Küçük koninin hacmi. koni hacmi

Koninin hacmini bulmak için ek yapılar yapmak gerekir.

Bir koninin içine yazılmış düzgün bir n-genişli piramit inşa ediyoruz ve bu koninin etrafında düzgün bir n-genişli piramit tanımlıyoruz.
Yazılı bir piramit bir koninin içinde bulunur. Bundan, hacminin koninin hacminden daha büyük olmadığı sonucu çıkar.
Tanımlanan piramit bir koni içerir, yani hacmi koninin hacminden daha az değildir.

Yazılı piramidin tabanına bir daire çizelim.
Yazılı normal n-genin yarıçapı R'ye eşitse, içine yazılı dairenin yarıçapı şuna eşit olacaktır:

Yazılı piramidin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

burada S, piramidin tabanıdır.

Yazılı piramidin tabanının alanı, içinde bulunan dairenin alanından az değildir.
Bu nedenle, bir koninin içine yazılan bir piramidin hacminin en az Sağ.
Bu nedenle, bu piramidi içeren koninin hacminin şuna eşit veya daha büyük olacağını iddia edebiliriz:
V≥

Şimdi koninin etrafında tanımlanan piramidin tabanı etrafında bir çember tanımlıyoruz.
Bu dairenin yarıçapı şöyle olacaktır:

Bu dairenin alanı şu formülle hesaplanır:
Tanımlanan piramidin tabanı, etrafını saran bir daire içinde yer alır. Bu nedenle, piramidin tabanının alanı daha fazla değildir.
Bu nedenle, çevrelenmiş piramidin hacmi ifadesi artık doğru değil.
Bu nedenle, bu piramidi içeren koninin hacminin şuna eşit veya daha az olacağını iddia edebiliriz:

Ortaya çıkan iki eşitsizlik, herhangi bir n için eşittir. eğer o zaman
Ardından, ilk eşitsizlikten V≥
İkinci eşitsizlikten

Bir dik üçgen bacaklarından birinin etrafında döndürülürse, dönme konisi veya dik dairesel koni olarak kabul edilen geometrik bir gövde elde edilir. Koni, taban ve yan yüzey tarafından sınırlanmıştır. Koninin tabanında, yarıçapı ikinci bacağın değerine eşit olan bir daire vardır. Koninin tepesinden tabanına dik olarak çizilen düz bir çizgi, koninin yüksekliğidir. Bir koninin hacmi birkaç formül kullanılarak hesaplanır. 1. yöntem, aşağıdaki formüle göre tabanının yüksekliği ve alanı bilindiğinde bir koninin hacminin belirlenmesini içerir:

tabanın alanı S ile gösterilecektir;
H boyunca koninin yüksekliği.

Bir koninin hacmi, koninin yüksekliği ile taban alanının çarpımı 3'e bölünerek hesaplanır.

Kullanarak cevrimici hesap makinesi Yukarıdaki yöntemlerden herhangi birini kullanarak bir koninin hacmini hızlı ve doğru bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

Taban alanından bir koninin hacminin hesaplanması

İkinci yöntem, bir koninin hacminin, aşağıdaki formüle göre yarıçapının değerine göre hesaplanmasını önerir:

r, koninin yarıçapıdır;
h yüksekliktir.

Bir koninin hacminin değeri, tabanın yarıçapının karesi ile yüksekliğin ve pi sayısının çarpımının üçte biri olarak hesaplanır, 3.1415'e eşittir...

Konilere ve silindirlere ulaştık. Daha önce yayınlanmış olanlara ek olarak, yaklaşık dokuz makale olacak, her tür görevi ele alacağız. yıl içinde ise açık banka yeni görevler eklenecek, tabii ki onlar da blogda yayınlanacak. Bu makale, hacim hesaplamasıyla ilgili birkaç örnek sunmaktadır. Bir koninin hacim formülünü bilmek yeterli değil, bu arada, işte burada:

Yazabiliriz:

Ayrıca benzer organların hacimlerinin nasıl ilişkili olduğunu da anlamanız gerekir. Sadece formülü öğrenmek değil, anlamaktır. İşte burada:

Yani, cismin doğrusal boyutlarını k kat arttırırsak (azaltırsak), ortaya çıkan cismin hacminin orijinalin hacmine oranı k3'e eşit olacaktır.

NOT! Birimleri nasıl tanımladığınız önemli değildir:

Gerçek şu ki, bu tür organları göz önünde bulundururken problem çözme sürecinde, bazıları k katsayısı ile karıştırılabilir. Soru ortaya çıkabilir - Neye eşittir?

(koşulda belirtilen değere bağlı olarak)

Her şey hangi tarafa baktığınıza bağlı. Bunu anlamak önemlidir! Bir örnek düşünün - bir küp verildi, ikinci küpün kenarı üç kat daha büyük:

İÇİNDE bu durum, benzerlik katsayısı üçe eşittir (kenar üç kat artar), bu da oranın şöyle görüneceği anlamına gelir:

Yani ortaya çıkan (daha büyük) küpün hacmi 27 kat daha büyük olacaktır.

Diğer taraftan bakabilirsiniz.

Bir küp verildiğinde, ikinci küpün kenarı üç kat daha küçüktür:

Benzerlik katsayısı üçte bire eşittir (kenarı üç kat azaltır), bu da oranın şöyle görüneceği anlamına gelir:

Yani ortaya çıkan küpün hacmi 27 kat daha küçük olacaktır.

Çözüm! Hacimleri belirlerken indeksler önemli değildir, cisimlerin birbirine göre nasıl değerlendirildiğini anlamak önemlidir.

Açıktır ki:

- orijinal gövde artarsa, katsayı birden büyük olacaktır.

- orijinal gövde azalırsa, katsayı birden az olacaktır.

Hacimlerin oranı hakkında şunları söyleyebiliriz:

- problemde daha büyük bir cismin hacmini daha küçük olana bölersek, o zaman benzerlik katsayısının küpünü alırız ve katsayının kendisinin birden büyük olduğu ortaya çıkar.

- daha küçük bir cismin hacmini daha büyük olana bölersek, benzerlik katsayısının küpünü elde ederiz ve katsayının kendisinin birden küçük olduğu ortaya çıkar.

Hatırlanması gereken en önemli şey, benzer cisimlerin HACMİ söz konusu olduğunda, benzerlik katsayısının alanlarda olduğu gibi ikinci değil ÜÇÜNCÜ dereceye sahip olmasıdır.

ilgili bir nokta daha.

Koşul, bir koninin generatriksi gibi bir şey içerir. Bu, koninin tepesini tabanın çevresinin noktalarıyla birleştiren bir parçadır (şekilde L harfi ile gösterilmiştir).

Burada, sorunları yalnızca doğrudan bir koni ile (bundan sonra sadece bir koni olarak anılacaktır) analiz edeceğimizi belirtmekte fayda var. Sağ koninin üreteçleri eşittir.

Görevleri göz önünde bulundurun:

72353. Bir koninin hacmi 10'dur. Aynı tepe noktasına sahip daha küçük bir koninin tabanı olan koninin tabanına paralel yüksekliğin ortasından bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.

Orijinal ve kesik konilerin benzer olduğunu hemen not ediyoruz ve orijinaline göre kesik koniyi düşünürsek, şunu söyleyebiliriz: daha küçük koni, bir saniyeye veya 0,5'e eşit bir katsayı ile daha büyük olana benzer. Yazabiliriz:

Şu yazılabilir:

Öyle düşünebilirsiniz!

Kesilene göre orijinal koniyi düşünün. Daha büyük bir koninin iki faktörlü kesilmiş bir koniye benzediğini söyleyebiliriz, şunu yazıyoruz:

Şimdi benzerlik özelliklerini kullanmadan çözüme bakın.

Bir koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir:

Belirtilen bölümle bir yan projeksiyon (yandan görünüm) düşünün:

Büyük koninin yarıçapı R, yüksekliği H olsun. Kesit (küçük koninin tabanı) yüksekliğin ortasından geçtiği için yüksekliği H/2 olacaktır. Ve tabanın yarıçapı R / 2'dir, bu üçgenlerin benzerliğinden kaynaklanır.

Orijinal koninin hacmini yazalım:

Kesilen koninin hacmi şuna eşit olacaktır:

Bu yüzden detaylı çözümler nasıl muhakeme kurabileceğinizi görebilmeniz için sunulmuştur. Herhangi bir şekilde hareket edin - asıl mesele, kararın özünü anlamanızdır. Seçtiğiniz yol akılcı olmasın, sonuç önemlidir (doğru sonuç).

Cevap: 1.25

318145. Koni şeklindeki bir kapta sıvı seviyesi yüksekliğin yarısına ulaşır. Sıvının hacmi 70 ml'dir. Kabı tamamen doldurmak için kaç mililitre sıvı ilave edilmelidir?

Bu görev öncekine benzer. Burada bir sıvıdan bahsediyor olsak da çözümün prensibi aynıdır.

İki konimiz var - bu kabın kendisi ve "küçük" koni (sıvı ile dolu), benzerler. Benzer cisimlerin hacimlerinin şu şekilde ilişkili olduğu bilinmektedir:

Orijinal koni (kap), katsayısı 2'ye eşit olan sıvı ile doldurulmuş bir koniye benzer, çünkü sıvı seviyesinin yüksekliğin yarısına ulaştığı söylenir. Daha detaylı yazabilirsiniz:

Hesaplıyoruz:

Bu nedenle, şunları eklemeniz gerekir:

Cevap: 490

Diğer Sıvı Problemleri.

74257. Generatrisi 44 olan ve taban düzlemine 30 0 açıyla eğimli olan bir koninin V hacmini bulun. Cevabınızı V/Pi verin.

koni hacmi:

Koninin yüksekliğini dik üçgen özelliğinden buluyoruz.

30° açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına eşittir. Bu durumda hipotenüs, koninin generatriksidir. Bu nedenle koninin yüksekliği 22'dir.

Pisagor teoremini kullanarak tabanın yarıçapının karesini buluruz:

*Yarıçapın kendisine değil, yarıçapın karesine ihtiyacımız var.

Ardından hacim şöyle olacaktır:

Hacmi 8π olan bir küre bir küpün içine yazılmıştır. Küpün hacmini bulun.

Çözüm

Küpün bir kenarı a olsun. O zaman küpün hacmi V = a 3 olur.

Top bir küpün içinde yazılı olduğundan, topun yarıçapı küpün kenarının yarısına eşittir, yani R = a/2 (bkz. Şek.).

Topun hacmi V w \u003d (4/3)πR 3'tür ve bu nedenle 8π'ye eşittir

(4/3)πR 3 = 8π,

Ve küpün hacmi V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48'dir.

Görev B9 (Vaka Çalışması 2015)

Koninin hacmi 32'dir. Yüksekliğin ortasından, tepe noktası aynı olan daha küçük bir koninin tabanı olan koninin tabanına paralel bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.

Çözüm

Büyük koninin hacmi V k1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32'dir.

Küçük koninin hacmi V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Bu, küçük koninin hacminin 8 kat daha küçük olduğu ve 4'e eşit olduğu anlamına gelir.

Görev B9 (Vaka Çalışması 2015)

Koninin hacmi 40'tır. Yüksekliğin ortasından, tepe noktası aynı olan daha küçük bir koninin tabanı olan koninin tabanına paralel bir kesit çizilir. Küçük koninin hacmini bulun.

Çözüm

Kesit koninin yüksekliğinin ortasından çizildiği için AP = 1/2 AO ve PK = 1/2 OB olur. Yani, küçük koninin yüksekliği ve yarıçapı, büyük koninin yüksekliğinden ve yarıçapından sırasıyla 2 kat daha azdır.

Daha büyük koninin hacmi V k1 \u003d (1/3) π (OB) 2 * AO \u003d 40'a eşittir.

Küçük koninin hacmi V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Çeşitli geometrik cisimler arasında en ilginç olanlardan biri konidir. Bir dik üçgenin bacaklarından birinin etrafında döndürülmesiyle oluşturulur.

Bir koninin hacmi nasıl bulunur - temel kavramlar

Bir koninin hacmini hesaplamaya başlamadan önce, temel kavramları öğrenmelisiniz.

Dairesel koni - böyle bir koninin tabanı bir dairedir. Taban bir elips, parabol veya hiperbol ise, şekiller eliptik, parabolik veya hiperbolik koniler olarak adlandırılır. Son iki tür koninin sonsuz bir hacme sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.
Kesik bir koni, taban ile bu tabana paralel bir düzlem arasında yer alan ve üst ile taban arasında yer alan bir koninin bir parçasıdır.
Yükseklik - üstten serbest bırakılan tabana dik bir segment.
Bir koninin generatriksi, tabanın ve tepenin sınırını birleştiren bir segmenttir.

Koni Hacmi

Bir koninin hacmini hesaplamak için V=1/3*S*H formülü kullanılır; burada S taban alanı, H yüksekliktir. Koninin tabanı bir daire olduğundan, alanı S= nR^2 formülüyle bulunur, burada n = 3.14, R dairenin yarıçapıdır.

Bazı parametrelerin bilinmediği bir durum vardır: yükseklik, yarıçap veya generatrix. Bu durumda Pisagor teoremine başvurmaya değer. Koninin eksenel bölümü, iki parçadan oluşan bir ikizkenar üçgendir. sağ üçgen, burada l hipotenüs ve H ve R bacaklardır. O zaman l=(H^2+R^2)^1/2.

Kesik Koni Hacmi

Kesik bir koni, tepesi kesik bir konidir.

Böyle bir koninin hacmini bulmak için aşağıdaki formüle ihtiyacınız vardır:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

burada n=3.14, r kesit dairenin yarıçapı, R büyük tabanın yarıçapı, H yüksekliktir.

Kesik koninin eksenel bölümü, ikizkenar yamuk. Bu nedenle, bir koninin ana matrisinin uzunluğunu veya dairelerden birinin yarıçapını bulmak gerekiyorsa, bir yamuğun kenarlarını ve tabanlarını bulmak için formüller kullanmaya değer.

Yüksekliği 8 cm ve taban yarıçapı 3 cm olan koninin hacmini bulunuz.

Verilen: H=8 cm, R=3 cm.

İlk önce S=nR^2 formülünü uygulayarak tabanın alanını bulun.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Şimdi V=1/3*S*H formülünü kullanarak koninin hacmini buluyoruz.

D=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Koni biçimli figürler her yerde bulunur: park konileri, bina kuleleri, abajur. Bu nedenle, bir koninin hacminin nasıl bulunacağını bilmek bazen hem profesyonel hem de günlük hayatta işe yarayabilir.

Şunları okumak faydalı olabilir: