Матриці. Основні визначення та види матриць
Матриці. Види матриць. Операції над матрицями та його властивості.
Визначник матриці n-го порядку. N, Z, Q, R, C,
Матрицею порядку m*n називається прямокутна таблиця з чисел, що містить m-рядок і n - стовпців.
Рівність матриць:
Дві матриці називаються рівними, якщо число рядків і стовпців однієї з них дорівнює відповідно числу рядків і стовпців іншого і відповідн. ел-ти цих матриць рівні.
Примітка: Ел-ти, які мають однакові індекси, є відповідними.
Види матриць:
Квадратна матриця: матриця називається квадратною, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців.
Прямокутна: матриця називається прямокутною, якщо число рядків не дорівнює числу стовпців.
Матриця рядок: матриця порядку 1 * n (m = 1) має вигляд a11, a12, a13 і називається матрицею рядка.
Матриця стовпець:………….
Діагональна: діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, тобто складається з елементів а11, а22 ... - називається головною діагоналлю. (опред: квадратна матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, крім тих, що розташовані на головній діагоналі, називається діагональною матрицею.
Поодинока: діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи розташовані на головній діагоналі і дорівнюють 1.
Верхня трикутна: А = | | aij | | називається верхньою трикутною матрицею, якщо aij=0. За умови i>j.
Нижня трикутна: aij=0. i Нульова: це матриця Ел-ти якої дорівнює 0. Операції над матрицями. 1.Транспонування. 2.Умножение матриці на число. 3.Складання матриць. 4.Умноження матриць. Основні св-ва події над матрицями. 1.A+B=B+A (комутативність) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність) 3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивність) 4.(a+b)A=aA+bA (дистриб'ютор) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.) 6.AB≠BA (відсутня кому.) 7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –виконується, якщо опред. Виробів матриць виконується. 8.A(B+C)=AB+AC (дистриб'ютор) (B+C)A=BA+CA (дистриб'ютор) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Визначник квадратної матриці - визначення та його властивості. Розкладання визначника по рядках та стовпцях. Способи обчислення визначників. Якщо матриця має порядок m>1, то визначник цієї матриці – число. Алгебраїчним доповненням Aij ел-та aij матриці А називається мінор Mij, помножений на число ТЕОРЕМА1: Визначник матриці А дорівнює сумі творів всіх елементів довільного рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення. Основні властивості визначників. 1. Визначник матриці не зміниться під час її транспонування. 2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак, а абсолютна величина його не змінюється. 3. Визначник матриці, що має два однакові рядки (стовпці) дорівнює 0. 4.При множенні рядка (стовпця) матриці на число її визначник множиться на це число. 5. Якщо один із рядків (стовпців) матриці складається з 0, то визначник цієї матриці дорівнює 0. 6. Якщо всі елементи i-го рядка (стовпця) матриці представлені у вигляді суми двох доданків, то її визначник можна подати у вигляді суми визначників двох матриць. 7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного стовпця (рядка) додати відповідно ел-ти іншого стовпця (рядка) попередньо множ. на те саме число. 8.Сума довільних елементів якогось стовпця (рядка) визначника на відповідне додаток алгебри елементів іншого стовпця (рядка) дорівнює 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Способи обчислення визначника: 1. За визначенням чи теоремою 1. 2. Приведення до трикутного вигляду. Визначення та властивості зворотної матриці. Обчислення зворотної матриці. Матричні рівняння. Визначення: Квадратна матриця порядку n називається зворотною до матриці А того ж порядку і позначається Для того, щоб для матриці А існувала зворотна матриця, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А був відмінний від 0. Властивості зворотної матриці: 1. Єдиність: для цієї матриці А її зворотна – єдина. 2. визначник матриці 3. Операція взяття транспонування та взяття матриці зворотної. Матричні рівняння: Нехай А та В дві квадратні матриці того ж порядку. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Поняття лінійної залежності та незалежності стовпців матриці. Властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи стовпців. Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно залежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю. Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно незалежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю. Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти С(l) дорівнюють 0 і не тривіальною в іншому випадку. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2.для того, щоб стовпці були лінійно залежні необхідно і достатньо, щоб який-небудь стовпець був лінійною комбінацією інших стовпців. Нехай 1 з стовпців є лінійною комбінацією інших стовпців. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" лінійно залежні, то і всі стовпці лінійно залежні. 4. Якщо система шпальт лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема так само лінійно незалежна. (Все, що сказано щодо стовпців, справедливо і для рядків). Мінори матриці. Базисні мінори. Ранг матриці. Метод обрамляють мінорів обчислення рангу матриці. Мінором порядку до матриці А називається визначник елементи якого розташовані на перетині до рядків і до стовпців матриці А. Якщо всі мінори до-го порядку матриці А = 0, то будь-який мінор порядку до +1 теж дорівнює 0. Базовий мінор. Рангом матриці А називається порядок її базового мінору. Метод обрамляють мінорів: - Вибираємо не нульовий елемент матриці А (Якщо такого елемента не існує, то ранг А = 0) Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку. (Якщо цей мінор не дорівнює 0, то ранг >=2) Якщо ранг цього мінору =0, то обрамляємо вибраний мінор 1-го порядку іншими мінорами 2-го порядку. (Якщо всі мінори 2-го порядку = 0, то ранг матриці = 1). Ранг матриці. Способи знаходження рангу матриці. Рангом матриці А називається порядок його базисного мінору. Способи обчислення: 1) Метод окаймляющих мінорів: -Вибираємо ненульовий елемент матриці А (якщо такого елемента немає, то ранг =0) - Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку..gif" width="40" >r+1 Mr+1=0. 2) Приведення матриці до ступінчастого вигляду: цей метод ґрунтується на елементарних перетвореннях. При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється. Елементарними перетвореннями називаються такі перетворення: Перестановка двох рядків (стовпців). Умножение всіх елементів деякого стовпця (рядки) число не =0. Додаток до всіх елементів деякого стовпця (рядка) елементів іншого стовпця (рядка), попередньо помножених на одне і те ж число. Теорема про базисний мінор. Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника. Базовим мінором матриці А називається мінор найбільшого до-го порядку відмінного від 0. Теорема про базисний мінор: Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців). Рядки та стовпці на перетині яких стоїть базисний мінор називаються відповідно базисними рядками та стовпцями. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Необхідні та достатні умови рівності нулю визначника: Для того щоб визначник n-го порядку = 0, необхідно і достатньо, щоб рядки (стовпці) були лінійно залежні. Системи лінійних рівнянь, їх класифікація та форми запису. Правило Крамер. Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} називається визначником системи. Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на додаток алгебри A11 елемента a11, 2-е рівняння – на A21 і 3-е – на A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Аналогічно можна показати, що і . Нарешті неважко помітити, що Отже, отримуємо рівність: . Отже, . Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми. Системи лінійних рівнянь. Умова сумісності лінійних рівнянь. Теорема Кронекер-Капеллі. Рішенням системи алгебраїчних рівнянь називається така сукупність n чисел C1, C2, C3……Cn, яка при підстановці у вихідну систему на місце x1, x2, x3…..xn звертає всі рівняння системи у тотожності. Система лінійних рівнянь алгебри називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має безліч рішень. Умови сумісності систем лінійних рівнянь алгебри. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn ТЕОРЕМА: Для того щоб система m лінійних рівнянь з n невідомими була спільною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці А. Примітка: Ця теорема дає лише критерії існування рішення, але не вказує способу пошуку рішення. 10 питання. Системи лінійних рівнянь. Метод базисного мінору - загальний спосіб відшукування всіх рішень систем лінійних рівнянь. A=a21 a22…..a2n Метод базисного мінору: Нехай система спільна та RgA=RgA'=r. Нехай базовий мінор розписаний у верхньому лівому кутку матриці А. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Якщо ранг основної матриці і аналізованої дорівнює r=n, то в цьому випадку dj=bj і система має єдине рішення. Однорідні системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь алгебри називається однорідною, якщо всі її вільні члени рівні нулю. AX=0 – однорідна система. АХ = В - неоднорідна система. Однорідні системи завжди спільні. Х1 = х2 = .. = хn = 0 Теорема 1. Однорідні системи мають неоднорідні рішення, коли ранг матриці системи менший за кількість невідомих. Теорема 2. Однорідна система n-лінійних рівнянь з n-невідомими має нульове рішення, коли визначник матриці А дорівнює нулю. (detA=0) Властивості розв'язків однорідних систем. Будь-яка лінійна комбінація рішення однорідної системи є рішенням цієї системи. α1C1 +α2C2; α1 та α2- деякі числа. А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (AC2) = 0 Для неоднорідної системи це властивість немає місця. Фундаментальна система рішень. Теорема 3. Якщо ранг матричної системи рівняння з n-невідомими дорівнює r, ця система має n-r лінійно-незалежних рішень. Нехай базовий мінор у лівому верхньому кутку. Якщо r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Система n-r лінійно-незалежних рішень однорідної системи лінійних рівнянь з n-невідомими рангами r називається фундаментальною системою рішень. Теорема 4. Будь-яке рішення системи лінійних рівнянь є лінійною комбінацією рішення фундаментальної системи. С = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r Якщо r 12 питання. Загальне розв'язання неоднорідної системи. Сон (заг. неоднор.) = Соо + Сч (приватне) АХ = В (неоднорідна система); АХ = 0 (АСоо) +АСч = АСч = В, тому що (АСоо) = 0 Сон = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч Метод Гауса. Це спосіб послідовних винятків невідомих (змінних) – у тому, що з допомогою елементарних перетворень, вихідна система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх змінних, знаходять інші змінні. Нехай а≠0 (якщо це не так, то перестановкою рівнянь домагаються цього). 1) виключаємо змінну х1 з другого, третього ... n-го рівняння, помножуючи перше рівняння на відповідні числа і додаючи отримані результати до 2-го, 3-го ... n-го рівняння, тоді отримуємо: Отримуємо систему рівносильну вихідній. 2) виключаємо змінну х2 3) виключаємо змінну х3 і т.д. Продовжуючи процес послідовного виключення змінних х4; х5 ... хr-1 отримаємо для (r-1) кроку. Число нуль останніх n-r в рівняннях означають, що їхня ліва частина має вигляд: 0х1 +0х2+..+0хn Якщо хоча б одне із чисел вr+1, вr+2… не дорівнюють нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) не спільна. Таким чином, для будь-якої спільної системи ця вr+1 … вm дорівнює нулю. Останнє n-r рівняння у системі (1;r-1) є тотожностями і можна не брати до уваги. Можливі два випадки: а) число рівнянь системи (1; r-1) дорівнює числу невідомих, тобто r = n (у цьому випадку система має трикутний вигляд). б) r Перехід від системи (1) до рівносильної системи (1;r-1) називається прямим ходом методу Гаусса. Про перебування змінної із системи (1;r-1) – зворотним ходом методу Гаусса. Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи їх не з рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів. 13 питання. Подібні матриці. Розглянемо тільки квадратні матриці порядку n/ Матриця А називається подібною матриці (А~В), якщо існує така неособлива матриця S, що А=S-1BS. Властивості таких матриць. 1) Матриця А подібна сама до себе. (А~А) Якщо S=Е, тоді ЕАЕ=Е-1АЕ=А 2) Якщо А ~ В, то В ~ А Якщо А = S-1ВS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) Якщо А~В і одночасно В~С, то А~С Дано, що А=S1-1BS1 і В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, де S3 = S2S1 4)Визначники подібних матриць рівні. Дано, що А~В, треба довести, що detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (скорочуємо) = detB. 5) Ранги подібних матриць збігаються. Власні вектори та власні значення матриць. Число λ називається власним значенням матриці А, якщо існує ненульовий вектор Х(матр. стовпець) такий, що АХ= λ Х, вектор Х називається власним вектором матриці А, а сукупність всіх власних значень називається спектром матриці А. Властивості власних векторів. 1)При множенні власного вектора число отримаємо власний вектор із тим самим власним значенням. АХ = λ Х; Х≠0 α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ) 2) Власні вектори з попарно-різними власними значеннями лінійно незалежні λ1, λ2,.. λк. Нехай система складається з одного вектора, зробимо індуктивний крок: С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn = 0 (1) – множимо на А. С1 АХ1 + С2 АХ2 + .. + Сn АХn = 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0 Помножуємо на λn+1 і віднімемо С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn + Сn +1 Хn +1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Потрібно щоб С1 = С2 = ... = Сn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Характеристичне рівняння. А-λЕ називається характеристичною матрицею для матриці А. Для того, щоб ненульовий вектор Х був власним вектором матриці А, відповідний власному значенню необхідно, щоб він був рішенням однорідної системи лінійно-алгебраїчних рівнянь (А - λЕ)Х = 0 Нетривіальне рішення система має тоді, коли det (А – XЕ) = 0 – це характеристичне рівняння. Твердження! Характеристичні рівняння таких матриць збігаються. det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ) Характеристичний багаточлен. det(A – λЕ)- функція щодо параметра λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А. Наслідок: 1) Якщо матриці А~В, то сума їх діагональних елементів збігається. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2)Багато власних значень подібних матриць збігаються. Якщо характеристичні рівняння матриць збігаються, всі вони необов'язково подібні. Для матриці А Для матриці В https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Для того, щоб матриця А порядку n була діагоналізована, необхідно, щоб існували лінійно-незалежні власні вектори матриці А. Слідство. Якщо всі власні значення матриця А різні, вона діагоналізована. Алгоритм знаходження власних векторів та власних значень. 1)складаємо характеристичне рівняння 2) знаходимо коріння рівнянь 3)складаємо систему рівнянь визначення свого вектора. λi (A-λi E)X = 0 4) знаходимо фундаментальну систему рішень x1,x2..xn-r, де r - ранг характеристичної матриці. r = Rg(A - λi E) 5) власний вектор, власні значення λi записуються у вигляді: X = С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn-r Хn-r, де С12 + С22 + ... С2n ≠ 0 6) перевіряємо, чи може матриця бути приведена до діагонального вигляду. 7) знаходимо Ag Ag = S-1AS S = 15 питання. Базис прямої, площини, простору. http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Модуль вектора дорівнює нулю, тоді, коли цей вектор нульовий. 4.Орт вектор. Ортом даного вектора називається вектор, який спрямований однаково з цим вектором і має модуль, що дорівнює одиниці. Рівні вектори мають рівні орти. 5. Кут між двома векторами. Це менша частина площі, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки і спрямовані однаково з цими векторами. Складання векторів. Умноження вектора на число. 1) Додавання двох векторів https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Умножение вектора на скаляр. Добутком вектора та скаляра називають новий вектор, який має: а) = добутки модуля множення вектора на абсолютну величину скаляра. б) напрямок однаковий з множуваним вектором, якщо скаляр позитивний, і протилежний, якщо скаляр негативний. λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Властивості лінійних операцій над векторами. 1. Закон комунітативності. 2. Закон асоціативності. 3. Додавання з нулем. а(вектор)+ō= а(вектор) 4.Складання з протилежним. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6; 7. Закон дистрибутивності. Вираз вектор через його модуль і орт. Максимальна кількість лінійно-незалежних векторів називаються базисом. Базисом на прямий є будь-який вектор. Базисом на площині є будь-які два некаленіарні вектори. Базисом у просторі є система будь-яких трьох некомпланарних векторів. Коефіцієнт розкладання вектора деяким базисом називається компонентами або координатами вектора в даному базисі. Виконати дію складання та множення на скаляр, то в результаті будь-якої кількості таких дій отримаємо: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює ?. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-незалежними, якщо не існує їхня нетривіальна лінійна комбінація. Властивості лінійно-залежних та Незалежних векторів: 1) система векторів, що містить нульовий вектор лінійно-залежна. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> були лінійно-залежними, необхідно, щоб якийсь вектор був лінійною комбінацією інших векторів. 3) якщо частина векторів із системи а1(вектор), а2(вектор) ... ак(вектор) лінійно-залежні, то і всі вектори лінійно-залежні. 4)якщо всі вектори . https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Лінійні операції у координатах. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Властивості скалярного твору: 1. Комутативність 3. (a;b)=0, тоді і тільки тоді, коли вектори ортоганальні або якийсь із векторів дорівнює 0. 4. Дистрибутивність (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Вираз скалярного твору a та b через їх координати https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> При виконанні умови (), h, l = 1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> і називається третій вектор який задовольняє наступним рівнянням: 3. - права Властивості векторного твору: 4. Векторний твір координатних ортів Ортонормований базис. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Часто для позначення ортів ортонормованого базису використовуються 3 символи https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Якщо – це ортонормований базис, то https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- рівняння прямої паралельної осі ОХ 2) - рівняння прямої паралельної осі ОУ 2. Взаємне розташування 2-х прямих. Теорема 1 Нехай щодо афінної системи координат дано рівняння прямих А) Тоді необхідна та достатня умова коли вони перетинаються має вигляд: Б) Тоді необхідна і достатня умова того, що прямі паралельні є умова: B) Тоді необхідною і достатньою умовою того, що прямі зливаються в одну є умова: 3. Відстань від точки до прямої. Теорема. Відстань від точки до прямої щодо декартової системи координат: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності. Нехай 2 прямі задані щодо декартової системи координат загальними рівняннями. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Якщо , то прямі перпендикулярні. 24 питання. Площина у просторі. Умова комплонарності вектора та площини. Відстань від точки до площини. Умова паралельності та перпендикулярності двох площин. 1. Умова комплонарності вектора та площини. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безім'яний4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безім'яний5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Кут між 2-ма площинами. Умови перпендикулярності. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Якщо , то площини перпендикулярні. 25 питання. Пряма ліня у просторі. Різні види рівняння прямої лінії у просторі. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Векторне прямого рівняння в просторі. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Канонічне рівняння пряме. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безім'яний3.jpg" width="56" height="51">!} Завдання лінійної алгебри. Концепція матриці. Види матриць. Операції із матрицями. Розв'язання задач на перетворення матриць. При вирішенні різних завдань математики часто доводиться мати справу з таблицями чисел, званих матрицями. За допомогою матриць зручно вирішувати системи лінійних рівнянь, виконувати багато операцій із векторами, вирішувати різні завдання комп'ютерної графіки та інші інженерні завдання. Матрицею називається
прямокутна таблиця з чисел, що містить кілька mрядків та деяка кількість пстовпців. Числа ті пназиваються порядками матриці. У разі якщо т = п,матриця називається квадратною, а число m = n -її порядком. Надалі для запису матриць будуть застосовуватися або здвоєні рисочки, або круглі дужки: Або Для короткого позначення матриці часто буде використовуватися одна велика латинська літера (наприклад, A), або символ || a ij ||, а іноді з роз'ясненням: А = || a ij || = (a ij),де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n). Числа a ij ,що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі a ijперший індекс і
означає номер рядка, а другий індекс j- Номер стовпця. У разі квадратної матриці вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриці (1.1) називається діагональ а 11 а 12 …
a nnщо йде з лівого верхнього кута цієї матриці в правий нижній її кут. Побічною діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ а n 1 а (n -1)2…
a 1 n ,що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут. Основні операції над матрицями та його властивості. Перейдемо до визначення основних операцій над матрицями. Додавання матриць.Сумою двох матриць A = | a ij || ,де і В = | | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)одних і тих самих порядків ті пназивається матриця С = || з ij || (і = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п)тих же порядків ті п,елементи з ijякої визначаються за формулою ,
де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)(1.2) Для позначення суми двох матриць використовується запис З = А + У.Операція складання суми матриць називається їх складанням. Отже, за визначенням: З визначення суми матриць, а точніше з формул (1.2) безпосередньо випливає, що операція складання матриць має ті ж властивості, що і операція складання дійсних чисел, а саме: 1) переміщувальною властивістю: А + В = В + А, 2) сполучною властивістю: ( A + B) + C = A + (B + C). Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшого числа матриць. Множення матриці на число. Добутком матриці A = || a ij || , Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) на речовинне число l, називається матриця З = | | з ij || (і = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)елементи якої визначаються за формулою: ,
де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)(1.3) Для позначення твору матриці на число використовується запис З = l Aабо З = А l.Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці цього числа. Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має такі властивості: 1) сполучною властивістю щодо числового множника: (l m) A = l (m A); 2) розподільною властивістю щодо суми матриць: l (A + B) = l A + l B; 3) розподільною властивістю щодо суми чисел: (l + m) A = l A + m A Зауваження.Різницею двох матриць Аі Уоднакових порядків ті пприродно назвати таку матрицю Зтих же порядків ті п,яка у сумі з матрицею Bдає матрицю A. Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: З = A – Ст. Дуже легко переконатися в тому, що різниця Здвох матриць Аі Уможе бути отримана за правилом С = A + (-1) В. Твір матрицьабо перемноження матриць. Добутком матриці A = | a ij || де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)має порядки, відповідно рівні ті n,на матрицю В = | | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., р),має порядки, відповідно рівні nі р,називається матриця З = | | з ij || (і = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), що має порядки, відповідно рівні ті релементи якої визначаються за формулою: Для позначення твору матриці Ана матрицю Увикористовують запис С = А × В. Операція складання твору матриці Ана матрицю Уназивається перемноженням цих матриць. Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю А можна помножити не на будь-яку матрицю,необхідно, щоб кількість стовпців матриці Адорівнювало числу рядків матриці Ст. Формула (1.4) є правилом складання елементів матриці С, що є твором матриці Ана матрицю Ст.Це правило можна сформулювати і словесно: елемент c i j, що стоїть на перерізі і-го рядка і j-го стовпця матриці С = АВ, дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В. Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку. × = З формули (1.4) випливають такі властивості твору матриці Ана матрицю В: 1) сполучна властивість: (АВ) С = А (ВС); 2) розподільна щодо суми матриць властивість: (A + B) С = АС + ВС або A (В + С) = АС + АС. Питання про перестановкову (переміщувальну) властивість твору матриці Aна матрицю Умає сенс ставити лише для квадратних матриць A і Воднакового порядку. Наведемо важливі окремі випадки матриць, для яких справедлива і перестановка властивість. Дві матриці для твору яких справедливо перестановкову властивість, прийнято називати комутуючими. Серед квадратних матриць виділимо клас про діагональних матриць, в кожній з яких елементи, розташовані поза головною діагоналі, рівні нулю. Кожна діагональна матриця порядку пмає вигляд D = де d 1 , d 2 ,…
, d n-які завгодно числа. Легко бачити, що й усі ці числа рівні між собою, тобто. d 1 = d 2 =… =
d nто для будь-якої квадратної матриці Апорядку псправедлива рівність А D = D А. Серед усіх діагональних матриць (1.5) із збігаються елементами d 1 = d 2 =… =
d n = = dОсобливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить при d = 1,називається одиничною матрицею n е.Друга матриця виходить при d = 0називається нульовою матрицею n-го порядку та позначається символом O.Таким чином, E = В силу доведеного вище А Е = Е Аі АО = ПРО А.Більше того, легко показати, що А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6) Перша формул (1.6) характеризує особливу роль одиничної матриці Е,аналогічну тій ролі, яку відіграє число 1 при перемноженні дійсних чисел. Що ж до особливої ролі нульової матриці О,то її виявляє не тільки друга з формул (1.7), але й рівність, що елементарно перевіряється А+0=0+А=А. На закінчення зауважимо, що поняття нульової матриці можна вводити і для неквадратних матриць (нульової називають будь-якуматрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю). Блокові матриці Припустимо, що деяка матриця A = | a ij ||за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких є матрицею менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. У такому разі виникає можливість розгляду вихідної матриці. Аяк деякої нової (так званої блокової) матриці А = || A a b ||, елементами якої є зазначені блоки. Зазначені елементи ми позначаємо великою латинською літерою, щоб підкреслити, що вони є, взагалі кажучи, матрицями, а не числами і (як звичайні числові елементи) забезпечуємо двома індексами, перший з яких вказує номер блокового рядка, а другий - номер блокового » стовпця. Наприклад, матрицю можна розглядати як блочну матрицю елементами якої є такі блоки: Чудовим є той факт, що основні операції з блочними матрицями відбуваються за тими самими правилами, за якими вони здійснюються із звичайними числовими матрицями, лише ролі елементів виступають блоки. Концепція визначника. Розглянемо довільну квадратну матрицю будь-якого порядку п: A = З кожною такою матрицею зв'яжемо певну чисельну характеристику, звану визначником, відповідним цієї матриці. Якщо порядок nматриці (1.7) дорівнює одиниці, то ця матриця складається з одного елемента а i j визначником першого порядку, що відповідає такій матриці, ми назвемо величину цього елемента. то визначником другого порядку, що відповідає такій матриці, назвемо число, що дорівнює а 11 а 22 - а 12 а 21і позначається одним із символів: Отже, за визначенням Формула (1.9) є правилом складання визначника другого порядку за елементами відповідної йому матриці. Словесна формулювання цього правила така: визначник другого порядку, відповідний матриці (1.8), дорівнює різниці добутку елементів, що стоять на головній діагоналі цієї матриці, і добутку елементів, що стоять на її побічній діагоналі. Визначники другого і вищих порядків знаходять широке застосування під час вирішення систем лінійних рівнянь. Розглянемо, як виконуються операції з матрицями у системі MathCad
. Найпростіші операції матричної алгебри реалізовані MathCad як операторів. Написання операторів за змістом максимально наближено до їхньої математичної дії. Кожен оператор виражається відповідним символом. Розглянемо матричні та векторні операції MathCad 2001. Вектори є окремим випадком матриць розмірності n x 1,тому для них справедливі всі ті операції, що і для матриць, якщо обмеження особливо не обумовлені (наприклад, деякі операції застосовуються тільки до квадратних матриць) n x n). Якісь дії допустимі лише для векторів (наприклад, скалярний твір), а якісь, незважаючи на однакове написання, по-різному діють на вектори та матриці. q Після натискання кнопки OK відкривається поле для введення елементів матриці. Щоб ввести елемент матриці, встановіть курсор у зазначеній позиції і введіть число або вираз з клавіатури. Для того, щоб виконати якусь операцію за допомогою панелі інструментів, потрібно: q виділити матрицю та клацнути в панелі по кнопці операції, q або клацнути по кнопці на панелі і ввести в позначеній позиції ім'я матриці. Меню "Символи" містить три операції - транспонування, інвертування, визначник. Це означає, наприклад, що обчислити визначник матриці можна, виконавши команду Символи/Матриці/Визначник. Номер першого рядка (і першого стовпця) матриці MathCAD зберігає у змінній ORIGIN. За промовчанням відлік ведеться від нуля. У математичному записі частіше прийнято вести відлік від 1. Щоб MathCAD вів відлік номерів рядків і стовпців від 1, потрібно задати значення змінної ORIGIN:=1. Функції, призначені для роботи із завданнями лінійної алгебри, зібрані у розділі “Вектори та матриці” діалогу “Вставити функцію” (нагадуємо, що він викликається кнопкою на панелі “Стандартні”). Основні з цих функцій будуть описані пізніше. Транспонування Подібна інформація. У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми . Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $. Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць: Різницею $A-B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$. Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5. Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів. Приклад №1 Задано три матриці: $$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$ Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$. Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено. Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання. $$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$ Знайдемо матрицю $D=A-B$: $$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$ Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$. Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$. Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число. Приклад №2 Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$ Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$ Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$. Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначення, а потім докладно розберемо, що воно означає і як із ним працювати. Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців: Приклад №3 Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $. Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$: Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають питання, можна глянути попередню тему: " Матриці. Види матриць. Основні терміни " , на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$. Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$: Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо: $$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$ Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$: Аналогічно попередньому, маємо: $$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$ Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$: $$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$ Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$: $$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$ Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$: $$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$ І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$: $$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$ Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$ Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$. До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так: $$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \-56 & -333 \end(array) \right) $$ Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $Acdot B = Bcdot A$. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$. Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$. Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$: Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$. Тут передбачається, що $ alpha $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма. Лекція 1. «Матриці та основні дії над ними. Визначники
Визначення.
Матрицеюрозміру m
n, де m- Число рядків, n- Число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називають елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка та шпальти, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаютьсяa ij, де i- Номер рядка, а j- Номер стовпця. А = Основні події над матрицями.
Матриця може складатися з одного рядка, і з одного стовпця. Взагалі, матриця може складатися навіть з одного елемента. Визначення.
Якщо число стовпців матриці дорівнює кількості рядків (m=n), то матриця називається квадратний.
Визначення.
Матриця виду: називається одиничною матрицею.
Визначення.
Якщо a
mn
=
a
nm
, то матриця називається симетричної.
приклад. Визначення.
Квадратна матриця виду Додавання та відніманняматриць зводиться до відповідних операцій над їх елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначено лише для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції складання та віднімання матриць: Визначення.
сумою (різницею)матриць є матриця, елементами якої є сума (різниця) елементів вихідних матриць. c ij = a ij
b ij З = А + В = В + А. Операція множення (поділу)матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (розподілу) кожного елемента матриці на це число. (А+В) = А В А( ) = А А приклад.Дано матриці А = 2А = Операція множення матриць.
Визначення:
Творомматриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за такими формулами: A
B =
C;
З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другого.
Властивості операції множення матриць.
1) Множення матрицьне комутативно
, тобто. АВ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для якихось матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаютьсяперестановочними.
Найхарактернішим прикладом може бути
матриця, яка є перестановною з будь-якою іншою матрицею того ж розміру. Перестановочними можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку. Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються така властивість: A
O =
O;
O
A =
O,
де О – нульоваматриця. 2) Операція перемноження матриць асоціативна,тобто. якщо визначено твори АВ та (АВ)С, то визначено ВС та А(ВС), і виконується рівність: (АВ)С=А(ВС). 3) Операція множення матриць дистрибутивнастосовно до додавання, тобто. якщо мають сенс вираження А(В+С) та (А+В)С, то відповідно: (А + В) С = АС + НД. 4) Якщо добуток АВ визначено, то для будь-якого числа
вірне співвідношення: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Якщо визначено добуток АВ, то визначено добуток В Т А Т і виконується рівність: (АВ) Т = В Т А Т, де індексом Т позначається транспонованаматриця. 6) Зауважимо також, що для будь-яких квадратних матриць det(AB) = detA detB. Що таке det буде розглянуто нижче. Визначення
.
Матрицю В називають транспонованоїматрицею А, а перехід від А до В транспонуваннямякщо елементи кожного рядка матриці А записати в тому ж порядку в стовпці матриці В. А = іншими словами, b ji = a ij. Як слідство з попередньої властивості (5) можна записати, що: (ABC ) T = C T B T A T , за умови, що визначено добуток матриць АВС. приклад.
Дано матриці А = A T =
C =
приклад.Знайти добуток матриць А = і В = АВ = ВА = приклад.Знайти добуток матриць А = АВ = Визначники(Детермінанти). Визначення.
Визначникомквадратної матриці А = det A = М 1 к– детермінант матриці, отриманої з вихідного викреслювання першого рядка і k – го стовпця. Слід звернути увагу, що визначники мають лише квадратні матриці, тобто. матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців. Ф det A = Власне кажучи, визначник може обчислюватися за будь-якою рядку чи стовпцю матриці, тобто. справедлива формула: detA = Очевидно, різні матриці можуть мати однакові визначники. Визначник одиничної матриці дорівнює 1. Для зазначеної матриці А число М1к називається додатковим міноромелемента матриці a 1 k. Таким чином, можна зробити висновок, що кожен елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують лише у квадратних матрицях. Визначення.
Додатковий мінордовільного елемента квадратної матриці a ij дорівнює визначнику матриці, отриманої з вихідної викреслюванням i рядку і j стовпця. Властивість1.
Важливою властивістю визначників є таке співвідношення: det A = det A T; Властивість
2.
det (A
B) = det A
det B. Властивість 3.
det (AB) =
detA
detB Властивість 4.
Якщо квадратної матриці поміняти місцями якісь два рядки (чи стовпця), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною. Властивість 5.
При множенні стовпця (чи рядка) матриці число її визначник множиться цього числа. Властивість 6.
Якщо матриці А рядки чи стовпці лінійно залежні, її визначник дорівнює нулю. Визначення:
Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, що дорівнює нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) рішення. Властивість 7.
Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, її визначник дорівнює нулю. (Це твердження очевидно, тому що вважати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.) Властивість 8.
Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів одного з його рядків (стовпця) додати (відняти) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на якесь число, що не дорівнює нулю. Властивість 9.
Якщо для елементів будь-якого рядка або стовпця матриці правильне співвідношення:d
=
d
1
d
2
,
e
=
e
1
e
2
,
f
= det(AB).
1-й метод: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 - 2 = 13; det(AB) = det A det B = -26. 2-й спосіб: AB =
– 152 = -26.
Матриці, основні концепції. Матриця-прямокутна таблиця А, утворена з елементів деякої множини і що складається з mрядків і стовпців. Квадратна матриця – де m=n. Рядок (вектор рядок) - матриця складається з одного рядка. Стовпець (вектор стовпець) – матриця складається з одного стовпця. Транспонована матриця-Матриця, що виходить з матриці А шляхом заміни рядків стовпцями. Діагональна матриця-квадратна матриця у якої всі елементи не лежать на головній діагоналі дорівнюють нулю. Події над матрицями. 1)Умножение поділ матриці на число. Твір матриці на число α називається Матриця Ахα елементи якої виходять з елементів матриці А множенням на число α. Приклад: 7хА, , 2) Перемноження матриць. Операція множення двох матриць вводиться тільки для випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Приклад: ,, АхВ = Властивості множення матриць: А * (В * С) = (А * В) * С; А*(В+С) = АВ+АС (А+В)*С=АС+ВС; а(АВ) = (аА)В, (A+B) T =A T +B T (АВ) Т = В T А T 3) Додавання, віднімання. Сумою (різністю)-матриць є матриця, елементами якої є сума (різниця) елементів вихідних матриць. c ij = a ij b ij З = А + В = В + А. Безперервність функцій у точці, на інтервалі, відрізку. Точки розриву функцій та його класифікація. Функція f(x), визначена в околиці деякої точки х 0 називається безперервною в точці х 0 якщо межа функції і її значення в цій точці рівні, тобто. Функція f(x) називається безперервною в точці х 0 якщо для будь-якого позитивного числа e>0 існує таке число D>0, що для будь-яких х, що задовольняють умові вірна нерівність Функція f(x) називається безперервною в точці х = х 0 якщо прирощення функції в точці х 0 є нескінченно малою величиною. f(x) = f(x 0) +a(x) де a(х) – нескінченно мала за х®х 0 . Властивості безперервних функцій. 1) Сума, різницю та добуток безперервних у точці х 0 функцій – є функція, безперервна у точці х 0 . 2) Приватне двох безперервних функцій – є безперервна функція за умови, що g(x) не дорівнює нулю у точці х 0 . 3) Суперпозиція безперервних функцій – є безперервна функція. Ця властивість може бути записана наступним чином: Якщо u=f(x),v=g(x) – безперервні функції у точці х = х 0 , то функціяv=g(f(x)) – теж безперервна функція у цій точці. Функція f(x) називається безперервної на інтервалі(a,b), якщо вона безперервна у кожній точці цього інтервалу. Властивості функцій, безперервних на відрізку. Функція, безперервна на відрізку, обмежена цьому відрізку, тобто. на відрізку виконується умова –M f(x) M. Доказ цієї властивості заснований на тому, що функція, безперервна в точці х 0 , обмежена в деякій її околиці, а якщо розбивати відрізок на нескінченну кількість відрізків, які "стягуються" до точки х 0 то утворюється деяка околиця точки х 0 . Функція, безперервна на відрізку , приймає у ньому найбільше і найменше значення. Тобто. існують такі значення х 1 і х 2 що f(x 1) = m, f(x 2) = M, причому m f(x) M Відзначимо ці найбільші та найменші значення функція може приймати на відрізку і кілька разів (наприклад, f(x) = sinx). Різниця між найбільшим та найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку. Функція, безперервна на відрізку, приймає цьому відрізку всі значення між двома довільними величинами. Якщо функція f(x) безперервна в точці х = х 0 існує певна околиця точки х 0 , в якій функція зберігає знак. Якщо функція f(x)- безперервна на відрізку і має кінцях відрізка значення протилежних знаків, існує така точка всередині цього відрізка, де f(x) = 0. Можливо, буде корисно почитати:
(1.1) + 
= 
де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O = 
(1.7)
(1.9)
У діалозі задайте число рядків і стовпців матриці.
Рис.2 Транспонування матриць
У MathCAD можна складати матриці, так і віднімати їх один з одного. Для цих операторів використовуються символи <+>
або <->
відповідно. Матриці повинні мати однакову розмірність, інакше буде видано повідомлення про помилку. Кожен елемент суми двох матриць дорівнює сумі відповідних елементів матриць-доданків (приклад на рис.3).
Крім складання матриць, MathCAD підтримує операцію додавання матриці зі скалярною величиною, тобто. числом (приклад рис.4). Кожен елемент результуючої матриці дорівнює сумі відповідного елемента вихідної матриці і скалярної величини.
Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу зі зірочкою<*>або скористатися панеллю інструментів Matrix (Матриця),натиснувши на ній кнопку Dot Product (Умноження)(Рис.1). Множення матриць позначається за умовчанням точкою, як показано в прикладі на рис 6. Символ множення матриць можна вибирати так само, як і в скалярних виразах.
Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицю-рядок і, навпаки, рядки на вектор, наведено на рис. 7. У другому рядку цього прикладу показано, як виглядає формула при виборі відображення оператора множення No Space (Разом).Однак той же оператор множення діє на два вектори по-іншому .
Складання та віднімання матриць.
Множення матриці на число.
Добуток двох матриць.
Деякі характеристики операцій над матрицями.
= E
,
- симетрична матриця
називається діагональноїматрицею.
; B = 
, знайти 2А+В.
, 2А + В = 
.
.
А Е = Е А = А
А(В + С) = АВ + АС
; В = А Т = 
;
, В = , С = 
та число = 2. Знайти АТ + С.
;
A T B =
=
=
;
; А Т В+ С = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, В = 
= 
= 
.
називається число, яке може бути обчислено за елементами матриці за формулою:
, де (1)
ормула (1) дозволяє обчислити визначник матриці по першому рядку, також справедлива формула обчислення визначника по першому стовпцю:
(2)
, i = 1,2, ..., n. (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.Запитання 2.
.