Genetische Symbolik, Aufgabengestaltung. Winkel zwischen sich kreuzenden Linien – Definition, Beispiele für die Bestimmung der Bezeichnung von sich kreuzenden Linien

In diesem Artikel definieren wir zunächst den Winkel zwischen sich kreuzenden Linien und stellen eine grafische Darstellung bereit. Als nächstes beantworten wir die Frage: „Wie findet man den Winkel zwischen sich kreuzenden Linien, wenn die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem bekannt sind“? Abschließend üben wir das Ermitteln des Winkels zwischen sich schneidenden Linien beim Lösen von Beispielen und Problemen.

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Winkel zwischen sich schneidenden Geraden - Definition.

Wir werden uns schrittweise der Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Geraden nähern.

Erinnern wir uns zunächst an die Definition von Schräglinien: Man nennt zwei Linien im dreidimensionalen Raum Kreuzung, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen. Aus dieser Definition folgt, dass sich schneidende Linien nicht schneiden, nicht parallel sind und darüber hinaus nicht zusammenfallen, da sie sonst beide in einer bestimmten Ebene liegen würden.

Lassen Sie uns weitere Hilfsbegründungen anführen.

Gegeben seien zwei Schnittlinien a und b im dreidimensionalen Raum. Konstruieren wir gerade Linien a 1 und b 1 so, dass sie parallel zu den Schräglinien a bzw. b verlaufen und durch einen Punkt im Raum M 1 verlaufen. Somit erhalten wir zwei Schnittlinien a 1 und b 1. Der Winkel zwischen den Schnittlinien a 1 und b 1 sei gleich dem Winkel . Konstruieren wir nun die Linien a 2 und b 2 parallel zu den Schräglinien a bzw. b, die durch einen Punkt M 2 verlaufen, der sich vom Punkt M 1 unterscheidet. Der Winkel zwischen den Schnittlinien a 2 und b 2 ist ebenfalls gleich dem Winkel. Diese Aussage ist wahr, da die Geraden a 1 und b 1 mit den Geraden a 2 bzw. b 2 zusammenfallen, wenn eine parallele Übertragung durchgeführt wird, bei der sich Punkt M 1 zu Punkt M 2 bewegt. Somit hängt das Maß des Winkels zwischen zwei Geraden, die sich in einem Punkt M schneiden, bzw. parallel zu den gegebenen Schnittlinien sind, nicht von der Wahl des Punktes M ab.

Jetzt können wir den Winkel zwischen sich schneidenden Linien definieren.

Definition.

Winkel zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen zwei Schnittlinien, die jeweils parallel zu den gegebenen Schnittlinien sind.

Aus der Definition folgt, dass der Winkel zwischen sich kreuzenden Linien auch nicht von der Wahl des Punktes M abhängt. Daher können wir als Punkt M jeden Punkt annehmen, der zu einer der Schnittlinien gehört.

Lassen Sie uns die Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Linien veranschaulichen.

Ermitteln des Winkels zwischen sich schneidenden Linien.

Da der Winkel zwischen sich schneidenden Linien durch den Winkel zwischen sich schneidenden Linien bestimmt wird, reduziert sich die Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Linien auf die Ermittlung des Winkels zwischen den entsprechenden sich schneidenden Linien im dreidimensionalen Raum.

Zweifellos eignen sich die im Geometrieunterricht im Gymnasium erlernten Methoden zur Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Linien. Das heißt, nachdem Sie die erforderlichen Konstruktionen abgeschlossen haben, können Sie den gewünschten Winkel mit jedem aus der Bedingung bekannten Winkel verbinden, basierend auf der Gleichheit oder Ähnlichkeit der Figuren. In einigen Fällen hilft dies Kosinussatz, und führt manchmal zum Ergebnis Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels rechtwinkliges Dreieck.

Es ist jedoch sehr praktisch, das Problem der Ermittlung des Winkels zwischen sich kreuzenden Linien mithilfe der Koordinatenmethode zu lösen. Genau das werden wir berücksichtigen.

Lassen Sie Oxyz im dreidimensionalen Raum einführen (bei vielen Problemen müssen Sie ihn jedoch selbst eingeben).

Stellen wir uns eine Aufgabe: Finden Sie den Winkel zwischen den sich kreuzenden Linien a und b, die einigen Gleichungen einer Raumlinie im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz entsprechen.

Lass es uns lösen.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt im dreidimensionalen Raum M und gehen davon aus, dass durch ihn die Geraden a 1 und b 1 verlaufen, parallel zu den sich kreuzenden Geraden a bzw. b. Dann ist der erforderliche Winkel zwischen den Schnittlinien a und b per Definition gleich dem Winkel zwischen den Schnittlinien a 1 und b 1.

Wir müssen also nur den Winkel zwischen den Schnittlinien a 1 und b 1 ermitteln. Um die Formel zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Linien im Raum anzuwenden, müssen wir die Koordinaten der Richtungsvektoren der Linien a 1 und b 1 kennen.

Wie können wir sie bekommen? Es ist sehr einfach. Die Definition des Richtungsvektors einer Geraden erlaubt uns die Behauptung, dass die Mengen der Richtungsvektoren paralleler Geraden zusammenfallen. Daher können die Richtungsvektoren der Geraden a 1 und b 1 als Richtungsvektoren angenommen werden Und Geraden a bzw. b.

Also, Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden a und b wird nach der Formel berechnet
, Wo Und sind die Richtungsvektoren der Geraden a bzw. b.

Formel zum Ermitteln des Kosinus des Winkels zwischen sich kreuzenden Linien a und b haben die Form .

Ermöglicht die Ermittlung des Sinus des Winkels zwischen sich kreuzenden Linien, wenn der Kosinus bekannt ist: .

Es bleibt die Analyse der Lösungen zu den Beispielen.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Schnittlinien a und b, die im rechtwinkligen Oxyz-Koordinatensystem durch die Gleichungen definiert werden Und .

Lösung.

Mit den kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum können Sie sofort die Koordinaten des Richtungsvektors dieser Geraden bestimmen – sie werden durch die Zahlen im Nenner der Brüche gegeben, also . Parametrische Gleichungen einer Geraden im Raum ermöglichen es auch, die Koordinaten des Richtungsvektors sofort aufzuschreiben – sie sind gleich den Koeffizienten vor dem Parameter, also - direkter Vektor . Somit verfügen wir über alle notwendigen Daten, um die Formel anzuwenden, nach der der Winkel zwischen sich schneidenden Linien berechnet wird:

Antwort:

Der Winkel zwischen den angegebenen Schnittlinien ist gleich.

Beispiel.

Finden Sie den Sinus und Cosinus des Winkels zwischen den Schnittlinien, auf denen die Kanten AD und BC der Pyramide ABCD liegen, wenn die Koordinaten ihrer Scheitelpunkte bekannt sind: .

Lösung.

Die Richtungsvektoren der Kreuzungslinien AD und BC sind die Vektoren und . Berechnen wir ihre Koordinaten als Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten der End- und Anfangspunkte des Vektors:

Nach der Formel Wir können den Kosinus des Winkels zwischen den angegebenen Schnittlinien berechnen:

Berechnen wir nun den Sinus des Winkels zwischen den sich kreuzenden Linien:

Genetische Symbolik

Symbolik ist eine Liste und Erklärung konventioneller Namen und Begriffe, die in jedem Wissenschaftszweig verwendet werden.

Die Grundlagen der genetischen Symbolik wurden von Gregor Mendel gelegt, der die alphabetische Symbolik zur Bezeichnung von Merkmalen verwendete. Dominante Merkmale wurden in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets A, B, C usw. bezeichnet, rezessive Zeichen – in Kleinbuchstaben – a, b, c usw. Die von Mendel vorgeschlagene wörtliche Symbolik ist im Wesentlichen eine algebraische Form, die Gesetze der Vererbung von Merkmalen auszudrücken.

Die folgende Symbolik wird verwendet, um eine Kreuzung anzuzeigen.

Eltern werden mit dem lateinischen Buchstaben P (Eltern – Eltern) bezeichnet, dann werden ihre Genotypen daneben notiert. Das weibliche Geschlecht wird durch das Symbol ♂ (Spiegel der Venus), das männliche Geschlecht durch ♀ (Schild und Speer des Mars) gekennzeichnet. Zwischen den Eltern wird ein „x“ platziert, um die Kreuzung anzuzeigen. An erster Stelle steht der weibliche Genotyp, an zweiter Stelle der männliche.

Die erste Generation trägt die Bezeichnung F 1 (Filli - Kinder), zweite Generation - F 2 usw. Daneben stehen die Bezeichnungen der Genotypen der Nachkommen.

Glossar grundlegender Begriffe und Konzepte

Allele (allelische Gene)- verschiedene Formen eines Gens, die aus Mutationen resultieren und sich an identischen Stellen (Loci) gepaarter homologer Chromosomen befinden.

Alternative Zeichen– sich gegenseitig ausschließende, gegensätzliche Merkmale.

Gameten (vom griechischen Wort „gametes“) „- Ehegatte) ist eine Fortpflanzungszelle eines pflanzlichen oder tierischen Organismus, die ein Gen aus einem Allelpaar trägt. Gameten tragen Gene immer in „reiner“ Form, weil werden durch meiotische Zellteilung gebildet und enthalten eines von zwei homologen Chromosomen.

Gen (vom griechischen „genos“ „- Geburt) ist ein Abschnitt eines DNA-Moleküls, der Informationen über die Primärstruktur eines bestimmten Proteins trägt.

Allelische Gene – gepaarte Gene, die sich in identischen Regionen homologer Chromosomen befinden.

Genotyp - eine Reihe erblicher Neigungen (Gene) eines Organismus.

Heterozygote (vom griechischen Wort „heteros“) " - andere und Zygote) - eine Zygote, die zwei verschiedene Allele für ein bestimmtes Gen hat ( Aa, Bb).

Heterozygotsind Individuen, die von ihren Eltern unterschiedliche Gene erhalten haben. Ein heterozygotes Individuum führt bei seinen Nachkommen zur Segregation dieses Merkmals.

Homozygot (vom griechischen „homos“) " - identisch und Zygote) - eine Zygote, die die gleichen Allele eines bestimmten Gens hat (beide dominant oder beide rezessiv).

Homozygot werden Individuen genannt, die von ihren Eltern die gleichen erblichen Neigungen (Gene) für ein bestimmtes Merkmal erhalten haben. Ein homozygotes Individuum führt bei seinen Nachkommen nicht zur Spaltung.

Homologe Chromosomen(von griechisch „homos“ " - identisch) - gepaarte Chromosomen, identisch in Form, Größe und Gensatz. In einer diploiden Zelle ist der Chromosomensatz immer gepaart: Ein Chromosom stammt von einem Paar mütterlichen Ursprungs, das zweite ist väterlichen Ursprungs.

Heterozygotsind Individuen, die von ihren Eltern unterschiedliche Gene erhalten haben. Somit können Individuen je nach Genotyp homozygot (AA oder aa) oder heterozygot (Aa) sein.

Dominantes Merkmal (Gen) – vorherrschend, manifestierend – angegeben in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets: A, B, C usw.

Rezessives Merkmal (Gen) – das unterdrückte Zeichen wird durch den entsprechenden Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets angezeigt: a, b c usw.

Kreuzung analysieren– Kreuzung des Testorganismus mit einem anderen, der ein rezessives Homozygot für ein bestimmtes Merkmal ist, was es ermöglicht, den Genotyp des Testsubjekts zu bestimmen.

Dihybridkreuzung– Kreuzung von Formen, die sich in zwei Paaren alternativer Merkmale voneinander unterscheiden.

Monohybride Kreuzung– Kreuzung von Formen, die sich in einem Paar alternativer Merkmale voneinander unterscheiden.

Klare Linien - Organismen, die für ein oder mehrere Merkmale homozygot sind und bei ihren Nachkommen keine Manifestationen eines alternativen Merkmals hervorrufen.

Haartrockner ist ein Zeichen.

Phänotyp - die Gesamtheit aller äußeren Zeichen und Eigenschaften eines Organismus, die der Beobachtung und Analyse zugänglich sind.

Algorithmus zur Lösung genetischer Probleme

Lesen Sie die Aufgabenstufe sorgfältig durch.
Notieren Sie sich kurz die Problembedingungen.
Notieren Sie die Genotypen und Phänotypen der gekreuzten Individuen.
Identifizieren und dokumentieren Sie die Gametentypen, die von den gekreuzten Individuen produziert werden.
Bestimmen und dokumentieren Sie die Genotypen und Phänotypen der aus der Kreuzung hervorgegangenen Nachkommen.
Analysieren Sie die Ergebnisse der Kreuzung. Bestimmen Sie dazu die Anzahl der Nachkommenklassen nach Phänotyp und Genotyp und notieren Sie diese als Zahlenverhältnis.
Schreiben Sie die Antwort auf die Frage in der Aufgabe auf.

(Bei der Lösung von Problemen zu bestimmten Themen kann sich die Reihenfolge der Phasen ändern und deren Inhalt geändert werden.)

Formatierungsaufgaben

Es ist üblich, zuerst den weiblichen Genotyp und dann den männlichen zu erfassen (korrekte Eingabe - ♀ААВВ x ♂аавв; Ungültiger Eintrag- ♂ aavv x ♀AABB).
Gene eines Allelpaares werden immer nebeneinander geschrieben(richtige Eingabe - ♀ААВВ; falsche Eingabe ♀ААВВ).
Bei der Erfassung eines Genotyps werden Buchstaben, die Merkmale bezeichnen, immer in alphabetischer Reihenfolge geschrieben, unabhängig davon, welches Merkmal – dominant oder rezessiv – sie bezeichnen (korrekter Eintrag - ♀ааВВ;falsche Eingabe -♀ VVaa).
Wenn nur der Phänotyp eines Individuums bekannt ist, werden bei der Erfassung seines Genotyps nur die Gene erfasst, deren Vorhandensein unbestreitbar ist.Ein Gen, das nicht anhand des Phänotyps bestimmt werden kann, wird mit einem „_“ gekennzeichnet.(Wenn beispielsweise die gelbe Farbe (A) und die glatte Form (B) von Erbsensamen dominante Merkmale sind und die grüne Farbe (a) und die faltige Form (c) rezessiv sind, dann ist der Genotyp eines Individuums mit gelben, faltigen Samen wird wie folgt geschrieben: A_vv).
Der Phänotyp wird immer unter dem Genotyp geschrieben.
Gameten werden durch Einkreisen geschrieben.(A).
Bei Individuen werden die Gametentypen bestimmt und aufgezeichnet, nicht deren Anzahl

Der Kurs verwendet geometrische Sprache, bestehend aus Notationen und Symbolen, die in einem Mathematikkurs übernommen wurden (insbesondere im neuen Geometriekurs in der Oberstufe).

Die ganze Vielfalt an Bezeichnungen und Symbolen sowie die Verbindungen zwischen ihnen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

Gruppe I – Bezeichnungen geometrischer Figuren und Beziehungen zwischen ihnen;

Gruppe II-Bezeichnungen logischer Operationen, die die syntaktische Grundlage der geometrischen Sprache bilden.

Nachfolgend finden Sie eine vollständige Liste der in diesem Kurs verwendeten mathematischen Symbole. Besonderes Augenmerk wird auf die Symbole gelegt, mit denen die Projektionen geometrischer Figuren angezeigt werden.

Gruppe I

SYMBOLE, DIE GEOMETRISCHE FIGUREN UND BEZIEHUNGEN ZWISCHEN IHNEN ANZEIGEN

A. Bezeichnung geometrischer Figuren

1. Eine geometrische Figur wird mit F bezeichnet.

2. Punkte werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder arabische Ziffern angegeben:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linien, die in Bezug auf die Projektionsebenen willkürlich angeordnet sind, werden durch Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Die Niveaulinien werden wie folgt bezeichnet: h - horizontal; f- vorne.

Für Geraden werden auch folgende Notationen verwendet:

(AB) – eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft;

[AB) – Strahl mit Beginn am Punkt A;

[AB] – ein gerades Liniensegment, das durch die Punkte A und B begrenzt wird.

4. Flächen werden mit Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Um die Art und Weise hervorzuheben, wie eine Oberfläche definiert wird, sollten die geometrischen Elemente angegeben werden, durch die sie definiert wird, zum Beispiel:

α(a || b) – die Ebene α wird durch parallele Linien a und b bestimmt;

β(d 1 d 2 gα) – die Oberfläche β wird durch die Führungen d 1 und d 2, den Generator g und die Parallelitätsebene α bestimmt.

5. Winkel sind angegeben:

∠ABC – Winkel mit Scheitelpunkt am Punkt B, sowie ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Winkel: Der Wert (Gradmaß) wird durch das Vorzeichen angezeigt, das über dem Winkel steht:

Der Betrag des Winkels ABC;

Die Größe des Winkels φ.

Ein rechter Winkel wird durch ein Quadrat mit einem Punkt darin markiert

7. Die Abstände zwischen geometrischen Figuren werden durch zwei vertikale Segmente angezeigt - ||.

Zum Beispiel:

|AB| - der Abstand zwischen den Punkten A und B (Länge des Segments AB);

|Aa| - Abstand vom Punkt A zur Linie a;

|Aα| - Abstände vom Punkt A zur Oberfläche α;

|ab| - Abstand zwischen den Linien a und b;

|αβ| Abstand zwischen den Flächen α und β.

8. Für Projektionsebenen werden folgende Bezeichnungen akzeptiert: π 1 und π 2, wobei π 1 die horizontale Projektionsebene ist;

π 2 - Frontalprojektionsebene.

Beim Ersetzen von Projektionsebenen oder beim Einführen neuer Ebenen werden diese mit π 3, π 4 usw. bezeichnet.

9. Die Projektionsachsen werden bezeichnet: x, y, z, wobei x die Abszissenachse ist; y - Ordinatenachse; z - Achse anwenden.

Monges konstantes Geradendiagramm wird mit k bezeichnet.

10. Projektionen von Punkten, Linien, Flächen und beliebigen geometrischen Figuren werden durch dieselben Buchstaben (oder Zahlen) wie das Original gekennzeichnet, mit dem Zusatz eines hochgestellten Zeichens, das der Projektionsebene entspricht, auf der sie erhalten wurden:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontale Projektionen von Punkten; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... Frontalprojektionen von Punkten; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontale Projektionen von Linien; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... Frontalprojektionen von Linien; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontale Projektionen von Flächen; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... Frontalprojektionen von Flächen.

11. Spuren von Ebenen (Oberflächen) werden mit denselben Buchstaben wie die horizontalen oder frontalen Linien bezeichnet, wobei der Index 0α hinzugefügt wird, wodurch betont wird, dass diese Linien in der Projektionsebene liegen und zur Ebene (Oberfläche) α gehören.

Also: h 0α - horizontale Spur der Ebene (Oberfläche) α;

f 0α - Frontalspur der Ebene (Oberfläche) α.

12. Spuren gerader Linien (Linien) werden durch Großbuchstaben gekennzeichnet, mit denen die Wörter beginnen, die den Namen (in lateinischer Transkription) der Projektionsebene definieren, die die Linie schneidet, wobei ein Index die Zugehörigkeit zur Linie angibt.

Zum Beispiel: H a - horizontale Spur einer geraden Linie (Linie) a;

F a - Frontalspur der Geraden (Linie) a.

13. Die Folge von Punkten, Linien (jeder Figur) wird mit den Indizes 1,2,3,..., n gekennzeichnet:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1, α 2, α 3,...,α n;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n usw.

Die Hilfsprojektion eines Punktes, die als Ergebnis der Transformation zum Erhalten des tatsächlichen Wertes einer geometrischen Figur erhalten wird, wird mit demselben Buchstaben mit einem Index 0 bezeichnet:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Axonometrische Projektionen

14. Axonometrische Projektionen von Punkten, Linien, Flächen werden mit den gleichen Buchstaben wie die Natur bezeichnet, ergänzt durch eine hochgestellte 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundärprojektionen werden durch das Hinzufügen einer hochgestellten 1 gekennzeichnet:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Um die Lesbarkeit der Zeichnungen im Lehrbuch zu erleichtern, werden bei der Gestaltung des Anschauungsmaterials mehrere Farben verwendet, die jeweils eine bestimmte semantische Bedeutung haben: Schwarze Linien (Punkte) kennzeichnen die Originaldaten; Die grüne Farbe wird für Linien von grafischen Hilfskonstruktionen verwendet. Rote Linien (Punkte) zeigen die Ergebnisse von Konstruktionen oder diejenigen geometrischen Elemente, denen besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden sollte.

B. Symbole, die Beziehungen zwischen geometrischen Figuren bezeichnen

Nr. von por.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel einer symbolischen Notation
1	≡	Übereinstimmen	(AB)≡(CD) – eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, fällt mit der Linie zusammen, die durch die Punkte C und D verläuft
2	≅	Kongruent	∠ABC≅∠MNK – Winkel ABC ist kongruent zum Winkel MNK
3	∼	Ähnlich	ΔАВС∼ΔMNK – Dreiecke АВС und MNK sind ähnlich
4	\|\|	Parallel	α\|\|β – Ebene α ist parallel zur Ebene β
5	⊥	Aufrecht	a⊥b – Geraden a und b stehen senkrecht zueinander
6		Kreuzung	c d - Geraden c und d schneiden sich
7		Tangenten	t l - Linie t ist Tangente an Linie l. βα – Ebene β tangential zur Oberfläche α
8	→	Angezeigt	F 1 →F 2 – Figur F 1 wird auf Figur F 2 abgebildet
9	S	Projektionszentrum. Wenn das Projektionszentrum ein ungeeigneter Punkt ist, dann wird seine Position durch einen Pfeil angezeigt, Angabe der Projektionsrichtung	-
10	S	Projektionsrichtung	-
11	P	Parallelprojektion	ð s α Parallelprojektion - Parallelprojektion auf die α-Ebene in s-Richtung

B. Mengentheoretische Notation

Nr. von por.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel einer symbolischen Notation	Beispiel für symbolische Notation in der Geometrie
1	M,N	Sets	-	-
2	ABC,...	Elemente des Sets	-	-
3	{ ... }	Besteht aus...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,...) - Figur Ф besteht aus den Punkten A, B, C, ...
4	∅	Leeres Set	L - ∅ - die Menge L ist leer (enthält keine Elemente)	-
5	∈	Gehört zu, ist ein Element	2∈N (wobei N die Menge der natürlichen Zahlen ist) - die Zahl 2 gehört zur Menge N	A ∈ a - Punkt A gehört zur Geraden a (Punkt A liegt auf der Geraden a)
6	⊂	Beinhaltet, enthält	N⊂M – die Menge N ist Teil (Untermenge) der Menge M aller rationalen Zahlen	a⊂α - Gerade a gehört zur Ebene α (verstanden im Sinne: die Punktmenge der Geraden a ist eine Teilmenge der Punkte der Ebene α)
7	∪	Einen Verband	C = A U B - Menge C ist eine Vereinigung von Mengen A und B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - gestrichelte Linie, ABCD ist Kombinieren der Segmente [AB], [BC],
8	∩	Schnittpunkt von vielen	M=K∩L – die Menge M ist der Schnittpunkt der Mengen K und L (enthält Elemente, die sowohl zur Menge K als auch zur Menge L gehören). M ∩ N = ∅ – der Schnittpunkt der Mengen M und N ist die leere Menge (Mengen M und N haben keine gemeinsamen Elemente)	a = α ∩ β - Gerade a ist der Schnittpunkt Ebenen α und β a ∩ b = ∅ - Geraden a und b schneiden sich nicht (haben keine Gemeinsamkeiten)

Symbole der Gruppe II, die logische Vorgänge anzeigen

Nr. von por.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel einer symbolischen Notation
1	∧	Konjunktion von Sätzen; entspricht der Konjunktion „und“. Ein Satz (p∧q) ist genau dann wahr, wenn p und q beide wahr sind	α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Der Schnittpunkt der Flächen α und β ist eine Menge von Punkten (Linie), bestehend aus all jenen und nur jenen Punkten K, die sowohl zur Oberfläche α als auch zur Oberfläche β gehören
2	∨	Disjunktion von Sätzen; entspricht der Konjunktion „oder“. Satz (p∨q) wahr, wenn mindestens einer der Sätze p oder q wahr ist (d. h. entweder p oder q oder beide).	-
3	⇒	Implikation ist eine logische Konsequenz. Der Satz p⇒q bedeutet: „Wenn p, dann q“	(a\|\|c∧b\|\|c)⇒a\|\|b. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander
4	⇔	Der Satz (p⇔q) wird in dem Sinne verstanden: „Wenn p, dann q; wenn q, dann p“	А∈α⇔А∈l⊂α. Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die zu dieser Ebene gehört. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn ein Punkt zu einer bestimmten Geraden gehört, zur Ebene gehört, dann gehört es zur Ebene selbst
5	∀	Der allgemeine Quantor lautet: für alle, für alle, für jeden. Der Ausdruck ∀(x)P(x) bedeutet: „Für jedes x gilt: die Eigenschaft P(x)“	∀(ΔАВС)( = 180°) Für jedes (für jedes) Dreieck die Summe der Werte seiner Winkel an den Eckpunkten beträgt 180°
6	∃	Der Existenzquantor lautet: existiert. Der Ausdruck ∃(x)P(x) bedeutet: „Es gibt ein x, das die Eigenschaft P(x) hat“	(∀α)(∃a).Zu jeder Ebene α gibt es eine Gerade a, die nicht zur Ebene α gehört und parallel zur Ebene α
7	∃1	Der Quantifizierer der Einzigartigkeit der Existenz lautet: Es gibt nur eines (-i, -th)... Der Ausdruck ∃1(x)(Рх) bedeutet: „Es gibt nur ein (nur ein) x, mit der Eigenschaft Px"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Für zwei verschiedene Punkte A und B gibt es eine eindeutige Gerade a, durch diese Punkte gehen.
8	(Px)	Negation der Aussage P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b).Wenn sich die Geraden a und b schneiden, dann gibt es keine Ebene a, die sie enthält
9	\	Negation des Zeichens	≠ -Segment [AB] ist nicht gleich Segment .a?b – Linie a ist nicht parallel zu Linie b

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