრი ათობით მილიარდი მე-3 ციფრი ასობით მილიარდი

ნომრები მე-5 კლასის და ზემოთ ეხება დიდი რიცხვები. მე-5 კლასის ერთეულები - ტრილიონები, მე-6 კლასი - კვადრილიონები, მე-7 კლასი - კვინტილიონები, მე-8 კლასი - სექსტილიონები, მე-9 კლასი -ეპილიონები.

ნატურალური რიცხვების ძირითადი თვისებები.

დამატების კომუტატიულობა . a + b = b + a
გამრავლების კომუტატიულობა. აბ=ბა
დამატების ასოციაციურობა. (a + b) + c = a + (b + c)
გამრავლების ასოციაციურობა.
გამრავლების განაწილება შეკრების მიმართ:

მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებზე.

4. ნატურალური რიცხვების გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

თუ b ∙ c \u003d a, ეს

გაყოფის ფორმულები:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(ა∙ ბ) : c = (a:c) ∙ ბ

(ა∙ ბ) : c = (ბ:გ) ∙ ა

რიცხვითი გამონათქვამები და რიცხვითი ტოლობები.

არის აღნიშვნა, სადაც რიცხვები დაკავშირებულია მოქმედების ნიშნებით რიცხვითი გამოხატულება.

მაგალითად, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ჩანაწერები, სადაც ტოლობის ნიშანი აერთიანებს 2 რიცხვით გამოსახულებას რიცხვითი ტოლობები . თანასწორობას აქვს მარცხენა და მარჯვენა მხარე.

არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა.

რიცხვების შეკრება და გამოკლება პირველი ხარისხის მოქმედებებია, ხოლო გამრავლება და გაყოფა მეორე ხარისხის მოქმედებებია.

როდესაც რიცხვითი გამოხატულება შედგება მხოლოდ ერთი ხარისხის მოქმედებებისაგან, მაშინ ისინი სრულდება თანმიმდევრობითმარცხნიდან მარჯვნივ.

როდესაც გამონათქვამები შედგება მხოლოდ პირველი და მეორე ხარისხის მოქმედებებისაგან, მაშინ მოქმედებები პირველად სრულდება მეორე ხარისხის, შემდეგ კი - პირველი ხარისხის მოქმედებები.

როდესაც გამონათქვამში არის ფრჩხილები, პირველ რიგში სრულდება ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები.

მაგალითად, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

იმისათვის, რომ ბევრად გაამარტივოთ თქვენი ცხოვრება, როდესაც გჭირდებათ რაიმეს გამოთვლა, ძვირფასი დროის მოგება OGE-ში ან USE-ში, დაუშვით ნაკლები სულელური შეცდომები - წაიკითხეთ ეს განყოფილება!

აი რას გაიგებთ:

როგორ გამოვთვალოთ უფრო სწრაფად, მარტივად და ზუსტად გამოყენებითრიცხვების დაჯგუფებაშეკრების და გამოკლებისას,
როგორ სწრაფად გავამრავლოთ და გავყოთ შეცდომების გარეშე გამრავლების წესები და გაყოფის კრიტერიუმები,
როგორ მნიშვნელოვნად დააჩქაროს გამოთვლები გამოყენებით უმცირესი საერთო ჯერადი(NOC) და ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(GCD).

ამ განყოფილების ტექნიკის ფლობამ შეიძლება სასწორი გადააგდოს ამა თუ იმ მიმართულებით... შეხვალ თუ არა შენი ოცნების უნივერსიტეტში, შენ ან შენს მშობლებს დიდი თანხის გადახდა მოგიწევთ განათლებისთვის, ან შეხვალთ ბიუჯეტში. .

მოდით ჩავყვინთოთ... (წავიდეთ!)

P.S. ბოლო ღირებული რჩევა...

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი!თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ უაზრობას, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე)

Რამოდენიმე მთელი რიცხვებიშედგება 3 ნაწილისაგან:

მთელი რიცხვები(მათ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ);
ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები(ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება, როგორც კი გაიგებთ რა არის ნატურალური რიცხვები);
ნული - " " (სად მის გარეშე?)

ასო Z.

მთელი რიცხვები

„ღმერთმა შექმნა ბუნებრივი რიცხვები, დანარჩენი ყველაფერი ადამიანის ხელის ნამუშევარია“ (გ) გერმანელი მათემატიკოსი კრონეკერი.

ნატურალური რიცხვებიარიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ ობიექტების დასათვლელად და სწორედ ამაზეა დაფუძნებული მათი წარმოშობის ისტორია - ისრების, ტყავის დათვლა და ა.შ.

1, 2, 3, 4...n

ასო N.

შესაბამისად, ეს განმარტება არ მოიცავს (ვერ ითვლით რა არ არის?) და, უფრო მეტიც, არ მოიცავს უარყოფითი მნიშვნელობები(არის ვაშლი?).

გარდა ამისა, ყველა წილადი რიცხვი არ შედის (ასევე ვერ ვიტყვით "მე მაქვს ლეპტოპი", ან "მე გავყიდე მანქანები")

ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვიშეიძლება დაიწეროს 10 ციფრის გამოყენებით:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ასე რომ, 14 არ არის რიცხვი. ეს არის ნომერი. რა რიცხვებისგან შედგება? ასეა, რიცხვებიდან და.

დამატება. დაჯგუფება დამატებისას უფრო სწრაფი დათვლისთვის და ნაკლები შეცდომებისთვის

რა საინტერესოს იტყვით ამ პროცედურაზე? რა თქმა უნდა, ახლა გიპასუხებთ "ჯამის ღირებულება არ იცვლება პირობების გადალაგებით". როგორც ჩანს, პირველი კლასიდან ნაცნობი პრიმიტიული წესია, თუმცა დიდი მაგალითების ამოხსნისას ის მყისიერად დავიწყებული!

ნუ დაივიწყებთ მასგამოიყენეთ დაჯგუფება, რათა ხელი შეუწყოს დათვლის პროცესს და შემცირდეს შეცდომების ალბათობა, რადგან გამოცდისთვის კალკულატორი არ გექნებათ.

თავად ნახეთ რომელი გამონათქვამის დამატება უფრო ადვილია?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

რა თქმა უნდა მეორე! მიუხედავად იმისა, რომ შედეგი იგივეა. მაგრამ! მეორე გზის გათვალისწინებით, შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებად გაქვთ და ყველაფერს უფრო სწრაფად გააკეთებთ!

ასე რომ, თქვენს გონებაში ასე ფიქრობთ:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

გამოკლება. დაჯგუფება გამოკლებისას უფრო სწრაფი დათვლისთვის და ნაკლები შეცდომისთვის

გამოკლებისას შეგვიძლია გამოკლებული რიცხვებიც დავაჯგუფოთ, მაგალითად:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

რა მოხდება, თუ გამოკლება მაგალითში შერწყმულია დამატებასთან? დაჯგუფებაც შეგიძლია, გიპასუხებ და მართალიც. უბრალოდ გთხოვთ, ნუ დაივიწყებთ ნომრების წინ არსებულ ნიშნებს, მაგალითად: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

გახსოვდეთ: არასწორად დამაგრებული ნიშნები არასწორ შედეგამდე მიგვიყვანს.

გამრავლება. როგორ გამრავლდეს გონებაში

აშკარაა, რომ პროდუქტის ღირებულება ასევე არ შეიცვლება ფაქტორების ადგილების შეცვლით:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

მე არ ვაპირებ გითხრათ „გამოიყენეთ ეს პრობლემების გადაჭრისას“ (მინიშნება თქვენ თვითონ მიიღეთ, არა?), არამედ გეტყვით, როგორ სწრაფად გაამრავლოთ რამდენიმე რიცხვი თქვენს თავში. ასე რომ, ყურადღებით დააკვირდით ცხრილს:

და ცოტა მეტი გამრავლების შესახებ. რა თქმა უნდა, გახსოვთ ორი განსაკუთრებული შემთხვევა... გამოიცანით, რას ვგულისხმობ? აი ამის შესახებ:

ოჰ, მოდით შევხედოთ გაყოფის ნიშნები. საერთო ჯამში, არსებობს გაყოფის ნიშნების 7 წესი, რომელთაგან პირველი 3 უკვე დანამდვილებით იცით!

მაგრამ დანარჩენის დამახსოვრება სულაც არ არის რთული.

რიცხვების გაყოფის 7 ნიშანი, რომელიც დაგეხმარებათ სწრაფად დათვალოთ თავში!

თქვენ, რა თქმა უნდა, იცით პირველი სამი წესი.
მეოთხე და მეხუთე ადვილად დასამახსოვრებელია - გაყოფისას და ვეძებთ, იყო თუ არა ამ რიცხვზე შემადგენელი ციფრების ჯამი.
გაყოფისას ყურადღებას ვაქცევთ რიცხვის ბოლო ორ ციფრს - იყოფა თუ არა მათ მიერ შედგენილი რიცხვი?
რიცხვზე გაყოფისას ის ერთდროულად უნდა გაიყოს და იყოფა. ეს ყველაფერი სიბრძნეა.

ახლა ფიქრობ - "რატომ მჭირდება ეს ყველაფერი"?

პირველი, გამოცდაა კალკულატორის გარეშედა ეს წესები დაგეხმარებათ მაგალითების ნავიგაციაში.

და მეორეც, გსმენიათ ამოცანების შესახებ GCDდა NOC? ნაცნობი აბრევიატურა? დავიწყოთ დამახსოვრება და გაგება.

უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) - საჭიროა წილადების შემცირებისა და სწრაფი გამოთვლებისთვის

ვთქვათ თქვენ გაქვთ ორი ნომერი: და. Რა ყველაზე დიდი რაოდენობაორივე რიცხვი იყოფა? უყოყმანოდ გიპასუხებთ, რადგან იცით, რომ:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

რა რიცხვებია საერთო გაფართოებაში? მართალია, 2 * 2 = 4. ეს იყო თქვენი პასუხი. ამ მარტივი მაგალითის გათვალისწინებით, თქვენ არ დაგავიწყდებათ პოვნის ალგორითმი GCD. შეეცადეთ „ააგოთ“ ის თქვენს თავში. მოხდა?

NOD-ის მოსაძებნად გჭირდებათ:

დაშალეთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად (რიცხვებად, რომლებიც არ შეიძლება დაიყოს არაფრით, გარდა საკუთარი თავის ან, მაგალითად, 3, 7, 11, 13 და ა.შ.).
გაამრავლეთ ისინი.

გესმით, რატომ გვჭირდებოდა გაყოფის ნიშნები? ასე რომ დააკვირდით რიცხვს და შეგიძლიათ დაიწყოთ გაყოფა ნაშთების გარეშე.

მაგალითად, ვიპოვოთ 290 და 485 ნომრების GCD

პირველი ნომერი -.

მისი შემხედვარე, მაშინვე შეგიძლიათ გაიგოთ, რაზე იყოფა, მოდით დავწეროთ:

თქვენ არ შეგიძლიათ მისი დაყოფა სხვაზე, მაგრამ შეგიძლიათ - და, ჩვენ ვიღებთ:

290 = 29 * 5 * 2

ავიღოთ სხვა რიცხვი - 485.

გაყოფის ნიშნების მიხედვით, ის უნდა გაიყოს ნაშთების გარეშე, რადგან მთავრდება. Ჩვენ ვიზიარებთ:

მოდით გავაანალიზოთ ორიგინალური ნომერი.

მისი გაყოფა შეუძლებელია (ბოლო ციფრი კენტია),
- არ იყოფა, ამიტომ რიცხვიც არ იყოფა,
ასევე არ იყოფა და-ზე (ციფრთა ჯამი არ იყოფა და ზე)
ასევე არ იყოფა, რადგან არ იყოფა და,
ასევე არ იყოფა და-ზე, ვინაიდან არ იყოფა და-ზე.
არ შეიძლება მთლიანად გაყოფა

ასე რომ რიცხვი შეიძლება მხოლოდ დაიშალა და.

ახლა კი ვიპოვოთ GCDეს რიცხვები (და). რა არის ეს ნომერი? უფლება,.

ვივარჯიშოთ?

დავალება ნომერი 1. იპოვეთ 6240 და 6800 ნომრების GCD

1) მე მაშინვე ვყოფ, რადგან ორივე რიცხვი 100% იყოფა:

დავალება ნომერი 2. იპოვეთ 345 და 324 ნომრების GCD

აქ ვერ ვპოულობ სულ მცირე ერთ საერთო გამყოფს, ასე რომ, მე უბრალოდ ვწყვეტ ფაქტორებად (რაც შეიძლება ცოტა):

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) - დაზოგავს დროს, ეხმარება პრობლემების გადაჭრას ყუთის გარეთ

ვთქვათ, თქვენ გაქვთ ორი ნომერი - და. რა არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა უკვალოდ(ანუ მთლიანად)? ძნელი წარმოსადგენია? აქ არის ვიზუალური მინიშნება თქვენთვის:

გახსოვთ, რას ნიშნავს ეს წერილი? მართალია, უბრალოდ მთელი რიცხვები.რა არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც შეესაბამება x-ს? :

Ამ შემთხვევაში.

Აქედან მარტივი მაგალითირამდენიმე წესი დაიცვას.

NOC-ის სწრაფი პოვნის წესები

წესი 1. თუ ორი ნატურალური რიცხვიდან ერთი იყოფა სხვა რიცხვზე, მაშინ ამ ორი რიცხვიდან უფრო დიდი მათი უმცირესი საერთო ჯერადია.

იპოვნეთ შემდეგი ნომრები:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

რა თქმა უნდა, თქვენ მარტივად გაართვით თავი ამ ამოცანას და მიიღეთ პასუხები - და.

გაითვალისწინეთ, რომ წესში საუბარია ორ რიცხვზე, თუ მეტი რიცხვია, მაშინ წესი არ მუშაობს.

მაგალითად, LCM (7;14;21) არ არის 21-ის ტოლი, ვინაიდან ნაშთის გარეშე მისი გაყოფა შეუძლებელია.

წესი 2. თუ ორი (ან ორზე მეტი) რიცხვი თანაპირდაპირია, მაშინ უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

იპოვე NOCშემდეგი ნომრებისთვის:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

დაითვალეთ? აი პასუხები - , ; .

როგორც გესმით, ყოველთვის არ არის ადვილი იგივე x-ის აღება და აყვანა, ამიტომ ოდნავ უფრო რთული რიცხვებისთვის არის შემდეგი ალგორითმი:

ვივარჯიშოთ?

იპოვეთ უმცირესი საერთო ჯერადი - LCM (345; 234)

იპოვეთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).

რა პასუხები მიიღეთ?

აი რა დამემართა:

რამდენი ხანი დაგჭირდათ პოვნა NOC? ჩემი დრო 2 წუთია, ნამდვილად ვიცი ერთი ხრიკი, რომელიც გირჩევთ გახსნათ ახლავე!

თუ ძალიან ყურადღებიანი ხართ, მაშინ ეს ალბათ შენიშნეთ მოცემული ნომრებიჩვენ უკვე მოვძებნეთ GCDდა თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ამ რიცხვების ფაქტორიზაცია ამ მაგალითიდან, რითაც გაამარტივებთ თქვენს ამოცანას, მაგრამ ეს შორს არის ყველაფრისგან.

შეხედე სურათს, იქნებ სხვა აზრები მოგივიდეს:

კარგად? მინიშნებას მოგცემ: სცადე გამრავლება NOCდა GCDერთმანეთში და ჩაწერეთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც იქნება გამრავლებისას. მოახერხე? თქვენ უნდა დაასრულოთ ასეთი ჯაჭვი:

დააკვირდით მას: შეადარეთ ფაქტორები როგორ და იშლება.

რა დასკვნის გაკეთება შეგიძლიათ აქედან? უფლება! თუ გავამრავლებთ მნიშვნელობებს NOCდა GCDმათ შორის, მაშინ მივიღებთ ამ რიცხვების ნამრავლს.

შესაბამისად, აქვს რიცხვები და მნიშვნელობა GCD(ან NOC), ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ NOC(ან GCD) შემდეგნაირად:

1. იპოვეთ რიცხვების ნამრავლი:

2. მიღებულ პროდუქტს ვყოფთ ჩვენსზე GCD (6240; 6800) = 80:

Სულ ეს არის.

დავწეროთ წესი ზოგადი ფორმით:

შეეცადეთ იპოვოთ GCDთუ ცნობილია, რომ:

მოახერხე? .

უარყოფითი რიცხვები – „ცრუ რიცხვები“ და მათი ამოცნობა კაცობრიობის მიერ.

როგორც უკვე მიხვდით, ეს არის ნატურალურის საპირისპირო რიცხვები, ანუ:

უარყოფითი რიცხვების დამატება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა შესაძლებელია - ისევე როგორც ნატურალური რიცხვები. როგორც ჩანს, ისინი ასე განსაკუთრებულები არიან? მაგრამ ფაქტია, რომ უარყოფითმა რიცხვებმა მათემატიკაში მე-19 საუკუნემდე „მიიპყრეს“ თავიანთი კანონიერი ადგილი (ამ მომენტამდე დიდი კამათი იყო, არსებობს თუ არა ისინი).

თავად უარყოფითი რიცხვი წარმოიშვა ნატურალურ რიცხვებთან ისეთი მოქმედების გამო, როგორიცაა „გამოკლება“. მართლაც, გამოვაკლოთ - ეს არის უარყოფითი რიცხვი. ამიტომ უარყოფით რიცხვთა სიმრავლეს ხშირად უწოდებენ "სიმრავლის გაფართოებას ნატურალური რიცხვები».

ნეგატიურ რიცხვებს ხალხი დიდი ხნის განმავლობაში არ ცნობდა. ასე რომ, ძველი ეგვიპტე, ბაბილონი და Უძველესი საბერძნეთი- თავისი დროის მნათობებმა არ აღიარეს უარყოფითი რიცხვები და განტოლებაში უარყოფითი ფესვების მიღების შემთხვევაში (მაგალითად, როგორც ჩვენ გვაქვს), ფესვები უარყოფილი იყო, როგორც შეუძლებელი.

პირველად უარყოფითმა რიცხვებმა არსებობის უფლება მიიღეს ჩინეთში, შემდეგ კი VII საუკუნეში ინდოეთში. რას ფიქრობთ ამ აღიარებაზე? ასეა, უარყოფითმა რიცხვებმა დაიწყეს ვალების აღნიშვნა (წინააღმდეგ შემთხვევაში - დეფიციტი). ითვლებოდა, რომ უარყოფითი რიცხვები არის დროებითი მნიშვნელობა, რომელიც შედეგად შეიცვლება პოზიტიურად (ანუ ფული კვლავ დაუბრუნდება კრედიტორს). თუმცა, ინდოელმა მათემატიკოსმა ბრაჰმაგუპტამ უკვე მაშინ განიხილა უარყოფითი რიცხვები პოზიტიურთან თანაბარ პირობებში.

ევროპაში უარყოფითი რიცხვების სარგებლიანობა, ისევე როგორც ის, რომ მათ შეუძლიათ ვალის აღნიშვნა, გაცილებით გვიან, ანუ ათასწლეულში მოვიდა. პირველი ნახსენები 1202 წელს ნახეს ლეონარდ პიზას "აბაკსის წიგნში" (მე მაშინვე ვამბობ, რომ წიგნის ავტორს არაფერი აქვს საერთო პიზის დახრილ კოშკთან, მაგრამ ფიბონაჩის ნომრები მისი ნამუშევარია ( ლეონარდო პიზას მეტსახელი ფიბონაჩია)). გარდა ამისა, ევროპელები მივიდნენ დასკვნამდე, რომ უარყოფითი რიცხვები შეიძლება ნიშნავდეს არა მხოლოდ ვალებს, არამედ რაღაცის ნაკლებობას, თუმცა, ეს ყველამ არ აღიარა.

ასე რომ, XVII საუკუნეში პასკალს სჯეროდა, რომ. როგორ ფიქრობთ, მან ეს გაამართლა? მართალია, "არაფერი არ შეიძლება იყოს არაფერზე ნაკლები". იმ დროის ექო რჩება ის ფაქტი, რომ უარყოფითი რიცხვი და გამოკლების ოპერაცია აღინიშნება ერთი და იგივე სიმბოლოთი - მინუს "-". და მართალია: . " " რიცხვი დადებითია, რომელსაც აკლებს, თუ უარყოფითი, რომელსაც ემატება? აი, ასეთი მათემატიკური ფილოსოფია.

უარყოფითმა რიცხვებმა უზრუნველყო მათი არსებობის უფლება ანალიტიკური გეომეტრიის მოსვლასთან ერთად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც მათემატიკოსებმა შემოიღეს ისეთი რამ, როგორც რეალური ღერძი.

სწორედ ამ მომენტიდან მოვიდა თანასწორობა. თუმცა, ჯერ კიდევ უფრო მეტი კითხვა იყო, ვიდრე პასუხები, მაგალითად:

პროპორცია

ამ პროპორციას არნოს პარადოქსი ეწოდება. დაფიქრდი, რა არის ამაში საეჭვო?

მოდით ვისაუბროთ ერთად "" მეტი "" არა? ამრიგად, ლოგიკის მიხედვით, პროპორციის მარცხენა მხარე უნდა იყოს უფრო დიდი ვიდრე მარჯვენა მხარე, მაგრამ ისინი ტოლები არიან... აი, ეს არის პარადოქსი.

შედეგად, მათემატიკოსები შეთანხმდნენ, რომ კარლ გაუსმა (დიახ, დიახ, ეს არის ის, ვინც განიხილა რიცხვების ჯამი (ან)) 1831 წელს ბოლო მოუღო მას - მან თქვა, რომ უარყოფით რიცხვებს აქვთ იგივე უფლებები, რაც დადებითს, და ის, რომ ისინი ყველაფერზე არ ვრცელდება, არაფერს ნიშნავს, რადგან წილადები არც ბევრ რამეზე ვრცელდება (არ ხდება, რომ თხრი ამოთხაროს ორმო, ვერ იყიდო კინოს ბილეთი და ა.შ.).

მათემატიკოსები დამშვიდდნენ მხოლოდ მე-19 საუკუნეში, როდესაც უარყოფითი რიცხვების თეორია შექმნეს უილიამ ჰამილტონმა და ჰერმან გრასმანმა.

აი, რამდენად საკამათოა ისინი, ეს უარყოფითი რიცხვები.

„სიცარიელის“ გაჩენა, ანუ ნულის ბიოგრაფია.

მათემატიკაში სპეციალური ნომერი. ერთი შეხედვით, ეს არაფერია: დამატება, გამოკლება - არაფერი შეიცვლება, მაგრამ თქვენ უბრალოდ უნდა მიაწეროთ ის მარჯვნივ ""-ზე და შედეგად მიღებული რიცხვი მრავალჯერ მეტი იქნება, ვიდრე ორიგინალი. ნულზე გამრავლებით ყველაფერს არაფრად ვაქცევთ, მაგრამ „არაფერზე“ ვერ გავყოფთ. ერთი სიტყვით, ჯადოსნური ნომერი)

ნულის ისტორია გრძელი და რთულია. ნულის კვალი გვხვდება ჩინელების თხზულებაში 2000 წ. და კიდევ უფრო ადრე მაიასთან. ნულოვანი სიმბოლოს პირველი გამოყენება, როგორც ეს დღეს არის, ნახეს ბერძენ ასტრონომებში.

არსებობს მრავალი ვერსია იმის შესახებ, თუ რატომ აირჩიეს ასეთი აღნიშვნა „არაფერი“. ზოგიერთი ისტორიკოსი მიდრეკილია იფიქროს, რომ ეს არის ომიკრონი, ე.ი. ბერძნული სიტყვის პირველი ასო არაფრისთვის არის უდენი. სხვა ვერსიით, სიტყვა „ობოლმა“ (თითქმის უღირებულებო მონეტამ) ნულის სიმბოლოს სიცოცხლე მისცა.

ნულოვანი (ან ნულოვანი) როგორც მათემატიკური სიმბოლოპირველად ჩნდება ინდიელებში (გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი რიცხვები იქ დაიწყო "განვითარება"). ნულის დაწერის პირველი სანდო მტკიცებულება თარიღდება 876 წლით და მათში "" არის რიცხვის კომპონენტი.

ნულიც დაგვიანებით მოვიდა ევროპაში - მხოლოდ 1600 წელს და ისევე, როგორც უარყოფითი რიცხვები, წინააღმდეგობას წააწყდა (რა ქნას, ევროპელები არიან).

"ნულს ხშირად სძულდათ, ეშინოდათ, ან თუნდაც უხსოვარი დროიდან აკრძალული ჰქონდათ", - წერს ამერიკელი მათემატიკოსი ჩარლზ სეიფი. ასე რომ, თურქეთის სულთანი აბდულ-ჰამიდ II XIX საუკუნის ბოლოს. თავის ცენზორს უბრძანა, წაეშალათ H2O წყლის ფორმულა ქიმიის ყველა სახელმძღვანელოდან, ასო "O" აეღო ნულზე და არ სურდა, რომ მისი ინიციალები ცილისმწამებლური ყოფილიყო საზიზღარ ნულთან სიახლოვის გამო.

ინტერნეტში შეგიძლიათ იპოვოთ ფრაზა: „ნული არის ყველაზე ძლიერი ძალა სამყაროში, მას შეუძლია გააკეთოს ყველაფერი! ნული ქმნის წესრიგს მათემატიკაში და ასევე მოაქვს მასში ქაოსი. აბსოლუტურად სწორი აზრია :)

განყოფილების შეჯამება და ძირითადი ფორმულები

მთელი რიცხვების ნაკრები შედგება 3 ნაწილისაგან:

ნატურალური რიცხვები (ქვემოთ მათ უფრო დეტალურად განვიხილავთ);
ნატურალურის საპირისპირო რიცხვები;
ნული - " "

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო Z.

1. ნატურალური რიცხვები

ბუნებრივი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ ობიექტების დასათვლელად.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო N.

მთელი რიცხვებით ოპერაციებში დაგჭირდებათ GCD და LCM პოვნის შესაძლებლობა.

უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD)

NOD-ის მოსაძებნად გჭირდებათ:

რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად (რიცხვებად, რომლებიც არ შეიძლება დაიყოს არაფრით გარდა საკუთარი თავისა ან, მაგალითად და ა.შ.).
ჩამოწერეთ ფაქტორები, რომლებიც ორივე რიცხვის ნაწილია.
გაამრავლეთ ისინი.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM)

NOC-ის მოსაძებნად გჭირდებათ:

რიცხვების ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად (თქვენ უკვე იცით, როგორ გააკეთოთ ეს ძალიან კარგად).
ჩამოწერეთ ერთ-ერთი რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები (უმჯობესია აიღოთ ყველაზე გრძელი ჯაჭვი).
დაამატეთ მათ დაკარგული ფაქტორები დარჩენილი რიცხვების გაფართოებებიდან.
იპოვეთ მიღებული ფაქტორების პროდუქტი.

2. უარყოფითი რიცხვები

ეს არის რიცხვები, რომლებიც საპირისპიროა ნატურალური რიცხვებისა, ანუ:

ახლა მინდა შენგან გავიგო...

იმედი მაქვს, დააფასეთ ამ განყოფილების სუპერ სასარგებლო „ხრიკები“ და გაიგეთ, როგორ დაგეხმარებიან ისინი გამოცდაზე.

და რაც მთავარია, ცხოვრებაში. ამაზე არ ვსაუბრობ, მაგრამ დამიჯერეთ, ეს არის. სწრაფი და შეცდომების გარეშე დათვლის უნარი ზოგავს ბევრ ცხოვრებისეულ სიტუაციაში.

Ახლა შენი ჯერია!

დაწერეთ, გამოთვლებში გამოიყენებთ დაჯგუფების მეთოდებს, გაყოფის კრიტერიუმებს, GCD და LCM?

იქნებ იყენებდით ადრე? სად და როგორ?

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში როგორ მოგწონთ სტატია.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!

ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

წარმატებისთვის გამოცდის ჩაბარება, ინსტიტუტში ბიუჯეტზე დასაშვებად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ მათ წინაშე ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების დროულად გადაჭრა.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ ნამდვილად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე - შეიძინეთ სტატია - 299 რუბლი
განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

„გასაგებია“ და „მე ვიცი როგორ გადაჭრა“ სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

მიღების წყარო: GOST 111 90: ფურცელი მინა. სპეციფიკაციებიორიგინალური დოკუმენტი იხილეთ აგრეთვე დაკავშირებული ტერმინები: 109. ბეტატრონის რხევების რაოდენობა…

ზმნა, ნსვ., გამოყენება. კომპ. ხშირად მორფოლოგია: მე შევდივარ, შენ შედი, ის / ის / ის შემოდის, ჩვენ შევდივართ, თქვენ შედიხართ, ისინი შედიან, შედიან, შედიან, შევიდნენ, შევიდნენ, შევიდნენ, შედიოდნენ, შედიხართ, შედიან, შედიან; ნ., მ.შესასვლელი... ლექსიკონიდიმიტრიევა

კოჭის შეკვრის დარტყმების რაოდენობა- 9. კოჭების შეკვრის დარტყმების რაოდენობა ხვეულების სერიასთან დაკავშირებული ჯგუფების რაოდენობა, რომლებიც ხასიათდება მოძრაობის საერთო მიმართულებით მიმდებარე გარემოსთან მიმართებაში შიდა გარემოᲨენიშვნა. სვლების რაოდენობის მიხედვით, ისინი განასხვავებენ, მაგალითად, ცალმხრივ, ... ... ნორმატიული და ტექნიკური დოკუმენტაციის ტერმინთა ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი

შემეცნებითი აქტივობის განსაკუთრებული ტიპი, რომელიც მიზნად ისახავს სამყაროს შესახებ ობიექტური, სისტემატურად ორგანიზებული და დასაბუთებული ცოდნის განვითარებას. ურთიერთქმედებს სხვა სახის შემეცნებით საქმიანობასთან: ყოველდღიურ, მხატვრულ, რელიგიურ, მითოლოგიურ ... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

შინაარსი: 1) C-ის განმარტება 2) C-ის წარმოშობა 3) ზოგადი მახასიათებლებიგ. 4) ორგანიზაცია გ. 5) ეკონომიკური სტრუქტურა გ. 6) პოლიტიკური როლი გ. 7) შუა საუკუნეების გილდიური ორგანიზაციის ევოლუცია. 8) C-ის დაცემა 9) ლიტერატურა. 1) C-ის განმარტება ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონიფ. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ რევოლუციური კალენდარი. კალენდარი კალენდრის მონაცემები კალენდრის ტიპი მზის, მთვარის, მთვარის მზის კალენდარული ერა ნახტომი წლების ჩასმა ... ვიკიპედია

ამ სტატიას აკლია ბმულები ინფორმაციის წყაროებთან. ინფორმაცია უნდა იყოს გადამოწმებადი, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება დაკითხოს და წაშალოს. თქვენ შეგიძლიათ ... ვიკიპედია

ურანი ... ვიკიპედია

ურანი ურანის ფოტო ვოიაჯერ 2-დან. ინფორმაცია აღმოჩენის შესახებ გახსნის თარიღი 1781 წლის 13 მარტი Discoverer ... ვიკიპედია

დენი ფანტომი ... ვიკიპედია

წიგნები

კოსმორიტმები რუსეთის იმპერიის ისტორიაში (1671-1918), ვ.ი.ვასილიევი. ეს წიგნი წარმოადგენს ორიგინალურ მეთოდს ისტორიის სხვადასხვა თარიღს შორის პლანეტარული ურთიერთობების გამოსათვლელად. ყველგან გამოყენებული დროის ერთეულები თვითნებურია, ისინი `მიბმულია~ ...
ეზოთერიკის 13 კარიბჭე. ეზოთერული სწავლებების ისტორია ადამიდან დღემდე, ევგენი კოლესოვი. ეს წიგნი წარმოიშვა ავტორის მიერ 1994-95 წლებში წაკითხული ლექციების კურსის საფუძველზე. კულტურის ისტორიის უნივერსიტეტში. ავტორს დიდი ხანია ჰქონდა იდეა, რომ შეეცადოს თანმიმდევრულად და ობიექტურად წარმოაჩინოს ამბავი ...

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: