Trigonometrik funksiyalar grafiklarini geometrik o'zgartirishlar. Trigonometrik funksiyalar grafiklari, grafiklarni o'zgartirish

MAVZU: Trigonometrik funksiyalar grafiklarini modul bilan o'zgartirish.

MAQSAD: Shaklning trigonometrik funksiyalarining grafiklarini olishni ko'rib chiqish

y= f(|x|) ;y = | f(x)| .

Matematik mantiq va e'tiborni rivojlantirish.

Darslar davomida:

Org. lahza: Darsning mavzusi, maqsad va vazifalarini e'lon qilish.

O'qituvchi: Bugun biz y = sin |x| funksiyalarning grafiklarini qurishni o'rganishimiz kerak; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |Acos x +b| y = f(|x|) va y = |f(x)| ko'rinishdagi transsendental funktsiyalarni o'zgartirish haqidagi bilimlarimizdan foydalanib. . Siz "nima uchun?" deb so'raysiz. Haqiqat shundaki, bu holda funktsiyalarning xususiyatlari o'zgaradi, ammo ma'lumki, bu grafikda eng yaxshi ko'rinadi.

Keling, ta'rif yordamida ushbu funktsiyalar qanday yozilishini eslaylik

Bolalar: f(|x|) =

|f(x)| =

O'qituvchi: Shunday qilib, y = funksiyasining grafigini tuzishf(|x|), funksiyaning grafigi ma'lum bo'lsa

y=f{ x), siz y \u003d funktsiyasi grafigining o'sha qismini qoldirishingiz kerakf(x), qaysi

y = funksiya sohasining manfiy bo'lmagan qismiga mos keladif(x). Buni aks ettiruvchi

qismi y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, biz grafikning mos keladigan boshqa qismini olamiz

ta'rif sohasining salbiy qismi.

Ya'ni, diagrammada u quyidagicha ko'rinadi: y = f (x)

(Bu grafiklar doskada qurilgan. Bolalar daftarda)

1-rasm. Y = sin x

2-rasm. Y = sin |x|

Endi Y = |sin x | funksiyalarini chizamiz va Y = |2 sin x + 2|

y = \ funksiyasining grafigini tuzishf(x)\, agar y \u003d funktsiyasining grafigi ma'lum bo'lsaf(x), siz uning qismini qayerda qoldirishingiz kerakf(x) > HAQIDA, va uning x o'qiga nisbatan boshqa qismini simmetrik tarzda ko'rsatish, bu erdaf(x) < 0.

10-sinfda algebra darsining qisqacha mazmuni va tahlil boshlanishi

Mavzu bo'yicha: "Trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini konvertatsiya qilish"

Darsning maqsadi: "Y \u003d sin (x), y \u003d cos (x) trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari va grafiklari" mavzusidagi bilimlarni tizimlashtirish.

Dars maqsadlari:

y \u003d sin (x), y \u003d cos (x) trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlarini takrorlash;
qisqartirish formulalarini takrorlang;
trigonometrik funksiyalarning grafiklarini konvertatsiya qilish;
e'tiborni, xotirani rivojlantirish, mantiqiy fikrlash; aqliy faoliyatni, tahlil qilish, umumlashtirish va fikr yuritish qobiliyatini faollashtirish;
mehnatsevarlikka, maqsadga erishishda tirishqoqlikka, fanga qiziqishni tarbiyalash.

Dars jihozlari: ct

Dars turi: yangi o'rganish

Darslar davomida

Dars boshlanishidan oldin doskada 2 nafar o‘quvchi uy vazifasi bo‘yicha grafik tuzadilar.

Tashkilot vaqti:

Salom bolalar!

Bugun darsda biz y \u003d sin (x), y \u003d cos (x) trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini aylantiramiz.

Og'zaki ish:

Uy vazifasini tekshirish.

jumboqlarni yechish.

Yangi materialni o'rganish

Funktsiya grafiklarining barcha o'zgarishlari universaldir - ular barcha funktsiyalarga, shu jumladan trigonometriklarga ham mos keladi. Bu erda biz grafiklarning asosiy o'zgarishlarini qisqacha eslatish bilan cheklanamiz.

Funksiyalar grafiklarini transformatsiya qilish.

y \u003d f (x) funktsiyasi berilgan. Biz ushbu funktsiyaning grafigidan barcha grafiklarni qurishni boshlaymiz, keyin u bilan amallarni bajaramiz.

Funktsiya

Jadval bilan nima qilish kerak

y = f(x) + a

Birinchi grafikning barcha nuqtalarini birlik yuqoriga ko'taramiz.

y = f(x) – a

Birinchi grafikning barcha nuqtalari birlik pastga tushiriladi.

y = f(x + a)

Birinchi grafikning barcha nuqtalarini birlik bilan chapga siljitamiz.

y = f (x - a)

Birinchi grafikning barcha nuqtalarini o'ngga birlik bilan siljitamiz.

y = a*f(x),a>1

Biz nollarni joyiga o'rnatamiz, biz yuqori nuqtalarni bir marta yuqoriga siljitamiz, pastki nuqtalarni bir marta pastga tushiramiz.

Grafik yuqoriga va pastga "cho'ziladi", nollar joyida qoladi.

y = a*f(x), a<1

Biz nollarni tuzatamiz, yuqori nuqtalar bir marta pastga tushadi, pastki nuqtalar bir marta ko'tariladi. Grafik x o'qiga "qisqaradi".

y=-f(x)

X o'qi haqidagi birinchi grafikni aks ettiring.

y = f(ax), a<1

Y o'qi ustidagi nuqtani mahkamlang. X o'qidagi har bir segment bir marta ko'payadi. Grafik y o'qidan turli yo'nalishlarda cho'ziladi.

y = f(ax), a>1

Ordinata o'qidagi nuqtani mahkamlang, abscissa o'qidagi har bir segment bir marta kamayadi. Grafik har ikki tomondan y o'qiga "qisqaradi".

y= | f(x)|

Grafikning x o'qi ostida joylashgan qismlari aks ettirilgan. Butun grafik yuqori yarim tekislikda joylashgan bo'ladi.

Yechim sxemalari.

1)y = sin x + 2.

Biz y \u003d sin x grafigini quramiz. Grafikning har bir nuqtasini 2 birlikka (nol ham) yuqoriga ko'taramiz.

2)y \u003d cos x - 3.

Biz y \u003d cos x grafigini quramiz. Grafikning har bir nuqtasini 3 birlik pastga tushiramiz.

3)y = cos (x - /2)

Biz y \u003d cos x grafigini quramiz. Biz barcha nuqtalarni n/2 o'ngga o'tkazamiz.

4) y = 2 gunoh x.

Biz y \u003d sin x grafigini quramiz. Biz nollarni joyida qoldiramiz, yuqori nuqtalarni 2 marta ko'taramiz, pastki qismini bir xil miqdorda tushiramiz.

AMALIY ISH Advanced Grapher dasturi yordamida trigonometrik funksiyalarning grafigini tuzish.

y = -cos 3x + 2 funksiya grafigini tuzamiz.

y \u003d cos x funksiyasini chizamiz.
Buni x o'qi haqida aks ettiring.
Bu grafik x o'qi bo'ylab uch marta siqilishi kerak.
Nihoyat, bunday grafik y o'qi bo'ylab uchta birlik bilan ko'tarilishi kerak.

y = 0,5 sin x.

y=0,2 chunki x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+p).

2) Xatoni toping va uni tuzating.

V. Tarixiy material. Eylerning xabari.

Leonhard Eyler 18-asrning eng buyuk matematigidir. Shveytsariyada tug'ilgan. Uzoq yillar Rossiyada yashab ijod qildi, Sankt-Peterburg akademiyasining a’zosi.

Nega biz bu olimning ismini bilishimiz va eslashimiz kerak?

18-asr boshlariga kelib trigonometriya hali ham yetarlicha rivojlanmagan edi: ramzlar yoʻq edi, formulalar soʻz bilan yozilardi, ularni oʻzlashtirish qiyin edi, aylananing turli choraklarida trigonometrik funksiyalarning belgilari masalasi ham noaniq edi. trigonometrik funktsiyaning argumenti sifatida faqat burchaklar yoki yoylar tushunilgan. Faqat Eylerning asarlarida trigonometriya zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi. Aynan u raqamning trigonometrik funktsiyasini ko'rib chiqishni boshladi, ya'ni. argument nafaqat yoylar yoki darajalar, balki raqamlar sifatida ham tushunila boshlandi. Eyler barcha trigonometrik formulalarni bir nechta asosiy formulalardan chiqarib tashladi, aylananing turli choraklarida trigonometrik funktsiyaning belgilari haqidagi savolni soddalashtirdi. Trigonometrik funksiyalarni belgilash uchun u belgilarni kiritdi: sin x, cos x, tg x, ctg x.

18-asr bo'sag'asida trigonometriyaning rivojlanishida yangi yo'nalish - analitik paydo bo'ldi. Agar bundan oldin trigonometriyaning asosiy maqsadi uchburchaklar yechimi deb hisoblangan bo‘lsa, Eyler trigonometriyani trigonometrik funksiyalar haqidagi fan deb hisoblagan. Birinchi qism: funksiya haqidagi ta’limot funksiyalar to‘g‘risidagi umumiy ta’limotning bir qismi bo‘lib, matematik analizda o‘rganiladi. Ikkinchi qism: uchburchaklar yechimi - geometriya bobi. Bunday yangiliklarni Eyler amalga oshirgan.

VI. Takrorlash

Mustaqil ish "Formula qo'shish".

VII. Dars xulosasi:

1) Bugun darsda qanday yangi narsalarni bilib oldingiz?

2) Yana nimani bilmoqchisiz?

3) Baholash.

24-dars

09.07.2015 5528 0

Maqsad: trigonometrik funksiyalar grafiklarining eng keng tarqalgan o'zgarishlarini ko'rib chiqing.

I. Dars mavzusi va maqsadini bildirish

II. O'tilgan materialni takrorlash va mustahkamlash

1. Uy vazifasi yuzasidan savollarga javoblar (echilmagan masalalarni tahlil qilish).

2. Materialning o'zlashtirilishini nazorat qilish (yozma so'rov).

Variant 1

gunoh x.

2. Funksiyaning bosh davrini toping:

3. Funksiya grafigini tuzing

Variant 2

1. y \u003d funktsiyasining asosiy xossalari va grafigi chunki x.

2. Funktsiyaning asosiy davrini toping:

3. Funksiya grafigini tuzing

III. Yangi materialni o'rganish

1-bobda batafsil tavsiflangan funktsiya grafiklarining barcha o'zgarishlari universaldir - ular barcha funktsiyalarga, shu jumladan trigonometriklarga ham mos keladi. Shuning uchun biz ushbu mavzuni takrorlashni tavsiya qilamiz. Bu erda biz grafiklarning asosiy o'zgarishlarini qisqacha eslatish bilan cheklanamiz.

1. y = funksiyasining grafigini tuzish f(x) + b funksiya grafigini | ga ko'chirish kerak b | y o'qi bo'ylab birliklar - yuqoriga b > 0 va b da pastga< 0.

2. Funksiya grafigini tuzish y = mf(x) (bu erda m > 0) y = funksiya grafigini cho'zish kerak f(x) dan m gacha marta y o'qi bo'ylab. Va uchun m > 1 haqiqatan ham cho'zilish bor m marta, 0 uchun< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. y = funksiyasining grafigini tuzish f (x + a ) funksiya grafigini | ga o'tkazish kerak a | x o'qi bo'ylab birliklar - a da o'ngga< 0 и влево при а > 0.

4. y = funksiyasining grafigini tuzish f(kx ) (bu yerda k > 0) y = funksiya grafigini siqish kerak f(x) dan k marta x o'qi bo'ylab. Va uchun k > 1, albatta, 0 uchun k marta siqilish mavjud< k < 1 – растяжение в 1/ k marta.

5. y = - funksiya grafigini tuzish f(x ) funksiyaning grafigi kerak y=f(x ) x o'qi haqida aks ettiring (bu transformatsiya 2 uchun transformatsiyaning maxsus holatidir m = -1).

6. y = funksiyasining grafigini tuzish f (-x) funksiyaning grafigi kerak y=f(x ) y o'qi haqida aks ettirish uchun (bu transformatsiya 4 uchun transformatsiyaning maxsus holatidir k = -1).

1-misol

y \u003d funktsiyasining grafigini tuzamiz - chunki 3 x + 2.

5-qoidaga muvofiq, bizga y \u003d funktsiyasining grafigi kerak chunki x x o'qi haqida aks ettiring. 3-qoidaga ko'ra, bu grafik x o'qi bo'ylab uch marta siqilishi kerak. Nihoyat, 1-qoidaga ko'ra, bunday grafik y o'qi bo'ylab uchta birlikka ko'tarilishi kerak.

Grafiklarni modullar bilan o'zgartirish qoidalarini eslash ham foydalidir.

1. Funksiya grafigini tuzish y=| f (x)| y \u003d funktsiyasi grafigining bir qismini saqlash kerak f(x ), buning uchun y ≥ 0. Grafikning bu qismi y = f(x ), buning uchun< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. y = funksiyasining grafigini tuzish f (|x|) y \u003d funksiya grafigining bir qismini saqlash kerak f(x ), buning uchun x ≥ 0. Bundan tashqari, bu qism y o'qiga nisbatan chapga simmetrik tarzda aks ettirilishi kerak.

3. |y| tenglamasini tuzish = f (x) y \u003d funktsiyasi grafigining bir qismini saqlash kerak f(x ), buning uchun y ≥ 0. Bundan tashqari, bu qism x o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda pastga aks ettirilishi kerak.

2-misol

|y| tenglamasini tuzamiz = gunoh | x |.

y \u003d funktsiyasining grafigini tuzamiz x uchun sin x ≥ 0. 2-qoidaga ko'ra, bu grafik y o'qiga nisbatan chap tomonda aks ettiriladi. Bunday grafikning y ≥ 0 bo'lgan qismlarini saqlab qolamiz. 3-qoidaga ko'ra, bu qismlar abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik ravishda pastda aks etadi.

Keyinchalik murakkab holatlarda modulning belgilari oshkor qilinishi kerak.

3-misol

y \u003d murakkab funksiyaning grafigini tuzamiz cos(2x + |x |).

Eslatib o'tamiz, kosinus funksiyasining argumenti x o'zgaruvchining funktsiyasidir va shuning uchun bu funktsiya murakkab. Keling, modulning ishorasini kengaytiramiz va olamiz:Ikkita shunday interval uchun funksiya grafigini tuzamiz y (x ). Biz x ≥ 0 uchun y \u003d funktsiyasining grafigini hisobga olamiz chunki 3 x y = funksiyaning grafigidan olingan cos x o'qi bo'ylab 3 marta.

4-misol

Keling, funktsiyani chizamiz

Farqning kvadrati formulasidan foydalanib, funktsiyani shaklda yozamizFunksiya grafigi ikki qismdan iborat. X > 0 uchun y \u003d 1 funktsiyasini chizish kerak. cos X. U y = funksiyaning grafigidan olinadi chunki x abscissa o'qi atrofida aks ettirish va ordinata o'qi bo'ylab 1 birlik yuqoriga siljish.

x ≥ 0 uchun y = ( funksiyasini chizamiz. x -1)2 - 1. y \u003d funksiya grafigidan olingan x2 x o'qi bo'ylab 1 birlikni o'ngga va y o'qi bo'ylab 1 birlikni yuqoriga siljitdi.

IV. Nazorat savollari(oldingi so'rov)

1. Funktsiyalar grafiklarini o'zgartirish qoidalari.

2. Grafiklarni modullar bilan transformatsiya qilish.

V. Darsdagi vazifa

§ 13, № 2 (a, b); 3; 5; 7 (c, d); 8 (a, b); 9(a); 10 (b); 11 (a, b); 13 (c, d); 14; 17 (a, b); 19(b); 20 (a, c).

VI. Uy vazifasi

§ 13, № 2 (c, d); 4; 6; 7 (a, b); 8 (c, d); 9 (b); 10(a); 11 (c, d); 13 (a, b); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (b, d).

VII. Ijodiy vazifa

Funksiya grafigini, tenglamalarni, tengsizliklarni tuzing:

VIII. Darsni yakunlash

Trigonometrik diagrammalar funktsiyalari

Funktsiya y = sinx, uning xususiyatlari

Trigonometrik funksiyalarning grafiklarini parallel ko‘chirish orqali o‘zgartirish
Trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini siqish va kengaytirish orqali o'zgartiring

Qiziqqanlar uchun…
Muallif

Funktsiya grafigi y= gunoh x hisoblanadi sinusoid

y = sin x

Funktsiya xususiyatlari :

D(y)=R2. Davriy (T=2  )

3. g'alati ( sin(-x)=-sin x) 4. Funktsiya null:

y=0, sinx=0 x = da  n, n  Z

0 da x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z y at x   (-  +2  n ; 0+2  n), n  Z” kengligi = 60 "

Funksiya xossalari y = gunoh x

y = sin x

5. Doimiylik intervallari :

da 0 da X   (0+2  n ;  +2  n ) ,n  Z

da da x   ( -  +2  n ; 0+2  n), n  Z

Funksiya xossalari y= gunoh x

6. Monotonlik intervallari :

funktsiya intervalgacha ortadi

turi:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z

Funksiya xossalari y= gunoh x

Monotonik intervallar:

funktsiya intervalgacha kamayadi

turi:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z

Funksiya xossalari y = gunoh x

x min

x maks

7 . ekstremal nuqtalar :

x maks =  / 2 +2  n , n  Z

x m ichida = -  / 2 +2  n , n  Z

Funksiya xossalari y = gunoh x

8 . Qiymatlar diapazoni :

E(y) =  -1;1 

Grafik konvertatsiya trigonometrik funktsiyalar

y = funksiyaning grafigi f(x +c) y = funksiya grafigidan olinadi f(x) x o'qi bo'ylab (-in) birliklari bilan parallel tarjima
y = funksiyaning grafigi f(x y = funksiya grafigidan )+a olinadi f(x) y o'qi bo'ylab (a) birliklar tomonidan parallel tarjima

Syujet

Funktsiyalar y = gunoh (x+  /4 )

y = gunoh x

eslash

qoidalar

Syujet

Xususiyatlari: y=sin(x -  /6)

y=sin(x+  /4 )

Syujet

Xususiyatlari:

y = sin x + 

y=sin(x-  /6 )

y= sin x + 

Syujet

Xususiyatlari: y=sin (x +  /2)

eslash

qoidalar

Funktsiya grafigi y= chunki x hisoblanadi kosinus to'lqini

gunoh (x+  /2)=cos x

Ro'yxat xususiyatlari

y = funktsiyalari chunki x