3 și 6 sunt numere prime relativ. Definiția numerelor coprime

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Această lucrare are scopul de a însoți explicația subiect nou. Profesorul alege temele practice și temele pentru acasă la discreția sa.

Echipament: computer, proiector, ecran.

Progresul explicației

Slide 1. Cel mai mare divizor comun.

munca orală.

1. Calculați:

A)
0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?
b)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Răspunsuri: a) 8; b) 3.

2. Infirmați afirmația: numărul „2” este divizorul comun al tuturor numerelor.”

Evident, numerele impare nu sunt divizibile cu 2.

3. Cum se numesc numerele care sunt multipli de 2?

4. Numiți un număr care este un divizor al oricărui număr.

În scris.

1. Factorizați numărul 2376 în factori primi.

2. Aflați toți divizorii comuni ai lui 18 și 60.

Care este cel mai mare divizor comun dintre 18 și 60.

Încercați să formulați ce număr se numește cel mai mare divizor comun a două numere naturale

Regulă. Cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest se numește cel mai mare divizor comun.

Ei scriu: GCD (18; 60) = 6.

Vă rog să-mi spuneți, este convenabilă metoda considerată de a găsi GCD?

Numerele pot fi prea mari și le este dificil să enumere toți divizorii.

Să încercăm să găsim o altă modalitate de a găsi GCD.

Să descompunem numerele 18 și 60 în factori primi:

18 =

Dați exemple de divizori ai numărului 18.

Numere: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Dați exemple de divizori ai numărului 60.

Numere: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; treizeci; 60.

Dați exemple de divizori comuni ai lui 18 și 60.

Numere: 1; 2; 3; 6.

Cum poți găsi cel mai mare divizor comun dintre 18 și 60?

Algoritm.

1. Descompune aceste numere în factori primi.

2. Comparați multiplicatorii numerelor și tăiați-i pe diferiți.

3. Calculați produsul factorilor rămași.

Slide 4. În mod reciproc numere prime.

Exercițiu. Găsiți MCD al numerelor 24 și 35.

Regulă. Se spune că numerele naturale sunt între prime dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1.

Acest lucru este interesant!

Divizori ai numărului 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Divizori ai lui 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; treizeci; 60.
GCD (18;60) = 6.
Divizori ai lui 6: 1; 2; 3; 6.
Rețineți că numerele 1; 2; 3; 6 sunt divizori comuni ai lui 18 și 60.
De exemplu, MCD (108; 196) = 4. Deci, putem spune imediat că divizorii comuni ai numerelor 108 și 196 sunt divizorii numărului 4, adică 1; 2; 4.

Fiecare divizor al numărului mcd (a;b) este un divizor comun al numerelor a și b și, invers, fiecare dintre divizorii lor comun este un divizor al numărului mcd (a;b).

Ce sunt numerele coprime?

Definiția numerelor coprime

Definiția numerelor coprime:

Numerele coprime sunt numere întregi care nu au divizori comuni alții decât unu.

Exemple de numere coprime

Exemplu coprim:

2 și 3 nu au alți divizori comuni decât unul.

Un alt exemplu de numere relativ prime:

3 și 7 nu au alți divizori comuni decât unul.

Un alt exemplu de numere coprime:

11 și 13 nu au alți divizori comuni decât unul.

Acum putem răspunde la întrebarea ce înseamnă numerele coprime.

Ce înseamnă un număr coprim?

Acestea sunt numere întregi care nu au divizori comuni alții decât unul.

Două numere coprime

Fiecare dintre aceste perechi sunt două numere relativ prime.

11 și 15
15 și 16
16 și 23

Divizori comuni ai numerelor coprime

Divizorii comuni ai primelor coprime sunt doar unul, după cum reiese din definiția primelor coprime.

Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime

Cel mai mare divizor comun al coprimelor este unul, după cum reiese din definiția coprimelor.

Sunt numerele relativ prime?

Numerele 3 și 13 sunt coprime? Da, pentru că nu au divizori comuni, cu excepția unuia.

Numerele 3 și 12 sunt coprime? Nu, pentru că au divizori comuni 1 și 3. Și, după definiția numerelor coprime, doar unul ar trebui să fie un divizor comun.

Numerele 3 și 108 sunt coprime? Nu, pentru că au divizori comuni 1 și 3. Și, după definiția numerelor coprime, doar unul ar trebui să fie un divizor comun.

Numerele 108 și 5 sunt coprime? Da, pentru că nu au divizori comuni, cu excepția unuia.

Manualele de matematică sunt uneori greu de citit. Limbajul sec și clar al autorilor nu este întotdeauna ușor de înțeles. Da, iar subiectele de acolo sunt întotdeauna interconectate, curgând reciproc. Pentru a stăpâni un subiect, trebuie să ridicați un număr de subiecte anterioare și, uneori, să răsfoiți întregul manual. Dificil? Da. Și să ne asumăm riscul de a ocoli aceste dificultăți și să încercăm să găsim o abordare non-standard a subiectului. Să facem un fel de excursie în țara numerelor. Totuși, vom lăsa definiția aceeași, deoarece regulile matematicii nu pot fi anulate. Deci, numerele coprime sunt numere naturale cu un divizor comun egal cu unu. Este clar? Destul de.

Pentru un exemplu mai vizual, să luăm numerele 6 și 13. Ambele sunt divizibile cu unul (prim reciproc). Dar numerele 12 și 14 nu pot fi astfel, deoarece sunt divizibile nu numai cu 1, ci și cu 2. Următoarele numere - 21 și 47, de asemenea, nu se încadrează în categoria „numerelor coprime”: ele pot fi împărțite nu numai cu 1, dar și pe 7.

Numerele coprime se notează după cum urmează: ( A, y) = 1.

Se poate spune și mai simplu: divizorul comun (cel mai mare) aici este egal cu unu.
De ce avem nevoie de asemenea cunoștințe? Motiv suficient.

Incluse reciproc în unele sisteme de criptare. Cei care lucrează cu cifrurile Hill sau cu sistemul de substituție Caesar înțeleg că fără aceste cunoștințe, nu poți ajunge nicăieri. Dacă ați auzit despre generatoare, atunci este puțin probabil să îndrăznești să negi: numerele coprime sunt folosite și acolo.

Acum să vorbim despre modalități de a obține astfel de simple, după cum înțelegeți, pot avea doar doi divizori: sunt divizibili prin ei înșiși și cu unul. Să presupunem că 11, 7, 5, 3 sunt numere prime, dar 9 nu este, deoarece acest număr este deja divizibil cu 9, 3 și 1.

Si daca A este un număr prim și la- din set (1, 2,... A- 1), atunci este garantat ( A, la) = 1 sau numere coprime — AȘi la.

Aceasta nu este, mai degrabă, nici măcar o explicație, ci o repetare sau o rezumare a ceea ce tocmai s-a spus.

Obținerea numerelor prime este posibilă, însă, pentru numere impresionante (miliarde, de exemplu), această metodă este prea lungă, dar, spre deosebire de super-formule, care greșesc uneori, este mai fiabilă.

Poate lucra prin alegere la > A. Pentru a face acest lucru, y este ales astfel încât numărul pornit A nu a împărtășit. Pentru a face acest lucru, un număr prim este înmulțit cu un număr natural și se adaugă o valoare (sau, dimpotrivă, se scade) (de exemplu, R), care este mai puțin A:

y= R a + k

Dacă, de exemplu, A = 71, R= 3, q=10, apoi, respectiv, la aici va fi egal cu 713. Este posibilă o altă selecție, cu grade.

Numerele compuse, spre deosebire de numerele coprime, sunt divizibile cu ele însele, cu 1 și cu alte numere (și fără rest).

Cu alte cuvinte, (cu excepția unuia) sunt împărțite în compozite și simple.

Numerele prime sunt numere naturale care nu au divizori non-triviali (altele decât numărul în sine și unitatea). Rolul lor este deosebit de important în criptografia actuală, modernă, în dezvoltare rapidă, datorită căreia, considerată anterior o disciplină extrem de abstractă, a devenit atât de solicitată: algoritmii de protecție a datelor sunt în permanență îmbunătățiți.

Cel mai mare număr prim a fost găsit de medicul oftalmolog Martin Nowak, care a participat la proiectul GIMPS (computing de distribuție), împreună cu alți entuziaști, dintre care au fost aproximativ 15 mii. A fost nevoie de șase pentru a calcula de ani lungi. Au fost implicate două duzini și jumătate de calculatoare situate în clinica oftalmologică a lui Novak. Rezultatul muncii și perseverenței titanice a fost numărul 225964951-1, scris cu 7816230 de zecimale. De altfel, înregistrarea un numar mare a fost livrat cu șase luni înainte de această descoperire. Și au fost cu jumătate de milion mai puține semne.

Pentru un geniu care vrea să numească un număr, unde durata notație zecimală„sări peste” marca de zece milioane, există șansa de a obține nu numai faima mondială, ci și 100.000 de dolari. Apropo, Nayan Khairatwal a primit o sumă mai mică (50.000 de dolari) pentru numărul care a depășit pragul milionului.

Informațiile din acest articol acoperă subiectul „ numere relativ prime". În primul rând, este dată definiția a două numere coprime, precum și definiția a trei sau mai multe numere coprime. Aceasta este urmată de exemple de numere coprime și de cum să demonstrăm că numerele date sunt coprime. În plus, principalele proprietăți ale numerelor coprime sunt enumerate și demonstrate. În concluzie, sunt menționate numere prime perechi, deoarece sunt strâns legate de numerele coprime.

Navigare în pagină.

Adesea există sarcini în care se cere să se demonstreze că numerele întregi date sunt între prime. Dovada se reduce la calculul maximului divizor comun numere date și verificând GCD-ul pentru egalitatea lui cu unu. De asemenea, este util să ne uităm în tabelul numerelor prime înainte de a calcula GCD: dintr-o dată numerele întregi originale sunt prime și știm că cel mai mare divizor comun al numerelor prime este egal cu unu. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Demonstrați că numerele 84 și 275 sunt coprime.

Soluţie.

Evident, aceste numere nu sunt prime, așa că nu putem vorbi imediat despre simplitatea reciprocă a numerelor 84 și 275 și va trebui să calculăm GCD. Utilizați algoritmul euclidian pentru a găsi GCD: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , prin urmare mcd (84, 275)=1. Aceasta dovedește că numerele 84 și 275 sunt coprime.

Definiția numerelor coprime poate fi extinsă la trei sau mai multe numere.

Definiție.

Se numesc numere întregi a 1 , a 2 , …, a k , k>2 coprime dacă cel mai mare divizor comun al acestor numere este egal cu unu.

Din definiția de mai sus rezultă că, dacă un anumit set de numere întregi are un divizor comun pozitiv altul decât unul, atunci aceste numere întregi nu sunt coprime.

Să dăm exemple. Cele trei numere întregi -99 , 17 și -27 sunt coprime. Orice colecție de numere prime alcătuiește un set de numere relativ prime, de exemplu, 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 și 677 sunt numere relativ prime. Și cele patru numere 12 , −9 , 900 și −72 nu sunt relativ prime deoarece au un divizor comun pozitiv 3 , care este diferit de 1 . Numerele 17, 85 și 187 nu sunt, de asemenea, coprime, deoarece fiecare dintre ele este divizibil cu 17.

De obicei, este departe de a fi evident că unele numere sunt coprime și acest fapt trebuie demonstrat. Pentru a afla dacă aceste numere sunt coprime, trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun al acestor numere și, pe baza definiției numerelor coprime, să trageți o concluzie.

Exemplu.

Sunt numerele 331 , 463 și 733 relativ prime?

Soluţie.

Privind tabelul numerelor prime, constatăm că fiecare dintre numerele 331, 463 și 733 este prim. Prin urmare, au un singur divizor comun pozitiv, unul. Astfel, cele trei numere 331, 463 și 733 sunt numere relativ prime.

Răspuns:

Da.

Exemplu.

Demonstrați că numerele −14 , 105 , −2 107 și −91 nu sunt între prime.

Soluţie.

Pentru a demonstra că aceste numere nu sunt coprime, puteți găsi mcd-ul lor și vă asigurați că nu este egal cu unu. Deci hai sa o facem.

Deoarece divizorii numerelor întregi negative sunt aceiași cu divizorii celor corespunzătoare, atunci mcd(−14, 105, 2107, −91)= mcd(14, 105, 2 107, 91) . Revenind la materialul articolului, găsind cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere, aflăm că GCD(14, 105, 2 107, 91)=7. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor originale este șapte, astfel încât aceste numere nu sunt coprime.

Proprietățile numerelor coprime

Numerele coprime au o serie de proprietăți. Luați în considerare principalul proprietăți coprime.

Numerele obținute prin împărțirea numerelor întregi a și b la cel mai mare divizor comun al lor sunt coprime, adică a:gcd(a, b) și b:gcd(a, b) sunt coprime.

Am demonstrat această proprietate când am analizat proprietățile GCD.

Proprietatea considerată a numerelor coprime permite găsirea perechilor de numere coprime. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două numere întregi și să le împărțiți la cel mai mare divizor comun, numerele rezultate vor fi coprime.

Pentru ca numerele întregi a și b să fie între prime, este necesar și suficient să existe astfel de numere întregi u 0 și v 0 încât a·u 0 +b·v 0 =1 .

Să demonstrăm mai întâi necesitatea.

Fie numerele a și b coprime. Apoi, prin definiția numerelor coprime gcd(a, b)=1 . Și din proprietățile mcd, știm că pentru numerele întregi a și b relația Bezout a u 0 +b v 0 =gcd(a, b) este adevărată. Prin urmare, a·u 0 +b·v 0 =1.

Rămâne de dovedit suficientă.

Fie adevărată egalitatea a·u 0 +b·v 0 =1. Deoarece mcd(a, b) împarte atât a cât și b, atunci mcd(a, b) din cauza proprietăților de divizibilitate trebuie să împartă suma a u 0 + b v 0 și, prin urmare, unitatea. Și acest lucru este posibil numai atunci când gcd(a, b)=1 . Prin urmare, a și b sunt numere coprime.

Următoarea proprietate a numerelor coprime este următoarea: dacă numerele a și b sunt coprime și produsul a c este divizibil cu b, atunci c este divizibil cu b.

Într-adevăr, întrucât a și b sunt între prime, din proprietatea anterioară avem egalitatea a u 0 +b v 0 =1 . Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cu c , avem a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . Primul termen al sumei a c u 0 +b c v 0 este divizibil cu b, deoarece a c este divizibil cu b prin condiție, al doilea termen al acestei sume este de asemenea divizibil cu b, deoarece unul dintre factori este egal cu b, prin urmare, întreaga sumă este divizibilă cu b. Și întrucât suma a·c·u 0 +b·c·v 0 este egală cu c, atunci c este și divizibil cu b.

Dacă numerele a și b sunt relativ prime, atunci mcd(a c, b)=mcd(c, b) .

Să arătăm, în primul rând, că mcd(a c, b) împarte mcd(c, b) și, în al doilea rând, că mcd(c, b) împarte mcd(a c, b) , aceasta va dovedi egalitatea mcd(a c, b) =gcd(c, b) .

GCD(a c, b) împarte atât a c, cât și b , iar din moment ce mcd(a c, b) împarte b , el împarte și b c . Adică, mcd(a c, b) împarte atât a c, cât și b c , prin urmare, datorită proprietăților celui mai mare divizor comun, împarte și mcd(a c, b c) , care, după proprietățile mcd, este c c gcd(a). , b)=c . Astfel mcd(a c, b) împarte atât b, cât și c, prin urmare mcd(c, b) împarte și ele.

Pe de altă parte, mcd(c, b) împarte atât c, cât și b , și deoarece împarte c , împarte și a c . Deci mcd(c, b) împarte atât a c, cât și b, prin urmare mcd(a c, b) împarte și ele.

Deci am arătat că mcd(a c, b) și mcd(c, b) se împart reciproc, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Dacă fiecare dintre numerele a 1 , a 2 , …, a k este coprim cu fiecare dintre numerele b 1 , b 2 , …, b m (unde k și m sunt unele numere întregi), atunci produsele a 1 a 2 ... a k și b 1 b 2 ... b m sunt numere coprime, în special dacă a 1 =a 2 =...=a k =a și b 1 =b 2 = …=b m =b , atunci a k și b m sunt numere coprime.

Proprietatea anterioară a numerelor coprime ne permite să scriem o serie de egalități de formă GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= GCD(a 2 ... a k , b m)=…= GCD(a k , b m)=1, unde ultima tranziție este posibilă, deoarece a k și b m sunt numere coprime prin presupunere. Asa de, GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Acum, notând a 1 ·a 2 ·…·a k =A , avem
GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= GCD(b 1 b 2 ... b m , A)=
=gcd(b 2 ... b m , A)=... =gcd(b m , A)=1
(ultima tranziție este valabilă, în virtutea ultimei egalități din paragraful anterior). Deci avem egalitate GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, care demonstrează că produsele a 1 ·a 2 ·…·a k și b 1 ·b 2 ·…·b m sunt numere coprime.

Aceasta încheie trecerea în revistă a principalelor proprietăți ale numerelor coprime.

Numere prime în perechi - Definiții și exemple

În termeni de numere coprime este dat definiția primelor perechi.

Definiție.

Numerele întregi a 1 , a 2 , …, a k , fiecare dintre ele coprime cu toate celelalte, se numesc numere prime perechi.

Să dăm un exemplu de numere prime în perechi. Numerele 14, 9, 17 și -25 sunt prime pe perechi, deoarece perechile de numere 14 și 9, 14 și 17, 14 și -25, 9 și 17, 9 și -25, 17 și -25 sunt numere coprime. Aici observăm că numerele prime pe perechi sunt întotdeauna coprime.

Pe de altă parte, numerele prime relativ nu sunt întotdeauna prime în perechi, acest lucru este confirmat de următorul exemplu. Numerele 8 , 16 , 5 și 15 nu sunt prime pe perechi, deoarece numerele 8 și 16 nu sunt coprime. Cu toate acestea, numerele 8 , 16 , 5 și 15 sunt coprime. Deci 8, 16, 5 și 15 sunt numere prime relativ, dar nu prime în perechi.

Este necesar să se sublinieze mulțimea unui anumit număr de numere prime. Aceste numere sunt întotdeauna atât prime coprime, cât și prime perechi. De exemplu, 71 , 443 , 857 , 991 sunt ambele numere prime pe perechi și numere coprime.

De asemenea, este clar că atunci când vorbim aproximativ două numere întregi, atunci pentru ele conceptele de „prim în perechi” și „coprim” coincid.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
Kulikov L.Ya. și altele.Colecție de probleme în algebră și teoria numerelor: Tutorial pentru studenții la fizică și matematică. specialităţile institutelor pedagogice.

Ar putea fi util să citiți: