So zählen Sie Logarithmen mit unterschiedlichen Basen. Definition des Logarithmus und seiner Eigenschaften: Theorie und Problemlösung

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Folgt aus seiner Definition. Und so der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A ist definiert als der Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b. Zum Beispiel, log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das Wenn zu begründen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema Potenzen einer Zahl verbunden ist.

Mit Logarithmen können Sie wie mit allen Zahlen umgehen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise verwandeln. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten hier eigene Sonderregeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Logarithmen addieren und subtrahieren.

Nehmen wir zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: Log ein x Und log ein y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = Log ein x 1 + Log ein x 2 + Log ein x 3 + ... + log a x k.

Aus Logarithmus-Quotientensatz Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann ermittelt werden. Es ist allgemein bekannt, dass log A 1= 0 also

Protokoll A 1 /B=log A 1 - Protokoll ein b= -log ein b.

Das heißt, es besteht eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen aus dem gleichen Grund werden sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Also:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithmus mit Basis a ist eine Funktion von y (x) = log a x, Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit Basis a: x (y) = ein y.

Dezimaler Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis einer Zahl 10 : log x ≡ log 10 x.

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis von e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Der Graph des Logarithmus entsteht aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch Spiegelung an der Geraden y = x. Auf der linken Seite sind Diagramme der Funktion y dargestellt (x) = log a x für vier Werte Logarithmusbasen: a = 2 , ein = 8 , ein = 1/2 und a = 1/8 . Die Grafik zeigt, dass bei einem > 1 der Logarithmus steigt monoton. Mit zunehmendem x verlangsamt sich das Wachstum deutlich. Bei 0 < a < 1 der Logarithmus nimmt monoton ab.

Eigenschaften des Logarithmus

Domäne, Wertemenge, steigend, fallend

Der Logarithmus ist eine monotone Funktion und hat daher keine Extrema. Die Haupteigenschaften des Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

Private Werte

Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dezimaler Logarithmus und wird wie folgt bezeichnet:

Logarithmus zur Basis e angerufen natürlicher Logarithmus:

Grundformeln für Logarithmen

Eigenschaften des Logarithmus, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Logarithmus ist die mathematische Operation der Logarithmusbildung. Bei der Logarithmierung werden Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die umgekehrte mathematische Operation des Logarithmus. Bei der Potenzierung wird eine bestimmte Base auf den Grad der Expression angehoben, über den die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in Produkte von Faktoren umgewandelt.

Beweis der Grundformeln für Logarithmen

Formeln im Zusammenhang mit Logarithmen ergeben sich aus Formeln für Exponentialfunktionen und aus der Definition einer Umkehrfunktion.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion
.
Dann
.
Wenden wir die Eigenschaft der Exponentialfunktion an
:
.

Lassen Sie uns die Basenersatzformel beweisen.
;
.
Unter der Annahme c = b gilt:

Umkehrfunktion

Die Umkehrung eines Logarithmus zur Basis a ist eine Exponentialfunktion mit dem Exponenten a.

Wenn, dann

Wenn, dann

Ableitung des Logarithmus

Ableitung des Logarithmus von Modul x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Um die Ableitung eines Logarithmus zu finden, muss dieser auf die Basis reduziert werden e.
;
.

Integral

Das Integral des Logarithmus wird durch partielle Integration berechnet: .
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
.
Lassen Sie uns eine komplexe Zahl ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir dann:
.
Oder

Allerdings ist das Argument φ nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es für verschiedene die gleiche Nummer sein N.

Daher ist der Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Logarithmus der Zahl b (b > 0) zur Basis a (a > 0, a ≠ 1)– Exponent, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um b zu erhalten.

Der Logarithmus zur Basis 10 von b kann geschrieben werden als log(b) und der Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus) ist ln(b).

Wird häufig bei der Lösung von Problemen mit Logarithmen verwendet:

Eigenschaften von Logarithmen

Es gibt vier Haupt Eigenschaften von Logarithmen.

Sei a > 0, a ≠ 1, x > 0 und y > 0.

Eigenschaft 1. Logarithmus des Produkts

Logarithmus des Produkts gleich der Summe der Logarithmen:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Eigenschaft 2. Logarithmus des Quotienten

Logarithmus des Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen:

log a (x / y) = log a x – log a y

Eigenschaft 3. Logarithmus der Potenz

Logarithmus des Grades gleich dem Produkt aus Potenz und Logarithmus:

Liegt die Basis des Logarithmus im Grad, gilt eine andere Formel:

Eigenschaft 4. Logarithmus der Wurzel

Diese Eigenschaft lässt sich aus der Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz ermitteln, da die n-te Wurzel der Potenz gleich der Potenz von 1/n ist:

Formel zur Umrechnung eines Logarithmus einer Basis in einen Logarithmus einer anderen Basis

Diese Formel wird auch häufig bei der Lösung verschiedener Logarithmenaufgaben verwendet:

Besonderer Fall:

Vergleich von Logarithmen (Ungleichungen)

Lassen Sie uns zwei Funktionen f(x) und g(x) unter Logarithmen mit den gleichen Basen haben und zwischen ihnen gibt es ein Ungleichheitszeichen:

Um sie zu vergleichen, müssen Sie sich zunächst die Basis der Logarithmen a ansehen:

• Wenn a > 0, dann ist f(x) > g(x) > 0
• Wenn 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

So lösen Sie Probleme mit Logarithmen: Beispiele

Probleme mit Logarithmen in der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik für die 11. Klasse in Aufgabe 5 und Aufgabe 7 enthalten sind, finden Sie Aufgaben mit Lösungen auf unserer Website in den entsprechenden Rubriken. Auch Aufgaben mit Logarithmen finden sich in der Mathe-Aufgabendatenbank. Sie können alle Beispiele finden, indem Sie die Website durchsuchen.

Was ist ein Logarithmus?

Logarithmen gelten seit jeher als schwieriges Thema im schulischen Mathematikunterricht. Es gibt viele verschiedene Definitionen des Logarithmus, aber aus irgendeinem Grund verwenden die meisten Lehrbücher die komplexeste und erfolgloseste davon.

Wir werden den Logarithmus einfach und klar definieren. Dazu erstellen wir eine Tabelle:

Wir haben also Zweierpotenzen.

Logarithmen – Eigenschaften, Formeln, Lösungsansätze

Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Die Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b das ist, was der Logarithmus tatsächlich ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Mit dem gleichen Erfolg ist log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird aufgerufen. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Intervall liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

So zählen Sie Logarithmen

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition eines Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den die Definition eines Logarithmus reduziert wird.
2. Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Bereich akzeptabler Werte(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die VA des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Autoren der Aufgaben bereits berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden DL-Anforderungen obligatorisch. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Schauen wir uns nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen an. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr wichtig: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das Gleiche gilt für Dezimalbrüche: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – faktorisieren Sie es einfach in Primfaktoren. Wenn die Erweiterung mindestens zwei unterschiedliche Faktoren aufweist, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis 10, d.h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Wir sprechen vom natürlichen Logarithmus.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis e, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x.

Viele Leute werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl; ihr genauer Wert kann nicht gefunden und niedergeschrieben werden. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459…

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich der Einheit: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Siehe auch:

Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Potenz des Logarithmus).

Wie stellt man eine Zahl als Logarithmus dar?

Wir verwenden die Definition des Logarithmus.

Ein Logarithmus ist ein Exponent, auf den die Basis erhöht werden muss, um die Zahl unter dem Logarithmuszeichen zu erhalten.

Um also eine bestimmte Zahl c als Logarithmus zur Basis a darzustellen, müssen Sie eine Potenz mit derselben Basis wie die Basis des Logarithmus unter das Vorzeichen des Logarithmus setzen und diese Zahl c als Exponenten schreiben:

Absolut jede Zahl kann als Logarithmus dargestellt werden – positiv, negativ, ganzzahlig, gebrochen, rational, irrational:

Um a und c unter stressigen Bedingungen eines Tests oder einer Prüfung nicht zu verwechseln, können Sie die folgende Merkregel verwenden:

Was unten ist, geht nach unten, was oben ist, geht nach oben.

Beispielsweise müssen Sie die Zahl 2 als Logarithmus zur Basis 3 darstellen.

Wir haben zwei Zahlen – 2 und 3. Diese Zahlen sind die Basis und der Exponent, die wir unter dem Vorzeichen des Logarithmus schreiben. Es bleibt zu bestimmen, welche dieser Zahlen auf die Basis des Grades und welche auf den Exponenten hin geschrieben werden sollen.

Die Basis 3 in der Notation eines Logarithmus liegt unten, was bedeutet, dass wir, wenn wir zwei als Logarithmus zur Basis 3 darstellen, auch 3 zur Basis hin schreiben.

2 ist höher als drei. Und in der Schreibweise des Grades zwei schreiben wir über die drei, also als Exponenten:

Logarithmen. Erste Ebene.

Logarithmen

Logarithmus positive Zahl B bezogen auf A, Wo a > 0, a ≠ 1, heißt der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss A, um zu bekommen B.

Definition von Logarithmus kann kurz so geschrieben werden:

Diese Gleichheit gilt für b > 0, a > 0, a ≠ 1. Es heißt normalerweise logarithmische Identität.
Die Aktion, den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, wird aufgerufen durch Logarithmus.

Eigenschaften von Logarithmen:

Logarithmus des Produkts:

Logarithmus des Quotienten:

Ersetzen der Logarithmusbasis:

Logarithmus des Grades:

Logarithmus der Wurzel:

Logarithmus mit Potenzbasis:

Dezimale und natürliche Logarithmen.

Dezimaler Logarithmus Zahlen rufen den Logarithmus dieser Zahl zur Basis 10 auf und schreiben   lg B
Natürlicher Logarithmus Zahlen werden als Logarithmus dieser Zahl zur Basis bezeichnet e, Wo e- eine irrationale Zahl, die ungefähr 2,7 entspricht. Gleichzeitig schreiben sie ln B.

Weitere Hinweise zu Algebra und Geometrie

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit denselben Basen: log a x und log a y. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen.

In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. log a a = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. log a 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

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