Trei reguli pentru găsirea antiderivatelor. Rezumatul lecției de matematică: „Reguli pentru găsirea antiderivatelor” Formulați 3 reguli pentru găsirea unei antiderivate

Pentru fiecare acțiune matematică există o acțiune inversă. Pentru acțiunea de diferențiere (găsirea derivatelor de funcții), există și o acțiune inversă - integrare. Prin integrare, o funcție este găsită (reconstruită) din derivata sau diferențiala dată. Funcția găsită este numită antiderivat.

Definiție. Funcție diferențiabilă F(x) se numește antiderivată a funcției f(x) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval este valabilă următoarea egalitate: F′(x)=f (x).

Exemple. Găsiți antiderivate pentru funcțiile: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Deoarece (x²)′=2x, atunci, prin definiție, funcția F (x)=x² va fi o antiderivată a funcției f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Dacă notăm f (x)=3cos3x și F (x)=sin3x, atunci, prin definiția unei antiderivate, avem: F′(x)=f (x), și, prin urmare, F (x)=sin3x este o antiderivată pentru f ( x)=3cos3x.

Rețineți că (sin3x +5 )′= 3cos3x, și (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... în formă generală putem scrie: (sin3x +C)′= 3cos3x, Unde CU- o valoare constantă. Aceste exemple indică ambiguitatea acțiunii de integrare, în contrast cu acțiunea de diferențiere, când orice funcție diferențiabilă are o singură derivată.

Definiție. Dacă funcţia F(x) este o antiderivată a funcției f(x) pe un anumit interval, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma:

F(x)+C, unde C este orice număr real.

Mulțimea tuturor antiderivatelor F (x) + C ale funcției f (x) pe intervalul luat în considerare se numește integrală nedefinită și se notează cu simbolul ∫ (semn integral). Scrie: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Expresie ∫f(x)dx citiți: „ef integral de la x la de x”.

f(x)dx- expresie integrantă,

f(x)— funcția integrantă,

X este variabila de integrare.

F(x)- antiderivată a unei funcţii f(x),

CU- o valoare constantă.

Acum, exemplele luate în considerare pot fi scrise după cum urmează:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Ce înseamnă semnul d?

d— semn diferenţial - are un dublu scop: în primul rând, acest semn separă integrandul de variabila de integrare; în al doilea rând, tot ce vine după acest semn este diferențiat implicit și înmulțit cu integrand.

Exemple. Aflați integralele: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) După pictograma diferențial d cheltuieli XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Comparați cu exemplul 1).

Hai să facem o verificare. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) După pictograma diferențial d cheltuieli R. Aceasta înseamnă că variabila de integrare R, și multiplicatorul X ar trebui considerată o valoare constantă.

∫ 2хрдр=р²х+С. Comparați cu exemple 1) Și 3).

Hai să facem o verificare. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Funcția antiderivată f(x) intre (a; b) această funcție este numită F(x), că egalitatea este valabilă pentru orice X dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata unei constante CU este egal cu zero, atunci egalitatea este adevărată. Deci funcția f(x) are multe primitive F(x)+C, pentru o constantă arbitrară CU, iar aceste antiderivate diferă unele de altele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unei integrale nedefinite.

Întregul set de funcții antiderivate f(x) se numeste integrala nedefinita a acestei functii si se noteaza .

Expresia se numește integrand, A f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x).

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa incert integrare, deoarece rezultatul integrării este mai mult de o funcție F(x), și setul primitivelor sale F(x)+C.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Graficul antiderivatei D(x) se numește curba integrală. În sistemul de coordonate x0y, graficele tuturor antiderivate ale unei funcții date reprezintă o familie de curbe care depind de valoarea constantei C și sunt obținute unele de la altele printr-o deplasare paralelă de-a lungul axei 0y. Pentru exemplul discutat mai sus, avem:

J 2 x^x = x2 + C.

Familia de antiderivate (x + C) este interpretată geometric printr-un set de parabole.

Dacă trebuie să găsiți unul dintr-o familie de antiderivate, atunci sunt stabilite condiții suplimentare care vă permit să determinați constanta C. De obicei, în acest scop, sunt stabilite condiții inițiale: când argumentul x = x0, funcția are valoarea D. (x0) = y0.

Exemplu. Este necesar să se constate că una dintre antiderivatele funcției y = 2 x care ia valoarea 3 la x0 = 1.

Antiderivată necesară: D(x) = x2 + 2.

Soluţie. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Proprietăţile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu functia integrand:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu expresia integrand:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii însăşi şi o constantă arbitrară:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă , Acea

8. Proprietate:

Dacă , Acea

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Metoda de integrareîn care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului (sau expresiei) și aplicarea proprietăților integralei nedefinite, se numește integrare directă. Când reduceți această integrală la una tabelară, sunt adesea folosite următoarele transformări diferențiale (operația " subscriind la semnul diferenţial»):

Deloc, f’(u)du = d(f(u)). Aceasta (formula este foarte des folosită la calcularea integralelor.

Găsiți integrala

Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la mai multe tabelare.

4. Integrarea prin metoda substituției.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul prin această variabilă și ca rezultat ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.

Foarte des metoda substituției vine în ajutor atunci când integrăm funcții trigonometrice și funcții cu radicali.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Să introducem o nouă variabilă. Să ne exprimăm X prin z:

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Din tabelul de antiderivate avem .

Rămâne să revenim la variabila inițială X:

Răspuns:

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care trebuie să calculați antiderivate ale funcțiilor, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt funcții de putere. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să studiem primitivele și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută ne-am uitat doar la antiderivate ale funcțiilor de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi ne vom uita la trigonometrie și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „imediat” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatorie și încercăm să-i găsim derivata, atunci cu o probabilitate foarte mare vom reuși, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte structuri mai complexe care sunt date la tot felul de teste, teste independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Prototipurile unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și compilate în tabele speciale. Aceste funcții și tabele sunt cu care vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinăm aspectul general. Pentru a face acest lucru, am luat în calcul două probleme simple.

Rezolvarea de exemple simple

Exemplul #1

Să observăm imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și, în general, prezența lui $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, vom descoperi că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa o scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul nr. 2

Vorbim aici și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, iată ce se întâmplă:

Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul indicat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a calcula antiderivate ale funcțiilor simple, trebuie să înveți un tabel cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am studiat tabelul de derivate pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Pentru început, să scriem următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul #1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie pentru ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta gradul este mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complexă. Deci, să deschidem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat sau supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate sunt calculate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de simplu $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate că există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, o astfel de regulă există. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. Îl vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: să ne amintim pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum am spus deja, deoarece derivata $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, prin urmare, antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^ (x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata lui $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$ obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum asta poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe veți descoperi că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră va fi scrisă după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, este cea care în viitor se va dovedi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru cu exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și numai atunci am folosit antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul a fost același, așa cum era de așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai semnificativ. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită atunci când le rezolvăm este un instrument mai puternic și mai util decât simpla „alergare” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsirea antiderivatei unei funcții

Exemplul #1

Să împărțim suma care se află în numărători în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este un produs, ci o sumă. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de simplu să o faci:

Această notație, care în limbajul matematic se numește „adăugarea unui zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care sunt ușor de calculat prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a însemnat autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și mai multă practică. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Problema nr. 2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Problema nr. 3

Dificultatea acestei sarcini este că, spre deosebire de funcțiile anterioare de mai sus, nu există deloc variabilă $x$, adică. nu ne este clar ce să adunăm sau să scădem pentru a obține măcar ceva asemănător cu ceea ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât oricare dintre expresiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:

Să-l rescriem din nou:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă ai trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă ei”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar acesteia i se va dedica o lecție video separată.

Între timp, îmi propun să revenim la ceea ce tocmai am studiat, și anume la funcțiile exponențiale și să complicăm oarecum problemele cu conținutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, în comparație cu designul pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema nr. 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni folosind formula descrisă mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, volumul total de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplu.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am discutat (mai ales pe fundalul a ceea ce am discutat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, atunci când am ales aceste două probleme pentru lecția video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun o altă tehnică complexă și sofisticată - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți tehnici standard de algebră pentru a transforma funcții originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să privesc o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am discutat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, adică. Chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în tot felul de teste și lucrări independente, de exemplu. cunoașterea acestuia va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului de antiderivate.

Sarcina nr. 1

Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ nu este atât de diferit de $x$ - tocmai au adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Asta implică:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema nr. 2

Mulți studenți care se uită la prima soluție ar putea crede că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă nimic nu s-a schimbat în mod esențial data trecută, atunci în al doilea caz, în loc de $-10$, a apărut $-30$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o discut deloc în lecția video de astăzi, dar fără ea prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază susținem acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a existat inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a completa tabelul de antiderivate sau este mai bine să memorați pur și simplu întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

Ambele funcții pe care tocmai le-am analizat pot fi, de fapt, reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu aș face gradul al nouălea la toţi au îndrăznit să dezvăluie.
Dacă ar fi să extindem gradele, am ajunge cu un asemenea volum de calcule, încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp nepotrivit de mare.
De aceea, astfel de probleme, care conțin expresii liniare, nu trebuie rezolvate „în cap”. De îndată ce dați peste un antiderivat care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul va ieși mult. mai rapid si mai usor.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni asupra ei de multe ori în lecțiile video viitoare, dar asta este tot pentru astăzi. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Rezumat al lecției de algebră și principii de analiză pentru elevii de clasa a XI-a din instituțiile de învățământ secundar

La subiect: „Reguli pentru găsirea antiderivatelor”

Scopul lecției:

Educational: introduceți reguli pentru găsirea antiderivatelor folosind valorile lor din tabel și folosiți-le atunci când rezolvați probleme.

Sarcini:

introduceți definiția operațiunii de integrare;

introducerea elevilor în tabelul antiderivatelor;

introducerea elevilor în regulile de integrare;

învăţaţi elevii să folosească tabelul de antiderivate şi regulile de integrare la rezolvarea problemelor.

Dezvoltare: contribuie la dezvoltarea capacității elevilor de a analiza, compara datele și trage concluzii.

Educational: promovează formarea abilităților în munca colectivă și independentă, dezvoltă capacitatea de a executa cu acuratețe și competență note matematice.

Metode de predare: inductiv-reproductiv, deductiv-reproductiv

tive.

Tip de lecție: stăpânirea noilor cunoștințe.

Cerințe pentru ZUN:

Elevii ar trebui să știe:

- definirea operațiunii de integrare;

Tabel cu antiderivate;

elevii ar trebui să fie capabili să:

Aplicați tabelul de antiderivate la rezolvarea problemelor;

Rezolvați probleme în care este necesar să găsiți antiderivate.

Echipament: computer, ecran, proiector multimedia, prezentare.

Literatură:

1. A.G. Mordkovich și colab. „Algebra și începuturile analizei. Cartea cu probleme pentru clasele 10-11" M.: Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov „Algebra și începuturile analizei. clasa 10-11. Manual” M.: Educație, 2004. - 384 p.

3. Metode și tehnologie de predare a matematicii. M.: Butarda, 2005. – 416 p.

Structura lecției:

eu. Moment organizatoric (2 min.)

II. Actualizarea cunoștințelor (7 min.)

III. Învățarea de materiale noi (15 min.)

VI. Întărirea materialului învățat (17 min.)

V. Rezumat și D/Z (4 min.)

În timpul orelor

eu . Organizarea timpului

Salutarea elevilor, verificarea absențelor și pregătirea sălii pentru lecție.

II . Actualizarea cunoștințelor

Scrierea la tablă (în caiete)

Data de.

Lucrări de clasă

Reguli pentru găsirea antiderivatelor.

Profesor: Tema lecției de astăzi: „Reguli pentru găsirea antiderivatelor” (diapozitivul 1). Dar înainte de a trece la studiul unui subiect nou, să ne amintim materialul pe care l-am acoperit.

Doi elevi sunt chemați la tablă, fiecare primește o sarcină individuală (dacă elevul a finalizat sarcina fără erori, primește nota „5”).

Carduri de sarcini

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

f ( X )=3 X 2 +4 X –1 la punct X =3.

№ 2

2) Aflați valoarea derivatei funcțieif ( X )=5 X 2 +5 X – 5 la punct X =1.

Soluţie

Cardul nr. 1

1) Aflați intervalele funcției crescătoare și descrescătoarey = 6x – 2x 3 .

; Să fie, deci, sigur; X 1 Și X 2 puncte staționare;

2. Punctele staționare împart linia de coordonate în trei intervale. În acele intervale în care derivata unei funcții este pozitivă, funcția în sine crește, iar atunci când este negativă, scade.

- + -

la -1 1

Prin urmare la scade la X (- ;-1) (1; ) și crește cuX (-1;1).

2) f ( X )=3 X 2 +4 X –1 ; ; .

Cardul nr. 2

1) Aflați punctele extreme ale funcției .

1. Să găsim puncte staționare, pentru aceasta vom găsi derivata acestei funcții, apoi o vom echivala cu zero și vom rezolva ecuația rezultată, ale cărei rădăcini vor fi punctele staționare.

; Fie, deci, prin urmare, și .

2. Punctele staționare împart linia de coordonate în patru intervale. Acele puncte prin care derivata funcției își schimbă semnul sunt puncte extreme.

+ - - +

la -3 0 3

Mijloace - puncte extreme și este punctul maxim și - punct minim.

2) f ( X )=5 X 2 +5 X – 5; ; .

În timp ce elevii chemați la tablă rezolvă exemple, restului clasei li se pun întrebări teoretice. În timpul procesului de chestionare, profesorul monitorizează dacă elevii au finalizat sarcina sau nu.

Profesor: Deci haideți să răspundem la câteva întrebări. Să ne amintim ce funcție se numește antiderivată? (diapozitivul 2)

Student: Funcţie F ( X ) numită antiderivată a funcțieif ( X ) la un anumit interval, dacă pentru toateX din acest gol .

(diapozitivul 2).

Profesor: Dreapta. Cum se numește procesul de găsire a derivatei unei funcții? (diapozitivul 3)

Student: Diferenţiere.

După ce elevul răspunde, răspunsul corect este duplicat pe diapozitiv (diapozitivul 3).

Profesor: Cum să arăți că o funcțieF ( X ) este o antiderivată a funcțieif ( X ) ? (diapozitivul 4).

Student: Aflați derivata unei funcțiiF ( X ) .

După ce elevul răspunde, răspunsul corect este duplicat pe diapozitiv (diapozitivul 4).

Profesor: Amenda. Atunci spune-mi dacă funcția esteF ( X )=3 X 2 +11 X antiderivată a funcțieif ( X )=6x+10? (diapozitivul 5)

Student: Nu, pentru că derivata unei functiiF ( X )=3 X 2 +11 X egal cu 6x+11, dar nu 6x+10 .

După ce elevul răspunde, răspunsul corect este duplicat pe diapozitiv (diapozitivul 5).

Profesor: Câte antiderivate pot fi găsite pentru o anumită funcție?f ( X ) ? Justificati raspunsul. (diapozitivul 6)

Student: La infinit multe, pentru că Adăugăm întotdeauna o constantă la funcția rezultată, care poate fi orice număr real.

După ce elevul răspunde, răspunsul corect este duplicat pe diapozitiv (diapozitivul 6).

Profesor: Dreapta. Acum să verificăm împreună soluțiile elevilor care lucrează la tablă.

Elevii verifică soluția împreună cu profesorul.

III . Învățarea de materiale noi

Profesor: Operația inversă de găsire a antiderivatei pentru o funcție dată se numește integrare (din cuvântul latinintegrare – restaurare). Un tabel de antiderivate pentru unele funcții poate fi compilat folosind un tabel de derivate. De exemplu, știind asta, primim , din care rezultă că toate funcţiile antiderivate sunt scrise sub formă, Unde C – constantă arbitrară.

Scrierea la tablă (în caiete)

primim,

de unde rezultă că toate funcţiile antiderivate sunt scrise sub formă, Unde C – constantă arbitrară.

Profesor: Deschideți manualele la pagina 290. Iată un tabel cu antiderivate. Este prezentat și pe slide. (diapozitivul 7)

Profesor: Regulile de integrare pot fi obținute folosind regulile de diferențiere. Luați în considerare următoarele reguli de integrare: LetF ( X ) Și G ( X ) – respectiv antiderivate ale funcţiilorf ( X ) Și g ( X ) la un anumit interval. Apoi:

1) Funcție;

2) Funcția este antiderivată a funcției. (diapozitivul 8)

Scrierea la tablă (în caiete)

1) Funcție este antiderivată a funcției ;

2) Funcția este antiderivată a funcției .

VI . Consolidarea materialului învățat

Profesor: Să trecem la partea practică a lecției. Găsiți una dintre antiderivatele funcției Noi decidem la consiliu.

Student: Pentru a găsi antiderivată a acestei funcții, trebuie să utilizați regula de integrare: funcție este antiderivată a funcției .

Profesor: Așa este, ce mai trebuie să știți pentru a găsi antiderivata unei anumite funcții?

Student: Vom folosi și tabelul de antiderivate pentru funcții, la p =2 și for este funcția ;

2) Funcția este antiderivată a funcției .

Profesor: Totul este corect.

Teme pentru acasă

§55, nr. 988 (2, 4, 6), nr. 989 (2, 4, 6, 8), nr. 990 (2, 4, 6), nr. 991 (2, 4, 6, 8) . (diapozitivul 9)

Făcând semne.

Profesor: Lecția s-a terminat. Poți fi liber.

Această lecție este prima dintr-o serie de videoclipuri despre integrare. În ea vom analiza ce este o antiderivată a unei funcții și, de asemenea, vom studia metodele elementare de calcul a acestor antiderivate.

De fapt, nu este nimic complicat aici: în esență totul se reduce la conceptul de derivat, cu care ar trebui să fii deja familiarizat. :)

Voi observa imediat că, deoarece aceasta este prima lecție din noul nostru subiect, astăzi nu vor exista calcule și formule complexe, dar ceea ce vom învăța astăzi va constitui baza pentru calcule și construcții mult mai complexe atunci când calculăm integrale și zone complexe. .

În plus, atunci când începem să studiem integrarea și integralele în special, presupunem implicit că studentul este deja cel puțin familiarizat cu conceptele de derivate și are cel puțin abilități de bază în calcularea acestora. Fără o înțelegere clară a acestui lucru, nu există absolut nimic de făcut în integrare.

Cu toate acestea, aici se află una dintre cele mai frecvente și insidioase probleme. Cert este că, atunci când încep să calculeze primele lor antiderivate, mulți studenți le confundă cu derivate. Drept urmare, în timpul examenelor și a muncii independente sunt făcute greșeli stupide și ofensatoare.

Prin urmare, acum nu voi da o definiție clară a unui antiderivat. În schimb, vă sugerez să vedeți cum se calculează folosind un exemplu specific simplu.

Ce este un antiderivat și cum se calculează?

Cunoaștem această formulă:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Această derivată se calculează simplu:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Să ne uităm cu atenție la expresia rezultată și să exprimăm $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Dar îl putem scrie astfel, conform definiției unei derivate:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Și acum atenție: ceea ce tocmai am notat este definiția unui antiderivat. Dar pentru a o scrie corect, trebuie să scrieți următoarele:

Să scriem următoarea expresie în același mod:

Dacă generalizăm această regulă, putem deriva următoarea formulă:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum putem formula o definiție clară.

O antiderivată a unei funcții este o funcție a cărei derivată este egală cu funcția inițială.

Întrebări despre funcția antiderivată

Ar părea o definiție destul de simplă și de înțeles. Cu toate acestea, după ce o aude, elevul atent va avea imediat câteva întrebări:

Să spunem, bine, această formulă este corectă. Totuși, în acest caz, cu $n=1$, avem probleme: „zero” apare la numitor și nu putem împărți la „zero”.
Formula este limitată doar la grade. Cum se calculează antiderivată, de exemplu, a sinusului, cosinusului și a oricărei alte trigonometrie, precum și a constantelor.
Întrebare existențială: este întotdeauna posibil să găsești un antiderivat? Dacă da, atunci cum rămâne cu antiderivatul sumei, diferenței, produsului etc.?

Voi răspunde imediat la ultima întrebare. Din păcate, antiderivatul, spre deosebire de derivat, nu este întotdeauna luat în considerare. Nu există o formulă universală prin care din orice construcție inițială să obținem o funcție care să fie egală cu această construcție similară. În ceea ce privește puterile și constantele, vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor cu funcțiile de putere

\[((x)^(-1))\la \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

După cum puteți vedea, această formulă pentru $((x)^(-1))$ nu funcționează. Apare întrebarea: ce funcționează atunci? Nu putem număra $((x)^(-1))$? Bineînțeles că putem. Să ne amintim mai întâi de asta:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Acum să ne gândim: a cărei funcție derivată este egală cu $\frac(1)(x)$. Evident, orice student care a studiat măcar puțin acest subiect își va aminti că această expresie este egală cu derivata logaritmului natural:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Prin urmare, putem scrie cu încredere următoarele:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\la \ln x\]

Trebuie să cunoașteți această formulă, la fel ca derivata unei funcții de putere.

Deci, ceea ce știm până acum:

Pentru o funcție de putere - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Pentru o constantă - $=const\to \cdot x$
Un caz special al unei funcții de putere este $\frac(1)(x)\to \ln x$

Și dacă începem să înmulțim și să împărțim cele mai simple funcții, atunci cum putem calcula antiderivată a unui produs sau coeficient. Din păcate, analogiile cu derivatul unui produs sau coeficient nu funcționează aici. Nu există o formulă standard. Pentru unele cazuri, există formule speciale complicate - ne vom familiariza cu ele în lecțiile video viitoare.

Cu toate acestea, rețineți: nu există o formulă generală similară cu formula de calcul a derivatei unui coeficient și a unui produs.

Rezolvarea problemelor reale

Sarcina nr. 1

Să calculăm fiecare dintre funcțiile de putere separat:

\[((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)\]

Revenind la expresia noastră, scriem construcția generală:

Problema nr. 2

După cum am spus deja, prototipurile de lucrări și detaliile „la obiect” nu sunt luate în considerare. Totuși, aici puteți face următoarele:

Am împărțit fracția în suma a două fracții.

Hai să facem calculul:

Vestea bună este că, cunoscând formulele de calcul al antiderivatelor, puteți calcula deja structuri mai complexe. Cu toate acestea, să mergem mai departe și să ne extindem puțin mai mult cunoștințele. Cert este că multe construcții și expresii, care, la prima vedere, nu au nicio legătură cu $((x)^(n))$, pot fi reprezentate ca o putere cu exponent rațional și anume:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Toate aceste tehnici pot și ar trebui să fie combinate. Expresiile de putere pot fi

înmulțire (se adună grade);
împărțire (se scad grade);
înmulțiți cu o constantă;
etc.

Rezolvarea expresiilor de putere cu exponent rațional

Exemplul #1

Să calculăm fiecare rădăcină separat:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\la \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\la \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

În total, întreaga noastră construcție poate fi scrisă astfel:

Exemplul nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac() 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Prin urmare obținem:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\la \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

În total, adunând totul într-o singură expresie, putem scrie:

Exemplul nr. 3

Pentru început, observăm că am calculat deja $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\la \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\la \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Să rescriem:

Sper să nu surprind pe nimeni dacă spun că ceea ce tocmai am studiat sunt doar cele mai simple calcule de antiderivate, cele mai elementare construcții. Să ne uităm acum la exemple ceva mai complexe, în care, pe lângă antiderivatele tabelare, va trebui să vă amintiți și programa școlară, și anume, formulele de înmulțire prescurtate.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina nr. 1

Să ne amintim formula pentru diferența pătratului:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Să rescriem funcția noastră:

Acum trebuie să găsim prototipul unei astfel de funcții:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\la \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\la \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Să punem totul împreună într-un design comun:

Problema nr. 2

În acest caz, trebuie să extindem cubul diferențelor. Să ne amintim:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ținând cont de acest fapt, îl putem scrie astfel:

Să ne transformăm puțin funcția:

Numărăm ca întotdeauna - pentru fiecare termen separat:

\[((x)^(-3))\la \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\la \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\la \ln x\]

Să scriem construcția rezultată:

Problema nr. 3

În partea de sus avem pătratul sumei, să-l extindem:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x))\right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\la \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Să scriem soluția finală:

Acum atentie! Un lucru foarte important, care este asociat cu cea mai mare parte de greșeli și neînțelegeri. Cert este că până acum, numărând antiderivate folosind derivate și aducând transformări, nu ne-am gândit cu ce este egală derivata unei constante. Dar derivata unei constante este egală cu „zero”. Aceasta înseamnă că puteți scrie următoarele opțiuni:

$((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Acest lucru este foarte important de înțeles: dacă derivata unei funcții este întotdeauna aceeași, atunci aceeași funcție are un număr infinit de antiderivate. Putem adăuga pur și simplu orice numere constante la antiderivatele noastre și obținem altele noi.

Nu întâmplător, în explicația problemelor pe care tocmai le-am rezolvat, era scris „Scrieți forma generală a antiderivatelor”. Acestea. Deja se presupune dinainte că nu există unul dintre ei, ci o întreagă multitudine. Dar, de fapt, ele diferă doar prin constanta $C$ la sfârșit. Prin urmare, în sarcinile noastre vom corecta ceea ce nu am finalizat.

Încă o dată ne rescriem construcțiile:

În astfel de cazuri, ar trebui să adăugați că $C$ este o constantă - $C=const$.

În cea de-a doua funcție, obținem următoarea construcție:

Și ultimul:

Și acum am obținut cu adevărat ceea ce ni s-a cerut în starea inițială a problemei.

Rezolvarea problemelor de găsire a antiderivatelor cu un punct dat

Acum că știm despre constante și despre particularitățile scrierii antiderivatelor, este destul de logic că următorul tip de problemă apare atunci când, din mulțimea tuturor antiderivatelor, se cere să se găsească singurul și singurul care ar trece printr-un punct dat. . Care este sarcina asta?

Faptul este că toate antiderivatele unei anumite funcții diferă doar prin aceea că sunt deplasate vertical cu un anumit număr. Și asta înseamnă că indiferent de punctul de pe planul de coordonate pe care îl luăm, o singură antiderivată va trece cu siguranță și, în plus, doar una.

Deci, problemele pe care le vom rezolva acum sunt formulate astfel: nu doar găsiți antiderivată, cunoscând formula funcției inițiale, ci alegeți exact cea care trece prin punctul dat, ale cărei coordonate vor fi date în problemă. afirmație.

Exemplul #1

Mai întâi, să numărăm pur și simplu fiecare termen:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\la \frac(((x)^(4)))(4)\]

Acum înlocuim aceste expresii în construcția noastră:

Această funcție trebuie să treacă prin punctul $M\left(-1;4 \right)$. Ce înseamnă că trece printr-un punct? Aceasta înseamnă că dacă în loc de $x$ punem $-1$ peste tot și în loc de $F\left(x \right)$ - $-4$, atunci ar trebui să obținem egalitatea numerică corectă. Să o facem:

Vedem că avem o ecuație pentru $C$, așa că hai să încercăm să o rezolvăm:

Să scriem tocmai soluția pe care o căutam:

Exemplul nr. 2

În primul rând, este necesar să se dezvăluie pătratul diferenței folosind formula de înmulțire abreviată:

\[((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)\]

Construcția originală va fi scrisă după cum urmează:

Acum să găsim $C$: înlocuiți coordonatele punctului $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Exprimăm $C$:

Rămâne de afișat expresia finală:

Rezolvarea problemelor trigonometrice

Ca o atingere finală a ceea ce tocmai am discutat, îmi propun să luăm în considerare două probleme mai complexe care implică trigonometrie. În ele, în același mod, va trebui să găsiți antiderivate pentru toate funcțiile, apoi selectați din acest set singurul care trece prin punctul $M$ din planul de coordonate.

Privind în viitor, aș dori să observ că tehnica pe care o vom folosi acum pentru a găsi antiderivate ale funcțiilor trigonometrice este, de fapt, o tehnică universală de autotestare.

Sarcina nr. 1

Să ne amintim următoarea formulă:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Pe baza acestui fapt, putem scrie:

Să substituim coordonatele punctului $M$ în expresia noastră:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Să rescriem expresia ținând cont de acest fapt:

Problema nr. 2

Acest lucru va fi puțin mai dificil. Acum vei vedea de ce.

Să ne amintim această formulă:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Pentru a scăpa de „minus”, trebuie să faceți următoarele:

\[((\left(-\text(ctg)x \right)))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Iată designul nostru

Să înlocuim coordonatele punctului $M$:

În total, notăm construcția finală:

Despre asta voiam să vă spun astăzi. Am studiat chiar termenul de antiderivate, cum să le calculăm din funcții elementare și, de asemenea, cum să găsim o antiderivată care trece printr-un anumit punct de pe planul de coordonate.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți măcar puțin acest subiect complex. În orice caz, pe antiderivate se construiesc integralele nedefinite și nedefinite, deci este absolut necesar să le calculăm. Asta e tot pentru mine. Ne mai vedem!

Ar putea fi util să citiți: