Techniken und Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. Zahlenvergleich

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Folienunterschriften:

Eigenschaften der Monotonie eines Logarithmus. Vergleich von Logarithmen. Algebra 11. Klasse. Abgeschlossen von der Mathematiklehrerin: Liliya Anasovna Kinzyabulatova, Noyabrsk, 2014.

y= log a x , wobei a>0; a≠1. a) Wenn a> 1, dann y= log a x – ansteigend b) Wenn 0

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ① Monotonie-Eigenschaft Vergleichen Sie log a b log a c Basen sind a Wenn a> 1, dann y= log a t nimmt zu, dann von b> c = > log a b > log a c ; Wenn 0 c => log a b log 1/3 8;

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ② Grafische Methode Vergleichen Sie log a b log mit b Basen sind unterschiedlich, Zahlen sind gleich b 1) Wenn a> 1; с > 1, dann y=log a t, y=log с t – Alter. a) Wenn a > c, b > 1, dann log a b log c b

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ② Grafische Methode Vergleichen Sie log a b log mit b Basen sind unterschiedlich, Zahlen sind gleich b 2) Wenn 0 c, b>1, dann log a b > log c b b) Wenn a

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ② Grafische Methode Vergleichen Sie log a b log mit b Basen sind unterschiedlich, Zahlen sind gleich b Beispiele log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Log 0,3 0,6

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ③ Funktionen unterschiedlicher Monotonie a>1 y=log a x – erhöht 0 1, dann log a c > log b d b) Wenn 0 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ⑤ Auswertungsmethode Protokoll 3 5 Protokoll 4 17 1 > > > >

Methoden zum Vergleichen von Logarithmen. ⑦ Vergleich mit der Mitte des Segments log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

  1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
  2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
  3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

  • Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
  • Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Es ergibt sich folgender Ausdruck: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung einer Ungleichung beide Bereiche akzeptabel sind Werte und die Punkte werden durch Brechen dieser Funktion bestimmt. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

  1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
  2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die zwingende Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
  3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder auf eine allgemeine Form reduziert werden kann. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

  1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen es notwendig ist, einen großen Wert der Zahl b in einfachere Faktoren zu zerlegen. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (den komplexesten und umfangreichsten Aufgaben) enthalten. Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen sind den offiziellen Versionen des Einheitlichen Staatsexamens entnommen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

  • Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
  • Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Modulproblemen müssen Sie die gefundenen Wurzeln auf den Zahlenstrahl legen. Wie Sie wissen, können die gefundenen Wurzeln unterschiedlich sein. Sie können so aussehen: , oder sie können so sein: , .

Wenn die Zahlen dementsprechend nicht rational, sondern irrational sind (wenn Sie vergessen haben, was sie sind, schauen Sie im Thema nach) oder komplexe mathematische Ausdrücke sind, dann ist es sehr problematisch, sie auf der Zahlengeraden zu platzieren. Darüber hinaus dürfen Sie während der Prüfung keine Taschenrechner verwenden und Näherungsberechnungen bieten keine hundertprozentige Garantie dafür, dass eine Zahl kleiner als eine andere ist (was passiert, wenn zwischen den verglichenen Zahlen ein Unterschied besteht?).

Natürlich wissen Sie, dass positive Zahlen immer größer sind als negative, und dass, wenn wir uns eine Zahlenachse vorstellen, beim Vergleich die größten Zahlen rechts liegen als die kleinsten: ; ; usw.

Aber ist alles immer so einfach? Wo wir auf dem Zahlenstrahl markieren, .

Wie können sie beispielsweise mit einer Zahl verglichen werden? Das ist das Problem...)

Lassen Sie uns zunächst allgemein darüber sprechen, wie und was verglichen werden soll.

Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und es ist verboten Quadrat, wenn einer der Teile negativ ist.

Vergleich von Brüchen

Wir müssen also zwei Brüche vergleichen: und.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun.

Option 1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Schreiben wir es in Form eines gewöhnlichen Bruchs:

- (wie Sie sehen können, habe ich auch Zähler und Nenner reduziert).

Jetzt müssen wir Brüche vergleichen:

Jetzt können wir den Vergleich auf zwei Arten fortsetzen. Wir können:

  1. Bringen Sie einfach alles auf einen gemeinsamen Nenner und stellen Sie beide Brüche als unechte Brüche dar (der Zähler ist größer als der Nenner):

    Welche Zahl ist größer? Richtig, der mit dem größeren Zähler, also der erste.

  2. „Lass uns verwerfen“ (denken Sie daran, dass wir von jedem Bruch eins abgezogen haben und sich das Verhältnis der Brüche zueinander dementsprechend nicht geändert hat) und vergleichen Sie die Brüche:

    Wir bringen sie auch auf einen gemeinsamen Nenner:

    Wir haben genau das gleiche Ergebnis wie im vorherigen Fall erhalten – die erste Zahl ist größer als die zweite:

    Überprüfen wir auch, ob wir eins richtig subtrahiert haben? Berechnen wir die Differenz im Zähler in der ersten und der zweiten Berechnung:
    1)
    2)

Also haben wir uns angeschaut, wie man Brüche vergleicht und sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Kommen wir zu einer anderen Methode: Brüche vergleichen und auf einen gemeinsamen ... Zähler bringen.

Option 2. Vergleichen von Brüchen durch Reduzieren auf einen gemeinsamen Zähler.

Ja Ja. Das ist kein Tippfehler. Diese Methode wird in der Schule selten jemandem beigebracht, ist aber sehr oft sehr praktisch. Damit Sie das Wesentliche schnell verstehen, stelle ich Ihnen nur eine Frage: „In welchen Fällen ist der Wert eines Bruchs am größten?“ Natürlich werden Sie sagen: „Wenn der Zähler so groß wie möglich und der Nenner so klein wie möglich ist.“

Kann man zum Beispiel definitiv sagen, dass es wahr ist? Was ist, wenn wir die folgenden Brüche vergleichen müssen: ? Ich denke, Sie werden das Zeichen auch sofort richtig setzen, denn im ersten Fall sind sie in Teile geteilt, im zweiten in ganze, was bedeutet, dass die Stücke im zweiten Fall sehr klein ausfallen, und dementsprechend: . Wie Sie sehen, sind hier die Nenner unterschiedlich, die Zähler jedoch gleich. Um diese beiden Brüche zu vergleichen, muss man jedoch nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen. Obwohl ... finden Sie es und sehen Sie, ob das Vergleichszeichen immer noch falsch ist?

Aber das Zeichen ist dasselbe.

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück – vergleichen und... Wir vergleichen und... Reduzieren wir diese Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner, sondern auf einen gemeinsamen Zähler. Um dies einfach zu tun Zähler und Nenner Multipliziere den ersten Bruch mit. Wir bekommen:

Und. Welcher Bruch ist größer? Genau, das erste.

Option 3: Brüche durch Subtraktion vergleichen.

Wie vergleiche ich Brüche durch Subtraktion? Ja, ganz einfach. Wir subtrahieren einen anderen von einem Bruch. Wenn das Ergebnis positiv ist, ist der erste Bruch (Minuend) größer als der zweite (Subtrahend), und wenn negativ, dann umgekehrt.

Versuchen wir in unserem Fall, den ersten Bruch vom zweiten zu subtrahieren: .

Wie Sie bereits verstehen, konvertieren wir auch in einen gewöhnlichen Bruch und erhalten das gleiche Ergebnis – . Unser Ausdruck hat die Form:

Als nächstes müssen wir noch zur Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner greifen. Die Frage ist: Auf die erste Art und Weise Brüche in unechte Brüche umwandeln, oder auf die zweite Art und Weise, als würde man die Einheit „entfernen“? Diese Aktion hat übrigens eine völlig mathematische Begründung. Sehen:

Die zweite Option gefällt mir besser, da die Multiplikation im Zähler viel einfacher ist, wenn man sie auf einen gemeinsamen Nenner reduziert.

Bringen wir es auf einen gemeinsamen Nenner:

Hier geht es vor allem darum, nicht verwirrt darüber zu sein, von welcher Zahl wir wo subtrahiert haben. Beobachten Sie den Fortschritt der Lösung sorgfältig und verwechseln Sie die Zeichen nicht versehentlich. Wir haben die erste Zahl von der zweiten Zahl subtrahiert und ein negatives Ergebnis erhalten, also? Das stimmt, die erste Zahl ist größer als die zweite.

Habe es? Versuchen Sie, Brüche zu vergleichen:

Halt halt. Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder zu subtrahieren. Schauen Sie: Sie können es leicht in einen Dezimalbruch umwandeln. Wie lange wird es dauern? Rechts. Was ist am Ende mehr?

Dies ist eine weitere Option – der Vergleich von Brüchen durch Umwandlung in eine Dezimalzahl.

Option 4: Brüche durch Division vergleichen.

Ja Ja. Und das ist auch möglich. Die Logik ist einfach: Wenn wir eine größere Zahl durch eine kleinere Zahl dividieren, erhalten wir als Antwort eine Zahl größer als eins, und wenn wir eine kleinere Zahl durch eine größere Zahl dividieren, fällt die Antwort auf das Intervall von bis.

Um sich an diese Regel zu erinnern, nehmen Sie zum Beispiel zwei beliebige Primzahlen zum Vergleich und. Weißt du, was noch mehr ist? Teilen wir nun durch. Unsere Antwort ist. Dementsprechend ist die Theorie richtig. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir weniger als eins, was wiederum bestätigt, dass es tatsächlich weniger ist.

Versuchen wir, diese Regel auf gewöhnliche Brüche anzuwenden. Lass uns vergleichen:

Teilen Sie den ersten Bruch durch den zweiten:

Lassen Sie uns nach und nach kürzen.

Das erhaltene Ergebnis ist kleiner, was bedeutet, dass die Dividende kleiner als der Divisor ist, d. h.:

Wir haben uns alle möglichen Optionen zum Vergleichen von Brüchen angesehen. Wie siehst du sie 5:

  • Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner;
  • Reduktion auf einen gemeinsamen Zähler;
  • Reduktion auf die Form eines Dezimalbruchs;
  • Subtraktion;
  • Aufteilung.

Bereit zum Training? Brüche optimal vergleichen:

Vergleichen wir die Antworten:

  1. (- in Dezimalzahl umwandeln)
  2. (Dividieren Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner.)
  3. (Wählen Sie den ganzen Teil aus und vergleichen Sie Brüche nach dem Prinzip des gleichen Zählers.)
  4. (Teilen Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner).

2. Vergleich der Abschlüsse

Stellen Sie sich nun vor, dass wir nicht nur Zahlen vergleichen müssen, sondern auch Ausdrücke, bei denen es einen Grad () gibt.

Natürlich können Sie ganz einfach ein Schild anbringen:

Wenn wir schließlich den Grad durch Multiplikation ersetzen, erhalten wir:

Aus diesem kleinen und primitiven Beispiel folgt die Regel:

Versuchen Sie nun, Folgendes zu vergleichen: . Sie können auch ganz einfach ein Schild anbringen:

Denn wenn wir Potenzierung durch Multiplikation ersetzen ...

Im Allgemeinen versteht man alles und es ist überhaupt nicht schwierig.

Schwierigkeiten ergeben sich nur dann, wenn beim Vergleich der Abschlüsse unterschiedliche Grundlagen und Indikatoren vorliegen. In diesem Fall muss versucht werden, zu einer gemeinsamen Basis zu gelangen. Zum Beispiel:

Natürlich wissen Sie, dass dieser Ausdruck dementsprechend die Form annimmt:

Öffnen wir die Klammern und vergleichen wir, was wir erhalten:

Ein etwas besonderer Fall ist, wenn die Basis des Grades () kleiner als eins ist.

Wenn, dann ist von zwei Grad und der größere derjenige, dessen Index kleiner ist.

Versuchen wir, diese Regel zu beweisen. Lassen.

Lassen Sie uns eine natürliche Zahl als Differenz zwischen und einführen.

Logisch, nicht wahr?

Und nun achten wir noch einmal auf den Zustand – .

Jeweils: . Somit, .

Zum Beispiel:

Wie Sie wissen, haben wir den Fall betrachtet, dass die Grundlagen der Befugnisse gleich sind. Schauen wir uns nun an, wann die Basis im Intervall von bis liegt, die Exponenten aber gleich sind. Hier ist alles ganz einfach.

Erinnern wir uns anhand eines Beispiels daran, wie man dies vergleicht:

Natürlich hast du schnell nachgerechnet:

Wenn Sie also zum Vergleich auf ähnliche Probleme stoßen, denken Sie an ein einfaches ähnliches Beispiel, das Sie schnell berechnen können, und setzen Sie anhand dieses Beispiels Zeichen in ein komplexeres.

Denken Sie beim Durchführen von Transformationen daran, dass beim Multiplizieren, Addieren, Subtrahieren oder Dividieren alle Aktionen sowohl mit der linken als auch mit der rechten Seite ausgeführt werden müssen (wenn Sie mit multiplizieren, müssen Sie beide multiplizieren).

Darüber hinaus gibt es Fälle, in denen Manipulationen einfach unrentabel sind. Zum Beispiel müssen Sie vergleichen. In diesem Fall ist es nicht so schwierig, das Zeichen zu potenzieren und darauf basierend anzuordnen:

Lass uns üben. Abschlüsse vergleichen:

Sind Sie bereit, Antworten zu vergleichen? Folgendes habe ich bekommen:

  1. - das Gleiche wie
  2. - das Gleiche wie
  3. - das Gleiche wie
  4. - das Gleiche wie

3. Zahlen mit Wurzeln vergleichen

Erinnern wir uns zunächst daran, was Wurzeln sind? Erinnern Sie sich an diese Aufnahme?

Die Wurzel einer Potenz einer reellen Zahl ist eine Zahl, für die die Gleichheit gilt.

Wurzeln ungeraden Grades gibt es für negative und positive Zahlen, und sogar Wurzeln- nur für positive.

Der Wurzelwert ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.

Wenn Sie vergessen haben, was es ist und wozu es gegessen wird – . Wenn Sie sich an alles erinnern, lernen wir Schritt für Schritt, Wurzeln zu vergleichen.

Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:

Um diese beiden Wurzeln zu vergleichen, müssen Sie keine Berechnungen durchführen, sondern lediglich das Konzept der „Wurzel“ selbst analysieren. Verstehen Sie, wovon ich rede? Ja, dazu: Ansonsten kann es als dritte Potenz einer Zahl geschrieben werden, gleich dem Wurzelausdruck.

Was ist mehr? oder? Natürlich können Sie dies problemlos vergleichen. Je größer die Zahl ist, die wir potenzieren, desto größer ist der Wert.

Also. Lassen Sie uns eine Regel ableiten.

Wenn die Exponenten der Wurzeln gleich sind (in unserem Fall ist dies der Fall), müssen die Wurzelausdrücke (und) verglichen werden – je größer die Wurzelzahl, desto größer der Wert der Wurzel bei gleichen Exponenten.

Schwer zu merken? Dann behalten Sie einfach ein Beispiel im Kopf und... Das mehr?

Die Exponenten der Wurzeln sind gleich, da die Wurzel quadratisch ist. Der radikale Ausdruck einer Zahl () ist größer als eine andere (), was bedeutet, dass die Regel wirklich wahr ist.

Was ist, wenn die Wurzelausdrücke gleich sind, die Grade der Wurzeln jedoch unterschiedlich sind? Zum Beispiel: .

Es ist auch ganz klar, dass man eine kleinere Zahl erhält, wenn man eine Wurzel mit einem größeren Grad zieht. Nehmen wir zum Beispiel:

Bezeichnen wir den Wert der ersten Wurzel als und der zweiten als, dann:

Sie können leicht erkennen, dass in diesen Gleichungen mehr enthalten sein muss, daher:

Wenn die Wurzelausdrücke gleich sind(in unserem Fall), und die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedlich(in unserem Fall ist das und), dann ist es notwendig, die Exponenten zu vergleichen(Und) - je höher der Indikator, desto kleiner ist dieser Ausdruck.

Versuchen Sie, die folgenden Wurzeln zu vergleichen:

Vergleichen wir die Ergebnisse?

Wir haben das erfolgreich geklärt :). Es stellt sich eine weitere Frage: Was wäre, wenn wir alle unterschiedlich wären? Sowohl Grad als auch radikaler Ausdruck? Nicht alles ist so kompliziert, wir müssen nur... die Wurzel „loswerden“. Ja Ja. Werde es einfach los)

Wenn wir unterschiedliche Grade und Wurzelausdrücke haben, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (lesen Sie den Abschnitt darüber) für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke auf eine Potenz erhöhen, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht.

Dass wir alle in Worten und Worten sind. Hier ist ein Beispiel:

  1. Wir schauen uns die Indikatoren der Wurzeln an – und. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist.
  2. Potenzieren wir beide Ausdrücke:
  3. Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren und die Klammern öffnen (weitere Details im Kapitel):
  4. Zählen wir, was wir getan haben, und setzen wir ein Zeichen:

4. Vergleich von Logarithmen

So kamen wir langsam aber sicher zu der Frage, wie man Logarithmen vergleicht. Wenn Sie sich nicht erinnern, um welche Art von Tier es sich handelt, empfehle ich Ihnen, zunächst die Theorie aus dem Abschnitt zu lesen. Hast du es gelesen? Dann beantworten Sie ein paar wichtige Fragen:

  1. Was ist das Argument eines Logarithmus und was ist seine Basis?
  2. Was bestimmt, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt?

Wenn Sie sich an alles erinnern und es perfekt beherrschen, legen wir los!

Um Logarithmen miteinander zu vergleichen, müssen Sie nur drei Techniken kennen:

  • Reduzierung auf die gleiche Basis;
  • Reduktion auf dasselbe Argument;
  • Vergleich mit der dritten Zahl.

Achten Sie zunächst auf die Basis des Logarithmus. Erinnern Sie sich daran, dass die Funktion abnimmt, wenn sie kleiner ist, und wenn sie größer ist, nimmt sie zu. Darauf werden unsere Urteile basieren.

Betrachten wir einen Vergleich von Logarithmen, die bereits auf dieselbe Basis oder dasselbe Argument reduziert wurden.

Vereinfachen wir zunächst das Problem: Geben wir die verglichenen Logarithmen ein gleiche Gründe. Dann:

  1. Die Funktion wächst z. B. im Intervall von, was per Definition dann bedeutet („direkter Vergleich“).
  2. Beispiel:- Die Gründe sind die gleichen, wir vergleichen die Argumente entsprechend: , also:
  3. Die Funktion at nimmt im Intervall von ab, was per Definition dann bedeutet („umgekehrter Vergleich“). - Die Basen sind gleich, wir vergleichen die Argumente entsprechend: Allerdings wird das Vorzeichen der Logarithmen „umgekehrt“ sein, da die Funktion abnehmend ist: .

Betrachten Sie nun Fälle, in denen die Gründe unterschiedlich, die Argumente jedoch gleich sind.

  1. Die Basis ist größer.
    • . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel: - Die Argumente sind die gleichen und. Vergleichen wir die Grundlagen: Allerdings wird das Vorzeichen der Logarithmen „umgekehrt“ sein:
  2. Die Basis a liegt in der Lücke.
    • . In diesem Fall verwenden wir den „direkten Vergleich“. Zum Beispiel:
    • . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel:

Schreiben wir alles in allgemeiner tabellarischer Form auf:

, dabei , dabei

Wie Sie bereits verstanden haben, müssen wir beim Vergleich von Logarithmen daher zur gleichen Basis bzw. zum gleichen Argument gelangen. Wir gelangen zur gleichen Basis, indem wir die Formel für den Übergang von einer Basis zur anderen verwenden.

Sie können Logarithmen auch mit der dritten Zahl vergleichen und daraus schließen, was weniger und was mehr ist. Überlegen Sie beispielsweise, wie Sie diese beiden Logarithmen vergleichen können.

Ein kleiner Hinweis: Zum Vergleich hilft Ihnen ein Logarithmus sehr, dessen Argument gleich ist.

Gedanke? Lassen Sie uns gemeinsam entscheiden.

Diese beiden Logarithmen können wir ganz einfach mit Ihnen vergleichen:

Sie wissen nicht wie? Siehe oben. Wir haben das gerade geklärt. Welches Zeichen wird es geben? Rechts:

Zustimmen?

Vergleichen wir miteinander:

Sie sollten Folgendes erhalten:

Fassen Sie nun alle unsere Schlussfolgerungen zu einem zusammen. Passiert?

5. Vergleich trigonometrischer Ausdrücke.

Was ist Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens? Warum brauchen wir einen Einheitskreis und wie findet man darauf den Wert trigonometrischer Funktionen? Wenn Sie die Antworten auf diese Fragen nicht kennen, empfehle ich Ihnen dringend, die Theorie zu diesem Thema zu lesen. Und wenn Sie es wissen, fällt es Ihnen nicht schwer, trigonometrische Ausdrücke miteinander zu vergleichen!

Frischen wir unser Gedächtnis ein wenig auf. Zeichnen wir einen trigonometrischen Einheitskreis und ein darin eingeschriebenes Dreieck. Hast du es geschafft? Markieren Sie nun anhand der Seiten des Dreiecks, auf welcher Seite wir den Kosinus und auf welcher Seite den Sinus eintragen. (Sie erinnern sich natürlich daran, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse und der Kosinus die Ankathete ist?). Hast du es gezeichnet? Großartig! Der letzte Schliff besteht darin, festzulegen, wo wir es haben werden, wo und so weiter. Hast du es abgelegt? Puh) Lass uns vergleichen, was dir und mir passiert ist.

Puh! Jetzt fangen wir mit dem Vergleich an!

Nehmen wir an, wir müssen vergleichen und. Zeichnen Sie diese Winkel mithilfe der Eingabeaufforderungen in den Feldern (wo wir markiert haben, wo) und platzieren Sie Punkte auf dem Einheitskreis. Hast du es geschafft? Hier ist, was ich habe.

Lassen Sie uns nun eine Senkrechte von den Punkten, die wir auf dem Kreis markiert haben, auf die Achse fallen lassen ... Welche? Welche Achse zeigt den Wert der Sinuswerte? Rechts, . Das sollten Sie bekommen:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, welches ist größer: oder? Natürlich, weil der Punkt über dem Punkt liegt.

Auf ähnliche Weise vergleichen wir den Wert von Kosinuswerten. Wir senken nur die Senkrechte zur Achse... Das ist richtig, . Schauen wir uns dementsprechend an, welcher Punkt rechts (oder höher, wie bei Sinus) liegt, dann ist der Wert größer.

Sie wissen wahrscheinlich schon, wie man Tangenten vergleicht, oder? Sie müssen lediglich wissen, was eine Tangente ist. Was ist also ein Tangens?) Richtig, das Verhältnis von Sinus zu Cosinus.

Um Tangenten zu vergleichen, zeichnen wir einen Winkel auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall. Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:

Hast du es gezeichnet? Jetzt markieren wir auch die Sinuswerte auf der Koordinatenachse. Hast du bemerkt? Geben Sie nun die Werte des Kosinus auf der Koordinatenlinie an. Passiert? Lass uns vergleichen:

Analysieren Sie nun, was Sie geschrieben haben. - Wir teilen ein großes Segment in ein kleines. Die Antwort wird einen Wert enthalten, der definitiv größer als eins ist. Rechts?

Und wenn wir das Kleine durch das Große teilen. Die Antwort wird eine Zahl sein, die genau kleiner als eins ist.

Welcher trigonometrische Ausdruck hat also den größeren Wert?

Rechts:

Wie Sie jetzt verstehen, ist der Vergleich von Kotangenten dasselbe, nur umgekehrt: Wir betrachten, wie die Segmente, die Kosinus und Sinus definieren, zueinander in Beziehung stehen.

Versuchen Sie, die folgenden trigonometrischen Ausdrücke selbst zu vergleichen:

Beispiele.

Antworten.

ZAHLENVERGLEICH. DURCHSCHNITTSNIVEAU.

Welche Zahl ist größer: oder? Die Antwort liegt auf der Hand. Und jetzt: oder? Nicht mehr so ​​offensichtlich, oder? Also: oder?

Oft muss man wissen, welcher numerische Ausdruck größer ist. Zum Beispiel, um beim Lösen einer Ungleichung die Punkte auf der Achse in der richtigen Reihenfolge anzuordnen.

Jetzt werde ich Ihnen beibringen, wie man solche Zahlen vergleicht.

Wenn Sie Zahlen vergleichen müssen, setzen wir ein Zeichen dazwischen (abgeleitet vom lateinischen Wort Versus oder abgekürzt vs. – gegen): . Dieses Zeichen ersetzt das unbekannte Ungleichheitszeichen (). Als nächstes führen wir identische Transformationen durch, bis klar ist, welches Vorzeichen zwischen den Zahlen gesetzt werden muss.

Der Kern des Zahlenvergleichs besteht darin, dass wir das Zeichen so behandeln, als wäre es eine Art Ungleichheitszeichen. Und mit dem Ausdruck können wir alles machen, was wir normalerweise mit Ungleichungen machen:

  • Addiere auf beiden Seiten eine beliebige Zahl (und wir können natürlich auch subtrahieren)
  • „Alles zur Seite verschieben“, also einen der verglichenen Ausdrücke von beiden Teilen subtrahieren. Anstelle des subtrahierten Ausdrucks bleibt: .
  • mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren. Ist diese Zahl negativ, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt: .
  • Erhöhen Sie beide Seiten auf die gleiche Potenz. Wenn diese Potenz gerade ist, müssen Sie sicherstellen, dass beide Teile das gleiche Vorzeichen haben; Wenn beide Teile positiv sind, ändert sich das Vorzeichen bei der Potenzierung nicht, sind sie jedoch negativ, dann ändert es sich ins Gegenteil.
  • Extrahieren Sie aus beiden Teilen die Wurzel gleichen Grades. Wenn wir eine Wurzel geraden Grades ziehen, müssen wir zunächst sicherstellen, dass beide Ausdrücke nicht negativ sind.
  • alle anderen äquivalenten Transformationen.

Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und Sie können sie nicht quadrieren, wenn einer der Teile negativ ist.

Schauen wir uns einige typische Situationen an.

1. Potenzierung.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können wir sie quadrieren, um die Wurzel zu entfernen:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Hier können wir es auch quadrieren, aber das hilft uns nur, die Quadratwurzel loszuwerden. Hier ist es notwendig, ihn so weit anzuheben, dass beide Wurzeln verschwinden. Das bedeutet, dass der Exponent dieses Grades sowohl durch (Grad der ersten Wurzel) als auch durch teilbar sein muss. Diese Zahl wird daher auf die te Potenz erhöht:

2. Multiplikation mit seinem Konjugat.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Lassen Sie uns jede Differenz multiplizieren und durch die konjugierte Summe dividieren:

Offensichtlich ist der Nenner auf der rechten Seite größer als der Nenner auf der linken Seite. Daher ist der rechte Bruch kleiner als der linke:

3. Subtraktion

Erinnern wir uns daran.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Natürlich könnten wir alles in Einklang bringen, neu gruppieren und es erneut in Einklang bringen. Aber Sie können etwas Intelligenteres tun:

Es ist ersichtlich, dass auf der linken Seite jeder Term kleiner ist als jeder Term auf der rechten Seite.

Dementsprechend ist die Summe aller Terme auf der linken Seite kleiner als die Summe aller Terme auf der rechten Seite.

Aber sei vorsichtig! Wir wurden gefragt, was noch...

Die rechte Seite ist größer.

Beispiel.

Vergleichen Sie die Zahlen und...

Lösung.

Erinnern wir uns an die Trigonometrieformeln:

Schauen wir uns an, in welchen Vierteln des trigonometrischen Kreises die Punkte liegen.

4. Abteilung.

Auch hier verwenden wir eine einfache Regel: .

Bei oder, das heißt.

Wenn sich das Vorzeichen ändert: .

Beispiel.

Vergleichen: .

Lösung.

5. Vergleichen Sie die Zahlen mit der dritten Zahl

Wenn und dann (Gesetz der Transitivität).

Beispiel.

Vergleichen.

Lösung.

Vergleichen wir die Zahlen nicht miteinander, sondern mit der Zahl.

Es ist klar, dass.

Andererseits, .

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Beide Zahlen sind größer, aber kleiner. Wählen wir eine Zahl aus, die größer als eine, aber kleiner als die andere ist. Zum Beispiel, . Lass uns das Prüfen:

6. Was tun mit Logarithmen?

Nichts Besonderes. Wie man Logarithmen loswird, wird im Thema ausführlich beschrieben. Die Grundregeln sind:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Wir können auch eine Regel für Logarithmen mit unterschiedlichen Basen und demselben Argument hinzufügen:

Dies lässt sich folgendermaßen erklären: Je größer die Basis, desto geringer muss sie angehoben werden, um das Gleiche zu erreichen. Wenn die Basis kleiner ist, ist das Gegenteil der Fall, da die entsprechende Funktion monoton fallend ist.

Beispiel.

Vergleichen Sie die Zahlen: und.

Lösung.

Nach den oben genannten Regeln:

Und nun die Formel für Fortgeschrittene.

Die Regel zum Vergleichen von Logarithmen kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Beispiel.

Vergleichen Sie, welche Zahl größer ist: .

Lösung.

ZAHLENVERGLEICH. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Potenzierung

Wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können sie quadriert werden, um die Wurzel zu entfernen

2. Multiplikation mit seinem Konjugat

Ein Konjugat ist ein Faktor, der den Ausdruck zur Quadratdifferenzformel ergänzt: - Konjugat für und umgekehrt, weil .

3. Subtraktion

4. Abteilung

Wann oder das ist

Wenn sich das Vorzeichen ändert:

5. Vergleich mit der dritten Zahl

Wenn und dann

6. Vergleich von Logarithmen

Grundregeln:

Logarithmen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Argument:

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

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    Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus von Eins. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, d. h. log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Der Beweis ist nicht schwierig: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt der zu beweisende Gleichheitslog a 1=0 unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.

    Geben wir Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft: log 3 1=0, log1=0 und .

    Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a=1 für a>0, a≠1. Da a 1 =a für jedes a gilt, ist nach Definition des Logarithmus log a a=1.

    Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind die Gleichungen log 5 5=1, log 5,6 5,6 und lne=1.

    Zum Beispiel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 und .

    Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, und da durch die logarithmische Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y, dann a log a x ·a log a y =x·y. Somit ist ein log a x+log a y =x·y, woraus nach der Definition eines Logarithmus die zu beweisende Gleichheit folgt.

    Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

    Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts lässt sich auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as verallgemeinern log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Diese Gleichheit lässt sich problemlos beweisen.

    Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus des Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4, e und ersetzt werden.

    Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten entspricht einer Formel der Form, wobei a>0, a≠1, x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel ist ebenso bewiesen wie die Formel für den Logarithmus eines Produkts: seit , dann per Definition eines Logarithmus.

    Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

    Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Schreiben wir diese Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz als Formel: log a b p =p·log a |b|, wobei a>0, a≠1, b und p Zahlen sind, so dass der Grad b p sinnvoll ist und b p > 0.

    Zuerst beweisen wir, dass diese Eigenschaft positiv b ist. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p·log a b . Wir kommen also zu der Gleichung b p =a p·log a b, woraus wir durch die Definition eines Logarithmus schließen, dass log a b p =p·log a b.

    Es bleibt noch, diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grades b p größer als Null sein muss, sonst ergibt der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p =|b| P. Dann b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, woraus log a b p =p·log a |b| .

    Zum Beispiel, und ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Produkt des Bruchs 1/n mit dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. , wobei a>0, a≠1, n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0.

    Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz: .

    Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

    Jetzt lasst uns beweisen Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis Art . Dazu reicht es aus, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b·log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b =log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b·log c a bewiesen, was bedeutet, dass auch die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus bewiesen ist.

    Lassen Sie uns einige Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

    Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Beispielsweise kann es verwendet werden, um auf natürliche oder dezimale Logarithmen umzusteigen, sodass Sie den Wert eines Logarithmus aus einer Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel zum Wechseln zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu ermitteln, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

    Ein Sonderfall der Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis für c=b der Form wird häufig verwendet . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

    Die Formel wird auch häufig verwendet , was zum Finden von Logarithmuswerten praktisch ist. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie man damit den Wert eines Logarithmus der Form berechnen kann. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es reicht aus, die Formel für den Übergang zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

    Es bleibt noch, die Eigenschaften des Vergleichs von Logarithmen zu beweisen.

    Beweisen wir, dass für alle positiven Zahlen b 1 und b 2, b 1 log a b 2 und für a>1 – die Ungleichung log a b 1

    Abschließend bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Beschränken wir uns auf den Beweis des ersten Teils, das heißt, wir werden beweisen, dass a 1 > 1, a 2 > 1 und a 1 gilt 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Eigenschaft von Logarithmen werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

    Lassen Sie uns die umgekehrte Methode verwenden. Angenommen, für a 1 >1, a 2 >1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b≤log a 2 b . Basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als Und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤log b a 2 bzw. log b a 1 ≥log b a 2. Dann müssen entsprechend den Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥b log b a 2 und b log b a 1 ≥b log b a 2 gelten, also a 1 ≥a 2 . Wir kamen also zu einem Widerspruch zur Bedingung a 1

Referenzliste.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Haupteigenschaften.

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

identische Gründe

Log6 4 + log6 9.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Übergang zu einer neuen Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Siehe auch:


Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.


Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.

3.

4. Wo .



Beispiel 2. Finden Sie x, wenn


Beispiel 3. Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn




Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen.

Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

  1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
  2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine Potenz x() zu finden, bei der die Gleichheit erfüllt ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Es ist notwendig, die oben genannten Eigenschaften zu kennen, da fast alle Probleme und Beispiele im Zusammenhang mit Logarithmen auf ihrer Grundlage gelöst werden. Der Rest der exotischen Eigenschaften kann durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formel für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) stößt man häufig darauf. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gebräuchlichsten Logarithmen sind solche, bei denen die Basis gerade zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird üblicherweise als dezimaler Logarithmus bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus der Aufnahme geht klar hervor, dass die Grundlagen in der Aufnahme nicht niedergeschrieben sind. Beispielsweise

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis ein Exponent ist (bezeichnet mit ln(x)).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei wird mit bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion ist gleich eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Beziehung bestimmt

Das bereitgestellte Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Lehrplan von Schulen und Universitäten nennen.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.
Durch die Eigenschaft der Differenz von Logarithmen haben wir

3.
Mit den Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck wird mithilfe einer Reihe von Regeln vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Lösung. Für die Berechnung beziehen wir uns auf die letzten Laufzeiten 5 und 13

Wir halten es zu Protokoll und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nehmen wir einen Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe ihrer Terme zu schreiben


Dies ist erst der Anfang unserer Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie das Rechnen, erweitern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen benötigen Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen auf ein weiteres, ebenso wichtiges Thema erweitern – logarithmische Ungleichungen...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

  1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
  2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.



 

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