Uchburchakning maydonini qanday topish mumkin. Uchburchakning maydoni qancha ekanligini isbotlang

Uchburchak - bu taniqli raqam. Va bu, uning shakllarining boy xilma-xilligiga qaramay. To'rtburchak, teng tomonli, o'tkir, teng yonli, o'tmas. Ularning har biri biroz boshqacha. Ammo har qanday kishi uchun uchburchakning maydonini bilish talab qilinadi.

Yonlarning yoki balandlikning uzunligini ishlatadigan barcha uchburchaklar uchun umumiy formulalar

Ularda qabul qilingan belgilar: tomonlar - a, b, c; a, n in, n s bo'yicha mos keladigan tomonlardagi balandliklar.

1. Uchburchakning maydoni ½, yon tomoni va unga tushirilgan balandlikning mahsuloti sifatida hisoblanadi. S = ½ * a * n a. Xuddi shunday, qolgan ikki tomon uchun formulalar yozish kerak.

2. Yarim perimetr paydo bo'lgan Heron formulasi (to'liq perimetrdan farqli ravishda uni kichik p harfi bilan belgilash odatiy holdir). Yarim perimetrni quyidagicha hisoblash kerak: barcha tomonlarni qo'shing va ularni 2 ga bo'ling. Yarim perimetr formulasi: p \u003d (a + b + c) / 2. Keyin \ maydoni uchun tenglik. u200b\u200b rasm shunday ko'rinadi: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Agar siz yarim perimetrdan foydalanishni xohlamasangiz, unda faqat tomonlarning uzunligi mavjud bo'lgan bunday formula foydali bo'ladi: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bu avvalgisidan biroz uzunroq, ammo agar siz yarim perimetrni qanday topishni unutgan bo'lsangiz, yordam beradi.

Uchburchakning burchaklari paydo bo'ladigan umumiy formulalar

Formulalarni o'qish uchun zarur bo'lgan belgi: a, b, g - burchaklar. Ular mos ravishda a, b, c tomonlariga qarama-qarshi yotadi.

1. Unga ko'ra, ikki tomonning yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi uchburchakning maydoniga teng. Ya'ni: S = ½ a * b * sin g. Qolgan ikkita holat uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Uchburchakning maydonini bir tomondan va uchtadan hisoblash mumkin ma'lum burchaklar. S \u003d (a 2 * sin b * sin g) / (2 sin a).

3. Bir tomoni ma'lum va unga qo'shni ikkita burchakli formula ham mavjud. Bu shunday ko'rinadi: S = c 2 / (2 (ctg a + ctg b)).

Oxirgi ikkita formula eng oddiy emas. Ularni eslab qolish juda qiyin.


Chizilgan yoki chegaralangan doiralarning radiuslari ma'lum bo'lgan vaziyatning umumiy formulalari

Qo'shimcha belgilar: r, R - radiuslar. Birinchisi chizilgan doira radiusi uchun ishlatiladi. Ikkinchisi tasvirlangan uchun.

1. Uchburchakning maydoni hisoblangan birinchi formula yarim perimetr bilan bog'liq. S = r * r. Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagicha yozish mumkin: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Ikkinchi holda, siz uchburchakning barcha tomonlarini ko'paytirishingiz va ularni aylananing to'rt barobar radiusiga bo'lishingiz kerak bo'ladi. So'zma-so'z ma'noda shunday ko'rinadi: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Uchinchi holat tomonlarni bilmasdan qilish imkonini beradi, lekin sizga har uch burchakning qiymatlari kerak. S \u003d 2 R 2 * sin a * sin b * sin g.

Maxsus holat: to'g'ri burchakli uchburchak

Bu eng oddiy holat, chunki faqat ikkala oyoqning uzunligi talab qilinadi. Ular lotin a va b harflari bilan belgilanadi. To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni unga qo'shilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Matematik jihatdan u quyidagicha ko'rinadi: S = ½ a * b. Uni eslash eng oson. To'rtburchakning maydoni formulasiga o'xshab ko'rinadiganligi sababli, faqat yarmini bildiruvchi kasr paydo bo'ladi.

Maxsus holat: teng yonli uchburchak

Uning ikki tomoni teng bo'lgani uchun uning maydoni uchun ba'zi formulalar biroz soddalashtirilgan ko'rinadi. Masalan, teng yonli uchburchakning maydonini hisoblaydigan Heron formulasi quyidagi shaklni oladi:

S = ½ in √((a + ½ dyuym)*(a - ½ dyuym)).

Agar siz uni aylantirsangiz, u qisqaradi. Bu holda teng yonli uchburchak uchun Heron formulasi quyidagicha yoziladi:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

O'zboshimchalik bilan uchburchakdan ko'ra biroz soddaroq, agar bilsangiz, maydon formulasi o'xshaydi tomonlar va ular orasidagi burchak. S \u003d ½ a 2 * sin b.

Maxsus holat: teng qirrali uchburchak

Odatda, u bilan bog'liq muammolarda tomon ma'lum yoki qandaydir tarzda tan olinishi mumkin. Keyin bunday uchburchakning maydonini topish formulasi quyidagicha:

S = (a 2 √3) / 4.


Agar uchburchak katak qog'ozda tasvirlangan bo'lsa, maydonni topish uchun topshiriqlar

Eng oddiy holat - to'g'ri burchakli uchburchak chizilgan bo'lsa, uning oyoqlari qog'ozning chiziqlariga to'g'ri keladi. Keyin faqat oyoqlarga mos keladigan hujayralar sonini hisoblashingiz kerak. Keyin ularni ko'paytiring va ikkiga bo'ling.

Uchburchak o'tkir yoki o'tkir bo'lsa, uni to'rtburchakga chizish kerak. Keyin olingan rasmda 3 ta uchburchak bo'ladi. Ulardan biri topshiriqda berilgan. Va qolgan ikkitasi yordamchi va to'rtburchaklardir. Oxirgi ikkita maydonni yuqorida tavsiflangan usul bilan aniqlash kerak. Keyin to'rtburchaklar maydonini hisoblang va undan yordamchilar uchun hisoblanganlarni ayiring. Uchburchakning maydoni aniqlanadi.

Uchburchakning hech bir tomoni qog'oz chiziqlariga to'g'ri kelmasligi juda qiyin. Keyin uni to'rtburchaklar shaklida yozish kerak, shunda asl figuraning uchlari uning yon tomonlarida yotadi. Bunday holda, uchta yordamchi to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi.


Heron formulasi bo'yicha masala misoli

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning tomonlari bor. Ular 3, 5 va 6 sm ga teng.Siz uning maydonini bilishingiz kerak.

Endi siz yuqoridagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. Kvadrat ildiz ostida to'rtta raqamning mahsuloti: 7, 4, 2 va 1. Ya'ni, maydon √ (4 * 14) = 2 √ (14) ga teng.

Agar sizga ko'proq aniqlik kerak bo'lmasa, unda siz 14 ning kvadrat ildizini olishingiz mumkin. Bu 3,74. Keyin maydon 7,48 ga teng bo'ladi.

Javob. S \u003d 2 √14 sm 2 yoki 7,48 sm 2.

To'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammoga misol

Vaziyat. To'g'ri burchakli uchburchakning bir oyog'i ikkinchisidan 31 sm uzunroq.Uchburchakning maydoni 180 sm 2 bo'lsa, ularning uzunligini aniqlash kerak.
Yechim. Ikki tenglama sistemasini yechishingiz kerak. Birinchisi hudud bilan bog'liq. Ikkinchisi, muammoda berilgan oyoqlarning nisbati bilan.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Birinchidan, "a" qiymati birinchi tenglamaga almashtirilishi kerak. Ma'lum bo'lishicha: 180 \u003d ½ (+ 31 da) * dyuym. U faqat bitta noma'lum miqdorga ega, shuning uchun uni hal qilish oson. Qavslarni ochgandan so'ng, kvadrat tenglama olinadi: 2 + 31 da - 360 \u003d 0. U "in" uchun ikkita qiymatni beradi: 9 va - 40. Ikkinchi raqam javob sifatida mos emas. , chunki uchburchak tomonining uzunligi manfiy qiymat bo'lishi mumkin emas.

Ikkinchi bosqichni hisoblash qoladi: olingan songa 31 ni qo'shing.. 40 chiqadi. Bu masalada qidirilayotgan miqdorlar.

Javob. Uchburchakning oyoqlari 9 va 40 sm.

Uchburchakning maydoni, tomoni va burchagi orqali tomonni topish vazifasi

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning maydoni 60 sm2 ga teng. Agar ikkinchi tomoni 15 sm va ular orasidagi burchak 30º bo'lsa, uning tomonlaridan birini hisoblash kerak.

Yechim. Qabul qilingan belgilarga asoslanib, kerakli tomon "a", ma'lum "b", berilgan burchak "g" dir. Keyin maydon formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

60 \u003d ½ a * 15 * gunoh 30º. Bu erda 30 daraja sinus 0,5 ga teng.

O'zgarishlardan so'ng "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ga teng bo'ladi. Ya'ni 16.

Javob. Istalgan tomon 16 sm.

To‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan kvadrat masalasi

Vaziyat. Tomoni 24 sm boʻlgan kvadratning tepasi uchburchakning toʻgʻri burchagiga toʻgʻri keladi. Qolgan ikkitasi oyoqlarda yotadi. Uchinchisi gipotenuzaga tegishli. Oyoqlardan birining uzunligi 42 sm.Toʻgʻri burchakli uchburchakning maydoni nimaga teng?

Yechim. Ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Birinchisi vazifada ko'rsatilgan. Ikkinchisi asl uchburchakning ma'lum oyog'iga asoslangan. Ular o'xshashdir, chunki ular umumiy burchakka ega va parallel chiziqlar bilan hosil bo'ladi.

Keyin ularning oyoqlarining nisbati teng bo'ladi. Kichikroq uchburchakning oyoqlari 24 sm (kvadrat tomoni) va 18 sm (berilgan oyog'i 42 sm minus kvadrat tomoni 24 sm). Katta uchburchakning mos keladigan oyoqlari 42 sm va x sm.Uchburchakning maydonini hisoblash uchun aynan shu "x" kerak.

18/42 \u003d 24 / x, ya'ni x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (sm).

Keyin maydon 56 va 42 ko'paytmasiga teng bo'lib, ikkiga bo'linadi, ya'ni 1176 sm 2.

Javob. Istalgan maydon 1176 sm 2.

Uchburchakning maydoni uning tomoni va bu tomonga chizilgan balandlikning yarmiga teng. Balandlik chizilgan tomon keyin taglik deb ataladi. Shunday qilib, shunday deyish mumkin Uchburchakning maydoni uning poydevorining balandligining yarmiga teng..

Agar biz uchburchakning yon asosining uzunligini a, balandligini h deb belgilasak, uchburchakning maydoni uchun formulani olamiz:

Ushbu formulani isbotlash uchun uchburchakdagi balandlikning joylashuvi uchun barcha variantlarni ko'rib chiqish kerak. Ulardan faqat uchtasi bor. Bu:

  1. Balandligi uchburchakning bir tomoniga to'g'ri keladi. Bunday holda, biz to'g'ri burchakli uchburchak bilan shug'ullanamiz, unda oyoqlardan biri asos sifatida olinadi. Bu oyoqqa chizilgan balandlik boshqa oyoqdir.
  2. Balandligi uchburchak ichida joylashgan. Bunday holda, u asos bilan kesishadi va uni ikki segmentga ajratadi. Bu uchburchak ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'lingan.
  3. Balandligi uchburchakdan tashqarida. Bunday holda, u asosning o'zi bilan emas, balki uning davomi (asos yotadigan to'g'ri chiziq) bilan kesishadi.

Keling, birinchi ishni ko'rib chiqaylik. ABC uchburchagi berilgan bo'lsin. Unda BC tomoniga to'g'ri keladigan a uzunlikdagi AC asosiga h balandlik chizilgan:

Ma'lumki, to'rtburchakning maydoni uning qo'shni tomonlari mahsulotiga teng. Agar tomonlari a va h bo'lgan to'rtburchak bo'lsa, uning maydoni ah ga teng bo'lar edi. Agar to'rtburchakda diagonal chizilgan bo'lsa, u uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka bo'ladi (ular mos ravishda uchta tomon tengdir). Ushbu uchburchaklarning maydonlari ham bir-biriga teng va har biri butun to'rtburchaklar maydonining ½ qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, uchburchakning maydoni ichida ekanligi isbotlangan bu holat½ah ga teng bo'ladi.

Keling, ikkinchi ishni ko'rib chiqaylik. Undagi h uzunlikdagi BH balandligi a uzunlikdagi AC tomoni bilan kesishsin.

Bunday holda, biz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz: ABH va CBH. Ko'rib chiqilgan birinchi holatdan biz ularning maydonlari mos ravishda ½ · AH · h va ½ · CH · h ekanligini bilamiz.

Butun ABC uchburchagining maydoni bu ikki maydonning yig'indisidir:

S = ½ AH h + ½ CH h

Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:

S = ½ soat (AH + CH)

Lekin AH va CH qo'shiladi a uzunligi. Shunday qilib, biz isbotlamoqchi bo'lgan formulaga erishamiz:

S = ½ h a

Endi balandlik uchburchakdan tashqarida bo'lgan uchinchi holatni ko'rib chiqing:

Bu erda biz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ham ko'rishimiz mumkin. Bular ∆ABH va ∆CBH. Va birinchisi ikkinchisini o'z ichiga oladi. Kerakli ABC uchburchagi CBH uchburchakning ABH uchburchagiga to'ldiruvchisidir. Shunday qilib, ∆ABH maydoni ∆CBH va ∆ABC maydonlarining yig'indisiga teng ekanligini yozishimiz mumkin:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

Kerakli ABC uchburchagining maydonini qayerdan topamiz:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

ABH uchburchagining maydoni ½ AH h, CBH uchburchakning maydoni ½ CH h:

S ∆ABC = ½ AH h – ½ CH h

Biz umumiy omillarni qavsdan chiqaramiz:

S ∆ABC = ½ soat (AH - CH)

Biroq, agar AH segmentidan CH segmentini ayirib tashlasak, uzunligi a ga teng bo'lgan AC segmentini olamiz. Shuning uchun biz bu holda uchburchakning maydoni ham ½ ah ekanligini yozishimiz mumkin.

Uchburchakning maydonini aniqlash uchun siz turli formulalardan foydalanishingiz mumkin. Barcha usullardan eng oson va eng tez-tez ishlatiladigan balandlikni poydevor uzunligiga ko'paytirish va keyin natijani ikkiga bo'lishdir. Biroq, bu usul yagona usuldan uzoqdir. Quyida turli formulalar yordamida uchburchakning maydonini qanday topish mumkinligini o'qishingiz mumkin.

Biz alohida uchburchak turlarining maydonini hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz - to'rtburchaklar, teng yonli va teng tomonli. Biz har bir formulaga uning mohiyatini tushunishga yordam beradigan qisqa tushuntirish bilan birga beramiz.

Uchburchak maydonini topishning universal usullari

Quyidagi formulalarda maxsus belgilar qo'llaniladi. Biz ularning har birini hal qilamiz:

  • a, b, c - biz ko'rib chiqayotgan rasmning uch tomonining uzunliklari;
  • r - aylana radiusi, bu bizning uchburchakka yozilishi mumkin;
  • R - uning atrofida tasvirlanishi mumkin bo'lgan aylananing radiusi;
  • a - b va c tomonlar hosil qilgan burchakning qiymati;
  • b - a va c orasidagi burchak;
  • g - a va b tomonlar hosil qilgan burchakning qiymati;
  • h - a burchakdan a tomoniga tushirilgan uchburchakmizning balandligi;
  • p - a, b va c tomonlarning yig'indisining yarmi.

Nima uchun uchburchakning maydonini shu tarzda topishingiz mumkinligi mantiqan aniq. Uchburchak osongina parallelogrammga to'ldiriladi, unda uchburchakning bir tomoni diagonal vazifasini bajaradi. Parallelogrammaning maydoni uning tomonlaridan birining uzunligini unga chizilgan balandlik qiymatiga ko'paytirish yo'li bilan topiladi. Diagonal bu shartli parallelogrammani 2 ta bir xil uchburchakka ajratadi. Shuning uchun, bizning asl uchburchakning maydoni ushbu yordamchi parallelogramm maydonining yarmiga teng bo'lishi aniq.

S=½ a b sin g

Ushbu formulaga ko'ra, uchburchakning maydoni uning ikki tomonining uzunligini, ya'ni a va b ni ular hosil qilgan burchakning sinusiga ko'paytirish orqali topiladi. Bu formula avvalgisidan mantiqiy ravishda olingan. Agar balandlikni b burchakdan b tomoniga tushirsak, u holda to'g'ri burchakli uchburchakning xossalariga ko'ra, a tomonning uzunligini g burchak sinusiga ko'paytirganda uchburchakning balandligini, ya'ni h ni olamiz.

Ko'rib chiqilayotgan rasmning maydoni aylana radiusining yarmini uning perimetriga ko'paytirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, biz yarim perimetrning ko'paytmasini va aytib o'tilgan doira radiusini topamiz.

S= a b c/4R

Ushbu formulaga ko'ra, bizga kerak bo'lgan qiymatni rasmning tomonlari mahsulotini uning atrofida aylananing 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin.

Ushbu formulalar universaldir, chunki ular har qanday uchburchakning (shkala, teng yonli, teng qirrali, to'g'ri burchakli) maydonini aniqlashga imkon beradi. Buni yanada murakkab hisob-kitoblar yordamida amalga oshirish mumkin, biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz.

O'ziga xos xususiyatlarga ega uchburchaklar sohalari


To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Bu raqamning o'ziga xos xususiyati shundaki, uning ikki tomoni bir vaqtning o'zida balandlikdir. Agar a va b oyoq bo'lsa va c gipotenuzaga aylansa, maydon quyidagicha topiladi:

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Uning uzunligi a bo'lgan ikki tomoni va uzunligi b bo'lgan bir tomoni bor. Shuning uchun uning maydonini a tomon kvadratining ko'paytmasini g burchak sinusiga 2 ga bo'lish yo'li bilan aniqlash mumkin.

Hududni qanday topish mumkin teng tomonli uchburchak? Unda barcha tomonlarning uzunligi a ga, barcha burchaklarning qiymati a ga teng. Uning balandligi tomon uzunligining kvadrat ildizining 3 ga ko'paytmasining yarmiga teng. Muntazam uchburchakning maydonini topish uchun a tomonning kvadratini 3 ning kvadrat ildiziga ko'paytirib, 4 ga bo'lish kerak.

Uchburchakning maydoni. Maydonlarni hisoblash bilan bog'liq juda ko'p geometriya masalalarida, shu jumladan imtihon uchun topshiriqlarda, uchburchak maydoni formulalari qo'llaniladi. Ulardan bir nechtasi bor, bu erda biz asosiylarini ko'rib chiqamiz.

Ushbu formulalarni sanab o'tish juda oson bo'lar edi, bu yaxshilik allaqachon ma'lumotnomalarda va turli saytlarda etarli. Ulardan ayrimlarining mohiyatini yetkazmoqchiman. Maqolaning materialini o'rganib chiqqandan so'ng, siz barcha formulalarni o'rganishingiz shart emasligini tushunasiz, ular tushunilishi kerak.

Agar ular to'satdan to'g'ri vaqtda "uchib ketsa" xotirani osongina tiklashingiz mumkin. Shunday qilib, avval parallelogrammni ko'rib chiqaylik. Ta'rif o'qiydi:



Nega bunday? Hammasi oddiy! Formulaning ma'nosi nima ekanligini aniq ko'rsatish uchun keling, ba'zi qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz:

Uchburchakning (2) maydoni uchburchakning (1) maydoniga teng, ikkinchisini aqliy ravishda "kesib" va uni birinchisiga qo'yish orqali o'tkazamiz, biz maydoni teng bo'lgan to'rtburchaklar olamiz. asl parallelogrammning maydoni:



To'rtburchakning maydoni, siz bilganingizdek, uning qo'shni tomonlari mahsulotiga teng. Eskizdan ko'rinib turibdiki, hosil bo'lgan to'rtburchakning bir tomoni parallelogramm tomoniga teng, ikkinchisi esa bu tomonga chizilgan balandligi. Shunday qilib, biz S = a∙h parallelogrammaning maydoni formulasini olamiz a

Davom etaylik, uning maydoni uchun yana bir formula. Bizda ... bor:

h a in balandligini ifodalang to'g'ri uchburchak Bu erda b - gipotenuza:



Hudud formulasida h a ni almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:



Biz parallelogrammni aniqladik. Keling, uchburchakka o'tamiz.

Uchburchakning maydoni. Oltita formula!

Birinchi formula

Paralelogrammaning diagonali uni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi:



Shunday qilib, uchburchakning maydoni parallelogramm maydonining yarmiga teng bo'ladi:



* Ya'ni, agar biz uchburchakning biron bir tomonini va bu tomonga tushirilgan balandligini bilsak, biz har doim bu uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula ikkinchi

Yuqorida aytib o'tilganidek, parallelogrammning maydoni formulasi:

Uchburchakning maydoni uning yarmiga teng, shuning uchun:



*Ya'ni, agar uchburchakning har qanday ikki tomoni va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Heron formulasi (uchinchi)

Ushbu formulani olish qiyin va sizga kerak emas. Qarang, u qanchalik go'zal, biz uni eslab qolishgan deb aytishimiz mumkin.

*Agar uchburchakning uch tomoni berilgan bo'lsa, bu formuladan foydalanib, biz har doim uning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula to'rtinchi

Qayerda rchizilgan aylana radiusi

*Agar uchburchakning uch tomoni va unga chizilgan aylananing radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bu uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Formula besh

Qayerda Rchegaralangan aylana radiusi.

*Agar uchburchakning uch tomoni va aylana radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Savol tug'iladi: agar uchburchakning uch tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini Heron formulasi yordamida topish osonroq emasmi?

Ha, bu osonroq, lekin har doim ham emas, ba'zida qiyin bo'ladi. Bu ildizni olib tashlash bilan bog'liq. Bundan tashqari, bu formulalar uchburchakning maydoni berilgan, uning tomonlari berilgan va chizilgan yoki aylana radiusini topish talab qilinadigan masalalarda foydalanish uchun juda qulaydir. Bunday vazifalar imtihonga kiritilgan.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: