როგორ მიიღება თითოეული ნატურალური რიცხვი. მთელი რიცხვები

"კვადრატული ფუნქცია" - თვისებები: -ერთფეროვნების ინტერვალები a > 0-ისთვის< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Power function Grade 9" - ჩვენ ვიცნობთ ფუნქციებს. დენის ფუნქცია. U. 0. მე-9 კლასის მასწავლებელი ლადოშკინა ი.ა. Y \u003d x2, y \u003d x4, y \u003d x6, y \u003d x8, ... ინდიკატორი არის ლუწი ბუნებრივი რიცხვი (2n). Y = x. პარაბოლა. კუბური პარაბოლა. ფუნქცია y=x2n ლუწია, რადგან (–x)2n = x2n.

"კლასი 8 კვადრატული ფუნქცია" - 1) ააგეთ პარაბოლის ზედა ნაწილი. -1. დახაზეთ ფუნქცია. 2) ააგეთ სიმეტრიის ღერძი x=-1. წ. ალგებრა კლასი 8 მასწავლებელი 496 სკოლა ბოვინა TV კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის აგება. x. -7. მშენებლობის გეგმა.

„Y X ფუნქციის გრაფიკი“ - y=x2 + n ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელსაც აქვს წვერო (0; n) წერტილში. y=(x - m)2 ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელსაც წვერო აქვს (m; 0) წერტილში. დააწკაპუნეთ გრაფიკების სანახავად. გვერდი გამოჩნდება დაწკაპუნებით. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ y=(x - m)2 + n ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელსაც წვერო აქვს (m; n) წერტილში.

"ბუნებრივი ლოგარითმი" - 0.1. "ლოგარითმული ისრები". 0.04. 121. ბუნებრივი ლოგარითმები. 7.4.

„კვადრატული ფუნქცია და მისი გრაფიკი“ - ავტორი: ილია გრანოვი. პრობლემის გადაჭრა: გადაწყვეტილება. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A- ეკუთვნის. 4. არის თუ არა y=4x ფუნქციის გრაფიკი წერტილი: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4)? როდესაც a=1, ფორმულა y=ax იღებს ფორმას.

თემაში სულ 25 პრეზენტაციაა

მათემატიკა წარმოიშვა ზოგადი ფილოსოფიიდან ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეექვსე საუკუნეში. ე., და იმ მომენტიდან დაიწყო მისი გამარჯვებული ლაშქრობა მთელს მსოფლიოში. განვითარების თითოეულმა საფეხურმა შემოიტანა რაღაც ახალი - განვითარდა ელემენტარული დათვლა, გარდაიქმნა დიფერენციალურ და ინტეგრალურ გამოთვლებად, საუკუნეები შეიცვალა, ფორმულები უფრო და უფრო დამაბნეველი ხდებოდა და დადგა მომენტი, როდესაც "დაიწყო ყველაზე რთული მათემატიკა - ყველა რიცხვი გაქრა მისგან". მაგრამ რა იყო საფუძველი?

დროის დასაწყისი

მთელი რიცხვებიგამოჩნდა პირველ მათემატიკურ ოპერაციებთან ერთად. ერთხელ ხერხემალი, ორი ხერხემალი, სამი ხერხემალი... ისინი გამოჩნდნენ ინდოელი მეცნიერების წყალობით, რომლებმაც დაადგინეს პირველი პოზიცია

სიტყვა „პოზიციურობა“ ნიშნავს, რომ რიცხვში თითოეული ციფრის მდებარეობა მკაცრად არის განსაზღვრული და შეესაბამება მის კატეგორიას. მაგალითად, რიცხვები 784 და 487 ერთი და იგივე რიცხვებია, მაგრამ რიცხვები არ არის ეკვივალენტური, რადგან პირველი მოიცავს 7 ასეულს, ხოლო მეორე მხოლოდ 4-ს. არაბებმა აირჩიეს ინდიელების ინოვაცია, რომლებმაც რიცხვები ფორმამდე მიიყვანეს. რომ ჩვენ ახლა ვიცით.

ძველად ციფრებს აძლევდნენ მისტიკური მნიშვნელობა, პითაგორა თვლიდა, რომ რიცხვი უდევს საფუძვლად სამყაროს შექმნას ძირითად ელემენტებთან ერთად - ცეცხლი, წყალი, მიწა, ჰაერი. თუ ყველაფერს მხოლოდ მათემატიკური მხრიდან განვიხილავთ, მაშინ რა არის ნატურალური რიცხვი? ნატურალური რიცხვების ველი აღინიშნება როგორც N და არის რიცხვების უსასრულო სერია, რომელიც არის მთელი და დადებითი: 1, 2, 3, … + ∞. ნული გამორიცხულია. იგი ძირითადად გამოიყენება ნივთების დასათვლელად და რიგის მითითებისთვის.

რა არის მათემატიკაში? პეანოს აქსიომები

ველი N არის საბაზისო ველი, რომელსაც ეყრდნობა ელემენტარული მათემატიკა. დროთა განმავლობაში, მთელი რიცხვების ველები, რაციონალური,

იტალიელი მათემატიკოსის ჯუზეპე პეანოს ნაშრომმა შესაძლებელი გახადა არითმეტიკის შემდგომი სტრუქტურირება, მიაღწია მის ფორმალობას და გზა გაუხსნა შემდგომი დასკვნებისთვის, რომელიც გასცდა N ველს.

რა არის ნატურალური რიცხვი, ადრე გაირკვა უბრალო ენა, მათემატიკური განმარტება პეანოს აქსიომებზე დაფუძნებული ქვემოთ იქნება განხილული.

ერთი ითვლება ნატურალურ რიცხვად.
რიცხვი, რომელიც მოჰყვება ნატურალურ რიცხვს, არის ნატურალური რიცხვი.
ერთის წინ ნატურალური რიცხვი არ არსებობს.
თუ რიცხვი b მოჰყვება როგორც c, ასევე d რიცხვს, მაშინ c=d.
ინდუქციის აქსიომა, რომელიც თავის მხრივ გვიჩვენებს რა არის ნატურალური რიცხვი: თუ რომელიმე დებულება, რომელიც პარამეტრზეა დამოკიდებული, ჭეშმარიტია რიცხვისთვის 1, მაშინ ვივარაუდებთ, რომ ის ასევე მუშაობს n რიცხვზე N ნატურალური რიცხვების ველიდან. განცხადება ასევე მართალია n =1-ისთვის N ნატურალური რიცხვების ველიდან.

ძირითადი მოქმედებები ნატურალური რიცხვების ველისთვის

მას შემდეგ, რაც ველი N გახდა პირველი მათემატიკური გამოთვლებისთვის, მას ეხება როგორც განმარტების სფეროები, ასევე ქვემოთ მოცემული რიგი ოპერაციების მნიშვნელობების დიაპაზონი. ისინი დახურულია და არა. მთავარი განსხვავება ისაა, რომ დახურული ოპერაციები გარანტირებულია დატოვებს შედეგს N სიმრავლის ფარგლებში, არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვებს ეხება. საკმარისია, რომ ისინი ბუნებრივია. დარჩენილი რიცხვითი ურთიერთქმედებების შედეგი აღარ არის ისეთი ცალსახა და პირდაპირ დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა სახის რიცხვებია ჩართული გამონათქვამში, რადგან ის შეიძლება ეწინააღმდეგებოდეს მთავარ განმარტებას. ასე რომ, დახურული ოპერაციები:

შეკრება - x + y = z, სადაც x, y, z შედის N ველში;
გამრავლება - x * y = z, სადაც x, y, z შედის N ველში;
ექსპონენტაცია - x y , სადაც x, y შედის N ველში.

დარჩენილი ოპერაციები, რომელთა შედეგი შეიძლება არ არსებობდეს განმარტების „რა არის ნატურალური რიცხვი“ კონტექსტში, არის შემდეგი:

N ველის კუთვნილი რიცხვების თვისებები

ყველა შემდგომი მათემატიკური მსჯელობა დაფუძნებული იქნება შემდეგ თვისებებზე, ყველაზე ტრივიალური, მაგრამ არანაკლებ მნიშვნელოვანი.

შეკრების კომუტაციური თვისებაა x + y = y + x, სადაც რიცხვები x, y შედის ველში N. ან კარგად ცნობილი "ჯამი არ იცვლება ტერმინების ადგილების ცვლილებით".
გამრავლების კომუტაციური თვისებაა x * y = y * x, სადაც რიცხვები x, y შედის N ველში.
შეკრების ასოციაციური თვისებაა (x + y) + z = x + (y + z), სადაც x, y, z შედის N ველში.
გამრავლების ასოციაციური თვისებაა (x * y) * z = x * (y * z), სადაც რიცხვები x, y, z შედის N ველში.
განაწილების თვისება - x (y + z) = x * y + x * z, სადაც რიცხვები x, y, z შედის N ველში.

პითაგორას მაგიდა

სკოლის მოსწავლეების მიერ დაწყებითი მათემატიკის მთელი სტრუქტურის ცოდნის ერთ-ერთი პირველი ნაბიჯი, მას შემდეგ რაც მათ თავად გაიგეს, რომელ რიცხვებს უწოდებენ ბუნებრივ, არის პითაგორას ცხრილი. იგი შეიძლება ჩაითვალოს არა მხოლოდ მეცნიერების თვალსაზრისით, არამედ ღირებულ სამეცნიერო ძეგლადაც.

ამ გამრავლების ცხრილმა დროთა განმავლობაში განიცადა მთელი რიგი ცვლილებები: მისგან ამოღებულია ნული, ხოლო რიცხვები 1-დან 10-მდე აღნიშნავენ საკუთარ თავს, ბრძანებების გათვალისწინების გარეშე (ასობით, ათასობით ...). ეს არის ცხრილი, რომელშიც სტრიქონებისა და სვეტების სათაურები არის რიცხვები და მათი კვეთის უჯრედების შიგთავსი მათი ნამრავლის ტოლია.

ბოლო ათწლეულების სწავლების პრაქტიკაში გაჩნდა საჭიროება პითაგორას ცხრილის დამახსოვრება „თანმიმდევრობით“, ანუ პირველ რიგში დამახსოვრება წავიდა. 1-ზე გამრავლება გამოირიცხა, რადგან შედეგი იყო 1 ან მეტი. იმავდროულად, მაგიდაზე შეუიარაღებელი თვალით შეგიძლიათ იხილოთ ნიმუში: რიცხვების ნამრავლი იზრდება ერთი ნაბიჯით, რაც უდრის სტრიქონის სათაურს. ამრიგად, მეორე ფაქტორი გვიჩვენებს, რამდენჯერ უნდა მივიღოთ პირველი, რომ მივიღოთ სასურველი პროდუქტი. ეს სისტემა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე შუა საუკუნეებში გამოიყენებოდა: იმის გაგებაც კი, თუ რა არის ნატურალური რიცხვი და რამდენად ტრივიალურია ის, ადამიანებმა მოახერხეს გაართულონ თავიანთი ყოველდღიური დათვლა სისტემის გამოყენებით, რომელიც დაფუძნებულია ორი ძალაზე.

ქვეჯგუფი, როგორც მათემატიკის აკვანი

ჩართულია ამ მომენტში N ნატურალური რიცხვების ველი განიხილება მხოლოდ კომპლექსური რიცხვების ერთ-ერთ ქვეჯგუფად, მაგრამ ეს არ ხდის მათ ნაკლებ ღირებულს მეცნიერებაში. ნატურალური რიცხვი არის პირველი, რასაც ბავშვი სწავლობს საკუთარი თავის შესწავლით და სამყარო. ერთი თითი, ორი თითი... მისი წყალობით ყალიბდება ადამიანი ლოგიკური აზროვნება, ასევე მიზეზის დადგენისა და შედეგის დასკვნის უნარი, რაც გზას უხსნის დიდ აღმოჩენებს.

უმარტივესი რიცხვია ბუნებრივი რიცხვი. ისინი გამოიყენება Ყოველდღიური ცხოვრებისდათვლისთვის ნივთები, ე.ი. მათი რიცხვის გამოთვლა და რიგი.

რა არის ბუნებრივი რიცხვი: ნატურალური რიცხვებიდაასახელეთ რიცხვები, რომლებისთვისაც გამოიყენება ნივთების დათვლა ან ნებისმიერი ნივთის სერიული ნომრის მითითება ყველა ერთგვაროვანიდანნივთები.

მთელი რიცხვებიარის რიცხვები, რომლებიც იწყება ერთიდან. ისინი ბუნებრივად წარმოიქმნება დათვლისას.მაგალითად, 1,2,3,4,5... -პირველი ნატურალური რიცხვები.

უმცირესი ბუნებრივი რიცხვი- ერთი. არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი. რიცხვის დათვლისას ნული არ გამოიყენება, ამიტომ ნული ნატურალური რიცხვია.

რიცხვების ბუნებრივი სერიაარის ყველა ნატურალური რიცხვის მიმდევრობა. დაწერეთ ნატურალური რიცხვები:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ნატურალურ რიცხვებში თითოეული რიცხვი წინაზე ერთით მეტია.

რამდენი რიცხვია ნატურალურ სერიაში? ბუნებრივი რიგი უსასრულოა, არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი.

ათწილადი, რადგან ნებისმიერი კატეგორიის 10 ერთეული ქმნის უმაღლესი რიგის 1 ერთეულს. პოზიციური ისე როგორ არის დამოკიდებული ციფრის მნიშვნელობა რიცხვში მის ადგილს, ე.ი. კატეგორიიდან, სადაც არის ჩაწერილი.

ნატურალური რიცხვების კლასები.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს 10 არაბული რიცხვის გამოყენებით:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ნატურალური რიცხვების წასაკითხად ისინი მარჯვნიდან დაწყებული იყოფა 3-ნიშნა ჯგუფებად. 3 ჯერ რიცხვები მარჯვნივ არის ერთეულების კლასი, შემდეგი 3 არის ათასობით კლასი, შემდეგ მილიონების, მილიარდების დადა ა.შ. კლასის თითოეულ ციფრს მისი ეწოდებაგამონადენი.

ნატურალური რიცხვების შედარება.

2 ნატურალური რიცხვიდან ნაკლებია რიცხვი, რომელსაც ადრე ეძახიან დათვლაში. Მაგალითად, ნომერი 7 ნაკლები 11 (დაწერილი ასე:7 < 11 ). როცა ერთი ნომერი წამზე მეტი, ასე წერია:386 > 99 .

ციფრების ცხრილი და რიცხვების კლასები.


1 კლასის ერთეული	1 ერთეული ციფრი მე-2 ადგილი ათი მე-3 რანგის ასობით
მე-2 კლასი ათასი	ათასის 1 ციფრიანი ერთეული მე-2 ციფრი ათიათასობით მე-3 ადგილი ასიათასობით
მე-3 კლასი მილიონი	პირველი ციფრი ერთეული მილიონი მე-2 ციფრი ათობით მილიონი მე-3 ციფრი ასობით მილიონი
მე-4 კლასი მილიარდები	პირველი ციფრი ერთეული მილიარდი მე-2 ციფრი ათობით მილიარდი მე-3 ციფრი ასობით მილიარდი

ნომრები მე-5 კლასის და ზემოთ ეხება დიდი რიცხვები. მე-5 კლასის ერთეულები - ტრილიონები, მე-6 კლასი - კვადრილიონები, მე-7 კლასი - კვინტილიონები, მე-8 კლასი - სექსტილიონები, მე-9 კლასი -ეპილიონები.

ნატურალური რიცხვების ძირითადი თვისებები.

დამატების კომუტატიულობა . a + b = b + a
გამრავლების კომუტატიულობა. აბ=ბა
დამატების ასოციაციურობა. (a + b) + c = a + (b + c)
გამრავლების ასოციაციურობა.
გამრავლების განაწილება შეკრების მიმართ:

მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებზე.

4. ნატურალური რიცხვების გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

თუ b ∙ c \u003d a, ეს

გაყოფის ფორმულები:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(ა∙ ბ) : c = (a:c) ∙ ბ

(ა∙ ბ) : c = (ბ:გ) ∙ ა

რიცხვითი გამონათქვამები და რიცხვითი ტოლობები.

არის აღნიშვნა, სადაც რიცხვები დაკავშირებულია მოქმედების ნიშნებით რიცხვითი გამოხატულება.

მაგალითად, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ჩანაწერები, სადაც ტოლობის ნიშანი აერთიანებს 2 რიცხვით გამოსახულებას რიცხვითი ტოლობები. თანასწორობას აქვს მარცხენა და მარჯვენა მხარე.

არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა.

რიცხვების შეკრება და გამოკლება პირველი ხარისხის მოქმედებებია, ხოლო გამრავლება და გაყოფა მეორე ხარისხის მოქმედებებია.

როდესაც რიცხვითი გამოხატულება შედგება მხოლოდ ერთი ხარისხის მოქმედებებისაგან, მაშინ ისინი სრულდება თანმიმდევრობითმარცხნიდან მარჯვნივ.

როდესაც გამონათქვამები შედგება მხოლოდ პირველი და მეორე ხარისხის მოქმედებებისაგან, მაშინ მოქმედებები პირველად სრულდება მეორე ხარისხის, შემდეგ კი - პირველი ხარისხის მოქმედებები.

როდესაც გამონათქვამში არის ფრჩხილები, პირველ რიგში სრულდება ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები.

მაგალითად, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: