X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot zichligi funksiyasi bilan berilgan. Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari

Kutilgan qiymat

Dispersiya Mumkin qiymatlari butun Ox o'qiga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi tenglik bilan aniqlanadi:

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan tarqatish zichligi f(x) , yoki F(x) taqsimot funksiyasi (misolga qarang). Odatda bunday vazifalarda uni topish talab qilinadi matematik kutish, standart og'ish, f(x) va F(x) funksiyalarini chizing..

Ko'rsatma. Kirish ma'lumotlarining turini tanlang: tarqatish zichligi f(x) yoki tarqatish funksiyasi F(x) .

Tarqatish zichligi f(x) berilgan:

F(x) taqsimot funksiyasi berilgan:

Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollik zichligi bilan aniqlanadi
(Rayleigh taqsimot qonuni - radiotexnikada qo'llaniladi). M(x) , D(x) ni toping.

X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi davomiy , agar uning taqsimot funksiyasi F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi:
P(a< X < β)=F(β) - F(α)
bundan tashqari, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning chegaralari ushbu intervalga kiritilganmi yoki yo'qligi muhim emas:
P(a< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Tarqatish zichligi uzluksiz tasodifiy miqdor funksiya deyiladi
f(x)=F'(x) , taqsimot funksiyasining hosilasi.

Tarqatish zichligi xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy emas (f(x) ≥ 0).
2. Normalizatsiya sharti:

Normalizatsiya shartining geometrik ma'nosi: taqsimlanish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birga teng.
3. a dan b gacha bo'lgan oraliqda X tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli formula bo'yicha hisoblanishi mumkin.

Geometrik jihatdan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ning intervalga (a, b) tushishi ehtimoli ushbu intervalga asoslangan taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
4. Tarqatish funksiyasi zichlik bilan quyidagicha ifodalanadi:

X nuqtadagi taqsimot zichligi qiymati bu qiymatni olish ehtimoliga teng emas, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz faqat ma'lum bir intervalga tushish ehtimoli haqida gapirishimiz mumkin. Keling:

uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X oraliqdan istalgan qiymatni oladi [ a; b], dan oraliqda uning ehtimollik zichligining ma’lum bir integraliga teng a oldin b:

.

Bunda funksiyaning umumiy formulasi F(x) zichlik funktsiyasi ma'lum bo'lsa, foydalanish mumkin bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti f(x) :

.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi uning taqsimot egri chizig'i deb ataladi (quyida rasm).

Shaklning maydoni (rasmda soyali), egri chiziq bilan chegaralangan, nuqtalardan chizilgan to'g'ri chiziqlar a Va b abscissa o'qiga perpendikulyar va o'q Oh, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini grafik tarzda ko'rsatadi X oralig'ida joylashgan a oldin b.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasining xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan istalgan qiymatni olish ehtimoli (va funktsiya grafigi bilan chegaralangan rasmning maydoni) f(x) va o'q Oh) birga teng:

2. Ehtimollar zichligi funksiyasi manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi:

va taqsimot mavjudligidan tashqarida uning qiymati nolga teng

Tarqatish zichligi f(x), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(x), taqsimot qonunining shakllaridan biridir, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u universal emas: taqsimot zichligi faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlashning amaldagi ikkita eng muhim turini aytib o'tamiz.

Agar taqsimot zichligi funktsiyasi bo'lsa f(x) ba'zi bir chekli oraliqdagi uzluksiz tasodifiy miqdor [ a; b] doimiy qiymatni oladi C, va intervaldan tashqarida nolga teng qiymat qabul qilinadi, keyin bu taqsimlash bir xil deb ataladi .

Agar taqsimot zichligi funktsiyasining grafigi markazga nisbatan nosimmetrik bo'lsa, o'rtacha qiymatlar markazga yaqin joyda to'planadi va markazdan uzoqlashganda o'rtacha qiymatlardan farqliroq yig'iladi (funktsiya grafigi kesmaga o'xshaydi). qo'ng'iroq), keyin bu taqsimot normal deyiladi .

1-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi ma'lum:

Xususiyat toping f(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Ehtimollar taqsimoti funksiyasining hosilasini topib, ehtimollik zichligi funksiyasini olamiz:

Funktsiya grafigi F(x) - parabola:

Funktsiya grafigi f(x) - to'g'ri chiziq:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

2-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi quyidagicha berilgan:

Hisoblash omili C. Xususiyat toping F(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 0 dan 5 gacha bo‘lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Koeffitsient C ehtimollik zichligi funksiyasining 1 xususiyatidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi:

Integratsiyalash orqali biz funktsiyani topamiz F(x) ehtimollik taqsimotlari. Agar x < 0 , то F(x) = 0. Agar 0< x < 10 , то

.

x> 10, keyin F(x) = 1 .

Shunday qilib, ehtimollikni taqsimlash funktsiyasining to'liq yozuvi:

Funktsiya grafigi f(x) :

Funktsiya grafigi F(x) :

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

3-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X tenglik bilan beriladi, esa. Koeffitsientni toping A, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ]0, 5[ oraliqdan qandaydir qiymat oladi X.

Yechim. Shartga ko'ra, biz tenglikka erishamiz

Shuning uchun, qaerdan. Shunday qilib,

.

Endi biz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini topamiz X]0, 5[ oralig'idan istalgan qiymatni oladi:

Endi biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasini olamiz:

4-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini toping X, bu faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi va uning taqsimot funktsiyasi .

“Tasodifiy o‘zgaruvchilar” mavzusi bo‘yicha masalalar yechishga misollar.

Vazifa 1 . Lotereyada 100 ta chipta chiqarilgan. 50 AQSh dollari miqdoridagi bitta g'alaba o'ynaldi. va har biri 10 dollardan o'nta g'alaba. X qiymatini taqsimlash qonunini toping - mumkin bo'lgan daromadning qiymati.

Yechim. X ning mumkin bo'lgan qiymatlari: x 1 = 0; x 2 = 10 va x 3 = 50. 89 ta "bo'sh" chipta bo'lganligi sababli, p 1 = 0,89, g'alaba qozonish ehtimoli 10 c.u. (10 ta chipta) - p 2 = 0,10 va 50 c.u g'alaba uchun. – p 3 = 0,01. Shunday qilib:

0,89

0,10

0,01

Boshqarish oson: .

Vazifa 2. Xaridorning mahsulot reklamasi bilan oldindan tanishish ehtimoli 0,6 (p = 0,6). Reklama sifatini tanlab nazorat qilish xaridorlarni reklamani oldindan o'rgangan birinchi xaridor oldidan so'rov o'tkazish orqali amalga oshiriladi. Intervyu qilingan xaridorlar sonini bir qator taqsimlash.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra p = 0,6. Kimdan: q=1 -p = 0,4. Ushbu qiymatlarni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: va tarqatish seriyasini tuzing:

pi

0,24

Vazifa 3. Kompyuter uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat: tizim bloki, monitor va klaviatura. Voltajning bir marta keskin oshishi bilan har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bernoulli taqsimotiga asoslanib, tarmoqdagi quvvat kuchayishi paytida ishlamay qolgan elementlarning soni uchun taqsimot qonunini tuzing.

Yechim. O'ylab ko'ring Bernoulli taqsimoti(yoki binomial): ehtimollik n testlar, voqea A aniq paydo bo'ladi k bir marta: , yoki:

q n

p n

IN keling, vazifaga qaytaylik.

X ning mumkin bo'lgan qiymatlari (nosozliklar soni):

x 0 =0 - elementlarning hech biri muvaffaqiyatsiz tugadi;

x 1 =1 - bitta elementning ishdan chiqishi;

x 2 =2 - ikkita elementning ishdan chiqishi;

x 3 =3 - barcha elementlarning ishdan chiqishi.

Chunki shart bo'yicha p = 0,1, keyin q = 1 - p = 0,9. Bernulli formulasidan foydalanib, biz olamiz

, ,

, .

Boshqaruv: .

Shunday qilib, kerakli taqsimot qonuni:

0,729

0,243

0,027

0,001

Vazifa 4. 5000 tur ishlab chiqarilgan. Bitta kartrij nuqsonli bo'lish ehtimoli . Butun partiyada aynan 3 ta nosoz patron bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Qo'llanilishi mumkin Puasson taqsimoti: bu taqsimot juda katta bo'lganligi ehtimolini aniqlash uchun ishlatiladi

sinovlar soni (ommaviy sinovlar), ularning har birida A hodisasi ehtimoli juda kichik, A hodisasi k marta sodir bo'ladi: , Qayerda.

Bu erda n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Biz topamiz , keyin kerakli ehtimollik: .

Vazifa 5. P ni urish ehtimoli bilan birinchi zarbadan oldin otish paytida Otish uchun = 0,6, uchinchi zarbada urish ehtimolini topishingiz kerak.

Yechim. Keling, geometrik taqsimotni qo'llaymiz: mustaqil sinovlar o'tkazilsin, ularning har birida A hodisasi p paydo bo'lish ehtimoliga ega (va sodir bo'lmaslik q = 1 - p). Sinovlar A hodisasi yuz berishi bilanoq tugaydi.

Bunday sharoitda k-sinovda A hodisaning sodir bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi. Bu erda p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Shuning uchun, .

Vazifa 6. Tasodifiy X ning taqsimlanish qonuni berilgan bo'lsin:

Matematik taxminni toping.

Yechim. .

E'tibor bering, matematik kutishning ehtimollik ma'nosi tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidir.

Vazifa 7. Quyidagi taqsimot qonuni bilan X tasodifiy o‘zgaruvchining dispersiyasini toping:

Yechim. Bu yerga .

X kvadratining taqsimlanish qonuni 2 :

X 2

Kerakli farq: .

Dispersiya tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanish (tarqalish) darajasini tavsiflaydi.

Vazifa 8. Tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot bilan berilgan bo'lsin:

10m

Uning sonli xarakteristikalarini toping.

Yechish: m, m 2 ,

M 2 , m.

X tasodifiy o'zgaruvchisi haqida ham aytish mumkin - uning matematik taxmini 6,4 m, dispersiya 13,04 m. 2 , yoki - uning matematik taxmini m og'ish bilan 6,4 m. Ikkinchi formula aniqroq aniq.

Vazifa 9. Tasodifiy qiymat X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:
.

Sinov natijasida X qiymati oraliqdagi qiymatni olish ehtimolini toping .

Yechim. X ning berilgan oraliqdan qiymat olishi ehtimolligi bu oraliqdagi integral funktsiyaning o'sishiga teng, ya'ni. . Bizning holatlarimizda va shuning uchun

.

Vazifa 10. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash qonuni bilan belgilanadi:

Tarqatish funksiyasini toping F(x ) va uning grafigini tuzing.

Yechim. Tarqatish funksiyasidan beri

Uchun , Bu

da ;

da ;

da ;

da ;

Tegishli diagramma:


11-topshiriq. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X differensial taqsimot funksiyasi bilan berilgan: .

Urish ehtimolini toping X dan intervalgacha

Yechim. E'tibor bering, bu eksponensial taqsimot qonunining alohida holati.

Keling, formuladan foydalanamiz: .

Vazifa 12. Taqsimot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalarini toping:

–5

X 2:

x2

. , Qayerda Laplas funktsiyasidir.

Ushbu funktsiyaning qiymatlari jadval yordamida topiladi.

Bizning holatda: .

Jadvalga ko'ra biz topamiz:, shuning uchun:

Matematik kutish tushunchalari M(X) va dispersiya D(X Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari kiritilgan ) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga kengaytirilishi mumkin.

· Matematik kutish M(X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi:

agar bu integral yaqinlashsa.

· Dispersiya D(X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan belgilanadi:

· Standart og'ishσ( X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi tenglik bilan aniqlanadi:

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari ko'rib chiqilgan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi.

Muammo 5.3. Tasodifiy qiymat X differensial funksiya bilan berilgan f(x):

Toping M(X), D(X), σ( X), shuningdek P(1 < X< 5).

Yechim:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Vazifalar

5.1. X

f(x), shuningdek

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:

Differensial taqsimot funksiyasini toping f(x), shuningdek

R(2p /9< X< π /2).

5.3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X), D(X).

5.4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tarqatish zichligi bilan belgilanadi:

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Toping: a) F(X) va uning grafigini tuzing; b) M(X), D(X), σ( X); c) to'rtta mustaqil sinovda qiymat bo'lish ehtimoli X(1;4) intervalga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta oladi.

5.6. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan X:

Toping: a) F(X) va uning grafigini tuzing; b) M(X), D(X), σ( X); c) uchta mustaqil sinovda qiymat bo'lish ehtimoli X intervalga tegishli qiymatdan to'liq 2 marta oladi.

5.7. Funktsiya f(X) quyidagicha berilgan:

Bilan X; b) taqsimlash funksiyasi F(x).

5.8. Funktsiya f(x) quyidagicha berilgan:

Toping: a) konstantaning qiymati Bilan, bunda funksiya ba'zi tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi bo'ladi X; b) taqsimlash funksiyasi F(x).

5.9. Tasodifiy qiymat X, (3;7) oraliqda jamlangan, taqsimot funksiyasi bilan berilgan F(X)= X qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas.

5.10. Tasodifiy qiymat X, (-1; 4) oraliqda jamlangan, taqsimot funksiyasi bilan berilgan F(X)= . Tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimolini toping X qiymatni oladi: a) 2 dan kichik, b) 4 dan kichik.


5.11.

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X); c) ehtimollik R(X > M(X)).

5.12. Tasodifiy o'zgaruvchi differensial taqsimot funktsiyasi bilan beriladi:

Toping: a) M(X); b) ehtimollik R(X ≤ M(X)).

5.13. Vaqt taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan:

Buni isbotlang f(x) haqiqatan ham ehtimollik zichligi taqsimotidir.

5.14. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan X:

Raqam toping Bilan.

5.15. Tasodifiy qiymat X[-2;2] segmentida Simpson qonuniga muvofiq taqsimlanadi (izo yonli uchburchak) (5.4-rasm). Ehtimollar zichligining analitik ifodasini toping f(x) butun son qatorida.

Guruch. 5.4-rasm. 5.5

5.16. Tasodifiy qiymat X(0; 4) oraliqda "to'g'ri uchburchak" qonuniga muvofiq taqsimlanadi (5.5-rasm). Ehtimollar zichligining analitik ifodasini toping f(x) butun son qatorida.

Javoblar

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2p /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) Bilan=1/6, b) M(X)=3, c) D(X)=26/81.

5.4. A) Bilan=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, s( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , s( X)= 1,893.

5.7. a) c =; b)

5.8. A) Bilan=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. A) Bilan= 2; b) M(X)= 2; 1-da ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= p /2; b) 1/2



 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: