Toate sistemele de calcul. Sistemul numeric pozițional

De îndată ce oamenii au început să numere, au fost nevoiți să noteze numere. Arheologii au găsit dovezi pe site-urile oamenilor primitivi că inițial aproape orice număr era notat doar prin numărul de icoane care erau identice cu acesta: bastoane, puncte, liniuțe. Un astfel de sistem se numește unic (unar). Orice număr din acest sistem este scris prin repetarea unui caracter, care simbolizează unitatea.

În ciuda vechimii acestui sistem, acesta este folosit până în zilele noastre, elevii de clasa întâi sunt învățați să numere pe bețe și pentru a determina cursul în care învață în prezent un cadet al unei școli militare, ar trebui să numere numărul de dungi cusute pe mâneca lui.

Sistemul unar nu este cel mai mult mod convenabilînregistrarea numerelor, înregistrarea ocupă mult spațiu, iar monotonia înregistrării duce la erori, prin urmare, în timp, au început să apară sisteme de numere mai convenabile.

Sistemul numeric egiptean antic zecimal

Vechii egipteni aveau un sistem numeric foarte convenabil, avea semne care denotă numere cheie: 1, 10, 100, etc. Restul numerelor au fost scrise folosind adunarea. Denumirile unor numere sunt prezentate în Figura 1.

Sistemul nu este în uz momentan.

Sistemul numeric roman

Acest sistem a rămas neschimbat până în prezent. A apărut acum mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma antică. Se baza pe semnele I (degetul) pentru numărul 1, V (cinci) pentru numărul 5, X (două mâini) pentru numărul 10. Și pentru a desemna 100, 500 și 1000, primele litere ale numelor latine au fost folosit (centum - o sută, demimille - jumătate de mie, mille - o mie). Pentru a nota numărul, romanii au folosit nu numai sumele, ca egiptenii, ci și diferența. Pentru aceasta s-a aplicat o regulă simplă: fiecare semn mai mic după cel mai mare se adaugă la valoarea sa, iar cel dinainte. mare semn scăzut din valoarea sa. Astfel IX - înseamnă 9 și XI - 11.

Numerele romane sunt folosite până în zilele noastre și sunt folosite pentru a denumi secțiuni, subsecțiuni ale cărților, secole, sunt adesea scrise pe ceasuri.

Sisteme numerice alfabetice

Aceste sisteme includ: greacă, slavă, finlandeză și altele. Aici numerele de la 1 la 9, de la 10 la 90 și de la 100 la 900 au fost notate cu litere ale alfabetului. ÎN Grecia antică numerele erau notate cu primele nouă litere ale alfabetului grec. Numerele de la 10 la 90 sunt următoarele nouă. Și de la 100 la 900 - ultimele nouă litere ale alfabetului roman. Slavii valori numerice potriviți literele în ordine. La început, alfabetul glagolitic a fost folosit pentru aceasta, iar apoi alfabetul chirilic. În Rusia, această numerotare a fost păstrată până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Apoi Petru I a adus din străinătate numerotarea arabă, pe care o folosim până astăzi.

Notaţie - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea pe numere. Diferitele sisteme numerice care existau înainte și sunt folosite astăzi pot fi împărțite în nepoziționalăȘi pozițional. Semne folosite la scrierea numerelor, sunt numite numere.

ÎN sisteme numerice non-poziționale valoarea unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Exemplul 1 Numărul CCXXXII este format din două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.

Numerele romane sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor sunt adăugate. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și un număr mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.

Exemplul 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

Exemplul 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

ÎN sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o intrare numerică depinde de poziția acesteia. Numărul de cifre utilizat se numește baza sistemului numeric pozițional.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este zece, pentru că Orice numere sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles prin exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități.

Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o bază n Trebuie avut alfabet din n cifre. De obicei pentru asta n < 10 используют n primele cifre arabe și n> 10 până la zece cifre arabe adauga litere. Iată exemple de alfabete din mai multe sisteme:

Dacă este necesar să se indice baza sistemului căreia îi aparține numărul, atunci i se atribuie un indice acestui număr. De exemplu:

1011012, 36718, 3B8F16.

În sistemul numeric de bază q(q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q.q unitățile din orice categorie formează unitatea din următoarea categorie. Pentru a scrie un număr q este necesar un sistem de numere q diverse caractere (numere) reprezentând numerele 0, 1, ..., q– 1. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.

Forma extinsă de scriere a unui număr

Lăsa Aq- numărul în sistemul de bază q, ai - cifre ale unui sistem de numere dat prezente în notația unui număr A, n+ 1 - numărul de cifre ale părții întregi a numărului, m- numărul de cifre ale părții fracționale a numărului:

Forma extinsă a unui număr A se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt prezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată este calculată conform regulilor aritmeticii zecimale, atunci se va obține un număr în sistemul zecimal egal cu cel dat. Conform acestui principiu, se face o conversie dintr-un sistem non-zecimal la unul zecimal. De exemplu, conversia în sistemul zecimal a numerelor scrise mai sus se face astfel:

Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice

Traducere intreg

număr zecimal întreg X trebuie transferat la un sistem cu o bază q:X= (A n A n-1 …A 1 A 0) q . Trebuie să găsești cifre semnificative numere: . Să reprezentăm numărul în formă extinsă și să efectuăm transformarea identică:

De aici este clar că A 0 este restul după împărțirea numărului X pe număr q. Expresia din paranteze este câtul întreg al acestei împărțiri. Să-l desemnăm ca X 1. Efectuând transformări similare, obținem:

Prin urmare, A 1 este restul diviziunii X 1 pe q. Continuând împărțirea cu un rest, vom obține o succesiune de cifre a numărului dorit. Număr unîn acest lanț de diviziuni va fi ultimul privat, mai mic q.

Să formulăm regula rezultată: pentru asta pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) exprimă baza noului sistem numeric în sistemul numeric zecimal și efectuează toate acțiunile ulterioare conform regulilor aritmeticii zecimale;

2) împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii parțiali rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet mai mic decât divizorul;

3) resturile rezultate, care sunt cifrele numărului din sistem nou calcul, aliniați-l cu alfabetul noului sistem de numere;

4) compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul număr privat.

Exemplul 1 Convertiți numărul 37 10 în sistem binar.

Pentru a desemna numere în notația unui număr, folosim simbolismul: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

De aici: 37 10 = l00l0l 2

Exemplul 2 Convertiți numărul zecimal 315 în sisteme octale și hexazecimale:

De aici rezultă: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Amintiți-vă că 11 10 = B 16 .

Zecimal X< 1 требуется перевести в систему с основаниемq:X= (0,A –1 A –2 …A–m+1 A–m) q . Găsiți cifrele semnificative ale unui număr: A –1 ,A –2 , …,A-m. Reprezentăm numărul în formă extinsă și îl înmulțim cu q:

De aici este clar că A–1 există o întreagă parte a lucrării X pe număr q. Notează prin X 1 parte fracționată a produsului și înmulțiți-o cu q:

Prin urmare, A –2 există o întreagă parte a lucrării X 1 pe număr q. Continuând înmulțirea, vom obține o succesiune de cifre. Acum să formulăm regula: pentru a converti o fracție zecimală într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) înmulțiți succesiv numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se atinge precizia necesară de reprezentare a numărului în noul sistem numeric;

2) părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, le aliniază cu alfabetul noului sistem de numere;

3) alcătuiți partea fracțională a numărului în noul sistem de numere, începând cu partea întreagă a primului produs.

Exemplul 3 Convertiți zecimalul 0,1875 în binar, octal și hexazecimal.

Aici, partea întreagă a numerelor este în coloana din stânga, iar partea fracțională este în coloana din dreapta.

Prin urmare: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Traducerea numerelor mixte, care conține părți întregi și fracționale, se realizează în două etape. Părțile întregi și fracționale ale numărului original sunt traduse separat, conform algoritmilor corespunzători. În înregistrarea finală a unui număr din noul sistem de numere, partea întreagă este separată de virgulă fracțională (punct).

Calcul binar

Conform principiului lui John von Neumann, un computer efectuează calcule în sistem binar socoteala. În cadrul cursului de bază, este suficient să ne limităm la calculele cu numere întregi binare. Pentru a efectua calcule cu numere cu mai multe cifre, trebuie să cunoașteți regulile pentru adunare și regulile pentru înmulțirea numerelor cu o singură cifră. Iată regulile:

Principiul permutării adunării și înmulțirii funcționează în toate sistemele de numere. Tehnicile de efectuare a calculelor cu numere cu mai multe cifre în sistemul binar sunt similare cu cele zecimale. Cu alte cuvinte, procedurile de adunare, scădere și înmulțire cu o „coloană” și împărțirea la „colț” în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal.

Luați în considerare regulile de scădere și împărțire a numerelor binare. Operația de scădere este inversul adunării. Din tabelul de adunare de mai sus, urmează regulile de scădere:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Iată un exemplu de scădere cu mai multe cifre:

Rezultatul obținut poate fi verificat prin adăugarea diferenței cu subtraend. Ar trebui să fie un număr în scădere.

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii. În orice sistem numeric, nu puteți împărți la 0. Rezultatul împărțirii la 1 este egal cu dividendul. Împărțirea unui număr binar la 102 mută virgulă zecimală cu un loc la stânga, la fel ca și împărțirea zecimală cu zece. De exemplu:

Împărțirea la 100 deplasează punctul zecimal cu 2 locuri la stânga și așa mai departe. În cursul de bază, nu puteți lua în considerare exemple complexe de împărțire a numerelor binare cu mai multe valori. Deși elevii capabili le pot face față, după ce au înțeles principiile generale.

Reprezentarea informațiilor stocate în memoria computerului în adevărata sa formă binară este foarte greoaie din cauza numărului mare de cifre. Aceasta se referă la înregistrarea pe hârtie a unor astfel de informații sau la afișarea lor pe ecran. În aceste scopuri, se obișnuiește să se utilizeze sisteme mixte binar-octal sau binar-hexazecimal.

Există o relație simplă între reprezentarea binară și hexazecimală a unui număr. La traducerea unui număr dintr-un sistem în altul, o cifră hexazecimală corespunde unui cod binar de patru biți. Această corespondență este reflectată în tabelul binar-hexazecimal:

Tabel binar hexazecimal

O astfel de relație se bazează pe faptul că 16 = 2 4 și numărul de combinații diferite de patru cifre ale cifrelor 0 și 1 este 16: de la 0000 la 1111. Prin urmare conversia numerelor din hexazecimal în binar și invers se face prin conversie formalăprin tabel binar-hexazecimal.

Iată un exemplu de traducere a unui cod binar de 32 de biți într-un sistem hexazecimal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Dacă se oferă o reprezentare hexazecimală a informațiilor interne, atunci este ușor să o traduceți în cod binar. Avantajul reprezentării hexazecimale este că este de 4 ori mai scurtă decât cea binară. Este de dorit ca elevii să memoreze tabelul binar-hexazecimal. Atunci într-adevăr pentru ei reprezentarea hexazecimală va deveni echivalentă cu cea binară.

În octal binar, fiecare cifră octală corespunde unei triade de cifre binare. Acest sistem vă permite să reduceți codul binar de 3 ori.

Lucrări de laborator 1. „Sisteme numerice”

Sistemul numeric este regulile de scriere a numerelor folosind un anumit set de caractere speciale - numere.

Oamenii au folosit diverse moduri de a scrie numere, care pot fi combinate în mai multe grupuri: unare, nepoziționale și poziționale.

Primele două sunt mai degrabă de interes istoric, deoarece au o utilizare foarte limitată în prezent.

Sistemul numeric unar

Unar notaţie - Acesta este un sistem numeric în care se folosește un singur semn pentru a scrie numere - 1 ("stick").

Următorul număr se obține din cel precedent prin adăugarea unui nou 1; numărul lor (suma) este egal cu numărul însuși.

Acest sistem este folosit pentru predarea inițială a copiilor să numere (vă puteți aminti „bețișoarele de numărat”).

Cu alte cuvinte, utilizarea sistemului unar se dovedește a fi o tehnică pedagogică importantă pentru introducerea copiilor în lumea numerelor și a acțiunilor cu ei.

nepozițională notaţie

Sistem numeric non-pozițional - un sistem în care simbolurile care denotă o anumită cantitate nu își schimbă sensul în funcție de locația (poziția) din imaginea numărului.

Din nepozițională Cel mai comun este sistemul cu cifre romane.

În ea, unele numere de bază sunt indicate prin litere latine majuscule:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Toate celelalte numere sunt construite din combinații de numere de bază și:

dacă cifra din stânga este mai mică decât cifra din dreapta, atunci cifra din stânga se scade din dreapta;

dacă numărul din dreapta este mai mic sau egal cu numărul din stânga, atunci aceste numere sunt adăugate;

Scrierea numerelor într-un astfel de sistem este greoaie și incomod, dar și mai incomod este efectuarea chiar și a celor mai simple operații aritmetice în el.

În sfârșit, absența zeroului și a semnelor pentru numerele mai mari decât M nu permite scrierea oricărui număr (chiar și a unui număr natural) în cifre romane. Acest sistem este folosit pentru numerotare.

Sisteme numerice poziționale

Sunt numite sisteme numerice poziționale, în care valoarea fiecărei cifre din imaginea unui număr este determinată de poziția (poziția) sa într-un număr de alte cifre.

Set ordonat de caractere (numere) (A 0 , A v ..., A P ), folosit pentru a reprezenta orice numere dintr-un anumit sistem de numere pozițional, numiți-l alfabet, numărul de caractere (cifre) ale alfabetului R= n+ 1 - ea fundație, iar sistemul de numere însuși este numit R-ric.

Baza sistem de numere poziționale - numărul de cifre diferite utilizate pentru a reprezenta numere într-un sistem de numere dat.

Cel mai cunoscut pentru noi este sistemul numeric zecimal. Alfabetul ei este (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9), iar baza p = 10, adică în acest sistem, doar zece caractere diferite (cifre) sunt folosite pentru a scrie orice numere. Sistemul de numere zecimale se bazează pe faptul că 10 unități din fiecare cifră sunt combinate într-o unitate a celei mai mari cifre adiacente, prin urmare fiecare cifră are o pondere egală cu puterea lui 10. Prin urmare, valoarea aceleiași cifre este determinată de locația sa în imaginea numărului, caracterizată prin puterea lui 10. De exemplu, în imaginea numărului 222,22, numărul 2 se repetă de 5 ori, în timp ce primul număr 2 din stânga înseamnă numărul sutelor (sa greutatea este 10 2); al doilea - numărul de zeci (greutatea sa este de 10 1), al treilea - numărul de unități (greutatea sa este de 10 0), al patrulea - numărul de zecimi de unitate (greutatea sa este de 10 -1) și a cincea cifră - numărul de sutimi de unitate (greutatea sa este 10 -2), adică numărul 222,22 poate fi extins în puteri de 10:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2 .

În mod similar, 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304,5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328,15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2 .

În general, pentru un loc de muncă R-ar sistem de numere, este necesar să se determine baza Rși un alfabet format din R diverse caractere (numere) A R i = 1,...,R.

Orice număr X p poate fi reprezentat ca polinom prin extinderea lui în puterile unui număr p:

a cărui succesiune de coeficienți este o notație prescurtată a numărului X p :

Punctul care separă partea întreagă a numărului de cea fracțională servește la fixarea valorilor specifice fiecărei poziții din această succesiune de numere și este punctul de plecare.

Metode de traducere a numerelor. Reprezentarea numerelor în diverse sisteme socoteala

Traducerenumere de la un sistem numeric la altul

Același număr poate fi scris în sisteme numerice diferite.

Algoritmconversia numerelor întregi din q sistem -ary în p -ary, pentru q > p

Pentru a înlocui numărul originalX q un număr egalX p cerute de reguliq-divid aritmetic întregX q pe o bază nouăp. Rezultatele împărțirii, scrise în ordine de la ultimul la primul, se vor dovedi a fi numerele X p .

Deoarece coeficienții polinomului sunt necunoscuți, să-i notăm ca a i ; primim:

De obicei, procedura descrisă este prezentată sub forma unei operațiuni de divizare familiară școlii:

Astfel, avem X 5 =443.

Verificarea corectitudinii traducerii: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 .

Al doilea lucru la care trebuie să acordați atenție este toate operaţiile au fost efectuate după regulile de aritmetică ale sistemului numeric din care s-a făcut transferul(în exemplul considerat – zecimal).

Algoritm pentru conversia numerelor întregi din q sistem -ary în p -ary, pentru q< p

Pentru a traduce, trebuie să furnizați un numărX q p-aritmetică aria.

X 6  X 10, X \u003d 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Algoritmii de mai sus sunt convenabil de utilizat la conversia unui număr dintr-un sistem zecimal în altul sau invers.

De asemenea, funcționează pentru traducerea între orice alte sisteme de numere, totuși, o astfel de traducere va fi dificilă deoarece toate operațiile aritmetice trebuie efectuate conform regulilor sistemului original (în primul algoritm) sau final (în al doilea algoritm).

Din acest motiv, tranziția, de exemplu X 3  X 8, este mai ușor de realizat printr-o tranziție intermediară la al 10-lea sistem X 3  X 10  X 8.

Algoritm pentru conversia unei fracții adecvate pentru q > p

Rezultatul translației fracției proprii 0,X q va fi și fracția proprie 0,X p , care obtinut prin inmultirea fractiei initiale cu noua bazapconform regulilorq-aritmetică aria; partea întreagă a produsului rezultat va fi cifra de ordin superior a noii fracții; partea fracționată a produsului rezultat trebuie înmulțită din nou cupetc.

Exemplu: 0.X 10  0.X 2 . 0,X=0,375 10

Atunci pentru a obține 0,X 2:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Astfel, 0,375 10 \u003d 0,011 2.

Verificare 0,011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0,25+1,125=0,375 10

Algoritm pentru conversia unei fracții adecvate pentru q< p

Pentru traducereX q  X p trebuie să furnizați un numărX q sub formă de polinom și efectuați toate operațiile conform regulilorp-aritmetică aria.

Exemplu: X 6  X 10, X 6 \u003d 0,234 6

Pentru aceasta

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Verificăm:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (eroare de calcul în cazul obținerii u numere rationale}

Exemplu: X 2  X 10, X \u003d 0,10101 2

Pentru aceasta

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Verificăm:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0 . Asta e corect

Translația numerelor între sistemele numerice 2 - 8 - 16

Exemple de imagini ale numerelor din aceste sisteme numerice sunt prezentate în tabelul 1

Tabelul 1. Sisteme numerice

zecimal	binar	zecimal	binar

Pentru a converti un întreg binar într-un sistem numeric cu o bazăp = 2 r este suficient să împărțiți acest număr binar, începând de la cifra cea mai puțin semnificativă, în grupuri înrcifrele fiecărui grup se traduc independent în sistemp.

De exemplu, pentru a converti numărul 110001 2 în sistemul numeric p=8, trebuie să împărțiți numărul original în grupuri de trei cifre de la dreapta la stânga (8 = 2 3 , prin urmare, r = 3) și să convertiți în octal sistem de numere: 110001 2 =61 8 . Verificarea 110001 2 =32+16+1=49 10 , 6*8 1 +1*8 0 =49 10

În mod similar, împărțind în grupuri de 4 cifre binare, obținem 110001 2 = 31 16 .

Pentru a traduce un număr întreg scris într-un sistem numeric cu bazăp = 2 r , în sistemul binar este suficient să înlocuiți fiecare cifră a numărului original independent cu cea corespunzătoarer-bit număr binar, completându-l, dacă este necesar, cu zerouri nesemnificative până la un grup înrcifre.

Exemplu: să reprezentăm numărul D3 16 în sistemul binar:

Exemplu, 123 8 = 001010011 2 = 53 16 .

Sarcini pentru auto-împlinire

Convertiți numărul X p al sistemului numeric p-ary în X q al sistemului numeric q-ary

X 5  X 10, unde X 5 \u003d 123

X 3  X 10, unde X 3 \u003d 102

X 10  X 4, unde X 10 \u003d 123

X 10  X 6, unde X 10 \u003d 548

X 5  X 3, unde X 3 \u003d 421

X 2  X 6, unde X 2 \u003d 0111001

X 2  X 16, unde X 2 \u003d 10011

X 2  X 8, unde X 2 \u003d 101010

X 16  X 2, unde X 16 \u003d AD3

X 8  X 2, unde X 8 \u003d 5470

II. Convertiți zecimal în binar:

743 10 , b) 334,12 10 , c) 61,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

III. Convertiți zecimal în hexazecimal:

445 10 , b) 334,12 10 , c) 261,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

Sistem numeric unitar (unar). Lista sistemelor numerice

Notaţie:

oferă reprezentări ale unui set de numere (întregi și/sau reale);
dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);
reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în pozițional, nepoziționalăȘi amestecat.

Sisteme numerice poziționale

În sistemele de numere poziționale, același semn numeric (cifră) în intrarea numărului are diverse sensuriîn funcţie de locul (descărcarea) în care se află. Invenția numerotării poziționale bazată pe semnificația locală a cifrelor este atribuită sumerienilor și babilonienilor; o astfel de numerotare a fost dezvoltată de hinduși și a avut consecințe inestimabile în istoria civilizației umane. Aceste sisteme includ sistemul de numere zecimal modern, a cărui apariție este asociată cu numărarea pe degete. ÎN Europa medievală a apărut prin negustorii italieni, care la rândul lor au împrumutat-o de la musulmani.

Sistemul de numere pozițional este de obicei înțeles ca sistem de numere -ary, care este definit printr-un număr întreg numit bază sisteme de numere. Un întreg fără semn în sistemul de numere -ari este reprezentat ca o combinație liniară finită de puteri ale numărului:

, unde sunt numite numerele întregi cifre, satisfacerea inegalitatii .

Fiecare grad dintr-o astfel de înregistrare se numește factor de ponderare al categoriei. Vechimea cifrelor și a cifrelor corespunzătoare acestora este determinată de valoarea indicatorului (numărul cifrei). De obicei, în numerele diferite de zero, zerourile din stânga sunt omise.

Dacă nu există discrepanțe (de exemplu, când toate cifrele sunt prezentate sub formă de caractere scrise unice), numărul este scris ca o secvență a cifrelor sale alfabetice, enumerate în ordinea descrescătoare a priorității cifrelor de la stânga la dreapta:

De exemplu, numărul o suta trei reprezentat în notație zecimală ca:

Cele mai frecvent utilizate sisteme poziționale sunt:

În sistemele poziționale, cu cât baza sistemului este mai mare, cu atât sunt necesari mai puțini biți (adică cifrele care trebuie scrise) atunci când scrieți un număr.

Sisteme de numere mixte

Sistem de numere mixt este o generalizare a sistemului numeric -ary și, de asemenea, se referă adesea la sisteme de numere poziționale. Baza sistemului de numere mixte este o succesiune crescătoare de numere, iar fiecare număr din acesta este reprezentat ca o combinație liniară:

, unde coeficienții sunt numiți ca mai înainte cifre, se aplică unele restricții.

Înregistrarea unui număr într-un sistem numeric mixt este enumerarea cifrelor acestuia în ordinea indicelui descrescător, începând de la primul diferit de zero.

În funcție de tipul, în funcție de sistemele de numere mixte, pot fi puteri, exponențiale etc. Când pentru unii, sistemul de numere mixte coincide cu sistemul de numere exponențial -ari.

Cel mai faimos exemplu de sistem numeric mixt este reprezentarea timpului ca număr de zile, ore, minute și secunde. În acest caz, valoarea „zile, ore, minute, secunde” corespunde valorii secundelor.

Sistemul numeric factorial

ÎN sistem de numere factoriale bazele sunt o succesiune de factoriali, iar fiecare număr natural este reprezentat ca:

, Unde .

Sistemul de numere factoriale este utilizat când decodificarea permutărilor prin liste de inversiuni: având un număr de permutare, îl puteți reproduce singur astfel: în sistemul de numere factoriale se scrie un număr cu unu mai mic decât numărul (numerotarea începe de la zero), în timp ce coeficientul numărului i! va desemna numărul de inversiuni pentru elementul i + 1 din mulțimea în care se fac permutările (numărul de elemente mai mic decât i + 1, dar în dreapta acestuia în permutarea dorită)

Exemplu: luați în considerare un set de permutări a 5 elemente, sunt 5 în total! = 120 (de la numărul de permutare 0 - (1,2,3,4,5) la numărul de permutare 119 - (5,4,3,2,1)), găsiți a 101-a permutare: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; să punem ti - coeficient la numărul i!, apoi t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, apoi: numărul de elemente mai mic decât 5, dar stând în dreapta este 4; numărul de elemente mai mic decât 4, dar în dreapta este 0; numărul de elemente mai mic de 3, dar în dreapta este 2; numărul de elemente mai mic decât 2, dar în dreapta este 0 (ultimul element din permutare este „pus” în singurul loc rămas) - astfel, a 101-a permutare va arăta astfel: (5,3,1,2, 4) Verificarea acestei metode se poate face prin numărarea directă a inversiilor pentru fiecare element de permutare.

Sistemul de numere Fibonacci bazat pe numerele Fibonacci. Fiecare număr natural din el este reprezentat ca:

, unde sunt numerele Fibonacci, , în timp ce coeficienții au un număr finit de unități și nu există două unități pe rând.

Sisteme numerice non-poziționale

În sistemele de numere non-poziționale, valoarea pe care o reprezintă o cifră nu depinde de poziția în număr. În acest caz, sistemul poate impune restricții asupra poziției numerelor, de exemplu, astfel încât acestea să fie aranjate în ordine descrescătoare.

Sistem de numere binomiale

Reprezentare folosind coeficienți binomi

, Unde .

Sistemul de clasă reziduală (SOC)

Reprezentarea unui număr în sistemul de clase de rest se bazează pe conceptul de reziduu și teorema chineză a restului. RNS este definit de un set de coprime module cu produsul astfel încât fiecare număr întreg din segment să fie asociat cu un set de reziduuri , unde

…

În același timp, teorema chineză a restului garantează unicitatea reprezentării pentru numerele din intervalul .

În RNS, operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) sunt efectuate component cu component dacă se știe că rezultatul este un număr întreg și se află și în .

Dezavantajele RNS sunt capacitatea de a reprezenta doar un număr limitat de numere, precum și lipsa algoritmilor eficienți pentru compararea numerelor reprezentate în RNS. Comparația se realizează de obicei prin conversia argumentelor din RNS într-un sistem de numere mixt în baze.

Sistemul numeric Stern–Brocot este o modalitate de a scrie numere raționale pozitive bazate pe arborele Stern–Brocko.

Sisteme numerice ale diferitelor națiuni

Sistem de numere de unitate

Aparent, cronologic, primul sistem de numere al fiecărui popor care a stăpânit contul. Numar natural reprezentat prin repetarea aceluiași caracter (liniuță sau punct). De exemplu, pentru a reprezenta numărul 26, trebuie să desenați 26 de linii (sau să faceți 26 de crestături pe un os, piatră etc.). Ulterior, de dragul comoditatii numere mari, aceste personaje sunt grupate în trei sau cinci. Apoi grupurile de semne cu volum egal încep să fie înlocuite cu un semn nou - așa apar prototipurile numerelor viitoare.

Sistemul de numere egiptean antic

Sistemul de numere babilonian

Sisteme numerice alfabetice

Armenii antici, georgienii, grecii (sistemul de numere ionic), arabii (Abjadia), evreii (vezi gematria) și alte popoare din Orientul Mijlociu foloseau sisteme de numere alfabetice. În cărțile liturgice slave, sistemul alfabetic grecesc a fost tradus în litere chirilice.

Sistemul numeric ebraic

Sistemul de numere grecesc

Sistemul numeric roman

Exemplul canonic al unui sistem de numere aproape nepozițional este cel roman, în care literele latine sunt folosite ca cifre:
Eu reprezintă 1,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
M-1000

De exemplu II = 1 + 1 = 2
aici simbolul I reprezintă 1 indiferent de locul său în număr.

De fapt, sistemul roman nu este complet non-pozițional, deoarece cifra mai mică care vine înaintea celei mai mari este scăzută din el, de exemplu:

IV = 4 în timp ce:
VI = 6

Sistemul numeric mayaș

Vezi si

Note

Legături

Gashkov S.B. Sistemele numerice și aplicațiile lor. - M .: MTsNMO, 2004. - (Biblioteca „Educația matematică”).
Fomin S.V. Sisteme numerice. - M .: Nauka, 1987. - 48 p. - (Prelegeri populare despre matematică).
Yaglom I. Sisteme numerice // Cuantic. - 1970. - Nr 6. - S. 2-10.
Numerale și sisteme de numere. Enciclopedie online în jurul lumii.
Stahov A. Rolul sistemelor numerice în istoria calculatoarelor.
Mikushin A.V. Sisteme numerice. Curs de prelegeri „Dispozitive digitale și microprocesoare”
Butler J. T., Sasao T. Sisteme numerice redundante cu valori multiple Articolul tratează sistemele numerice care folosesc numere mai mari decât unu și permit redundanța în reprezentarea numerelor

Fundația Wikimedia. 2010 .

Ar putea fi util să citiți: