Cum să găsiți aria unui triunghi. Demonstrați care este aria triunghiului

Triunghiul este o figură binecunoscută. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Dreptunghiular, echilateral, acut, isoscel, obtuz. Fiecare dintre ele este oarecum diferit. Dar pentru orice este necesar să cunoașteți aria triunghiului.

Formule comune pentru toate triunghiurile care folosesc lungimile laturilor sau înălțimii

Denumirile adoptate în ele: laturile - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare pe a, n in, n s.

1. Aria unui triunghi se calculează ca produsul dintre ½, latura și înălțimea coborâte pe acesta. S = ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formule pentru celelalte două părți.

2. Formula lui Heron, în care apare semiperimetrul (se obișnuiește să-l notăm cu litera p mică, în contrast cu întregul perimetru). Semi-perimetrul trebuie calculat după cum urmează: se adună toate laturile și se împart la 2. Formula semi-perimetru: p \u003d (a + b + c) / 2. Apoi egalitatea pentru aria de \ u200b\u200bfigura arată astfel: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semi-perimetru, atunci o astfel de formulă va fi utilă, în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Este oarecum mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți semi-perimetrul.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Notația care este necesară pentru a citi formulele: α, β, γ - unghiuri. Ele se află laturi opuse a, b, c, respectiv.

1. Potrivit acestuia, jumătate din produsul a două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. Formulele pentru celelalte două cazuri ar trebui scrise într-un mod similar.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o latură și trei colțuri cunoscute. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există și o formulă cu o latură cunoscută și două unghiuri adiacente acesteia. Arata astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai simple. E destul de greu să-i amintești.


Formule generale pentru situația în care se cunosc razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R — razele. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă prin care se calculează aria unui triunghi este legată de semiperimetrul. S = r * r. Într-un alt mod, poate fi scris după cum urmează: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți la raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literali, arată astfel: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație vă permite să faceți fără a cunoaște laturile, dar aveți nevoie de valorile tuturor celor trei unghiuri. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghic

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Ele sunt notate cu literele latine a și b. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din aria dreptunghiului adăugat acestuia.

Matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Ea este cel mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, apare doar o fracție, denotă jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece cele două laturi ale sale sunt egale, unele formule pentru zona sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care calculează aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Dacă îl converti, va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √(4 * a 2 - b 2).

Ceva mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar, formula ariei arată ca dacă știi laturiși unghiul dintre ele. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, în problemele despre el, latura este cunoscută sau poate fi cumva recunoscută. Apoi formula pentru găsirea ariei unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.


Sarcini pentru găsirea zonei dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi dreptunghic este desenat astfel încât picioarele acestuia să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi trebuie doar să numărați numărul de celule care se potrivesc în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la doi.

Când triunghiul este acut sau obtuz, trebuie să fie desenat într-un dreptunghi. Apoi, în figura rezultată vor fi 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Zonele ultimelor două trebuie determinate prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din el cele calculate pentru cele auxiliare. Se determină aria triunghiului.

Mult mai dificilă este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi trebuie să fie înscris într-un dreptunghi, astfel încât vârfurile figurii originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri dreptunghiulare auxiliare.


Un exemplu de problemă cu formula lui Heron

Condiție. Unele triunghiuri au laturi. Ele sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Trebuie să-i cunoașteți aria.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată se află produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică, aria este √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Dacă nu aveți nevoie de mai multă precizie, atunci puteți lua rădăcina pătrată a lui 14. Este 3,74. Atunci aria va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S \u003d 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Un exemplu de problemă cu un triunghi dreptunghic

Condiție. Un picior al unui triunghi dreptunghic este cu 31 cm mai lung decât al doilea. Este necesar să aflați lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații. Primul are legătură cu zona. Al doilea este cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
În primul rând, valoarea lui „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se dovedește: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După deschiderea parantezelor, se obține o ecuație pătratică: în 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Oferă două valori \u200b\u200bpentru "în": 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns , deoarece lungimea laturii triunghiului nu poate fi o valoare negativă.

Rămâne de calculat al doilea etapă: la numărul rezultat se adaugă 31. Rezultă 40. Acestea sunt cantitățile căutate în problemă.

Răspuns. Lamele triunghiului au 9 și 40 cm.

Sarcina de a găsi latura prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură este de 15 cm, iar unghiul dintre ele este de 30º.

Soluţie. Pe baza denumirilor acceptate, latura dorită este „a”, cunoscutul „b”, unghiul dat este „γ”. Apoi formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi dreptunghic

Condiție. Vârful unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Ceilalți doi se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm Care este aria unui triunghi dreptunghic?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe catelul cunoscut al triunghiului original. Sunt asemănătoare deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii paralele.

Atunci rapoartele picioarelor lor sunt egale. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (cu piciorul dat 42 cm minus latura pătratului de 24 cm). Picioarele corespunzătoare ale triunghiului mare sunt de 42 cm și x cm. Acest „x” este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 \u003d 24 / x, adică x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul dintre 56 și 42, împărțit la doi, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața dorită este de 1176 cm 2.

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale și înălțimea trasă de acea latură. Latura spre care este trasă înălțimea se numește atunci bază. Astfel, se poate spune că Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa..

Dacă notăm lungimea bazei laterale a triunghiului ca a, înălțimea ca h, atunci obținem formula pentru aria triunghiului:

Pentru a demonstra această formulă, ar trebui să luați în considerare toate opțiunile pentru locația înălțimii în triunghi. Sunt doar trei. Acest:

  1. Înălțimea coincide cu una dintre laturile triunghiului. În acest caz, avem de-a face cu un triunghi dreptunghic în care unul dintre catete este luat ca bază. Înălțimea trasă de acest picior este celălalt picior.
  2. Înălțimea este în interiorul triunghiului. În acest caz, se intersectează cu baza și o împarte în două segmente. Acest triunghi este împărțit în două triunghiuri dreptunghiulare.
  3. Înălțimea este în afara triunghiului. În acest caz, se intersectează nu cu baza în sine, ci cu continuarea ei (linia dreaptă pe care se află baza).

Să luăm în considerare primul caz. Fie dat triunghiul ABC. În ea, o înălțime h este trasată la baza AC cu lungimea a, care a coincis cu latura BC:

După cum știți, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente. Dacă am avea un dreptunghi cu laturile ale căror lungimi sunt a și h , atunci aria lui ar fi egală cu ah. Dacă o diagonală este desenată într-un dreptunghi, atunci o împarte în două triunghiuri dreptunghiulare egale (au, respectiv, toate cele trei laturi sunt egale). Zonele acestor triunghiuri sunt, de asemenea, egale între ele și fiecare este jumătate din aria întregului dreptunghi. Astfel se demonstrează că aria unui triunghi în acest caz va fi egal cu ½ah.

Să luăm în considerare al doilea caz. Fie înălțimea BH a lungimii h în ea să intersecteze latura AC a lungimii a .

În acest caz, obținem două triunghiuri dreptunghiulare: ABH și CBH. Din primul caz luat în considerare, știm că ariile lor sunt ½ · AH · h și, respectiv, ½ · CH · h.

Aria întregului triunghi ABC este suma acestor două zone:

S = ½ AH h + ½ CH h

Să luăm factorii comuni din paranteze:

S = ½ h (AH + CH)

Dar AH și CH se adună la lungimea a. Astfel, ajungem la formula pe care am vrut să o dovedim:

S = ½ h a

Acum luați în considerare al treilea caz în care înălțimea este în afara triunghiului:

Aici putem vedea și două triunghiuri dreptunghiulare. Acestea sunt ∆ABH și ∆CBH. Iar primul îl include pe al doilea. Triunghiul dorit ABC este complementul triunghiului CBH cu triunghiul ABH. Astfel putem scrie că aria ∆ABH este egală cu suma ariilor ∆CBH și ∆ABC:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

Unde găsim aria triunghiului dorit ABC:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

Aria triunghiului ABH este ½ AH h, aria triunghiului CBH este ½ CH h:

S ∆ABC = ½ AH h – ½ CH h

Scoatem factorii comuni din paranteză:

S ∆ABC = ½ h (AH - CH)

Dar la urma urmei, dacă scădem segmentul CH din segmentul AH, atunci obținem segmentul AC, a cărui lungime este egală cu a. Prin urmare, putem scrie că în acest caz aria triunghiului este de asemenea de ½ ah.

Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și cea mai des folosită este înmulțirea înălțimii cu lungimea bazei și apoi împărțirea rezultatului la doi. Cu toate acestea, această metodă este departe de a fi singura. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom lua în considerare metode pentru calcularea ariei unor tipuri specifice de triunghi - dreptunghiular, isoscel și echilateral. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Modalități universale de a găsi aria unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notații speciale. Vom descifra fiecare dintre ele:

  • a, b, c sunt lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
  • r este raza unui cerc care poate fi înscris în triunghiul nostru;
  • R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
  • α - valoarea unghiului format de laturile b si c;
  • β este unghiul dintre a și c;
  • γ - valoarea unghiului format de laturile a și b;
  • h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
  • p este jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul este ușor de completat până la un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trase de el. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original ar trebui să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului pe care îl formează. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, la înmulțirea lungimii laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h.

Aria figurii luate în considerare se găsește înmulțind jumătate din raza cercului, care poate fi înscrisă în el, cu perimetrul acestuia. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului circumscris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghic). Acest lucru se poate face cu ajutorul unor calcule mai complexe, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice


Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? O caracteristică a acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci aria se află după cum urmează:

Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. Prin urmare, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsești zona triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este a, iar valoarea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este jumătate din produsul lungimii laturii a înmulțit cu rădăcina pătrată a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi regulat, aveți nevoie de pătratul laturii a înmulțit cu rădăcina pătrată a lui 3 și împărțit la 4.

Aria unui triunghi. În foarte multe probleme de geometrie legate de calculul suprafețelor, inclusiv sarcinile pentru examen, se folosesc formule de suprafață triunghiulară. Sunt mai multe dintre ele, aici le vom lua în considerare pe cele principale.

Ar fi prea ușor să enumerați aceste formule, această bunătate este deja suficientă în cărți de referință și pe diverse site-uri. Aș dori să transmit esența unora dintre ele. După ce ați studiat materialul articolului, veți înțelege că nu trebuie să învățați toate formulele, acestea trebuie înțelese.

Puteți restaura cu ușurință în memorie dacă acestea „zboară” brusc la momentul potrivit. Deci, mai întâi, să ne uităm la un paralelogram. Definiția sună:



De ce este asta? Totul este simplu! Pentru a arăta clar care este sensul formulei, să realizăm câteva construcții suplimentare:

Aria triunghiului (2) este egală cu aria triunghiului (1), „taiați” mental pe al doilea și transferați-l suprapunând pe primul, obținem un dreptunghi a cărui zonă este egală cu aria paralelogramului original:



Aria unui dreptunghi, după cum știți, este egală cu produsul laturilor sale adiacente. După cum se poate observa din schiță, o latură a dreptunghiului rezultat este egală cu latura paralelogramului, iar cealaltă este înălțimea sa desenată pe această latură. Prin urmare, obținem formula pentru aria unui paralelogram S = a∙h A

Să continuăm, o altă formulă pentru zona sa. Avem:

Exprimați înălțimea h a in triunghi dreptunghic unde b este ipotenuza:



Inlocuim h a in formula zonei, obtinem:



Ne-am dat seama de paralelogramul. Să trecem la triunghi.

Aria unui triunghi. Șase formule!

Prima formulă

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri de suprafață egală:



Prin urmare, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din aria paralelogramului:



* Adică, dacă știm orice latură a triunghiului și înălțimea coborâtă în această latură, atunci putem calcula întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula doi

După cum am menționat deja, formula pentru aria unui paralelogram este:

Aria unui triunghi este jumătate din aria sa, deci:



* Adică, dacă se cunosc două laturi dintr-un triunghi și unghiul dintre ele, putem calcula întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Formula lui Heron (a treia)

Această formulă este greu de obținut și nu aveți nevoie de ea. Uite ce frumoasa este, putem spune ca este amintita.

*Dacă sunt date trei laturi ale unui triunghi, atunci folosind această formulă putem calcula oricând aria acestuia.

Formula Patru

Unde reste raza cercului înscris

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului înscris în el, atunci putem găsi întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula cinci

Unde Reste raza cercului circumscris.

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului circumscris, atunci putem găsi întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Apare întrebarea: dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi, atunci nu este mai ușor să-i găsești aria folosind formula lui Heron!

Da, este mai ușor, dar nu întotdeauna, uneori devine dificil. Are de-a face cu extragerea rădăcinilor. În plus, aceste formule sunt foarte convenabile de utilizat în problemele în care aria unui triunghi este dată, laturile sale sunt date și este necesar să se găsească raza unui cerc înscris sau circumscris. Astfel de sarcini sunt incluse în examen.

 

Ar putea fi util să citiți: