Snowflake Koch-Konstruktion. Wie zeichnet man eine Koch-Schneeflocke, Fotodiagramme, wie sieht eine Koch-Schneeflocke aus? App-UI-Markup im Application Builder

Thema: Fraktale.

1. Einleitung. Kurzer historischer Hintergrund zu Fraktalen. 2. Fraktale sind Elemente der Geometrie in der Natur.

3. Objekte mit fraktalen Eigenschaften in der Natur. 4. Definition der Terminologie „Fraktale“.

5. Klassen von Fraktalen.

6.Beschreibung fraktaler Prozesse. 7. Verfahren zum Erhalten fraktaler Mengen.

8.1 Gebrochenes Kokha (Erhaltsverfahren).

8.2 Koch-Schneeflocke (Koch-Fraktal).

8.3 Menger-Schwämme.

9. Beispiele für die Verwendung von Fraktalen.

Einführung. Kurzer historischer Hintergrund zu Fraktalen.

Fraktale sind ein junger Zweig der diskreten Mathematik.

IN Im Jahr 1904 entwickelte der Schwede Koch eine stetige Kurve, die nirgends eine Tangente aufweist – die Koch-Kurve.

IN Im Jahr 1918 beschrieb die Französin Julia eine ganze Familie von Fraktalen.

IN Im Jahr 1938 veröffentlichte Pierre Levy den Artikel „Ebene und räumliche Kurven und Flächen, die aus Teilen bestehen, die dem Ganzen ähnlich sind“.

IN 1982 veröffentlichte Benoit Mandelbrot das Buch „The Fractal Geometry of Nature“.

MIT Mit einfachen Konstruktionen und Formeln werden Bilder gewonnen. „Fraktale Malerei“ erschien.

Seit 1993 gibt World Scientific die Zeitschrift „Fractals“ heraus.

Fraktale sind Elemente der Geometrie in der Natur.

Fraktale sind ein Mittel zur Beschreibung von Objekten wie Modellen von Gebirgsketten, schroffen Küstenlinien, Kreislaufsystemen aus vielen Kapillaren und Gefäßen, Baumkronen, kaskadierenden Wasserfällen und frostigen Mustern auf Glas.

Oder diese: Farnblatt, Wolken, Fleck.

Bilder solcher Objekte können mithilfe fraktaler Grafiken dargestellt werden.

Objekte mit fraktalen Eigenschaften in der Natur.

KorallenSeesterne und SeeigelMuscheln

Blumen und Pflanzen (Brokkoli, Kohl) Früchte (Ananas)

Baumkronen und Pflanzenblätter Kreislauf und Bronchien von Mensch und Tier In der unbelebten Natur:

Grenzen von geografischen Objekten (Länder, Regionen, Städte) Küstenlinien Gebirgszüge Schneeflocken Wolken Blitze

Auf Glas gebildete Muster Kristalle Stalaktiten, Stalagmiten, Heliktite.

Definition der Terminologie „Fraktale“.

Fraktale sind geometrische Formen, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllen:

Es hat bei jeder Vergrößerung (in allen Maßstäben) eine komplexe, nicht triviale Struktur; es ist (annähernd) selbstähnlich.

Es hat eine gebrochene Hausdorff-Dimension (fraktal) oder geht über die topologische Dimension hinaus. Kann durch rekursive Verfahren konstruiert werden.

Für regelmäßige Figuren wie Kreis, Ellipse, Graph einer glatten Funktion Ein kleines Fragment in sehr großem Maßstab sieht aus wie ein Fragment einer geraden Linie. Bei einem Fraktal führt die Vergrößerung des Maßstabs nicht zu einer Vereinfachung der Struktur; bei allen Maßstäben werden wir gleich komplexe Bilder sehen.

Fraktale Klassen

Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen (Unterstrukturen) besteht, die dem Ganzen ähneln.

Einige Fraktale können als Elemente der Natur als geometrische (konstruktive) Fraktale klassifiziert werden.

Der Rest kann als dynamische Fraktale (algebraisch) klassifiziert werden.

Verfahren zum Erhalten fraktaler Mengen.

Dies ist ein einfaches rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven: Geben Sie eine beliebige unterbrochene Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen an – einen Generator. Als nächstes wird jedes Segment des Generators darin ersetzt. Dann wird jedes Segment darin wieder durch einen Generator ersetzt und so weiter bis ins Unendliche.

Dargestellt: Aufteilung eines Einheitssegments in 3 Teile (a), eine Einheitsquadratfläche in 9 Teile (b), ein Einheitswürfel in 27 Teile (c) und 64 Teile (d). Die Anzahl der Teile ist n, der Skalierungsfaktor ist k und die Raumdimension ist d. Wir haben die folgenden Beziehungen: n = kd,

wenn n = 3, k = 3, dann d = 1; wenn n = 9, k = 3, dann d = 2; wenn n = 27, k = 3, dann d = 3.

wenn n = 4, k = 4, dann d = 1; wenn n = 16, k = 4, dann d = 2; wenn n = 64, k = 4, dann d = 3. Die Dimension des Raums wird in ganzen Zahlen ausgedrückt: d = 1, 2, 3; für n = 64 beträgt der Wert von d

Dargestellt sind fünf Schritte zum Aufbau einer Koch-Polylinie: ein Segment mit Einheitslänge (a), geteilt in drei Teile (k = 3), aus vier Teilen (n = 4) – eine gestrichelte Linie (b); jedes gerade Segment ist in drei Teile (k2 = 9) und in 16 Teile (n2 = 16) unterteilt – eine gestrichelte Linie (c); der Vorgang wird für k3 = 27 und n3 = 64 wiederholt – gestrichelte Linie (g); für k5 = 243 und n5 = 1024 – gestrichelte Linie (d).

Abmessungen

Dies ist eine gebrochene oder fraktale Dimension.

Die 1904 von Helg von Koch vorgeschlagene Koch-Polylinie fungiert als Fraktal, das sich zur Modellierung der Robustheit einer Küstenlinie eignet. Mandelbrot führte ein Zufallselement in den Küstein, das jedoch keinen Einfluss auf die Hauptschlussfolgerung hinsichtlich der Länge der Küstenlinie hatte. Weil die Grenze

Aufgrund der endlosen Schroffheit der Küste tendiert die Länge der Küste in die Unendlichkeit.

Das Verfahren zum Glätten der Küstenlinie beim Übergang von einem detaillierteren zu einem weniger detaillierten Maßstab, d. h.

Koch-Schneeflocke (Koch-Fraktal)

Als Grundlage für die Konstruktion können Sie nicht Segmente mit Einheitslänge nehmen, sondern ein gleichseitiges Dreieck, auf dessen jede Seite Sie das Verfahren der Multiplikation der Unregelmäßigkeiten erweitern können. In diesem Fall erhalten wir eine Koch-Schneeflocke (Abb.) und zwar von drei Arten: Die neu gebildeten Dreiecke sind nur nach außen vom vorherigen Dreieck (a) und (b) gerichtet; nur drinnen (in); zufällig entweder nach außen oder nach innen (d) und (e). Wie können Sie das Verfahren zur Konstruktion eines Koch-Fraktals festlegen?

Reis. Schneeflocke Koch

In Abb. zwei Vektordiagramme werden angezeigt; Die Zahlen über den Pfeilen werden wahrscheinlich die Frage aufwerfen: Was bedeuten sie? Der Vektor 0 fällt mit der positiven Richtung der Abszissenachse zusammen, da sein Phasenfaktor exp (i2πl/6) bei l = 0 seine Richtung behält. Vektor 1 wird relativ zu Vektor 0 um einen Winkel von 2π/6 gedreht, wenn l= 1. Vektor 5 hat einen Phasenfaktor exp (i2π5/6), l = 5. Der letzte Vektor hat den gleichen Phasenfaktor wie der erste ( l = 0). Ganze Zahlen l charakterisieren den Winkel des Phasenfaktors des Einheitsvektors.

Der erste Schritt (Abb.) legt ein rekursives Vorgehen für alle weiteren Schritte und insbesondere für den zweiten Schritt (Abb.) fest. Wie kommt man von einer Zahlenmenge φ1 = (0 1 5 0) zu φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Antwort: durch direkte Matrixmultiplikation, wenn jedes Element einer Matrix mit der Originalmatrix multipliziert wird. Da es sich in diesem Fall um ein eindimensionales Array handelt, d.h. Da Matrizen Vektoren sind, wird jedes Element eines Matrixvektors mit allen Elementen eines anderen Matrixvektors multipliziert. Darüber hinaus bestehen die Elemente des Matrixvektors φ1 aus Exponentialfunktionen exp (i2πl/6), daher muss 10 beim Multiplizieren der Zahl h gemäß Mod (6) addiert und nicht multipliziert werden.

Koch-Kurve

Kochs Schneeflocken

Um eine Koch-Schneeflocke zu konstruieren, führen wir die folgenden Operationen durch. Betrachten Sie ein gleichseitiges Dreieck als Nulliteration.


Dann teilen wir jede Seite dieses Dreiecks in drei gleiche Teile, entfernen den Mittelteil und vervollständigen in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck, wie in Abb. Im nächsten Schritt wird jede Seite der neuen Figur dem gleichen Verfahren unterzogen, bei dem sie in drei gleiche Teile geteilt und die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks abgeschlossen wird, und so weiter bis ins Unendliche. Das Ergebnis ist eine symmetrische, schneeflockenartige, unendlich gebrochene Kurve, eine selbstähnliche Menge, die als Koch-Schneeflocke bezeichnet wird. Es wurde nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch benannt, der es 1904 erstmals beschrieb. Seine Besonderheit besteht darin, dass es sich als geschlossenes Dreieck dennoch nirgendwo schneidet, da die fertigen Dreiecke jedes Mal klein genug sind und nie mit ihnen „kollidieren“. gegenseitig.

Berechnen wir seine fraktale Dimension. Nehmen Sie die Länge der Seiten des ursprünglichen Dreiecks l= 1, dann besteht das Fragment aus vier Segmenten mit einer Länge von jeweils 1/3 und daher einer Gesamtlänge von 4/3. Im nächsten Schritt erhalten wir eine gestrichelte Linie bestehend aus 16 Segmenten und einer Gesamtlänge von 16/9 oder usw. Daraus folgt, dass die fraktale Dimension gleich ist

Dieser Wert ist größer als eins (die topologische Dimension der Linie), aber kleiner als die euklidische Dimension der Ebene d = 2, auf der sich die Kurve befindet. Beachten wir, dass die Kurve, die als Ergebnis der n-ten Iteration für jedes endliche n erhalten wird, ein Präfraktal genannt wird und dass die Koch-Kurve nur dann ein Fraktal wird, wenn n gegen Unendlich tendiert. Somit ist eine Koch-Schneeflocke eine Linie unendlicher Länge, die eine endliche Fläche begrenzt. Wenn wir die Definition eines Fraktals verwenden, können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich bei dieser Menge um ein Fraktal handelt.

Diese Figur ist eines der ersten von Wissenschaftlern untersuchten Fraktale. Es handelt sich um drei Exemplare Koch-Kurve, das erstmals 1904 in einer Arbeit des schwedischen Mathematikers Helge von Koch erschien. Diese Kurve wurde als Beispiel für eine durchgehende Linie erfunden, die keinen Punkt tangieren kann. Linien mit dieser Eigenschaft waren schon früher bekannt (Karl Weierstrass baute sein Beispiel bereits 1872), aber die Koch-Kurve zeichnet sich durch die Einfachheit ihres Designs aus. Es ist kein Zufall, dass sein Artikel „Über eine stetige Kurve ohne Tangenten, die aus der Elementargeometrie entsteht“ heißt.

Die Zeichnung und Animation zeigen perfekt, wie die Koch-Kurve Schritt für Schritt konstruiert wird. Die erste Iteration ist einfach das Anfangssegment. Dann wird es in drei gleiche Teile geteilt, der mittlere wird zu einem regelmäßigen Dreieck vervollständigt und dann weggeworfen. Das Ergebnis ist die zweite Iteration – eine gestrichelte Linie bestehend aus vier Segmenten. Auf jeden von ihnen wird der gleiche Vorgang angewendet, und man erhält den vierten Konstruktionsschritt. Wenn Sie im gleichen Sinne fortfahren, können Sie immer mehr neue Linien erhalten (alle werden unterbrochene Linien sein). Und was im Grenzfall passiert (dies wird bereits ein imaginäres Objekt sein), wird Koch-Kurve genannt.

Grundlegende Eigenschaften der Koch-Kurve

1. Es ist stetig, aber nirgends differenzierbar. Grob gesagt wurde es genau deshalb erfunden – als Beispiel für solche mathematischen „Freaks“.

2. Hat unendliche Länge. Die Länge des ursprünglichen Segments sei gleich 1. Bei jedem Konstruktionsschritt ersetzen wir jedes Segment, aus dem die Linie besteht, durch eine gestrichelte Linie, die 4/3 mal länger ist. Das bedeutet, dass die Länge der gesamten gestrichelten Linie bei jedem Schritt mit 4/3 multipliziert wird: die Länge der Linie mit Zahl N gleich (4/3) N-1 . Daher bleibt der Grenzlinie nichts anderes übrig, als unendlich lang zu sein.

3. Kochs Schneeflocke begrenzt die endliche Fläche. Und das, obwohl sein Umfang unendlich ist. Diese Eigenschaft mag paradox erscheinen, ist aber offensichtlich – eine Schneeflocke passt vollständig in einen Kreis, daher ist ihre Fläche offensichtlich begrenzt. Die Fläche lässt sich berechnen, dafür braucht man nicht einmal besondere Kenntnisse – Formeln für die Fläche eines Dreiecks und die Summe einer geometrischen Folge werden in der Schule gelehrt. Für Interessierte ist die Berechnung unten im Kleingedruckten aufgeführt.

Die Seite des ursprünglichen regelmäßigen Dreiecks sei gleich A. Dann beträgt seine Fläche. Zuerst ist die Seite 1 und die Fläche ist: . Was passiert, wenn die Iteration zunimmt? Wir können davon ausgehen, dass kleine gleichseitige Dreiecke an ein bestehendes Polygon angehängt werden. Beim ersten Mal sind es nur drei, und beim nächsten Mal sind es viermal mehr als beim vorherigen Mal. Das heißt, weiter N Der dritte Schritt ist abgeschlossen Tn= 3 4 N–1 Dreiecke. Die Seitenlänge jedes einzelnen beträgt ein Drittel der Seite des im vorherigen Schritt fertiggestellten Dreiecks. Es ist also gleich (1/3) N. Flächen sind proportional zu den Quadraten der Seiten, also beträgt die Fläche jedes Dreiecks . Für große Werte N Das ist übrigens sehr wenig. Der Gesamtbeitrag dieser Dreiecke zur Fläche der Schneeflocke beträgt Tn · S n= 3/4 · (4/9) N · S 0 . Deshalb nach N-Schritt, die Fläche der Figur ist gleich der Summe S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S N = . Nach unendlich vielen Schritten erhält man eine Schneeflocke, was entspricht N→ ∞. Das Ergebnis ist eine unendliche Summe, aber dies ist die Summe einer abnehmenden geometrischen Progression; es gibt eine Formel dafür: . Die Fläche der Schneeflocke beträgt .

4. Fraktale Dimension gleich log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Eine genaue Berechnung erfordert erheblichen Aufwand und ausführliche Erklärungen, daher erfolgt hier eher eine Veranschaulichung der Definition der fraktalen Dimension. Aus der Potenzgesetzformel N(δ ) ~ (1/δ )D, Wo N- Anzahl der sich überschneidenden Quadrate, δ - ihre Größe und D- Dimension, das verstehen wir D= log 1/ δ N. Diese Gleichheit gilt bis zur Hinzufügung einer Konstante (die für alle gleich ist). δ ). Die Abbildungen zeigen die fünfte Iteration der Konstruktion der Koch-Kurve; die Gitterquadrate, die sie schneiden, sind grün schattiert. Die Länge des ursprünglichen Segments beträgt 1, daher beträgt in der oberen Abbildung die Seitenlänge der Quadrate 1/9. 12 Quadrate sind schattiert, log 9 12 ≈ 1,130929... . Noch nicht sehr ähnlich zu 1.261859... . Schauen wir weiter. Im mittleren Bild sind die Quadrate halb so groß, ihre Größe beträgt 1/18, schattiert 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Schon besser. Unten sind die Quadrate noch halb so groß, 72 Stück sind bereits übermalt. log 72 30 ≈ 1,193426... . Noch näher. Dann müssen Sie die Iterationszahl erhöhen und gleichzeitig die Quadrate verringern, dann nähert sich der „empirische“ Wert der Dimension der Koch-Kurve stetig log 3 4 und stimmt im Grenzfall vollständig überein.

Die Koch-Kurve ist eine fraktale Kurve, die 1904 vom schwedischen Mathematiker Helge von Koch beschrieben wurde. Drei Kopien der Koch-Kurve, die auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks konstruiert sind (nach außen zeigen), bilden eine geschlossene Kurve, die Koch-Schneeflocke genannt wird.

Manchmal habe ich Probleme, wenn ich irgendwie fluchen möchte. Programmieren Sie das Problem. Dieses Mal habe ich beschlossen, mit Fraktalen zu basteln. Nämlich mit der Koch-Schneeflocke.

Schneeflocke Koch

Dieses Fraktal ist eines der ersten, das von Wissenschaftlern untersucht wurde. Sie ist aus drei Kopien der Koch-Kurve abgeleitet, die erstmals 1904 in einer Arbeit des schwedischen Mathematikers Helge von Koch erschien. Diese Kurve wurde als Beispiel für eine durchgehende Linie erfunden, die keinen Punkt tangieren kann.

Grundlegende Eigenschaften der Koch-Kurve:

  1. Es ist stetig, aber nirgends differenzierbar.
  2. Hat unendliche Länge. Die Länge des ursprünglichen Segments sei gleich 1. Bei jedem Konstruktionsschritt ersetzen wir jedes Segment, aus dem die Linie besteht, durch eine gestrichelte Linie, die 4/3 mal länger ist. Das bedeutet, dass die Länge der gesamten gestrichelten Linie bei jedem Schritt mit 4/3 multipliziert wird: Die Länge der Linie mit der Nummer n ist gleich (4/3)n–1. Daher bleibt der Grenzlinie nichts anderes übrig, als unendlich lang zu sein.
  3. Die Koch-Schneeflocke begrenzt den endlichen Bereich. Und das, obwohl sein Umfang unendlich ist. Diese Eigenschaft mag paradox erscheinen, ist aber offensichtlich – eine Schneeflocke passt vollständig in einen Kreis, daher ist ihre Fläche offensichtlich begrenzt.

Ein bisschen Mathe

Manchmal ist es sehr interessant, sich die einfachsten Schimpfwörter zu merken. Transformationen (: In diesem Fall war es notwendig, das Wissen über Vektoren und Transformationen von Punkten in der Ebene aufzufrischen.

Genauer gesagt, wie man einen Punkt relativ zu einem anderen Punkt dreht:

Nun, Sie müssen wissen, wie Sie einen Punkt auf einem Segment finden, der in einiger Entfernung von dem Punkt liegt, indem Sie diesen Abstand und die Koordinaten der Punkte kennen. Es gibt so viele Methoden. Sie können die Koordinaten der Linie ermitteln, die diese Punkte enthält, und sie dann in die Gleichung einsetzen. Sie können Koordinaten mithilfe von Vektoren berechnen.

Es sieht ungefähr so ​​aus.



 

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