Numerele coprime - definiție, exemple și proprietăți. Numerele coprime

Ce este reciproc numere prime?

Definiția numerelor coprime

Definiția numerelor coprime:

Numerele coprime sunt numere întregi care nu au alți factori comuni decât unul.

Exemple de numere coprime

Exemplu de numere coprime:

2 și 3 nu au alți divizori comuni decât unul.

Un alt exemplu de numere coprime:

3 și 7 nu au alți factori comuni decât unul.

Un alt exemplu de numere coprime:

11 și 13 nu au alți factori comuni decât unul.

Acum putem răspunde la întrebarea ce înseamnă numerele coprime.

Ce înseamnă numerele coprime?

Acestea sunt numere întregi care nu au divizori comuni alții decât unul.

Două numere coprime

Fiecare dintre aceste perechi este două numere relativ prime.

11 și 15
15 și 16
16 și 23

Divizori comuni ai numerelor coprime

Divizorii comuni ai numerelor coprime sunt doar unul, după cum reiese din definiția numerelor coprime.

Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime

Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime este unul, după cum reiese din definiția numerelor coprime.

Numerele sunt coprime?

Numerele 3 și 13 sunt coprime? Da, pentru că nu au divizori comuni decât unul.

Numerele 3 și 12 sunt coprime? Nu, deoarece divizorii lor comuni sunt 1 și 3. Și după definiția numerelor coprime, divizorul comun ar trebui să fie doar unul.

Numerele 3 și 108 sunt coprime? Nu, deoarece divizorii lor comuni sunt 1 și 3. Și după definiția numerelor coprime, divizorul comun ar trebui să fie doar unul.

Numerele 108 și 5 sunt coprime? Da, pentru că nu au divizori comuni decât unul.

Informațiile din acest articol acoperă subiectul „ numere coprime" În primul rând, este dată definiția a două numere coprime, precum și definiția a trei sau mai multe numere coprime. După aceasta, sunt date exemple de numere coprime și se arată cum să se demonstreze că numerele date sunt coprime. Următoarele enumeră și demonstrează proprietățile de bază ale numerelor coprime. În cele din urmă, numerele prime în perechi sunt menționate deoarece sunt strâns legate de numerele coprime.

Navigare în pagină.

Există adesea sarcini în care trebuie să demonstrați că numerele întregi date sunt relativ prime. Dovada se rezumă la calcularea celui mai mare divizor comun al numerelor date și la verificarea mcd-ului pentru a vedea dacă este egal cu unu. De asemenea, este util să ne uităm la tabelul numerelor prime înainte de a calcula GCD: dintr-o dată numerele întregi originale sunt prime și știm că cel mai mare divizor comun al numerelor prime este egal cu unu. Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Demonstrați că numerele 84 și 275 sunt relativ prime.

Soluţie.

Evident, aceste numere nu sunt prime, așa că nu putem vorbi imediat despre primul relativ al numerelor 84 și 275 și va trebui să calculăm mcd. Folosim algoritmul euclidian pentru a găsi GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, prin urmare, mcd(84, 275)=1. Acest lucru demonstrează că numerele 84 și 275 sunt relativ prime.

Definiția numerelor coprime poate fi extinsă la trei sau mai multe numere.

Definiție.

Se numesc numere întregi a 1 , a 2 , …, a k , k>2 prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al acestor numere este egal cu unu.

Din definiția menționată rezultă că, dacă un anumit set de numere întregi are un divizor comun pozitiv, altul decât unul, atunci aceste numere întregi nu sunt coprime.

Să dăm exemple. Trei numere întregi −99, 17 și −27 sunt relativ prime. Orice colecție de numere prime constituie un set de numere coprime, de exemplu, 2, 3, 11, 19, 151, 293 și 677 sunt numere coprime. Și cele patru numere 12, −9, 900 și −72 nu sunt între prime deoarece au un divizor comun pozitiv 3, altul decât 1. Numerele 17, 85 și 187 nu sunt, de asemenea, relativ prime, deoarece fiecare dintre ele este divizibil cu 17.

De obicei, este departe de a fi evident că unele numere sunt relativ prime și acest fapt trebuie dovedit. Pentru a afla dacă numerele date sunt coprime, trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun al acestor numere și să trageți o concluzie bazată pe definiția numerelor coprime.

Exemplu.

Sunt numerele 331, 463 și 733 relativ prime?

Soluţie.

Privind tabelul numerelor prime, vom descoperi că fiecare dintre numerele 331, 463 și 733 este prim. Prin urmare, au un singur divizor comun pozitiv - unu. Astfel, cele trei numere 331, 463 și 733 sunt numere relativ prime.

Răspuns:

Da.

Exemplu.

Demonstrați că numerele −14 , 105 , −2 107 și −91 nu sunt între prime.

Soluţie.

Pentru a demonstra că aceste numere nu sunt relativ prime, puteți găsi mcd-ul lor și vă asigurați că nu este egal cu unu. Asta vom face.

Deoarece divizorii numerelor întregi negative coincid cu divizorii celor corespunzătoare, atunci GCD(−14, 105, 2 107, −91)= GCD(14, 105, 2 107, 91) . Revenind la materialul din articolul de găsire a celui mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere, aflăm că GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor originale este șapte, astfel încât aceste numere nu sunt coprime.

Proprietățile numerelor coprime

Numerele coprime au o serie de proprietăți. Să ne uităm la principal proprietățile numerelor coprime.

Numerele obținute prin împărțirea numerelor întregi a și b la cel mai mare divizor comun al lor sunt coprime, adică a:GCD(a, b) și b:GCD(a, b) sunt coprime.

Am demonstrat această proprietate când am examinat proprietățile GCD.

Proprietatea considerată a numerelor coprime ne permite să găsim perechi de numere coprime. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două numere întregi și să le împărțiți la cel mai mare divizor comun, numerele rezultate vor fi relativ prime.

Pentru ca numerele întregi a și b să fie relativ prime, este necesar și suficient să existe numere întregi u 0 și v 0 astfel încât a·u 0 +b·v 0 =1.

Să demonstrăm mai întâi necesitatea.

Fie numerele a și b relativ prime. Apoi, prin definiția numerelor coprime, GCD(a, b)=1. Și din proprietățile GCD știm că pentru numerele întregi a și b relația Bezout a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) este adevărată. Prin urmare, a·u 0 +b·v 0 =1.

Rămâne să se dovedească suficiența.

Fie adevărată egalitatea a·u 0 +b·v 0 =1. Deoarece MCD(a, b) împarte atât a cât și b, atunci MCD(a, b), datorită proprietăților divizibilității, trebuie să împartă suma a·u 0 +b·v 0 și, prin urmare, unitatea. Și acest lucru este posibil numai când GCD(a, b)=1. Prin urmare, a și b sunt numere prime relativ.

Următoarea proprietate a numerelor coprime este aceasta: dacă numerele a și b sunt coprime și produsul a·c este divizibil cu b, atunci c este divizibil cu b.

Într-adevăr, întrucât a și b sunt relativ primi, atunci din proprietatea anterioară avem egalitatea a·u 0 +b·v 0 =1. Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cu c, avem a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. Primul termen al sumei a·c·u 0 +b·c·v 0 se împarte la b, deoarece a·c se împarte la b conform condiției, al doilea termen al acestei sume se împarte și la b, deoarece unul dintre factori este egal cu b, prin urmare, întreaga sumă este împărțită la b. Și întrucât suma a·c·u 0 +b·c·v 0 este egală cu c, atunci c este divizibil cu b.

Dacă numerele a și b sunt relativ prime, atunci mcd(a c, b) = mcd(c, b) .

Să arătăm, în primul rând, că mcd(a c, b) împarte mcd(c, b) și, în al doilea rând, că mcd(c, b) împarte mcd(a c, b), aceasta va demonstra egalitatea GCD(a c, b) =GCD(c, b) .

GCD(a c, b) împarte atât a c, cât și b și, deoarece mcd(a c, b) împarte b, împarte și b c. Adică, mcd(a c, b) împarte atât a c, cât și b c, prin urmare, datorită proprietăților celui mai mare divizor comun, împarte și mcd(a c, b c), care, conform proprietăților mcd, este egal cu c GCD(a, b)=c . Astfel, mcd(a c, b) împarte atât b, cât și c, prin urmare, împarte și mcd(c, b).

Pe de altă parte, GCD(c, b) împarte atât c, cât și b și, deoarece împarte c, împarte și a·c. Astfel, mcd(c, b) împarte atât a c, cât și b, prin urmare, împarte și mcd(a c, b).

Deci am arătat că mcd(a c, b) și mcd(c, b) se împart reciproc, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Dacă fiecare dintre numerele a 1 , a 2 , …, a k este coprim cu fiecare dintre numerele b 1 , b 2 , …, b m (unde k și m sunt numere naturale), atunci produsele a 1 · a 2 · … · a k și b 1 · b 2 ·…·b m sunt numere coprime, în special, dacă a 1 =a 2 =…=a k =a și b 1 =b 2 =…=b m =b, atunci a k și b m sunt numere coprime.

Proprietatea anterioară a numerelor coprime ne permite să scriem o serie de egalități de formă GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1, unde ultima tranziție este posibilă, deoarece a k și b m sunt numere prime reciproc prin condiție. Asa de, GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1.

Acum, notând a 1 ·a 2 ·…·a k =A, avem
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= GCD(b 1 · b 2 ·…·b m , A)=
=GCD(b 2 ·…·b m , A)=… =GCD(b m , A)=1
(ultima tranziție este valabilă, datorită ultimei egalități din paragraful anterior). Așa am obținut egalitatea GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1, care demonstrează că produsele a 1 ·a 2 ·…·a k și b 1 ·b 2 ·…·b m sunt numere coprime.

Aceasta încheie revizuirea proprietăților de bază ale numerelor coprime.

Numere prime în perechi - definiții și exemple

Prin numere coprime se dă identificarea perechilor de numere prime.

Definiție.

Numerele întregi a 1, a 2, …, a k, fiecare fiind relativ prim față de toate celelalte, se numesc numere prime perechi.

Să dăm un exemplu de numere prime în perechi. Numerele 14, 9, 17 și −25 sunt prime pe perechi, deoarece perechile de numere 14 și 9, 14 și 17, 14 și −25, 9 și 17, 9 și −25, 17 și −25 sunt numere coprime. Aici observăm că numerele prime pe perechi sunt întotdeauna coprime.

Pe de altă parte, numerele prime relativ nu sunt întotdeauna prime în perechi, așa cum confirmă următorul exemplu. Numerele 8, 16, 5 și 15 nu sunt prime în perechi, deoarece numerele 8 și 16 nu sunt coprime. Cu toate acestea, numerele 8, 16, 5 și 15 sunt relativ prime. Astfel, 8, 16, 5 și 15 sunt numere prime relativ, dar nu prime în perechi.

Ar trebui să evidențiem în special colecția unui anumit număr de numere prime. Aceste numere sunt întotdeauna atât prime relativ, cât și prime în perechi. De exemplu, 71, 443, 857, 991 sunt ambele numere prime pe perechi și numere coprime.

De asemenea, este clar că atunci când despre care vorbim aproximativ două numere întregi, apoi pentru ei conceptele de „prim în perechi” și „prim reciproc” coincid.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya. si altele.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
Mihailovici Sh.H. Teoria numerelor.
Kulikov L.Ya. și altele.Colecție de probleme în algebră și teoria numerelor: Tutorial pentru studenții la fizică și matematică. specialităţile institutelor pedagogice.

Manualele de matematică sunt uneori greu de înțeles. Limbajul sec și clar al autorilor nu este întotdeauna ușor de înțeles. Iar subiectele de acolo sunt întotdeauna interconectate și reciproc semnificative. Pentru a stăpâni un subiect, trebuie să ridicați o serie de subiecte anterioare și, uneori, chiar să răsfoiți întregul manual. Dificil? Da. Să ne asumăm riscul de a ocoli aceste dificultăți și să încercăm să găsim o abordare non-standard a subiectului. Să facem un fel de excursie în țara numerelor. Totuși, vom lăsa în continuare aceeași definiție, deoarece regulile matematicii nu pot fi anulate. Deci, numerele coprime sunt numere naturale cu un divizor comun egal cu unu. Este clar? Destul de.

Pentru un exemplu mai vizual, să luăm numerele 6 și 13. Ambele sunt divizibile cu unul (coprime). Dar numerele 12 și 14 nu pot fi astfel, deoarece sunt divizibile nu numai cu 1, ci și cu 2. Următoarele numere, 21 și 47, nu se încadrează, de asemenea, în categoria „numerelor coprime”: ele pot fi împărțite nu doar cu 1, dar și la 7.

Numerele coprime se notează după cum urmează: ( A, y) = 1.

Se poate spune și mai simplu: divizorul comun (cel mai mare) aici este egal cu unu.
De ce avem nevoie de asemenea cunoștințe? Sunt suficiente motive.

Incluse reciproc în unele sisteme de criptare. Cei care lucrează cu cifrurile Hill sau sistemul de substituție Caesar înțeleg: fără aceste cunoștințe, nu poți ajunge nicăieri. Dacă ați auzit despre generatoare, este puțin probabil să îndrăznești să negi: și acolo sunt folosite numere relativ prime.

Acum să vorbim despre modalități de a obține astfel de simple, după cum înțelegeți, pot avea doar doi divizori: sunt divizibili prin ei înșiși și cu unul. Să presupunem că 11, 7, 5, 3 sunt numere prime, dar 9 nu este, deoarece acest număr este deja divizibil cu 9, 3 și 1.

Si daca A- numărul este prim și la- din set (1, 2,... A- 1), atunci este garantat ( A, la) = 1, sau numere coprime - AȘi la.

Aceasta nu este, mai degrabă, nici măcar o explicație, ci o repetare sau o rezumare a ceea ce tocmai s-a spus.

Obținerea numerelor prime este posibilă; totuși, pentru numere mari (miliarde, de exemplu), această metodă este prea lungă, dar, spre deosebire de super-formule, care greșesc uneori, este mai fiabilă.

Puteți lucra selectând la > A. Pentru a face acest lucru, y este ales astfel încât numărul pornit A nu a împărtășit. Pentru a face acest lucru, un număr prim este înmulțit cu un număr natural și se adună (sau, dimpotrivă, se scade) o cantitate (de exemplu, R), care este mai puțin A:

y = R a + k

Dacă, de exemplu, A = 71, R= 3, q=10, apoi, în consecință, la aici va fi egal cu 713. Este posibilă o altă selecție, cu grade.

Numerele compuse, spre deosebire de numerele prime relativ, sunt divizibile cu ele însele, cu 1 și cu alte numere (și fără rest).

Cu alte cuvinte, (cu excepția unuia) sunt împărțite în compuse și simple.

Numerele prime sunt numere naturale care nu au divizori netriviali (diferiți de numărul în sine și de unitate). Rolul lor este deosebit de important în criptografia modernă de astăzi, în dezvoltare rapidă, datorită căreia o disciplină considerată anterior una extrem de abstractă a devenit atât de solicitată: algoritmii de protecție a datelor sunt în permanență îmbunătățiți.

Cel mai mare număr prim a fost găsit de medicul oftalmolog Martin Nowak, care a participat la proiectul GIMPS (computing distribuit) împreună cu alți entuziaști, care au numărat aproximativ 15 mii. Calculele au durat șase de ani lungi. Au fost implicate două duzini și jumătate de calculatoare situate în clinica oftalmologică a lui Novak. Rezultatul muncii și perseverenței titanice a fost numărul 225964951-1, scris cu 7816230 de zecimale. Apropo, înregistrarea în sine un numar mare a fost organizat cu șase luni înainte de această deschidere. Și au fost cu jumătate de milion mai puține semne.

Un geniu care vrea să numească un număr, unde este durata notație zecimală„sare” pragul de zece milioane, există șansa de a primi nu numai faimă în întreaga lume, ci și 100.000 de dolari. Apropo, pentru numărul care a depășit pragul milionului de cifre, Nayan Khairatwal a primit o sumă mai mică (50.000 de dolari).

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Această lucrare are scopul de a însoți explicația subiect nou. Profesorul selectează temele practice și temele pentru acasă la propria discreție.

Echipament: computer, proiector, ecran.

Progresul explicației

Slide 1. Cel mai mare divizor comun.

Lucrări orale.

1. Calculați:

A)
0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?
b)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Răspunsuri: a) 8; b) 3.

2. Infirmați afirmația: numărul „2” este divizorul comun al tuturor numerelor.”

Evident, numerele impare nu sunt divizibile cu 2.

3. Cum se numesc numerele care sunt multipli de 2?

4. Numiți un număr care este un divizor al oricărui număr.

În scris.

1. Factorizați numărul 2376 în factori primi.

2. Găsiți totul divizori comuni numerele 18 și 60.

Care este cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 60?

Încercați să formulați ce număr se numește cel mai mare divizor comun a două numere naturale

Regulă. Cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest se numește cel mai mare divizor comun.

Ei scriu: GCD (18; 60) = 6.

Vă rog să-mi spuneți, este convenabilă metoda considerată de a găsi GCD?

Numerele pot fi prea mari și este dificil să enumerați toți divizorii.

Să încercăm să găsim o altă modalitate de a găsi GCD.

Să factorăm numerele 18 și 60 în factori primi:

18 =

Dați exemple de divizori ai numărului 18.

Numere: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Dați exemple de divizori ai numărului 60.

Numere: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; treizeci; 60.

Dați exemple de divizori comuni ai numerelor 18 și 60.

Numere: 1; 2; 3; 6.

Cum poți găsi cel mai mare divizor comun dintre 18 și 60?

Algoritm.

1. Împărțiți numerele date în factori primi.

2. Comparați factorii numerelor și tăiați-i pe diferiți.

3. Calculați produsul factorilor rămași.

Slide 4. Numerele coprime.

Exercițiu. Aflați mcd-ul numerelor 24 și 35.

Regulă. numere întregi se numesc coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1.

Acest lucru este interesant!

Divizori ai lui 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Divizori ai lui 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; treizeci; 60.
GCD (18;60) = 6.
Divizori ai lui 6: 1; 2; 3; 6.
Rețineți că numerele sunt 1; 2; 3; 6 este divizorul comun al numerelor 18 și 60.
De exemplu, MCD (108;196) = 4. Aceasta înseamnă că putem spune imediat că divizorii comuni ai numerelor 108 și 196 sunt divizorii numărului 4, adică 1; 2; 4.

Fiecare divizor al numărului GCD (a;b) este un divizor comun al numerelor a și b și, invers, fiecare dintre divizorii lor comuni este un divizor al numărului GCD (a;b).

Ar putea fi util să citiți: