Сніжинка коха побудова. Як намалювати сніжинку Коха, фото-схеми, як виглядає сніжинка Коха? Розмітка інтерфейсу користувача в середовищі розробки програм

Тема: Фрактали.

1. Введення. Коротка історична довідка про фрактали. 2.Фрактали – елементи геометрії у природі.

3.Объекты, які мають фрактальними властивостями, у природі. 4.Визначення термінології «фрактали».

5.Класи фракталів.

6.Опис фрактальних процесів. 7.Процедури отримання фрактальних множин.

8.1 Ламана Коха (процедура отримання).

8.2 Сніжинка Коха (Фрактал Коха).

8.3 Губки Менгера.

9. Приклади застосування фракталів.

Вступ. Коротка історична довідка про фрактали.

Фрактали – молодий розділ дискретної математики.

У 1904 року швед Кох вигадав безперервну криву, яка ніде не має дотичної – крива Коха.

У 1918 року француз Жюліа описав ціле сімейство фракталів.

У 1938 року П'єр Леві опублікував статтю «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого».

У 1982 року Бенуа Мандельброта опублікував книгу «Фрактальна геометрія природи».

З допомогою простих конструкцій та формул виходять зображення. З'явився «фрактальний живопис».

З 1993 р. у World Scientific видає журнал «Фрактали».

Фрактали – елементи геометрії у природі.

Фрактали – засоби для опису таких об'єктів як моделі гірських хребтів, порізаної берегової лінії, систем кровообігу безлічі капілярів та судин, крони дерев, каскадних водоспадів, морозні візерунки на склі.

Або такі: лист папороті, хмари, ляпки.

Зображення таких предметів можна подати за допомогою фрактальної графіки.

Об'єкти, що мають фрактальні властивості, в природі.

КоралиМорські зірки та їжачкиМорські раковини

Квіти та рослини (броколі, капуста) Плоди (ананас)

Крони дерев та листя рослин Кровоносна системата бронхи людей та тварин У неживій природі:

Кордони географічних об'єктів (країн, областей, міст)Берегові лінії Гірські хребти Сніжинки Хмари Блискавки

Узори, що утворюються на скла, Кристали Сталактити, сталагміти, геліктити.

Визначення термінології "фрактали".

Фрактали - це геометричні фігури, які задовольняють одній або декільком з таких властивостей:

Має складну нетривіальну структуру при будь-якому збільшенні (на всіх масштабах); Є (приблизно) самоподібною.

Має дробову хаусдорфову (фрактальну) розмірність або перевершує топологічну; Може бути побудована рекурсивними процедурами.

Для регулярних фігур таких, як коло, еліпс, графік гладкої функціїневеликий фрагмент у дуже великому масштабі схожий на фрагмент прямий. Для фрактал збільшення масштабу не веде до спрощення структури, для всіх масштабів ми побачимо однаково складні картини.

Класи фракталів

Фрактал – структура, що з частин (субструктур), подібних целому.

Частину фракталів як елементів природи можна віднести до класу геометричних (конструктивних) фракталів.

Решта може бути віднесена до класу динамічних фракталів (алгебраїчних).

Процедури отримання фрактальних множин.

Це проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих: задають довільну ламану з кінцевим числом ланок – генератор. Далі замінюють у ній кожен відрізок генератор. Потім знову замінюють у ній кожен відрізок генератором і так до безкінечності.

Зображено: поділ одиничного відрізка на 3 частини (а), одиничного квадратного майданчика на 9 частин (б), одиничного куба на 27 частин (в) та на 64 частини (г). Число частин n, коефіцієнт масштабування – k, а розмірність простору – d. Маємо такі співвідношення: n = kd,

якщо n = 3, k = 3, то d = 1; якщо n = 9, k = 3, то d = 2; якщо n=27, k=3, то d=3.

якщо n = 4, k = 4, то d = 1; якщо n = 16, k = 4, то d = 2; якщо n = 64, k = 4, то d = 3. Розмірність простору виражається цілими числами: d = 1, 2, 3; для n = 64, величина d дорівнює

Показано п'ять кроків побудови ламаної Коха: відрізок одиничної довжини (а), ділиться на три частини (k = 3), із чотирьох частин (n = 4) – ламана (б); кожен прямий відрізок ділиться втричі частини (k2 = 9) і з 16 частин (n2 = 16) – ламана (в); процедура повторюється для k3 = 27 і n3 = 64 - ламана (г); для k5 = 243 і n5 = 1024 - ламану (д).

Розмірність

Це дробова, чи фрактальна розмірність.

Ламана Коха, запропонована Гельгом фон Кохом у 1904 р., виступає у ролі фракталу, який підходить для моделювання порізаності берегової лінії. Мандельброт алгоритм побудови берегової лінії вніс елемент випадковості, який, проте, не вплинув на основний висновок щодо довжини берегової лінії. Оскільки межа

Довжина берегової лінії за рахунок нескінченної порізаності берега прагне нескінченності.

Процедура згладжування берегової лінії під час переходу від детальнішого масштабу до менш детальному, тобто.

Сніжинка Коха (фрактал Коха)

Як основи побудови можна брати не відрізки одиничної довжини, а рівносторонній трикутник, на кожний бік якого поширити процедуру множення порізаності. У цьому випадку отримаємо сніжинку Коха (рис.), причому трьох видів: трикутники, що знову утворюються, спрямовані тільки назовні від попереднього трикутника (а) і (б); тільки всередину (в); випадковим чином або назовні, або всередину (г) та (д). Як можна ставити процедуру побудови фракталу Коха.

Мал. Сніжинка Коха

На рис. показано дві векторні діаграми; числа, що стоять над стрілками, мабуть, викличуть питання: що вони означали? Вектор 0 збігається з позитивним напрямом осі абсцис, тому що його фазовий множник exp (i2πl/6) при l = 0 зберігає його напрямок. Вектор 1 повернутий щодо вектора 0 на кут 2π/6, коли l= 1. Вектор 5 має фазовий множник exp (i2π5/6), l = 5. Останній вектор має той же фазовий множник, що і перший (l = 0). Цілі числа l характеризують кут фазового множника одиничного вектора.

Перший крок (рис.), задає рекурсивну процедуру всім наступних кроків і, зокрема, другого кроку (рис.). Як перейти від набору чисел φ1 = (0 1 5 0) до φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Відповідь: через пряме перемноження матриць, коли кожен елемент матриці множиться на вихідну матрицю. Оскільки у разі маємо справу з одномірним масивом, тобто. матриці є векторами, то тут проводиться множення кожного елемента однієї матриці-вектора на всі елементи іншої матриці-вектора. Крім того, елементи матриці-вектора φ1 складаються з показових функцій exp (i2πl/6), отже,10 при перемноженні числа h потрібно буде складати mod (6), а не множити.

Крива Коха

Сніжинки Коха

Для побудови сніжинки Коха виконаємо наступні операції. Розглянемо як нульову ітерацію рівносторонній трикутник.


Потім кожну зі сторін цього трикутника розділимо на три рівні частини, приберемо середню частину і всередині добудуємо рівносторонній трикутник так, як зображено на рис. На наступному кроці такій же процедурі розподілу на три рівні частини і добудовування рівностороннього трикутника піддається кожна зі сторін нової фігури, і так до безкінечності. В результаті виникає симетрична, схожа на сніжинку, нескінченно зламана крива, яка є самоподібною множиною, званою сніжинкою Коха. Вона була так названа на честь шведського математика Helge von Koch, який вперше описав її в 1904 році. "зіштовхуються" один з одним.

Підрахуємо її фрактальну розмірність. Візьмемо як довжину сторони вихідного трикутника l= 1, фрагмент буде складатися з чотирьох відрізків, кожної довжини 1/3 і, отже, загальної довжини 4/3. На наступному кроці отримуємо ламану, що складається з 16 відрізків і має загальну довжину 16/9 або т. д. Від сюди слідує, що фрактальна розмірність дорівнює

Ця величина більше одиниці (топологічної розмірності лінії), але менша за Евклідову розмірність площини, d = 2, на якій розташована крива. Звернемо увагу на те, що крива, що отримується в результаті n-ї ітерації при будь-якому кінцевому n, називається предфракталом, і лише при n, що прагне до нескінченності, крива Коха стає фракталом. Таким чином, сніжинка Коха є лінією нескінченної довжини, що обмежує кінцеву площу. Використовуючи визначення фракталу, сміливо стверджувати, що це безліч – фрактал.

Ця постать - один із перших досліджених вченими фракталів. Вона виходить із трьох копій кривий Коха, яка вперше з'явилася у статті шведського математика Хельге фон Коха у 1904 році. Ця крива була придумана як приклад безперервної лінії, до якої не можна провести дотику в жодній точці. Лінії з такою властивістю були відомі і раніше (Карл Вейєрштрас побудував свій приклад ще в 1872 році), але крива Коха чудова простотою своєї конструкції. Не випадково його стаття називається «Про безперервну криву без дотичних, яка виникає з елементарної геометрії».

Малюнок та анімація чудово показують, як по кроках будується крива Коха. Перша ітерація – просто початковий відрізок. Потім він ділиться втричі рівні, центральна добудовується до правильного трикутника і потім викидається. Виходить друга ітерація - ламана лінія, що складається із чотирьох відрізків. До кожного з них застосовується така сама операція, і виходить четвертий крок побудови. Продовжуючи в тому ж дусі, можна отримувати нові і нові лінії (всі вони будуть ламаними). А те, що вийде у межі (це вже буде уявний об'єкт), і називається кривою Коха.

Основні властивості кривої Коха

1. Вона безперервна, але ніде не диференційована.Грубо кажучи, саме для цього вона і була придумана – як приклад такого роду математичних «виродків».

2. Має нескінченну довжину.Нехай довжина вихідного відрізка дорівнює 1. На кожному кроці побудови ми замінюємо кожен із складових лінію відрізків на ламану, яка в 4/3 рази довша. Значить, і довжина всієї ламаної на кожному кроці множиться на 4/3: довжина лінії з номером nдорівнює (4/3) n-1. Тому граничної лінії нічого не залишається, окрім як бути нескінченно довгою.

3. Сніжинка Коха обмежує кінцеву площу.І це при тому, що її периметр нескінченний. Ця властивість може здатися парадоксальною, але вона очевидна - сніжинка повністю поміщається в коло, тому її площа свідомо обмежена. Площу можна порахувати, і для цього навіть не потрібно особливих знань – формули площі трикутника та суми геометричної прогресії проходять у школі. Для тих, хто цікавиться, обчислення наведено нижче дрібним шрифтом.

Нехай сторона вихідного правильного трикутника дорівнює a. Тоді його площа. Спочатку сторона дорівнює 1, а площа: . Що відбувається зі збільшенням ітерації? Можна вважати, що до наявного багатокутника прилаштовуються маленькі рівносторонні трикутнички. Вперше їх всього 3, а кожного наступного разу їх у 4 рази більше, ніж було в попередній. Тобто на n-м кроці буде добудовано T n= 3 · 4 n-1 Трикутнички. Довжина сторони кожного з них становить третину сторони трикутника, добудованого на попередньому кроці. Значить, вона дорівнює (1/3) n. Площі пропорційні квадратам сторін, тому площа кожного трикутника дорівнює . При великих значеннях nце, до речі, обмаль. Сумарний вклад цих трикутників у площу сніжинки дорівнює T n · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 . Тому після n-го кроку площа фігури дорівнюватиме сумі S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n· S n = . Сніжинка виходить після нескінченної кількості кроків, що відповідає n→ ∞. Виходить нескінченна сума, але це сума спадної геометричної прогресії, для неї є формула: . Площа сніжинки дорівнює.

4. Фрактальна розмірністьдорівнює log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Акуратне обчислення вимагатиме чималих зусиль та докладних роз'яснень, тому тут наведено, скоріше, ілюстрацію визначення фрактальної розмірності. З формули статечної залежності N(δ ) ~ (1/δ )D, де N- число квадратиків, що перетинаються, δ - їх розмір, а D- Розмірність, отримуємо, що D= log 1/ δ N. Ця рівність вірна з точністю до додавання константи (однієї і тієї ж для всіх δ ). На малюнках зображено п'яту ітерацію побудови кривої Коха, зеленим зафарбовані квадратики сітки, які з нею перетинаються. Довжина вихідного відрізка дорівнює 1 тому на верхньому малюнку довжина сторони квадратиків дорівнює 1/9. Зафарбовано 12 квадратиків, log 9 12 ≈ 1,130929... . Поки що не дуже схоже на 1,261859... . Дивимося далі. На середньому малюнку квадратики вдвічі менші, їх розміри 1/18, забарвлено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Вже краще. Внизу квадратики ще вдвічі менші, зафарбовано вже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Ще ближче. Далі потрібно збільшувати номер ітерації і одночасно зменшувати квадратики, тоді «емпіричне» значення розмірності кривої Коха буде неухильно наближатися до log 3 4, а в межі взагалі збігатиметься.

Крива Коха - фрактальна крива, описана 1904 року шведським математиком Хельге фон Кохом. Три копії кривої Коха, побудовані (вістрями назовні) на сторонах правильного трикутника, утворюють замкнуту криву, звану сніжинкою Коха.

У мене часом бувають заскаки, ​​коли хочеться якусь матюку. Завдання запрограмувати. Цього разу вирішив із фракталами повозитися. А саме зі сніжинкою Коха.

Сніжинка Коха

Цей фрактал - один із перших досліджених вченими. Він виходить із трьох копій кривої Коха, яка вперше з'явилася у статті шведського математика Хельге фон Коха у 1904 році. Ця крива була придумана як приклад безперервної лінії, до якої не можна провести дотику в жодній точці.

Основні властивості кривої Коха:

  1. Вона безперервна, але ніде не диференційована.
  2. Має нескінченну довжину. Нехай довжина вихідного відрізка дорівнює 1. На кожному кроці побудови ми замінюємо кожен із складових лінію відрізків на ламану, яка в 4/3 рази довша. Отже, і довжина всієї ламаної на кожному кроці множиться на 4/3: довжина лінії з номером n дорівнює (4/3)n–1. Тому граничної лінії нічого не залишається, окрім як бути нескінченно довгою.
  3. Сніжинка Коха обмежує кінцеву площу. І це при тому, що її периметр нескінченний. Ця властивість може здатися парадоксальною, але вона очевидна - сніжинка повністю поміщається в коло, тому її площа свідомо обмежена.

Трохи математики

Досить цікаво іноді згадати найпростіші матюки. перетворення (: У цьому випадку необхідно було освіжити знання про вектори та трансформацію точок у площині.

Зокрема, як повернути точку щодо іншої точки:

Ну і необхідно знати, як знайти точку на відрізку, віддалену на якусь відстань від точки, знаючи цю відстань та координати точок. Методів так багато. Можна знайти координати прямий, що містить ці точки, а потім підставляти в рівняння. Можна обчислити координати за допомогою вектора.

Виглядає якось так.



 

Можливо, буде корисно почитати: