Welche Kräfte wirken entlang der Saite auf das Pendel? Mathematische Pendel: Periode, Beschleunigung und Formeln

Mathematische Pendel nennen wir einen materiellen Punkt, der an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden hängt, der an der Aufhängung befestigt ist und sich im Feld der Schwerkraft (oder einer anderen Kraft) befindet.

Untersuchen wir die Schwingungen eines mathematischen Pendels in einem Trägheitsbezugssystem, relativ zu dem der Punkt seiner Aufhängung ruht oder sich gleichmäßig geradlinig bewegt. Wir vernachlässigen die Luftwiderstandskraft (ideales mathematisches Pendel). Zunächst ruht das Pendel in der Gleichgewichtslage C. In diesem Fall wirken die auf es wirkende Schwerkraft \(\vec F\) und die elastische Kraft \(\vec F_(ynp)\) des Fadens wechselseitig entschädigt.

Entfernen wir das Pendel aus der Gleichgewichtslage (indem wir es beispielsweise in die Position A auslenken) und lassen es ohne Anfangsgeschwindigkeit los (Abb. 13.11). In diesem Fall gleichen sich die Kräfte \(\vec F\) und \(\vec F_(ynp)\) nicht gegenseitig aus. Die auf das Pendel wirkende tangentiale Schwerkraftkomponente \(\vec F_\tau\) gibt ihm die Tangentialbeschleunigung \(\vec a_\tau\) (Komponente der Gesamtbeschleunigung entlang der Tangente zur Flugbahn des mathematischen Pendels). ), und das Pendel beginnt sich mit einer im Absolutwert zunehmenden Geschwindigkeit in die Gleichgewichtslage zu bewegen. Die Tangentialkomponente der Schwerkraft \(\vec F_\tau\) ist somit eine Rückstellkraft. Die Normalkomponente \(\vec F_n\) der Schwerkraft ist entlang des Fadens gegen die elastische Kraft \(\vec F_(ynp)\) gerichtet. Die Resultierende der Kräfte \(\vec F_n\) und \(\vec F_(ynp)\) verleiht dem Pendel die Normalbeschleunigung \(~a_n\), wodurch sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert und das Pendel sich bewegt entlang eines Bogens A B C D.

Je näher das Pendel der Gleichgewichtslage C kommt, desto kleiner wird der Wert der Tangentialkomponente \(~F_\tau = F \sin \alpha\). In der Gleichgewichtslage ist sie gleich Null, die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert und das Pendel bewegt sich durch Trägheit weiter und steigt in einem Aufwärtsbogen. In diesem Fall ist die Komponente \(\vec F_\tau\) gegen die Geschwindigkeit gerichtet. Mit zunehmendem Auslenkungswinkel a nimmt der Kraftmodul \(\vec F_\tau\) zu, der Geschwindigkeitsmodul nimmt ab und am Punkt D wird die Geschwindigkeit des Pendels gleich Null. Das Pendel stoppt für einen Moment und beginnt sich dann in die entgegengesetzte Richtung zur Gleichgewichtsposition zu bewegen. Nachdem das Pendel es durch Trägheit erneut passiert hat, verlangsamt es seine Bewegung und erreicht Punkt A (es gibt keine Reibung), d.h. wird einen kompletten Schwung vollenden. Danach wird die Bewegung des Pendels in der bereits beschriebenen Reihenfolge wiederholt.

Lassen Sie uns eine Gleichung erhalten, die die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels beschreibt.

Das Pendel sei zu einem bestimmten Zeitpunkt am Punkt B. Seine Verschiebung S von der Gleichgewichtsposition in diesem Moment ist gleich der Länge des Bogens SV (d. h. S = |SV|). Bezeichnen wir die Länge des Aufhängungsfadens l, und die Masse des Pendels ist M.

Aus Abbildung 13.11 geht klar hervor, dass \(~F_\tau = F \sin \alpha\), wobei \(\alpha =\frac(S)(l).\) Bei kleinen Winkeln \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Das Minuszeichen wird in diese Formel eingefügt, da die tangentiale Komponente der Schwerkraft auf die Gleichgewichtsposition gerichtet ist und die Verschiebung von der Gleichgewichtsposition aus gezählt wird.

Gemäß Newtons zweitem Gesetz \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projizieren wir die Vektorgrößen dieser Gleichung auf die Richtung der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Aus diesen Gleichungen erhalten wir

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) – dynamische Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels. Die Tangentialbeschleunigung eines mathematischen Pendels ist proportional zu seiner Auslenkung und auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Diese Gleichung kann als\ geschrieben werden. Vergleicht man es mit der Gleichung harmonischer Schwingungen \(~a_x + \omega^2x = 0\) (siehe § 13.3), können wir schlussfolgern, dass das mathematische Pendel harmonische Schwingungen ausführt. Und da die betrachteten Schwingungen des Pendels nur unter dem Einfluss innerer Kräfte auftraten, handelte es sich um freie Schwingungen des Pendels. Somit, Freie Schwingungen eines mathematischen Pendels mit kleinen Abweichungen sind harmonisch.

Bezeichnen wir \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Wobei \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) die zyklische Frequenz des Pendels ist.

Die Schwingungsdauer des Pendels beträgt \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Daher ist

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Dieser Ausdruck heißt Huygens' Formel. Es bestimmt die Periode der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels. Aus der Formel folgt, dass bei kleinen Abweichungswinkeln von der Gleichgewichtslage die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels: 1) nicht von seiner Masse und der Schwingungsamplitude abhängt; 2) proportional zur Quadratwurzel der Pendellänge und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Erdbeschleunigung. Dies steht im Einklang mit den experimentellen Gesetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels, die von G. Galileo entdeckt wurden.

Wir betonen, dass diese Formel zur Berechnung der Periode verwendet werden kann, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: 1) die Pendelschwingungen müssen klein sein; 2) Der Aufhängepunkt des Pendels muss in Ruhe sein oder sich relativ zum Trägheitsbezugssystem, in dem es sich befindet, gleichmäßig geradlinig bewegen.

Bewegt sich der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels mit der Beschleunigung \(\vec a\), dann ändert sich die Spannungskraft des Fadens, was zu einer Änderung der Rückstellkraft und damit der Schwingungsfrequenz und -dauer führt. Wie Berechnungen zeigen, lässt sich die Schwingungsdauer des Pendels in diesem Fall nach der Formel berechnen

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

wobei \(~g"\) die „effektive“ Beschleunigung des Pendels in einem nicht-inertialen Bezugssystem ist. Sie ist gleich der geometrischen Summe der Erdbeschleunigung \(\vec g\) und dem entgegengesetzten Vektor der Vektor \(\vec a\), d. h. er kann mit der Formel berechnet werden

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatur

Aksenovich L. A. Physik in der Sekundarschule: Theorie. Aufgaben. Tests: Lehrbuch. Zuschuss für Einrichtungen der Allgemeinbildung. Umwelt, Bildung / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 374-376.

Mathematische Pendel nennen wir einen materiellen Punkt, der an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden hängt, der an der Aufhängung befestigt ist und sich im Feld der Schwerkraft (oder einer anderen Kraft) befindet.

Untersuchen wir die Schwingungen eines mathematischen Pendels in einem Trägheitsbezugssystem, relativ zu dem der Punkt seiner Aufhängung ruht oder sich gleichmäßig geradlinig bewegt. Wir vernachlässigen die Luftwiderstandskraft (ideales mathematisches Pendel). Zunächst ruht das Pendel in der Gleichgewichtslage C. Dabei kompensieren sich die Schwerkraft und die auf das Pendel einwirkende elastische Kraft F?ynp des Fadens gegenseitig.

Entfernen wir das Pendel aus der Gleichgewichtsposition (indem wir es beispielsweise in Position A auslenken) und lassen es ohne Anfangsgeschwindigkeit los (Abb. 1). In diesem Fall gleichen sich die Kräfte nicht gegenseitig aus. Die auf das Pendel wirkende Tangentialkomponente der Schwerkraft verleiht ihm eine Tangentialbeschleunigung a?? (Komponente der Gesamtbeschleunigung, die entlang der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels gerichtet ist), und das Pendel beginnt sich mit einer im Absolutwert zunehmenden Geschwindigkeit in Richtung der Gleichgewichtsposition zu bewegen. Die tangentiale Komponente der Schwerkraft ist somit eine Rückstellkraft. Die Normalkomponente der Schwerkraft ist entgegen der elastischen Kraft entlang des Fadens gerichtet. Die Resultierende der Kräfte ergibt die Normalbeschleunigung des Pendels, die die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert, und das Pendel bewegt sich entlang des Bogens ABCD.

Je näher das Pendel der Gleichgewichtslage C kommt, desto kleiner wird der Wert der Tangentialkomponente. In der Gleichgewichtslage ist sie gleich Null, die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert und das Pendel bewegt sich durch Trägheit weiter und steigt in einem Aufwärtsbogen. In diesem Fall ist die Komponente gegen die Geschwindigkeit gerichtet. Wenn der Auslenkungswinkel a zunimmt, nimmt die Größe der Kraft zu und die Größe der Geschwindigkeit ab, und am Punkt D wird die Geschwindigkeit des Pendels Null. Das Pendel stoppt für einen Moment und beginnt sich dann in die entgegengesetzte Richtung zur Gleichgewichtsposition zu bewegen. Nachdem das Pendel es durch Trägheit erneut passiert hat, verlangsamt es seine Bewegung und erreicht Punkt A (es gibt keine Reibung), d.h. wird einen kompletten Schwung vollenden. Danach wird die Bewegung des Pendels in der bereits beschriebenen Reihenfolge wiederholt.

Lassen Sie uns eine Gleichung erhalten, die die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels beschreibt.

Aus Abbildung 1 geht hervor, dass , wo . Bei kleinen Winkeln () schlägt das Pendel daher aus

Nach Newtons zweitem Gesetz. Projizieren wir die Vektorgrößen dieser Gleichung auf die Richtung der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels

Aus diesen Gleichungen erhalten wir

Dynamische Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels. Die Tangentialbeschleunigung eines mathematischen Pendels ist proportional zu seiner Auslenkung und auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Diese Gleichung kann geschrieben werden als

Vergleich mit der harmonischen Schwingungsgleichung Wir können daraus schließen, dass das mathematische Pendel harmonische Schwingungen ausführt. Und da die betrachteten Schwingungen des Pendels nur unter dem Einfluss innerer Kräfte auftraten, handelte es sich um freie Schwingungen des Pendels. Folglich sind freie Schwingungen eines mathematischen Pendels mit kleinen Abweichungen harmonisch.

Bezeichnen wir

Zyklische Frequenz von Pendelschwingungen.

Schwingungsdauer eines Pendels. Somit,

Dieser Ausdruck wird Huygens-Formel genannt. Es bestimmt die Periode der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels. Aus der Formel folgt, dass bei kleinen Abweichungswinkeln von der Gleichgewichtslage die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels beträgt:

hängt nicht von seiner Masse und Schwingungsamplitude ab;
ist proportional zur Quadratwurzel der Pendellänge und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Erdbeschleunigung.

Dies steht im Einklang mit den experimentellen Gesetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels, die von G. Galileo entdeckt wurden.

Wir betonen, dass diese Formel zur Berechnung des Zeitraums verwendet werden kann, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

die Schwingungen des Pendels sollten gering sein;
Der Aufhängepunkt des Pendels muss in Ruhe sein oder sich relativ zum Trägheitsbezugssystem, in dem es sich befindet, gleichmäßig geradlinig bewegen.

Bewegt sich der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels mit Beschleunigung, so ändert sich die Spannungskraft des Fadens, was zu einer Änderung der Rückstellkraft und damit der Schwingungsfrequenz und -dauer führt. Wie Berechnungen zeigen, lässt sich die Schwingungsdauer des Pendels in diesem Fall nach der Formel berechnen

wo ist die „effektive“ Beschleunigung des Pendels in einem nicht trägen Bezugssystem. Sie ist gleich der geometrischen Summe der Beschleunigung des freien Falls und des dem Vektor entgegengesetzten Vektors, d.h. es kann mit der Formel berechnet werden

Mathematische Pendel.

Ein mathematisches Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem nicht dehnbaren schwerelosen Faden hängt und unter dem Einfluss der Schwerkraft eine oszillierende Bewegung in einer vertikalen Ebene ausführt.

Ein solches Pendel kann als schwere Kugel der Masse m betrachtet werden, die an einem dünnen Faden aufgehängt ist, dessen Länge l viel größer ist als die Größe der Kugel. Wird es um einen Winkel α (Abb. 7.3.) von der Vertikalen abgelenkt, schwingt es unter dem Einfluss der Kraft F, einer der Gewichtskomponenten P, in Schwingung. Die andere entlang des Gewindes gerichtete Komponente wird nicht berücksichtigt, weil wird durch die Spannung des Fadens ausgeglichen. Bei kleinen Verschiebungswinkeln und dann kann die x-Koordinate in horizontaler Richtung gemessen werden. Aus Abb. 7.3 geht hervor, dass die Gewichtskomponente senkrecht zum Gewinde gleich ist

Kraftmoment relativ zum Punkt O: und Trägheitsmoment:
M=FL .
Trägheitsmoment J in diesem Fall
Winkelbeschleunigung:

Unter Berücksichtigung dieser Werte haben wir:

(7.8)

Seine Entscheidung
,

wo und

(7.9)

Wie wir sehen können, hängt die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels von seiner Länge und der Erdbeschleunigung ab und nicht von der Amplitude der Schwingungen.

Physikalisches Pendel.

Ein physikalisches Pendel ist ein starrer Körper, der an einer festen horizontalen Achse (Aufhängungsachse) befestigt ist, die nicht durch den Schwerpunkt geht, und der unter dem Einfluss der Schwerkraft um diese Achse schwingt. Im Gegensatz zu einem mathematischen Pendel kann die Masse eines solchen Körpers nicht als punktförmig betrachtet werden.

Bei kleinen Auslenkungswinkeln α (Abb. 7.4) führt das physikalische Pendel auch harmonische Schwingungen aus. Wir gehen davon aus, dass das Gewicht des physischen Pendels am Punkt C auf seinen Schwerpunkt wirkt. Die Kraft, die das Pendel in die Gleichgewichtsposition zurückbringt, ist in diesem Fall die Komponente der Schwerkraft – Kraft F.

Das Minuszeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Kraft F auf eine Verringerung des Winkels α gerichtet ist. Unter Berücksichtigung der Kleinheit des Winkels α

Um das Bewegungsgesetz mathematischer und physikalischer Pendel abzuleiten, verwenden wir die Grundgleichung der Dynamik der Rotationsbewegung

Kraftmoment: kann nicht explizit bestimmt werden. Unter Berücksichtigung aller in der ursprünglichen Differentialgleichung enthaltenen Größen hat die Schwingungsdifferenz eines physikalischen Pendels die Form:

Die Pendel in Abb. 2 sind ausgedehnte Körper unterschiedlicher Form und Größe, die um einen Aufhänge- oder Stützpunkt schwingen. Solche Systeme werden physikalische Pendel genannt. Im Gleichgewichtszustand, wenn der Schwerpunkt in der Vertikalen unterhalb des Aufhängungs- (oder Stützpunkts) liegt, wird die Schwerkraft (durch die elastischen Kräfte eines deformierten Pendels) durch die Reaktion der Stütze ausgeglichen. Bei Abweichung von der Gleichgewichtslage bestimmen Schwerkraft und elastische Kräfte zu jedem Zeitpunkt die Winkelbeschleunigung des Pendels, d. h. sie bestimmen die Art seiner Bewegung (Schwingung). Wir werden uns nun die Dynamik von Schwingungen am einfachsten Beispiel eines sogenannten mathematischen Pendels genauer ansehen, bei dem es sich um ein kleines Gewicht handelt, das an einem langen dünnen Faden hängt.

Bei einem mathematischen Pendel können wir die Masse des Fadens und die Verformung des Gewichts vernachlässigen, d. h. wir können davon ausgehen, dass die Masse des Pendels im Gewicht konzentriert ist und die elastischen Kräfte im Faden konzentriert sind, der als nicht dehnbar gilt . Sehen wir uns nun an, unter welchen Kräften unser Pendel schwingt, nachdem es auf irgendeine Weise (Stoß, Auslenkung) aus seiner Gleichgewichtslage entfernt wird.

Wenn das Pendel in der Gleichgewichtslage ruht, wird die auf sein Gewicht wirkende und vertikal nach unten gerichtete Schwerkraft durch die Spannungskraft des Fadens ausgeglichen. In der ausgelenkten Position (Abb. 15) wirkt die Schwerkraft in einem Winkel zur entlang des Fadens gerichteten Spannkraft. Zerlegen wir die Schwerkraft in zwei Komponenten: in Richtung des Fadens () und senkrecht dazu (). Wenn das Pendel schwingt, übersteigt die Spannungskraft des Fadens die Komponente geringfügig – um den Betrag der Zentripetalkraft, die die Last zu einer Bogenbewegung zwingt. Die Komponente ist immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet; Sie scheint bestrebt zu sein, diese Situation wiederherzustellen. Daher wird sie oft als Rückstellkraft bezeichnet. Je stärker das Pendel ausgelenkt wird, desto größer ist der Absolutwert.

Reis. 15. Rückstellkraft, wenn das Pendel aus der Gleichgewichtslage abweicht

Sobald also das Pendel während seiner Schwingungen beginnt, von der Gleichgewichtslage abzuweichen, beispielsweise nach rechts, tritt eine Kraft auf, die seine Bewegung umso mehr verlangsamt, je weiter es abgelenkt wird. Letztendlich wird ihn diese Kraft stoppen und in die Gleichgewichtsposition zurückziehen. Wenn wir uns jedoch dieser Position nähern, wird die Kraft immer geringer und in der Gleichgewichtsposition selbst wird sie Null. Somit durchläuft das Pendel durch Trägheit die Gleichgewichtslage. Sobald es beginnt, nach links abzuweichen, tritt erneut eine Kraft auf, die mit zunehmender Abweichung zunimmt, nun aber nach rechts gerichtet ist. Die Bewegung nach links verlangsamt sich wieder, dann stoppt das Pendel für einen Moment, danach beginnt die beschleunigte Bewegung nach rechts usw.

Was passiert mit der Energie eines Pendels, wenn es schwingt?

Zweimal während der Periode – bei den größten Abweichungen nach links und nach rechts – stoppt das Pendel, d.h. in diesen Momenten ist die Geschwindigkeit Null, was bedeutet, dass die kinetische Energie Null ist. Doch genau in diesen Momenten ist der Schwerpunkt des Pendels auf seine größte Höhe angehoben und damit ist die potentielle Energie am größten. Im Gegenteil: In den Momenten des Durchschreitens der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie am niedrigsten und Geschwindigkeit und kinetische Energie erreichen ihre größten Werte.

Wir gehen davon aus, dass die Reibungskräfte des Pendels gegen die Luft und die Reibung am Aufhängepunkt vernachlässigt werden können. Nach dem Energieerhaltungssatz ist diese maximale kinetische Energie dann genau gleich dem Überschuss der potentiellen Energie an der Stelle der größten Abweichung gegenüber der potentiellen Energie an der Gleichgewichtslage.

Wenn also das Pendel schwingt, kommt es zu einem periodischen Übergang von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt, und die Periode dieses Prozesses ist halb so lang wie die Schwingungsperiode des Pendels selbst. Die Gesamtenergie des Pendels (die Summe aus potentieller und kinetischer Energie) ist jedoch immer konstant. Sie entspricht der Energie, die dem Pendel beim Start verliehen wurde, unabhängig davon, ob sie in Form potenzieller Energie (anfängliche Auslenkung) oder in Form von kinetischer Energie (anfänglicher Stoß) vorliegt.

Dies ist bei allen Schwingungen der Fall, bei denen keine Reibung oder andere Prozesse stattfinden, die dem schwingenden System Energie entziehen oder an dieses abgeben. Deshalb bleibt die Amplitude unverändert und wird durch die anfängliche Auslenkung bzw. Kraft des Stoßes bestimmt.

Die gleichen Änderungen der Rückstellkraft und die gleiche Energieübertragung erhalten wir, wenn wir die Kugel nicht an einem Faden aufhängen, sondern sie in einer vertikalen Ebene in einer Kugelschale oder in einer am Umfang gekrümmten Rille rollen lassen. In diesem Fall wird die Rolle der Fadenspannung durch den Druck der Wände des Bechers oder der Wanne übernommen (wir vernachlässigen wiederum die Reibung der Kugel an den Wänden und an der Luft).

Ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt (Körper) besteht, der an einem nicht dehnbaren schwerelosen Faden (seine Masse ist im Vergleich zum Gewicht des Körpers vernachlässigbar) in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld hängt, wird als mathematisches Pendel bezeichnet (ein anderer Name ist Oszillator). Es gibt andere Arten dieses Geräts. Anstelle eines Fadens kann auch ein schwereloser Stab verwendet werden. Ein mathematisches Pendel kann die Essenz vieler interessanter Phänomene klar offenbaren. Wenn die Schwingungsamplitude klein ist, spricht man von einer harmonischen Bewegung.

Übersicht über das mechanische System

Die Formel für die Schwingungsdauer dieses Pendels wurde vom niederländischen Wissenschaftler Huygens (1629-1695) abgeleitet. Dieser Zeitgenosse von I. Newton interessierte sich sehr für dieses mechanische System. 1656 schuf er die erste Uhr mit Pendelmechanismus. Sie maßen die Zeit mit außergewöhnlicher Präzision für diese Zeiten. Diese Erfindung wurde zu einem wichtigen Schritt in der Entwicklung physikalischer Experimente und praktischer Aktivitäten.

Befindet sich das Pendel in der Gleichgewichtsposition (senkrecht hängend), wird es durch die Spannungskraft des Fadens ausgeglichen. Ein flaches Pendel an einem nicht dehnbaren Faden ist ein System mit zwei Freiheitsgraden mit Kopplung. Wenn Sie nur eine Komponente ändern, ändern sich die Eigenschaften aller ihrer Teile. Wenn also der Faden durch eine Stange ersetzt wird, hat dieses mechanische System nur einen Freiheitsgrad. Welche Eigenschaften hat ein mathematisches Pendel? In diesem einfachsten System entsteht Chaos unter dem Einfluss periodischer Störungen. Wenn sich der Aufhängepunkt nicht bewegt, sondern schwingt, nimmt das Pendel eine neue Gleichgewichtslage ein. Durch schnelle Auf- und Abschwingungen nimmt dieses mechanische System eine stabile „auf dem Kopf stehende“ Position ein. Es hat auch einen eigenen Namen. Es wird Kapitsa-Pendel genannt.

Eigenschaften eines Pendels

Das mathematische Pendel hat sehr interessante Eigenschaften. Sie alle werden durch bekannte physikalische Gesetze bestätigt. Die Schwingungsdauer jedes anderen Pendels hängt von verschiedenen Umständen ab, beispielsweise von der Größe und Form des Körpers, dem Abstand zwischen dem Aufhängepunkt und dem Schwerpunkt und der Massenverteilung relativ zu diesem Punkt. Aus diesem Grund ist es eine ziemlich schwierige Aufgabe, die Hängezeit eines Körpers zu bestimmen. Es ist viel einfacher, die Periode eines mathematischen Pendels zu berechnen, dessen Formel weiter unten angegeben wird. Als Ergebnis von Beobachtungen ähnlicher mechanischer Systeme können folgende Muster festgestellt werden:

Wenn wir bei gleicher Länge des Pendels unterschiedliche Gewichte aufhängen, ist die Schwingungsdauer derselben gleich, obwohl ihre Massen stark variieren. Folglich hängt die Schwingungsdauer eines solchen Pendels nicht von der Masse der Last ab.

Wenn das Pendel beim Starten des Systems nicht zu groß, sondern in unterschiedlichen Winkeln ausgelenkt wird, beginnt es mit der gleichen Periode, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu schwingen. Solange die Abweichungen vom Gleichgewichtszentrum nicht zu groß sind, werden die Schwingungen in ihrer Form den harmonischen recht nahe kommen. Die Periode eines solchen Pendels hängt in keiner Weise von der Schwingungsamplitude ab. Diese Eigenschaft eines bestimmten mechanischen Systems wird Isochronismus genannt (übersetzt aus dem Griechischen „chronos“ – Zeit, „isos“ – gleich).

Periode eines mathematischen Pendels

Dieser Indikator stellt den Zeitraum dar. Trotz der komplexen Formulierung ist der Prozess selbst sehr einfach. Wenn die Länge des Fadens eines mathematischen Pendels L ist und die Beschleunigung des freien Falls g ist, dann ist dieser Wert gleich:

Die Periode kleiner Eigenschwingungen hängt in keiner Weise von der Masse des Pendels und der Schwingungsamplitude ab. In diesem Fall bewegt sich das Pendel als mathematisches Pendel mit einer bestimmten Länge.

Schwingungen eines mathematischen Pendels

Ein mathematisches Pendel schwingt, was durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben werden kann:

x + ω2 sin x = 0,

wobei x (t) eine unbekannte Funktion ist (dies ist der Abweichungswinkel von der unteren Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t, ausgedrückt im Bogenmaß); ω ist eine positive Konstante, die aus den Parametern des Pendels bestimmt wird (ω = √g/L, wobei g die Erdbeschleunigung und L die Länge des mathematischen Pendels (Aufhängung) ist.

Die Gleichung für kleine Schwingungen nahe der Gleichgewichtslage (harmonische Gleichung) sieht folgendermaßen aus:

x + ω2 sin x = 0

Oszillatorische Bewegungen eines Pendels

Ein mathematisches Pendel, das kleine Schwingungen ausführt, bewegt sich entlang einer Sinuskurve. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt alle Anforderungen und Parameter einer solchen Bewegung. Um die Flugbahn zu bestimmen, ist es notwendig, Geschwindigkeit und Koordinate einzustellen, aus denen dann unabhängige Konstanten ermittelt werden:

x = A sin (θ 0 + ωt),

Dabei ist θ 0 die Anfangsphase, A die Schwingungsamplitude und ω die aus der Bewegungsgleichung ermittelte zyklische Frequenz.

Mathematische Pendel (Formeln für große Amplituden)

Dieses mechanische System, das mit erheblicher Amplitude schwingt, unterliegt komplexeren Bewegungsgesetzen. Für ein solches Pendel berechnen sie sich nach der Formel:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

wobei sn der Jacobi-Sinus ist, der für u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

wobei ε = E/mL2 (mL2 ist die Energie des Pendels).

Die Schwingungsdauer eines nichtlinearen Pendels wird nach folgender Formel bestimmt:

wobei Ω = π/2 * ω/2K(u), K das elliptische Integral π ist - 3,14.

Bewegung eines Pendels entlang einer Separatrix

Eine Separatrix ist die Trajektorie eines dynamischen Systems, das einen zweidimensionalen Phasenraum hat. Ein mathematisches Pendel bewegt sich aperiodisch daran entlang. Zu einem unendlich weit entfernten Zeitpunkt fällt es mit Geschwindigkeit Null von seiner höchsten Position zur Seite und gewinnt diese dann allmählich wieder. Es stoppt schließlich und kehrt in seine ursprüngliche Position zurück.

Wenn sich die Amplitude der Pendelschwingungen der Zahl nähert π Dies zeigt an, dass sich die Bewegung auf der Phasenebene der Separatrix nähert. In diesem Fall zeigt das mechanische System unter dem Einfluss einer kleinen periodischen Antriebskraft ein chaotisches Verhalten.

Wenn ein mathematisches Pendel um einen bestimmten Winkel φ von der Gleichgewichtslage abweicht, entsteht eine tangentiale Schwerkraft Fτ = -mg sin φ. Das Minuszeichen bedeutet, dass diese Tangentialkomponente entgegen der Auslenkung des Pendels gerichtet ist. Wenn mit x die Auslenkung des Pendels entlang eines Kreisbogens mit dem Radius L bezeichnet wird, ist seine Winkelauslenkung gleich φ = x/L. Das zweite Gesetz, das für Projektionen und Kraft gedacht ist, liefert den gewünschten Wert:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Basierend auf dieser Beziehung ist klar, dass es sich bei diesem Pendel um ein nichtlineares System handelt, da die Kraft, die es in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen versucht, immer proportional nicht zur Verschiebung x, sondern zu sin x/L ist.

Erst wenn ein mathematisches Pendel kleine Schwingungen ausführt, handelt es sich um einen harmonischen Oszillator. Mit anderen Worten: Es wird zu einem mechanischen System, das harmonische Schwingungen ausführen kann. Diese Näherung gilt praktisch für Winkel von 15–20°. Schwingungen eines Pendels mit großen Amplituden sind nicht harmonisch.

Newtonsches Gesetz für kleine Pendelschwingungen

Wenn ein bestimmtes mechanisches System kleine Schwingungen ausführt, sieht das 2. Newtonsche Gesetz wie folgt aus:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Daraus können wir schließen, dass ein mathematisches Pendel proportional zu seiner Auslenkung mit einem Minuszeichen ist. Dies ist der Zustand, aufgrund dessen das System zu einem harmonischen Oszillator wird. Der Modul des Proportionalitätskoeffizienten zwischen Weg und Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Kreisfrequenz:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Diese Formel spiegelt die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen dieses Pendeltyps wider. Basierend auf,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Berechnungen basierend auf dem Energieerhaltungssatz

Die Eigenschaften eines Pendels lassen sich auch mit dem Energieerhaltungssatz beschreiben. Es ist zu berücksichtigen, dass das Pendel im Gravitationsfeld gleich ist:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Die Summe entspricht dem kinetischen oder maximalen Potenzial: Epmax = Ekmsx = E

Nachdem der Energieerhaltungssatz geschrieben ist, bilden Sie die Ableitung der rechten und linken Seite der Gleichung ab:

Da die Ableitung konstanter Größen gleich 0 ist, ist (Ep + Ek)“ = 0. Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" \u003d mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

somit:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Basierend auf der letzten Formel finden wir: α = - g/L*x.

Praktische Anwendung eines mathematischen Pendels

Die Beschleunigung variiert je nach Breitengrad, da die Dichte der Erdkruste auf dem gesamten Planeten nicht gleich ist. Wo Gesteine mit höherer Dichte vorkommen, wird sie etwas höher sein. Die Beschleunigung eines mathematischen Pendels wird häufig zur geologischen Erkundung genutzt. Es dient der Suche nach verschiedenen Mineralien. Durch einfaches Zählen der Schwingungen eines Pendels können Sie Kohle oder Erz im Erdinneren aufspüren. Dies liegt daran, dass solche Fossilien eine größere Dichte und Masse aufweisen als das darunter liegende Lockergestein.

Das mathematische Pendel wurde von so herausragenden Wissenschaftlern wie Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch und Archimedes verwendet. Viele von ihnen glaubten, dass dieses mechanische System das Schicksal und das Leben eines Menschen beeinflussen könnte. Archimedes verwendete für seine Berechnungen ein mathematisches Pendel. Heutzutage nutzen viele Okkultisten und Hellseher dieses mechanische System, um ihre Prophezeiungen zu erfüllen oder nach vermissten Personen zu suchen.

Auch der berühmte französische Astronom und Naturforscher K. Flammarion nutzte für seine Forschungen ein mathematisches Pendel. Er behauptete, dass er damit die Entdeckung eines neuen Planeten, das Erscheinen des Tunguska-Meteoriten und andere wichtige Ereignisse vorhersagen könne. Während des Zweiten Weltkriegs war in Deutschland (Berlin) ein spezialisiertes Pendelinstitut tätig. Mittlerweile betreibt das Münchner Institut für Parapsychologie ähnliche Forschungen. „Radästhesie“ nennen die Mitarbeiter dieser Einrichtung ihre Arbeit mit dem Pendel.

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