Яке число ділиться на 12 і 7. Ознаки поділення на складову кількість

Математика в 6 класі починається з вивчення поняття ділимості та ознак ділимості. Часто обмежуються ознаками подільності на такі числа:

• на 2 : остання цифра має бути 0, 2, 4, 6 або 8;
• на 3 : сума цифр числа має ділитися на 3;
• на 4 : число, утворене останніми двома цифрами, має ділитися на 4;
• на 5 : остання цифра має бути 0 або 5;
• на 6 : число повинно мати ознаки ділимості на 2 і 3;
• Ознака ділимості на 7 часто пропускається;
• Рідко також розповідають і про ознаку подільності на 8 , хоча він аналогічний ознаками ділимості на 2 і 4. Щоб число ділилося на 8, необхідно достатньо, щоб трехцифреное закінчення ділилося на 8.
• Ознака ділимості на 9 знають усі: сума цифр числа має ділитися на 9. Що, щоправда, не розвиває імунітет проти усіляких трюків із датами, які використовують нумерологи.
• Ознака ділимості на 10 , мабуть, найпростіший: число має закінчуватися нулем.
• Іноді шестикласникам розповідають і про ознаку подільності на 11 . Потрібно цифри числа, що стоять на парних місцях скласти, від результату відняти цифри, що стоять на непарних місцях. Якщо результат ділитися на 11, то й саме число ділиться на 11.

Повернемося тепер до ознаки ділимості на 7. Якщо про нього розповідають, той поєднують із ознакою ділимості на 13 і радять використовувати так.

Беремо число. Розбиваємо його на блоки по 3 цифри в кожному (найлівіший блок може містити одну або 2 цифри) і поперемінно складаємо/віднімаємо ці блоки.

Якщо результат ділиться на 7, 13 (або 11), то й саме число ділиться на 7, 13 (ілb 11).

Заснований цей спосіб, як і ряд математичних фокусів на тому, що 7х11х13 = 1001. Однак що робити з трицифровими числами, для яких питання ділимості, буває, теж не вирішити без поділу.

Використовуючи універсальну ознаку ділимості, можна побудувати відносно прості алгоритмивизначення, чи ділиться число на 7 та інші "незручні" числа.

Удосконалена ознака подільності на 7
Щоб перевірити, чи ділиться число на 7, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру двічі відібрати. Якщо результат ділиться на 7, те саме число ділиться на 7.

Приклад 1:
Чи ділиться на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Отже, число 238 поділяється на 7.
Справді, 238 = 34х7

Цю дію можна проводити багаторазово.
Приклад 2:
Чи ділиться на 7 число 65 835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ділиться на 7 (якби ми цього не помітили, то могли б зробити ще 1 крок: 6-3-3 = 0, а 0 точно ділиться на 7).

Отже, число 65835 ділиться на 7.

На основі універсальної ознаки ділимості, можна вдосконалити ознаки ділимості на 4 та 8.

Удосконалена ознака подільності на 4
Якщо половина числа одиниць у сумі з числом десятків – парне число, то число ділиться на 4.

Приклад 3
Чи ділиться число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число парне, отже, число 4 ділиться.

Приклад 4
Чи ділиться число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число непарне, отже, 134 на 4 не ділиться.

Удосконалена ознака подільності на 8
Якщо скласти подвоєне число сотень, число десятків і половину числа одиниць, і результат ділитися на 4, то число ділиться на 8.

Приклад 5
Чи ділиться число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число ділиться на 4, отже, 512 ділиться на 8.

Приклад 6
Чи ділиться число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число ділиться на 4, отже, 1984 ділиться на 8.

Ознака ділимості на 12- це об'єднання ознак ділимсоті на 3 і на 4. Це ж працює і для будь-яких n, що є твором взаємнопростих p і q. Щоб число ділилося на n (яке дорівнює добутку pq,актих, що НОД(p,q)=1), одне має ділитися одночасно на p і q.

Однак будьте уважні! Щоб працювали складові ознаки ділимості, множники числа повинні бути взаємнопростими. Не можна сказати, що число ділиться на 8, якщо воно ділиться на 2 і на 4.

Удосконалена ознака подільності на 13
Щоб перевірити, чи ділиться число на 13, треба від числа відкинути останню цифру і до результату, що вийшов, її чотири рази додати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.

Приклад 7
Чи ділиться на 8 число 65 835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не ділиться на 13, отже, число 65835 не ділиться на 13.

Приклад 8
Чи ділиться на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ділиться на 13, отже, число 715 ділиться на 13.

Ознаки подільності на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28та інші складові числа, що не є ступенями простих, аналогічні ознакам ділимості на 12. Ми перевіряємо ділимість на взаємно-простими множники цих чисел.

• Для14: на 2 та на 7;
• Для 15: на 3 та на 5;
• Для 18: на 2 та на 9;
• Для 21: на 3 та на 7;
• Для 20: на 4 та на 5 (або, по-іншому, остання цифра має бути нулем, а передостання – парною);
• Для 24: на 3 та на 8;
• Для 26: на 2 та на 13;
• Для 28: на 4 та на 7.

Удосконалена ознака подільності на 16.
Замість того, щоб перевіряти, чи ділиться 4-циферне закінчення числа на 16, можна скласти цифру одиниць зі збільшеною в 10 разів цифрою десятків, з чотириточковою цифрою сотень і з
збільшеною у вісім разів цифрою тисяч, та перевірити, чи ділиться результат на 16.

Приклад 9
Чи ділиться число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не ділиться на 16, отже, і 1984 не ділиться на 16.

Приклад 10
Чи ділиться число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не ділиться на 16, отже, і 1526 ділиться на 16.

Удосконалена ознака подільності на 17.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 17, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру п'ять разів відібрати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.

Приклад 11
Чи ділиться число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ділиться на 17, отже, і число 59772 ділиться на 17.

Приклад 12
Чи ділиться число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ділиться на 17, отже, і число 4913 ділиться на 17.

Удосконалена ознака подільності на 19.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 19, треба подвоєну останню цифру додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.

Приклад 13
Чи ділиться число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ділиться на 19, отже, і число 9044 ділиться на 19.

Удосконалена ознака подільності на 23.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 23, треба останню цифру, збільшену в 7 разів, додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.

Приклад 14
Чи ділиться число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Взагалі вже можна помітити, що 253 - це 23,

Правила розподілу числа від 1 до 10, і навіть на 11 і 25 були виведені, щоб спростити процес розподілу натуральних чисел. Ті з них, які закінчуються на 2, 4, 6, 8, 0 вважаються парними.

Що таке ознаки ділимості?

По суті це алгоритм, який дозволяє швидко визначити, чи буде ділитися число на те, яке задано заздалегідь. У разі, коли ознака ділимості дає можливість з'ясувати ще й залишок від поділу, його називають ознакою рівноостаточності.

Ознака поділення на цифру 2

Число можна розділити на два, якщо остання цифра парна або нуль. В інших випадках поділити не вдасться.

Наприклад:

52734 ділиться на 2, тому що його остання цифра 4 - тобто парна. 7693 не ділиться на цифру 2, так як 3 - непарна. 1240 ділиться, тому що остання цифра нуль.

Ознаки ділимості на 3

Цифрі 3 кратні лише ті числа, у яких сума поділяється на 3

Приклад:

17814 можна розділити на цифру 3, тому що загальна сума його цифр дорівнює 21 і на 3 ділиться.

Ознака поділення на цифру 4

Число можна розділити на 4, якщо останні дві його цифри нулі або можуть утворити число, кратне 4. У всіх інших випадках не вийде.

Приклади:

31800 можна розділити на 4, тому що в кінці нього два нуля. 4846854 не ділиться на 4 через те, що останні дві цифри утворюють число 54, а воно на 4 не ділиться. 16604 піддається поділу на 4, тому що останні дві цифри 04 утворюють число 4, яке ділиться на 4.

Ознака поділення на цифру 5

5 кратні числа, у яких остання цифра нуль чи п'ять. Усі інші – не діляться.

Приклад:

245 кратно 5, тому що остання цифра 5. 774 не кратно 5 через те, що остання цифра чотири.

Ознака поділення на цифру 6

Число можна розділити на 6, якщо його можна одночасно розділити на 2 та 3. У всіх інших випадках – не ділиться.

Наприклад:

216 можна розділити на 6, тому що воно кратне і двом, і трьом.

Ознака ділимості на 7

Кратно 7 число у тому випадку, якщо при відніманні останньої подвоєної цифри з цього числа, але без неї (без останньої цифри) вийшло значення, яке можна поділити на 7.

Наприклад, 637 кратно 7, тому що 63-(2 · 7) = 63-14 = 49. 49 можна поділити на.

Ознака поділення на цифру 8

Схожий на ознаку ділимості на цифру 4. Число можна розділити на 8, якщо три (а не дві, як у випадку з четвіркою) останні цифри нулі або можуть утворити число, кратне 8. У всіх інших випадках – не ділиться.

Приклади:

456 000 можна розділити на 8, тому що наприкінці нього три нулі. 160 003 не вдасться розділити на 8, тому що три останні цифри утворюють число 4, яке не кратне 8. 111 640 кратно 8, тому що останні три цифри утворюють число 640, яке можна поділити на 8.

До відома: можна назвати такі самі ознаки і для розподілу на числа 16, 32, 64 і так далі. Але на практиці вони не мають значення.

Ознака ділимості на 9

9-ці кратні ті числа, суму цифр яких можна поділити на 9.

Наприклад:

Число 111499 на 9 не ділиться, тому що суму цифр (25) на 9 не розділити. Число 51 633 можна розділити на 9, тому що його сума цифр (18) 9-кратна.

Ознаки подільності на 10, 100 і 1000

На 10 можна розділити ті числа, остання цифра яких 0, на 100 -ті, які мають останні дві цифри нулі, на 1000 - ті, які мають останні три цифри нулі.

Приклади:

4500 можна поділити на 10 і 100. 778 000 разів і 10, і 100, і 1000.

Тепер ви знаєте, які існують ознаки ділимості чисел. Успішних вам обчислень і не забувайте про головне: всі ці правила наведені для спрощення математичних розрахунків.

З шкільної програмибагато хто пам'ятає, що існують ознаки подільності. Під цим словосполученням розуміють правила, які дозволяють досить швидко визначити, чи число кратним заданому, не здійснюючи при цьому безпосередню арифметичну операцію. Цей спосіб заснований на діях, що здійснюються з частиною цифр із запису в позиційному

Найпростіші ознаки ділимості багато хто пам'ятає зі шкільної програми. Наприклад, те, що на 2 діляться всі числа, остання цифра запису яких парна. Дана ознака найлегше запам'ятати та застосовувати на практиці. Якщо говорити про спосіб розподілу на 3, то для багатозначних чисел застосовується таке правило, яке можна показати на такому прикладі. Необхідно дізнатися, чи буде 273 разів трьом. Для цього виконуємо таку операцію: 2+7+3=12. Отримана сума ділиться на 3, отже, і 273 ділитися на 3 таким чином, що в результаті вийде ціле число.

Ознаки подільності на 5 та 10 будуть наступними. У першому випадку запис буде закінчуватися на цифри 5 або 0, у другому випадку тільки на 0. Для того щоб дізнатися, чи ділене кратно кратне, слід вчинити наступним чином. Необхідно вичленувати дві останні цифри. Якщо це два нулі або число, яке ділиться на 4 без залишку, то і все ділимо буде кратно дільнику. Слід зазначити, що ці ознаки застосовуються лише у десятковій системі. Вони не застосовуються в інших способах числення. У таких випадках виводяться свої правила, які залежать від основи системи.

Ознаки розподілу на 6 наступні. 6 у разі, якщо воно кратно і 2, і 3. Щоб визначити, чи ділиться число на 7, потрібно подвоїти останню цифру у його записи. Отриманий результат віднімається від початкового числа, в якому не враховується остання цифра. Це правиломожна розглянути на прикладі. Необхідно дізнатися, чи кратно 364. Для цього 4 множиться на 2, виходить 8. Далі виконується наступна дія: 36-8 = 28. Отриманий результат кратний 7, отже, і початкове число 364 можна розділити на 7.

Ознаки ділимості на 8 звучать так. Якщо три останні цифри в записі числа утворюють число, яке кратно восьми, то й саме число буде ділитися заданий дільник.

Дізнатися, чи багатозначне число ділиться на 12, можна наступним чином. За перерахованими вище ознаками ділимості необхідно дізнатися, чи кратно число 3 і 4. Якщо вони можуть виступати одночасно дільниками для числа, то із заданим ділимим можна проводити і операцію поділу на 12. Подібне правило застосовується і для інших складних чисел, наприклад, п'ятнадцяти. При цьому дільниками повинні виступати 5 і 3. Щоб дізнатися, чи ділиться число на 14, слід подивитися, чи воно 7 і 2. Так, можна розглянути це на наступному прикладі. Необхідно визначити, чи можна розділити 658 на 14. Остання цифра в записі парна, отже, число кратно двом. Далі ми 8 множимо на 2, отримуємо 16. З 65 потрібно відняти 16. Результат 49 ділиться на 7, як і вся кількість. Отже, 658 можна розділити на 14.

Якщо дві останні цифри в заданій кількостіділяться на 25, і все воно буде кратно цьому дільнику. Для багатозначних чисел ознака ділимості на 11 звучатиме так. Необхідно дізнатися, чи кратна заданому дільнику різницю сум цифр, які стоять на непарних та парних місцях у його записі.

Слід зазначити, що ознаки ділимості чисел та його знання дуже часто значно спрощує багато завдань, які зустрічаються у математиці, а й у повсякденному житті. Завдяки вмінню визначити, чи кратне число іншому, можна швидко виконувати різні завдання. Крім цього, застосування даних способів на заняттях математики допоможе розвивати у студентів чи школярів, сприятиме розвитку певних здібностей.

Еткарьова Аліна

Дослідницький навчальний проект для 6 класу

Завантажити:

Попередній перегляд:

Районна наукова конференція учнів

Секція «Математика»

«Ознаки ділимості натуральних чисел»

Еткарева Аліна,

Учениця 6 класу

ДБОУ ЗОШ ж.-д.ст. Вантажна

Науковий керівник:

Степанова Галина Олексіївна

вчитель математики

ДБОУ ЗОШ ж.-д.ст. Вантажна

С. Кішки

Вступ………………………………………………………………………...3

1. Глава 1. Трохи історії …………………………………………….4 -5

2. Розділ 2. Ознаки подільності

2.1.Ознаки ділимості натуральних чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, що вивчаються в школі……………………………………………………………….5- 6

2.2. Ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, отримані самостійно……………………………………………………..6-7

2.3. Ознаки ділимості на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описані в різних джерелах ................ .................................................. ..............................8-11

3.Глава 3. Застосування ознак ділимості натуральних чисел під час вирішення задач..................................... .................................................. ............11-14

Висновок. …………………………………………………………..15

Список використаної литературы………………………………………16

Вступ

Актуальність: Під час вивчення теми: «Ознаки ділимості натуральних чисел на 2, 3, 5, 9, 10» мене зацікавило питання ділимості чисел. Відомо, що не завжди одне натуральне числоділиться інше натуральне число без залишку. При розподілі натуральних чисел, ми отримуємо залишок, припускаємося помилок, в результаті - втрачаємо час. Ознаки ділимості допомагають, не виконуючи поділу, встановити, чи ділиться одне натуральне число інше. Я вирішила написати дослідницьку роботуна цю тему.

Гіпотеза: Якщо можна визначити розподіл натуральних чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то повинні бути ознаки, за якими можна визначити розподіл натуральних чисел і на інші числа.

Об'єкт дослідження:Подільність натуральних чисел.

Предмет дослідження:Ознаки ділимості натуральних чисел.

Ціль: Доповнити вже відомі ознаки ділимості натуральних чисел повністю, вивчені мною.

Завдання:

1. Вивчити історіографію питання.
2. Повторити ознаки подільності на 2, 3. 5, 9, 10, які я вивчив у школі.
3. Дослідити самостійно ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
4. Вивчити додаткову літературу, що підтверджує правильність гіпотези про існування інших ознак ділимості натуральних чисел та правильність виявлених ознак ділимості.
5. Виписати знайдені з додаткової літератури ознаки поділення натуральних чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
6. Зробити висновок.
7. Скласти слайдову презентацію на тему: Ознаки ділимості.
8. Скласти брошуру «Ознаки ділимості натуральних чисел».

Новизна:

У ході виконання проекту я поповнила знання про ознаки ділимості натуральних чисел.

Методи дослідження:Збір матеріалу, обробка даних, спостереження, порівняння, аналіз, узагальнення.

Розділ 1. Трохи з історії.

Ознака ділимості – це правило, яким, не виконуючи розподілу можна визначити, чи ділиться одне натуральне число інше. Ознаки ділимості завжди цікавили вчених різних країнта часів.

Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10 були відомі з давніх-давен. Ознаку ділимості на 2 знали древні єгиптяни за 2 тисячі років до нашої ери, а ознаки ділимості на 2, 3, 5 були викладені італійським математиком Леонардо Фібоначчі (1170-1228р.р.).

При вивченні теми: «Прості та складові числа» мене зацікавило питання про складання таблиці простих чисел, тому що прості числа відіграють важливу роль у вивченні решти всіх чисел. Виявляється, над цим же питанням свого часу замислився олександрійський вчений Ератосфен, який жив у 3 столітті до нашої ери. Його метод складання списку простих чисел назвали «решета Ератосфена». Нехай треба знайти усі прості числа до 100. Напишемо поспіль усі числа до 100.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Залишивши число 2, закреслимо всі інші парні числа. Першим уцілілим числом після 2 буде 3. Тепер, залишивши число 3, закреслимо числа, що діляться на 3. Потім закреслимо числа, що діляться на 5. У результаті всі складові числа виявляться викресленими і залишаться тільки прості числа: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. За цим методом можна складати списки простих чисел , Великі 100.

Питання ділимості чисел розглядалися піфагорійцями. Теоретично чисел ними було проведено велику роботу з типології натуральних чисел. Піфагорійці ділили їх у класи. Виділялися класи: досконалих чисел (число дорівнює сумі своїх власних дільників, наприклад: 6=1+2+3), дружніх чисел (кожне з яких дорівнює сумі дільників іншого, наприклад 220 та 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фігурних чисел (трикутне число, квадратне число), простих чисел та ін.

Блез Паскаль Піфагор. Леонардо Пізанський Ератосфен

(Фібоначчі)

Великий внесок у вивчення ознак ділимості чисел зробив Блез Паскаль (1623-1662р.р.). Юний Блез дуже рано виявив видатні математичні здібності, навчившись рахувати раніше, ніж читати. Взагалі, його приклад – це класичний випадок дитячої математичної геніальності. Свій перший математичний трактат «Досвід теорії конічних перерізів» він написав у 24 роки. Приблизно в цей же час він сконструював механічну машину, що підсумовує, прообраз арифмометра. У ранній період своєї творчості (1640-1650г.р.) різнобічний вчений знайшов алгоритм для знаходження ознак ділимості будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, з якого випливають усі приватні ознаки. Його ознака полягає в наступному:а розділиться на інше натуральне число b лише у тому випадку, якщо сума творів цифр числа a на відповідні залишки, одержувані під час поділу розрядних одиниць на число b, ділиться цього число.

Т.ч., ознаки ділимості були відомі з давніх-давен і цікавили математиків.

Глава 2. Ознаки подільності

2.1.Ознаки ділимості натуральних чисел, що вивчаються у школі.

При вивченні цієї теми необхідно знати поняття дільник, кратне, просте та складове числа.

Дільником натурального числаа називають натуральне число b , на яке ділиться без залишку.

Часто твердження про подільність числаа на число b виражають іншими рівнозначними словами:а кратно b, b - дільник а, b ділить а.

Простими називаються натуральні числа, які мають два дільники: 1 і саме число. Наприклад, числа 5,7,19 прості, т.к. діляться на 1 і саму себе.

Числа, які мають понад два дільники, називаються складовими. Наприклад, число 14 має 4 дільники: 1, 2, 7, 14, означає воно складове.

Т.о….

2.2.Ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, отримані самостійно.

Виконуючи дії поділу, множення натуральних чисел, спостерігаючи за результатами дій, я знайшла закономірності та отримала такі ознаки подільності.

Ознака ділимості на 4.

25 · 4 = 100; 56 · 4 = 2 24; 123 · 4 = 492; 125 · 4 = 500; 2345 · 4 = 93 80; 2500 · 4 = 100 00;

Помножуючи натуральні числа на 4, я помітила, що числа, утворені з двох останніх цифр числа, діляться на 4 без залишку.

Ознака ділимості на 4 читається так:Натуральне год

Ознака ділимості на 6.

Зауважимо, що 6=2·3 Ознака ділимості на 6: Якщо натуральне число одночасно ділиться на 2 і 3, воно ділиться на 6.

Приклади:

216 ділиться на 2 (закінчується 6) і ділиться на 3 (8+1+6=15, 15?3), отже, число ділиться на 6.

Ознака ділимості на 8.

Помножуючи натуральне число на 8, я помітила таку закономірність, числа закінчуються на три 0 або три останні цифри становлять число, яке ділиться на 8.

Отже ознака така.Натуральне год

Ознака ділимості на 15.

Зауважимо, що 15 = 3 · 5

Приклади:

Ознака ділимості на 25.

Виконуючи множення натуральних різних чиселна 25, побачила таку закономірність: твори закінчуються на 00, 25, 50, 75.

Значить, натуральне число ділиться на 25 якщо закінчується на 00, 25, 50, 75.

Ознака ділимості на 50.

На 50 діляться числа: 50, 1

Значить, натуральне число ділиться на 50 і тоді, коли закінчується двома нулями або 50.

Якщо наприкінці натурального числа стоять стільки ж нулів, скільки в розрядній одиниці, то це число ділиться на цю розрядну одиницю.

Приклади:

25 600 ділиться на 100, т.к. числа закінчуються на однакову кількість нулів. 8975000 ділиться на 1000 т.к. обидва числа закінчуються на 000.

Т.ч., виконуючи дії з числами та помічаючи закономірності, я сформулювала ознаки ділимості та з додаткової літератури знайшла підтвердження правильності сформульованих мною ознак ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 100.

2.3.Ознаки ділимості натуральних чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описані у різних джерелах.

З додаткової літератури знайшла кілька ознак ділимості натуральних чисел на 7.

П Різниці ділимості на 7:

Приклади:

479345 не ділиться на 7 т.к. 479-345 = 134, 134 не ділиться на 7.

Приклади:

4592 ділиться на 7 т.к. 45 · 2 = 90, 90 +92 = 182, 182 ділиться на 7.

57384 ділиться на 7, т.к. 573 · 2 = 1146, 1146 +84 = 1230,1230 не ділиться на 7

аbа

Приклади:

bаа

Приклади:

ааb

Приклади:

bаа

Приклади:

Приклади:

Приклади:

10׃7=1 (зуп 3)

100׃7 = 14 (зуст 2)

1000׃7 = 142 (зуст 6)

10000׃7 = 1428 (зуп 4)

100000׃7 = 14285 (ост 5)

6 +3 · 2 +1 · 3 +6 = 21, 21 / 7 (6-зуст. від розподілу 1000 на 7; 2-зуп. від розподілу 100 на 7; 3- зуп. Від розподілу 10 на 7).

Число 354722 не ділиться на 7,т.к. 3 · 5 +5 · 4 +4 · 6 +7 · 2 +2 · 3 +2 = 81, 81 не ділиться на 7 (5-зуст. від розподілу 100 000 на 7; 4-зуп. від розподілу 10 000 на 7; 6-зуп.

Ознаки ділимості на 11.

Приклад:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Приклади:

Ознака ділимості на 12.

Приклади:

Ознаки ділимості на 13.

Приклади:

Приклади:

Ознака ділимості на 14.

Приклади:

Число 35882 ділиться на 2 і 7, отже, воно ділиться на 14.

Ознака ділимості на 19.

Приклади:

153 4

182 4 182 +4 · 2 = 190, 190/19, отже, число 1824/19.

Ознаки подільності на 37.

Приклад:

Т.о., в се перелічені ознаки ділимості натуральних чисел можна розділити на 4 групи:

1група- коли ділимість чисел визначається за останньою (їм) цифрою (ми) - це ознаки ділимості на 2, на 5, на розрядну одиницю, на 4, на 8, на 25, на 50;

2 група – коли ділимість чисел визначається за сумою цифр числа – це ознаки ділимості на 3, 9, на 7 (1 ознака), на 11, на 37;

3 група – коли ділимість чисел визначається після виконання якихось дій над цифрами числа – це ознаки ділимості на 7, 11, 13, 19;

4 група – коли визначення ділимості числа використовуються інші ознаки делимости –це ознаки ділимості на 6, на12, на 14, на 15.

Глава 3. Застосування ознак подільності натуральних чисел під час вирішення завдань.

Ознаки ділимості застосовуються при знаходженні НОД та НОК, а також при вирішенні текстових завдань на застосуванні НОД та НОК.

Завдання 1:

Учні 5 класу купили 203 підручники. Кожен купив однакову кількість книг. Скільки було п'ятикласників і скільки підручників купив кожен із них?

Рішення: Обидві величини, які потрібно визначити мають бути цілими числами, тобто. перебувати серед дільників числа 203. Розклавши 203 на множники, отримуємо: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

З практичних міркувань.

Відповідь:

Завдання 2 .

Рішення:

Відповідь:

Завдання 3: У 9 класі за контрольну роботу 1/7 учнів отримали п'ятірки, 1/3 – четвірки, 1/2 – трійки. Інші роботи виявилися незадовільними. Скільки було таких робіт?

Рішення:

Математичні відносини завдання припускають, що кількість учнів у класі 84, 126 і т.д. людина. Але з міркувань здорового глузду випливає, що найбільш прийнятною відповіддю є число 42.

Відповідь: 1 робота.

Завдання 4.

Рішення: У першому з цих класів могло бути: 17, 34, 51… – числа, кратні 17. У другому класі: 9, 18, 27, 36, 45, 54… – числа, кратні 9. Нам потрібно вибрати 1 число з першої послідовності , а 2 число з другого так, щоб вони в сумі давали 70. Причому в цих послідовностях тільки невелика кількість членів можуть виражати можливу кількість дітей у класі. Це міркування значно обмежує перебір варіантів. Можливим єдиним варіантом виявилася пара (34, 36).

Відповідь:

Завдання 5.

Рішення:

Відповідь:

Завдання 6. Два автобуси відправляються від однієї площі різними маршрутами. В одного з автобусів рейс туди і назад триває 48 хв, а в іншого 1 год 12 хв. Через скільки часу автобуси знову зустрінуться на цій самій площі?

Рішення:

Відповідь:

Завдання 7 . Дана таблиця:

Відповідь:

Завдання 8.

Відповідь:

Завдання 9.

Відповідь:

Отже, ми переконалися у застосуванні ознак ділимості натуральних чисел під час вирішення завдань.

Висновок.

У процесі роботи я познайомилася з історією розвитку ознак подільності. Сама правильно сформулювала ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, чому знайшла підтвердження з додаткової літератури. Працюючи з різними джерелами, я переконалася в тому, що існують інші ознаки поділення натуральних чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), щопідтвердило правильність гіпотезипро існування інших ознак подільності натуральних чисел.

З додаткової літератури знайшла завдання, під час вирішення яких застосовуються ознаки ділимості натуральних чисел.

Знання та використання вище перерахованих ознак подільності натуральних чисел значно спрощує багато обчислень, економить час; виключає обчислювальні помилки, які можна зробити під час виконання дії поділу. Слід зазначити, що формулювання деяких ознак складні. Можливо, тому вони не вивчаються у школі.

Зібраний мною матеріал я оформила у вигляді брошури, яку можна використовувати на математичних заняттях, на заняттях математичного гуртка. Вчителі математики можуть використовувати його щодо цієї теми. Також рекомендую ознайомитися зі своєю роботою тим одноліткам, які хочуть знати про математику більше, ніж пересічний школяр.

Надалі можна розглянути такі питання:

Виведення ознак подільності;

З'ясувати, чи існують ще ознаки ділимості, для дослідження яких у мене бракує поки що знань?

Список використаної літератури (джерел):

1. Галкін В.А. Завдання на тему «Ознаки ділимості».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусєв В.А., Орлов А.І., Розенталь О.Л. Позакласна робота з математики в 6-8 класах. - М.: Просвітництво, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД та НОК у завданнях. // Математика, 1999. - №7. - С. 4-6.
4. Пельман Я.І. Математика – це цікаво! - М.: ТЕРРА - Книжковий клуб, 2006.
5. Енциклопедичний словник молодого математика./ Упоряд. Савін А.П. - М.: Педагогіка, 1989. - С. 352.
6. Internet

Ознаки подільності

на 5.

Якщо число закінчується 0, 5.

на 2.

Якщо число закінчується на 0, 2, 4, 6, 8

на 10.

Якщо число закінчується на 0

на 3 (9).

Якщо кількість цифр числа ділиться на 3 (9).

Попередній перегляд:

Відповідь:

Завдання 8.

Напишіть яке-небудь дев'ятизначне число, в якому немає цифр, що повторюються (всі цифри різні) і яке ділиться без залишку на 11. Напишіть найбільше з таких чисел, найменше з них.

Відповідь: Найбільша – 987652413, найменша – 102347586.

Завдання 9.

Іван задумав просте тризначне число, всі цифри якого різні. На яку цифру воно може закінчуватися, якщо його остання цифра дорівнює сумі перших двох. Наведіть приклади таких чисел.

Відповідь: Може закінчуватися лише цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

Ознака ділимості на 2

Якщо натуральне число закінчується на 2, 4, 6, 8, 0, воно ділиться на 2 без залишку.

Ознака ділимості на 5.

Якщо число закінчується на 0 або 5, воно ділиться на 5 без залишку.

Ознака ділимості на 3

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3.

Приклади

684: 3, т. К. 6 + 8 + 4 = 18, 18: 3, значить і число: на 3.

763 немає: на3, т.к. 7 +6 +3 = 16, 16 немає: на 3, означає 763 немає: на 3.

Ознака ділимості на 9

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, те саме число ділиться на 9.

Приклади

765: 9, тому що 7+6+5=18, 18: 9, означає 765: 9

881 немає: на9, т.к. 8+8+1=17, 17 немає: на 9, значить 881 немає: на 9.

Ознака ділимості на 4.

25 · 4 = 100; 56 · 4 = 2 24; 123 · 4 = 492; 125 · 4 = 500; 2345 · 4 = 93 80; 2500 · 4 = 100 00; …

Натуральне год ісло ділиться на 4 тоді і лише тоді, коли дві його останні цифри 0 або утворюють число, що ділиться на 4.

Ознака ділимості на 6.

Зауважимо, що 6=2·3 Ознака ділимості на 6:

Якщо натуральне число одночасно ділиться на 2 і 3, воно ділиться на 6.

Приклади:

816 ділиться на 2 (закінчується 6) і ділиться на 3 (8+1+6=15, 15?3), значить, число ділиться на 6.

625 не ділиться ні на 2, ні на 3, отже, не ділиться на 6.

2120 ділиться на 2 (закінчується 0), але не ділиться на 3 (2+1+2+0=5, 5 не ділиться на 3), отже число не ділиться на 6.

279 ділиться на 3 (2+7+9=18, 18:3), але не ділиться на 2 (закінчується непарною цифрою), значить число не ділиться на 6.

Ознака ділимості на 7.

Ι. Натуральне число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли різницю числа тисяч і числа, що виражається останніми трьома цифрами, ділиться на 7.

Приклади:

478009 ділиться на 7 т.к. 478-9 = 469, 469 ділиться на 7.

475341 не ділиться на 7 т.к. 475-341 = 134, 134 не ділиться на 7.

ΙΙ. Натуральне число ділиться на 7, якщо сума подвоєного числа, що стоїть до десятків і решти числа, ділиться на 7.

Приклади:

4592 ділиться на 7 т.к. 45 · 2 = 90, 90 +92 = 182, 182/7.

хв, а в іншого 1 год 12 хв. Через скільки часу автобуси знову зустрінуться на цій самій площі?

Рішення: НОК(48, 72) = 144 (хв). 144 хв = 2 год 24 хв.

Відповідь: Через 2 год 24 хв автобуси знову зустрінуться на цій самій площі.

Завдання 7 . Дана таблиця:

У порожні клітини впишіть такі числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Рішення: У першому з цих класів могло бути: 17, 34, 51… – числа, кратні 17. У другому класі: 9, 18, 27, 36, 45, 54… – числа, кратні 9. Нам потрібно вибрати 1 число з першої послідовності , а 2 число з другої так, щоб вони в сумі давали 70. Причому в цих послідовностях тільки невелика кількість членів можуть виражати можливу кількість дітей у класі. Це міркування значно обмежує перебір варіантів. Можливим єдиним варіантом виявилася пара (34, 36).

Відповідь: У першому класі – 34 учні, у другому класі – 36 учнів.

Завдання 5.

Яку найменшу кількість однакових подарунків можна зробити із 320 горіхів, 240 цукерок, 200 яблук? Скільки горіхів, цукерок та яблук буде у кожному подарунку?

Рішення: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарунків), тоді в кожному подарунку буде: 320:40 = 8 (горіхів); 240: 40 = 6 (цукерок); 200:40 = 5 (яблук).

Відповідь: У кожному подарунку по 8 горіхів, 6 цукерок, 5 яблук.

Завдання 6.

Два автобуси відправляються від однієї площі різними маршрутами. В одного з автобусів рейс туди і назад триває 48

57384 ділиться на 7, т.к. 573 · 2 = 1146, 1146 +84 = 1230, 1230 не ділиться на 7.

ΙΙΙ. Тризначне натуральне число видуаbа ділиться на 7, якщо а+b ділиться на 7.

Приклади:

252 ділиться на 7 т.к. 2 +5 = 7, 7/7.

636 ділиться на 7, т.к. 6 +3 = 9, 9 не ділиться на 7.

IV. Тризначне натуральне число виду bаа ділиться на 7, якщо сума цифр числа ділиться на 7.

Приклади:

455 ділиться на 7 т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не ділиться на 7 т.к. 2 +4 +4 = 12, 12 не ділиться на 7.

V. Тризначне натуральне число видуааb ділиться на 7, якщо 2а-b ділиться на 7.

Приклади:

882 ділиться на 7,т. 8 +8-2 = 14, 14/7.

996 ділиться на 7, т.к. 9 +9-6 = 12, 12 не ділиться на 7.

VI. Чотиризначне натуральне число виду bаа де b-двозначне число, буде ділитися на 7, якщо b +2а ділиться на 7.

Приклади:

2744 ділиться на 7 т.к. 27 +4 +4 = 35, 35/7.

1955 року не ділиться на 7, т.к. 19 +5 +5 = 29, 29 не ділиться на 7.

VII. Натуральне число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли результат віднімання подвійної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7.

Приклади:

483 ділиться на 7 т.к. 48-3 · 2 = 42, 42/7.

564 ділиться на 7, т.к. 56-4 · 2 = 48, 48 не ділиться на 7.

VIII. Натуральне число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли сума творів цифр числа відповідні залишки одержувані при розподілі розрядних одиниць на число 7, ділиться на 7.

Приклади:

10׃7=1 (зуп 3)

100׃7 = 14 (зуст 2)

1000׃7 = 142 (зуст 6)

10000׃7 = 1428 (зуп 4)

100000׃7 = 14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (зуп 1) і знову повторюються залишки.

Число 1316 ділиться на 7 т.к. 1· 6 +3 · 2 +1 · 3 +6=21, 21/7 (6-залишок від поділу 1000 на 7; 2-залишок від поділу 100 на 7; 3- залишок від поділу 10 на 7).

Число 354722 не ділиться на 7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не ділиться на 7(5-залишок від поділу 100 000 на 7; 4 -залишок від поділу 10 000 на 7; 6-залишок від розподілу 1000 на 7; 2-залишок від розподілу 100 на 7;

Кількість подарунків має бути дільником кожного з чисел, що виражають кількість апельсинів, цукерок та горіхів, причому найбільшим із цих чисел. Тому треба знайти НОД даних чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Кожен подарунок міститиме: 60: 15 = 4 – апельсина,175: 15 = 11 - горіхів і 225: 15 = 15 - цукерок.

Відповідь: В одному подарунку – 4 апельсини, 11 горіхів, 15 цукерок.

Завдання 3: У 9 класі за контрольну роботу 1/7 учнів отримали п'ятірки, 1/3 – четвірки, ½ – трійки. Інші роботи виявилися незадовільними. Скільки було таких робіт?

Рішення: Розв'язанням задачі має бути число, кратне числам: 7, 3, 2. Знайдемо спочатку найменше з таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можна скласти вираз за умовою задачі: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспішний.

Математичні відносини ставлення завдання припускають, що кількість учнів у класі 84, 126 і т.д. людина. Але з міркувань здорового глузду випливає, що найбільш прийнятною відповіддю є число 42.

Відповідь: 1 робота.

Завдання 4.

У двох класах разом 70 учнів. В одному класі 7/17 учнів не з'явилися на заняття, а в іншому 2/9 отримали відмінні математики. Скільки учнів у кожному класі?

Приклади:

25 600 ділиться на 100, т.к. числа закінчуються на однакову кількість нулів.

8975000 ділиться на 1000 т.к. обидва числа закінчуються на 000.

Завдання 1: (Використання спільних дільниківта НОД)

Учні 5 «А» класу купили 203 підручники. Кожен купив однакову кількість книг. Скільки було п'ятикласників і скільки підручників купив кожен із них?

Рішення: Обидві величини, які потрібно визначити мають бути цілими числами, тобто. знаходитись серед дільників числа 203. Розклавши 203 на множники, отримуємо:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

З практичних міркуваньслід, що підручників не може бути 29. також кількість підручників не може дорівнювати1, т.к. у цьому випадку учнів було б 203. Отже, п'ятикласників – 29 і кожен із них купив по 7 підручників.

Відповідь: 29 п'ятикласників; 7 підручників

Завдання 2 . Є 60 апельсинів, 165 горіхів та 225 цукерок. Яке найбільша кількістьоднакових подарунків для дітей можна зробити із цього запасу? Що увійде до кожного набору?

Рішення:

Ознака ділимості на 8.

125 · 8 = 1 000; 242 · 8 = 1936; 512 · 8 = 4096; 600 · 8 = 4800; 1234 · 8 = 9872; 122875 · 8 = 983 000;

Натуральне год ісло ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли три останні цифри діляться 0 або становлять число, що ділиться на 8.

Ознаки ділимості на 11.

I. Число ділиться на 11, якщо різниця суми цифр, що стоять на парних місцях, і суми цифр, що стоять на парних місцях, кратна 11.

Різниця може бути негативним числом або 0, але обов'язково має бути кратною 11. Нумерація йде зліва направо.

Приклад:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не раз 11, отже, це число не ділиться на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 разів 11, отже, це число ділиться на 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не раз 11, отже, це число не ділиться на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 разів 11, отже, це число ділиться на 11.

ІІ. Натуральне число розбивають праворуч наліво на групи по 2 цифри в кожній і складають ці групи. Якщо отримувана сума кратна 11, то випробуване число кратно 11.

Приклад: Визначимо, чи число 12561714 ділиться на 11.

Розіб'ємо число на групи по дві цифри у кожній: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 ділиться на 11, отже, це число ділиться на 11.

ІІІ. Тризначне натуральне число ділиться на 11, якщо сума бічних цифр числа дорівнює цифрі, що у середині. Відповідь складатиметься з тих самих бічних цифр.

Приклади:

594 ділиться на11, т.к. 5+4=9, 9-в середині.

473 ділиться на 11 т.к. 4+3=7, 7- у середині.

861 ділиться на 11, т.к. 8+1=9, а середині 6.

Ознака ділимості на 12.

Натуральне число ділиться на 12 і тоді, коли воно ділиться на 3 і 4 одночасно.

Приклади:

636 ділиться на 3 і 4, отже, воно ділиться на 12.

587 не ділиться ні на 3, ні на 4, отже воно не ділиться на 12.

27126 ділиться на 3, але не ділиться на 4, отже, воно не ділиться на 12.

Ознаки подільності на 37.

I. Натуральне число ділиться на 37, якщо сума чисел, утворених трійками цифр цього числа десяткового записуділиться відповідно до 37.

Приклад: Визначимо, чи число 100048 ділиться на 37.

100/048 100+48=148, 148 ділиться на 37, отже, число ділиться на 37.

ІІ. Тризначне натуральне число, написане однаковими цифрамиділиться на 37.

Приклад:

Числа 111, 222, 333, 444, 555 …поділяються на 37.

Ознака ділимості на 25

Натуральне число ділиться на 25 якщо воно закінчується на 00, 25, 50, 75.

Ознака ділимості на 50.

На 50 діляться числа: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Вони закінчуються або 50, або 00.

Натуральне число ділиться на 50 і тоді, коли закінчується двома нулями або 50.

Об'єднана ознака подільності на 10, 100, 1000, …

Якщо в кінці натурального числа стоять стільки ж нулів скільки в розрядній одиниці, то це число ділиться на цю розряд-

ну одиницю.

Ознаки ділимості на 13.

I. Натуральне число ділиться на 13, якщо різниця числа тисяч та числа, утвореного останніми трьома цифрами, ділиться на 13.

Приклади:

Число 465 400 ділиться на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 ділиться на 13.

Число 256184 не ділиться на 13 т.к. 256 - 184 = 72, 72 не ділиться на 13.

ІІ. Натуральне число ділиться на 13 і тоді, коли результат віднімання останньої цифри, помноженої на 9, з цього числа без останньої цифри, ділиться на 13.

Приклади:

988 ділиться на 13 т.к. 98 - 9 · 8 = 26, 26 ділиться на 13.

853 не ділиться на 13 т.к. 85 - 3 · 9 = 58, 58 не ділиться на 13.

Ознака ділимості на 14.

Натуральне число ділиться на 14 і тоді, коли воно ділиться на 2 і 7 одночасно.

Приклади:

Число 45826 ділиться на 2, але не ділиться на 7, отже, воно не ділиться на 14.

Число 1771 ділиться на 7, але не ділиться на 2, отже, воно не ділиться на 14.

Ознака ділимості на 15.

Зауважимо, що 15 = 3 · 5.Якщо натуральне число одночасно ділиться і 5 і 3, воно ділиться на 15.

Приклади:

346725 ділиться на 5 (закінчується 5) і ділиться на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), отже число ділиться на 15.

48732 ділиться на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), але не ділиться на 5, отже, число не ділиться на 15.

87565 ділиться на 5 (закінчується 5), але не ділиться на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не ділиться на 3), отже число не ділиться на 15.

Ознака ділимості на 19.

Натуральне число ділиться на 19 без залишку і тоді, коли його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, ділиться на 19.

Слід врахувати, що число десятків у числі треба рахувати не цифру в розряді десятків, а загальна кількістьцілих десятків у всьому числі.

Приклади:

153 4 десятків-153, 4 · 2 = 8, 153 +8 = 161, 161 не ділиться на 19, значить, і 1534 не ділиться на 19.

182 4 182 +4 · 2 = 190, 190:19, отже, число 1824: 19.

ДБОУ ЗОШ ж.-д. ст. Навантажувальна ОЗНАКИ ДЕЛІМОСТІ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСІЛ Склала Еткарева Аліна. 2013 рік

Ознака ділимості на 2
Число ділиться на 2 і тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.

Ознака ділимості на 3
Число ділиться на 3 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Ознака ділимості на 4
Число ділиться на 4 тоді і лише тоді, коли число з двох останніх цифр нулі або ділиться на 4.

Ознака ділимості на 5
Число ділиться на 5 тоді і лише тоді, коли остання цифра ділиться на 5 (тобто дорівнює 0 чи 5).

Ознака ділимості на 6
Число ділиться на 6 і тоді, коли воно ділиться на 2 і 3.

Ознака ділимості на 7
Число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли результат віднімання подвоєної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7 (наприклад, 259 ділиться на 7, тому що 25 - (2 · 9) = 7 ділиться на 7).

Ознака ділимості на 8
Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли три останні цифри - нулі або утворюють число, яке ділиться на 8.

Ознака ділимості на 9
Число ділиться на 9 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

Ознака ділимості на 10
Число ділиться на 10 і тоді, коли воно закінчується на нуль.

Ознака ділимості на 11
Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли сума цифр з знаками, що чергуються, ділиться на 11 (тобто 182919 ділиться на 11, тому що 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 ділиться на 11) - наслідок факту, що всі числа виду 10 n при розподілі на 11 дають у залишку (-1) n .

Ознака ділимості на 12
Число ділиться на 12 і тоді, коли воно ділиться на 3 і 4.

Ознака ділимості на 13
Число ділиться на 13 тоді і лише тоді, коли число його десятків, складене з вченого числом одиниць, кратно 13 (наприклад, 845 ділиться на 13, так як 84 + (4 · 5) = 104 ділиться на 13).

Ознака ділимості на 14
Число ділиться на 14 і тоді, коли воно ділиться на 2 і 7.

Ознака ділимості на 15
Число ділиться на 15 і тоді, коли воно ділиться на 3 і 5.

Ознака ділимості на 17
Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене зі збільшеним у 12 разів числом одиниць, кратно 17 (наприклад, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+ 24 = 34. Оскільки 34 ділиться на 17, то 29053 ділиться на 17). Ознака не завжди зручна, але має певне значення в математиці. Є спосіб трохи простіше - Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли різниця між числом його десятків і упятеренным числом одиниць, кратно 17 (наприклад, 32952 → 3295-10 = 3285 → 328-25 = 303 → 30-15 = 15). оскільки 15 не ділиться на 17, то і 32952 не ділиться на 17)

Ознака ділимості на 19
Число ділиться на 19 і тоді, коли число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, кратно 19 (наприклад, 646 ділиться на 19, оскільки 64 + (6 · 2) = 76 ділиться на 19).

Ознака ділимості на 23
Число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число його сотень, складене з потрійним числом десятків, кратно 23 (наприклад, 28842 ділиться на 23, тому що 288 + (3 * 42) = 414 продовжуємо 4 + (3 * 14) = 46 явно ділиться на 23).

Ознака ділимості на 25
Число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри діляться на 25 (тобто утворюють 00, 25, 50 або 75) чи число кратно 5.

Ознака подільності на 99
Розіб'ємо число на групи по 2 цифри праворуч наліво (у самій лівій групі може бути одна цифра) і знайдемо суму цих груп, вважаючи їх двозначними числами. Ця сума ділиться на 99 і тоді, коли саме число ділиться на 99.

Ознака ділимості на 101
Розіб'ємо число на групи по 2 цифри праворуч наліво (у лівій групі може бути одна цифра) і знайдемо суму цих груп зі змінними знаками, вважаючи їх двозначними числами. Ця сума ділиться на 101 і тоді, коли саме число ділиться на 101. Наприклад, 590547 ділиться на 101, оскільки 59-05+47=101 ділиться на 101).

 

Можливо, буде корисно почитати:

• План дослідницької роботи та проекту;
• Бухгалтер з розрахунку заробітної плати (розширений курс) Курси з розрахунку заробітної плати в 1с;
• НТГ – порушення толерантності до глюкози: причини прояву, симптоми та методи корекції;
• Римська імперія. Стародавній Рим. Римська імперія: прапор, герб, імператори, події Що виникло на місці римської імперії;
• До чого сниться, що хлопець кидає мене;
• Сир філадельфія Домашні рецепти сиру «Філадельфія»;
• Ворожіння на кавовій гущі значення півень;
• Кулемети Росії Калашніков - провідний післявоєнний розробник ссср;