Smešen dogodek iz življenja. Sferična geometrija Lastnosti številskega kroga

Nekoč sem bil priča pogovoru med dvema prosilcema:

– Kdaj dodati 2πn in kdaj πn? Samo ne spomnim se!

– In jaz imam isti problem.

Hotel sem jim le povedati: "Ni vam treba zapomniti, ampak razumeti!"

Ta članek je namenjen predvsem srednješolcem in upam, da jim bo pomagal rešiti najpreprostejše trigonometrične enačbe z "razumevanjem":

Številčni krog

Poleg pojma številska premica obstaja tudi pojem številski krog. Kot vemo, v pravokotnem koordinatnem sistemu se krog s središčem v točki (0;0) in polmerom 1 imenuje enotski krog. Predstavljajmo si številsko premico kot tanko nit in jo navijmo okoli tega kroga: izhodišče (točko 0) bomo pritrdili na »desno« točko enotskega kroga, pozitivno pol os bomo ovili v nasprotni smeri urinega kazalca, negativno pol os pa -osi v smeri (slika 1). Tak enotski krog se imenuje numerični krog.

Lastnosti številskega kroga

Vsako realno število leži na eni točki številskega kroga.
Na vsaki točki številskega kroga je neskončno veliko realnih števil. Ker je dolžina enotskega kroga 2π, je razlika med poljubnima številoma na eni točki kroga enaka enemu od števil ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil točke A, lahko najdemo vsa števila točke A.

Narišimo premer AC (slika 2). Ker je x_0 eno od števil točke A, potem so števila x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... in le ta bodo števila točke C. Izberimo eno od teh števil, recimo x_0+π, in z njim zapišimo vsa števila točke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Upoštevajte, da lahko števila v točkah A in C združimo v eno formulo: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobimo števila točka A, in za k = ±3; … – številke točke C).

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali C premera AC, lahko najdemo vsa števila v teh točkah.

Dve nasprotni števili se nahajata na točkah kroga, ki sta simetrični glede na abscisno os.

Narišimo navpično tetivo AB (slika 2). Ker sta točki A in B simetrični glede na os Ox, se število -x_0 nahaja v točki B in so zato vsa števila točke B podana s formulo: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Števili v točkah A in B zapišemo z eno formulo: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali B navpične tetive AB, lahko najdemo vsa števila v teh točkah. Oglejmo si vodoravno tetivo AD in poiščimo številke točke D (slika 2). Ker je BD premer in število -x_0 pripada točki B, potem je -x_0 + π eno od števil točke D in so zato vsa števila te točke podana s formulo x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Številke v točkah A in D lahko zapišemo z eno formulo: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pri k= 0; ±2; ±4; … dobimo številke točke A, pri k = ±1; ±3; ±5; … – številke točke D).

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali D vodoravne tetive AD, lahko najdemo vsa števila v teh točkah.

Šestnajst glavnih točk številskega kroga

V praksi reševanje večine najpreprostejših trigonometričnih enačb vključuje šestnajst točk na krogu (slika 3). Kaj so te pike? Rdeče, modre in zelene pike delijo krog na 12 enakih delov. Ker je dolžina polkroga π, je dolžina loka A1A2 π/2, dolžina loka A1B1 π/6 in dolžina loka A1C1 π/3.

Zdaj lahko označimo eno številko naenkrat:

π/3 na C1 in

Oglišča oranžnega kvadrata so središča lokov vsake četrtine, zato je dolžina loka A1D1 enaka π/4 in je torej π/4 eno od števil točke D1. Z uporabo lastnosti številskega kroga lahko s formulami zapišemo vsa števila na vseh označenih točkah našega kroga. Na sliki so označene tudi koordinate teh točk (opis njihovega zajema bomo izpustili).

Ko smo se naučili zgoraj, imamo zdaj dovolj pripravljenosti za reševanje posebnih primerov (za devet vrednosti števila a) najenostavnejše enačbe.

Reši enačbe

1)sinx=1⁄(2).

– Kaj se zahteva od nas?

– Poiščite vsa tista števila x, katerih sinus je 1/2.

Spomnimo se definicije sinusa: sinx – ordinata točke na številskem krogu, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki, katerih ordinata je enaka 1/2. To so konci vodoravne tetive B1B2. To pomeni, da je zahteva "reši enačbo sinx=1⁄2" enakovredna zahtevi "poišči vsa števila v točki B1 in vsa števila v točki B2."

2)sinx=-√3⁄2 .

Poiskati moramo vsa števila v točkah C4 in C3.

3) sinx=1. Na krožnici imamo samo eno točko z ordinato 1 - točko A2, zato moramo najti le vsa števila te točke.

Odgovor: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Samo točka A_4 ima ordinato -1. Vse številke te točke bodo konji enačbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na krožnici imamo dve točki z ordinato 0 - točki A1 in A3. Številke lahko navedete na vsaki od točk posebej, vendar glede na to, da so te točke diametralno nasprotne, jih je bolje združiti v eno formulo: x=πk,k∈Z.

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Spomnimo se definicije kosinusa: cosx je abscisa točke na številskem krogu, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki z absciso √2⁄2 - konci vodoravne tetive D1D4. Najti moramo vse številke na teh točkah. Zapišimo jih in jih združimo v eno formulo.

Odgovor: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Poiskati moramo številki v točkah C_2 in C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Samo točki A2 in A4 imata absciso 0, kar pomeni, da bodo vsa števila v vsaki od teh točk rešitve enačbe.
.

Rešitvi enačbe sistema sta števili v točkah B_3 in B_4 neenačbe cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Upoštevajte, da je za katero koli dopustno vrednost x drugi faktor pozitiven in je zato enačba enakovredna sistemu

Rešitvi sistemske enačbe sta število točk D_2 in D_3. Števila točke D_2 ne zadoščajo neenakosti sinx≤0,5, števila točke D_3 pa jo.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Poiščite točke, ki ustrezajo naslednjim številom

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l) ), l Z Poiščite točke, ki ustrezajo naslednjim številom

1. Kateri četrtini številskega kroga pripada prva točka A? B. Drugič. V. Tretjič. G. Četrtič. 2. Kateri četrtini številskega kroga pripada prva točka A? B. Drugič. V. Tretjič. G. Četrtič. 3. Določi predznaka števil a in b, če je: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Katera četrtina številskega kroga je točka A. Prva. B. Drugi C. Četrti številski krog pripada točki A. Tretjič >0."> title="1. Kateri četrtini številskega kroga pripada prva točka A? B. Drugič. V. Tretjič. G. Četrtič. 2. Kateri četrtini številskega kroga pripada prva točka A? B. Drugič. V. Tretjič. G. Četrtič. 3. Določi predznaka števil a in b, če: A. a>0"> !}

Očitno je bila prva pritožba človeštva na tisto, kar se je pozneje imenovalo sferična geometrija, planetarna teorija grškega matematika Evdoksa (okoli 408–355), enega od udeležencev Platonove akademije. Šlo je za poskus razlage gibanja planetov okoli Zemlje s pomočjo štirih vrtečih se koncentričnih krogel, od katerih je imela vsaka posebno vrtilno os s konci, pritrjenimi na obdajajočo kroglo, na katero pa so bile pritrjene zvezde. "pribito." Na ta način so bile razložene zapletene trajektorije planetov (v prevodu iz grščine "planet" pomeni tavanje). Prav po zaslugi tega modela so starogrški znanstveniki lahko precej natančno opisali in napovedali gibanje planetov. To je bilo potrebno na primer pri navigaciji, pa tudi pri številnih drugih »zemeljskih« nalogah, kjer je bilo treba upoštevati, da Zemlja ni ravna palačinka, ki počiva na treh kitih. Pomemben prispevek k sferični geometriji je dal Menelaj iz Aleksandrije (ok. 100 n. št.). Njegovo delo Sferične oblike postal vrhunec grških dosežkov na tem področju. IN Sferike obravnavani so sferični trikotniki – predmet, ki ga pri Evklidu ni. Menelaj je evklidsko teorijo ravnih trikotnikov prenesel na sfero in med drugim dobil pogoj, da tri točke na stranicah sferičnega trikotnika ali njihovih podaljškov ležijo na isti premici. Ustrezen izrek za ravnino je bil takrat že splošno znan, vendar se je v zgodovino geometrije zapisal prav kot Menelajev izrek in za razliko od Ptolemaja (ok. 150), ki je v svojih delih veliko izračunov, je Menelajeva razprava geometrijsko strogo v duhu evklidske tradicije .

Osnovni principi sferične geometrije.

Vsaka ravnina, ki seka kroglo, ustvari krog v prerezu. Če ravnina poteka skozi središče krogle, dobi prerez tako imenovani veliki krog. Skozi poljubni dve točki na krogli, razen tistih, ki sta diametralno nasprotni, lahko narišemo en sam velik krog. (Na globusu je primer velikega kroga ekvator in vsi meridiani.) Skozi diametralno nasprotne točke poteka neskončno veliko velikih krogov. Manjši lok AmB(slika 1) velikega kroga je najkrajša od vseh črt na krogli, ki povezuje dane točke. Ta vrstica se imenuje geodetski. Geodetske črte imajo na krogli enako vlogo kot ravne črte v planimetriji. Veliko določil geometrije na ravnini velja tudi za kroglo, vendar se za razliko od ravnine dve sferični črti sekata v dveh diametralno nasprotnih točkah. Tako koncept vzporednosti v sferični geometriji preprosto ne obstaja. Druga razlika je v tem, da je sferična linija zaprta, tj. če se gibljemo po njej v isti smeri, se bomo vrnili na izhodišče; točka ne deli črte na dva dela. In še eno presenetljivo dejstvo z vidika planimetrije je, da ima lahko trikotnik na krogli vse tri prave kote.

Premice, odseki, razdalje in koti na krogli.

Veliki krogi na krogli se štejejo za ravne črte. Če dve točki pripadata velikemu krogu, potem je dolžina manjšega od lokov, ki povezuje ti točki, definirana kot sferična razdalja med tema točkama, sam lok pa je kot sferični segment. Diametralno nasprotne točke so povezane z neskončnim številom sferičnih segmentov - velikih polkrogov. Dolžina sferičnega segmenta je določena z radiansko mero središčnega kota a in polmera sfere R(slika 2), je po formuli za dolžino loka enaka R a. Katera koli točka Z sferični segment AB ga razdeli na dva dela, vsota njunih sferičnih dolžin pa je kot v planimetriji enaka dolžini celotnega segmenta, tj. R AOC+ R SOVA= P AOB. Za katero koli točko D zunaj segmenta AB obstaja "neenakost sferičnega trikotnika": vsota sferičnih razdalj od D prej A in od D prej IN več AB, tj. R AOD+ R DOB> R AOB, – popolno ujemanje med sferično in ravno geometrijo. Neenakost trikotnika je ena temeljnih v sferični geometriji, iz nje izhaja, da je tako kot v planimetriji sferični segment krajši od katere koli sferične lomljene črte in s tem vsake krivulje na krogli, ki povezuje njene konce.

Na enak način je mogoče na kroglo prenesti številne druge koncepte planimetrije, zlasti tiste, ki jih je mogoče izraziti z razdaljami. na primer sferični krog– niz točk na krogli, ki so enako oddaljene od dane točke R. Lahko je pokazati, da krog leži v ravnini, pravokotni na premer krogle RR` (slika 3), tj. to je navaden ploščat krog s središčem na premeru RR`. Vendar ima dva sferična središča: R in R`. Ti centri se običajno imenujejo drogovi. Če se obrnemo na globus, vidimo, da govorimo o krogih, kot so vzporedniki, sferična središča vseh vzporednikov pa sta severni in južni tečaj. Če je premer r sferičnega kroga enak p/2, se sferični krog spremeni v sferično premico. (Na globusu je ekvator). V tem primeru se tak krog imenuje polarni vsako od točk R in p`.

Eden najpomembnejših pojmov v geometriji je enakost likov. Slike veljajo za enake, če jih je mogoče eno prikazati na drugi na tak način (z vrtenjem in premikom), da se ohranijo razdalje. To velja tudi za sferično geometrijo.

Koti na krogli so definirani na naslednji način. Ko se dve sferični črti sekata a in b Na krogli so oblikovani štirje sferični bigoni, tako kot dve sekajoči se premici na ravnini delita na štiri ravninske kote (slika 4). Vsak od diagonov ustreza diedričnemu kotu, ki ga tvorijo diametralne ravnine, ki vsebujejo a in b. In kot med sferičnimi ravnimi črtami je enak manjšemu od kotov diagonal, ki jih tvorita.

Upoštevajte tudi, da kot P ABC, ki ga na krogli tvorita dva loka velikega kroga, se meri s kotom P A`B.C.` med tangentami na ustrezne loke v točki IN(slika 5) ali diedrski kot, ki ga tvorijo diametralne ravnine, ki vsebujejo sferične segmente AB in sonce.

Na enak način kot v stereometriji je vsaka točka na krogli povezana z žarkom, ki poteka iz središča krogle v to točko, vsaka figura na krogli pa je povezana z združitvijo vseh žarkov, ki jo sekajo. Tako sferična ravna črta ustreza diametralni ravnini, ki jo vsebuje, sferični segment ustreza ravninskemu kotu, dvokotnik ustreza diedrskemu kotu, sferični krog pa stožčasti površini, katere os poteka skozi poli kroga.

Poliedrski kot z ogliščem v središču krogle seka kroglo po sferičnem mnogokotniku (slika 6). To je območje na krogli, omejeno z lomljeno črto sferičnih segmentov. Členi lomljene črte so stranice sferičnega mnogokotnika. Njihove dolžine so enake vrednostim ustreznih ravninskih kotov poliedrskega kota in vrednosti kota na katerem koli oglišču A enak diedrskemu kotu na robu OA.

Sferični trikotnik.

Med vsemi sferičnimi poligoni je sferični trikotnik najbolj zanimiv. Trije veliki krogi, ki se sekajo v parih v dveh točkah, tvorijo na krogli osem sferičnih trikotnikov. Če poznamo elemente (stranice in kote) enega od njih, je mogoče določiti elemente vseh ostalih, zato upoštevamo razmerja med elementi enega od njih, tistega, katerega vse stranice so manjše od polovice velikega. krog. Stranice trikotnika se merijo z ravninskimi koti trikotnega kota OABC, so koti trikotnika diedrski koti istega trikotnega kota (slika 7).

Številne lastnosti sferičnega trikotnika (in so tudi lastnosti triedrskih kotov) skoraj popolnoma ponavljajo lastnosti navadnega trikotnika. Med njimi je neenakost trikotnika, ki v jeziku triedrskih kotov pravi, da je vsak ravninski kot trikotnika manjši od vsote drugih dveh. Ali na primer tri znake enakosti trikotnikov. Vse planimetrične posledice omenjenih izrekov, skupaj z njihovimi dokazi, ostanejo veljavne na krogli. Tako bo množica točk, ki so enako oddaljene od koncev segmenta, tudi na krogli, ki je pravokotna nanjo, ravna črta, ki poteka skozi njeno sredino, iz česar sledi, da so simetrale pravokotne na stranice sferičnega trikotnika ABC imajo skupno točko, oziroma dve diametralno nasprotni skupni točki R in R`, ki sta poli njenega edinega opisanega kroga (sl. 8). V stereometriji to pomeni, da lahko stožec opišemo okoli katerega koli triedrskega kota. Na kroglo je enostavno prenesti izrek, da se simetrale trikotnika sekajo v središču njegovega vpisanega kroga.

Tudi izreki o presečišču višin in median ostajajo resnični, vendar njihovi običajni dokazi v planimetriji neposredno ali posredno uporabljajo vzporednost, ki na krogli ne obstaja, in jih je zato lažje znova dokazati, v jeziku stereometrije. riž. Slika 9 ponazarja dokaz izreka o sferični mediani: ravnine, ki vsebujejo mediane sferičnega trikotnika ABC, sekajo ravninski trikotnik z enakimi oglišči vzdolž njegovih običajnih median, zato vse vsebujejo polmer krogle, ki poteka skozi presečišče ravninskih median. Konec polmera bo skupna točka treh "sferičnih" median.

Lastnosti sferičnih trikotnikov se v marsičem razlikujejo od lastnosti trikotnikov na ravnini. Tako je znanim trem primerom enakosti pravokotnih trikotnikov dodan še četrti: dva trikotnika ABC in A`V`S` enaka, če so enaki trije koti P A= P A`, R IN= P IN`, R Z= P Z`. Tako na krogli ni podobnih trikotnikov; poleg tega v sferični geometriji ni pravega koncepta podobnosti, ker Ni transformacij, ki bi spremenile vse razdalje za enako (ne enako 1) število krat. Te lastnosti so povezane s kršitvijo evklidskega aksioma o vzporednih črtah in so del geometrije Lobačevskega. Trikotnike, ki imajo enake elemente in različne orientacije, imenujemo simetrični, na primer trikotniki AC`Z in VSS` (slika 10).

Vsota kotov katerega koli sferičnega trikotnika je vedno večja od 180°. Razlika P A+P IN+P Z - str = d (merjeno v radianih) je pozitivna količina in se imenuje sferični presežek danega sferičnega trikotnika. Območje sferičnega trikotnika: S = R 2 d kje R je polmer krogle, d pa sferični presežek. To formulo je prvi objavil Nizozemec A. Girard leta 1629 in jo po njem poimenovali.

Če upoštevamo diagon s kotom a, potem pri 226 = 2p/ n (n – celo število) lahko kroglo natančno razrežemo p kopije takšnega digona, območje krogle pa je 4 nR 2 = 4p ob R= 1, torej je površina diagonale 4p/ n= 2a. Ta formula velja tudi za a = 2p t/n in zato velja za vse a. Če nadaljujemo stranice sferičnega trikotnika ABC in izrazite površino krogle skozi območja nastalih bigonov s koti A,IN,Z in lastno površino, potem lahko pridemo do zgornje Girardove formule.

Koordinate na krogli.

Vsaka točka na krogli je popolnoma določena z določitvijo dveh števil; te številke ( koordinate) se določijo na naslednji način (slika 11). Nekaj velikega kroga je fiksno QQ` (ekvator), eno od dveh presečišč premera krogle PP`, pravokotno na ekvatorialno ravnino, na primer s površino krogle R (palica) in enega od velikih polkrogov PAP` prihaja iz droga ( prvi meridian). Izhajajo veliki polkrogi p, imenovani meridiani, majhni krogi, vzporedni z ekvatorjem, kot npr LL`, – vzporednice. Kot ena od koordinat točke M na krogli je vzet kot q = POM (višina točke), kot drugi – kot j = AON med prvim poldnevnikom in meridianom, ki gre skozi točko M (zemljepisna dolžina točke, šteto v nasprotni smeri urinega kazalca).

V geografiji (na globusu) je običajno, da se Greenwiški poldnevnik uporablja kot prvi poldnevnik, ki poteka skozi glavno dvorano observatorija Greenwich (Greenwich je londonsko okrožje), deli Zemljo na vzhodno in zahodno poloblo. , zemljepisna dolžina pa je vzhodna ali zahodna in merjena od 0 do 180° v obe smeri od Greenwicha. In namesto višine točke v geografiji je običajno uporabljati zemljepisno širino pri, tj. kotiček NOM = 90° – q, merjeno od ekvatorja. Ker Ker ekvator deli Zemljo na severno in južno poloblo, je zemljepisna širina severna ali južna in se spreminja od 0 do 90°.

Marina Fedosova

Zaključno delo iz MATEMATIKE
10. razred
28. april 2017
Možnost MA00602
(osnovna raven)
Izpolnil: Polno ime_______________________________________ razred ______
Navodila za izvedbo dela
Za zaključno nalogo iz matematike imate na voljo 90 minut. delo
obsega 15 nalog in je sestavljena iz dveh delov.
Odgovor pri nalogah prvega dela (1-10) je celo število,
decimalni ulomek ali zaporedje števil. V polje vpišite svoj odgovor
odgovor v besedilu dela.
Pri nalogi 11 drugega dela morate odgovor zapisati v posebno
polje, ki je temu namenjeno.
Pri nalogah 12-14 drugega dela morate zapisati rešitev in odgovoriti
v za to predvideno polje. Odgovor na nalogo 15 je
graf funkcije.
Vsaka od nalog 5 in 11 je predstavljena v dveh različicah, od katerih
Samo enega morate izbrati in izvesti.
Pri opravljanju dela ne morete uporabljati učbenikov, delati
zvezki, referenčne knjige, kalkulator.
Po potrebi lahko uporabite osnutek. Vnosi v osnutku ne bodo pregledani ali ocenjeni.
Naloge lahko opravljate v poljubnem vrstnem redu, glavna stvar je, da to storite pravilno
rešiti čim več nalog. Svetujemo vam, da prihranite čas
preskoči nalogo, ki je ni mogoče dokončati takoj, in nadaljuj
do naslednjega. Če imate po opravljenem delu še vedno čas,
Lahko se boste vrnili k zamujenim opravilom.
Želimo vam uspeh!

1. del
Pri nalogah 1-10 podajte odgovor kot celo število, decimalni ulomek oz
zaporedja števil. Odgovor zapišite v polje za odgovor v besedilu
delo.
1

Cena električnega kotlička se je zvišala za 10 % in je znašala
1980 rubljev. Koliko rubljev je stal kotliček pred zvišanjem cen?

Oleg in Tolya sta istočasno zapustila šolo in istočasno odšla domov
drago. Fanta živita v isti hiši. Slika prikazuje graf
gibi vsakega: Oleg - s polno črto, Tolya - s pikčasto črto. Avtor:
navpična os prikazuje razdaljo (v metrih), vodoravna os pa razdaljo
čas potovanja za vsakega v minutah.

S pomočjo grafa izberite pravilne trditve.
1)
2)
3)

Oleg je prišel domov pred Tolyo.
Tri minute po odhodu iz šole je Oleg dohitel Tolya.
Skozi celotno pot je bila razdalja med fanti manjša
100 metrov.
4) V prvih šestih minutah so fantje prevozili enako razdaljo.

Odgovor: ___________________________

Poiščite pomen izraza

π
π
- 2 greh 2.
8
8

Odgovor: ___________________________
StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

Na enotskem krogu sta označeni dve
diametralno nasprotni točki Pα in
Pβ, ki ustreza rotacijam skozi kota α in
β (glej sliko).
Ali je mogoče reči, da:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

V odgovoru označite številke pravilnih trditev brez presledkov, vejic in
druge dodatne znake.
Odgovor: ___________________________
Izberite in dokončajte le ENO od nalog 5.1 ali 5.2.
5.1

Slika prikazuje graf
funkcija y  f (x), definirana na intervalu   3;11 .
Poiščite najmanjšo vrednost
funkcije na segmentu  1; 5 .

Odgovor: ___________________________
5.2

Rešite enačbo log 2 4 x5  6.

Odgovor: ___________________________

StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

Ravnina, ki poteka skozi točke A, B in C (glej.
slika), razdeli kocko na dva poliedra. Eden od
ima štiri strani. Koliko obrazov ima drugi?

Odgovor: ___________________________
7

Izberi številke pravilnih izjav.
1)
2)
3)
4)

V prostoru, skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko
narišite ravnino, ki ne seka dane črte, in poleg tega samo
eno.
Nagnjena premica, narisana na ravnino, tvori enak kot z
vse premice, ki ležijo v tej ravnini.
Skozi kateri koli dve sekajoči se premici lahko narišemo ravnino.
Skozi točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, lahko
Narišite dve ravni črti, ki ne sekata dane črte.

V odgovoru označite številke pravilnih trditev brez presledkov, vejic in
druge dodatne znake.
Odgovor: ___________________________
8

Na perutninski farmi so samo kokoši in race, piščancev pa je 7-krat več kot
race Poiščite verjetnost, da naključno izbrana kmetija
ptica se izkaže za raco.
Odgovor: ___________________________

Streha nadstreška se nahaja pod kotom 14
na vodoravno. Razdalja med dvema nosilcema
je 400 centimetrov. Z uporabo tabele,
določite, koliko centimetrov meri ena podpora
daljši od drugega.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sin α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Odgovor: ___________________________
StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

Poiščite najmanjše naravno sedemmestno število, ki je deljivo s 3,
vendar ni deljivo s 6 in katerega vsaka cifra, začenši z drugo, je manjša
prejšnji.
Odgovor: ___________________________
2. del
Pri nalogi 11 vpiši odgovor na za to namenjen prostor. V nalogah
12-14 morate zapisati rešitev in odgovoriti v posebej za to namenjen prostor
za to področje. Odgovor na nalogo 15 je graf funkcije.
Izberi in reši le ENO od nalog: 11.1 ali 11.2.

2
. Zapišite tri različne možne vrednosti
2
takšni koti. Odgovorite v radianih.

Poišči najmanjše naravno število, ki je večje od log 7 80 .

Kosinus kota je 

StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

V trikotniku ABC sta označeni stranici AB in BC
točki M oziroma K, tako da velja BM: AB  1: 2 in
BK:BC  2:3. Kolikokrat večja od ploščine trikotnika ABC?
večja od ploščine trikotnika MVK?

Izberi par števil a in b tako, da bo neenakost ax  b  0
izpolnjene natanko tri od petih točk, označenih na sliki.
-1

StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

Železo se je dvakrat podražilo za enak odstotek. Vklopljeno
za koliko odstotkov se je likalnik podražil vsakič, če ga
začetni strošek je 2000 rubljev, končni strošek pa 3380 rubljev?

StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Matematika. 10. razred. Možnost 00602 (osnovna raven)

Funkcija y  f (x) ima naslednje lastnosti:
1) f (x)  3 x  4 pri 2  x  1;
2) f (x)  x  2 pri 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x pri 0  x  2;
4) funkcija y  f (x) je periodična s periodo 4.
Nariši graf te funkcije na odseku  6;4.
l

StatGrad 2016−2017 študijsko leto. Objavljanje na spletu ali v tisku
brez pisnega soglasja StatGrada je prepovedano

Morda bi bilo koristno prebrati: