Agar burchak ma'lum bo'lsa, konusning hajmi. Konusning hajmini qanday topish mumkin

Geometrik jismlarning xilma-xilligi orasida eng qiziqarlilaridan biri konusdir. U to'g'ri burchakli uchburchakni oyoqlaridan biri atrofida aylantirish orqali hosil bo'ladi.

Konusning hajmini qanday topish mumkin - asosiy tushunchalar

Konusning hajmini hisoblashni boshlashdan oldin, siz asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak.

  • Dumaloq konus - bunday konusning asosi aylanadir. Agar asos ellips, parabola yoki giperbola bo'lsa, unda raqamlar elliptik, parabolik yoki giperbolik konuslar deb ataladi. Shuni esda tutish kerakki, oxirgi ikki turdagi konuslar cheksiz hajmga ega.
  • Kesilgan konus - bu asos va bu asosga parallel tekislik o'rtasida joylashgan konusning yuqori va poydevor o'rtasida joylashgan qismi.
  • Balandligi - taglikka perpendikulyar bo'lgan segment, yuqoridan chiqariladi.
  • Konusning generatrix - bu taglikning chegarasini va yuqori qismini bog'laydigan segment.

Konusning hajmi

Konusning hajmini hisoblash uchun V=1/3*S*H formulasidan foydalaniladi, bu erda S - asos maydoni, H - balandlik. Konusning asosi aylana bo'lgani uchun uning maydoni S= nR^2 formula bo'yicha topiladi, bu erda n = 3,14, R - aylananing radiusi.

Andrea va Pablo shokoladli vafli tayyorlamoqchi va agar ular 10 ta vafli tayyorlamoqchi bo'lsalar, qancha 1 kg qop shokolad sotib olishlari kerakligini bilishni xohlashadi. Shokolad konusni to'liq to'ldirishi kerak. Boshlash uchun siz plastinkaning sig'imi nima ekanligini bilishingiz kerak, ya'ni. uning hajmi va keyin bizda mavjud bo'lgan ma'lumotlarni yozing.

Andrea va Pablo gofretlarni to'ldirish uchun bir kilogramm shokolad solingan sumka sotib olishlari kerak. Fernanda konus yasamoqchi, uni qurmoqchi, esda tutingki, matematika o'qituvchisi sizga bu raqam to'g'ri burchakli uchburchakni aylantirish orqali yaratilganligini aytdi. Keyin, uni mukammal qilish uchun, kvadratni qog'ozga aylantiradi, hosil bo'lgan doira chizadi. Keyin, karton bilan asosga ega bo'lib, konus yasashni tugating.

Ba'zi parametrlar noma'lum bo'lgan vaziyat mavjud: balandlik, radius yoki generatrix. Bunday holda, Pifagor teoremasiga murojaat qilish kerak. Konusning eksenel kesimi teng burchakli uchburchak bo'lib, ikkita to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat bo'lib, bu erda l - gipotenuza, H va R - oyoqlari. Keyin l=(H^2+R^2)^1/2.


Fernanda quradigan konusning hajmi qancha bo'ladi? Konusning hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi. Balandlik va radiusga ega bo'lganimizdan so'ng, uning o'ziga xos formulasidan foydalanib, konusning hajmini hisoblashimiz mumkin. Boshqa tomondan, biz kerakli natijaga erishish uchun undan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lamiz.

Konusning hajmini hisoblash misoli

Radiusni toping: agar siz radiusning qiymatini bilsangiz, biz keyingi qadamni qo'yishimiz mumkin, lekin bizda diametri bo'lsa, uni olish uchun uni 2 ga bo'lamiz.

  • Asosiy maydonni konusning balandligi bilan ko'paytiring.
  • Natijani 3 ga bo'ling.
Konusning hajmi silindr hajmining uchdan bir qismini tashkil qiladi, shuning uchun biz konusning hajmini qanday chiqarish haqida quyidagi misolda uning formulasidan foydalanamiz.

Kesilgan konusning hajmi

Kesilgan konus - tepasi kesilgan konus.


Bunday konusning hajmini topish uchun sizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


Bu yerda n=3,14, r - kesma aylana radiusi, R - katta asosning radiusi, H - balandligi.

Ana va Roberto shokoladli vafli tayyorlamoqchi va ular 10 ta vafli tayyorlamoqchi bo'lsalar, qancha 1 kg qop shokolad sotib olishlari kerakligini bilishni xohlashadi. Shokolad konusni to'liq to'ldirishi kerak. Tsilindr - bu to'rtburchakning bir tomoni atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan qattiq jism. Uning qanday elementlari bor? Tsilindr asosining diametri 8 m, balandligi esa poydevor uzunligidan ikki baravar ko'p. Boshqa oyoqdan hosil bo'lgan aylana asos deb ataladi va generatorlarning yaqinlashish nuqtasi deyiladi. konus - uchlari asosiy doiraning tepasi va nuqtasi bo'lgan segmentlarning har biri. Konusning balandligi yuqoridan asosiy tekislikgacha bo'lgan masofadir. To'g'ri konuslarda, yuqoridan asosiy doiraning markaziga masofa bo'ladi. Umumiy maydon  Umumiy maydon = Yon maydon plus Ex. Konusning hajmi Konusning hajmi = balandlikdagi asosiy maydonning uchdan bir qismi. Konusning generatritsasini topamiz. Formulalarni qo'llang. Biz muammolarni yaratamiz. Matematika. Radiusi 5 sm va balandligi 12 sm bo'lgan konusning hajmini toping. Biz quyidagi savollarga javob beramiz:  Tenglamali masalalarni qanday yechganimizni eslaylikmi?  Ular qanday paydo bo'lgan?  Ular tengsizliklardan qanday farq qilgan? To'rtburchakning perimetri uchburchakning perimetriga teng. Birinchi darajali tengsizliklarni bartaraf etish bosqichlari. Misol: 8 3 ≥48 Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik: Menga yordam bera olasizmi? Endi siz o'g'il-qizlarga bog'liq; Quyidagi masalalarni yeching va doskada ko‘rsating. Ketma-ket kelgan uchta sonning yig'indisi: to'rttasi, minus 5, ikki barobar ko'paygan sonni toping. Biz quyidagi tasvirlarni kuzatamiz va tahlil qilamiz: siz ushbu ob'ektlardan birortasi bilan o'ynaganmisiz? Qanday o'yin? Zarlarni tashlaganingizda, raqamlar qanday bo'lishini bilish mumkinmi? Va futbol o'yinida ikkita jamoa urgan gollarning umumiy soni? Tasodifiy tajriba Bu ko'p imkoniyatlarga ega bo'lganligi sababli natijasini aniq bashorat qilib bo'lmaydigan tajriba. Misol:  Do'kondagi kunning savdo nuqtasini aniq bashorat qila olmaydi. Natijada tangani havoga uloqtirish; ikkita imkoniyat bo'lishi mumkin: yuz yoki muhr. Biroq, qanday natijaga erishishingizni oldindan aytib bo'lmaydi. Havoga chiqish natijasida 1 dan 6 gacha bo'lgan 6 ta variant nobud bo'ladi, ammo qanday natijaga erishilishini oldindan aytib bo'lmaydi. deterministik hodisa. Natijasini aniq bashorat qilish mumkin bo'lgan har qanday hodisa. Misol:  Odamning uyg'otuvchi soat bilan uyg'ongan soati.  Kapital ssuda ma’lum bir foizda va ma’lum bir vaqtda berilgan. Belgilangan muddat bajarilganda u qanday qiziqish uyg'otishi oldindan ma'lum. Namuna maydoni. Bu tasodifiy tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalarining yig'indisidir. Misollar:  Agar biz matritsani aylantirsak va yuqori yuzida paydo bo'ladigan raqamni kuzatsak. Namuna maydoni oltita mumkin bo'lgan raqamlardan iborat. Mumkin natijalar: 4; namuna maydoni 4 ta elementni o'z ichiga oladi. Xavfsiz hodisa U chaqiriladi, chunki u doimo bajariladi.

  • Javob: Silindr nima?
  • Xulosa Balandlik va generatrix tengdir.
  • Tsilindrning asosiy radiusi 5 sm, balandligi esa diametridan ikki baravar katta.
Kim ichishni yoqtirmaydi?

Kesilgan konusning eksenel qismi bo'ladi izoskelli trapesiya. Shuning uchun, agar konusning avlodining uzunligini yoki aylanalardan birining radiusini topish kerak bo'lsa, trapetsiyaning tomonlari va asoslarini topish uchun formulalardan foydalanishga arziydi.

Konusning balandligi 8 sm va asos radiusi 3 sm bo'lsa, uning hajmini toping.

Berilgan: H=8 sm, R=3 sm.

Birinchidan, S = nR ^ 2 formulasini qo'llash orqali bazaning maydonini toping.

Xo'sh, bu butunlay boshqacha tajriba. Chunki matematik stakanni ko'rsa, u boshqa odamlarga o'xshamaydi, yo'q. Ushbu ob'ektlar bizga bir oz matematikani o'rganishimiz va hatto qandaydir paradoks bilan ajablantiradigan ko'plab imkoniyatlarni ko'rib chiqing.

Mayli, keling, buni siz ko'rgan narsangiz matematika buyrug'ini buzmasligini va bu haqiqatan ham yaxshi ekanligini tushuntirish uchun foydalanaylik. Bundan tashqari, keling, konusning stakanlari o'rniga ularni boshqa yo'llar bilan tanlasak, nima bo'lishini ko'rishga harakat qilaylik.

Birinchidan, videoda biz ko'rayotgan narsa shundaki, stakan "deyarli to'la" bo'lsa-da, aslida uning yarmi to'lgan. Keling, uni simulyatsiya qilishga harakat qilaylik. Keling, masalan, konussimon stakanni olaylik.

S=3,14*3^2=28,26sm^2

Endi V=1/3*S*H formulasidan foydalanib, konusning hajmini topamiz.

V=1/3*28,26*8=75,36sm^3


Konus shaklidagi raqamlar hamma joyda uchraydi: to'xtash konuslari, qurilish minoralari, chiroq soyasi. Shuning uchun, konusning hajmini qanday topishni bilish, ba'zida ham professional, ham kundalik hayotda foydali bo'lishi mumkin.

Keling, kubokimizni modellashtiraylik. Endi biz asl stakanni unutamiz va biz stakanimizni yarmini to'ldiramiz va biz biron bir chora ko'ramiz. Biz allaqachon matematik muammoni o'rnatishimiz mumkin. Ichki qism martini oynasi aslida konusdir; shuning uchun biz ko'rgan choralar bilan ularning umumiy hajmini hisoblash oson. Yoki matematika tili bilan aytganda, idishdagi suyuqlik hajmini balandlikkacha desak, qancha turadi? Shunday qilib, siz faqat hisoblashingiz kerak. Ma'lum bo'lishicha, biz balandlikni bilamiz, lekin hozir biz asosiy doiraning radiusi qancha ekanligini bilmaymiz.

Agar to'g'ri uchburchak uning oyoqlaridan biri atrofida aylantiring, keyin siz inqilob konusi yoki to'g'ri dumaloq konus deb hisoblangan geometrik tanani olasiz. Konus taglik va yon sirt bilan chegaralangan. Konusning tagida radiusi ikkinchi oyoqning qiymatiga teng bo'lgan doira mavjud. Konusning yuqori qismidan poydevorga perpendikulyar ravishda chizilgan to'g'ri chiziq uning balandligidir. Konusning hajmi bir nechta formulalar yordamida hisoblanadi. 1-usul, konusning balandligi va poydevorining maydoni ma'lum bo'lganda, formula bo'yicha konusning hajmini aniqlashni o'z ichiga oladi:

Thales menga keldi! Ko'rdingizmi, biz 2 ta uchburchak to'pladik? Shunday qilib, uchta oddiy qoida bizga qaerdan, qaerdan ekanligini aytadi. Endi suyuqlik egallagan hajmni hisoblash juda oddiy. Va bizning savolimiz tenglamani qanday echish kerak yoki nima bir xil.

Va biz bunga qanday izoh beramiz? Birinchidan, biz erishgan natija bog'liq emas, ya'ni. konusning kosasi ochiladigan burchakka teng emas. Intuitiv ravishda, bu natija ajablanarli bo'lmasligi kerak, chunki aylana qanchalik baland bo'lsa, idish qanchalik baland bo'lsa va u ko'proq suyuqlik sig'ishi aniq. Lekin ajablanarlisi shundaki, bu balandlik ochilish burchagiga bog'liq emas va umumiy balandlikning 80% ni tashkil qiladi.

asosning maydoni S bilan belgilanadi;
konusning balandligi H orqali.

Konusning hajmi konusning balandligini uning asosining maydonini 3 ga bo'lish ko'paytmasi sifatida hisoblanadi.

Yordamida onlayn kalkulyator konusning hajmini yuqoridagi usullardan biri bilan tez va to'g'ri hisoblashingiz mumkin.

Muxtasar qilib aytganda, bufetchi bizga qadah berganida, yuqori barmog'ingizni bo'sh qoldirmasligingizga ishonch hosil qiling, chunki bu kichkina barmoq stakanning yarmida. Xo'sh, biz allaqachon kirish sarlavhasining "Martini kubogi" qismini qamrab oldik. Integral qayerda paydo bo'ladi? Ko'zoynaklarga quyilgan suyuqlik "integral martini"mi? Endi chashka shakli teskari konus emas va ko'proq inqilob paraboloidiga o'xshaydi.

Biz parabola quramiz, lekin biz uni landshaftga va boshida cho'qqiga qo'yamiz. Bunday sharoitda masalning formulasi bizga parabolaning qanday ochilishi yoki yopilishini aytib beradi. U bizdan ikki kishi o'rtasida muzqaymoq tarqatishimizni so'radi.

Konusning hajmini poydevor maydoni orqali hisoblash

Ikkinchi usul quyidagi formula bo'yicha konusning hajmini uning radiusi qiymati bo'yicha hisoblashni taklif qiladi:


r - konusning radiusi;
h - balandlik.

Konusning hajmining qiymati 3,1415 ga teng bo'lgan poydevor va balandlik va pi sonining radiusi kvadratining uchdan bir qismi sifatida hisoblanadi ...

Bu ikki matematikning hikoyasi edi. Biri nafaqaga chiqqan, biri esa matematik emas, muzqaymoq ishlab chiqaruvchisi bo‘lib ishlagan mag‘lubiyatga uchragan. Pensioner har kuni dugonasinikiga borib, muzqaymoq sotib olardi, lekin u doim konyakga to‘la edi. Muzqaymoqchi do'sti do'stining sog'lig'idan qo'rqib, konusga qo'yish uchun konyak miqdorini kamaytirishga qaror qildi va konusni konyak bilan to'ldirishim kerakligini hisobga olib, konyakning oxirgi hajmini beradigan bir qoshiq muzqaymoq qo'ydi. avval, keyin qoshiq muzqaymoqni tushiring.

Shunday qilib, egri chiziq ostidagi maydon menga marketingning amaliy misoli bilan tushuntirildi. Tushuntirish uchun Coca-Cola va bankaning pastki qismidagi ozgina egrilik misol sifatida ishlatilgan. O'qituvchining tushuntirishicha, bankalar bilan bog'liq muammo shundaki, ular shisha idishlarga qaraganda kamroq suyuqlikni o'z ichiga oladi, shuning uchun ular kavisli tubini oshirishga to'g'ri keladi, bu holda havo hajmi egri chiziq ostida bo'ladi va shu bilan ko'proq suyuqlik bordek taassurot qoldiradi. .

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: