Kako je nastalo načelo najmanjšega delovanja? Načelo najmanjšega ukrepanja

Ko sem bil v šoli, me je naš učitelj fizike, po imenu Bader, nekoč po učni uri poklical k sebi in rekel: »Videti si, kot da si strašno utrujen od vsega; poslušaj kaj zanimivega." In povedal mi je nekaj, kar se mi je zdelo res fascinantno. Še zdaj, čeprav je od takrat minilo že kar nekaj časa, me še naprej fascinira. In vsakič, ko se spomnim, kaj je bilo povedano, se vrnem k delu. In tokrat sem se med pripravami na predavanje spet zalotil, da analiziram vse iste stvari. In namesto da bi se pripravljal na predavanje, sem sprejel odločitev nova naloga. Predmet, o katerem govorim, je načelo najmanjšega delovanja.


- To mi je takrat rekel moj učitelj Bader: »Naj imaš na primer delec v gravitacijskem polju; ta delec, ki odhaja od nekje, se prosto premakne nekje na drugo točko. Vrgel si jo, recimo, gor, in je vzletela, nato pa padla.

Od izhodišča do končne točke je minilo nekaj časa. Zdaj poskusite z drugim gibanjem. Recimo, da se je, da bi se premaknila "od tu do tu", premaknila ne kot prej, ampak takole:

Ampak vseeno sem končal na pravem mestu v istem trenutku kot prej.

»In tako,« je nadaljeval učitelj, »če izračunate kinetično energijo v vsakem trenutku na poti delca, od nje odštejete potencialno energijo in integrirate razliko v celotnem času, ko je potekalo gibanje, boste glejte, da bo številka, ki jo dobite več, kot v pravem gibanju delca.

Z drugimi besedami, Newtonove zakone ni mogoče formulirati kot F = ma, ampak takole: povprečna kinetična energija minus povprečna potencialna energija doseže svoje najmanjša vrednost o poti, po kateri se predmet dejansko premika z enega mesta na drugega.

Poskušal ti bom malo bolj jasno razložiti.
Če vzamemo gravitacijsko polje in označimo trajektorijo delca x(t), Kje X je višina nad tlemi (zaenkrat se bomo spopadli z eno meritvijo; trajektorija naj teče le gor in dol, ne pa vstran), potem bo kinetična energija l 2 m(dx/ dt) 2 , a potencialna energija v poljubnem trenutku bo enaka mgx.


Zdaj, za trenutek gibanja po trajektoriji, vzamem razliko med kinetično in potencialno energijo in integriram ves čas od začetka do konca. Naj na začetku t x gibanje se je začelo na določeni višini in končalo v trenutku t 2 na drugačni višini.

Potem je integral ∫ t2 t1 dt

Pravo gibanje poteka vzdolž neke krivulje (v odvisnosti od časa je parabola) in vodi do določene vrednosti integrala. Ampak lahko prejpostaviti neko drugo gibanje: najprej oster dvig, nato pa nekaj bizarnih nihanj.

Lahko izračunate razliko med potencialno in kinetično energijo na tej poti ... ali kateri koli drugi. In najbolj presenetljivo je, da je prava pot tista, na kateri je ta integral najmanjši.
Preverimo. Za začetek bomo analizirali naslednji primer: prosti delec sploh nima potencialne energije. Potem pravilo pravi, da mora biti pri premikanju iz ene točke v drugo v določenem času integral kinetične energije najmanjši. In to pomeni, da se mora delec gibati enakomerno. (In prav je tako, ti in jaz veva, da je hitrost pri takem gibanju konstantna.) In zakaj enakomerno? Ugotovimo. Če bi bilo drugače, bi hitrost delca na trenutke presegla povprečje, na trenutke pa bi bila pod njim, povprečna hitrost pa bi bila enaka, ker bi moral delec priti "od tu do tu" v dogovorjeni čas. Na primer, če morate v določenem času priti z avtom od doma do šole, potem lahko to storite na različne načine: najprej lahko vozite kot nori, na koncu pa upočasnite ali vozite z enako hitrostjo, ali pa greste celo nazaj in šele nato zavijete proti šoli itd. V vseh primerih mora biti povprečna hitrost seveda enaka - količnik razdalje od doma do šole deljeno s časom. A tudi pri tej povprečni hitrosti si se včasih premikal prehitro, včasih prepočasi. Medij kvadrat znano je, da je nekaj, kar odstopa od povprečja, vedno večje od kvadrata povprečja; to pomeni, da bo integral kinetične energije med nihanjem hitrosti gibanja vedno večji kot pri gibanju s konstantno hitrostjo. Vidite, da bo integral dosegel minimum, ko bo hitrost konstantna (ob odsotnosti sil). To je pravi način.

Predmet, ki ga vrže v gravitacijsko polje, se dvigne najprej hitro, nato pa vse počasneje. To se zgodi zato, ker ima tudi potencialno energijo in naj bi dosegla najmanjšo vrednost enkratnost med kinetično in potencialno energijo.. Ker potencialna energija z naraščanjem narašča, potem manjša Razlika izkazalo se bo, če boste čim hitreje dosegli tiste višine, kjer je potencialna energija visoka. Nato z odštevanjem tega visokega potenciala od kinetične energije dosežemo zmanjšanje povprečja. Zato je bolj donosno iti gor in dobaviti dober negativni kos na račun potencialne energije.

To je vse, kar mi je povedal učitelj, ker je bil zelo dober učitelj in je vedel, kdaj se mora ustaviti. Na žalost nisem takšna. Težko se pravočasno ustavim. In tako, namesto da bi vas preprosto podžgal s svojo zgodbo, vas želim prestrašiti, želim, da postanete siti kompleksnosti življenja - poskušal bom dokazati, kar sem rekel. Matematični problem, ki ga bomo rešili, je zelo težak in nenavaden. Neka vrednost je S, klical ukrepanje. Je enaka kinetični energiji minus potencialna energija, integrirana skozi čas:

Toda po drugi strani se ne morete premikati prehitro, niti se povzpeti previsoko, ker bo to zahtevalo preveč kinetične energije. Premikati se moraš dovolj hitro, da greš gor in dol v času, ki ga imaš na voljo. Zato ne poskušajte leteti previsoko, ampak morate le doseči neko razumno raven. Posledično se izkaže, da je rešitev nekakšno ravnotežje med željo pridobiti čim več potencialne energije in željo čim bolj zmanjšati količino kinetične energije - to je želja doseči največje zmanjšanje v razliki med kinetično in potencialno energijo.

Ne pozabite, da p.e. in c.e. sta obe funkciji časa. Za vsako novo predstavljivo pot dobi to dejanje svoj dokončen pomen. Matematični problem je ugotoviti, za katero krivuljo je to število manjše kot za druge.

Rečete: »Oh, to je samo tipičen visok in nizek primer. Dejanje moramo prešteti, ga razlikovati in najti minimum.

Ampak počakaj. Običajno imamo funkcijo neke spremenljivke in moramo najti vrednost spremenljivka, pri kateri funkcija postane najmanjša ali največja. Recimo, da je na sredini ogrevana palica. Po njej se širi toplota in na vsaki točki palice se nastavi temperatura. Najti morate točko, kjer je najvišja. Ampak govorimo o nečem povsem drugem - vsaka pot v vesolju odgovarja svojo številko, pri čemer naj bi ugotovila, da pot, za katere je to število minimalno. To je popolnoma drugačno področje matematike. To ni navadna računica, ampak variacijski(tako temu pravijo).

Na tem področju matematike je veliko težav. Na primer, krog je običajno definiran kot geometrijsko mesto točk, katerih razdalje od dane točke so enake, vendar je krog mogoče definirati drugače: je ena od krivulj podana dolžina, ki je največje območje. Katera koli druga krivulja istega obsega obsega območje, manjše od kroga. Če torej zastavimo nalogo: najti krivuljo danega oboda, ki omejuje največje območje, potem bomo imeli nalogo iz variacijskega računa in ne iz računa, ki ste ga navajeni.

Torej želimo vzeti integral po poti, ki jo je prepotovalo telo. Naredimo to tako. Bistvo je v tem, da si predstavljamo, da obstaja prava pot in da katera koli druga krivulja, ki jo narišemo, ni prava pot, tako da če izračunamo dejanje zanjo, dobimo večje število od tistega, ki ga dobimo za dejanje, ki ustreza prava pot.

Naloga je torej najti pravo pot. Kam teče? Eden od načinov bi seveda bil izračunati delovanje za milijone in milijone poti in nato videti, katera pot ima najmanjše delovanje. To je način, na katerega je akcija minimalna in bo resnična.

Ta način je povsem mogoč. Vendar pa je mogoče olajšati. Če obstaja količina, ki ima minimum (od običajnih funkcij, recimo temperature), potem je ena od lastnosti minimuma ta, da ko se od nje oddaljimo na daljavo prvi reda majhnosti funkcija odstopa od minimalne vrednosti le za znesek drugo naročilo. In na katerem koli drugem mestu krivulje premik za majhno razdaljo spremeni vrednost funkcije tudi za vrednost prvega reda majhnosti. Toda vsaj majhna odstopanja na stran v prvem približku ne vodijo do spremembe funkcije.

To je lastnost, ki jo bomo uporabili za izračun prave poti.

Če je pot pravilna, potem krivulja, ki se nekoliko razlikuje od nje, kot prvi približek ne bo privedla do spremembe velikosti dejanja. Vse spremembe, če bi bile res minimalne, se bodo zgodile šele v drugem približku.

To je enostavno dokazati. Če za določeno odstopanje od krivulje pride do sprememb v prvem vrstnem redu, potem te spremembe delujejo sorazmerno odstopanje. Verjetno bodo povečali delovanje; sicer ne bi bil minimum. Toda časi se spreminjajo sorazmerno odstopanja, bo sprememba predznaka odstopanja zmanjšala delovanje. Izkazalo se je, da se z odstopanjem na eno stran delovanje poveča, z odstopanjem v nasprotni smeri pa zmanjša. Edina možnost, da je to dejansko minimalno, je, da v prvem približku ne pride do nobene spremembe in je sprememba sorazmerna s kvadratom odstopanja od prave poti.

Torej bomo šli po naslednji poti: označimo z x(t) (s črto spodaj) prava pot je tista, ki jo želimo najti. Naredimo nekaj poskusov x(t), ki se od želenega razlikuje za majhno količino, ki jo označujemo η (t).

Ideja je, da če štejemo akcijo S na poti x(t), potem je razlika med tem S in dejanje, ki smo ga izračunali za pot x(t) (zaradi poenostavitve bo označeno S), ali razlika med S_ in S, mora biti v prvem približku η nič. V drugem redu se lahko razlikujejo, v prvem redu pa mora biti razlika nič.

In to je treba upoštevati pri vseh η . Vendar ne čisto za vsakogar. Metoda zahteva upoštevanje samo tistih poti, ki se vse začnejo in končajo na istem paru točk, tj. vsaka pot se mora začeti na določeni točki v trenutku. t 1 in končati na drugi določeni točki v tem trenutku t 2 . Te točke in trenutki so fiksni. Torej mora biti naša funkcija d) (odklon) na obeh koncih nič: η (t 1 )= 0 in η (t2)=0. Pod tem pogojem postane naš matematični problem popolnoma definiran.

Če ne poznate diferencialnega računa, bi lahko naredili isto stvar, da bi našli minimum navadne funkcije f(x). Bi pomislili, kaj bi se zgodilo, če bi f(x) in dodajte k X majhna količina h, in bi trdil, da je sprememba k f(x) v prvem vrstnem redu po h mora biti vsaj nič. Bi uokvirili x+h namesto X in razširi j(x+h) na prvo potenco h. . ., z eno besedo bi ponovil vse, s čimer nameravamo η .

Če zdaj to natančno pogledamo, bomo videli, da prva dva tukaj zapisana izraza ustrezata temu dejanju S, kar bi napisal za želeno pravo pot X. Vašo pozornost želim usmeriti na spremembe S, tj. o razliki med S in teme S_, ki bi jih dobili za pravo pot. To razliko bomo zapisali kot bS in jo imenujemo variacija S. Če zavržemo »drugi in višji red«, dobimo za σS

Zdaj je naloga videti takole. Pred menoj je integral. Ne vem še, kako je, vem pa zagotovo, kaj, kaj η Ne bom sprejel, ta integral mora biti enak nič. "No," si lahko mislite, edina možnost za to je tako, da je množitelj pri η je bila enaka nič. Kaj pa prvi mandat, kjer je d η / dt? Pravite: "Če η spremeni v nič, tedaj je njegova izpeljanka enak nič; torej koeficient dv\/ dt mora biti tudi nič. No, to ni čisto res. To ne drži povsem, saj med odstopanjem η in njegova izpeljanka obstaja povezava; niso povsem samostojni, saj η (t) mora biti nič in t1 in pri t 2 .


Pri reševanju vseh problemov variacijskega računa se vedno uporablja en in isti splošni princip. Rahlo premaknete, kar želite spremeniti (tako kot smo storili z dodajanjem η ), pogled na pogoje prvega reda, potem uredite vse tako, da dobite integral v tej obliki: »premik (η ), pomnoženo s tem, kar se izkaže, "vendar da nima nobenih derivatov η (št d η / dt). Absolutno je treba vse preoblikovati tako, da »nekaj« ostane, pomnoženo s η . Zdaj boste razumeli, zakaj je to tako pomembno. (Obstajajo formule, ki vam bodo povedale, kako lahko v nekaterih primerih to storite brez kakršnih koli izračunov; vendar niso tako splošne, da bi se jih splačalo naučiti; najbolje je, da izračunate tako, kot delamo mi.)

Kako lahko predelam tiča d η / dt, da se pojavi v njem η ? To lahko dosežem z integracijo po delih. Izkazalo se je, da je v variacijskem računu ves trik v tem, da zapišeš variacijo S in nato integriraj po delih, tako da izpeljanke η izginila. Pri vseh nalogah, v katerih se pojavljajo izpeljanke, se izvede isti trik.

Odpoklic splošno načelo integracija po delih. Če imate poljubno funkcijo f, pomnoženo s d η / dt in integrirano nad t, potem napišeš izpeljanko iz η /t

Meje integracije je treba nadomestiti s prvim izrazom t1 in t 2 . Nato bom pod integral dobil člen iz integracije po delih in zadnji člen, ki je pri transformaciji ostal nespremenjen.
In zdaj se zgodi, kar se vedno zgodi - integrirani del izgine. (In če ne izgine, potem je treba načelo preoblikovati in dodati pogoje, ki zagotavljajo tako izginotje!) Rekli smo že, da η na koncih poti mora biti enaka nič. Konec koncev, kaj je naše načelo? S tem, da je dejanje minimalno, pod pogojem, da se spremenljiva krivulja začne in konča na izbranih točkah. To pomeni, da η (t 1)=0 in η (t2)=0. Zato se izkaže, da je integrirani člen enak nič. Zberemo ostale člane in pišemo

Različica S je zdaj dobil obliko, ki smo jo želeli dati: nekaj je v oklepaju (označimo F), in vse to se pomnoži s η (t) in integrirano iz t t prej t 2 .
Izkazalo se je, da je integral nekega izraza, pomnožen z η (t), je vedno nič:

Neka funkcija je vredna t; pomnožite s η (t) in ga integrirajte od začetka do konca. In karkoli že je η, dobim nič. To pomeni, da funkcija F(t) enako nič. Na splošno je to očitno, a za vsak slučaj vam bom pokazal enega od načinov, kako to dokazati.

Naj kot η (t) Izbral bom nekaj, kar je nič povsod, za vse t, razen ene vnaprej izbrane vrednosti t. Ostaja nič, dokler ne pridem tja. t, h nato pa za trenutek poskoči in se takoj potegne nazaj. Če vzamete integral tega m), pomnožen z neko funkcijo F, edino mesto, kjer dobite nekaj, kar ni nič, je kje η (t) skočil; in dobili boste vrednost F na tej točki na integral čez skok. Preskočni integral sam po sebi ni enak nič, ampak po množenju z F mora dati nič. To pomeni, da mora biti funkcija na mestu, kjer je bil skok, enaka nič. Toda skok bi lahko naredil kjer koli; pomeni, F mora biti povsod nič.

Vidimo, da če je naš integral enak nič za katero koli η , potem koeficient pri η mora iti na nič. Akcijski integral doseže minimum na poti, ki bo zadovoljila tako kompleksno diferencialno enačbo:

Pravzaprav ni tako težko; ste ga že srečali. To je samo F=ma. Prvi člen je masa krat pospešek; drugi je odvod potencialne energije, torej sile.

Tako smo pokazali (vsaj za konzervativni sistem), da načelo najmanjšega delovanja vodi do pravilnega odgovora; trdi, da je pot, ki ima minimalno delovanje, pot, ki zadošča Newtonovemu zakonu.

Treba je podati še eno pripombo. Tega nisem dokazal najmanj. Mogoče je to maksimum. Pravzaprav ni nujno, da je to minimum. Tukaj je vse enako kot v "principu najkrajšega časa", o katerem smo razpravljali med študijem optike. Tudi tam smo najprej govorili o »najkrajšem« času. Izkazalo pa se je, da obstajajo situacije, v katerih ta čas ni nujno »najkrajši«. Temeljno načelo je, da za vsako odstopanja prvega reda z optične poti spremembe v času bi bil enak nič; ista zgodba tukaj. Z "minimumom" dejansko mislimo, da je v prvem redu majhnosti sprememba količine S za odstopanja od poti mora biti enaka nič. In ni nujno, da je "najmanj".

Zdaj bi rad prešel na nekaj posplošitev. Prvič, celotno zgodbo bi lahko naredili v treh dimenzijah. Namesto preprostega X potem bi imel x, y in z kot funkcija t, in dejanje bi bilo videti bolj zapleteno. Pri 3D gibanju morate uporabiti celotno kinetično energijo): (t/2), pomnoženo s kvadratom celotne hitrosti. Z drugimi besedami

Tudi potencialna energija je zdaj funkcija x, y in z. Kaj lahko rečemo o poti? Pot je določena splošna krivulja v prostoru; ni tako enostavno risati, a ideja ostaja enaka. Kaj pa η? No, tudi η ima tri komponente. Pot je mogoče premakniti tako v x kot v y, in po z, ali v vse tri smeri hkrati. torej η zdaj vektor. Zaradi tega močni zapleti niso pridobljeni. Ker morajo biti samo variacije enake nič prvo naročilo, potem je možno izvesti obračun zaporedno s tremi izmenami. Najprej se lahko premaknete c samo v smeri X in recite, da mora biti koeficient enak nič. Dobiš eno enačbo. Potem se bomo preselili c v smeri pri in dobi drugega. Nato gremo v smer z in dobite tretjega. Vse lahko naredite, če želite, v drugačnem vrstnem redu. Kakor koli že, pojavi se trojka enačb. Toda Newtonov zakon so tudi tri enačbe v treh dimenzijah, ena za vsako komponento. Sami se lahko prepričate, da vse to deluje v treh dimenzijah (tukaj ni veliko dela). Mimogrede, lahko vzamete kateri koli koordinatni sistem, polarni, kateri koli, in takoj dobite Newtonove zakone v povezavi s tem sistemom, glede na to, kaj se zgodi, ko pride do premika η po polmeru ali po kotu itd.

Metodo lahko posplošimo tudi na poljubno število delcev. Če imaš recimo dva delca in med njima delujejo neke sile in obstaja medsebojna potencialna energija, potem njuni kinetični energiji preprosto sešteješ in od vsote odšteješ potencialno energijo interakcije. Kaj variirate? Načini oboje delci. Nato za dva delca, ki se gibljeta v treh dimenzijah, nastane šest enačb. Položaj delca 1 v smeri lahko spreminjate X, v smeri pri in v smeri z, in storite enako z delcem 2, tako da obstaja šest enačb. In tako bi tudi moralo biti. Tri enačbe določajo pospešek delca 1 glede na silo, ki deluje nanj, tri druge pa določajo pospešek delca 2 zaradi sile, ki deluje nanj. Vedno upoštevajte ista pravila igre in dobili boste Newtonov zakon za poljubno število delcev.

Rekel sem, da bomo dobili Newtonov zakon. To ne drži povsem, saj Newtonov zakon vključuje tudi nekonservativne sile, kot je trenje. To je trdil Newton to je enako kateremu koli F. Načelo najmanjšega delovanja velja samo za konzervativen sistemov, tako da je mogoče vse sile izpeljati iz potencialne funkcije. A veste, da na mikroskopski ravni, torej na najgloblji fizični ravni, ni nekonservativnih sil. Nekonzervativne sile (kot je trenje) izvirajo samo iz dejstva, da zanemarimo mikroskopske kompleksne učinke: delcev je preprosto preveč za analizo. Temeljno isti zakoni maj izraziti kot načelo najmanjšega delovanja.

Naj preidem na nadaljnje posploševanje. Recimo, da nas zanima, kaj se bo zgodilo, ko se bo delec gibal relativistično. Dokler ne dobimo pravilne relativistične enačbe gibanja; F=ma velja le pri nerelativističnih gibanjih. Postavlja se vprašanje: ali v relativističnem primeru obstaja ustrezno načelo najmanjšega delovanja? Da, obstaja. Formula v relativističnem primeru je:

Prvi del integrala delovanja je produkt mase mirovanja t 0 na od 2 in na integralu funkcije hitrosti √ (1-v2/c 2 ). Nato imamo namesto odštevanja potencialne energije integrale skalarnega potenciala φ in vektorskega potenciala A, pomnožene z v. Seveda so tukaj upoštevane samo elektromagnetne sile. Vsa električna in magnetna polja so izražena s φ in A. Takšna akcijska funkcija daje popolno teorijo relativističnega gibanja posameznega delca v elektromagnetnem polju.

Seveda morate razumeti, da povsod, kjer sem napisal v, morate pred izračuni zamenjati dx/ dt namesto v x itd. Poleg tega, kjer sem napisal preprosto x, y, z, točke si morate predstavljati v tem trenutku t: x(t), l(t), z(t). Pravzaprav šele po takšnih zamenjavah in zamenjavah v dobiš formulo za delovanje relativističnega delca. Naj najbolj vešči med vami poskusijo dokazati, da ta formula za ukrepanje res daje pravilne enačbe gibanja za relativnost. Naj vam samo svetujem, da najprej zavržete A, torej zaenkrat brez magnetnih polj. Nato boste morali dobiti komponente enačbe gibanja dp/dt=—qVφ, kjer je, kot se verjetno spomnite, p=mv√(1-v 2 /c 2).

Veliko težje je vključiti vektorski potencial A v obravnavo. Variacije potem postanejo neprimerno bolj kompleksne. Toda na koncu se izkaže, da je sila enaka naslednjemu: g(E+v × B). Toda zabavajte se sami.

Poudaril bi, da v splošnem primeru (na primer v relativistični formuli) razlika med kinetično in potencialno energijo ni več pod integralom v delovanju. To je veljalo le v nerelativističnem približku. Na primer član m o c 2√(1-v2/c2) ni tisto, kar imenujemo kinetična energija. O vprašanju, kakšen bi moral biti ukrep za posamezen primer, se je mogoče odločiti po nekaj poskusih in napakah. To je problem iste vrste kot določanje, kakšne naj bodo enačbe gibanja. Samo poigrati se morate z enačbami, ki jih poznate, in preveriti, ali jih je mogoče zapisati kot načelo najmanjšega delovanja.

Še ena opomba glede terminologije. Funkcija, ki se sčasoma integrira, da doseže akcijo S, klical LagrangianΛ. To je funkcija, ki je odvisna le od hitrosti in položajev delcev. Torej lahko načelo najmanjšega delovanja zapišemo tudi kot

kje pod X jaz in v i vse komponente koordinat in hitrosti so implicirane. Če kdaj slišite nekoga govoriti o "Lagrangianu", vedite, da govori o funkciji, ki se uporablja za pridobivanje S. Za relativistično gibanje v elektromagnetnem polju

Poleg tega moram opozoriti, da najbolj natančni in pedantni ljudje ne imenujejo S ukrepanje. Imenuje se kot "Hamiltonova prva pomembna funkcija". Toda predavanje o "Hamiltonovem principu najmanjše prve glavne funkcije" je presegalo moje moči. Poimenoval sem to "akcija". In poleg tega vedno več več ljudi imenujemo "akcija". Vidite, zgodovinsko se je dejanje imenovalo drugače, za znanost ne tako uporabno, vendar se mi zdi bolj smiselno spremeniti definicijo. Zdaj boste novo funkcijo začeli imenovati dejanje in kmalu jo bodo vsi začeli klicati s tem preprostim imenom.

Zdaj vam želim o naši temi povedati nekaj podobnega razmišljanju, ki sem ga vodil o načelu najkrajšega časa. Obstaja razlika v samem bistvu zakona, ki pravi, da ima neki integral, vzet iz ene točke v drugo, minimum – zakon, ki nam pove nekaj o celotni poti hkrati, in zakon, ki pravi, da ko se premaknete, , To pomeni, da obstaja sila, ki vodi do pospeška. Drugi pristop vam pove o vsakem vašem koraku, sledi vaši poti palec za palcem, prvi pa naenkrat izda neko splošno izjavo o celotni prehojeni poti. Ko smo govorili o svetlobi, smo govorili o povezavi med tema dvema pristopoma. Zdaj vam želim pojasniti, zakaj bi morali obstajati diferencialni zakoni, če obstaja takšno načelo - načelo najmanjšega delovanja. Razlog je naslednji: razmislite o dejansko prehojeni poti v prostoru in času. Tako kot doslej bomo upravljali z eno dimenzijo, tako da bo možno risati graf odvisnosti X od t. Po pravi poti S doseže minimum. Recimo, da imamo to pot in da poteka skozi neko točko A prostor in čas ter skozi drugo sosednjo točko b.

Zdaj, če celoten integral iz t1 prej t 2 doseže minimum, je potrebno, da se integral po majhnem območju od a do b je bil tudi minimalen. Ne more biti del A prej b vsaj malo nad minimumom. V nasprotnem primeru bi lahko premikali krivuljo naprej in nazaj na tem odseku in nekoliko zmanjšali vrednost celotnega integrala.

To pomeni, da mora vsak del poti dati tudi minimum. In to velja za vse majhne segmente poti. Zato lahko načelo, da mora celotna pot dati minimum, formuliramo tako, da je neskončno majhen odsek poti tudi taka krivulja, na kateri je delovanje minimalno. In če vzamemo dovolj kratek odsek poti - med točkami zelo blizu ena drugi A in b,- ni pomembno, kako se potencial spreminja od točke do točke stran od tega mesta, saj, ko greste skozi celoten kratek segment, skoraj nikoli ne zapustite točke. Edina stvar, ki jo morate upoštevati, je sprememba v prvem redu majhnosti potenciala. Odgovor je lahko odvisen samo od izpeljanke potenciala in ne od potenciala drugje. Tako izjava o lastnosti celotne poti postane izjava o tem, kaj se zgodi na kratkem odseku poti, to je diferencialna izjava. In ta diferencialna formulacija vključuje derivate potenciala, to je sile v dani točki. To je kvalitativna razlaga povezave med zakonom na splošno in diferencialnim zakonom.

Ko smo govorili o svetlobi, smo se pogovarjali tudi o vprašanju: kako delec vendarle najde pravo pot? Z diferencialnega vidika je to enostavno razumeti. V vsakem trenutku delec doživi pospešek in ve le, kaj naj bi v tistem trenutku naredil. Toda vsi vaši vzročno-posledični instinkti se sprožijo, ko slišite, da se delec "odloči", katero pot naj ubere, pri čemer teži k minimalnemu delovanju. Ali že “voha” sosednje poti in se sprašuje, kam bodo pripeljale - do več ali manj akcije? Ko smo na pot svetlobe postavili zaslon, da fotoni ne morejo preizkusiti vseh poti, smo ugotovili, da se ne morejo odločiti, katero pot naj uberejo, in dobili smo pojav uklona.

Toda ali to velja tudi za mehanike? Ali je res, da delec ne le »gre po pravi poti«, ampak pretehta vse druge možne trajektorije? In kaj, če mu s postavljanjem ovir na poti onemogočimo pogled naprej, potem dobimo neko analogijo pojava uklona? Čudovito pri vsem tem je, da res je. Tako pravijo zakoni kvantne mehanike. Torej naše načelo najmanjšega delovanja ni v celoti oblikovano. Ne gre za to, da delec izbere pot najmanjšega delovanja, ampak za to, da »povoha« vse sosednje poti in izbere tisto, po kateri je delovanje minimalno, metoda te izbire pa je podobna tisto, s čimer svetloba izbere najkrajši čas. Spomnite se, da svetloba potrebuje najkrajši čas tako: če gre svetloba po poti, ki zahteva drugačen čas, bo prišla z drugačno fazo. In skupna amplituda na neki točki je vsota prispevkov amplitud za vse poti, ki jih lahko prehodi svetloba, da jo doseže. Vse tiste poti, pri katerih se faze močno razlikujejo, po seštevanju ne dajo ničesar. Toda če vam uspe najti celotno zaporedje poti, katerih faze so skoraj enake, se bodo majhni prispevki seštevali in na točki prihoda bo polna amplituda dobila opazno vrednost. Najpomembnejša pot postane tista, v bližini katere je veliko bližnjih poti, ki dajejo isto fazo.

Popolnoma isto se dogaja v kvantni mehaniki. Popolna kvantna mehanika (nerelativistična in zanemarja vrtenje elektrona) deluje takole: verjetnost, da delec zapusti točko 1 v trenutku t1, doseže bistvo 2 v trenutku t 2 , je enaka kvadratu amplitude verjetnosti. Skupno amplitudo lahko zapišemo kot vsoto amplitud za vse možne načine— za kateri koli način prihoda. Za kogarkoli x(t), ki se lahko zgodi za katero koli zamislivo namišljeno trajektorijo, je treba izračunati amplitudo. Potem jih je treba vse zložiti. Kaj naj vzamemo za amplitudo verjetnosti določene poti? Naš akcijski integral nam pove, kakšna mora biti amplituda posamezne poti. Amplituda sorazmerna z e tS/h, Kje S — dejanje na poti. To pomeni, da če fazo amplitude predstavimo kot kompleksno število, bo fazni kot enak S/ h. Akcija S ima razsežnost energije skozi čas in Planckova konstanta ima enako razsežnost. To je konstanta, ki določa, kdaj je potrebna kvantna mehanika.

In tukaj je opisano, kako vse deluje. Naj bo za vse poti akcija S bo zelo veliko v primerjavi s številom h. Naj neka pot vodi do neke velikosti amplitude. Faza naslednje položene poti se bo izkazala za popolnoma drugačno, saj z ogromno S tudi manjše spremembe S nenadoma spremenite fazo h zelo malo). To pomeni, da sosednje poti običajno ugasnejo svoje prispevke, ko so dodane. In samo na enem področju temu ni tako - na tistem, kjer imata tako pot kot njen sosed - oba, v prvem približku, enako fazo (ali, natančneje, skoraj enako delovanje, ki se spreminja znotraj h). Samo takšne poti se upoštevajo. In v mejnem primeru, ko je Planckova konstanta h teži k nič, lahko pravilne kvantnomehanske zakone povzamemo z besedami: »Pozabite na vse te verjetnostne amplitude. Delec se res giblje po posebni poti – točno po tisti, po kateri S se v prvem približku ne spremeni. To je povezava med načelom najmanjšega delovanja in kvantno mehaniko. Dejstvo, da je kvantno mehaniko mogoče formulirati na ta način, je leta 1942 odkril učenec istega učitelja, gospod Bader, o katerem sem vam govoril. [Kvantna mehanika je bila prvotno oblikovana z uporabo diferencialne enačbe za amplitudo (Schrödinger) in tudi z uporabo neke matrične matematike (Heisenberg).]

Zdaj želim govoriti o drugih načelih minimuma v fiziki. Obstaja veliko zanimivih tovrstnih načel. Ne bom našteval vseh, ampak bom navedel samo še enega. Kasneje, ko pridemo do enega fizikalni pojav, za katerega obstaja odlično minimalno načelo, vam bom povedal o tem. In zdaj želim pokazati, da elektrostatike ni treba opisati z diferencialno enačbo za polje; namesto tega lahko zahtevamo, da ima neki integral maksimum ali minimum. Za začetek vzemimo primer, ko je gostota naboja znana povsod, vendar moramo najti potencial φ na kateri koli točki v prostoru. Že veste, da bi moral biti odgovor:

Enako lahko rečemo še na naslednji način: izračunati je treba integral U*

je volumenski integral. Prenese se po celotnem prostoru. S pravilno porazdelitvijo potenciala φ (x, y,z) ta izraz doseže minimum.

Lahko pokažemo, da sta obe trditvi glede elektrostatike enakovredni. Recimo, da smo izbrali poljubno funkcijo φ. Želimo pokazati, da ko vzamemo za φ pravilna vrednost potencial _φ plus majhen odklon f, potem v prvem redu majhnosti sprememba v U* bo nič. Torej pišemo

tukaj je φ tisto, kar iščemo; vendar bomo spreminjali φ, da vidimo, kakšen mora biti, da pride do spremembe U* izkazalo se je, da je prvega reda majhnosti. V prvem členu U* moramo napisati

To je treba integrirati x, y in po z. In tukaj se pokaže isti trik: znebiti se df/ dx, se bomo integrirali čez X po delih. To bo vodilo do dodatne diferenciacije φ glede na X. To je ista osnovna ideja, s katero smo se znebili derivatov glede na t. Uporabljamo enakost

Integrirani člen je nič, ker menimo, da je f enak nič v neskončnosti. (To ustreza izginotju η, ko t 1 in t 2 . Naše načelo je torej natančneje navedeno na naslednji način: U* za pravico φ manj kot za katero koli drugo φ(x, y,z), ki imajo enake vrednosti v neskončnosti.) Potem bomo storili enako z pri in z z. Naš integral ΔU* postane

Da je ta variacija enaka nič za poljuben f, mora biti koeficient pri f enak nič. pomeni,

Spet smo pri naši stari enačbi. Torej je naš "minimalni" predlog pravilen. Posplošimo ga lahko z rahlo spremembo izračunov. Vrnimo se nazaj in integrirajmo po delih, ne da bi opisovali vse po komponentah. Začnimo s pisanjem naslednje enačbe:

Z razlikovanjem leve strani lahko pokažem, da je popolnoma enaka desni strani. Ta enačba je primerna za integracijo po delih. V našem integralu ΔU* zamenjamo Vφ*Vf n in fV 2 φ+V*(fVφ) in nato to integrirajte čez prostornino. Divergenčni člen po volumski integraciji se nadomesti s površinskim integralom:

In ker integriramo po celotnem prostoru, leži površina v tem integralu v neskončnosti. Zato je f=0 in dobimo prejšnji rezultat.

Šele zdaj začenjamo razumeti, kako rešiti težave, v katerih smo ne vemo kjer se nahajajo vsi naboji. Recimo, da imamo prevodnike, na katerih so naboji nekako porazdeljeni. Če so potenciali na vseh vodnikih nespremenljivi, je še vedno dovoljeno uporabljati naše minimalno načelo. Integracija v U* risali bomo samo območje, ki leži zunaj vseh vodnikov. Ker pa (φ) na vodnikih ne moremo spremeniti, potem je f = 0 na njihovi površini in površinski integral

je treba narediti samo v vrzeli med vodniki. In seveda spet dobimo Poissonovo enačbo

Pokazali smo torej, da je naš prvotni integral U* doseže minimum, tudi če je izračunan v prostoru med vodniki, od katerih je vsak pri fiksnem potencialu [to pomeni, da vsaka preskusna funkcija φ(x, y,z) mora biti enak danemu potencialu prevodnika, ko (x, y,z) - točke površine prevodnika]. Zanimiv je poseben primer, ko se naboji nahajajo samo na vodnikih. Potem

in naše minimalno načelo nam pove, da v primeru, ko ima vsak prevodnik svoj vnaprej določen potencial, potenciali med njima ustrezajo tako, da je integral U* se izkaže za čim manjšo. Kaj je ta integral? Izraz Vφ je električno polje. Integral je torej elektrostatična energija. Pravilno polje je edino, ki ima izmed vseh polj, dobljenih kot potencialni gradient, najmanjšo skupno energijo.

Rad bi uporabil ta rezultat za rešitev določenega problema in vam pokazal, da so vse te stvari resnično praktičnega pomena. Recimo, da sem vzel dva prevodnika v obliki cilindričnega kondenzatorja.

Potencial notranjega prevodnika je npr. V, in zunanji je nič. Naj bo polmer notranjega prevodnika enak A, in zunanji - b. Zdaj lahko domnevamo, da je porazdelitev potencialov med njimi kaj.Če pa vzamemo pravilno vrednost φ in izračunajte
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV potem bi morala biti energija sistema 1/2CV 2 .

Torej lahko s pomočjo našega principa izračunamo tudi kapacitivnost Z.Če vzamemo napačno porazdelitev potenciala in poskušamo s to metodo oceniti kapacitivnost kondenzatorja, bomo tudi prišli do velik pomen zmogljivost pri fiksni V. Vsak predpostavljeni potencial φ, ki se ne ujema natančno z njegovo resnično vrednostjo, bo povzročil tudi nepravilno vrednost C, večjo od potrebne. Toda če je nepravilno izbrani potencial cp še vedno grob približek, potem kapacitivnost Z izkazalo se bo že z dobro natančnostjo, ker je napaka v C vrednost drugega reda v primerjavi z napako v φ.

Recimo, da ne poznam kapacitivnosti cilindričnega kondenzatorja. Potem, da jo spoznam, lahko uporabim to načelo. Preprosto bom poskusil različne funkcije φ kot potenciala, dokler ne dosežem najnižje vrednosti Z. Denimo, da sem izbral potencial, ki ustreza konstantnemu polju. (Seveda veste, da polje tukaj ni zares konstantno; spreminja se kot 1/r.) Če je polje konstantno, potem to pomeni, da je potencial linearno odvisen od razdalje. Da bi bila napetost na vodnikih tolikšna, kot je potrebna, mora imeti funkcija φ obliko

Ta funkcija je enaka V pri r=a, nič za r =b, in med njima je stalen naklon, ki je enak - V/(b—A). Torej, da definiramo integral U*, potrebno je le pomnožiti kvadrat tega gradienta z ε o /2 in integrirati po celotnem volumnu. Izvedimo ta izračun za valj enote dolžine. Element volumna s polmerom r je enako 2prdr. Z integracijo ugotovim, da moj prvi poskus prinese naslednjo zmogljivost:

Tako dobim formulo za kapacitivnost, ki je, čeprav napačna, nekakšen približek:

Seveda se razlikuje od pravilnega odgovora. C \u003d 2πε 0 / ln (b / a), ampak na splošno ni tako slabo. Poskusimo ga primerjati s pravilnim odgovorom za več vrednosti. b/a.Številke, ki sem jih izračunal, so prikazane v naslednji tabeli.

Četudi b/a=2(in to že vodi do precej velikih razlik med konstantnimi in linearnimi polji), dobim še dokaj znosen približek. Odgovor je seveda pričakovano malce pretiran. Če pa je tanka žica nameščena v velik valj, potem je vse videti veliko slabše. Takrat se polje zelo močno spremeni in zamenjava s konstantnim poljem ne vodi v nič dobrega. Z b/a=100 skoraj podvojimo odgovor. Za majhne b/a položaj je videti veliko boljši. V nasprotni meji, ko reža med vodniki ni zelo široka (recimo pri b/a=1,1), je konstantno polje zelo dober približek, saj daje vrednost Z natančno na desetinke odstotka.

In zdaj vam bom povedal, kako izboljšati ta izračun. (Odgovor za jeklenko vam seveda znan, vendar ista metoda deluje pri nekaterih drugih nenavadne oblike kondenzatorji, za katere morda ne poznate pravilnega odgovora.) Naslednji korak je iskanje boljšega približka za pravi potencial φ, ki ga ne poznamo. Recimo, da lahko testirate konstanto plus eksponent φ itd. Toda kako veste, da imate najboljši približek, če ne poznate pravega φ? odgovor: Prešteti Z; nižje kot je, bližje je resnici. Preizkusimo to idejo. Naj potencial ni linearen, ampak, recimo, kvadraten glede na r, električno polje pa ne konstantno, ampak linearno. Večina splošno kvadratna oblika, ki postane φ=O, ko r=b in v φ=F pri r=a, je:

kjer je α konstantno število. Ta formula je nekoliko bolj zapletena od prejšnje. Vključuje tako kvadratni kot linearni člen. Iz njega je zelo enostavno dobiti polje. Je enako preprostemu

Zdaj je treba to kvadrirati in integrirati v volumen. Ampak počakaj malo. Kaj naj vzamem za α? Za f lahko vzamem parabolo, ampak kaj? Naredil bom naslednje: izračunam kapacitivnost pri poljubno α. dobil bom

Videti je nekoliko zmedeno, a tako se izkaže po integraciji kvadrata polja. Zdaj lahko izbiram sama. Vem, da je resnica nižje od vsega, kar nameravam ugotoviti. Karkoli postavim namesto a, je odgovor še vedno prevelik. Toda če nadaljujem svojo igro z α in poskušam dobiti najnižjo možno vrednost Z, potem bo ta najnižja vrednost bližje resnici kot katera koli druga vrednost. Zato moram zdaj izbrati α, da bo vrednost Z dosegel svoj minimum. Če se obrnem na običajen diferencialni račun, vidim, da je minimum Z bo, ko je α =— 2 b/(b+a). Če nadomestim to vrednost v formulo, dobim najmanjšo zmogljivost

Ugotovil sem, kaj daje ta formula Z pri različnih vrednostih b/a. Te številke sem klical Z(kvadratno). Tukaj je primerjalna tabela Z(kvadratno) z Z(prav).

Na primer, ko je razmerje radijev 2:1, dobim 1,444. To je zelo dober približek pravilnemu odgovoru, 1,4423. Tudi z velikimi ja približek ostaja precej dober - je veliko boljši od prvega približki. Ostaja sprejemljivo (samo 10 % precenjeno) tudi pri b/a = 10 : 1. Do velikega odstopanja prihaja le pri razmerju 100 : 1. Dobim Z enako 0,346 namesto 0,267. Po drugi strani pa je za razmerje polmera 1,5 dogovor odličen, vendar za b/a=1,1 odgovor je 10,492065 namesto 10,492070. Kjer je treba pričakovati dober odgovor, se izkaže za zelo, zelo dobrega.

Vse te primere sem navedel, prvič, da bi prikazal teoretično vrednost načela minimalnega delovanja in vseh načel minimuma na splošno, in drugič, da bi vam pokazal njihovo praktično uporabnost, in sploh ne zato, da bi izračunal zmogljivost, ki jih že zelo dobro poznamo. Za katero koli drugo obliko lahko poskusite s približnim poljem z nekaj neznanimi parametri (kot je α) in jih prilagodite na minimum. Dobili boste odlične numerične rezultate pri problemih, ki jih ni mogoče rešiti drugače.

Načelo najmanjšega delovanja, ki ga je prvi eksplicitno izrazil Jacobi, je podobno Hamiltonovemu načelu, vendar manj splošno in težje dokazljivo. To načelo velja samo za primer, ko povezave in delovanje sile niso odvisne od časa in ko torej obstaja integral žive sile.

Ta integral izgleda takole:

Zgoraj navedeno Hamiltonovo načelo navaja, da variacija integrala

je enako nič pri prehodu realnega gibanja v katero koli drugo neskončno blizu gibanje, ki sistem prenese iz istega začetni položaj na isti končni položaj v enakem času.

Nasprotno, Jacobijevo načelo izraža lastnost, gibanje, ki ni odvisno od časa. Jacobi upošteva integral

definiranje dejanja. Načelo, ki ga je vzpostavil, pravi, da je variacija tega integrala enaka nič, ko primerjamo dejansko gibanje sistema s katerim koli drugim neskončno blizu gibanjem, ki popelje sistem iz istega začetnega položaja v isti končni položaj. V tem primeru se ne oziramo na porabljeni časovni interval, ampak upoštevamo enačbo (1), to je enačbo delovne sile z enako vrednostjo konstante h kot pri dejanskem gibanju.

to potreben pogoj ekstrem vodi na splošno do minimuma integrala (2), od koder izvira ime načelo najmanjšega delovanja. Minimalni pogoj se zdi najbolj naraven, saj je vrednost T v bistvu pozitivna, zato mora imeti integral (2) nujno minimum. Obstoj minimuma je mogoče strogo dokazati le, če je časovni interval dovolj majhen. Dokaz te trditve je mogoče najti v Darbouxovem znanem tečaju teorije površin. Vendar ga tukaj ne bomo predstavljali in se omejili na izpeljavo pogoja

432. Dokaz načela najmanjšega delovanja.

Pri dejanskem računanju naletimo na eno težavo, ki je ni pri dokazu Hamiltonovega izreka. Spremenljivka t ni več neodvisna od variacije; torej variacije q i in q. so z variacijo t povezane s kompleksnim razmerjem, ki izhaja iz enačbe (1). Najlažji način, da se izognete tej težavi, je, da spremenite neodvisno spremenljivko v tisto, katere vrednosti ležijo med stalnimi časovno neodvisnimi mejami. Naj bo k nova neodvisna spremenljivka, katere meje naj bodo neodvisne od t. Pri premikanju sistema bodo parametri in t funkciji te spremenljivke

Naj začetni črki q označujeta odvode parametrov q glede na čas.

Ker se predpostavlja, da so povezave neodvisne od časa, so kartezične koordinate x, y, z funkcije q, ki ne vsebujejo časa. Zato bodo njihovi derivati ​​linearne homogene funkcije od q in 7 bo homogena kvadratna oblika od q, katere koeficienti so funkcije od q. Imamo

Da bi razlikovali časovne odvode q, z oklepajem (q) označimo odvode q, vzete glede na in postavljene v skladu s tem

potem bomo imeli

in integral (2), izražen z novo neodvisno spremenljivko A, bo dobil obliko;

Izpeljavo je mogoče odpraviti z uporabo izreka o živi sili. Res, integral žive sile bo

Če ta izraz nadomestimo v formulo za , dobimo integral (2) v obliki

Integral, ki določa akcijo, je tako dobil končno obliko (3). Integrand je kvadratni koren kvadratne oblike količin

Pokažimo, da so diferencialne enačbe ekstremalov integrala (3) točno Lagrangeove enačbe. Ekstremne enačbe, ki temeljijo na splošnih formulah variacijskega računa, bodo:

Enačbe pomnožimo z 2 in izvedemo delne diferenciacije, pri čemer upoštevamo, da ne vsebuje potem dobimo, če ne zapišemo indeksa ,

To so ekstremne enačbe, izražene z neodvisno spremenljivko. Zdaj se moramo vrniti k neodvisni spremenljivki

Ker je G homogena funkcija druge stopnje in je homogena funkcija prve stopnje, imamo

Po drugi strani pa lahko za faktorje odvodov v enačbah ekstremalov uporabimo izrek o živi sili, ki vodi, kot smo videli zgoraj, do zamenjave

Zaradi vseh zamenjav se ekstremne enačbe reducirajo na obliko

Tako smo prišli do Lagrangeovih enačb.

433. Primer, ko ni pogonskih sil.

V primeru, ko gonilne sile ne, obstaja enačba za delovno silo in jo imamo

Pogoj, da je integral minimalen, je ta primer v tem, da mora biti ustrezna vrednost -10 najmanjša. Kadar torej ni gonilnih sil, tedaj je med vsemi gibi, v katerih živa sila ohranja isto dano vrednost, dejansko gibanje tisto, ki pripelje sistem iz njegovega začetnega položaja v njegov končni položaj v najkrajšem času.

Če je sistem reduciran na eno samo točko, ki se giblje vzdolž nepremične površine, potem je dejansko gibanje med vsemi gibi vzdolž površine, ki se izvajajo z enako hitrostjo, takšno gibanje, pri katerem točka preide iz svojega začetnega položaja v končni položaj. do najkrajšega

časovni interval. Z drugimi besedami, točka opisuje na površini najkrajšo črto med svojima položajema, to je geodetsko črto.

434. Opomba.

Načelo najmanjšega delovanja predpostavlja, da ima sistem več prostostnih stopenj, saj če bi obstajala le ena prostostna stopnja, bi bila ena enačba dovolj za določitev gibanja. Ker je gibanje v tem primeru lahko popolnoma določeno z enačbo žive sile, bo dejansko gibanje edino, ki bo zadostilo tej enačbi, in ga zato ne moremo primerjati z nobenim drugim gibanjem.


NAČELO NAJMANJŠEGA DELOVANJA

Eden od variacijskih principov mehanike, po Krom za določen razred mehanskih gibanj, primerjanih med seboj. sistem velja za katero fizično. vrednost, imenovana dejanje, ima najmanjšo (natančneje, stacionarno) vrednost. Običajno se N. d. p. uporablja v eni od dveh oblik.

a) N.d.p. v obliki Hamilton - Ostrogradsky ugotavlja, da je med vsemi kinematično možnimi premiki sistema iz ene konfiguracije v drugo (blizu prve), izvedenimi v istem časovnem intervalu, pravi tisti, za katerega bo Hamiltonovo delovanje S biti najmanjši. Mat. v tem primeru ima izraz N.d.p. obliko: dS = 0, kjer je d simbol nepopolne (izohrone) variacije (to pomeni, da v nasprotju s polno variacijo čas v njej ne variira).

b) N.D.P. v obliki Maupertuis-Lagrange ugotavlja, da med vsemi kinematično možnimi premiki sistema iz ene konfiguracije v drugo, ki mu je blizu, izvedenimi ob ohranjanju enake vrednosti celotne energije sistema, velja, da za k- Največje Lagrangeovo dejanje W bo najmanjše. Mat. izraz N.d.p. ima v tem primeru obliko DW=0, kjer je D simbol popolne variacije (v nasprotju z načelom Hamilton-Ostrogradskega se tukaj ne spreminjajo samo koordinate in hitrosti, ampak tudi čas, ki ga sistem potrebuje za premikanje iz ene konfiguracije v drugo). N. d. str. V tem primeru velja le za konzervativne in še več holonomne sisteme, medtem ko je v prvem primeru NDP bolj splošen in ga je mogoče razširiti predvsem na nekonservativne sisteme. N. d. p. se uporabljajo za sestavljanje ur-cij mehanskega gibanja. sistemov in za študij skupnega sv. Z ustrezno posplošitvijo pojmov N. D. P. najde aplikacije v mehaniki zveznega medija, v elektrodinamiki in kvantumu. mehaniki itd.

  • - enako kot...

    Fizična enciklopedija

  • - m-operator, operator minimizacije, - metoda konstruiranja novih funkcij iz drugih funkcij, sestavljena iz naslednjega ...

    Matematična enciklopedija

  • - eno od variacijskih načel mehanike, po Krom za dani razred mehanskih gibanj v primerjavi med seboj. sistem izvaja tisto, za kar je dejanje minimalno ...

    Naravoslovje. enciklopedični slovar

  • - eden najpomembnejših zakonov mehanike, ki ga je ustanovil ruski znanstvenik M.V. Ostrogradski...

    Ruska enciklopedija

  • Glosar pravnih izrazov

  • - v ustavnem pravu številnih držav načelo, po katerem so splošno priznana načela in norme mednarodnega prava. sestavni del pravni sistem zadevna država...

    Pravna enciklopedija

  • - v ustavnem pravu številnih držav načelo, po katerem so splošno priznane norme mednarodnega prava sestavni del nacionalnega pravnega reda ...

    Veliki pravni slovar

  • je najkrajša razdalja od središča eksplozivnega naboja do prosta površina- linija na nai-malkoto odpornost - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...

    Gradbeni slovar

  • - če je mogoče točke deformabilnega telesa premikati v različnih smereh, se vsaka točka tega telesa premika v smeri najmanjšega upora ...

    Enciklopedični slovar metalurgije

  • - pravilo, po katerem je običajno vrednotiti obstoječe zaloge po najnižji ceni ali po najnižji prodajni ceni ...

    Glosar poslovnih izrazov

  • - v ustavnem pravu številnih držav - načelo, po katerem so splošno priznana načela in norme mednarodnega prava sestavni del pravnega sistema ustrezne države in delujejo ...

    Enciklopedični slovar ekonomije in prava

  • - eno od variacijskih načel mehanike, po katerem je za dani razred medsebojno primerjanih gibanj mehanskega sistema resnična tista, za katero fizična količina, ...
  • - enako kot Gaussovo načelo ...

    Velika sovjetska enciklopedija

  • - eden od variacijskih principov mehanike; enako kot princip najmanjšega delovanja...

    Velika sovjetska enciklopedija

  • - eno od variacijskih načel mehanike, po katerem je za določen razred gibanj mehanskega sistema v primerjavi med seboj tisti, za katerega je delovanje minimalno ...

    Velik enciklopedični slovar

  • - Knjiga. izbrati največ enostaven način dejanja, izogibanje oviram, izogibanje težavam ...

    Frazeološki slovar ruskega knjižnega jezika

"NAČELO NAJMANJŠEGA DEJANJA" v knjigah

2.5.1. Načelo delovanja naprave

Iz knjige Zabavna elektronika [Enciklopedija uporabnih vezij brez predloge] avtor Kaškarov Andrej Petrovič

2.5.1. Princip delovanja naprave Princip delovanja naprave je preprost. Ko se svetlobni tok, ki ga oddaja LED HL1, odbije od predmeta in zadene fotodetektor, elektronska enota, izvedena na 2 mikrovezjih - primerjalniku KR1401CA1 in časovniku KR1006VI1, ustvari

Načelo delovanja teraf

Iz knjige Skrivno znanje. Teorija in praksa Agni joge avtor Roerich Elena Ivanovna

Princip delovanja teraf 24.02.39 Saj veste, da nas vsako zavedanje in predstavljanje nekega predmeta s tem približuje temu. Kot veste, se psihične plasti predmeta lahko prenesejo na njegove terafim. Še posebej pomembni so astralni terafimi oddaljenih svetov in

Trije pogoji za zakon najmanjšega napora za delo

Iz knjige Modrost Deepaka Chopre [Pridobite, kar želite, z upoštevanjem 7 zakonov vesolja] avtor Goodman Tim

Trije pogoji za delovanje zakona najmanjšega napora. Poglejmo, kateri pogoji so potrebni, da v svoje življenje privabimo ta ustvarjalni tok energije vesolja – energijo ljubezni, in s tem začne zakon najmanjšega napora delovati v vašem življenju.

19. poglavje NAČELO NAJMANJŠEGA DEJANJA

Iz knjige 6. Elektrodinamika avtor Feynman Richard Phillips

19. POGLAVJE NAČELO ZADNJEGA AKCIJE Dodatek po predavanju Ko sem bil v šoli, me je naš učitelj fizike po imenu Bader nekoč poklical po pouku in rekel: »Videti si, kot da si strašno utrujen od vsega; poslušaj kaj zanimivega

5. Načelo najmanjšega delovanja

Iz knjige Revolucija v fiziki avtor de Broglie Louis

5. Načelo najmanjšega delovanja splošni pogled se imenuje Hamiltonovo načelo ali načelo stacionarnega delovanja. Po tem principu od vseh

Princip delovanja

Iz knjige Ključavničarski vodnik avtorja Phillips Bill

Načelo delovanja Sposobnost valja, da se vrti, je odvisna od položaja zatičev, ki je določen z gravitacijo, delovanjem vzmeti in silo ključa (ali trzalice; glejte poglavje 9 za informacije o trzalicah) . Brez ključa, gravitacija in vzmeti potisnejo noter

Princip stacionarnega delovanja

Iz knjige Big Sovjetska enciklopedija(ST) avtor TSB

Načelo najmanjšega ukrepanja

TSB

načelo najmanjše prisile

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (NA) avtorja TSB

2.5.1. Princip delovanja

Iz knjige Relejna zaščita v elektrodistribucijskih omrežjih B90 avtor Bulychev Alexander Vitalievich

2.5.1. Princip delovanja V električnih omrežjih z dvosmernim napajanjem in v obročnih omrežjih običajne nadtokovne zaščite ne morejo delovati selektivno. Na primer, v električno omrežje z dvema viroma napajanja (slika 2.15), kjer so na obeh straneh nameščena stikala in zaščite

Princip delovanja

Iz knjige Turbo-Gopher. Kako nehati jebati svoje možgane in začeti živeti avtor Leuškin Dmitrij

Princip delovanja “Process it” je pravzaprav nekakšen “makro”, ki z eno besedno zvezo sproži cel kup procesov v podzavesti, katerih namen je obdelava izbranega mentalnega materiala. Ta upravljalnik sam vključuje 7 različnih modulov, od katerih nekateri

Kako začeti slediti zakonu najmanjšega napora: trije koraki

Iz knjige Capital Growing Guide avtorjev Joseph Murphy, Dale Carnegie, Eckhart Tolle, Deepak Chopra, Barbara Sher, Neil Walsh avtor Stern Valentin

Kako začeti slediti zakonu najmanjšega napora: tri potrebno ukrepanje Da bi zakon najmanjšega napora deloval, ne smete le upoštevati zgornjih treh pogojev, ampak tudi izvesti tri dejanja: Prvo dejanje: začnite sprejemati svet, kakršen je Sprejmite

11. Fizika in aikido najmanjšega delovanja

avtor Mindell Arnold

11. Fizika in aikido najmanjšega dejanja Ko piha, je to samo veter. Kdaj dežuje, tam je samo dež. Ko se oblaki premikajo, skozi njih posije sonce. Če se odprete vpogledu, potem ste eno z vpogledom. In to lahko v celoti izkoristite. Če se odpreš

Leibnizovo načelo najmanjšega delovanja "Vis Viva"

Iz knjige Geopsihologija v šamanizmu, fiziki in taoizmu avtor Mindell Arnold

Leibnizovo načelo najmanjšega delovanja "Vis Viva" Za načelo najmanjšega delovanja bi morali biti vsi hvaležni Wilhelmu Gottfriedu Leibnizu (1646–1716). Leibniz, eden prvih "modernih" fizikov in matematikov, je živel v Newtonovem času – obdobju, ko so bili znanstveniki bolj odprti.

Aikido je utelešenje načela najmanjšega delovanja

Iz knjige Geopsihologija v šamanizmu, fiziki in taoizmu avtor Mindell Arnold

Aikido je utelešenje načela najmanjšega delovanja. Našo psihologijo in tehnologijo v veliki meri poganja koncept, ki je zelo blizu ideji najmanjšega dejanja. Nenehno si poskušamo olajšati življenje. Današnji računalniki niso dovolj hitri; Morajo

P. Maupertuis) leta 1744, ki je takoj izpostavil njegovo univerzalno naravo in menil, da je uporabna za optiko in mehaniko. Iz tega principa je izpeljal zakone odboja in loma svetlobe.

Enciklopedični YouTube

  • 1 / 5

    Matematične raziskave in razvoj Fermatovega principa je izvedel Christian Huygens, nato pa so o tej temi aktivno razpravljali največji znanstveniki 17. stoletja. Leibniz je leta 1669 v fiziko uvedel temeljni koncept delovanja: "Formalna dejanja gibanja so sorazmerna z ... produktom količine snovi, razdalj, ki jih prepotujejo, in hitrosti."

    Vzporedno z analizo osnov mehanike so se razvijale metode za reševanje variacijskih problemov. Isaac Newton je v svojih »Matematičnih principih naravne filozofije« (1687) postavil in rešil prvi variacijski problem: najti takšno obliko vrtilnega telesa, ki se giblje v upornem mediju vzdolž svoje osi, pri kateri bi bil upor, ki ga ima, najmanjši. . Skoraj sočasno so se pojavili drugi variacijski problemi: problem brahistokrone (1696), oblika verižne mreže itd.

    Odločilni dogodki so se zgodili leta 1744. Leonhard-Euler je objavil prvo splošno delo o variacijskem računu ("Metoda za iskanje krivulj z lastnostmi maksimuma ali minimuma"), Pierre-Louis de Maupertuis pa v svoji razpravi "Uskladitev različnih naravnih zakonov, ki dotlej zdelo nezdružljivo«, je dal prvo formulacijo načela najmanjšega delovanja: »Pot, ki ji sledi svetloba, je pot, za katero bo količina delovanja najmanjša.« Pokazal je izpolnjevanje tega zakona tako pri odboju kot pri lomu svetlobe. Kot odgovor na Maupertuisov članek je Euler objavil (istega leta 1744) delo "O določanju gibanja vrženih teles v neupornem mediju z metodo maksimumov in minimumov" in v tem delu podal Maupertuisovo načelo splošen mehanski značaj: »Ker vsi naravni pojavi sledijo nekemu kateremu koli zakonu maksimuma ali minimuma, ni dvoma, da za ukrivljene črte, ki opisujejo vržena telesa, ko nanje delujejo kakršne koli sile, pride do neke lastnosti maksimuma ali minimuma . Euler je nadalje formuliral ta zakon: trajektorija telesa je minimum ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Nato ga je uporabil in izpeljal zakone gibanja v enakomernem gravitacijskem polju ter v več drugih primerih.

    Leta 1746 Maupertuis nova služba strinjal z Eulerjevim mnenjem in razglasil najsplošnejšo različico njegovega načela: »Ko pride do neke spremembe v naravi, je količina dejanj, potrebnih za to spremembo, najmanjša možna. Količina dejanja je zmnožek mase teles, njihove hitrosti in razdalje, ki jo prevozijo. V široki razpravi, ki je sledila, je Euler podprl Maupertuisovo prednost in se zavzel za univerzalno naravo novega zakona: "celotno dinamiko in hidrodinamiko je mogoče razkriti s presenetljivo lahkoto samo z metodo maksimumov in minimumov."

    Nova stopnja se je začela v letih 1760-1761, ko je Joseph Louis Lagrange uvedel strog koncept variacije funkcije, dal variacijskemu računu sodoben videz in razširil načelo najmanjšega delovanja na poljuben mehanski sistem (tj. ne le na brezplačne materialne točke). To je pomenilo začetek analitične mehanike. Carl Gustav Jakob Jacobi je leta 1837 izvedel nadaljnjo posplošitev načela - problem je obravnaval geometrijsko, kot iskanje ekstremov variacijskega problema v konfiguracijskem prostoru z neevklidsko metriko. Jacobi je zlasti poudaril, da je v odsotnosti zunanjih sil tirnica sistema geodetska črta v konfiguracijskem prostoru.

    Hamiltonov pristop se je izkazal za univerzalnega in zelo učinkovitega v matematičnih modelih fizike, zlasti za kvantno mehaniko. Njegova hevristična moč je bila potrjena pri ustvarjanju Splošne teorije relativnosti, ko je David Hilbert uporabil Hamiltonov princip za izpeljavo končnih enačb gravitacijskega polja (1915).

    V klasični mehaniki

    Načelo najmanjšega delovanja služi kot temeljna in standardna osnova za Lagrangevo in Hamiltonovo formulacijo mehanike.

    Najprej razmislimo o konstrukciji na tak način Lagrangeva mehanika. Na primeru fizikalnega sistema z eno stopnjo svobode se spomnimo, da je dejanje funkcional glede na (posplošene) koordinate (v primeru ene prostostne stopnje - ena koordinata), kar pomeni, da je izraženo z q (t) (\displaystyle q(t)) tako da vsaka možna različica funkcije q (t) (\displaystyle q(t)) primerja se določeno število - dejanje (v tem smislu lahko rečemo, da je dejanje kot funkcional pravilo, ki omogoča poljubno dano funkcijo q (t) (\displaystyle q(t)) izračuna natančno določeno število - imenovano tudi dejanje). Akcija izgleda takole:

    S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

    Kje L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) je lagrangian sistema, odvisen od posplošene koordinate q (\displaystyle q), njegova prva časovna izpeljanka q ˙ (\displaystyle (\pika (q))), in tudi, morda, eksplicitno od časa t (\displaystyle t). Če ima sistem več prostostnih stopenj n (\displaystyle n), potem je Lagrangian odvisen od več generalizirane koordinate q i (t), i = 1, 2, …, n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\pike,n) in njihove prve časovne izpeljanke. Tako je dejanje skalarni funkcional, odvisen od trajektorije telesa.

    Dejstvo, da je dejanje skalarno, omogoča enostavno pisanje v poljubnih posplošenih koordinatah, glavno je, da je položaj (konfiguracija) sistema enolično označen z njimi (na primer, namesto kartezičnih koordinat so te lahko polarne koordinate, razdalje med točkami sistema, koti ali njihove funkcije itd. d.).

    Ukrep je mogoče izračunati za povsem poljubno trajektorijo q (t) (\displaystyle q(t)), pa naj bo še tako »divje« in »nenaravno«. Vendar pa je v klasični mehaniki med celotnim naborom možnih trajektorij le ena, po kateri bo telo dejansko šlo. Načelo stacionarnosti delovanja pač daje odgovor na vprašanje, kako se bo telo dejansko gibalo:

    To pomeni, da če je Lagrangeov sistem podan, lahko z variacijskim računom natančno določimo, kako se bo telo gibalo, najprej dobimo enačbe gibanja - Euler -Lagrangeove enačbe in jih nato rešimo. To omogoča ne le resno posploševanje formulacije mehanike, temveč tudi izbiro najprimernejših koordinat za vsak določen problem, ne omejeno na kartezične, kar je lahko zelo koristno za pridobivanje najpreprostejših in najlažje rešljivih enačb.

    S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

    Kje H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\ekviv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\pike ,q_(N),p_(1),p_(2),\pike ,p_(N),t) ) je Hamiltonova funkcija danega sistema; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (posplošene) koordinate, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\pike ,p_(N))- konjugirani (generalizirani) impulzi, ki skupaj v vsakem danem časovnem trenutku označujejo dinamično stanje sistema in, ki je vsak funkcija časa, tako označujejo razvoj (gibanje) sistema. V tem primeru je treba za pridobitev enačb gibanja sistema v obliki kanoničnih Hamiltonovih enačb tako zapisano dejanje neodvisno spreminjati po vseh q i (\displaystyle q_(i)) in p i (\displaystyle p_(i)).

    Upoštevati je treba, da če je načeloma mogoče najti zakon gibanja iz pogojev problema, potem je to samodejno ne pomeni, da je možno konstruirati funkcional, ki ima med pravim gibanjem stacionarno vrednost. Primer je gibanje sklepov električni naboji in monopoli - magnetni naboji - v elektromagnetnem polju. Njihovih enačb gibanja ni mogoče izpeljati iz načela stacionarnosti delovanja. Podobno imajo nekateri Hamiltonovi sistemi enačbe gibanja, ki ne sledijo temu principu.

    Primeri

    Trivialni primeri pomagajo oceniti uporabo principa delovanja prek Euler-Lagrangeovih enačb. Prosti delec (masa m in hitrost v) se giblje premočrtno v evklidskem prostoru. Z uporabo Euler-Lagrangeovih enačb lahko to prikažemo v polarnih koordinatah, kot sledi. V odsotnosti potenciala je Lagrangeova funkcija preprosto enaka kinetični energiji

    1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\pika (x))^(2)+(\pika (y))^(2)\desno)) ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

    Tukaj ∫ [ D x ] (\displaystyle \int) je pogojna notacija neskončne funkcionalne integracije po vseh trajektorijah x(t) in ℏ (\displaystyle \hbar )- Planckova konstanta. Poudarjamo, da se načeloma delovanje v eksponenti pojavlja (ali se lahko pojavi) samo pri preučevanju evolucijskega operatorja v kvantni mehaniki, vendar je za sisteme, ki imajo natančen klasični (nekvantni) analog, natanko enako običajna klasična akcija.

    Matematična analiza tega izraza v klasični meji - za dovolj velike S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), to je z zelo hitrimi nihanji imaginarnega eksponenta - kaže, da se velika večina vseh možnih trajektorij v tem integralu mejno (formalno, ko S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Za skoraj vsako pot obstaja pot, na kateri bo fazni vdor ravno nasproten in bo seštel ničelni prispevek. Samo tiste trajektorije, za katere je delovanje blizu skrajne vrednosti (za večino sistemov - najmanjše), se ne zmanjšajo. To je čisto matematično dejstvo

  • 3.1 Znanstvene revolucije v zgodovini naravoslovja
  • 3.2. Prva znanstvena revolucija. Heliocentrični sistem sveta. Nauk o pluralnosti svetov
  • 3.3. Druga znanstvena revolucija. Ustvarjanje klasične mehanike in eksperimentalnega naravoslovja. Mehanska slika sveta
  • 3.4. Kemija v mehanskem svetu
  • 3.5. Naravoslovje sodobnega časa in problem filozofske metode
  • 3.6. Tretja znanstvena revolucija. Dialektizacija naravoslovja
  • 3.7. Očiščevalno naravoslovje
  • 3.8. Raziskave na področju elektromagnetnega polja in začetek propada mehanične slike sveta
  • I Naravoslovje XX stoletja
  • 4.1 Četrta znanstvena revolucija. Prodor v globino materije. Teorija relativnosti in kvantna mehanika. Dokončni propad mehanične slike sveta
  • 4.2. Znanstvena in tehnološka revolucija, njena naravoslovna komponenta in zgodovinske faze
  • 4.3. Panorama sodobnega naravoslovja 4.3.1. Značilnosti razvoja znanosti v XX
  • 4.3.2. Fizika mikrokozmosa in megasveta. Atomska fizika
  • 4.3.3. Dosežki v glavnih smereh sodobne kemije
  • 4.3.4. Biologija XX stoletja: poznavanje molekularne ravni življenja. Ozadje sodobne biologije.
  • 4.3.5. Kibernetika in sinergetika
  • Razdelek III
  • I Prostor in čas
  • 1.1 Razvoj idej o prostoru in času v prednewtonskem obdobju
  • 1. 2. Prostor in čas
  • 1.3. Na dolge in bližnje razdalje. Razvoj pojma "polje"
  • 2.1 Galilejevo načelo relativnosti
  • 2.2. Načelo najmanjšega delovanja
  • 2.3. Posebna relativnost a. Einstein
  • 1. Načelo relativnosti: vsi naravni zakoni so enaki v vseh inercialnih referenčnih sistemih.
  • 2.4. Elementi splošne teorije relativnosti
  • 3. Zakon o ohranitvi energije v makroskopskih procesih
  • 3.1. "Živa sila"
  • 3.2. Delo v mehaniki. Zakon o ohranitvi in ​​transformaciji energije v mehaniki
  • 3.3. Notranja energija
  • 3.4. Pretvorba različnih vrst energije druga v drugo
  • 4. Načelo naraščajoče entropije
  • 4.1. Idealni Carnotov cikel
  • 4.2. Koncept entropije
  • 4.3. Entropija in verjetnost
  • 4.4. Red in kaos. puščica časa
  • 4.5. "Maxwellov demon"
  • 4.6. Problem toplotne smrti vesolja. Boltzmannova fluktuacijska hipoteza
  • 4.7. Sinergetika. Rojstvo reda iz kaosa
  • I. Elementi kvantne fizike
  • 5.1. Razvoj pogledov na naravo svetlobe. Planckova formula
  • 5.2. Energija, masa in gibalna količina fotona
  • 5.3. De Brogliejeva hipoteza. Valovne lastnosti snovi
  • 5.4. Heisenbergov princip negotovosti
  • 5.5. Bohrov princip komplementarnosti
  • 5.6. Koncept integritete v kvantni fiziki. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen
  • 5.7. Valovi verjetnosti. Schrödingerjeva enačba. Načelo vzročnosti v kvantni mehaniki
  • 5.8. Stanja fizičnega sistema. Dinamični in statistični vzorci v naravi
  • 5.9. Relativistična kvantna fizika. Svet antidelcev. kvantna teorija polja
  • I K izgradnji enotne teorije polja 6.1. Noetherjev izrek in ohranitveni zakoni
  • 6.2. Koncept simetrije
  • 6.3. Merilne simetrije
  • 6.4. Interakcije. Klasifikacija osnovnih delcev
  • 6.5. K enotni teoriji polja. Zamisel o spontanem zlomu vakuumske simetrije
  • 6.6. Sinergijska vizija evolucije vesolja. Historizem fizičnih objektov. Fizični vakuum kot začetna abstrakcija v fiziki
  • 6.7. Antropni princip. "Fina nastavitev" vesolja
  • Razdelek IV
  • 1. Kemija v sistemu "družba-narava".
  • I Kemijske oznake
  • Oddelek V
  • I Teorije o nastanku življenja
  • 1.1. kreacionizem
  • 1.2. Spontana (spontana) generacija
  • 1.3. Teorija stabilnega stanja
  • 1.4. Teorija panspermije
  • 1.5. Biokemijska evolucija
  • 2.1. Lamarckova teorija evolucije
  • 2.2. Darwin, Wallace in izvor vrst z naravno selekcijo
  • 2.3. Sodobni koncept evolucije
  • 3.1. Paleontologija
  • 3.2. Geografska porazdelitev
  • 3.3. Razvrstitev
  • 3.4. Vzreja rastlin in živali
  • 3.5. Primerjalna anatomija
  • 3.6. Prilagodljivo sevanje
  • 3.7. Primerjalna embriologija
  • 3.8. Primerjalna biokemija
  • 3.9. Evolucija in genetika
  • Razdelek VI. Človek
  • I Izvor človeka in civilizacije
  • 1.1 Nastanek človeka
  • 1.2. Problem etnogeneze
  • 1.3. kulturne geneze
  • 1.4. Nastanek civilizacije
  • Človek in biosfera
  • 7.1 Koncept V.I. Vernadsky o biosferi in fenomenu človeka
  • 7.2. Vesoljski cikli
  • 7.3. Ciklus evolucije. Človek kot kozmično bitje
  • I kazalo
  • Oddelek I. Znanstvena metoda 7
  • Razdelek II. Zgodovina naravoslovja 42
  • Razdelek III. Elementi sodobne fizike 120
  • Razdelek IV. Osnovni pojmi in predstavitve kemije246
  • Oddelek V.. Izvor in razvoj življenja 266
  • Razdelek VI. Človek 307
  • 344007, Rostov na Donu,
  • 344019, Rostov na Donu, ul. Sovetskaya, 57. Kakovost tiskanja ustreza priloženim diapozitivom.

    • 2.2. Načelo najmanjšega delovanja

    V 18. stoletju je prišlo do nadaljnjega kopičenja in sistematizacije znanstvenih rezultatov, ki ga je zaznamovala težnja po združevanju posameznih znanstvenih dosežkov v strogo urejeno, koherentno sliko sveta s sistematično uporabo metod matematične analize pri preučevanju fizikalnih pojavov. Delo številnih briljantnih umov v tej smeri je privedlo do oblikovanja osnovne teorije mehanističnega raziskovalnega programa - analitične mehanike, na podlagi določb katere so nastale različne temeljne teorije, ki opisujejo določen razred konjunktur.

    pojavi: hidrodinamika, teorija elastičnosti, aerodinamika itd. Eden najpomembnejših rezultatov analizne mehanike je princip najmanjšega delovanja (variacijski princip), ki je pomemben za razumevanje procesov, ki se dogajajo v fiziki ob koncu 20. stoletja.

    Korenine nastanka variacijskih principov v znanosti segajo v staro Grčijo in so povezane z imenom Heron iz Aleksandrije. Ideja katerega koli variacijskega principa je spremeniti (spremeniti) neko vrednost, ki je značilna za določen proces, in izbrati izmed vseh možnih procesov tistega, za katerega ta vrednost prevzame skrajno (največjo ali najmanjšo) vrednost. Heron je poskušal razložiti zakone odboja svetlobe s spreminjanjem vrednosti, ki označuje dolžino poti, ki jo prehodi žarek svetlobe od vira do opazovalca, ko se odbije od ogledala. Prišel je do zaključka, da izmed vseh možnih poti svetlobni žarek izbere najkrajšo (od vseh geometrično možnih).

    V 17. stoletju, dva tisoč let kasneje, je francoski matematik Fermat opozoril na Heronov princip, ga razširil na medije z različnimi lomnimi količniki in ga zato preoblikoval v smislu časa. Fermatov princip pravi, da si v lomnem mediju, katerega lastnosti niso odvisne od časa, svetlobni žarek, ki gre skozi dve točki, sam izbere pot tako, da je čas, potreben za pot od prve do druge točke, minimalen. Izkaže se, da je Heronov princip poseben primer Fermatovega principa za medije s konstantnim lomnim količnikom.

    Fermatov princip je pritegnil veliko pozornost sodobnikov. Po eni strani je na najboljši možni način izpričeval »načelo ekonomičnosti« v naravi, o razumnem božjem načrtu, uresničenem v zgradbi sveta, po drugi strani pa je nasprotoval Newtonovi korpuskularni teoriji svetlobe. Po Newtonu se je izkazalo, da bi morala biti hitrost svetlobe v gostejših medijih večja, iz Fermatovega načela pa je sledilo, da se v takih medijih hitrost svetlobe zmanjša.

    Leta 1740 je matematik Pierre Louis Moreau de Maupertuis kritično analiziral Fermatov princip in sledil teološki

    logični motivi o popolnosti in najbolj ekonomični ureditvi vesolja, razglasili v delu "O različnih zakonih narave, ki so se zdeli nezdružljivi" načelo najmanjšega delovanja. Maupertuis je opustil Fermatov najkrajši čas in uvedel nov koncept – akcijo. Delovanje je enako zmnožku gibalne količine telesa (gibalna količina Р = mV) in poti, ki jo telo opravi. Čas nima prednosti pred prostorom in obratno. Svetloba torej ne izbere najkrajše poti in ne najkrajšega časa, da jo prepotuje, ampak po Maupertuisu »izbere pot, ki daje bolj realno ekonomijo: pot, po kateri sledi, je pot, na kateri je velikost delovanja je minimalna." Načelo najmanjšega delovanja je bilo nadalje razvito v delih Eulerja in Lagrangea; bil je osnova, na kateri je Lagrange razvil novo področje matematične analize - variacijski račun. To načelo je bilo nadalje posplošeno in dopolnjeno v Hamiltonovih delih. V posplošeni obliki načelo najmanjšega delovanja uporablja koncept delovanja, ki ni izražen v smislu gibalne količine, temveč v smislu Lagrangeove funkcije. Za primer enega delca, ki se giblje v nekem potencialnem polju, lahko Lagrangeovo funkcijo predstavimo kot razliko kinetičnih in potencialna energija:

    (Koncept "energije" je podrobno obravnavan v 3. poglavju tega razdelka.)

    Produkt se imenuje elementarna akcija. Skupno dejanje je vsota vseh vrednosti v celotnem obravnavanem časovnem intervalu, z drugimi besedami, skupno dejanje A:

    Enačbe gibanja delca lahko dobimo z uporabo načela najmanjšega delovanja, po katerem se realno gibanje zgodi tako, da se dejanje izkaže za ekstremno, to je, da se njegova variacija spremeni v 0:

    Lagrange-Hamiltonovo variacijsko načelo zlahka omogoča razširitev na sisteme, sestavljene iz ne-

    koliko (mnogo) delcev. Gibanje takih sistemov se običajno obravnava v abstraktnem prostoru (priročna matematična tehnika) velikega števila dimenzij. Recimo, za N točk je uveden nek abstraktni prostor 3N koordinat N delcev, ki tvorijo sistem, imenovan konfiguracijski prostor. Zaporedje različnih stanj sistema je predstavljeno s krivuljo v tem konfiguracijskem prostoru - trajektorijo. Če upoštevamo vse možne poti, ki povezujejo dve dani točki tega 3N-dimenzionalnega prostora, se lahko prepričamo, da se resnično gibanje sistema zgodi v skladu z načelom najmanjšega delovanja: med vsemi možnimi trajektorijami je tista, za katero je delovanje ekstremno nad realiziran je celoten časovni interval gibanja.

    Pri minimiziranju delovanja v klasični mehaniki dobimo Euler-Lagrangeove enačbe, katerih povezava z Newtonovimi zakoni je dobro znana. Izkazalo se je, da so Euler-Lagrangeove enačbe za Lagrangian klasičnega elektromagnetnega polja Maxwellove enačbe. Tako vidimo, da uporaba Lagrangiana in načela najmanjšega delovanja omogoča nastavitev dinamike delcev. Vendar pa ima Lagrangian še eno pomembno lastnost, zaradi katere je Lagrangeov formalizem postal glavni pri reševanju skoraj vseh problemov sodobne fizike. Dejstvo je, da so bili skupaj z Newtonovo mehaniko v fiziki že v 19. stoletju oblikovani ohranitveni zakoni za nekatere fizikalne količine: zakon o ohranitvi energije, zakon o ohranitvi gibalne količine, zakon o ohranitvi gibalne količine, zakon ohranjanja električnega naboja. Število ohranitvenih zakonov v povezavi z razvojem kvantne fizike in fizike osnovnih delcev v našem stoletju je postalo še večje. Postavlja se vprašanje, kako najti skupno osnovo za zapis tako enačb gibanja (recimo Newtonovih zakonov ali Maxwellovih enačb) kot količin, ki se ohranjajo v času. Izkazalo se je, da je taka osnova uporaba Lagrangevega formalizma, ker se Lagrangeian določene teorije izkaže za invariantnega (nespremenjenega) glede na transformacije, ki ustrezajo specifičnemu abstraktnemu prostoru, obravnavanemu v tej teoriji, kar ima za posledico ohranitev zakoni. Te lastnosti lagrangiana

    ni vodilo do smotrnosti oblikovanja fizikalnih teorij v jeziku Lagrangejev. Spoznanje te okoliščine je v fiziki prišlo zaradi nastanka Einsteinove teorije relativnosti.

    "

     

    Morda bi bilo koristno prebrati: