Drei Regeln zum Finden von Stammfunktionen. Zusammenfassung der Mathe-Lektion: „Regeln zum Finden von Stammfunktionen“ Formulieren Sie 3 Regeln zum Finden einer Stammfunktion

Zu jeder mathematischen Aktion gibt es eine umgekehrte Aktion. Zur Wirkung der Differenzierung (Finden von Ableitungen von Funktionen) gibt es auch eine umgekehrte Wirkung – die Integration. Durch Integration wird eine Funktion aus ihrer gegebenen Ableitung oder ihrem gegebenen Differential gefunden (rekonstruiert). Die gefundene Funktion wird aufgerufen Stammfunktion.

Definition. Differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt X Aus diesem Intervall gilt folgende Gleichheit: F′(x)=f (x).

Beispiele. Finden Sie Stammfunktionen für die Funktionen: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Da (x²)′=2x, dann ist die Funktion F (x)=x² per Definition eine Stammfunktion der Funktion f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Wenn wir f (x)=3cos3x und F (x)=sin3x bezeichnen, dann gilt per Definition einer Stammfunktion: F′(x)=f (x) und daher ist F (x)=sin3x eine Stammfunktion für f ( x)=3cos3x.

Beachten Sie, dass (sin3x +5 )′= 3cos3x, und (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... in allgemeiner Form können wir schreiben: (sin3x +C)′= 3cos3x, Wo MIT- ein konstanter Wert. Diese Beispiele verdeutlichen die Mehrdeutigkeit der Integrationswirkung im Gegensatz zur Differenzierungswirkung, wenn jede differenzierbare Funktion eine einzige Ableitung hat.

Definition. Wenn die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form:

F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Die Menge aller Stammfunktionen F (x) + C der Funktion f (x) im betrachteten Intervall wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und mit dem Symbol bezeichnet ∫ (Integralzeichen). Aufschreiben: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ausdruck ∫f(x)dx lauten: „Integral ef von x bis de x.“

f(x)dx- Integrandenausdruck,

f(x)— Integrandenfunktion,

X ist die Integrationsvariable.

F(x)- Stammfunktion einer Funktion f(x),

MIT- ein konstanter Wert.

Nun können die betrachteten Beispiele wie folgt geschrieben werden:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Was bedeutet das Zeichen d?

D- Differentialzeichen – hat einen doppelten Zweck: Erstens trennt dieses Vorzeichen den Integranden von der Integrationsvariablen; Zweitens wird alles, was nach diesem Vorzeichen kommt, standardmäßig differenziert und mit dem Integranden multipliziert.

Beispiele. Finden Sie die Integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nach dem Differentialsymbol D Kosten XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Vergleichen Sie mit Beispiel 1).

Machen wir einen Check. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Nach dem Differentialsymbol D Kosten R. Dies bedeutet, dass die Integrationsvariable R und der Multiplikator X sollte als ein konstanter Wert betrachtet werden.

∫ 2хрдр=р²х+С. Vergleichen Sie mit Beispielen 1) Und 3).

Machen wir einen Check. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Stammfunktion f(x) zwischen (a; b) Diese Funktion wird aufgerufen F(x), dass Gleichheit für jeden gilt X aus einem bestimmten Intervall.

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die Ableitung einer Konstanten MIT gleich Null ist, dann ist die Gleichheit wahr. Also die Funktion f(x) hat viele Grundelemente F(x)+C, für eine beliebige Konstante MIT, und diese Stammfunktionen unterscheiden sich um einen beliebigen konstanten Wert voneinander.

Definition eines unbestimmten Integrals.

Der gesamte Satz Stammfunktionen f(x) heißt das unbestimmte Integral dieser Funktion und wird bezeichnet .

Der Ausdruck heißt Integrand, A f(x) – Integrandenfunktion. Der Integrand stellt das Differential der Funktion dar f(x).

Die Aktion, eine unbekannte Funktion angesichts ihres Differentials zu finden, wird aufgerufen unsicher Integration, weil das Ergebnis der Integration mehr als eine Funktion ist F(x) und die Menge seiner Grundelemente F(x)+C.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals. Der Graph der Stammfunktion D(x) heißt Integralkurve. Im x0y-Koordinatensystem stellen die Graphen aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion eine Kurvenschar dar, die vom Wert der Konstanten C abhängt und durch eine Parallelverschiebung entlang der 0y-Achse voneinander erhalten wird. Für das oben besprochene Beispiel haben wir:

J 2 x^x = x2 + C.

Die Familie der Stammfunktionen (x + C) wird geometrisch durch eine Reihe von Parabeln interpretiert.

Wenn Sie eines aus einer Familie von Stammfunktionen finden müssen, werden zusätzliche Bedingungen festgelegt, mit denen Sie die Konstante C bestimmen können. Normalerweise werden zu diesem Zweck Anfangsbedingungen festgelegt: Wenn das Argument x = x0 ist, hat die Funktion den Wert D (x0) = y0.

Beispiel. Es muss eine der Stammfunktionen der Funktion y = 2 x gefunden werden, die bei x0 = 1 den Wert 3 annimmt.

Die erforderliche Stammfunktion: D(x) = x2 + 2.

Lösung. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich der Integrandenfunktion:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integrandenausdruck:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion selbst und einer beliebigen Konstante:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn , Das

8. Eigentum:

Wenn , Das

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration mithilfe der Variablenänderungsmethode, auf die im nächsten Abschnitt ausführlicher eingegangen wird.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

3. Integrationsmethode bei dem ein gegebenes Integral durch identische Transformationen des Integranden (oder Ausdrucks) und die Anwendung der Eigenschaften des unbestimmten Integrals auf ein oder mehrere Tabellenintegrale reduziert wird, heißt direkte Integration. Bei der Reduzierung dieses Integrals auf ein tabellarisches werden häufig die folgenden Differentialtransformationen verwendet (Operation „ Abonnieren des Differentialzeichens»):

Überhaupt, f’(u)du = d(f(u)). Diese (Formel wird sehr oft bei der Berechnung von Integralen verwendet.

Finden Sie das Integral

Lösung. Lassen Sie uns die Eigenschaften des Integrals nutzen und dieses Integral auf mehrere tabellarische Integrale reduzieren.

4. Integration durch Substitutionsmethode.

Der Kern der Methode besteht darin, dass wir eine neue Variable einführen, den Integranden durch diese Variable ausdrücken und als Ergebnis zu einer tabellarischen (oder einfacheren) Form des Integrals gelangen.

Sehr oft hilft die Substitutionsmethode bei der Integration trigonometrischer Funktionen und Funktionen mit Radikalen.

Beispiel.

Finden Sie das unbestimmte Integral .

Lösung.

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Lassen Sie uns ausdrücken X durch z:

Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in das ursprüngliche Integral ein:

Aus der Tabelle der Stammfunktionen haben wir .

Es bleibt die Rückkehr zur ursprünglichen Variablen X:

Antwort:

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Tabelle der Stammfunktionen – sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Probleme analysieren, bei denen Sie Stammfunktionen von Funktionen berechnen müssen, die oft recht komplex sind, aber am wichtigsten ist, dass es sich nicht um Potenzfunktionen handelt. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist eine weitere Untersuchung der Integrale und ihrer Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit Primitiven und wenden uns einem etwas komplexeren Thema zu. Während wir uns beim letzten Mal nur mit Stammfunktionen von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Konstruktionen befasst haben, werden wir uns heute mit der Trigonometrie und vielem mehr befassen.

Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Ableitungen nie „sofort“ mithilfe von Standardregeln gelöst. Darüber hinaus ist die schlechte Nachricht, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt eine gute Nachricht: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden und deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Strukturen, die bei Tests aller Art, unabhängigen Tests und Prüfungen angegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addition, Subtraktion und andere einfache Aktionen. Die Prototypen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengestellt. Mit diesen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Erinnern wir uns daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man ihr allgemeines Aussehen bestimmt. Dazu habe ich zwei einfache Probleme aufgegriffen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel 1

Beachten wir sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und im Allgemeinen die Anwesenheit von $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie zusammenhängt. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, werden wir feststellen, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir es also auf:

Um es zu finden, müssen Sie Folgendes aufschreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel Nr. 2

Wir sprechen hier auch von trigonometrischen Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann passiert tatsächlich Folgendes:

Wir müssen unter der gesamten Menge der Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem besteht darin, dass Sie zum Berechnen von Stammfunktionen einfacher Funktionen eine Tabelle mit Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich die Ableitungstabelle für Sie studiert habe, denke ich jedoch, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Schreiben wir zunächst die folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\zu ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck dafür gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, daher muss dieses Quadrat erweitert werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Suchen wir die Stammfunktion für jeden der Begriffe:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Fassen wir nun alle Begriffe in einem einzigen Ausdruck zusammen und erhalten die allgemeine Stammfunktion:

Beispiel Nr. 2

Diesmal ist der Grad größer, sodass die abgekürzte Multiplikationsformel recht komplex sein wird. Öffnen wir also die Klammern:

Versuchen wir nun, aus dieser Konstruktion die Stammfunktion unserer Formel zu ziehen:

Wie Sie sehen, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes oder Übernatürliches. Alle werden anhand von Tabellen berechnet, aber aufmerksame Schüler werden wahrscheinlich bemerken, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an einfach $((e)^(x))$ als an $((a) liegt )^(x ))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es ermöglicht, bei Kenntnis der Stammfunktion $((e)^(x))$ $((e)^(2x))$ zu finden? Ja, eine solche Regel gibt es. Darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen. Wir werden es nun anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen

Schreiben wir unsere Funktion noch einmal:

Im vorherigen Fall haben wir zur Lösung die folgende Formel verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber jetzt machen wir es etwas anders: Erinnern wir uns, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie ich bereits sagte, da die Ableitung $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, wird ihre Stammfunktion gleich dem gleichen $((e) ^ sein (x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung von $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Das heißt, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen, haben wir das gleiche Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Nun mag das dumm erscheinen: Warum die Berechnungen komplizieren, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d. h. Verwenden von Ableitungen, um Stammfunktionen zu finden.

Zum Aufwärmen ermitteln wir auf ähnliche Weise die Stammfunktion von $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir kamen genau zum gleichen Ergebnis, gingen aber einen anderen Weg. Es ist dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, der sich in Zukunft für die Berechnung komplexerer Stammfunktionen und die Verwendung von Tabellen als effektiver erweisen wird.

Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Ableitungen auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Wir haben dies gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ gesehen - einerseits haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mithilfe von Transformationen berechnet haben, andererseits Wir haben uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und erst dann haben wir verwendet die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen war das Ergebnis jedoch wie erwartet das gleiche.

Und jetzt, da wir das alles verstanden haben, ist es an der Zeit, zu etwas Bedeutsamerem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung verwendet wird, ist ein leistungsfähigeres und nützlicheres Werkzeug, als einfach zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle zu „laufen“.

Problemlösung: Finden der Stammfunktion einer Funktion

Beispiel 1

Teilen wir den Betrag, der in den Zählern steht, in drei separate Brüche auf:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang – die meisten Studierenden haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich Folgendes vor:

Beispiel Nr. 2

Im Gegensatz zum vorherigen Bruch ist der Nenner kein Produkt, sondern eine Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ganz einfach:

Diese Notation, die in der mathematischen Sprache „Addieren einer Null“ genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Finden wir nun, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der scheinbar größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Stammfunktionen, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir zur Auswahl einiger Elemente, die sich leicht anhand der Tabelle berechnen lassen, wissen müssen, wonach wir genau suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken – Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht existiert, sondern was der Autor und Compiler dieser Aufgabe meinte. Deshalb argumentieren viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was bedeutet Stammfunktion oder Integration – ist das nur ein Werkzeug oder ist es eine echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst – es gibt nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und noch mehr Übung. Und zum Üben lösen wir noch drei weitere ernste Beispiele.

Wir schulen Integration in der Praxis

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir die folgenden Formeln:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\zu \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir Folgendes:

Problem Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die gesamte Stammfunktion ist gleich:

Problem Nr. 3

Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass es im Gegensatz zu den oben genannten Funktionen überhaupt keine Variable $x$ gibt, d. h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren müssen, um zumindest etwas Ähnliches wie das untenstehende zu erhalten. Tatsächlich gilt dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher als alle vorherigen Ausdrücke, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir es noch einmal um:

Lassen Sie uns unseren Ausdruck ein wenig verändern:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, entsteht fast immer das gleiche Problem: Bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man es mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein hast du? müssen, um das dritte Beispiel zu lösen? Hab eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir bei der Berechnung der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegung einer Funktion in ihre einfachste Form“. Dies ist eine sehr ernste Technik, der wir eine eigene Videolektion widmen werden.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, zu dem zurückzukehren, was wir gerade untersucht haben, nämlich zu den Exponentialfunktionen, und die Probleme durch ihren Inhalt etwas zu komplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung antiderivativer Exponentialfunktionen

Aufgabe Nr. 1

Beachten wir Folgendes:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht die Stammfunktion so aus:

Verglichen mit dem Design, das wir gerade gelöst haben, sieht dieses natürlich einfacher aus.

Problem Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei separate Terme unterteilt werden kann – zwei separate Brüche. Lassen Sie uns umschreiben:

Es bleibt noch die Stammfunktion jedes dieser Begriffe mithilfe der oben beschriebenen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen erwies sich der Gesamtumfang der Berechnungen und Berechnungen als deutlich einfacher.

Natürlich mag das, was wir gerade besprochen haben, für sachkundige Studierende (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor besprochen haben) wie elementare Ausdrücke erscheinen. Bei der Auswahl dieser beiden Probleme für die heutige Videolektion habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen eine weitere komplexe und anspruchsvolle Technik zu erklären – ich wollte Ihnen lediglich zeigen, dass Sie keine Angst davor haben sollten, Standardalgebratechniken zur Transformation ursprünglicher Funktionen zu verwenden .

Mit einer „geheimen“ Technik

Abschließend möchte ich auf eine weitere interessante Technik eingehen, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich besprochen haben, andererseits aber erstens überhaupt nicht kompliziert ist, d.h. Selbst Anfänger können es beherrschen, und zweitens findet man es häufig in Tests und unabhängigen Arbeiten aller Art, d.h. Die Kenntnis davon wird zusätzlich zur Kenntnis der Tabelle der Stammfunktionen sehr nützlich sein.

Aufgabe Nr. 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Was sollen wir in diesem Fall tun? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ – sie haben nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

In der Tabelle gibt es keinen solchen Wert, daher haben wir diese Formel jetzt selbst abgeleitet, indem wir die Standardstammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:

Problem Nr. 2

Viele Studenten, die sich die erste Lösung ansehen, denken vielleicht, dass alles sehr einfach ist: Ersetzen Sie einfach $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck, und schon passt alles zusammen. Leider ist nicht alles so einfach, und jetzt werden wir das sehen.

Analog zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\zu \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Zurück zu unserer Ableitung können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Daraus folgt unmittelbar:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall statt $-10$ $-30$. Was ist der Unterschied zwischen -10$ und -30$? Offensichtlich um den Faktor -3$. Frage: Woher kommt es? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie erkennen, dass es sich um die Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion handelt – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich in der heutigen Videolektion zunächst überhaupt nicht besprechen wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also lasst es uns noch einmal machen. Es sei unsere Hauptleistungsfunktion:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ersetzen wir nun anstelle von $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich existierte. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, oder besser ist es, sich einfach die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem „Geheimnis: Technik:

Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, können zwar durch Erweiterung der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückgeführt werden, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen klarkommen, dann würde ich den neunten Grad nicht machen alle wagten es zu enthüllen.
Würden wir die Abschlüsse erweitern, kämen wir am Ende auf eine solche Menge an Berechnungen, dass eine einfache Aufgabe unangemessen viel Zeit in Anspruch nehmen würde.
Deshalb müssen solche Probleme, die lineare Ausdrücke enthalten, nicht „kopfüber“ gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion stoßen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, erinnern Sie sich sofort an die oben geschriebene Formel, setzen Sie sie in Ihre Stammfunktion in der Tabelle ein, und alles wird viel herauskommen schneller und einfacher.

Aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik werden wir in zukünftigen Videolektionen natürlich noch oft auf sie zurückkommen, aber das ist alles für heute. Ich hoffe, dass diese Lektion denjenigen Schülern wirklich hilft, die Stammfunktionen und Integration verstehen möchten.

Zusammenfassung der Lektion über Algebra und Analyseprinzipien für Schüler der 11. Klasse weiterführender Bildungseinrichtungen

Zum Thema: „Regeln zum Finden von Stammfunktionen“

Der Zweck der Lektion:

Lehrreich: Führen Sie Regeln zum Finden von Stammfunktionen anhand ihrer Tabellenwerte ein und verwenden Sie diese bei der Lösung von Problemen.

Aufgaben:

Einführung der Definition der Integrationsoperation;

Führen Sie die Schüler in die Tabelle der Stammfunktionen ein.

die Schüler mit den Regeln der Integration vertraut machen;

Bringen Sie den Schülern bei, bei der Lösung von Problemen die Tabelle der Stammfunktionen und die Integrationsregeln zu verwenden.

Entwicklung: Tragen Sie zur Entwicklung der Fähigkeit der Schüler bei, Daten zu analysieren, zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Lehrreich: Fördern Sie die Bildung von Fähigkeiten im kollektiven und unabhängigen Arbeiten und entwickeln Sie die Fähigkeit, mathematische Notizen genau und kompetent auszuführen.

Lehrmethoden: induktiv-reproduktiv, deduktiv-reproduktiv

tiv.

Unterrichtsart: neues Wissen beherrschen.

Voraussetzungen für ZUN:

Studierende sollten wissen:

- Definition der Integrationsoperation;

Tabelle der Stammfunktionen;

Studierende sollten in der Lage sein:

Wenden Sie bei der Lösung von Problemen die Stammfunktionstabelle an;

Lösen Sie Probleme, bei denen Stammfunktionen gefunden werden müssen.

Ausrüstung: Computer, Leinwand, Multimediaprojektor, Präsentation.

Literatur:

1. A.G. Mordkovich et al. „Algebra und die Anfänge der Analysis. Problembuch für die Klassen 10-11“ M.: Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov „Algebra und die Anfänge der Analysis. Klasse 10-11. Lehrbuch" M.: Bildung, 2004. - 384 S.

3. Methoden und Technologie des Mathematikunterrichts. M.: Bustard, 2005. – 416 S.

Unterrichtsaufbau:

ICH. Organisatorischer Moment (2 Min.)

II. Wissen aktualisieren (7 Min.)

III. Neues Material lernen (15 Min.)

VI. Vertiefung des Gelernten (17 Min.)

V. Zusammenfassung und D/Z (4 Min.)

Während des Unterrichts

ICH . Zeit organisieren

Begrüßung der Schüler, Überprüfung der Abwesenheiten und der Unterrichtsbereitschaft des Raumes.

II . Wissen aktualisieren

Schreiben an die Tafel (in Notizbüchern)

Datum von.

Klassenarbeiten

Regeln zum Finden von Stammfunktionen.

Lehrer: Das Thema der heutigen Lektion: „Regeln zum Finden von Stammfunktionen“ (Folie 1). Aber bevor wir uns einem neuen Thema zuwenden, erinnern wir uns an den Stoff, den wir behandelt haben.

Zwei Studierende werden an die Tafel gerufen, jeder erhält eine individuelle Aufgabe (wenn der Student die Aufgabe fehlerfrei gelöst hat, erhält er die Note „5“).

Aufgabenkarten

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

F ( X )=3 X 2 +4 X –1 am Punkt X =3.

№ 2

2) Finden Sie den Wert der Ableitung der FunktionF ( X )=5 X 2 +5 X – 5 am Punkt X =1.

Lösung

Karte Nr. 1

1) Finden Sie die Intervalle der steigenden und fallenden Funktiony = 6x – 2x 3 .

; Dann sei es gewiss; X 1 Und X 2 stationäre Punkte;

2. Stationäre Punkte teilen die Koordinatenlinie in drei Intervalle. In den Intervallen, in denen die Ableitung einer Funktion positiv ist, nimmt die Funktion selbst zu, und in den Intervallen, in denen sie negativ ist, nimmt sie ab.

- + -

bei -1 1

Somit bei nimmt ab X (- ;-1) (1; ) und steigt mitX (-1;1).

2) F ( X )=3 X 2 +4 X –1 ; ; .

Karte Nr. 2

1) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion .

1. Suchen wir stationäre Punkte, dazu ermitteln wir die Ableitung dieser Funktion, setzen sie dann mit Null gleich und lösen die resultierende Gleichung, deren Wurzeln die stationären Punkte sind.

; Es seien also also , und .

2. Stationäre Punkte teilen die Koordinatenlinie in vier Intervalle. Die Punkte, durch die die Ableitung der Funktion das Vorzeichen ändert, sind Extrempunkte.

+ - - +

bei -3 0 3

Bedeutet - Extrempunkte und ist der Maximalpunkt, und - Mindestpunktzahl.

2) F ( X )=5 X 2 +5 X – 5; ; .

Während die an die Tafel gerufenen Schüler Beispiele lösen, werden dem Rest der Klasse theoretische Fragen gestellt. Während des Befragungsprozesses überwacht der Lehrer, ob die Schüler die Aufgabe gelöst haben oder nicht.

Lehrer: Beantworten wir also ein paar Fragen. Erinnern wir uns, welche Funktion als Stammfunktion bezeichnet wird? (Folie 2)

Student: Funktion F ( X ) wird als Stammfunktion der Funktion bezeichnetF ( X ) in einigen Abständen, wenn überhauptX aus dieser Lücke .

(Folie 2).

Lehrer: Rechts. Wie nennt man den Prozess, die Ableitung einer Funktion zu finden? (Folie 3)

Student: Differenzierung.

Nachdem der Schüler geantwortet hat, wird die richtige Antwort auf der Folie dupliziert (Folie 3).

Lehrer: So zeigen Sie, dass es sich um eine Funktion handeltF ( X ) ist eine Stammfunktion der FunktionF ( X ) ? (Folie 4).

Student: Finden Sie die Ableitung einer FunktionF ( X ) .

Nachdem der Schüler geantwortet hat, wird die richtige Antwort auf der Folie dupliziert (Folie 4).

Lehrer: Bußgeld. Dann sagen Sie mir, ob die Funktion bestehtF ( X )=3 X 2 +11 X Stammfunktion der FunktionF ( X )=6x+10? (Folie 5)

Student: Nein, weil Ableitung einer FunktionF ( X )=3 X 2 +11 X gleich 6x+11, und nicht 6x+10 .

Nachdem der Schüler geantwortet hat, wird die richtige Antwort auf der Folie dupliziert (Folie 5).

Lehrer: Wie viele Stammfunktionen gibt es für eine bestimmte Funktion?F ( X ) ? Rechtfertige deine Antwort. (Folie 6)

Student: Unendlich viele, weil Wir fügen der resultierenden Funktion immer eine Konstante hinzu, die eine beliebige reelle Zahl sein kann.

Nachdem der Schüler geantwortet hat, wird die richtige Antwort auf der Folie dupliziert (Folie 6).

Lehrer: Rechts. Schauen wir uns nun gemeinsam die Lösungen der an der Tafel arbeitenden Studierenden an.

Die Schüler überprüfen die Lösung gemeinsam mit dem Lehrer.

III . Neues Material lernen

Lehrer: Die umgekehrte Operation zum Finden der Stammfunktion für eine gegebene Funktion wird Integration genannt (vom lateinischen Wort „.“)integrieren - wiederherstellen). Eine Stammfunktionstabelle für einige Funktionen kann mithilfe einer Ableitungstabelle erstellt werden. Zum Beispiel, das zu wissen, wir bekommen , woraus folgt, dass alle Stammfunktionen funktionieren werden in das Formular geschrieben, Wo C - Willkürliche Konstante.

Schreiben an die Tafel (in Notizbüchern)

wir bekommen,

woraus folgt, dass alle Stammfunktionen funktionieren werden in das Formular geschrieben, Wo C - Willkürliche Konstante.

Lehrer: Schlagen Sie Seite 290 in Ihrem Lehrbuch auf. Hier finden Sie eine Tabelle mit Stammfunktionen. Es wird auch auf der Folie dargestellt. (Folie 7)

Lehrer: Die Integrationsregeln können mithilfe der Differenzierungsregeln ermittelt werden. Betrachten Sie die folgenden Integrationsregeln: letF ( X ) Und G ( X ) – Stammfunktionen von Funktionen bzwF ( X ) Und G ( X ) in einem gewissen Abstand. Dann:

1) Funktion;

2) Funktion ist die Stammfunktion der Funktion. (Folie 8)

Schreiben an die Tafel (in Notizbüchern)

1) Funktion ist die Stammfunktion der Funktion ;

2) Funktion ist die Stammfunktion der Funktion .

VI . Vertiefung des Gelernten

Lehrer: Kommen wir zum praktischen Teil der Lektion. Finden Sie eine der Stammfunktionen der Funktion Wir entscheiden im Vorstand.

Student: Um die Stammfunktion dieser Funktion zu finden, müssen Sie die Integrationsregel: Funktion verwenden ist die Stammfunktion der Funktion .

Lehrer: Richtig, was müssen Sie sonst noch wissen, um die Stammfunktion einer bestimmten Funktion zu finden?

Student: Wir werden auch die Tabelle der Stammfunktionen für Funktionen verwenden, bei P =2 und for ist die Funktion ;

2) Funktion ist die Stammfunktion der Funktion .

Lehrer: Alles ist richtig.

Hausaufgaben

§55, Nr. 988 (2, 4, 6), Nr. 989 (2, 4, 6, 8), Nr. 990 (2, 4, 6), Nr. 991 (2, 4, 6, 8) . (Folie 9)

Zeichen setzen.

Lehrer: Die Lektion ist beendet. Du kannst frei sein.

Diese Lektion ist die erste einer Reihe von Videos zum Thema Integration. Darin analysieren wir, was eine Stammfunktion einer Funktion ist, und untersuchen auch die elementaren Methoden zur Berechnung dieser Stammfunktionen.

Tatsächlich gibt es hier nichts Kompliziertes: Im Wesentlichen kommt es auf das Konzept der Ableitung an, mit dem Sie bereits vertraut sein sollten. :)

Da dies die allererste Lektion in unserem neuen Thema ist, stelle ich sofort fest, dass es heute keine komplexen Berechnungen und Formeln geben wird, sondern das, was wir heute lernen werden, die Grundlage für viel komplexere Berechnungen und Konstruktionen bei der Berechnung komplexer Integrale und Flächen bilden wird .

Darüber hinaus gehen wir zu Beginn des Studiums von Integration und Integralen insbesondere davon aus, dass der Studierende bereits mit den Konzepten der Ableitungen vertraut ist und zumindest über grundlegende Kenntnisse in deren Berechnung verfügt. Ohne ein klares Verständnis davon gibt es bei der Integration absolut nichts zu tun.

Hier liegt jedoch eines der häufigsten und heimtückischsten Probleme. Tatsache ist, dass viele Schüler, wenn sie mit der Berechnung ihrer ersten Stammfunktionen beginnen, diese mit Ableitungen verwechseln. Dadurch kommt es bei Prüfungen und selbständiger Arbeit zu dummen und beleidigenden Fehlern.

Daher werde ich jetzt keine klare Definition einer Stammfunktion geben. Im Gegenzug empfehle ich Ihnen, anhand eines einfachen konkreten Beispiels zu sehen, wie es berechnet wird.

Was ist eine Stammfunktion und wie wird sie berechnet?

Wir kennen diese Formel:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Diese Ableitung wird einfach berechnet:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Schauen wir uns den resultierenden Ausdruck genau an und drücken wir $((x)^(2))$ aus:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Aber wir können es gemäß der Definition einer Ableitung so schreiben:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Und jetzt Achtung: Was wir gerade aufgeschrieben haben, ist die Definition einer Stammfunktion. Aber um es richtig zu schreiben, müssen Sie Folgendes schreiben:

Schreiben wir den folgenden Ausdruck auf die gleiche Weise:

Wenn wir diese Regel verallgemeinern, können wir die folgende Formel ableiten:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Jetzt können wir eine klare Definition formulieren.

Eine Stammfunktion einer Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist.

Fragen zur Stammfunktion

Es scheint eine ziemlich einfache und verständliche Definition zu sein. Beim Hören werden dem aufmerksamen Schüler jedoch sofort mehrere Fragen aufkommen:

Nehmen wir an, okay, diese Formel ist richtig. Allerdings haben wir in diesem Fall mit $n=1$ Probleme: „Null“ erscheint im Nenner und wir können nicht durch „Null“ dividieren.
Die Formel ist nur auf Grade beschränkt. So berechnen Sie beispielsweise die Stammfunktion von Sinus, Cosinus und jeder anderen Trigonometrie sowie Konstanten.
Existenzielle Frage: Ist es immer möglich, eine Stammfunktion zu finden? Wenn ja, wie sieht es dann mit der Stammfunktion von Summe, Differenz, Produkt usw. aus?

Die letzte Frage werde ich gleich beantworten. Leider wird die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung nicht immer berücksichtigt. Es gibt keine universelle Formel, mit der wir aus einer beliebigen Anfangskonstruktion eine Funktion erhalten, die dieser ähnlichen Konstruktion entspricht. Über Potenzen und Konstanten sprechen wir jetzt.

Probleme mit Potenzfunktionen lösen

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Wie Sie sehen, funktioniert diese Formel für $((x)^(-1))$ nicht. Es stellt sich die Frage: Was funktioniert dann? Können wir nicht $((x)^(-1))$ zählen? Klar können wir. Erinnern wir uns zunächst einmal daran:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Denken wir nun: Die Ableitung dieser Funktion ist gleich $\frac(1)(x)$. Offensichtlich wird sich jeder Student, der sich zumindest ein wenig mit diesem Thema befasst hat, daran erinnern, dass dieser Ausdruck gleich der Ableitung des natürlichen Logarithmus ist:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Daher können wir getrost Folgendes schreiben:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Sie müssen diese Formel kennen, genau wie die Ableitung einer Potenzfunktion.

Was wir also bisher wissen:

Für eine Potenzfunktion - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Für eine Konstante - $=const\to \cdot x$
Ein Sonderfall einer Potenzfunktion ist $\frac(1)(x)\to \ln x$

Und wenn wir anfangen, die einfachsten Funktionen zu multiplizieren und zu dividieren, wie können wir dann die Stammfunktion eines Produkts oder eines Quotienten berechnen? Analogien zur Ableitung eines Produkts oder Quotienten funktionieren hier leider nicht. Es gibt keine Standardformel. Für manche Fälle gibt es knifflige Spezialformeln – diese werden wir in zukünftigen Video-Lektionen kennenlernen.

Bedenken Sie jedoch: Es gibt keine allgemeine Formel, die der Formel zur Berechnung der Ableitung eines Quotienten und eines Produkts ähnelt.

Echte Probleme lösen

Aufgabe Nr. 1

Berechnen wir jede der Potenzfunktionen einzeln:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Zurück zu unserem Ausdruck schreiben wir die allgemeine Konstruktion:

Problem Nr. 2

Wie ich bereits sagte, werden Prototypen von Werken und Einzelheiten „auf den Punkt“ nicht berücksichtigt. Hier können Sie jedoch Folgendes tun:

Wir haben den Bruch in die Summe zweier Brüche zerlegt.

Lassen Sie uns rechnen:

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit Kenntnis der Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen bereits komplexere Strukturen berechnen können. Gehen wir jedoch noch weiter und erweitern unser Wissen noch ein wenig. Tatsache ist, dass viele Konstruktionen und Ausdrücke, die auf den ersten Blick nichts mit $((x)^(n))$ zu tun haben, als Potenz mit einem rationalen Exponenten dargestellt werden können, nämlich:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Alle diese Techniken können und sollten kombiniert werden. Machtausdrücke können sein

multiplizieren (Grad addieren);
dividieren (Grad werden subtrahiert);
mit einer Konstante multiplizieren;
usw.

Potenzausdrücke mit rationalem Exponenten lösen

Beispiel 1

Berechnen wir jede Wurzel einzeln:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Insgesamt lässt sich unsere gesamte Konstruktion wie folgt schreiben:

Beispiel Nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Daher erhalten wir:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Insgesamt können wir, wenn wir alles in einem Ausdruck zusammenfassen, schreiben:

Beispiel Nr. 3

Zunächst stellen wir fest, dass wir $\sqrt(x)$ bereits berechnet haben:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Lassen Sie uns umschreiben:

Ich hoffe, dass ich niemanden überraschen werde, wenn ich sage, dass es sich bei dem, was wir gerade untersucht haben, nur um die einfachsten Berechnungen von Stammfunktionen, die elementarsten Konstruktionen handelt. Schauen wir uns nun etwas komplexere Beispiele an, bei denen Sie sich neben den tabellarischen Stammfunktionen auch den Schullehrplan merken müssen, nämlich abgekürzte Multiplikationsformeln.

Komplexere Beispiele lösen

Aufgabe Nr. 1

Erinnern wir uns an die Formel für die quadrierte Differenz:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Schreiben wir unsere Funktion neu:

Wir müssen nun den Prototyp einer solchen Funktion finden:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Lassen Sie uns alles zu einem gemeinsamen Design zusammenfügen:

Problem Nr. 2

In diesem Fall müssen wir den Differenzwürfel erweitern. Lass uns erinnern:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Unter Berücksichtigung dieser Tatsache können wir es so schreiben:

Lassen Sie uns unsere Funktion ein wenig umwandeln:

Wir zählen wie immer – für jeden Begriff separat:

\[((x)^(-3))\zu \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\zu \ln x\]

Schreiben wir die resultierende Konstruktion:

Problem Nr. 3

Oben haben wir das Quadrat der Summe, erweitern wir es:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Schreiben wir die endgültige Lösung:

Jetzt Achtung! Eine sehr wichtige Sache, die mit dem Löwenanteil an Fehlern und Missverständnissen verbunden ist. Tatsache ist, dass wir bisher bei der Zählung von Stammfunktionen mithilfe von Ableitungen und der Einführung von Transformationen nicht darüber nachgedacht haben, was die Ableitung einer Konstante ist. Aber die Ableitung einer Konstanten ist gleich „Null“. Das bedeutet, dass Sie die folgenden Optionen schreiben können:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dies ist sehr wichtig zu verstehen: Wenn die Ableitung einer Funktion immer gleich ist, dann hat dieselbe Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Wir können einfach beliebige konstante Zahlen zu unseren Stammfunktionen hinzufügen und so neue erhalten.

Es ist kein Zufall, dass in der Erklärung der Probleme, die wir gerade gelöst haben, geschrieben wurde: „Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen auf.“ Diese. Es wird bereits im Vorfeld davon ausgegangen, dass es nicht einen von ihnen gibt, sondern eine ganze Menge. Tatsächlich unterscheiden sie sich jedoch nur durch die Konstante $C$ am Ende. Daher werden wir in unseren Aufgaben korrigieren, was wir nicht erledigt haben.

Noch einmal schreiben wir unsere Konstruktionen um:

In solchen Fällen sollten Sie hinzufügen, dass $C$ eine Konstante ist – $C=const$.

In unserer zweiten Funktion erhalten wir die folgende Konstruktion:

Und der Letzte:

Und jetzt haben wir im ursprünglichen Zustand des Problems wirklich das bekommen, was von uns verlangt wurde.

Lösen von Problemen beim Finden von Stammfunktionen mit einem bestimmten Punkt

Nachdem wir nun über Konstanten und die Besonderheiten beim Schreiben von Stammfunktionen Bescheid wissen, ist es ganz logisch, dass die nächste Art von Problem auftritt, wenn es darum geht, aus der Menge aller Stammfunktionen die einzige zu finden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft . Was ist diese Aufgabe?

Tatsache ist, dass sich alle Stammfunktionen einer bestimmten Funktion nur dadurch unterscheiden, dass sie um eine bestimmte Zahl vertikal verschoben sind. Und das bedeutet, dass unabhängig davon, welchen Punkt auf der Koordinatenebene wir nehmen, auf jeden Fall eine Stammfunktion existiert, und zwar nur eine.

Die Probleme, die wir nun lösen werden, lauten also wie folgt: Finden Sie nicht nur die Stammfunktion, indem Sie die Formel der ursprünglichen Funktion kennen, sondern wählen Sie genau die Funktion aus, die durch den gegebenen Punkt verläuft, dessen Koordinaten im Problem angegeben werden Stellungnahme.

Beispiel 1

Zählen wir zunächst einfach jeden Begriff:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Jetzt ersetzen wir diese Ausdrücke in unserer Konstruktion:

Diese Funktion muss durch den Punkt $M\left(-1;4 \right)$ laufen. Was bedeutet es, dass es durch einen Punkt geht? Das heißt, wenn wir statt $x$ überall $-1$ und statt $F\left(x \right)$ - $-4$ einsetzen, dann sollten wir die richtige numerische Gleichheit erhalten. Lass uns das machen:

Wir sehen, dass wir eine Gleichung für $C$ haben, also versuchen wir, sie zu lösen:

Schreiben wir genau die Lösung auf, nach der wir gesucht haben:

Beispiel Nr. 2

Zunächst muss das Quadrat der Differenz mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel ermittelt werden:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Die ursprüngliche Konstruktion wird wie folgt geschrieben:

Suchen wir nun $C$: Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wir drücken $C$ aus:

Es bleibt noch der endgültige Ausdruck anzuzeigen:

Trigonometrische Probleme lösen

Als letzten Schliff zu dem, was wir gerade besprochen haben, schlage ich vor, zwei komplexere Probleme zu betrachten, die Trigonometrie betreffen. In ihnen müssen Sie auf die gleiche Weise Stammfunktionen für alle Funktionen finden und dann aus dieser Menge die einzige auswählen, die durch den Punkt $M$ auf der Koordinatenebene verläuft.

Mit Blick auf die Zukunft möchte ich anmerken, dass die Technik, die wir jetzt verwenden werden, um Stammfunktionen trigonometrischer Funktionen zu finden, tatsächlich eine universelle Technik für den Selbsttest ist.

Aufgabe Nr. 1

Erinnern wir uns an die folgende Formel:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Auf dieser Grundlage können wir schreiben:

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes $M$ in unseren Ausdruck:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Schreiben wir den Ausdruck unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

Problem Nr. 2

Das wird etwas schwieriger. Jetzt werden Sie sehen, warum.

Erinnern wir uns an diese Formel:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Um das „Minus“ loszuwerden, müssen Sie Folgendes tun:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hier ist unser Design

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes $M$:

Insgesamt notieren wir die endgültige Konstruktion:

Das ist alles, worüber ich Ihnen heute erzählen wollte. Wir haben den Begriff Stammfunktionen untersucht, wie man sie aus Elementarfunktionen berechnet und wie man eine Stammfunktion findet, die durch einen bestimmten Punkt auf der Koordinatenebene verläuft.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen hilft, dieses komplexe Thema zumindest ein wenig zu verstehen. In jedem Fall werden unbestimmte und unbestimmte Integrale auf Stammfunktionen konstruiert, daher ist es unbedingt erforderlich, sie zu berechnen. Das ist alles für mich. Wir sehen uns wieder!

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