Ein lustiger Vorfall aus dem Leben. Kugelgeometrie Eigenschaften des Zahlenkreises

Ich habe einmal ein Gespräch zwischen zwei Bewerbern miterlebt:

– Wann sollten Sie 2πn hinzufügen und wann sollten Sie πn hinzufügen? Ich kann mich einfach nicht erinnern!

– Und ich habe das gleiche Problem.

Ich wollte ihnen nur sagen: „Du musst es nicht auswendig lernen, aber verstehen!“

Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Oberstufenschüler und wird ihnen hoffentlich dabei helfen, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen mit „Verständnis“ zu lösen:

Zahlenkreis

Neben dem Konzept einer Zahlengeraden gibt es auch das Konzept eines Zahlenkreises. Wie wir wissen, In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt (0;0) und einem Radius 1 als Einheitskreis bezeichnet. Stellen wir uns einen Zahlenstrahl als dünnen Faden vor und wickeln ihn um diesen Kreis: Wir befestigen den Ursprung (Punkt 0) am „rechten“ Punkt des Einheitskreises, wir wickeln die positive Halbachse gegen den Uhrzeigersinn und die negative Halbachse -Achse in Richtung (Abb. 1). Einen solchen Einheitskreis nennt man Zahlenkreis.

Eigenschaften des Zahlenkreises

Jede reelle Zahl liegt auf einem Punkt des Zahlenkreises.
An jedem Punkt des Zahlenkreises gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Da die Länge des Einheitskreises 2π beträgt, ist die Differenz zwischen zwei beliebigen Zahlen an einem Punkt auf dem Kreis gleich einer der Zahlen ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Lassen Sie uns abschließen: Wenn wir eine der Zahlen von Punkt A kennen, können wir alle Zahlen von Punkt A finden.

Zeichnen wir den Durchmesser des AC (Abb. 2). Da x_0 eine der Zahlen des Punktes A ist, dann sind die Zahlen x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... und nur sie werden die Zahlen von Punkt C sein. Wählen wir eine dieser Zahlen, sagen wir x_0+π, und schreiben wir damit alle Zahlen von Punkt C auf: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Beachten Sie, dass die Zahlen an den Punkten A und C in einer Formel zusammengefasst werden können: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (für k = 0; ±2; ±4; ... erhalten wir die Zahlen von Punkt A und für k = ±1; ±3; … – Nummern von Punkt C).

Lassen Sie uns abschließen: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder C des Durchmessers AC kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden.

Zwei entgegengesetzte Zahlen befinden sich auf Punkten des Kreises, die bezüglich der Abszissenachse symmetrisch sind.

Zeichnen wir eine vertikale Sehne AB (Abb. 2). Da die Punkte A und B symmetrisch zur Ox-Achse sind, befindet sich die Zahl -x_0 am Punkt B und daher sind alle Zahlen des Punktes B durch die Formel x_B=-x_0+2πk ,k∈Z gegeben. Wir schreiben die Zahlen an den Punkten A und B mit einer Formel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Lassen Sie uns schlussfolgern: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder B der vertikalen Sehne AB kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden. Betrachten wir die horizontale Sehne AD und ermitteln wir die Nummern des Punktes D (Abb. 2). Da BD ein Durchmesser ist und die Zahl -x_0 zum Punkt B gehört, ist -x_0 + π eine der Zahlen des Punktes D und daher sind alle Zahlen dieses Punktes durch die Formel x_D=-x_0+π+ gegeben 2πk ,k∈Z. Die Zahlen an den Punkten A und D können mit einer Formel geschrieben werden: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (für k= 0; ±2; ±4; … erhalten wir die Zahlen von Punkt A und für k = ±1; ±3; ±5; … – die Zahlen von Punkt D).

Lassen Sie uns abschließen: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder D der horizontalen Sehne AD kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden.

Sechzehn Hauptpunkte des Zahlenkreises

In der Praxis umfasst die Lösung der meisten einfachsten trigonometrischen Gleichungen sechzehn Punkte auf einem Kreis (Abb. 3). Was sind das für Punkte? Rote, blaue und grüne Punkte teilen den Kreis in 12 gleiche Teile. Da die Länge des Halbkreises π beträgt, beträgt die Länge des Bogens A1A2 π/2, die Länge des Bogens A1B1 beträgt π/6 und die Länge des Bogens A1C1 beträgt π/3.

Jetzt können wir jeweils eine Zahl angeben:

π/3 auf C1 und

Die Eckpunkte des orangefarbenen Quadrats sind die Mittelpunkte der Bögen jedes Viertels, daher ist die Länge des Bogens A1D1 gleich π/4 und daher ist π/4 eine der Zahlen des Punktes D1. Mithilfe der Eigenschaften des Zahlenkreises können wir mit Formeln alle Zahlen auf allen markierten Punkten unseres Kreises aufschreiben. Die Koordinaten dieser Punkte sind ebenfalls in der Abbildung markiert (auf die Beschreibung ihrer Erfassung verzichten wir).

Nachdem wir das oben Gesagte gelernt haben, verfügen wir nun über eine ausreichende Vorbereitung, um Sonderfälle (für neun Werte der Zahl) zu lösen A) einfachste Gleichungen.

Gleichungen lösen

1)sinx=1⁄(2).

– Was wird von uns verlangt?

– Finden Sie alle Zahlen x, deren Sinus 1/2 ist.

Erinnern wir uns an die Definition von Sinus: sinx – Ordinate des Punktes auf dem Zahlenkreis, auf dem sich die Zahl x befindet. Wir haben zwei Punkte auf dem Kreis, deren Ordinate gleich 1/2 ist. Dies sind die Enden der horizontalen Sehne B1B2. Das bedeutet, dass die Anforderung „Löse die Gleichung sinx=1⁄2“ der Anforderung „Finde alle Zahlen am Punkt B1 und alle Zahlen am Punkt B2“ entspricht.

2)sinx=-√3⁄2 .

Wir müssen alle Zahlen an den Punkten C4 und C3 finden.

3) sinx=1. Auf dem Kreis haben wir nur einen Punkt mit der Ordinate 1 – Punkt A2 und daher müssen wir nur alle Zahlen dieses Punktes finden.

Antwort: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Nur Punkt A_4 hat eine Ordinate von -1. Alle Zahlen dieses Punktes sind die Pferde der Gleichung.

Antwort: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Auf dem Kreis haben wir zwei Punkte mit der Ordinate 0 – die Punkte A1 und A3. Sie können die Zahlen an jedem der Punkte separat angeben, aber da diese Punkte diametral entgegengesetzt sind, ist es besser, sie in einer Formel zu kombinieren: x=πk,k∈Z.

Antwort: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Erinnern wir uns an die Definition des Kosinus: cosx ist die Abszisse des Punktes auf dem Zahlenkreis, auf dem die Zahl x liegt. Auf dem Kreis haben wir zwei Punkte mit der Abszisse √2⁄2 – die Enden der horizontalen Sehne D1D4. Wir müssen alle Zahlen zu diesen Punkten finden. Schreiben wir sie auf und kombinieren sie in einer Formel.

Antwort: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Wir müssen die Zahlen an den Punkten C_2 und C_3 finden.

Antwort: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Nur die Punkte A2 und A4 haben eine Abszisse von 0, was bedeutet, dass alle Zahlen an jedem dieser Punkte Lösungen der Gleichung sind.
.

Die Lösungen der Systemgleichung sind die Zahlen an den Punkten B_3 und B_4 zur Ungleichung cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Antwort: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Beachten Sie, dass für jeden zulässigen Wert von x der zweite Faktor positiv ist und daher die Gleichung dem System äquivalent ist

Die Lösungen der Systemgleichung sind die Anzahl der Punkte D_2 und D_3. Die Zahlen von Punkt D_2 erfüllen nicht die Ungleichung sinx≤0,5, die Zahlen von Punkt D_3 jedoch schon.

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+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y , m Z Finden Sie die Punkte, die den folgenden Zahlen entsprechen

0 y ), l Z Finden Sie die Punkte, die den folgenden Zahlen entsprechen

1. Zu welchem Viertel des Zahlenkreises gehört Punkt A? B. Zweiter. V. Dritter. G. Viertens. 2. Zu welchem Viertel des Zahlenkreises gehört Punkt A? B. Zweiter. V. Dritter. G. Viertens. 3. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Zahlen a und b, wenn: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Welches Viertel des Zahlenkreises zeigt auf A. Zuerst. B. Zweitens. C. Drittens. D. 2. Welches Viertel des Zahlenkreises gehört zu Punkt A? >0."> title="1. Zu welchem Viertel des Zahlenkreises gehört Punkt A? B. Zweiter. V. Dritter. G. Viertens. 2. Zu welchem Viertel des Zahlenkreises gehört Punkt A? B. Zweiter. V. Dritter. G. Viertens. 3. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Zahlen a und b, wenn: A. a>0"> !}

Anscheinend war die erste Berufung der Menschheit auf das, was später sphärische Geometrie genannt wurde, die Planetentheorie des griechischen Mathematikers Eudoxos (ca. 408–355), einem der Teilnehmer an Platons Akademie. Es handelte sich um einen Versuch, die Bewegung der Planeten um die Erde mit Hilfe von vier rotierenden konzentrischen Kugeln zu erklären, von denen jede eine spezielle Rotationsachse hatte und deren Enden an der umschließenden Kugel befestigt waren, an der sich wiederum die Sterne befanden "genagelt." Auf diese Weise wurden die komplizierten Flugbahnen der Planeten erklärt (aus dem Griechischen übersetzt bedeutet „Planet“ wandernd). Dank dieses Modells konnten antike griechische Wissenschaftler die Bewegungen der Planeten recht genau beschreiben und vorhersagen. Dies war beispielsweise in der Navigation sowie bei vielen anderen „irdischen“ Aufgaben erforderlich, bei denen berücksichtigt werden musste, dass die Erde kein flacher Pfannkuchen ist, der auf drei Säulen ruht. Bedeutende Beiträge zur Kugelgeometrie wurden von Menelaos von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) geleistet. Seine Arbeit Sphären wurde zum Höhepunkt griechischer Errungenschaften auf diesem Gebiet. IN Sferike Es werden sphärische Dreiecke betrachtet – ein Thema, das bei Euklid nicht vorkommt. Menelaos übertrug die euklidische Theorie der flachen Dreiecke auf die Kugel und gelangte unter anderem zu einer Bedingung, unter der drei Punkte auf den Seiten eines sphärischen Dreiecks oder deren Verlängerungen auf derselben Geraden liegen. Der entsprechende Satz für die Ebene war zu dieser Zeit bereits weithin bekannt, ging jedoch genau als Satz des Menelaos in die Geschichte der Geometrie ein, und im Gegensatz zu Ptolemäus (ca. 150), der in seinen Werken viele Berechnungen vornahm, ist die Abhandlung von Menelaos dies geometrisch streng im Geiste der euklidischen Tradition.

Grundprinzipien der sphärischen Geometrie.

Jede Ebene, die eine Kugel schneidet, ergibt im Querschnitt einen Kreis. Geht die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel, so ergibt sich im Querschnitt ein sogenannter Großkreis. Durch zwei beliebige Punkte auf einer Kugel, außer denen, die diametral gegenüberliegen, kann ein einziger großer Kreis gezeichnet werden. (Ein Beispiel für einen Großkreis auf dem Globus ist der Äquator und alle Meridiane.) Unendlich viele Großkreise verlaufen durch diametral gegenüberliegende Punkte. Kleiner Bogen AmB(Abb. 1) des Großkreises ist die kürzeste aller Linien auf der Kugel, die gegebene Punkte verbinden. Diese Zeile heißt geodätisch. Geodätische Linien spielen auf einer Kugel die gleiche Rolle wie gerade Linien in der Planimetrie. Viele Bestimmungen der Geometrie auf der Ebene gelten auch auf der Kugel, aber im Gegensatz zur Ebene schneiden sich zwei Kugellinien in zwei diametral gegenüberliegenden Punkten. Daher existiert das Konzept der Parallelität in der sphärischen Geometrie einfach nicht. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die Kugellinie geschlossen ist, d.h. Wenn wir uns in die gleiche Richtung bewegen, kehren wir zum Ausgangspunkt zurück; der Punkt teilt die Linie nicht in zwei Teile. Und eine weitere überraschende Tatsache aus planimetrischer Sicht ist, dass ein Dreieck auf einer Kugel alle drei rechten Winkel haben kann.

Linien, Segmente, Abstände und Winkel auf einer Kugel.

Großkreise auf einer Kugel gelten als gerade Linien. Wenn zwei Punkte zu einem Großkreis gehören, wird die Länge des kleineren Bogens, der diese Punkte verbindet, definiert als sphärische Distanz zwischen diesen Punkten, und der Bogen selbst ist wie ein Kugelsegment. Diametral gegenüberliegende Punkte sind durch unendlich viele Kugelsegmente – große Halbkreise – verbunden. Die Länge eines Kugelsegments wird durch das Bogenmaß des Zentralwinkels a und den Radius der Kugel bestimmt R(Abb. 2) ist nach der Bogenlängenformel gleich R A. Irgendein Punkt MIT Kugelsegment AB teilt es in zwei Teile, und die Summe ihrer Kugellängen ist wie in der Planimetrie gleich der Länge des gesamten Segments, d.h. R AOC+ R EULE= P AOB. Für jeden Punkt D außerhalb des Segments AB Es gibt eine „sphärische Dreiecksungleichung“: die Summe der sphärischen Abstände von D Vor A und von D Vor IN mehr AB, d.h. R AOD+ R Geburtsdatum> R AOB, – vollständige Übereinstimmung zwischen sphärischer und flacher Geometrie. Die Dreiecksungleichung ist eine der grundlegenden Ungleichungen in der Kugelgeometrie; daraus folgt, dass wie in der Planimetrie ein Kugelsegment kürzer ist als jede gestrichelte Kugellinie und daher jede Kurve auf der Kugel, die ihre Enden verbindet.

Ebenso lassen sich viele andere Konzepte der Planimetrie auf die Kugel übertragen, insbesondere solche, die sich durch Entfernungen ausdrücken lassen. Zum Beispiel, sphärischer Kreis– eine Menge von Punkten auf der Kugel, die von einem bestimmten Punkt den gleichen Abstand haben R. Es lässt sich leicht zeigen, dass der Kreis in einer Ebene senkrecht zum Kugeldurchmesser liegt RR` (Abb. 3), d.h. Dies ist ein gewöhnlicher flacher Kreis mit einem Mittelpunkt auf dem Durchmesser RR`. Aber es hat zwei sphärische Zentren: R Und R`. Diese Zentren werden normalerweise aufgerufen Stangen. Wenn wir uns dem Globus zuwenden, erkennen wir, dass es sich um Kreise wie Parallelkreise handelt und die Kugelmittelpunkte aller Parallelkreise der Nord- und Südpol sind. Wenn der Durchmesser r eines Kugelkreises gleich p/2 ist, dann geht der Kugelkreis in eine Kugelgerade über. (Auf dem Globus befindet sich der Äquator). In diesem Fall wird ein solcher Kreis aufgerufen Polar- jeden der Punkte R Und P`.

Einer der wichtigsten Begriffe der Geometrie ist die Gleichheit der Figuren. Figuren gelten als gleich, wenn sie so (durch Drehung und Translation) übereinander dargestellt werden können, dass die Abstände erhalten bleiben. Dies gilt auch für die sphärische Geometrie.

Winkel auf einer Kugel werden wie folgt definiert. Wenn sich zwei Kugellinien schneiden A Und B Auf der Kugel bilden sich vier kugelförmige Bigone, so wie zwei Schnittlinien auf einer Ebene sie in vier ebene Winkel teilen (Abb. 4). Jede der Diagonalen entspricht einem Diederwinkel, der durch die enthaltenden diametralen Ebenen gebildet wird A Und B. Und der Winkel zwischen sphärischen Geraden ist gleich dem kleineren der Winkel der Diagonalen, die sie bilden.

Wir bemerken auch, dass Winkel P ABC, der auf einer Kugel durch zwei Bögen eines Großkreises gebildet wird, wird durch den Winkel P gemessen A`B.C.` zwischen Tangenten an die entsprechenden Bögen an einem Punkt IN(Abb. 5) oder ein Diederwinkel, der durch diametrale Ebenen gebildet wird, die Kugelsegmente enthalten AB Und Sonne.

Wie in der Stereometrie ist jedem Punkt auf der Kugel ein Strahl zugeordnet, der vom Mittelpunkt der Kugel zu diesem Punkt verläuft, und jeder Figur auf der Kugel ist die Vereinigung aller sie schneidenden Strahlen zugeordnet. Somit entspricht eine sphärische Gerade der sie enthaltenden diametralen Ebene, ein sphärisches Segment entspricht einem ebenen Winkel, ein Digon entspricht einem Diederwinkel und ein sphärischer Kreis entspricht einer konischen Oberfläche, deren Achse durch die Pole des Kreises verläuft.

Ein polyedrischer Winkel mit einem Scheitelpunkt im Mittelpunkt der Kugel schneidet die Kugel entlang eines sphärischen Polygons (Abb. 6). Dies ist ein Bereich auf einer Kugel, der durch eine gestrichelte Linie aus Kugelsegmenten begrenzt wird. Die Glieder der gestrichelten Linie sind die Seiten eines sphärischen Polygons. Ihre Längen entsprechen den Werten der entsprechenden Ebenenwinkel des Polyederwinkels und dem Wert des Winkels an jedem Scheitelpunkt A gleich dem Diederwinkel am Rand OA.

Kugelförmiges Dreieck.

Unter allen sphärischen Polygonen ist das sphärische Dreieck von größtem Interesse. Drei große Kreise, die sich paarweise in zwei Punkten schneiden, bilden auf der Kugel acht sphärische Dreiecke. Wenn man die Elemente (Seiten und Winkel) eines von ihnen kennt, ist es möglich, die Elemente aller anderen zu bestimmen. Daher betrachten wir die Beziehungen zwischen den Elementen eines von ihnen, dessen alle Seiten kleiner als die Hälfte der großen sind Kreis. Die Seiten eines Dreiecks werden durch die Ebenenwinkel des Dreieckswinkels gemessen OABC, die Winkel des Dreiecks sind Diederwinkel desselben Dreiflächenwinkels (Abb. 7).

Viele Eigenschaften eines sphärischen Dreiecks (und sie sind auch Eigenschaften von Dreieckswinkeln) wiederholen fast vollständig die Eigenschaften eines gewöhnlichen Dreiecks. Dazu gehört die Dreiecksungleichung, die in der Sprache der Dreieckswinkel besagt, dass jeder ebene Winkel eines Dreieckswinkels kleiner ist als die Summe der beiden anderen. Oder zum Beispiel drei Gleichheitszeichen von Dreiecken. Alle planimetrischen Konsequenzen der genannten Sätze sowie deren Beweise bleiben auch auf der Kugel gültig. Somit liegt die Menge der Punkte mit gleichem Abstand von den Enden des Segments auch auf der Kugel senkrecht dazu, eine gerade Linie, die durch ihre Mitte verläuft, woraus folgt, dass die Winkelhalbierenden senkrecht zu den Seiten eines sphärischen Dreiecks stehen ABC einen gemeinsamen Punkt haben, oder besser gesagt, zwei diametral entgegengesetzte gemeinsame Punkte R Und R`, die die Pole seines einzigen umschriebenen Kreises sind (Abb. 8). In der Stereometrie bedeutet dies, dass ein Kegel um jeden beliebigen Dreieckswinkel beschrieben werden kann. Der Satz, dass sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks im Mittelpunkt seines Inkreises schneiden, lässt sich leicht auf die Kugel übertragen.

Auch die Sätze über den Schnittpunkt von Höhen und Medianen bleiben wahr, aber ihre üblichen Beweise in der Planimetrie verwenden direkt oder indirekt Parallelität, die auf einer Kugel nicht existiert, und daher ist es einfacher, sie erneut in der Sprache der Stereometrie zu beweisen. Reis. Abbildung 9 veranschaulicht den Beweis des sphärischen Mediansatzes: Ebenen, die die Mediane eines sphärischen Dreiecks enthalten ABC, schneiden ein ebenes Dreieck mit denselben Eckpunkten entlang seiner üblichen Mittellinien, daher enthalten sie alle den Radius der Kugel, die durch den Schnittpunkt der ebenen Mittellinien verläuft. Das Ende des Radius ist der gemeinsame Punkt der drei „kugelförmigen“ Mediane.

Die Eigenschaften sphärischer Dreiecke unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht von den Eigenschaften ebener Dreiecke. Somit kommt zu den bekannten drei Fällen der Gleichheit geradliniger Dreiecke ein vierter hinzu: zwei Dreiecke ABC Und А`В`С` sind gleich, wenn jeweils drei Winkel P gleich sind A= P A`, R IN= P IN`, R MIT= P MIT`. Daher gibt es auf der Kugel keine ähnlichen Dreiecke; außerdem gibt es in der sphärischen Geometrie kein Konzept von Ähnlichkeit, weil Es gibt keine Transformationen, die alle Abstände gleich oft (ungleich 1) ändern. Diese Merkmale stehen im Zusammenhang mit einer Verletzung des Euklidischen Axioms paralleler Linien und sind auch in der Geometrie Lobatschewskis verankert. Dreiecke mit gleichen Elementen und unterschiedlicher Ausrichtung werden als symmetrisch bezeichnet, beispielsweise als Dreiecke Wechselstrom`MIT Und VSS` (Abb. 10).

Die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks ist immer größer als 180°. Unterschied P A+P IN+P MIT - P = d (gemessen im Bogenmaß) ist eine positive Größe und wird sphärischer Überschuss genannt eines gegebenen sphärischen Dreiecks. Fläche eines sphärischen Dreiecks: S = R 2 Tage wo R ist der Radius der Kugel und d ist der sphärische Überschuss. Diese Formel wurde erstmals 1629 vom Niederländer A. Girard veröffentlicht und nach ihm benannt.

Betrachten wir eine Diagonale mit dem Winkel a, dann ist bei 226 = 2p/ N (N - ganzzahlig) kann die Kugel exakt zerschnitten werden P Kopien eines solchen Digons, und die Fläche der Kugel beträgt 4 nR 2 = 16 Uhr um R= 1, also beträgt die Fläche der Diagonale 4p/ N= 2a. Diese Formel gilt auch für a = 14 Uhr t/n und gilt daher für alle a. Wenn wir die Seiten eines sphärischen Dreiecks fortsetzen ABC und drücken Sie die Fläche der Kugel durch die Flächen der resultierenden Bigone mit Winkeln aus A,IN,MIT und seinen eigenen Bereich, dann können wir zur obigen Girard-Formel gelangen.

Koordinaten auf der Kugel.

Jeder Punkt auf der Kugel wird durch die Angabe zweier Zahlen vollständig bestimmt; diese Nummern ( Koordinaten) werden wie folgt bestimmt (Abb. 11). Ein großer Kreis ist fixiert QQ` (Äquator), einer der beiden Schnittpunkte des Kugeldurchmessers PP`, senkrecht zur Äquatorialebene, zum Beispiel mit der Oberfläche einer Kugel R (Pole) und einer der großen Halbkreise BREI` kommt aus der Stange ( erster Meridian). Große Halbkreise kommen heraus P, sogenannte Meridiane, kleine Kreise parallel zum Äquator, wie z LL`, – Parallelen. Als eine der Punktkoordinaten M Auf der Kugel wird der Winkel q eingenommen = POM (Punkthöhe), als zweiter – Winkel j = AON zwischen dem ersten Meridian und dem durch den Punkt verlaufenden Meridian M (Längengrad Punkte, gezählt gegen den Uhrzeigersinn).

In der Geographie (auf dem Globus) ist es üblich, den Greenwich-Meridian als ersten Meridian zu verwenden, der durch die Haupthalle des Greenwich Observatory (Greenwich ist ein Londoner Stadtteil) verläuft und die Erde in die östliche bzw. westliche Hemisphäre teilt , und der Längengrad ist östlich oder westlich und wird von 0 bis 180° in beide Richtungen von Greenwich aus gemessen. Und anstelle der Höhe eines Punktes in der Geographie ist es üblich, den Breitengrad zu verwenden bei, d.h. Ecke NOM = 90° – q, vom Äquator aus gemessen. Weil Da der Äquator die Erde in die nördliche und südliche Hemisphäre teilt, ist der Breitengrad entweder nördlich oder südlich und variiert zwischen 0 und 90°.

Marina Fedosova

Abschlussarbeit in MATHEMATIK
10. Klasse
28. April 2017
Option MA00602
(ein Grundniveau von)
Ausgefüllt von: Vollständiger Name_______________________________________ Klasse ______
Anweisungen zur Durchführung der Arbeiten
Für die abschließende Mathearbeit haben Sie 90 Minuten Zeit. Arbeit
umfasst 15 Aufgaben und besteht aus zwei Teilen.
Die Antwort in den Aufgaben des ersten Teils (1-10) ist eine ganze Zahl,
Dezimalbruch oder Zahlenfolge. Schreiben Sie Ihre Antwort in das Feld
Antwort im Text der Arbeit.
In Aufgabe 11 des zweiten Teils müssen Sie die Antwort in einer Sonderform aufschreiben
das dafür vorgesehene Feld.
In den Aufgaben 12-14 des zweiten Teils müssen Sie die Lösung und Antwort aufschreiben
in das dafür vorgesehene Feld ein. Die Antwort auf Aufgabe 15 lautet
Funktionsgraph.
Jede der Aufgaben 5 und 11 wird in zwei Versionen dargestellt
Sie müssen nur eines auswählen und ausführen.
Bei der Arbeit können Sie keine Lehrbücher verwenden, nicht arbeiten
Notizbücher, Nachschlagewerke, Taschenrechner.
Bei Bedarf können Sie einen Entwurf verwenden. Beiträge im Entwurf werden nicht überprüft oder bewertet.
Sie können Aufgaben in beliebiger Reihenfolge erledigen. Hauptsache, Sie machen es richtig
Lösen Sie so viele Aufgaben wie möglich. Wir empfehlen Ihnen, Zeit zu sparen
Überspringen Sie eine Aufgabe, die nicht sofort erledigt werden kann, und fahren Sie fort
zum nächsten. Wenn Sie nach Abschluss aller Arbeiten noch Zeit haben,
Sie können zu verpassten Aufgaben zurückkehren.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Teil 1
Geben Sie in den Aufgaben 1-10 Ihre Antwort als ganze Zahl, Dezimalbruch oder an
Zahlenfolgen. Schreiben Sie Ihre Antwort in das Antwortfeld im Text
arbeiten.
1

Der Preis für einen Wasserkocher wurde um 10 % erhöht und betrug
1980 Rubel. Wie viel Rubel hat der Wasserkocher vor der Preiserhöhung gekostet?

Oleg und Tolya verließen gleichzeitig die Schule und gingen gleichzeitig nach Hause
Teuer. Die Jungs wohnen im selben Haus. Die Abbildung zeigt eine Grafik
die Bewegungen von jedem: Oleg – mit durchgezogener Linie, Tolya – mit gepunkteter Linie. Von
Die vertikale Achse zeigt die Entfernung (in Metern), die horizontale Achse zeigt die Entfernung
Fahrzeit für jeden in Minuten.

Wählen Sie anhand der Grafik die richtigen Aussagen aus.
1)
2)
3)

Oleg kam vor Tolya nach Hause.
Drei Minuten nachdem er die Schule verlassen hatte, holte Oleg Tolya ein.
Während der gesamten Reise war der Abstand zwischen den Jungen geringer
100 Meter.
4) In den ersten sechs Minuten legten die Jungs die gleiche Distanz zurück.

Antwort: ___________________________

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks

π
π
- 2 Sünde 2.
8
8

Antwort: ___________________________
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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Auf dem Einheitskreis sind zwei markiert
diametral gegenüberliegende Punkte Pα und
Pβ entspricht Drehungen um die Winkel α und
β (siehe Abbildung).
Kann man das sagen:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

Geben Sie in Ihrer Antwort die Nummern der richtigen Aussagen ohne Leerzeichen, Kommas und an
andere zusätzliche Zeichen.
Antwort: ___________________________
Wählen Sie nur EINE der Aufgaben 5.1 oder 5.2 aus und erledigen Sie sie.
5.1

Die Abbildung zeigt eine Grafik
Funktion y  f (x) definiert auf dem Intervall   3;11 .
Finden Sie den kleinsten Wert
Funktionen auf dem Segment  1; 5.

Antwort: ___________________________
5.2

Lösen Sie die Gleichung log 2 4 x5  6.

Antwort: ___________________________

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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Eine Ebene, die durch die Punkte A, B und C verläuft (siehe.
Abbildung), spaltet den Würfel in zwei Polyeder. Ein von
es hat vier Seiten. Wie viele Gesichter hat das zweite?

Antwort: ___________________________
7

Wählen Sie die Nummern der richtigen Aussagen.
1)
2)
3)
4)

Im Raum ist dies durch einen Punkt möglich, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt
Zeichnen Sie eine Ebene, die eine bestimmte Linie nicht schneidet, und zwar nur
eins.
Eine zu einer Ebene gezogene schiefe Linie bildet den gleichen Winkel mit
alle geraden Linien, die in dieser Ebene liegen.
Eine Ebene kann durch zwei beliebige Schnittlinien gezeichnet werden.
Durch einen Punkt im Raum, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, kann man dies tun
Zeichnen Sie zwei gerade Linien, die eine bestimmte Linie nicht schneiden.

Geben Sie in Ihrer Antwort die Nummern der richtigen Aussagen ohne Leerzeichen, Kommas und an
andere zusätzliche Zeichen.
Antwort: ___________________________
8

Auf der Geflügelfarm gibt es nur Hühner und Enten, und es gibt siebenmal mehr Hühner
Enten Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bauernhof vorliegt
Der Vogel entpuppt sich als Ente.
Antwort: ___________________________

Das Dach des Vordachs befindet sich in einem Winkel von 14°
zur Horizontalen. Abstand zwischen zwei Stützen
beträgt 400 Zentimeter. Anhand der Tabelle,
Bestimmen Sie, wie viele Zentimeter eine Stütze hat
länger als die anderen.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sünde α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Antwort: ___________________________
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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Finden Sie die kleinste natürliche siebenstellige Zahl, die durch 3 teilbar ist.
aber nicht durch 6 teilbar und jede Ziffer, beginnend mit der Sekunde, ist kleiner
vorheriger.
Antwort: ___________________________
Teil 2
Tragen Sie in Aufgabe 11 Ihre Antwort in das dafür vorgesehene Feld ein. Bei Aufgaben
12-14 müssen Sie die Lösung und Antwort an der dafür vorgesehenen Stelle aufschreiben
für dieses Feld. Die Antwort auf Aufgabe 15 ist der Graph der Funktion.
Wählen Sie nur EINE der Aufgaben aus und erledigen Sie sie: 11.1 oder 11.2.

2
. Schreiben Sie drei verschiedene mögliche Werte auf
2
solche Winkel. Geben Sie Ihre Antwort im Bogenmaß an.

Finden Sie die kleinste natürliche Zahl, die größer als log 7 80 ist.

Der Kosinus des Winkels ist 

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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Im Dreieck ABC sind die Seiten AB und BC markiert
Punkte M bzw. K, so dass BM: AB  1: 2, und
BK:BC  2:3. Wie oft ist die Fläche des Dreiecks ABC?
größer als die Fläche des Dreiecks MVK?

Wählen Sie ein Zahlenpaar a und b, sodass die Ungleichung ax  b  0 ist
erfüllt genau drei der fünf in der Abbildung markierten Punkte.
-1

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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Der Eisenpreis wurde zweimal um den gleichen Prozentsatz erhöht. An
Um wie viel Prozent ist der Eisenpreis jedes Mal gestiegen
die anfänglichen Kosten betragen 2000 Rubel und die Endkosten betragen 3380 Rubel?

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Mathematik. 10. Klasse. Option 00602 (Grundstufe)

Die Funktion y  f (x) hat die folgenden Eigenschaften:
1) f (x)  3 x  4 bei 2  x  1;
2) f (x)  x  2 bei 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x bei 0  x  2;
4) Die Funktion y  f (x) ist periodisch mit Periode 4.
Zeichnen Sie einen Graphen dieser Funktion auf dem Segment  6;4.
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