Прийоми та методи порівняння логарифмів. Порівняння чисел

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com


Підписи до слайдів:

Властивості монотонності логарифму. Порівняння логарифмів. Алгебра 11 клас. Виконала вчитель математики: Кінзябулатова Лілія Анасівна м. Листопад, 2014р.

y= log a x , де a>0; a≠1. а) Якщо a> 1 то y = log a x - зростаюча б) Якщо 0

Способи порівняння логарифмів. ① Властивість монотонності Порівняти log a b log a c основи дорівнюють a Якщо a> 1, то y= log a t – зростаюча, тоді з b> с = > log a b > log a c ; Якщо 0 з = > log a b log 1/3 8;

Способи порівняння логарифмів. ② Графічний спосіб Порівняти log a b log з b основи різні, числа рівні b 1) Якщо a> 1; з > 1, то y = log a t, y = log з t - вік. а) Якщо a> с, b>1, то log a b log з b

Способи порівняння логарифмів. ② Графічний спосіб Порівняти log a b log з b основи різні, числа рівні b 2) Якщо 0 с, b>1 , то log a b > log з b б) Якщо a

Способи порівняння логарифмів. ② Графічний спосіб Порівняти log a b log з b основи різні, числа рівні b Приклади log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Log 0,3 0,6

Способи порівняння логарифмів. ③ Функції різної монотонності a>1 y=log a x – зростає 0 1, то log a c > log b d б) Якщо 0 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2

Способи порівняння логарифмів. ⑤ Метод оцінки log 3 5 log 4 17 1 > > > >

Способи порівняння логарифмів. ⑦ Порівняння з серединою відрізка log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони стали для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простим та доступним мовою.

Визначення в математиці

Логарифмом називається вираз наступного виду: log a b=c, тобто логарифмом будь-якого невід'ємного числа (тобто будь-якого позитивного) "b" за його основою "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести основу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 у ступені 3 відповідає у відповідь число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема видається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній зміст і запам'ятати їхню власність і деякі правила. Існує три окремі види логарифмічних виразів:

  1. Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
  2. Десятковий a де підставою служить число 10.
  3. Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій за їх рішення.

Правила та деякі обмеження

У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо отримати корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

  • основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій зміст, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
  • якщо а > 0, то і а b > 0, виходить, що і "з" має бути більшим за нуль.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши до якого число десять ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, 10 2 =100.

А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значень знадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, яку зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння та нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати як логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо як логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.

Дано вираз наступного виду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністю, тому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень розрив цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або набір чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.

  1. Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
  2. Логарифм твору можна подати в наступній формулі: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 і s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 тоді а f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
  3. Логарифм приватного має такий вигляд: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теорема у вигляді формули набуває наступного вигляду: log a q b n = n/q log a b.

Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Погляньмо на доказ.

Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;

але оскільки a tn = (a q) nt / q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.

Приклади завдань та нерівностей

Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкової частини іспитів з математики. Для вступу до університету чи складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

На жаль, єдиного плану чи схеми з вирішення та визначення невідомого значення логарифму не існує, проте до кожної математичної нерівності чи логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.

Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому основа 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо розв'язання логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

  1. Властивість логарифму твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерозв'язне вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні у частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частини З (найскладніші і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".

Приклади та розв'язання завдань взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.

  • Всі логарифми найкраще приводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
  • Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій. Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .

Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій вельми проблематично. Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).

Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.

Але чи завжди так легко? Де на числовій осі ми відзначимо, .

Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому-то і загвоздка...)

Для початку поговоримо загалом як і що порівнювати.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, та не можназводити квадрат, якщо одна з частин негативна.

Порівняння дробів

Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.

Є кілька варіантів, як це зробити.

Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.

Запишемо у вигляді звичайного дробу:

- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник та знаменник).

Тепер нам необхідно порівняти дроби:

Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:

  1. просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):

    Яка кількість більша? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.

  2. «відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:

    Наводимо їх також до спільного знаменника:

    Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:

    Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
    1)
    2)

Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу - порівняння дробів, приводячи їх до загального... чисельника.

Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.

Так Так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне запитання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".

Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, у другому випадку шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Однак для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?

А знак той самий.

Повернемося до нашого початкового завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до спільного чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:

в. Який дріб більший? Правильно, перша.

Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.

Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшується) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.

У нашому випадку спробуємо з другого відняти перший дріб: .

Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той же результат. Наш вираз набуває вигляду:

Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:

Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження в чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає простіше.

Наводимо до спільного знаменника:

Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми забирали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.

Розібрався? Спробуй порівняти дроби:

Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника або віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?

Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.

Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.

Так Так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.

Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.

Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:

Розділимо перший дріб на другий:

Скоротимо на та на.

Отриманий результат менше, значить ділене менше дільника, тобто:

Ми розібрали усі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:

  • приведення до спільного знаменника;
  • приведення до загального чисельника;
  • приведення до виду десяткового дробу;
  • віднімання;
  • розподіл.

Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:

Порівняємо відповіді:

  1. (- Перекласти в десятковий дріб)
  2. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник)
  3. (Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
  4. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).

2. Порівняння ступенів

Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().

Звичайно, ти легко поставиш знак:

Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:

З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:

Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:

Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення…

Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.

Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:

Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:

Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:

Дещо особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.

Якщо, то з двох ступенів і більша та, показник якої менший.

Спробуємо довести це правило. Нехай.

Введемо деяке натуральне число, як різницю між і.

Логічно, чи не так?

А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.

Відповідно: . Отже, .

Наприклад:

Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли рівні рівнів. Тепер подивимося, коли основа знаходиться в проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.

Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:

Звичайно, ти швидко порахував:

Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.

Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти домножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).

Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:

Давай потренуємось. Порівняй ступеня:

Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:

  1. - те саме, що
  2. - те саме, що
  3. - те саме, що
  4. - те саме, що

3. Порівняння чисел з коренем

Для початку пригадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?

Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.

Коріннянепарною мірою існують для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.

Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.

Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять. Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.

Допустимо, нам необхідно порівняти:

Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.

А що більше? чи? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.

Отже. Виведемо правило.

Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені вирази (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.

Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?

Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.

А що, якщо підкорені вирази однакові, а от ступеня коріння різні? Наприклад: .

Теж цілком зрозуміло, що з добуванні кореня більшою мірою вийде менше число. Візьмемо для прикладу:

Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:

Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:

Якщо підкорені вирази однакові(у нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більший показник, тим менший цей вираз.

Спробуй порівняти наступне коріння:

Порівняємо отримані результати?

Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього ... «позбутися» кореня. Так Так. Саме позбутися)

Якщо у нас різні і ступені та підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази в ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.

Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:

  1. Дивимося показники коренів – в. Найменше загальне кратне у них - .
  2. Зведемо обидва вирази в ступінь:
  3. Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
  4. Вважаємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:

4. Порівняння логарифмів

Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:

  1. Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
  2. Від чого залежить, чи зростає функція чи зменшується?

Якщо все пам'ятаєш і добре засвоїв - приступаємо!

Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:

  • приведення до однакової основи;
  • приведення до однакового аргументу;
  • порівняння із третім числом.

Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, що якщо вона менша, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.

Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.

Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні підстави. Тоді:

  1. Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
  2. Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
  3. Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .

Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.

  1. Підстава більша.
    • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, в. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
  2. Основа знаходиться в проміжку.
    • . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
    • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:

Запишемо все у загальному табличному вигляді:

, при цьому , при цьому

Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.

Можна також порівнювати логарифми з третім числом і на підставі цього робити висновок, що менше, а що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?

Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.

Подумав? Давай вирішувати разом.

Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:

Не знаєш, як? Дивись вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:

Згоден?

Порівняємо між собою:

У тебе має вийти таке:

А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?

5. Порівняння тригонометричних виразів.

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні вирази між собою для тебе не складає труднощів!

Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у неї трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це ставлення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих – простав, де в нас буде, де і так далі. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.

Фух! А тепер приступаємо до порівняння!

Припустимо, нам необхідно порівняти в. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.

Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь… Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:

Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.

Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь… Правильно. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну чи вище, як у випадку з синусами), то значення і більше.

Мабуть, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.

Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:

Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:

А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповіді буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?

А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.

То значення якого тригонометричного виразу більше?

Правильно:

Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.

Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:

приклади.

Відповіді.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?

Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.

Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.

Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий знак нерівності (). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.

Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:

  • додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
  • «перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин один із порівнюваних виразів. На місці віднімання виразу залишиться: .
  • домножувати чи ділити одне й те число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
  • зводити обидві частини в один і той самий ступінь. Якщо цей ступінь – парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні в ступінь знак не змінюється, і якщо негативні, тоді змінюється протилежний.
  • витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо витягаємо корінь парного ступеня, необхідно попередньо переконатися, що обидва вирази невід'ємні.
  • будь-які інші рівносильні перетворення.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.

Розберемо кілька типових ситуацій.

1. Зведення на ступінь.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбавитися тільки квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:

2. Множення на сполучене.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:

Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:

3. Віднімання

Згадаймо, що.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:

Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.

Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.

Але будь уважним! У нас питали що більше...

Права частина більша.

приклад.

Порівняйте числа і.

Рішення.

Згадуємо формули тригонометрії:

Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.

4. Розподіл.

Тут також використовуємо просте правило: .

При або, тобто.

При знак змінюється: .

приклад.

Виконай порівняння: .

Рішення.

5. Порівняйте числа з третім числом

Якщо і, то (закон транзитивності).

приклад.

Порівняйте.

Рішення.

Порівняємо числа не один з одним, а з числом.

Очевидно, що.

З іншого боку, .

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше за інше. Наприклад, . Перевіримо:

6. Що робити з логарифмами?

Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Також можемо додати правило про логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Пояснити його можна так: чим більше підстава, тим менший ступінь його доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.

приклад.

Порівняйте числа: і.

Рішення.

Відповідно до вищеописаних правил:

А тепер формула для сучасних.

Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

приклад.

Порівняйте, яке з чисел більше: .

Рішення.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Зведення у ступінь

Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня

2. Множення на сполучене

Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - Сполучене для і навпаки, т.к. .

3. Віднімання

4. Поділ

При або тобто

При змінюється:

5. Порівняння з третім числом

Якщо і, то

6. Порівняння логарифмів

Основні правила:

Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

  1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
  2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

    Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

    Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

    Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

    Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

    Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

    Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

    Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

    Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

    Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

    Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

    Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

    Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

    Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

    Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .

    Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

    Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: .

    Ось приклад використання цієї властивості: .

    Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.

    Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

    Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

    Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

    Також часто використовується формула яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: .

    Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

    Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b1 і b2, b1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

    Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

    Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список літератури.

  • Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
  • Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

основними властивостями.

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4+log6 9.

Тепер трохи ускладнимо завдання.

Приклади вирішення логарифмів

Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x >

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нової основи

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:


Основні властивості логарифму

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.


Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.

3.

4. де .



Приклад 2. Знайти х, якщо


Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо




Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми – приклади рішення.

Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

  1. logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
  2. loga 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b на підставі a позначають вираз . Обчислити логарифм означає знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифму

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання та приклади пов'язані з логарифмами. Інші екзотичні властивості можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Інші дещо складні, але у ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з поширених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм на основі десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg(x).

Із запису видно, що основи запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм – це логарифм, у якого за основу експонента (позначають ln(x)).

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм на основі два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл чи первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас завдань, пов'язаних з логарифмами та логарифмування. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів зі шкільної програми та ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

4. де .

На вигляд складне вираження з використанням низки правил спрощується до вигляду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Рішення: Прологарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків


На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями лише починається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи розв'язання таких рівнянь, ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої ​​теми — логарифмічні нерівності.

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

  1. logax + logay = loga (x · y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

  1. logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
  2. loga 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.



 

Можливо, буде корисно почитати: